PRINCIPALI TIPI DI SEGNALI ELETTRICI

PROF. MASSIMO SCALIA

E CON

Ing. Fabrizio Guidi Dott. Massimo Sperini

Ing. Giampaolo Giraldo

SOCIETÀ EDITRICE ANDROMEDA

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Sommario 1. Il concetto di segnale. .............................................................................................................................................. 4 2. Classificazione dei segnali elettrici. ........................................................................................................................ 4 3. Segnali elettrici periodici ed aperiodici. ................................................................................................................ 6 4. Il segnale sinusoidale. .............................................................................................................................................. 7 5. Onda quadra, rettangolare, impulsiva .................................................................................................................. 8 6. Forma d'onda triangolare .................................................................................................................................... 10 7. Segnale digitale ...................................................................................................................................................... 11 8. Rappresentazione matematica delle oscillazioni ................................................................................................. 13 9. Approfondimenti sui parametri della forma d'onda sinusoidale ...................................................................... 16 10. Approfondimenti sui parametri delle forme d’onda quadra, rettangolare, impulsiva. .................................. 19 11. Approfondimenti sulla forma d'onda triangolare. ............................................................................................. 21 12. Altri tipi di forme d'onda...................................................................................................................................... 25

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Modulo 1 Principali tipi di segnali elettrici

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1. Il concetto di segnale. Con il termine segnale si indica una funzione, generalmente del tempo, rappresentante la legge

di variazione di una grandezza fisica, che può essere di tipo acustico, elettrico, ottico etc. Esempi di segnali, in base alla definizione ora data, possono essere considerati: la pressione acustica prodotta da un suono, il campo elettromagnetico irradiato da un’antenna, la tensione in uscita da un microfo-no o da una testina di un giradischi, l’intensità luminosa di una scena televisiva o di una lampadina, la temperatura in un processo chimico, la velocità angolare di un albero motore, ecc.

Nel momento in cui questa funzione risulti essere legata a grandezze fisiche di natura elettrica, come ad esempio la tensione e la corrente, allora più specificamente si parla di segnale elettrico.

Nel prosieguo di queste note, considereremo sempre segnali elettrici. 2. Classificazione dei segnali elettrici. Gli elementi da tenere presenti per classificare i segnali sono due: il tempo e i valori assunti dal

segnale in funzione di esso, ossia l’ampiezza. Entrambe queste quantità possono assumere infiniti valori spazianti all’interno di un certo range oppure un numeri limitato di essi. Nel primo caso

Distinguiamo allora il: a) segnale tempo continuo, quando il tempo assume ogni possibile valore all’interno di un

certo intervallo tmin÷tmax ; b) segnale tempo discreto, quando il tempo assume solo un numero finito di valori

all’interno dell’intervallo tmin÷tmax . Similmente per l’ampiezza abbiamo:

c) segnale ad ampiezza continua, quando questa assume tutti gli infiniti valori all’interno di un certo range Vmin÷Vmax;

d) segnale ad ampiezza discreta, quando questa assume solo un numero finito di valori all’interno del range Vmin÷Vmax.

In base a quanto detto possiamo fornire le seguenti definizioni:

• il segnale analogico è quello che risulta essere a tempo continuo e ad ampiezza conti-nua, ossia è quello in cui sia il tempo che l’ampiezza variano con continuità all’interno dei rispettivi intervalli di variabilità (fig.1);

• il segnale digitale (o numerico) è quello che risulta essere a tempo discreto e ad am-

piezza discreta, ossia in cui sia il tempo che l’ampiezza variano in maniera discreta all’interno dei rispettivi intervalli di variabilità (fig.2);

• il segnale quantizzato è quello a tempo continuo ed ampiezza discreta (fig. 3);

• il segnale campionato è quello a tempo discreto ed ampiezza continua; un esempio di

questo tipo è dato dal segnale che esce da un modulo campionatore prima di essere sot-toposto al processo di quantizzazione (fig.4).

Alcune considerazioni:

• i segnali analogici sono così denominati poiché nel rappresentare la grandezza di origi-ne, come ad es. un suono, variano seguendo l’andamento di quest’ultima, ovvero «in a-nalogia» con essa. Nei circuiti di misura e di controllo, questi segnali sono associati a dei trasduttori, che normalmente convertono grandezze fisiche non elettriche (ad esempio suoni, immagini, temperatura, pressione) in tensioni e correnti il cui andamento nel tem-po contiene le informazioni riguardanti tali grandezze fisiche;

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• i segnali digitali (dall’inglese digit, cifra) o numerici sono così definiti in quanto idonei a rappresentare sequenze di cifre associate ai possibili livelli;

• nel caso particolare in cui il numero di valori distinti assunti da un segnale digitale sia

pari a due allora si parla più precisamente di segnale digitale binario.

