4^ puntata

REALI

Vediamo dove siamo con i nostri ampliamenti numerici …

Concetti matematici importanti trovati le scorse lezioni

CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

INSIEME INFINITO

NUMERABILITA’

DENSITA’

• Il procedimento matematico di generalizzazione porta ad estendere un dominio con l'introduzione di nuovi simboli, in modo tale che le leggi che valgono nel dominio originario continuino a valere nel dominio più esteso.

• L’ estensione del concetto di numero diviene possibile con la creazione di nuovi numeri sotto forma di simboli astratti, come 0, - 2, 3/4 ,π.

• Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci riesce difficile credere che fino al secolo XVII non venisse generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei numeri interi positivi

• Responsabile di questa esitazione a compiere un passo inevitabile fu la tipica tendenza umana di tenersi al «concreto».

• Soltanto nel regno dell'astratto si può creare un sistema aritmetico soddisfacente. 

I numeri reali

Il nuovo ampliamento numerico è   l’insieme dei numeri reali

Il termine numero reale è stato coniato da G. Cantor nel 1883 in una sua pubblicazione sui fondamenti della teoria degli insiemi, in contrapposizione al termine numero immaginario.

Perché abbiamo bisogno di nuovi numeri?

Riepilogo operazioniN Z Q ?

Addizione interna si si si

Sottrazione interna no si si

Moltiplicazione interna si si si

Divisione interna no no si

Elevamento a potenza si Si/no Si/no

Estrazione di radice quadrata no no no

Radice quadrata

  Sia  r є Q, un elemento  t є Q  tale che   t 2= r  si dice radice quadrata di  r, e si indica con  .

t = √r

Questa operazione non è sempre possibile; ad esempio si ha ovviamente che • se  r  <0,  nessun numero t є Q può

soddisfare la relazione  t = √ r,  poiché  t 2   è comunque un numero positivo.  

• Ma anche quando  r  > 0, non è detto esista t є Q  con  t 2 = r . 

√2 non è razionale • Supponiamo per assurdo che esistano due numeri interi p e q tali che

• Possiamo supporre che la frazione sia irriducibile, ovvero che p e q siano primi fra loro. Avremo

p2 = 2 q 2

• Ne segue che 2 divide p 2 ,e se p 2 è pari lo è anche p. Quindi p = 2k per qualche k є N . Otteniamo:

(2 k )2 = 2 q 2 , cioè 2 k 2 = q 2

• ma allora anche q 2 è pari e anche q, in contraddizione con il fatto che p e q siano primi fra loro.

• Dunque deve essere falsa l'ipotesi iniziale, cioè √2 non può essere razionale.

Ricordiamoci che tutta la costruzione matematica poggia sugli insiemi numerici, via via ampliati per rispondere alla necessità di risolvere nuovi problemi:

• bisogna “saper contare” e allora si opera con l’insieme dei numeri naturali N;

• bisogna “dare e avere” e allora si opera con l’insieme dei numeri interi Z;

• bisogna “misurare” e allora si opera con l’insieme dei numeri razionali Q, cioè con i numeri che possono essere rappresentati mediante frazioni;

non sempre è però possibile esprimere la misura di una grandezza come frazione di un’altra.

• Un tipico esempio è dato da il lato di un quadrato e la sua diagonale.

• La dimostrazione citata prima, considerata da P.Erdos come una delle più belle di tutta la matematica, risale ad Euclide (III sec. A .C.) ed era strettamente collegata al teorema di Pitagora.

• L'approccio di Euclide mette in evidenza che i numeri dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) non potevano svolgere direttamente il ruolo di rappresentare le lunghezze di segmenti.

• Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza l dell‘ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza 1, è tale che l2 = 2.

• Come abbiamo visto, è facile mostrare che una tale l non è esprimibile come frazione.

Per risolvere l'apparente contraddizione Euclide (visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo ,~367 a.C -283 a. C.), nel V libro degli Elementi, sviluppa una raffinata teoria dei rapporti tra grandezze distinguendo tra grandezze commensurabili e incommensurabili. Per le prime il rapporto è un numero razionale, per le seconde un numero irrazionale

RAFFAELLO- Scuola di Atene

lato e diagonale di un quadrato sono un efficace esempio di grandezze

è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di

volte tanto nel lato quanto nella diagonale

incommensurabili :

• Se si fissa un segmento unità di misura si può associare ad ogni razionale un punto su una retta.

