3.1 Introduzione 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.2 Utilità,...

3.1 Introduzione3.1 Introduzione

3.2.1 Conseguenze di una lotteria3.2.1 Conseguenze di una lotteria

3.2.2 Utilità, e utilità attesa3.2.2 Utilità, e utilità attesa

3.3.1 Assicurarsi o correre il rischio?3.3.1 Assicurarsi o correre il rischio?

3.3.2 Chi vuole fare il mestiere dell’assicuratore?3.3.2 Chi vuole fare il mestiere dell’assicuratore?

33Scegliere quando il mondo è incertoScegliere quando il mondo è incerto

3.2 Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie3.2 Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie

3.3 Storie3.3 Storie

EsciEsci

3.2.3 Avversione e propensione al rischio3.2.3 Avversione e propensione al rischio

3.3.3 Scelte sul mercato finanziario3.3.3 Scelte sul mercato finanziario

3.3.4 Ancora delitto e castigo3.3.4 Ancora delitto e castigo

3.3.5 Tassazione progressiva come assicurazione3.3.5 Tassazione progressiva come assicurazione

Una Una lotterialotteria è una situazione nella quale un individuo è una situazione nella quale un individuo

paga una somma per avere la possibilità di ottenere paga una somma per avere la possibilità di ottenere

uno tra i possibili guadagni alternativi, che uno tra i possibili guadagni alternativi, che

dipendono dalla realizzazione di diversi eventi dipendono dalla realizzazione di diversi eventi

casuali.casuali.

Par. 3..2

Una Una scelta in condizioni di incertezzascelta in condizioni di incertezza può essere può essere

pensata come la scelta tra diverse lotterie alle quali pensata come la scelta tra diverse lotterie alle quali

un individuo può partecipare.un individuo può partecipare.

Par. 3..2

Per decidere se partecipare a una lotteria e a quale lotteria Per decidere se partecipare a una lotteria e a quale lotteria

partecipare un individuo deve conoscerepartecipare un individuo deve conoscere le possibili le possibili conseguenzeconseguenze delle diverse lotterie delle diverse lotterie le proprie le proprie preferenzepreferenze relativamente alle possibili relativamente alle possibili

conseguenze di ogni lotteriaconseguenze di ogni lotteria

Par. 3..2.1

Le conseguenze di una lotteria possono essere descritte Le conseguenze di una lotteria possono essere descritte

da una da una variabile casualevariabile casuale, cioè da una variabile che può , cioè da una variabile che può

assumere uno solo tra valori alternativi, ciascuno con assumere uno solo tra valori alternativi, ciascuno con

una certa probabilità.una certa probabilità.

Par. 3.2.1

VincitaVincita

ProbabilitàProbabilità

00 36X36X

36/3736/37 1/371/37

… … e la probabilità che si vinca una somma pari a 36X è 1/37.e la probabilità che si vinca una somma pari a 36X è 1/37.Alla roulette si punta una somma X su un numero: se esce quel Alla roulette si punta una somma X su un numero: se esce quel

numero si vince 36 X, se non esce quel numero non si vince numero si vince 36 X, se non esce quel numero non si vince

nulla.nulla.

Quindi, poiché alla roulette possono uscire 37 numeri, cioè i Quindi, poiché alla roulette possono uscire 37 numeri, cioè i

numeri da 0 a 36, la probabilità che la vincita sia 0 è 36/37... numeri da 0 a 36, la probabilità che la vincita sia 0 è 36/37...

Come sono fatte le variabili che descrivono l’esito di queste Come sono fatte le variabili che descrivono l’esito di queste

lotterie?lotterie?

Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata alla Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata alla

roulette e della scommessa sul lancio di una moneta. roulette e della scommessa sul lancio di una moneta.

Par. 3.2.1

VincitaVincita


00 2X2X

1/21/2 1/21/2

Supponiamo che si punti la somma X sul fatto che dal lancio di Supponiamo che si punti la somma X sul fatto che dal lancio di

una moneta non truccata esca testa: se esce croce non si una moneta non truccata esca testa: se esce croce non si

guadagna nulla, se esce testa si guadagna 2X.guadagna nulla, se esce testa si guadagna 2X.

… … e la probabilità che la vincita sia 2X è 1/2. e la probabilità che la vincita sia 2X è 1/2. La probabilità che non si vinca nulla è 1/2 ... La probabilità che non si vinca nulla è 1/2 ...

Par. 3.2.1

Per valutare le conseguenze di una lotteria possiamo Per valutare le conseguenze di una lotteria possiamo

calcolare due caratteristiche della variabile casuale che calcolare due caratteristiche della variabile casuale che

descrive il suo esito:descrive il suo esito:

il valore atteso il valore atteso la varianzala varianza

2020 21212424 2929 2424 3030 2121 2424 2323MediaMedia = ( + + + + = ( + + + + + + + + )+ + + + )

Supponete di avere ottenuto questi 9 votiSupponete di avere ottenuto questi 9 votiCome calcolate la vostra media ?Come calcolate la vostra media ?

/ 9/ 9 = = 2424

Solitamente sommate i voti e li dividete per il numero dei voti.Solitamente sommate i voti e li dividete per il numero dei voti.

Par. 3.2.1

VotoVoto

FrequenzaFrequenza

2020 2121 2323 2424 2929 3030

1/91/9 2/92/9 1/91/9 3/93/9 1/91/9 1/91/9

Calcolate la frequenza con la quale avete ottenuto ciascun voto.Calcolate la frequenza con la quale avete ottenuto ciascun voto.

20 ·20 · 1/91/9 21 ·21 · 2/92/9 23 ·23 ·1/91/9 24 ·24 ·3/93/9 29 ·29 ·1/91/9 30 ·30 · 1/91/9

Moltiplicate ciascun voto per la sua frequenza.Moltiplicate ciascun voto per la sua frequenza.Considerate i diversi voti che avete preso.Considerate i diversi voti che avete preso.

+ + + + + + + ++ +

Per calcolare la media dei vostri voti, però, potete procedere in Per calcolare la media dei vostri voti, però, potete procedere in

questo modo.questo modo.

MediaMedia 24 24

Sommate i risultati di questi prodotti ...Sommate i risultati di questi prodotti ...… … e otterrete la media.e otterrete la media.

Par. 3.2.1

2020 21212424 2929 2424 3030 2121 2424 2323MediaMedia = ( + + + + = ( + + + + + + + + )+ + + + ) / 9/ 9 = = 2424

Media Media = 20 ·1/9 + 21 ·2/9 + 23 ·1/9 + 24 ·3/9 + 29 ·1/9 + 30 ·1/9 = = 20 ·1/9 + 21 ·2/9 + 23 ·1/9 + 24 ·3/9 + 29 ·1/9 + 30 ·1/9 = 2424

Media Media = ( 20 ·1 + 21 ·2 + 23 ·1 + 24 ·3 + 29 ·1 + 30 ·1) / 9 = = ( 20 ·1 + 21 ·2 + 23 ·1 + 24 ·3 + 29 ·1 + 30 ·1) / 9 = 2424

Media Media = ( 20 + 21 + 21 + 23 + 24 + 24 + 24 + 29 + 30 ) / 9 = = ( 20 + 21 + 21 + 23 + 24 + 24 + 24 + 29 + 30 ) / 9 = 2424

Considerate, infatti, come calcolate solitamente la media …Considerate, infatti, come calcolate solitamente la media …Il risultato non cambia se ordinate i voti in ordine crescente ...Il risultato non cambia se ordinate i voti in ordine crescente ...… … e dividete ogni addendo per il numero dei voti.e dividete ogni addendo per il numero dei voti. … … raggruppate i voti tra loro uguali ...raggruppate i voti tra loro uguali ...