Fig. 1: segnale analogico

Fig. 2: segnale numerico (o digitale)

Fig. 3: segnale quantizzato

t

s(t)

0 tmin tmax

smin

smax

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Fig. 4: segnale campionato

3. Segnali elettrici periodici ed aperiodici. Oltre alla classificazione sopra menzionata, è possibile operare una ulteriore caratterizzazione

dei segnali osservando che, in moltissimi casi, la loro evoluzione nel tempo mostra una ripetitività nella successione dei valori dell’ampiezza ad intervalli di tempo regolari: trattasi dei segnali perio-dici.

Allora: • dicesi segnale periodico quello per il quale è possibile individuare un intervallo di tem-

po a partire dal quale esso si ripete identicamente. L’intervallo di tempo in questione prende il nome di periodo, si indica con la lettera T e si misura in secondi (in quanto tempo!). Usando il formalismo matematico, la definizione di prima può sintetizzarsi nel modo seguente:

Eq. 1: s(t+T)=s(t)

I segnali per i quali non sia possibile individuare il predetto intervallo di tempo prendono il nome di segnali aperiodici. Un segnale periodico si definisce alternato quando la media aritmetica dei valori che assume in un periodo è uguale a zero. Un segnale periodico alternato quindi, di fatto, è a valore medio nullo (fig.)

Fig. 5: segnale periodico alternato

Tra i segnali periodici maggiormente impiegati nell’elettronica pratica ci sono: • la sinusoide, o onda sinusoidale; • l’onda rettangolare, l’onda quadra ed l’onda impulsiva; • l’onda triangolare e a dente di sega.

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Nell’elettronica è comune che al posto del termine “segnale elettrico” si impieghi il sinonimo “forma d’onda”, prendendo spunto dalla sagoma del grafico associato al segnale stesso; ad esempio, al posto del termine “segnale elettrico sinusoidale” si impiega il termine “forma d’onda sinusoi-dale”.

Per l’importanza che riveste in ogni argomento di elettronica e fisica, qui di seguito analizzere-mo il segnale sinusoidale ed i suoi principali parametri descrittivi.

4. Il segnale sinusoidale. In elettronica si può parlare di forma d’onda sinusoidale quando la grandezza in esame (tensione

v o intensità di corrente i) è una funzione sinusoidale del tempo t. Per una tensione sinusoidale al-ternata vale la seguente relazione analitica:

Eq. 2: )sin()( 0ϕθ += pVtv

e, ricordando che θ = ωt se il moto al quale il segnale si riferisce è di tipo circolare uniforme:

Eq. 3: 00 )sin()( atVtv p ++= ϕω

Fig. 6: segnale sinusoidale alternato (valore medio nullo)

in cui (fig. 6): • valore istantaneo v(t), ovvero il valore assunto istante per istante dalla forma d’onda; nel caso

in questione, si misura in volt [V]; • valore massimo o di picco Vp, che è il più grande dei valori istantanei in un periodo; • valore picco-picco Vpp, pari al doppio del valore massimo della forma d’onda alternata: Vpp =

2Vp, corrispondente alla differenza tra il massimo valore positivo e quello negativo; • periodo di oscillazione T, definito come l’intervallo di tempo che intercorre tra due picchi mas-

simi consecutivi (oppure tra due punti in concordanza di fase, corrispondente alla durata di un oscillazione completa (T = 2π/ω misurato in secondi [s]);

• frequenza di oscillazione f, definita come il numero di volte che la forma d’onda si ripete in un

secondo (l’unità di tempo), ossia il numero di oscillazioni (periodi) compiute in un secondo, ed

7

è uguale all’inverso del periodo. La frequenza si misura in cicli al secondo, unità nota come Hertz (Hz). Vale la relazione: f = 1/T = ω/2π, misurata in Hertz [Hz];

• valore medio Vme, rappresentante la media dei valori istantanei in un periodo. Nel caso della

forma d’onda sinusoidale alternata, il suo valore è Vme=0, così come per un qualsiasi segnale periodico alternato (come l’esempio della fig. 6);

• valore medio convenzionale Vm, rappresentante la media dei valori istantanei di un semiperio-

do. Il valor medio è circa il 64% del valore massimo:

Eq. 4: ppm VVV 637.02==

π

• valore efficace Veff, che rappresenta la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori istantanei di un intero periodo. Il valore efficace, definito anche valore quadratico me-dio (RMS, Root Mean Square), è circa il 71% del valore massimo:

Eq. 5: pp

eff VV

V 707.02==

5. Onda quadra, rettangolare, impulsiva Un segnale costituito dalla successione di due livelli di durata differente è denominato segnale

ad onda rettangolare (fig. 7); qualora i due livelli presentino la stessa durata, il segnale si definisce onda quadra (fig. 8). L’onda quadra e rettangolare si presentano come una forma d’onda caratte-rizzata dalla presenza di due segmenti verticali, chiamati fronti d’onda positivo e negativo e che si succedono con periodicità T (fig. 3).