• Però non si ha la corrispondenza inversa in quanto esistono sulla retta infiniti punti a cui non corrisponde alcun razionale.

• Se si vuole un sistema numerico che mantenga la qualità di essere completa, senza lacune, ossia continua propria della retta, bisogna creare nuovi numeri poiché i razionali non bastano.

• per "riempire la retta", dobbiamo ampliare l'insieme numerico

che consideriamo.• Come porre su una retta orientata i numeri irrazionali ?

Facciamo l'esempio della radice quadrata di  2 .

• Così avremo

0 1√2

Il problema è ora come rappresentare i numeri reali

indipendentemente dalla rappresentazione sulla

retta

Cerchiamo di definire gli ‘elementi mancanti ‘, riprendendo il problema di trovare un numero che al quadrato faccia 2.

  Possiamo considerare dei numeri decimali finiti che

approssimino  per difetto oppure per eccesso la quantità  cercata.

• Consideriamo i numeri:    1 ; 1,4  ;  1,41  ;   1,414 ; ……  (cioè i razionali che elevati al quadrato  danno un valore  < 2),• E poi i numeri:                2 ;  1,5 ;  1,42 ;  1,415 ; ………  (cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore  > 2).

•   Come possiamo allora "riempire il buco" che abbiamo sulla retta in corrispondenza del "numero che al quadrato fa 2" ?

il numero: 1,4145... sta fra tutti i decimali finiti che al quadrato sono < 2  e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due (naturalmente questo decimale non può essere periodico, altrimenti sarebbe un numero razionale). . 

Esso è il numero che cerchiamo? Per quanto abbiamo appena detto, elevato al quadrato esso non può

essere né maggiore né minore di due, quindi ci deve dare proprio 2!  Certo non è un problema di poco conto che c’è un allineamento di cifre

illimitato…

I numeri decimali non periodici (quindi non in  Q ) si dicono numeri irrazionali.  Chiamiamo

• L’ insieme dei numeri reali, R come l'insieme formato da tutti i possibili decimali finiti ed infiniti, periodici (razionali) o non periodici (irrazionali). 

Rappresentano ad esempio dei numeri reali (irrazionali) espressioni come:

3,101001000100001...  ;   0,1234567891011121314151617... ;  dove la "legge" con si succedono le cifre è chiara, ma non c'è periodicità.

La periodicità dipende dalla base del sistema

• Ad esempio

1/3 =(0, 333…) 10= (0,1) 3 ;

3/2 =(1.5) 10 =(1.222…) 5,

½ =(0,5) 10 =(0,111…) 3 ;

• Possiamo fare una prima classificazione dei numeri reali, distinguendo i due sottoinsiemi dei numeri razionali e degli irrazionali

irrazionali

Q

Altra classificazione dei R Esiste un’ altra classificazione dei numeri reali: essi possono essere

algebrici oppure trascendenti.

• I numeri si dicono algebrici quando sono radici di una equazione polinomiale del tipoa0 xn + a1 xn-1 + ……. + an-1 x + an = 0dove a0 , a1 , ……… , an-1 , an sono coefficienti interi.

• I numeri si dicono trascendenti quando non possono essere soluzioni di nessuna equazione polinomiale del tipo sopraddetto.

• I numeri reali razionali sono tutti algebrici:5 è soluzione dell’equazione 2x-10 = 01/4 è soluzione dell’equazione 4x-1 = 0

• I numeri reali irrazionali possono essere algebrici:√2 è soluzione dell’equazione x2– 2 = 0

ma possono essere anche trascendenti; Solo nel 1844 Il matematico francese Liouville dimostrò per primo

l’esistenza dei numeri trascendenti .

Nel 1882 il matematico tedesco Lindemann dimostrò che Π è un numero trascendente. 

Secondo voi sono ‘di più’ i numeri algebrici o i trascendenti?