Par. 3.2.1

VotoVoto


2020 2121 2323 2424 2929 3030

1/91/9 2/92/9 1/91/9 3/93/9 1/91/9 1/91/9

Supponete ora che vi dicano che in un esame potete prendere uno Supponete ora che vi dicano che in un esame potete prendere uno

di questi voti ...di questi voti ...

… … e che la probabilità di prendere questi voti è …e che la probabilità di prendere questi voti è …La probabilità di un evento, comunque sia stata calcolata, La probabilità di un evento, comunque sia stata calcolata,

esprime una convinzione sulla frequenza con la quale esprime una convinzione sulla frequenza con la quale

quell’evento si verificherà. quell’evento si verificherà.

Dunque, se calcolate la media dei possibili esiti interpretando le Dunque, se calcolate la media dei possibili esiti interpretando le

probabilità come loro possibili frequenze, otterrete una valutazione probabilità come loro possibili frequenze, otterrete una valutazione

delle prospettive di voto offerte da questo esame.delle prospettive di voto offerte da questo esame.

Come potete valutare le prospettive di voto offerte da questo Come potete valutare le prospettive di voto offerte da questo

esame?esame?

Valore attesoValore atteso 24 24

Par. 3.2.1

Questa misura è chiamata valore atteso della lotteria.Questa misura è chiamata valore atteso della lotteria.

Consideriamo nuovamente l’esempio della roulette.Consideriamo nuovamente l’esempio della roulette.

VincitaVincita


00 36X36X

36/3736/37 1/371/37

Qual è il valore atteso di questa lotteria?Qual è il valore atteso di questa lotteria?Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ...Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ...

00 36/37 X36/37 XValore atteso 36/37 XValore atteso 36/37 X

Poiché il valore atteso di questa lotteria, 36/37 X, è inferiore al Poiché il valore atteso di questa lotteria, 36/37 X, è inferiore al

costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa

lotteria non è equa.lotteria non è equa.

Par. 3.2.1

… … e sommiamo i risultati così ottenuti.e sommiamo i risultati così ottenuti.

VincitaVincita


00 2X2X

1/21/2 1/21/2

Qual è il valore atteso di questa lotteria?Qual è il valore atteso di questa lotteria?Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ...Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ...

00 XXValore atteso Valore atteso X X

Consideriamo ora l’esempio della moneta.Consideriamo ora l’esempio della moneta.

Par. 3.2.1

Poiché il valore atteso di questa lotteria, X, è uguale al costo che si Poiché il valore atteso di questa lotteria, X, è uguale al costo che si

deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria è deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria è

equa.equa.

… … e sommiamo i risultati così ottenuti.e sommiamo i risultati così ottenuti.

VincitaVincita


00 1010

1/21/2

Consideriamo ora due lotterie, che rappresentano due Consideriamo ora due lotterie, che rappresentano due

scommesse sul risultato del lancio di una moneta.scommesse sul risultato del lancio di una moneta.

Lotteria 1Lotteria 1 Lotteria 2Lotteria 2

44 66

1/21/2 1/21/21/21/2

Nella prima lotteria non si guadagna nulla se esce croce e si Nella prima lotteria non si guadagna nulla se esce croce e si

guadagna 10 se esce testa. guadagna 10 se esce testa.

Nella seconda lotteria si guadagna 4 se esce croce e si guadagna Nella seconda lotteria si guadagna 4 se esce croce e si guadagna

6 se esce testa. 6 se esce testa.

Naturalmente, poiché la moneta non è truccata, la probabilità Naturalmente, poiché la moneta non è truccata, la probabilità

che esca croce oppure testa è sempre 1/2.che esca croce oppure testa è sempre 1/2.

Come si può facilmente calcolare moltiplicando per ogni Come si può facilmente calcolare moltiplicando per ogni

lotteria il prodotto di ciascuno dei possibili esiti per la lotteria il prodotto di ciascuno dei possibili esiti per la

corrispondente probabilità e sommando i risultati, entrambe le corrispondente probabilità e sommando i risultati, entrambe le

lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso, 5.lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso, 5.

55 55Valore attesoValore atteso

Tuttavia, anche se hanno lo stesso valore atteso, le due lotterie Tuttavia, anche se hanno lo stesso valore atteso, le due lotterie

sono chiaramente diverse. sono chiaramente diverse.

La prima lotteria, infatti, mi consente di guadagnare meno se La prima lotteria, infatti, mi consente di guadagnare meno se

le cose vanno male e di guadagnare di più se le cose vanno le cose vanno male e di guadagnare di più se le cose vanno

bene. bene.

Quindi, per valutare le conseguenze di una lotteria è utile avere Quindi, per valutare le conseguenze di una lotteria è utile avere

anche una misura della variabilità dei suoi risultati, cioè della anche una misura della variabilità dei suoi risultati, cioè della

sua rischiosità. sua rischiosità.

Par. 3.2.1

In altri termini, poiché i risultati che si possono ottenere dalla In altri termini, poiché i risultati che si possono ottenere dalla

prima lotteria sono più variabili, cioè sono più lontani dal prima lotteria sono più variabili, cioè sono più lontani dal

valore atteso, la prima lotteria è più rischiosa. valore atteso, la prima lotteria è più rischiosa.

00 00

VincitaVincita


00 1010

1/21/2

Un modo per calcolare la variabilità dei risultati potrebbe Un modo per calcolare la variabilità dei risultati potrebbe

essere quello di calcolare la media degli scostamenti di ciascun essere quello di calcolare la media degli scostamenti di ciascun

possibile esito dal valore atteso. possibile esito dal valore atteso.

44 66

1/21/2 1/21/21/21/2

Par. 3.2.1

Per la prima lotteria questa misura risulterebbe uguale a Per la prima lotteria questa misura risulterebbe uguale a

(0 - 5) (0 - 5) ·1/2 + ·1/2 + (10 - 5) (10 - 5) ·1/2 = - 5/2 + 5/2 = 0.·1/2 = - 5/2 + 5/2 = 0.

Anche per la seconda lotteria, però, questa misura risulterebbe Anche per la seconda lotteria, però, questa misura risulterebbe

uguale a 0, perché sarebbe uguale (4 - 5) uguale a 0, perché sarebbe uguale (4 - 5) ·1/2 + ·1/2 + (6 - 5) (6 - 5) ·1/2 = ·1/2 =

- 1/2 + 1/2 = 0.- 1/2 + 1/2 = 0.

Questo modo di misurare la rischiosità di una lotteria, quindi, è Questo modo di misurare la rischiosità di una lotteria, quindi, è

inadeguato. inadeguato.

Infatti queste due lotterie, che sono caratterizzate da una Infatti queste due lotterie, che sono caratterizzate da una

diversa rischiosità perché i possibili risultati hanno una diversa rischiosità perché i possibili risultati hanno una

variabilità diversa, risulterebbero ugualmente rischiose.variabilità diversa, risulterebbero ugualmente rischiose.

2525

Il rischio che comporta una lotteria, però, può essere valutato Il rischio che comporta una lotteria, però, può essere valutato

calcolando la media dei quadrati degli scostamenti di ciascun calcolando la media dei quadrati degli scostamenti di ciascun

possibile risultato dal valore atteso atteso della lotteria. possibile risultato dal valore atteso atteso della lotteria.

