4_DISPENSA - Indici Di Dispersione_2010-2011

8/8/2019 4_DISPENSA - Indici Di Dispersione_2010-2011

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I Facolt di Medicina e Chirurgia

CORSO DI STATISTICA 2Dott. Laura Perrotta

- Lezione 4 - Gli indici di dispersione -

A.A. 20010/2011

Corso di Statistica


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INDICI DI DISPERSIONE

Gli indici di dispersione sono indici che danno una

misura della variabilit dei termini della distribuzione

rispetto ad una media.

Un indice di tendenza centrale non sufficiente, infatti,

a descrivere completamente un fenomeno.

Indici di tendenza centrale e indici di dispersione

devono essere associati per fornire uninformazionecompleta.

Gli indici di dispersione sono sempre associati ad una

media per indicare la variabilit intorno ad essa.

Corso di Statistica


3/25

Paziente Sesso Et PA diastolica

(mmHg)

PA sistolica

(mmHg)1 M 50 70 110

2 F 50 90 95

3 F 50 80 130

4 F 50 85 85

5 M 50 70 95


(mmHg)

PA sistolica(mmHg)

1 M 20 70 110

2 F 20 90 953 F 50 80 130

4 F 80 85 85

5 M 80 70 95

Tab. 1

Tab. 2

( ) ( ) 50580...20

Tab.2505

5050505050

Tab.11

=

++

==

++++

==

=

n

x

n

i

i

Non c dispersione rispetto alla variabile et

C dispersione rispetto alla variabile et

Corso di Statistica


4/25

166,00

168,00

170,00

172,00

174,00

176,00

178,00

180,00cm

SARDEGNA

SICILIA

CALABRIA

BASILICATA

PUGLIA

CAMPANIA

MOLISE

ABRUZZO

LAZIO

MARCHE

UMBRIA

TOSCANA

EMILIAROMAGNA

LIGURIA

FRIULIVENEZIAGIULIA

VENETO

TRENTINOA

LTOA

DIGE

LOMBARDIA

VALLED'AOSTA

PIEMONTE

SARDEGNA

SICILIA

CALABRIA

BASILICATA

PUGLIA

CAMPANIA

MOLISE

ABRUZZO

LAZIO

MARCHE

UMBRIA

TOSCANA

EMILIAROMAGNA

LIGURIA

FRIULIVENEZIAGIULIA

VENETO

TRENTINOA

LTOA

DIGE

LOMBARDIA

VALLED'AOSTA

PIEMONTE

Media italiana

Grafico 1 - Stature degli iscritti nelle liste di leva dei nati nellanno 1969

Corso di Statistica


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Indici di tendenza centrale e indici di dispersione si

completano a vicenda, tenendo per conto del fatto che:

una media da sola non in grado di esprimere

compiutamente un fenomeno

un indice di variabilit da solo perde significato in quanto

gli viene a mancare il punto di riferimento

OSSERVAZIONE

Corso di Statistica


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INTERVALLO DI VARIAZIONE

(o RANGE)

Lintervallo di variazione la pi elementare misura di

dispersione riferita ai dati quantitativi ed calcolato come

differenza tra il valore pi alto e quello pi basso di una serie di dati.

intervallo di variazione = valore pi alto valore pi basso

(o Range)

I due valori estremi (max e min) forniscono lindicazione del dominiodella variabile e indicano un primo approccio descrittivo.

Limiti: dipende esclusivamente dai valori estremi, ed influenzato dalla

dimensione del campione stesso.

Una statistica alternativa la differenza interquatile, cio la differenza

tra il primo quartile Q1 e il terzo quartile Q3.

Corso di Statistica


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(mmHg)

PA sistolica(mmHg)

1 M 20 70 110

2 F 20 90 95

3 F 50 80 130

4 F 80 85 85

5 M 80 70 95

Lintervallo di variazione calcolato per la variabile PA diastolica

il seguente 90 70 = 20

Min = 70

Max = 90

Range = 20

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INDICI DI VARIABILITA ASSOLUTA

PER MISURE QUANTITATIVE

SCARTO MEDIO SEMPLICE ASSOLUTO

DEVIANZA

VARIANZA

DEVIAZIONE STANDARD

Sono gli indicatori statistici di fondamentale importanza per

la statistica descrittiva

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VARIABILITA COMPLESSIVA

La variabilit complessiva costituita dallinsieme degliscarti di tutte le misure dalla media.