Anche se vi può sembrare strano, l’insieme dei numeri algebrici, si può dimostrare essere numerabile (tranquilli, non lo facciamo!) e mentre l’insieme dei trascendenti non lo è.

Perché sono pochi o perché ce ne sono ‘troppi’?

Rappresentazione decimale• Ogni numero reale può essere espresso (almeno in teoria) con

la numerazione decimale, come un numero avente un'infinità di cifre dopo la virgola. Vista l'impossibilità di scrivere infinite cifre, il numero viene spesso espresso in modo inesatto nella forma 324,823211247... dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre cifre.

• Questo procedimento di approssimazione in realtà consiste nello scrivere un numero razionale molto vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione.

• Ad esempio, π può essere approssimato come segue Π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971

69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...

La rappresentazione decimale, molto utile nelle scienze applicate, presenta molti difetti dal punto di vista matematico, ad esempio:

• la somma e la moltiplicazione fra numeri reali non si effettuano "cifra per cifra" nel modo solito, perché dovremmo "partire da destra",

• la rappresentazione è ancorata alla scelta della base 10, e quindi non è "canonica".

Per questo motivo i matematici preferiscono definire e trattare i numeri reali con altre notazioni più astratte,ad es. i simboli π o i radicali

Storia dei radicali• Platone (circa 400 a.C.) nel dialogo Teeto, parla di √2 come di

un numero non rappresentabile come rapporto e usa, per la prima volta, il termine “irrazionale”;

• Euclide negli Elementi (3° sec. a.C.) riprende il concetto di irrazionalità nel suo stile preciso e rigorosa

• Fibonacci, nel suo Liber Abaci, in maniera decisamente più moderna presenta una dimostrazione dell’impossibilità di esprimere un radicale come rapporto tra numeri interi

• N. Chuquet, verso la fine del 1400, introduce il simbolo R 2 che è l’equivalente della nostra attuale radice quadrata;

• Il simbolo che usiamo noi ‘√ ’ apparve per la prima volta nel 1525 nell’opera intitolata Die Coss (che potremmo tradurre come “l’incognita” o “la cosa”) del matematico tedesco Christolph Rudolff, vissuto nella prima metà del ’500.

•  Il libro aveva, tra gli altri scopi, quello di contribuire a diffondere, in un’epoca di sviluppo impetuoso e talvolta turbolento della matematica, nuove notazioni che fossero condivise da tutti gli studiosi.

•   Secondo alcuni il simbolo introdotto da Rudolff, che si è conservato praticamente inalterato fino ai giorni nostri, sarebbe una stilizzazione della lettera r, iniziale della parola latina radix (ricordiamo che il latino è stato a lungo la lingua comune degli ambienti scientifici europei). Questa ipotesi è certamente plausibile, anche se mancano conferme stringenti.

•      Una notazione precedente all’introduzione del nuovo simbolo,utilizzava il fatto che la radice quadrata di un numero dato può essere pensata come il lato di un quadrato avente area assegnata, e la radice cubica come lo spigolo di un cubo di volume dato. Usava notazioni del tipo: l (è l’iniziale di latus cioè lato di un quadrato) e lc sta per latus cubicus (vale a dire spigolo di un cubo)

ordinamento

• R è un insieme totalmente ordinato

• Presi comunque due numeri reali distinti si può sempre stabilire quale è il maggiore e quale il minore,essendo rappresentabili su di una retta

• l'insieme R non possiede né un primo né un ultimo elemento

Altre caratteristiche di R

• E’ un insieme denso, ma non solo…

Quanti sono gli elementi di R?

Infiniti

E’ un insieme numerabile?

Cominceremo col dimostrare che non è numerabile un sottoinsieme dei reali, quello formato dai reali compresi tra 0 e 1.

Ne scaturirà che non potrà esserlo l’insieme di tutti i R

• Dimostriamo che non è numerabile l’insieme dei R compresi nell’intervallo tra 0 e 1

• supponiamo di aver potuto ordinare tutti gli elementi di tale insieme, avendo dato dei numeri una rappresentazione decimale illimitata, cioè supponiamo per assurdo tale insieme numerabile:

• 0,a1 b1 c1 d1 e1....0,a2 b2 c2 d2 e2....0,a3 b3 c3 d3 e3....0,a4 b4 c4 d4 e4....0,a5 b5 c5 d5 e5....