11

Per la seconda lotteria, invece, questa misura è uguale a Per la seconda lotteria, invece, questa misura è uguale a

(4 - 5)(4 - 5)22 ·1/2 + ·1/2 + (6 - 5)(6 - 5)22 ·1/2 = 1/2 + 1/2 = 1·1/2 = 1/2 + 1/2 = 1. .

Questa misura, che è chiamata varianza, è dunque adeguata a Questa misura, che è chiamata varianza, è dunque adeguata a

misurare la rischiosità di una lotteria: quanto più alta è la misurare la rischiosità di una lotteria: quanto più alta è la

varianza, tanto più rischiosa è la lotteria. varianza, tanto più rischiosa è la lotteria.

VarianzaVarianza

55 55Valore attesoValore atteso


Per la prima lotteria, infatti, questa misura è uguale a Per la prima lotteria, infatti, questa misura è uguale a

(0 - 5)(0 - 5)22 ·1/2 + ·1/2 + (10 - 5)(10 - 5)22 ·1/2 = 25/2 + 25/2 = 25·1/2 = 25/2 + 25/2 = 25. .

Da cosa deriva la diversa attitudine al rischio di individui Da cosa deriva la diversa attitudine al rischio di individui

diversi? diversi?

Allora, se non partecipa a questa lotteria, questo individuo di Allora, se non partecipa a questa lotteria, questo individuo di

fatto partecipa a un’altra lotteria, dalla quale può avere 0 con fatto partecipa a un’altra lotteria, dalla quale può avere 0 con

probabilità 0 e 25 con probabilità 1. probabilità 0 e 25 con probabilità 1.

Un individuo può partecipare a una lotteria che prevede un costo Un individuo può partecipare a una lotteria che prevede un costo

pari a 25, ma promette con probabilità 1/2 una vincita pari a 10 pari a 25, ma promette con probabilità 1/2 una vincita pari a 10

e con probabilità 1/2 una vincita pari a 40.e con probabilità 1/2 una vincita pari a 40.

Se un individuo, invece, sceglie di partecipare alla prima lotteria Se un individuo, invece, sceglie di partecipare alla prima lotteria

è propenso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso è propenso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso

egli sceglie quella più rischiosa, cogliendo l’opportunità di egli sceglie quella più rischiosa, cogliendo l’opportunità di

vincere molto e accettando il rischio di perdere molto.vincere molto e accettando il rischio di perdere molto.

Se un individuo sceglie di non partecipare alla prima lotteria è Se un individuo sceglie di non partecipare alla prima lotteria è

avverso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli avverso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli

sceglie quella meno rischiosa, rinunciando all’opportunità di sceglie quella meno rischiosa, rinunciando all’opportunità di

guadagnare molto ed evitando di perdere molto. guadagnare molto ed evitando di perdere molto.

Par. 3.2.2

225225

VincitaVincita


1010 4040

1/21/2

00 2525

111/21/2

2525Valore attesoValore atteso

00

Le due lotterie, dunque, hanno lo stesso valore atteso, 25, ma Le due lotterie, dunque, hanno lo stesso valore atteso, 25, ma

comportano un rischio diverso. comportano un rischio diverso.


VarianzaVarianza

2525

Poiché il valore atteso è 25 e la varianza è 225, questa è una Poiché il valore atteso è 25 e la varianza è 225, questa è una

lotteria equa, anche se rischiosa.lotteria equa, anche se rischiosa.

Per sapere se un individuo deciderà di partecipare a una lotteria Per sapere se un individuo deciderà di partecipare a una lotteria

non è sufficiente conoscere il valore atteso di quella lotteria e la non è sufficiente conoscere il valore atteso di quella lotteria e la

sua varianza.sua varianza.

Consideriamo, infatti, questa situazione.Consideriamo, infatti, questa situazione.E’ neutrale rispetto al rischio, infine, un individuo che è E’ neutrale rispetto al rischio, infine, un individuo che è

indifferente tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma indifferente tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma

comportano un diverso rischio.comportano un diverso rischio.

00

La decisione, ovviamente, dipende dall’attitudine verso il rischio La decisione, ovviamente, dipende dall’attitudine verso il rischio

di chi deve scegliere. di chi deve scegliere.

Se non partecipa a questa lotteria questo individuo non può Se non partecipa a questa lotteria questo individuo non può

vincere nulla, ma è sicuro di avere la somma che avrebbe dovuto vincere nulla, ma è sicuro di avere la somma che avrebbe dovuto

pagare per partecipare alla lotteria. pagare per partecipare alla lotteria.

Chi deve scegliere deciderà di non correre alcun rischio, Chi deve scegliere deciderà di non correre alcun rischio,

rinunciando a partecipare alla prima lotteria ...rinunciando a partecipare alla prima lotteria ...

... oppure deciderà di partecipare alla prima lotteria, ... oppure deciderà di partecipare alla prima lotteria,

affrontando il rischio di ottenere un risultato deludente? affrontando il rischio di ottenere un risultato deludente?

L’utilità che un individuo può aspettarsi di ottenere dalla L’utilità che un individuo può aspettarsi di ottenere dalla

partecipazione a una lotteria, cioè l’utilità attesa della lotteria, è partecipazione a una lotteria, cioè l’utilità attesa della lotteria, è

uguale alla media delle utilità che egli può ottenere da ciascuno uguale alla media delle utilità che egli può ottenere da ciascuno

dei possibili esiti della lotteria.dei possibili esiti della lotteria.

Nella lotteria che stiamo considerando la probabilità di ottenere Nella lotteria che stiamo considerando la probabilità di ottenere

un’utilità pari a 3,162 è 1/2, perché la probabilità di una vincita un’utilità pari a 3,162 è 1/2, perché la probabilità di una vincita

pari a 10 è 1/2 ...pari a 10 è 1/2 ...

Par. 3.2.2

VincitaVincita


1010 4040

1/21/2

3,1623,162

1/21/21/21/2

4,7434,743Utilità attesaUtilità attesa

1/21/2

SommeSomme UtilitàUtilità

6,3256,325

… … e la probabilità di ottenere un’utilità pari a 6,325 è 1/2, perché e la probabilità di ottenere un’utilità pari a 6,325 è 1/2, perché

la probabilità di una vincita pari a 40 è 1/2.la probabilità di una vincita pari a 40 è 1/2.

L’utilità attesa della lotteria, quindi, è pari a 3,162 L’utilità attesa della lotteria, quindi, è pari a 3,162 ·1/2 ·1/2 + +

6,325 6,325 ·1/2 = 1,581 + 3,162 = 4,743·1/2 = 1,581 + 3,162 = 4,743..

Supponiamo di poter misurare l’utilità che un individuo ottiene Supponiamo di poter misurare l’utilità che un individuo ottiene

da ciascuna somma. da ciascuna somma.

Supponiamo, per esempio, che la funzione di utilità sia Supponiamo, per esempio, che la funzione di utilità sia x. Ciò x. Ciò

significa semplicemente che l’utilità che un individuo ottiene significa semplicemente che l’utilità che un individuo ottiene

dalla somma x è misurata da un numero uguale alla radice dalla somma x è misurata da un numero uguale alla radice

quadrata di x.quadrata di x.

… … e l’utilità di una vincita pari a 40 è e l’utilità di una vincita pari a 40 è 40 , cioè è circa 6,325. 40 , cioè è circa 6,325.L’utilità di una vincita pari a 10 è L’utilità di una vincita pari a 10 è 10 , cioè è circa 3,162 ... 10 , cioè è circa 3,162 ...A ciascuna somma, quindi, possiamo far corrispondere un A ciascuna somma, quindi, possiamo far corrispondere un

numero che misura l’utilità che ne ottiene un individuo. numero che misura l’utilità che ne ottiene un individuo.