Ovviamente un siffatto segnale non può esistere in natura se non con una certa approssimazione: basti pensare infatti che in un medesimo istante di tempo t non possono coesistere due valori distinti per l’ampiezza del segnale, situazione questa che si verifica proprio in corrispondenza dei fronti po-sitivo e negativo.

Fig. 7: onda rettangolare

Fig. 8: onda quadra.

8

Fig. 9: segnale rettangolare di tipo impulsivo (o treno d’impulsi).

Si definisce una particolare grandezza denominata duty-cycle δ (alla lettera, rapporto pieno/vuoto) mediante la relazione:

Eq. 6: Tt1=δ

in cui t1 è la durata del primo livello e T il periodo dell’onda.

L’onda quadra è allora un segnale rettangolare con δ = 0.5; per δ diverso da 0,5 si parla invece di onda rettangolare e tale situazione rappresenta il caso più generale. Per δ < 0,5 (50%), la forma d’onda è detta “segnale impulsivo” o treno d’impulsi (fig. 9). Gli elementi caratteristici di una forma d’onda rettangolare sono: • l’ampiezza Vo; • la durata t1; • per i segnali periodici: la frequenza, o cadenza di ripetizione, che è l’inverso del periodo T (f =

1/T); • il duty cycle δ che rappresenta una misura del tempo in cui il segnale presenta ampiezza po-

sitiva.

Difficilmente la forma d’onda rettangolare risulta avere un grafico perfetto, ovvero a segmenti perfettamente verticali od orizzontali (rispetto all’asse dei tempi); i tratti che la compongono non si presentano sempre rettilinei, specialmente nelle vicinanze degli spigoli, che molto spesso risultano arrotondati; altre volte si verifica un'oscillazione del valore istantaneo attorno al valore finale. Per caratterizzare queste deformazioni si definiscono grandezze quali: tempo di salita, tempo di disce-sa, caduta percentuale, sovratensione percentuale e larghezza dell’impulso (fig. 10).

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Fig. 10: Deformazioni caratteristiche della forma d’onda rettangolare

Il tempo di salita (rise time) tr = t2 – t1 è l’intervallo di tempo necessario affinché il valore i-stantaneo salga dal 10% al 90% del valore finale V0. Il tempo di discesa (fall time), dato da tf = t4 – t3 è l’intervallo di tempo necessario affinché il valore istantaneo scenda dal 90% al 10% del valore finale V0. La caduta percentuale è data da 100h/V0, mentre la sovratensione percentuale risulta 100∆V/V0. La larghezza dell’impulso, nota come tw, è l’intervallo di tempo che intercorre tra quan-do il fronte d’onda di salita raggiunge il 50% di V0 e quando il fronte di discesa scende al 50% di V0.

6. Forma d'onda triangolare Il segnale triangolare è una grandezza che varia in modo periodico e linearmente con il tempo, prima crescente (sino a t = T/2) e poi decrescente (da T/2 a T) come riportato in fig. 10. Un tipo di segnale triangolare, molto impiegato negli apparati di visualizzazione, è quello a dente di sega, in cui la variazione linearmente crescente della tensione è bruscamente interrotta nel punto di discontinuità t=T, dove l’ampiezza del segnale torna istantaneamente a zero (fig.4c).

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Fig. 11: segnale triangolare

Fig. 12: segnale a dente di sega

Gli elementi caratteristici della forma d’onda triangolare sono: • l’ampiezza V0; • la frequenza, o cadenza di ripetizione, ν nel caso di forma d’onda periodica.

7. Segnale digitale Per segnale digitale si intende una tensione che può variare nel tempo secondo una sequenza quasi regolare e che assume solo due livelli di tensione ben definiti, ovvero 0 (zero) e 1 (uno): ad ognuno di essi corrisponde una fascia di valori compresa in un determinato intervallo; ad esempio, lo 0 può corrispondere ad ogni valore di tensione compreso tra 0 e 0.8 V, mentre 1 ad ogni valore superiore a 2.8 V (fig. 12).