………………….• Formiamo ora un nuovo numero prendendo la prima cifra

decimale a diverso da a1, la seconda b diverso da b2, c da c2 etc...Tale numero

0,abcde...

per costruzione è diverso da tutti i numeri della lista, quindi la lista non può essere completa. Cvd.

• In questo modo G. Cantor aveva dimostrato l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali, egli avanzò l 'ipotesi del continuo :

• Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali.Matematicamente parlando, la cardinalità degli interi è indicata con Ҳ0 ( aleph con zero) e la cardinalità dei numeri reali è Ҳ1 (aleph con uno)

• Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali, chiamata appunto il continuo .

• Cantor era convinto della verità dell'ipotesi del continuo, e tentò invano per molti anni di dimostrarla.

• Essa divenne la prima nella lista dei problemi (oggi noti come Problemi di Hilbert ) che il grande matematico D. Hilbert presentò al Congresso Matematico Internazionale di Parigi nell'anno 1900

• Gli studi di Godel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria assiomatica degli insiemi (Zermelo-Fraenkel) l'ipotesi del continuo risulta indecidibile

Il risultato per cui un'affermazione non possa essere né provata né confutata in un certo insieme di assiomi non è sorprendente: il teorema di incompletezza di Goedel afferma esattamente che se un sistema di assiomi è abbastanza potente e senza contraddizioni esisteranno sempre al suo interno affermazioni di questo tipo.

L’ipotesi è però ugualmente disturbante, perché è stato il primo esempio concreto di una affermazione interessante e importante a cui si è potuto dire con sicurezza che era impossibile rispondere con un "sì" o un "no" , a partire dal gruppo di assiomi universalmente accettati per costruire la nostra matematica.

Come definireste voi la proprietà intuitiva di

continuità?

Continuità L'essenza della continuità è riconosciuta da Dedekind

nell'inverso della proprietà che tutti i punti della retta verificano.

Assioma di continuità o di Dedekind : se viene fatta una partizione della retta in due classi in cui ogni elemento di una classe sta a sinistra di ogni elemento dell'altra allora esiste uno e un solo punto dal quale questa partizione è prodotta.

Abbandonando l'intuizione geometrica Dedekind trasferisce

allora al sistema numerico questa proprietà definendo numero reale una sezione di numeri razionali, cioè una coppia di sottoinsiemi non vuoti e disgiunti la cui unione sia l'insieme dei razionali. In questo modo ad ogni sezione corrisponde ora, in analogia con la retta, uno ed un solo numero razionale o irrazionale.

Ci sono due famosi labirinti in cui la nostra ragione spesso si perde problema della libertà e necessità da un lato, dall’altro continuità e infinito" (Leibniz).

Quanti infiniti esistono?

Dato un insieme A di n elementi, tale cioè che | A | = n (cardinalità di A),

l'insieme delle sue parti, ossia l'insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, in simboli P(A), avrà 2n elementi, cioè

• | P(A)| = 2n (cardinalità dell’insieme delle parti di A)

• Cantor dimostrò inoltre che 2 Ҳ0 = Ҳ1 , cioè che la potenza del continuo

ha la stessa cardinalità dell'insieme delle parti di N. • Conseguenza di ciò abbiamo un metodo per costruire insiemi di potenza via

via crescente all'infinito: partendo dai numeri naturali avremo:

|N| = Ҳ0     |P (N)| = 2 Ҳ0      |P (P(N)))| = 2 | P(N)| ...

• Cantor riuscì così a dimostrare l'esistenza di infiniti numeri transfiniti

maggiori di Ҳ0 .

Operazioni in R

I numeri reali sono un insieme di numeri su cui ovviamente si possono fare tutte le operazioni, che corrisponderanno a quelle, nei suoi sottoinsiemi, come i razionali e i naturali e per esse valgono le stesse proprietà che abbiamo già visto.

Per non appesantire inutilmente la trattazione

dell’argomento, mi limito a qualche cenno alle operazioni con i radicali e precisamente ai radicali quadratici.