La regola che fa corrispondere un numero all’utilità ottenuta da La regola che fa corrispondere un numero all’utilità ottenuta da

ciascuna somma è chiamata ciascuna somma è chiamata funzione di utilitàfunzione di utilità..

Qual è l’utilità che si può ottenere da ciascun esito della prima Qual è l’utilità che si può ottenere da ciascun esito della prima

lotteria che abbiamo considerato, che comporta questi possibili lotteria che abbiamo considerato, che comporta questi possibili

esiti?esiti?

Quindi, l’utilità che l’individuo può aspettarsi di ottenere dalla Quindi, l’utilità che l’individuo può aspettarsi di ottenere dalla

seconda lotteria è 5. seconda lotteria è 5.

Par. 3.2.2

VincitaVincita


00 2525

11

00

1100

55Utilità attesaUtilità attesa

00


55

Poiché l’utilità di una vincita pari a 0 è Poiché l’utilità di una vincita pari a 0 è 0 = 0, in questa lotteria 0 = 0, in questa lotteria

vi è la probabilità 0 di ottenere un’utilità pari a 0. vi è la probabilità 0 di ottenere un’utilità pari a 0.

Poiché l’utilità di una vincita pari a 25 è Poiché l’utilità di una vincita pari a 25 è 25 = 5, vi è la 25 = 5, vi è la

probabilità 1 di ottenere un’utilità pari a 5. probabilità 1 di ottenere un’utilità pari a 5.

Qual è invece l’utilità attesa della seconda lotteria, cioè della Qual è invece l’utilità attesa della seconda lotteria, cioè della

lotteria alla quale un individuo di fatto partecipa se non lotteria alla quale un individuo di fatto partecipa se non

partecipa alla prima lotteria?partecipa alla prima lotteria?

Par. 3.2.2

2525 2525

55

VarianzaVarianza 225225

Chi valuta questa situazione non è interessato alle somme che Chi valuta questa situazione non è interessato alle somme che

può guadagnare: è interessato all’utilità che può ottenere dalle può guadagnare: è interessato all’utilità che può ottenere dalle

somme che può guadagnare.somme che può guadagnare.

00

Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la

funzione di utilità funzione di utilità x è avverso al rischio, perché tra due lotterie x è avverso al rischio, perché tra due lotterie

che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella meno rischiosa.che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella meno rischiosa.


Dunque abbiamo la seguente situazione. Dunque abbiamo la seguente situazione.

Utilità attesaUtilità attesa 4,7434,743

Valore attesoValore atteso

La partecipazione alla prima lotteria, però, comporta un rischio, La partecipazione alla prima lotteria, però, comporta un rischio,

perché la prima lotteria offre la possibilità di ottenere una perché la prima lotteria offre la possibilità di ottenere una

vincita più alta, ma comporta anche la possibilità di ottenere una vincita più alta, ma comporta anche la possibilità di ottenere una

vincita più bassa.vincita più bassa.

Un individuo può aspettarsi di ottenere la stessa somma se Un individuo può aspettarsi di ottenere la stessa somma se

decide di partecipare alla prima lotteria oppure se decide di non decide di partecipare alla prima lotteria oppure se decide di non

parteciparvi, perché le due lotterie sono caratterizzate dallo parteciparvi, perché le due lotterie sono caratterizzate dallo

stesso valore atteso.stesso valore atteso.

Allora, se la funzione di utilità di chi deve scegliere è Allora, se la funzione di utilità di chi deve scegliere è x, costui x, costui

preferirà partecipare alla seconda lotteria, perché l’utilità attesa preferirà partecipare alla seconda lotteria, perché l’utilità attesa

della seconda lotteria è superiore a quella della prima lotteria.della seconda lotteria è superiore a quella della prima lotteria.

Un individuo, quindi, sceglierà di partecipare alla lotteria dalla Un individuo, quindi, sceglierà di partecipare alla lotteria dalla

quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore.quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore.

Supponiamo, però, che la funzione di utilità sia xSupponiamo, però, che la funzione di utilità sia x22: l’utilità che : l’utilità che

un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero

pari al quadrato di x.pari al quadrato di x.

Par. 3.2.2

VincitaVincita


1010 4040

1/21/2

100100

1/21/21/21/2


1/21/2


16001600

Quale sarà in queste circostanze l’utilità attesa della prima Quale sarà in queste circostanze l’utilità attesa della prima

lotteria?lotteria?

… … e l’utilità di una somma pari a 40 è 40e l’utilità di una somma pari a 40 è 4022 = 1600. = 1600.… … l’utilità attesa di questa lotteria è l’utilità attesa di questa lotteria è 100 ·1/2 + 1600 ·1/2 = 50 + 100 ·1/2 + 1600 ·1/2 = 50 +

800 = 850. 800 = 850.

Poiché la probabilità di ottenere un’utilità pari a 100 è 1/2 e la Poiché la probabilità di ottenere un’utilità pari a 100 è 1/2 e la

probabilità di ottenere un’utilità pari a 1600 è 1/2 ... probabilità di ottenere un’utilità pari a 1600 è 1/2 ...

L’utilità di una somma pari a 10 ora è 10L’utilità di una somma pari a 10 ora è 1022 = 100 ... = 100 ...

Par. 3.2.2

VincitaVincita


00 2525

11

00

1100


00


625625

Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 0L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 022 = 0 ... = 0 ...… … e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è 25e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è 2522 = 625. = 625.Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità

pari a 625 ...pari a 625 ...

… … l’utilità attesa di questa lotteria è l’utilità attesa di questa lotteria è 0 ·0 + 625 ·1 = 0 + 625 = 0 ·0 + 625 ·1 = 0 + 625 =

625. 625.

Par. 3.2.2

2525 2525

625625

VarianzaVarianza


225225 00


Utilità attesaUtilità attesa 850850

Allora, se la funzione di utilità è xAllora, se la funzione di utilità è x22, abbiamo la seguente , abbiamo la seguente

situazione. situazione.

In questo caso, però, chi deve scegliere, preferirà partecipare In questo caso, però, chi deve scegliere, preferirà partecipare

alla prima lotteria, perché l’utilità attesa della prima lotteria, se alla prima lotteria, perché l’utilità attesa della prima lotteria, se

la funzione di utilità è xla funzione di utilità è x22, è superiore a quella della seconda , è superiore a quella della seconda

lotteria.lotteria.

Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la

funzione di utilità xfunzione di utilità x22 è propenso al rischio, perché tra due lotterie è propenso al rischio, perché tra due lotterie

che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella più rischiosa.che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella più rischiosa.

Anche in questo caso chi deve scegliere deciderà di partecipare Anche in questo caso chi deve scegliere deciderà di partecipare

alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore.alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore.

Par. 3.2.2

VincitaVincita


1010 4040

1/21/2

2020

1/21/2

Utilità attesaUtilità attesa


8080

Supponiamo, infine, che la funzione di utilità sia 2x, cioè che Supponiamo, infine, che la funzione di utilità sia 2x, cioè che

l’utilità che un individuo ottiene dalla somma x sia misurata da l’utilità che un individuo ottiene dalla somma x sia misurata da

un numero pari al doppio di x ...un numero pari al doppio di x ...