Fig. 13: segnale digitale

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Nei sistemi digitali le due cifre binarie 1 e 0 sono rappresentate da due diversi livelli di tensione. Se la più alta delle due tensioni rappresenta un 1 e la più bassa rappresenta uno 0, il sistema è detto a logica positiva. Viceversa, se la tensione più bassa rappresenta un 1 e la tensione più alta rappre-senta uno zero, abbiamo un sistema a logica negativa.

Fig. 14: segnale digitale periodico ad onda quadra

I segnali digitali possono essere periodici e non periodici: il segnale digitale mostrato in fig. 13 è un segnale periodico ad onda quadra con t1 = t2, in altre parole sono identici i tempi di durata dello stato 0 e dello stato 1; il segnale in fig. 14 rappresenta un’onda rettangolare, poiché i tempi di durata degli stati 0 e 1 sono diversi: t1 ≠ t2. 2

Fig. 15: segnale digitale periodico ad onda rettangolare

Il passaggio dal livello 0 al livello 1 si definisce transizione positiva o fronte di salita del segna-le (rising edge), mentre il passaggio da 1 a 0 si definisce transizione negativa o fronte di discesa del segnale (falling edge). Per segnale digitale non periodico si intende una successione irregolare di stati 1 e 0, come appare in fig. 15.

Fig. 16: segnale digitale binario non periodico

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8. Rappresentazione matematica delle oscillazioni Fenomeni oscillatori sono presenti in forma empirica nel mondo della fisica: tra gli esempi più noti, l’allungamento oppure la compressione di una molla (oscillazioni meccaniche), la variazione di pressione acustica dovuta alle vibrazioni di una membrana in un microfono oppure in un altopar-lante (oscillazioni acustiche), le variazioni di tensione industriale in un conduttore e del campo elet-tromagnetico che ne consegue (oscillazioni elettromagnetiche). Tali fenomeni si studiano e si quan-tificano mediante le funzioni trigonometriche, quali seno e coseno, di cui segue una essenziale ed esauriente trattazione. L’oscillazione armonica o sinusoidale si rappresenta matematicamente come segue:

Eq. 7: )sin()( tt ω=Φ oppure )cos()( tt ω=Φ in cui Φ(t) è la funzione trigonometrica che descrive il moto oscillatorio e ω è una costante introdot-ta al fine di rendere adimensionale l’argomento del seno o del coseno. La rappresentazione grafica della funzione sen è riportata in fig. 15: in questo caso, permette di descrivere lo spostamento di un punto materiale che si muove in senso antiorario di moto circolare uniforme e velocità angolare ω. Riportando la posizione istantanea del punto P in funzione dell'an-golo θ si ottiene:

Eq. 8: )sin()( θθ A=Φ

Fig. 17: Rappresentazione grafica o trigonometrica di un’oscillazione sinusoidale

Nella tab. 1 sono riportati i valori della funzione Φ(θ) al variare dell’angolo θ. Tale tabella illu-stra come la funzione seno sia in grado di descrivere l’oscillazione periodica di uno stato fisico in funzione dell’angolo θ. Analogo ragionamento si può applicare alla funzione coseno. Da un punto di vista strettamente geometrico si può facilmente intuire anche il significato della funzione sen: es-sa fornisce l’ordinata del punto P mentre questo descrive una traiettoria circolare, con velocità ω (e-ventualmente costante se trattasi di moto circolare uniforme). Similmente si può dire la funzione cos fornisce il valore dell’ascissa dello stesso punto P nelle condizioni prima dette. Alla luce di que-ste osservazioni allora si può dire che le funzioni sen e cos permettono di calcolare le coordinate cartesiane di un punto P che sta descrivendo una traiettoria circolare. È noto dalla fisica che la velocità angolare o pulsazione ω del punto P è data da: 13

Eq. 9: tθω = (radianti/secondo, ovvero rad/s)

ricavando θ da questa espressione (θ = ωt) e sostituendola nell’Eq. 8 si ottiene:

Eq. 10: )sin()( tAt ω=Φ Il valore A, definito ampiezza del moto armonico, rappresenta la variazione massima della grandezza Φ che oscilla con centro di oscillazione in 0.