Per la propriet delle medie la somma degli scarti dalla media nulla a causa della compensazione tra scarti positivi e

negativi. Utilizzando lartificio del valore assoluto, possiamo

considerare lentit dello scarto senza tener conto del segnonegativo.

La variabilit complessiva data da:

Nota: calcolare gli N(N-1) / 2 scarti tra tutte le osservazioni diventa troppolaborioso

|| mX

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Se rapportiamo la variabilit complessiva al numero delle

osservazioni otteniamo lo scarto medio semplice assoluto

Che costituisce il pi elementare indice di dispersione consignificato statistico, poco considerato per via dellartifizio del

valore assoluto

N

mXi

i ||

SCARTO MEDIO SEMPLICE ASSOLUTO

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DEVIANZA

In alternativa al valore assoluto si ricorre al quadrato degli scarti

dalla media e si perviene alla formula della devianza:

Definita come la somma dei quadrati degli scarti dalla media

(Sum of Square)

La devianza sempre maggiore o uguale di zero e costituisce ilnumeratore della varianza

( )( ) 2

22

N

XXmX

i i

i ii i

=

( ) 0XDEV

Corso di Statistica


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Domanda:

Di fronte a due serie di misure di una stessa variabile con

medie uguali, ma devianze diverse, la devianza della

prima serie maggiore perch i suoi dati sono pi

dispersi o semplicemente perch il numero degli scarti

pi elevato?

Corso di Statistica


13/25


(mmHg)

PA sistolica(mmHg)

1 M 40 70 1102 F 40 90 95

3 F 50 80 130

70 M 55 70 95

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 050.15055...50605050

620.105055...505050405040

505070

55...504040

222

1

2

2222

1

2

21

=+++=

=++++=

==++++=

=

=

n

i

i

n

i

i

x

x


(mmHg)

PA sistolica

(mmHg)1 M 50 75 100

2 F 60 90 95

3 F 75 88 97

4 F 40 86 94

5 M 25 84 95

Corso di Statistica


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VARIANZA

Definiamo varianza il rapporto tra la devianza e il

numero delle osservazioni:

( )

N

mXi i =

2

2

La devianza non contiene linformazione del numero di

osservazioni N utilizzate nel calcolo

Corso di Statistica


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(mmHg)

PA sistolica(mmHg)

1 M 40 70 1102 F 40 90 95

3 F 50 80 130

70 M 55 70 95


(mmHg)

PA sistolica

(mmHg)1 M 50 75 100

2 F 60 90 95

3 F 75 88 97

4 F 40 86 94

5 M 25 84 95

050.150

620.1050

22

11

==

==

dev

dev

Var1 = 151,71

Var2 = 210

La seconda distribuzione per et presenta una

maggiore dispersione intorno alla media

Corso di Statistica


16/25

VARIANZA CAMPIONARIA

In campo biostatistico si preferisce utilizzare la formula dellavarianza campionaria

Per N molto grande ininfluente ai fini del risultato dellavarianza dividere per N o N-1.

Per N molto piccolo se dividiamo la devianza per N-1 rispetto

a N otterremo una varianza campionaria maggiore rispetto aquella semplice.

Le N-1 osservazioni costituiscono i gradi di libert, cio leosservazioni indipendenti nel calcolo della varianza.

( )

1

2

2

=

N

mXS

i i

Corso di Statistica


17/25

VARIANZA CAMPIONARIAIn campo biostatistico si preferisce utilizzare la formula della varianza

campionaria

Per N molto grande ininfluente ai fini del risultato della varianzadividere per N o N-1.

Per N molto piccolo se dividiamo la devianza per N-1 rispetto a Notterremo una varianza campionaria maggiore rispetto a quellasemplice.

Le N-1 osservazioni costituiscono i gradi di libert, cio le osservazioniindipendenti nel calcolo della varianza.

Per semplificare i calcoli si pu utilizzare questa formula:

( )

1

2

2

=

N

mXS

i i

Corso di Statistica

( )

= n

xx

nS

i

i

2

22

1

1


18/25

DEVIAZIONE STANDARD

La variabilit deve essere associata alla tendenza centrale perfornire una descrizione completa di un fenomeno.

Il valore della varianza deriva dal quadrato degli scarti dalla mediaed ha un ordine di grandezza differente dal dato originale.