… … e riconsideriamo, per l’ultima volta, la prima lotteria.e riconsideriamo, per l’ultima volta, la prima lotteria.L’utilità di una somma pari a 10 ora è L’utilità di una somma pari a 10 ora è 10 ·210 ·2 = 20 ... = 20 ...… … e l’utilità di una somma pari a 40 è e l’utilità di una somma pari a 40 è 40 ·240 ·2 = 80. = 80.Poiché la probabilità di ottenere un utilità pari a 20 è 1/2 e la Poiché la probabilità di ottenere un utilità pari a 20 è 1/2 e la

probabilità di ottenere un’utilità pari a 80 è 1/2 ... probabilità di ottenere un’utilità pari a 80 è 1/2 ...

1/21/2 1/21/2

5050

… … l’utilità attesa di questa lotteria è l’utilità attesa di questa lotteria è 20 ·1/2 + 80 ·1/2 = 10 + 40 = 20 ·1/2 + 80 ·1/2 = 10 + 40 =

50. 50.

Par. 3.2.2

VincitaVincita


00 2525

11

00

1100


00


5050

Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 0 ·20 ·2 = 0 ... = 0 ...… … e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è 25 ·225 ·2 = 50. = 50.Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità

pari a 50 ...pari a 50 ...

… … l’utilità attesa di questa lotteria è l’utilità attesa di questa lotteria è 0 ·0 + 50 ·1 = 0 + 50 = 50. 0 ·0 + 50 ·1 = 0 + 50 = 50.

Par. 3.2.2

2525 2525

5050

VarianzaVarianza


225225 00


Utilità attesaUtilità attesa 5050

Allora, se la funzione di utilità è Allora, se la funzione di utilità è 2x 2x , abbiamo la seguente , abbiamo la seguente

situazione. situazione.

In questo caso per chi deve scegliere è indifferente partecipare In questo caso per chi deve scegliere è indifferente partecipare

alla prima oppure alla seconda lotteria, perché le due lotterie alla prima oppure alla seconda lotteria, perché le due lotterie

hanno la stessa utilità attesa.hanno la stessa utilità attesa.

Dunque, un individuo che ha la funzione di utilità 2x è neutrale Dunque, un individuo che ha la funzione di utilità 2x è neutrale

rispetto al rischio, perché per costui due lotterie che hanno lo rispetto al rischio, perché per costui due lotterie che hanno lo

stesso valore atteso ma un rischio diverso sono ugualmente stesso valore atteso ma un rischio diverso sono ugualmente

interessanti.interessanti.

Par. 3.2.2

In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità

rispetto al rischio dipendono dalla funzione di utilità di chi deve rispetto al rischio dipendono dalla funzione di utilità di chi deve

scegliere. scegliere.

Funzione di utilità Attitudine al rischio

AvversioneAvversione

PropensionePropensione

NeutralitàNeutralità

xx

xx22

2x2x

In particolare, abbiamo visto che vi sono queste corrispondenze In particolare, abbiamo visto che vi sono queste corrispondenze

tra funzioni di utilità e attitudine al rischio. tra funzioni di utilità e attitudine al rischio.

Perché vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e Perché vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e

attitudini verso il rischio? attitudini verso il rischio?

00 Somma Somma

Attitudine al rischioAttitudine al rischio

11

11

11

11

11

11

Par. 3.2.3

Inoltre, questa curva deve essere crescente: quanto più Inoltre, questa curva deve essere crescente: quanto più alta è la somma che possiedo, tanto più alta è l’utilità che alta è la somma che possiedo, tanto più alta è l’utilità che ottengo dal denaro.ottengo dal denaro.

Questa curva è una retta se l’utilità addizionale che Questa curva è una retta se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale non cambia quando ottengo da un euro addizionale non cambia quando aumenta la somma che possiedo.aumenta la somma che possiedo.

Infine questa curva è concava se l’utilità addizionale che Infine questa curva è concava se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale, cioè l’utilità marginale del ottengo da un euro addizionale, cioè l’utilità marginale del denaro, è tanto più piccola quanto più alta è la somma denaro, è tanto più piccola quanto più alta è la somma che già possiedo.che già possiedo.

Possiamo quindi tracciare una curva che rappresenta la Possiamo quindi tracciare una curva che rappresenta la funzione di utilità.funzione di utilità.Questa curva deve passare per l’origine degli assi, perché Questa curva deve passare per l’origine degli assi, perché non ottengo nessuna utilità dal denaro se non ho denaro.non ottengo nessuna utilità dal denaro se non ho denaro.La funzione di utilità consente di associare a ogni somma La funzione di utilità consente di associare a ogni somma l’utilità che può ottenere da quella somma chi la possiede.l’utilità che può ottenere da quella somma chi la possiede.Questa curva è convessa se l’utilità addizionale che Questa curva è convessa se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale è tanto più grande quanto ottengo da un euro addizionale è tanto più grande quanto più alta è la somma che già possiedo.più alta è la somma che già possiedo.

Uti

lit

Uti

lit

àà

111111

ValoreValoreattesoatteso

EE

AA

FF

CC

GG

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.2.3

BB

DD

UtilitàUtilitàattesaattesa

00 Somma Somma

Attitudine al rischioAttitudine al rischioAllora, se la funzione di utilità del denaro è concava, cioè se l’utilità Allora, se la funzione di utilità del denaro è concava, cioè se l’utilità marginale del denaro è decrescente, un individuo è avverso al marginale del denaro è decrescente, un individuo è avverso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella meno rischiosa. quella meno rischiosa.

Se partecipa alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che Se partecipa alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OA ...egli vinca la somma OA ...Se decide di partecipare alla lotteria, invece, vi è una probabilità Se decide di partecipare alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OE, perché vi è una pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OE, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OA ... probabilità pari a 1/2 che vinca OA ...

… … e una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OC.e una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OC.Se decide di non partecipare alla lotteria, però, Rossi può aspettarsi Se decide di non partecipare alla lotteria, però, Rossi può aspettarsi di ottenere un’utilità pari a OD, perché è sicuro di ottenere la di ottenere un’utilità pari a OD, perché è sicuro di ottenere la somma OB. somma OB.

… … e vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OF, e vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OF, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OC. perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OC. Supponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro per un Supponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro per un individuo che si chiama Rossi sia concava, cioè che l’utilità individuo che si chiama Rossi sia concava, cioè che l’utilità marginale del denaro sia decrescente.marginale del denaro sia decrescente.

L’utilità attesa della lotteria, quindi, è OE ·1/2 + OF ·1/2 = OG. L’utilità attesa della lotteria, quindi, è OE ·1/2 + OF ·1/2 = OG. Rossi dunque sceglierà di non partecipare alla lotteria, perché Rossi dunque sceglierà di non partecipare alla lotteria, perché l’utilità che egli si aspetta di ottenere dalla lotteria, OG, è inferiore l’utilità che egli si aspetta di ottenere dalla lotteria, OG, è inferiore all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OD. all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OD.

Se non partecipa alla lotteria Rossi non ha alcuna probabilità di Se non partecipa alla lotteria Rossi non ha alcuna probabilità di vincere qualcosa, ma è sicuro di avere la somma OB.vincere qualcosa, ma è sicuro di avere la somma OB.Supponiamo, inoltre, che Rossi debba scegliere se partecipare a una Supponiamo, inoltre, che Rossi debba scegliere se partecipare a una lotteria equa che costa la somma OB.lotteria equa che costa la somma OB.Poiché OA ·1/2 + OC ·1/2 = OB, indipendentemente da ciò che Poiché OA ·1/2 + OC ·1/2 = OB, indipendentemente da ciò che deciderà di fare Rossi può aspettarsi di ottenere in media la somma deciderà di fare Rossi può aspettarsi di ottenere in media la somma OB ... OB ...