GRADI RADIANTI SENO Φ(θ) 0 0 0 0 18 π/10 0,31 0,31 A 30 π/6 0,5 0,5 A 45 π/4 0,707 0,707 A 60 π/3 0,86 0,86 A 90 π/2 1 A

120 (2/3)π - 0,86 - 0,86 A 135 (3/4)π - 0,707 -0,707 A 180 π 0 0 240 (4/3)π - 0,86 - 0,86 A 270 (3/2)π -1 -A 360 2π 0 0 540 3π -1 -A 720 4π 0 0

Tab. 1: Andamento della funzione Φ(θ) al variare dell’angolo θ. La formula di conversione fra angolo in gradi e angolo in radianti è la seguente: θ (radianti) = ·θ/180 (gradi). Le funzioni seno e coseno sono monodrome (ad ogni valore della variabile indipendente t corri-sponde un solo valore della Φ), limitate fra i valori ± 1 e periodiche, dopo un intervallo di tempo T (detto periodo) il loro grafico si ripropone con le medesime caratteristiche. Ne consegue la relazio-ne:

Eq. 11: tAsenTtAsen ωω =+ )]([

che mette in evidenza la periodicità della funzione Φ(t) per T = 2π/ω, 4π/ω, ..., n⋅2π/ω con n intero positivo. Il periodo di oscillazione T può anche essere definito come l’intervallo di tempo che in-tercorre tra due picchi massimi consecutivi, corrispondente alla durata di un'oscillazione completa. La frequenza di oscillazione ν (oppure f) si definisce come il numero di volte che la forma d’onda si ripete in un secondo (l’unità di tempo), in altre parole come il numero di oscillazioni compiute in un secondo, ed è uguale all’inverso del periodo, come descritto dalla relazione ν = 1/T = ω/2π. La frequenza si misura in cicli al secondo, unità nota come Hertz [Hz], dove Hz = s-1. Una relazione più generale in grado di descrivere il moto del punto P, nel caso in cui non inizia dall’origine, è la seguente (fig. 17):

Eq. 12: )sin()( 0ϕω +=Φ tAt

in cui ωt evidenzia la posizione angolare in funzione del tempo e ϕo la posizione iniziale all’istante t = 0 (fase iniziale); ωt + ϕo rappresenta la fase al generico istante t. 14

Dalla relazione precedente è possibile calcolare il valore del tempo to quando l’oscillazione Φ(to) = 0 (punto 1):

)(0 0ϕω += tsen 000 =+ϕω t

da cui:

ωϕ0

0 −=t

e il valore dell’oscillazione Φ(0) nell’istante t = 0 (punto 2):

ϕ0)0( Asen=Φ

Fig. 18: Oscillazione del punto P non iniziante nell’origine

Nei fenomeni acustici, Φ(t) potrebbe identificarsi con lo spostamento armonico s di uno stantuf-fo che in un tubo comprime lo strato d’aria ad esso aderente, mentre nei fenomeni elettrici Φ(t) si identifica con la tensione o la corrente sinusoidale in un circuito.

Mediante il teorema di Fourier è possibile ricondurre lo studio dei segnali periodici non armoni-ci, quali pulsazioni cardiache oppure oscillazioni acustiche,a quello dei segnali armonici: tale teo-rema permette infatti di scomporre il segnale periodico in una somma di oscillazioni armoniche, ovvero di funzioni seno e coseno, le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza, detta fon-damentale ed uguale all’inverso del periodo del segnale non armonico. Questo procedimento mate-matico è denominato analisi di Fourier.

Ne consegue che le considerazioni riportate in questo paragrafo sono valide per qualsiasi moto non armonico.

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9. Approfondimenti sui parametri della forma d'onda sinusoidale In elettronica si può parlare di forma d’onda sinusoidale quando la grandezza in esame (tensione

v o intensità di corrente i) è una funzione sinusoidale del tempo t. Per una tensione sinusoidale si può scrivere:

Eq. 13: )()( 0ϕθθ +== senVvv M , oppure ricordando che θ = ωt, si ottiene:

Eq. 14: )()( 0ϕω +== tsenVtvv M

Fig. 19: Tensione sinusoidale con ϕo = 0.

Di ogni forma d’onda si possono indicare (fig. 18): • valore istantaneo v(t), ovvero il valore assunto istante per istante dalla forma d’onda; il valore

istantaneo si misura in volt [V]. • Valore massimo VM, che è il più grande dei valori istantanei di un periodo; il valore massimo è

anche detto valore di picco. • Valore picco-picco Vpp, è il doppio del valore massimo della forma d’onda: Vpp = 2VM. • Periodo di oscillazione T = 2π/ misurato in secondi [s]. • Frequenza di oscillazione f = 1/T = /2π misurata in Hertz [Hz]. • Valor medio Vme, rappresentante la media dei valori istantanei di un periodo. Nel caso della

forma d’onda sinusoidale, il suo valore è

Eq. 15: ∫ ==T

me dttvTV

00)(1

• Valor medio convenzionale Vm, rappresentante la media dei valori istantanei di un semiperio-do. Il valor medio è circa il 64% del valore massimo:

Eq. 16: ∫ ==2

0637,0)(2

T

Mm VdttvTV

16

• Valore efficace Veff, il quale rappresenta la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori istantanei di un intero periodo. Il valore efficace, definito anche valore quadratico medio (RMS, Root Mean Square), è circa il 71% del valore massimo:

Eq. 17: VdttvTV M

T

eff 707,0)(10

2 =∫=

Come esempio esplicativo, si può considerare un caso molto comune, ovvero la tensione dell’impianto di distribuzione domestico a 50 Hz. Inserendo un voltmetro con scala in alternata in una presa di corrente, la deviazione dell’indice dello strumento indicherà una tensione efficace di 220 volt: essa è una delle motivazioni per cui nell’ambito dell’elettrotecnica tutte le tensioni sono riportate in valore efficace; l’altra è legata alla formula della potenza dissipata Pwm tra un compo-nente ai cui capi si applica una tensione sinusoidale, ovvero Pwm = VeffIeff cosϕ, quando tensione e corrente sono in fase (cosϕ = 1) si ha la relazione

Eq. 18: 2

IVIVP effeffwm

⋅==

Nel caso di un segnale sinusoidale, il valore medio vme è dato da:

Eq. 19: tdtsenVTvT

Mme ω∫=0

1

Ricordando che ω = 2π/T, si ottiene:

Eq. 20: tdtT

senVTVT

Mmeπ21

0∫=

L’integrale si identifica con le due aree tratteggiate (fig. 19), ovvero quella positiva, compresa tra la curva dei valori istantanei e l’asse dei tempi, e quella negativa, al di sotto dell’asse dei tempi, le quali si annullano a vicenda:

[ ] [ ] 0112

0cos2cos2

2cos2 0

=−−=−−=

−=

ππ

ππ

πVVt

TVV MM

TM

me

Per ottenere un valore diverso dallo zero, nel caso dell’onda sinusoidale si calcola il valor medio convenzionale Vm, definito come l’integrale del valore istantaneo del segnale presente nel semiperi-odo positivo:

17

Fig. 20: Operazione di integrazione sulla forma d’onda sinusoidale

Eq. 21: tdtT

senVTV

T

Mmπ22 2

0∫=

[ ] [ ] VVVVtT

VV MMMM

T

Mm 637,0211

20coscos2cos

2

0==−−−=−−=

−=

πππ

ππ

π

Infine, il valore efficace Veff dell’onda sinusoidale si calcola come la radice quadrata dell’integrale dei valori istantanei al quadrato su un intero periodo:

∫=T

Meff tdtTsenVTV

0

22 21 π

Ricordando che:

)4cos1(2122 t

Tt

Tsenππ

−=

si ottiene:

∫ ∫−=T T

Meff tdt

Tdt

TVV

0 0

2)4cos(

2π

⋅−= t

TT

TVT

TVV

TMM

effπ

π4cos

422 0

22

18

)0cos4(cos82

22−−= π

πVVV MM

eff

VVVVVV MMMMM

eff 707,022

)11(82

222===−−=

π 10. Approfondimenti sui parametri delle forme d’onda quadra, rettangolare,

impulsiva. Contempliamo in questo contesto alcuni aspetti analitici relativi all’onda quadra, rettangolare ed impulsiva. Partiamo dalla definizione analitica dell’onda rettangolare:

Fig. 6: Forma d’onda: a) Rettangolare (t1 ≠ T/2); b) Quadra (t1 = T/2); c) Impulsiva (t1 << T/2)

L’espressione analitica, ovvero il valore istantaneo v(t), nel periodo T per la forma d’onda ri-portata in fig. 6 è data da:

Vtv 0)( = per tt 10 ≤≤ 0)( =tv per Ttt ≤≤1

Nota v(t), è possibile calcolare il valore medio Vme:

[ ] δVtTVt t

TVdt

tVTV me 01

01001

00

1===∫=

19

Nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e quindi 2

0VV me = .

Per il valor medio Vme, calcolato eseguendo la media dei valori istantanei su un periodo si ha:

∫=T

me dttvTV

0)(1

Il valore efficace Veff è calcolato eseguendo la radice quadrata della media aritmetica dei quadra-ti dei valori istantanei di un intero periodo:

[ ] δVtTVt t

TVdt

tVT

dttvTVT

eff 01

2010

201

0

20

0

2 1)(1===∫=∫=

e nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e Veff = 0,707⋅V0. Nel caso di un’onda rettangolare simmetrica (fig. 7a) e asimmetrica (fig. 7b), il valore medio ed il valore efficace si calcolano tenendo conto dell’espressione analitica. Per il segnale rettangolare simmetrico l’espressione analitica v(t) in un periodo T è:

Vtv 0)( = per tt 10 ≤≤ Vtv 0)( −= per Ttt ≤≤1

Il valore medio Vme è dato da:

[ ] )12(2)(11)(10

101010

1

0 100

0−=

−=−−=

∫ ∫−∫ == δVT

TtVtTVtVT

t

tdtVdtVT

dttvTV

TT

me

e nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e Vme = 0. Per il valore efficace Veff si ottiene:

VTtVVT

tVt

tdtVdtVT

dttvTVTT

eff 01

202

01

201

0 1

20

20

0

2 1)(1=−+=

∫ ∫+=∫=

In generale, per il segnale rettangolare simmetrico si ha anche il valore picco-picco, in questo caso Vpp = 2V0.

