Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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5. STRUTTURE IPERSTATICHE

I metodi risolutivi generali sono due:

1. metodo delle forze 2. metodo degli spostamenti

Il primo pi intuitivo ed preferibile per strutture poco iperstatiche. Il secondo pi automatico

ed preferibile per strutture altamente iperstatiche ( quello solitamente usato nei programmi di

calcolo automatico).

Entrambi associano al sistema dato un altro sistema, detto sistema principale, che si sa risolvere con

le conoscenze gi acquisite e mediante il quale si giunge a risolvere il sistema dato.

Metodo delle forze

Il sistema principale un sistema staticamente

determinato, che si ottiene da quello dato

togliendo vincoli fino ad avere una struttura

isostatica

Siste

Sistema principale

Metodo degli spostamenti

Il sistema principale un sistema

geometricamente determinato, che si ottiene da

quello dato aggiungendo vincoli fino ad avere

una struttura composta di travi perfettamente

incastrate agli estremi

Sistema principale

Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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Il sistema principale risolubile (sappiamo

risolvere le strutture isostatiche).

Il sistema principale rispetta lequilibrio (

isostatico), ma non la congruenza (nei punti

dove sono stati soppressi dei vincoli ho

spostamenti e rotazioni diversi da quelli reali).

Ritroviamo il sistema effettivo applicando al

sistema principale le reazioni reali iX dei

vincoli che abbiamo soppresso (iperstatiche).

Il sistema principale risolubile (sappiamo

risolvere le travi incastrate).

Il sistema principale rispetta la congruenza

(tutti i vincoli reali sono stati mantenuti), ma

non lequilibrio (per tener bloccati i nodi

occorre applicare ai nodi stessi forze e/o

coppie che sono diverse da quelle reali)

Ritroviamo il sistema effettivo applicando al

sistema principale gli spostamenti e/o rotazioni

reali i dei nodi che abbiamo bloccato.

Xi

Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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Sistema principale:

2L

2L

A

Q

C

Q

AX

C B

EJ = cost.B

A B AAQ Ax

QX

B A BA=0

Come determino le iX ?

Impongo che producano nei punti del sistema

principale dove abbiamo soppresso vincoli

spostamenti e/o rotazioni che sommati a quelli

provocati dal carico, ripristino i cedimenti reali

(noti) di quei punti. Tutti questi spostamenti

e/o rotazioni si calcolano su un sistema che si

sa risolvere (il sistema principale isostatico).

Quindi le equazioni determinatrici delle iX

sono equazioni di congruenza.

Come determino le i ? Impongo che per produrli si applichino nei

nodi del sistema principale forze e/o coppie

che, sommate a quelle provocate dal carico,

ripristinino le forze e/o coppie esterne

realmente agenti sui nodi stessi (note).

Tutte queste forze e/o coppie si calcolano su

un sistema che si sa risolvere (il sistema

principale formato da un insieme di travi

incastrate).

Quindi le equazioni determinatrici delle i sono equazioni di equilibrio.

Calcolate le i , si conoscono spostamenti e rotazioni agli estremi di tutte le travi e quindi

con le formule della trave incastrata con

cedimenti e rotazioni dei vincoli noti si

possono determinare le N, M, T.

METODO DELLE FORZE ESEMPI

Esempio 1

Valutazione delliperstatica X : la rotazione A del sistema deve essere zero

Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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Sistema principale:

A

C

B

hL

EAEJ

q

EJ, EA = cost. B

X

X

h

C

A L

B

q

0AXAQA =+= N.B. AX e quindi X devono evidentemente avere verso opposto (troveremo 0X < ) - Determinazione di AQ , ad esempio con le analogie di Mohr ( il taglio in A della trave

ausiliaria)

EJ16

QLT2

AAQ ==

- Determinazione di AX nello stesso modo

EJ3

XLTAAX ==

EJ3XL

EJ16QL0

2

AXAQA +=+== ; QL163X = (5)

quindi:

Esempio 2

Q2

2QLQM4

QL 2 16EJ

+

Q4EJQL

QL2

16EJ

q*=MEJ

X

LX

4Ql M

LX

3EJXL

+

EJX

6EJXL

EJq*=

M

QLQ163 Q

Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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A

A

B

XL

B

L

NL

Determinazione delliperstatica X :

labbassamento dellestremo B della mensola caricata da q e da X deve essere uguale

allabbassamento dellestremo B dellasta caricata da X.

- Mensola: da esercizi precedenti: EJ8

qL4IBq = ( )

EJ3

XL3IBX = ( )

- Asta: ricordiamo che in una trave caricata assialmente e di luce L , la

dilatazione L

dL= vale EAN .

Nel nostro caso (in cui la lunghezza denominata h e non L ), laccorciamento complessivo h vale allora

EANhh =

Quindi: EAXhhIIBX ==

IIBX

IBX

IBq = ; EA

XhEJ3

XLEJ8

qL 34 = ;

+

=h

AJ

3L8

qLX3

4

Quindi:

B

h

C

x

q

qL

83L3

+AJ h

A L4

B

q

A+8

3h

qLL3 J

4

Capitolo5 STRUTTURE IPERSTATICHE

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A

Q

BMBQ

AB

MB

B A BMB

A

163_ Ql

+

Q

_M

B

METODO DEGLI SPOSTAMENTI - ESEMPIO

Sistema principale:

Valutazione della rotazione B : il momento BM del sistema principale in B deve essere zero

0MM M BBQB =+= Per determinare ,M , M BBQ facciamo riferimento alle formule della trave incastrata che

supponiamo nota

Determinazione di BQM : 8QLM BQ =

Determinazione di BLEJ4M:M BB =

BBBQB LEJ4

8QLMMM0 +=+==

2

B EJ32QL =

Quindi:

Ancora con le formule della trave incastrata, posso ora determinare AM

QL163

EJ32QL

LEJ2

8QL

LEJ2MM

2

BAQA ===

EJ = cost.A

2 2

B

L L

Q

Q

AB

B

Q

32EJQL2

Q