Devo però prima completare la definizione di elevamento a potenza

Elevamento a potenzaE’ un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente Consideriamo dapprima n є N• se n>1 an = a*a*a …..*a (per n volte)• se n = 1 , per ogni a

a1 = a, • se n = 0 , per ogni a≠0

a0 = +1,• se n < 0 , per ogni a≠0 an= 1/a-n

Cioè 3-2= 1/9

• Diamo significato anche a potenza con esponente frazionario

Poi con a≥0 e n=p/q є Q• Definiamo an = ap/q = q√ap ,

Considerando solo radicali quadratici an = ap/2 = √ap

Ovvero per esempio: 31/2 = √3; 53/2 = √53

ricordando le proprietà delle potenze sarà facile eseguire le operazioni con i radicali

Proprietà delle potenze(continuano a valere le stesse di N)

• prodotto di potenze di uguale base                anam=an+m

• quoziente di potenze di uguale base               an : am=an-m

• potenza di una potenza                    (an)m=anm

• prodotto di potenze con uguale esponente        anbn=(ab)n

• quoziente di potenze con uguale esponente      an : bn=(a : b)n

Qualche semplice operazione con i radicali

• √3 + √2 = ?• √3 * √2 = ?• √-4 = ?• (√3 )2 = ?• √2 *(√3 + √2 )= ?

• Provate voi !

  Cenni ai numeri complessi  C.

    L'ultima estensione del "campo dei numeri" (a cui accenno soltanto) è quella nella quale si rende possibile l'estrazione di radice quadrata di numeri negativi.  L'ampliamento rispetto all'insieme dei reali avviene essenzialmente attraverso l'introduzione di un  solo nuovo "numero", il numero  i , detto "unità immaginaria"  il quale ha la proprietà:                i2= -1 .

    Definiamo l'insieme dei  Numeri complessi, C, come l'insieme delle espressioni del tipo a+ib , ove a,b siano numeri reali,  ed i è quella che abbiamo denotato come unità immaginaria.

     Nell'espressione di un numero complesso  z = a+ib,   a  viene detta  parte immaginaria  di z  e  b  parte reale  di z .       Per rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta più; avremo invece bisogno di un piano:

Anche in  C varranno le proprietà delle operazioni che avevamo in R , ne avremo inoltre altre come il fatto che nei numeri complessi ogni equazione polinomiale (di qualsiasi grado) ha soluzioni.

• Ma i numeri complessi, che non sono solo utili per risolvere le equazioni, ma anche essenziale per descrivere il mondo naturale: per esempio con le equazioni della meccanica quantistica, perché noi siamo fatti di atomi e quindi siamo fatti di meccanica quantistica.

• I numeri complessi inoltre generano nuovi schemi, soprattutto i frattali che creano delle forme particolarmente complicate che si ripetono all’infinito, e che sembrano rispecchiare i processi naturali che vediamo ripetersi avanti a noi ogni giorno. I frattali ci danno nuovi indizi su processi che devono aver portato alla formazione delle nuvole o delle rocce, hanno la caratteristica, che chiamiamo di autosomiglianza: se ingrandiamo una parte la vediamo simile all’intero, ogni piccolo pezzo riproduce l’intero.

• Gli ampliamenti numerici non sono ancora conclusi: ogni due o trecento anni si arriva a scoprirne uno nuovo.

I frattali sono solo una punta piccolissima di un iceberg enorme che ci dice in realtà come funziona l’universo. Nell’universo esistono strutture molto più sottili, che a livello superficiale creano le cose che conosciamo.

Ecco perché la matematica può essere così entusiasmante: ci fa capire che l’universo è molto più grande e complesso di come noi pensiamo e ce ne dà degli indizi, elaborando i quali possiamo scoprire qualcosa di nuovo

bibliografia• B.Boyer Storia della matematica Mondadori• G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon• Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri

• http://matematica.unibocconi.it/infinito/infinito04.htm• http://math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf• http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/

Numeri.htm• http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm• http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/

somm_cardinal/transfin.htm• http://macosa.dima.unige.it/om/did/mcnum.htm• http://zappedia.com/dettagli/Ipotesi%20del%20continuo