… … perché questo è sia il valore atteso della lotteria che gli è stata perché questo è sia il valore atteso della lotteria che gli è stata proposta, sia il valore atteso della lotteria alla quale di fatto proposta, sia il valore atteso della lotteria alla quale di fatto partecipa se decide di non partecipare alla lotteria che gli è stata partecipa se decide di non partecipare alla lotteria che gli è stata proposta. proposta.

AAMM

CC

NN

PP

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.2.3

BB

LL

00 Somma Somma

Attitudine al rischioAttitudine al rischioSupponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro di un Supponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro di un altro individuo, che si chiama Verdi, sia convessa, cioè supponiamo altro individuo, che si chiama Verdi, sia convessa, cioè supponiamo che per Verdi l’utilità marginale del denaro sia crescente.che per Verdi l’utilità marginale del denaro sia crescente.

Quindi, se la funzione di utilità del denaro è convessa, cioè se Quindi, se la funzione di utilità del denaro è convessa, cioè se l’utilità marginale del denaro è crescente, un individuo è propenso l’utilità marginale del denaro è crescente, un individuo è propenso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella più rischiosa. quella più rischiosa.

Se non partecipa alla lotteria, Verdi ottiene un’utilità pari a OL, Se non partecipa alla lotteria, Verdi ottiene un’utilità pari a OL, perché ha la certezza di avere la somma OB che non spende per perché ha la certezza di avere la somma OB che non spende per partecipare alla lotteria.partecipare alla lotteria.

… … e una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità ON, perché ha e una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità ON, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC.una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC.Se partecipa alla lotteria, invece, ha una probabilità pari a 1/2 di Se partecipa alla lotteria, invece, ha una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità OM, perché ha una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità OM, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA ...vincere la somma OA ...

Supponiamo, inoltre, che Verdi debba decidere se partecipare alla Supponiamo, inoltre, che Verdi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi ha deciso di non partecipare.stessa lotteria alla quale Rossi ha deciso di non partecipare.Allora, poiché l’utilità che Verdi può aspettarsi dalla partecipazione Allora, poiché l’utilità che Verdi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OP, è superiore all’utilità che egli ottiene se non alla lotteria, OP, è superiore all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OL, Verdi sceglierà di partecipare alla partecipa alla lotteria, OL, Verdi sceglierà di partecipare alla lotteria. lotteria.


Dunque, l’utilità che Verdi può aspettarsi di ottenere dalla lotteria è Dunque, l’utilità che Verdi può aspettarsi di ottenere dalla lotteria è OM ·1/2 + ON ·1/2 = OP. OM ·1/2 + ON ·1/2 = OP.

AA CC

RR

SS

QQ

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.2.3

BB


00 Somma Somma

Attitudine al rischioAttitudine al rischioSupponiamo inoltre che Bianchi debba decidere se partecipare alla Supponiamo inoltre che Bianchi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi non ha voluto partecipare e alla stessa lotteria alla quale Rossi non ha voluto partecipare e alla quale Verdi ha scelto di partecipare. quale Verdi ha scelto di partecipare.

Supponiamo infine che la funzione di utilità di un individuo che si Supponiamo infine che la funzione di utilità di un individuo che si chiama Bianchi sia lineare, cioè supponiamo che l’utilità marginale chiama Bianchi sia lineare, cioè supponiamo che l’utilità marginale del denaro per Bianchi sia costante. del denaro per Bianchi sia costante.

Anche Bianchi, se non partecipa alla lotteria, può aspettarsi di Anche Bianchi, se non partecipa alla lotteria, può aspettarsi di ottenere la somma OB, dalla quale ottiene l’utilità OQ. ottenere la somma OB, dalla quale ottiene l’utilità OQ. Se partecipa alla lotteria, però, anche Bianchi ha una probabilità Se partecipa alla lotteria, però, anche Bianchi ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA, dalla quale otterrebbe l’utilità pari a 1/2 di vincere la somma OA, dalla quale otterrebbe l’utilità OR ... OR ...

… … e una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC, dalla quale e una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC, dalla quale otterrebbe l’utilità OS. otterrebbe l’utilità OS. Per Bianchi, dunque, l’utilità attesa della lotteria, è OR ·1/2 + Per Bianchi, dunque, l’utilità attesa della lotteria, è OR ·1/2 + OS ·1/2 = OQ. OS ·1/2 = OQ. Allora, poiché l’utilità che Bianchi può aspettarsi dalla Allora, poiché l’utilità che Bianchi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OQ, è uguale all’utilità che egli ottiene partecipazione alla lotteria, OQ, è uguale all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, per Bianchi è indifferente partecipare se non partecipa alla lotteria, per Bianchi è indifferente partecipare oppure non partecipare alla lotteria.oppure non partecipare alla lotteria.

Quindi, se la funzione di utilità del denaro è lineare, cioè se l’utilità Quindi, se la funzione di utilità del denaro è lineare, cioè se l’utilità marginale del denaro è costante, un individuo è propenso al rischio, marginale del denaro è costante, un individuo è propenso al rischio, perché per costui due lotterie con lo stesso valore atteso sono perché per costui due lotterie con lo stesso valore atteso sono ugualmente interessanti, indipendentemente dal rischio che ugualmente interessanti, indipendentemente dal rischio che comportano.comportano.

Par. 3.2.3

AvversioneAvversione

PropensionePropensione

NeutralitàNeutralità

ConcavaConcava

ConvessaConvessa

LineareLineare

Funzione di utilità Attitudine al rischioEsempio

xx

xx22

2x2x

Se ogni euro addizionale è sempre più apprezzato da un Se ogni euro addizionale è sempre più apprezzato da un

individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è convessa, individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è convessa,

l’individuo è propenso al rischio.l’individuo è propenso al rischio.

Se ogni euro addizionale è apprezzato da un individuo nella Se ogni euro addizionale è apprezzato da un individuo nella

stessa misura, cioè se la funzione di utilità del denaro è lineare, stessa misura, cioè se la funzione di utilità del denaro è lineare,

l’individuo è neutrale rispetto al rischio.l’individuo è neutrale rispetto al rischio.

In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità

rispetto al rischio dipendono dalla forma della funzione di utilità rispetto al rischio dipendono dalla forma della funzione di utilità

di chi deve scegliere. di chi deve scegliere.

Se ogni euro addizionale è sempre meno apprezzato da un Se ogni euro addizionale è sempre meno apprezzato da un

individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è concava, individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è concava,

l’individuo è avverso al rischio.l’individuo è avverso al rischio.


PP

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.3.4

AABB CC

LL

MM

NN

00 RicchezzaRicchezza

Come si diventa criminaliCome si diventa criminaliQuindi, se Verdi commette il crimine e non è punito, ottiene Quindi, se Verdi commette il crimine e non è punito, ottiene un’utilità pari a ON. un’utilità pari a ON. Supponiamo che un individuo propenso al rischio, che si chiama Supponiamo che un individuo propenso al rischio, che si chiama Verdi, consideri la possibilità di commettere un crimine.Verdi, consideri la possibilità di commettere un crimine.La ricchezza posseduta da Verdi è OA.La ricchezza posseduta da Verdi è OA.Quindi, se Verdi non commette il crimine, la sua ricchezza rimane Quindi, se Verdi non commette il crimine, la sua ricchezza rimane uguale a OA ed egli può avere un’utilità pari a OL.uguale a OA ed egli può avere un’utilità pari a OL.Se Verdi commette il crimine e non è punito, la sua ricchezza Se Verdi commette il crimine e non è punito, la sua ricchezza diventa OC, perché egli ottiene la somma AC. diventa OC, perché egli ottiene la somma AC. Poiché l’utilità che Verdi si aspetta di ottenere se commette il Poiché l’utilità che Verdi si aspetta di ottenere se commette il crimine, OP, è superiore all’utilità che ottiene se non commette il crimine, OP, è superiore all’utilità che ottiene se non commette il crimine, OL, Verdi deciderà di commettere il crimine.crimine, OL, Verdi deciderà di commettere il crimine.