Per un problema di interpretazione del dato convenienteesprimere la variabilit con lo stesso ordine di grandezza dellemedie: trasformiamo la varianza sotto il segno di radice eotteniamo la

Deviazione standard o

scarto quadratico medio

che rappresenta la dispersione di una serie di dati

( )n

mX

n

ii = =1

2

Corso di Statistica


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INDICE DI VARIABILITA RELATIVA:

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

100CV% =

Il coefficiente di variazione un indice numerico puro

Che si ottiene mettendo in rapporto la deviazione

standard con la media. Si esprime come percentuale

ed adatto a confronti tra situazioni diverse.

Corso di Statistica


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(mmHg)

PA sistolica (mmHg)

1 M 50 75 100

2 F 47 90 95

3 F 74 88 97

4 F 40 86 94

5 M 61 84 95


(mmHg)

PA sistolica (mmHg)

1 M 28 70 110

2 F 45 90 95

3 F 50 80 130

4 F 63 85 85

5 M 80 75 95

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9,75

80758085808080908070

8,55

6,84846,84866,84886,84906,8475

805

75...706,845

4868889075

22222

2

22222

1

2

1

21

1

=++++=

=++++

=

=

=++==++++==

=

=

n

x

n

x

n

i

i

n

i

i

1_Esempio di confronto tra variabilit

Corso di Statistica


21/25

Paziente Sesso Et Glicemia

(mg/100ml)

Calcemia

(mg/100ml)

1 M 50 85 8

2 F 37 80 10

3 F 63 70 9

4 M 41 90 5

5 M 36 100 13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 91,25913959991098

18,115

851008590857085808585

9

5

135910885

5

10090708085

22222

2

22222

1

2

1

21

1

=++++

=

=++++

=

=

=++++

==++++

==

=

=

n

x

n

x

n

i

i

n

i

i

2_Esempio di confronto tra variabilit

Corso di Statistica


22/25

%39,321009

91,2100CV%(2)

%15,1310085

18,11100CV%(1)

mg/100ml91,2mg/100ml9Calcemia

mg/100ml18,11mg/100ml85Glicemia

2

2

1

1

22

11

===

===

==

==

Confrontando i coefficienti di variazione risulta pi variabile

la calcemia

Corso di Statistica

C S


23/25

codice paziente et Posizione et

1 62 1 30

2 39 2 39

3 46 3 46

4 53 4 46

5 54 5 47

6 68 6 52

7 63 7 53

8 62 8 54

9 67 9 57

10 30 10 60

11 66 11 61

12 46 12 62

13 67 13 62

14 70 14 62

15 60 15 63

16 57 16 66

17 62 17 67

18 47 18 67

19 52 19 68

20 61 20 70

1112

201

2

5,602

6160

102

20

2

60,5medianaLa-

6,5620

70...463930

56,6aritmeticamediaLa-

62modaLa-

1

=+=+

=+

==

=++++

==

=

n

n

n

a

n

i

i

Corso di Statistica

C di St ti ti


24/25

codice paziente et Posizione et

1 62 1 30

2 39 2 39

3 46 3 46

4 53 4 46

5 54 5 47

6 68 6 52

7 63 7 53

8 62 8 54

9 67 9 57

10 30 10 60

11 66 11 61

12 46 12 62

13 67 13 62

14 70 14 62

15 60 15 63

16 57 16 66

17 62 17 67

18 47 18 67

19 52 19 68

20 61 20 70

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

63,1020

6,179...8,3096,707

20

4,13...6,176,26

206,5670...6,56396,5630

10,63st.deviazione40range

70massimo

30minimo

A'VARIABILITDIINDICI

6,565,60Mediana

62Moda

CENTRALETENDENZADIINDICI

222

222

1

2

=+++

=

=+++

=

=+++=

=

=

==

=

=

==

=

=

n

an

i

i

Corso di Statistica


25/25

Esercizio

Nella tabella sono il numero di battiti cardiaci al

minuto di un gruppo di studenti

66, 57, 65, 84, 48 56, 76, 73, 75, 76,, 6, 69, 70, 70,

71, 85, 68. Calcolare il range, la distribuzione di frequenze

relative, usndo classi di ampiezza pari a 25; la moda, i

quartili, la mediana, il coefficiente di variazione dei

primi 3 studenti.

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