20

Fig. 7: Forma d'onda rettangolare: a) Simmetrica; b) Asimmetrica Nella situazione di onda rettangolare asimmetrica si otterrà: • espressione analitica v(t):

Vtv 0)( = per tt 10 ≤≤ Vtv 1)( −= per Ttt ≤≤1

• valore medio Vme:

[ ] VVVVTtVVtTVtVT

t

tdtVdtVT

dttvTV

TT

me 11011

1011101

0 110

0)()()(11)(1−−=−+=−−=

∫ ∫−∫ == δ

• valore efficace Veff:

V)VV(TtVVT

tVt

tdtVdtVT

dt)t(vTVTT

eff21

21

20

1212

11

201

0 1

21

20

0

2 11−−=−+=

∫ ∫+=∫= δ

• valore picco-picco Vpp:

Vpp = V0 + V1

11. Approfondimenti sulla forma d'onda triangolare. L’espressione analitica per la forma d’onda triangolare nel periodo T (fig. 9a) è data da:

21

TtV)t(v 02

= per 2

0 Tt ≤≤

)Tt(VT

tVV)t(v −=−= 1222 000 per TtT

≤≤2

nota v(t), si calcola il valore medio Vme:

=−−⋅+⋅=

∫ ∫ ∫−+∫ == )82

(22

28

22221)(1 22

200

2

202

02 2

00

0

0

TTTVT

TVT

TVtdt

TVdtVtdt

TV

Tdttv

TV

TT

T

T

T

T

me

24400

000 VVVVV =+−+=

Il valore efficace Veff è dato da:

=

∫ ∫ −+=∫=T T

T

T

eff dt)Tt(VT

dtT

tVT

dt)t(vTV0

2

2202

220

0

2 141411

=∫ ∫ ∫ ∫−++=T T

T

T

T

T

Ttdt

TVdtt

TVdt

TVdtt

TV

02 2 2

2

202

3

20

202

3

20 8444

=⋅−⋅−⋅−⋅+⋅+⋅= )TTV()T

TV[()]T

TV()T

TV[()T

TV()T

TV(

88

28

244

34

24

244 2

2

20

2

2

20

3

3

20

3

3

20

20

3

3

20

V,VVVVVVVVVV0

0202

020

20

20

202

020

20 5770

33344

6342

6===−=+−−++=

Per la forma d’onda triangolare simmetrica (fig. 9b) si ha:

• valore picco-picco Vpp = 2V0; • valore medio:

∫=T

me dt)t(vTV

0

1

in cui l’integrale è dato dalla somma algebrica di due aree uguali, una positiva da 0 a T/2 ed una negativa da T/2 a T, e pertanto risulta Vme = 0;

• valore efficace:

∫=T

eff dt)t(vTV0

21

il quale è identico (cfr. fig. 9b) al caso della forma triangolare periodica, ovvero Veff = V0/3 = 0,577V0.

Nel caso del dente di sega (fig. 9c), l’espressione analitica è data da: 22

TtV)t(v 0= per Tt ≤≤0

il valore medio Vme:

20

21 0

2

020

20

0

0 V]T[TVtdt

TVdt

TtV

TVTT

me =−∫ =∫ ==

il valore efficace Veff:

V,V]T[TVdtt

TVdt)t(vTV

TT

eff 00

3

3

20

0

23

20

0

2 57703

03

1==−=∫=∫=

Analizzando il dente di sega simmetrico (fig. 9d), si ottengono i seguenti risultati: • valore picco-picco: Vpp = 2V0; • espressione analitica:

TtV)t(v 02

= per 2

0 Tt ≤≤

)Tt(V)VT

tV()t(v 122200

0 −=−= per TtT≤≤

2

• valore medio Vme:

∫ =∫ −∫ +=

∫ ∫ −+∫ ==

T

T

T

T

TTT

T

T

me dtTVtdt

TVtdt

TVdt)

Tt(Vdt

TtV

Tdt)t(v

TV22

02

02

02

02

02

00

0

22212211

044

20

202

0

20 =+−+= VVVV

• valore efficace Veff:

=+−+−+=∫ ∫ −+=∫= VVVVVVdt)Tt(VT

dtT

tVT

dt)t(vTVT T

T

T

eff20

20

20

202

0

20

02

2202

220

0

2 4263

46

141411

V,V0

0 57703==

Anche la forma d’onda a dente di sega non presenta un grafico perfetto (fig. 10); le deformazio-

ni sono caratterizzate da: • errore relativo di spostamento es; • errore relativo di velocità ev; • tempo di discesa td. L’errore relativo di spostamento e l’errore relativo di velocità determinano lo scostamento dalla linearità del fronte di salita; con riferimento alla fig. 10, si ottiene:

VV

eS0

∆=

23

)dtdv(

)dtdv()

dtdv(

e

t

TttV

0

0

=

==−

=

essendo Vo l’ampiezza e V lo scostamento da Vo; (dv/dt)t =0 e (dv/dt)t =T sono l’inclinazione della curva (fronte di salita) rispettivamente nel punto iniziale (t = 0 e v(t) = 0) e nel punto di massimo (t = T e v(T) = Vo). Il tempo di discesa td è l’intervallo di tempo che il fronte di discesa impiega per portare il segnale dal valore Vo a zero.

Fig. 10: Deformazioni caratteristiche della forma d'onda triangolare

24

12. Altri tipi di forme d'onda.

Anche se a rigore non possono essere annoverati tra le forme d’onda, è interessante trattare se-gnali non periodici ma che possono essere utilizzati come segnali di prova in molte applicazioni (nella teoria dei sistemi sono denominati segnali canonici): • gradino; • rampa; • esponenziale; • sinusoide smorzata; • impulso di Dirac. Si definisce gradino o scalino di tensione di ampiezza Vo il passaggio istantaneo di una tensio-ne dal valore zero al valore finito Vo (fig. 15a).

Fig. 15: a) Gradino di tensione; b) Gradino di tensione ritardato

Analiticamente il gradino di tensione è dato dalla seguente relazione:

)t(uV)t(v ⋅= 0 in cui u(t) è la funzione gradino unitario, intesa come quella funzione che risulta uguale a zero per t < 0 ed uguale a Vo per t ≥ 0, ovvero

0=)t(v per 0<t V)t(v 0= per 0≥t

Nel caso del gradino di tensione ritardato, l’andamento del segnale è

)tt(uV)t(v 10 −⋅=

come riportato in fig. 15b, in cui:

01 =− )tt(u per tt 1< 11 =− )tt(u per tt 1≥

L’espressione analitica di un segnale ad onda quadra (δ = 0,5) simmetrica (Vpp = 2V0) è data da (fig. 16): 25

+−−−+−−⋅= ...)Tt(u)Tt(u)Tt(u)t(uV)t(v

2322

220

e pertanto per il primo periodo si avrà:

0=)t(v per 0<t

V)t(v 0= per 2

0 Tt <≤

V)t(v −= 0 per TtT<≤

2

Fig. 16: Successione periodica di un’onda quadra

Il segnale a rampa si ottiene integrando la funzione a gradino: analiticamente la rampa è data da:

)t(rV)t(utV)t(v ⋅=⋅⋅= 00 in cui il valore di V0 determina la pendenza della rampa (fig. 17a) ed r(t), ovvero t⋅u(t), rappresenta la rampa unitaria:

0=)t(r per 0<t t)t(r = per 0≥t

Nel caso di rampa ritardata, l’andamento del segnale è:

)tt(u)tt()t(r 11 −⋅−= come riportato in fig. 17b, in cui, in questo caso,

0=)t(r per tt 1< t)t(r = per tt 1≥

Fig. 17: a) Segnale a rampa; b) Rampa ritardata

26

La forma d’onda esponenziale, rappresentata in fig. 18, si può incontrare nello studio del com-

portamento dei circuiti RC e RL in regime continuo: analiticamente si rappresenta nella forma v(t) = Vo·e

-t/τ, detta esponenziale decrescente, oppure v(t) = Vo⋅(1- e-t/τ), esponenziale crescente, con τ co-stante di tempo del circuito.

Fig. 18: Forma d'onda esponenziale. a) Crescente; b) Decrescente

La sinusoide e la cosinusoide smorzata, rappresentate nelle fig. 19a e 19b, sono tipiche dei cir-cuiti RLC in regime continuo: analiticamente si rappresentano rispettivamente con le equazioni v(t) = Vo·e

-t/τ·senωt e v(t) = Vo·e-t/τ·cosωt.

Fig. 19: a) Forma d'onda sinusoidale smorzata; b) Cosinusoidale smorzata

27