Se la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2, cosicché la Se la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2, cosicché la probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OP = probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OP = ON ·1/2 + OM ·1/2.ON ·1/2 + OM ·1/2.

Quindi, se Verdi commette il crimine ed è punito, ottiene un’utilità Quindi, se Verdi commette il crimine ed è punito, ottiene un’utilità pari a OM.pari a OM.Se Verdi però commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza Se Verdi però commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza diventa OB, perché egli deve restituire il guadagno ottenuto diventa OB, perché egli deve restituire il guadagno ottenuto illegalmente, AC, e deve inoltre pagare la multa AB.illegalmente, AC, e deve inoltre pagare la multa AB.

GG

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.3.4

AABB CC

DD

EE

FF


Come si diventa criminaliCome si diventa criminaliSe anche Rossi ha una ricchezza iniziale pari a OA, se non Se anche Rossi ha una ricchezza iniziale pari a OA, se non commette il crimine ottiene un’utilità pari a OD.commette il crimine ottiene un’utilità pari a OD.Se Rossi commette il crimine e non è punito, la sua utilità è OF...Se Rossi commette il crimine e non è punito, la sua utilità è OF...… … ma se commette il crimine ed è punito, la sua utilità è OE.ma se commette il crimine ed è punito, la sua utilità è OE.Possiamo pensare, dunque, che un individuo avverso al rischio sia Possiamo pensare, dunque, che un individuo avverso al rischio sia meno propenso a delinquere di un individuo propenso al rischio.meno propenso a delinquere di un individuo propenso al rischio.Allora, poiché Rossi si aspetta di ottenere dal crimine un’utilità Allora, poiché Rossi si aspetta di ottenere dal crimine un’utilità inferiore a quella che ottiene se non commette il crimine, Rossi non inferiore a quella che ottiene se non commette il crimine, Rossi non commetterà questo crimine.commetterà questo crimine.

Naturalmente ciò non significa che un individuo avverso al rischio Naturalmente ciò non significa che un individuo avverso al rischio sceglierà sempre di comportarsi onestamente.sceglierà sempre di comportarsi onestamente.


Supponiamo che Rossi, che è avverso al rischio, consideri la Supponiamo che Rossi, che è avverso al rischio, consideri la possibilità di commettere lo stesso crimine che ha deciso di possibilità di commettere lo stesso crimine che ha deciso di commettere Verdi.commettere Verdi.

Quindi, poiché la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2 Quindi, poiché la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2 e la probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OG e la probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OG = OE ·1/2 + OF ·1/2.= OE ·1/2 + OF ·1/2.

GG


GG



HH

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.3.4

AABB CC

DD

EE

FF


Come si diventa criminaliCome si diventa criminaliSupponiamo, per esempio, che la probabilità che il crimine sia Supponiamo, per esempio, che la probabilità che il crimine sia punito diventi 1/5 e la probabilità che non sia punito diventi 4/5.punito diventi 1/5 e la probabilità che non sia punito diventi 4/5.Infatti, se diminuisce la probabilità che il crimine sia punito, Infatti, se diminuisce la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine aumenta. l’utilità attesa del crimine aumenta. Quindi, se la probabilità di essere punito è abbastanza bassa, anche Quindi, se la probabilità di essere punito è abbastanza bassa, anche un individuo avverso al rischio deciderà di commettere il crimine. un individuo avverso al rischio deciderà di commettere il crimine. Allora l’utilità attesa non è più OG = OE ·1/2 + OF ·1/2.Allora l’utilità attesa non è più OG = OE ·1/2 + OF ·1/2.Ora l’utilità attesa è OH = OE ·1/5 + OF ·4/5. Ora l’utilità attesa è OH = OE ·1/5 + OF ·4/5.

BB

EE

HH

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.3.4

AA CC

FF


Come si diventa criminaliCome si diventa criminali

KK

LL


Un individuo avverso al rischio, inoltre, potrà decidere di Un individuo avverso al rischio, inoltre, potrà decidere di commettere il crimine se il crimine è punito poco severamente.commettere il crimine se il crimine è punito poco severamente.Supponiamo, infatti, che la punizione del crimine diventi meno Supponiamo, infatti, che la punizione del crimine diventi meno severa.severa.

DD

Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, diventi OK ...commette il crimine ed è punito, diventi OK ...… … cosicché l’utilità che Rossi ottiene se il crimine è scoperto è OL.cosicché l’utilità che Rossi ottiene se il crimine è scoperto è OL.Ora, anche se la probabilità che il crimine sia punito è 1/2, l’utilità Ora, anche se la probabilità che il crimine sia punito è 1/2, l’utilità che Rossi si aspetta dal crimine è OH = OL ·1/2 + OF·1/2che Rossi si aspetta dal crimine è OH = OL ·1/2 + OF·1/2In queste circostanze Rossi, anche se è avverso al rischio, sceglierà In queste circostanze Rossi, anche se è avverso al rischio, sceglierà di commettere il crimine.di commettere il crimine.

Cap. 2.8

L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito. il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito.

Quanto più bassa è l’utilità attesa di un crimine, tanto meno un Quanto più bassa è l’utilità attesa di un crimine, tanto meno un potenziale criminale sarà interessato a commettere il crimine. potenziale criminale sarà interessato a commettere il crimine.

Per prevenire il crimine, dunque, le autorità possono modificare Per prevenire il crimine, dunque, le autorità possono modificare sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. quale è punito.

Come possono essere usate questi strumenti di prevenzione del Come possono essere usate questi strumenti di prevenzione del crimine in relazione all’attitudine verso il rischio del potenziale crimine in relazione all’attitudine verso il rischio del potenziale criminale?criminale?

(OF - OG) x(OF - OG) x

(OF - OG) x(OF - OG) x

Uti

lit

Uti

lit

àà

Par. 3.3.4

GG

HH

LL

MM


Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?

BB

FF

Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce. crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce.

Se Verdi commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza è OB e la Se Verdi commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. ricchezza è OC e la sua utilità è OG.

L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. (OF - OG) x.

Come cambia l’utilità attesa se aumenta la probabilità che il Come cambia l’utilità attesa se aumenta la probabilità che il crimine sia punito? crimine sia punito? L’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di L’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x.OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x.Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. In generale, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia In generale, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine. uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine.

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Cosa succede se la probabilità che il crimine sia punito aumenta Cosa succede se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x e la probabilità che non sia punito diminuisce di x? ancora di x e la probabilità che non sia punito diminuisce di x? Riconsideriamo anzitutto il caso di Verdi, che è propenso al rischio.Riconsideriamo anzitutto il caso di Verdi, che è propenso al rischio.

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Par. 3.3.4

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DD00 RicchezzaRicchezza

Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena.Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena.Dunque, l’utilità che Verdi ottiene se commette il crimine ed è Dunque, l’utilità che Verdi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. punito non è più OF, ma è solamente OE. L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura minore L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura minore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita solamente di KL che è inferiore a HK. solamente di KL che è inferiore a HK.

Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del corrispondono diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine. crimine.

Perché? Perché? La ricchezza che Verdi ottiene se è punito, però, è diminuita nella La ricchezza che Verdi ottiene se è punito, però, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. diminuita di OD = DB.

Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Verdi, se egli Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Verdi, se egli commette il crimine ed è punito, non sia più OB ma sia solamente commette il crimine ed è punito, non sia più OB ma sia solamente OD, cioè diminuisca di un ammontare pari a DB. OD, cioè diminuisca di un ammontare pari a DB.

Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine ed il crimine è punito. ottiene se si commette il crimine ed il crimine è punito. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora, nella stessa Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora, nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? misura nella quale era aumentata precedentemente? La ricchezza che Verdi può avere se commette il crimine ed è punito La ricchezza che Verdi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB.diminuisce ancora di OD = DB.Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK, cioè diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK, cioè a metà fra OE e OG. a metà fra OE e OG.

Quindi se Verdi è punito ora non avrà più alcuna ricchezza.Quindi se Verdi è punito ora non avrà più alcuna ricchezza.Allora, poiché l’utilità che Verdi ottiene se è punito è diminuita, Allora, poiché l’utilità che Verdi ottiene se è punito è diminuita, anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL, anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL, cioè a metà fra O e OG. cioè a metà fra O e OG.

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Par. 3.3.4


Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Verdi se commette il uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Verdi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più piccole crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito.dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito.

Se Verdi è propenso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza Se Verdi è propenso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza ……… … comportano diminuzioni sempre più piccole della sua utilità.comportano diminuzioni sempre più piccole della sua utilità.Uguali aumenti della severità della pena, dunque, comportano Uguali aumenti della severità della pena, dunque, comportano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine.diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine.

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00 SeveritàSeverità della penadella pena

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Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Verdi la stessa utilità attesa dal della pena che garantiscono a Verdi la stessa utilità attesa dal crimine.crimine.

Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa ...rappresentate da una curva come questa ...Questa curva è decrescente perché quando diminuisce la Questa curva è decrescente perché quando diminuisce la probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non cambia solo se probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena.aumenta la severità della pena.

Inoltre, questa curva è convessa perché uguali diminuzioni della Inoltre, questa curva è convessa perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più piccole severità della pena determinano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine. dell’utilità attesa del crimine.

Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più grandi della severità essere compensate da aumenti sempre più grandi della severità della pena. della pena.

Infatti, le combinazioni A e B prevedono una pena ugualmente Infatti, le combinazioni A e B prevedono una pena ugualmente severa, ma la combinazione A comporta una probabilità più alta severa, ma la combinazione A comporta una probabilità più alta che il crimine sia punito...che il crimine sia punito...

… … e le combinazioni C e B prevedono una pena ugualmente e le combinazioni C e B prevedono una pena ugualmente probabile, ma la combinazione C comporta una pena più severa.probabile, ma la combinazione C comporta una pena più severa.Infine, curve poste più in alto rappresentano combinazioni di Infine, curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono un’utilità attesa probabilità e severità della pena che garantiscono un’utilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso.più in basso.

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Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce. crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce.

L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. (OF - OG) x.

Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. Se Rossi commette il crimine ed è punito la sua ricchezza è OB e la Se Rossi commette il crimine ed è punito la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. ricchezza è OC e la sua utilità è OG.

Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x, Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x, l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x.OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x.

Anche in questo caso, quindi, se aumenta la probabilità che il Anche in questo caso, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad crimine sia punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine. corrispondono uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine.

Riconsideriamo ora cosa succede se aumenta la probabilità che il Riconsideriamo ora cosa succede se aumenta la probabilità che il crimine sia punito oppure se aumenta la severità della pena nel caso crimine sia punito oppure se aumenta la severità della pena nel caso di Rossi, che è avverso al rischio.di Rossi, che è avverso al rischio.

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Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena.Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena.Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine e il crimine è punito. ottiene se si commette il crimine e il crimine è punito. Perché? Perché? Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, ora diventi OD. commette il crimine ed è punito, ora diventi OD. Allora, poiché l’utilità che Rossi ottiene se è punito è diminuita, Allora, poiché l’utilità che Rossi ottiene se è punito è diminuita, anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL. anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL. L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura maggiore L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura maggiore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita di rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita di KL che è superiore a HK. KL che è superiore a HK.

Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del corrispondono diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine. crimine.

Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK. diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK. La ricchezza che Rossi ottiene se è punito, quindi, è diminuita nella La ricchezza che Rossi ottiene se è punito, quindi, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. diminuita di OD = DB.

Dunque, l’utilità che Rossi ottiene se commette il crimine ed è Dunque, l’utilità che Rossi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. punito non è più OF, ma è solamente OE. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora nella stessa Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? misura nella quale era aumentata precedentemente? La ricchezza che Rossi può avere se commette il crimine ed è punito La ricchezza che Rossi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB.diminuisce ancora di OD = DB.Quindi, se commette il crimine ed è punito, Rossi non ha più alcuna Quindi, se commette il crimine ed è punito, Rossi non ha più alcuna ricchezza e non ottiene alcuna utilità.ricchezza e non ottiene alcuna utilità.

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Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?… … comportano diminuzioni sempre più grandi della sua utilità.comportano diminuzioni sempre più grandi della sua utilità.Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Rossi se commette il uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Rossi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più grandi crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito.dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito.

Se Rossi è avverso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza …Se Rossi è avverso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza …Per questa ragione uguali aumenti della severità della pena Per questa ragione uguali aumenti della severità della pena comportano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del comportano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine.crimine.

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Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?Per Rossi, però, questa curva è concava, perché uguali diminuzioni Per Rossi, però, questa curva è concava, perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più grandi severità della pena determinano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine. dell’utilità attesa del crimine.

Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Rossi, che è propenso al rischio, la della pena che garantiscono a Rossi, che è propenso al rischio, la stessa utilità attesa dal crimine.stessa utilità attesa dal crimine.

Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa ...rappresentate da una curva come questa ...Anche per Rossi questa curva è decrescente, perché quando Anche per Rossi questa curva è decrescente, perché quando diminuisce la probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non diminuisce la probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena.cambia solo se aumenta la severità della pena.

Infine, anche per Rossi curve poste più in alto rappresentano Infine, anche per Rossi curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che assicurano combinazioni di probabilità e severità della pena che assicurano un’utilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su un’utilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso.una curva posta più in basso.

Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più piccoli della severità della essere compensate da aumenti sempre più piccoli della severità della pena. pena.

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Come si previene il crimine?Come si previene il crimine?L’interesse del potenziale criminale per un crimine dipende L’interesse del potenziale criminale per un crimine dipende dall’utilità attesa del crimine. dall’utilità attesa del crimine. L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito.crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito.Per rendere probabile la punizione del crimine e punire il crimine, Per rendere probabile la punizione del crimine e punire il crimine, però, le autorità devono sostenere un costo. però, le autorità devono sostenere un costo. Quindi, per prevenire il crimine, le autorità devono scegliere Quindi, per prevenire il crimine, le autorità devono scegliere opportunamente sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la opportunamente sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. severità con la quale è punito.

Allora, data la somma della quale le autorità dispongono per Allora, data la somma della quale le autorità dispongono per prevenire il crimine, quale probabilità e severità della pena possono prevenire il crimine, quale probabilità e severità della pena possono scegliere?scegliere?

Le combinazione di probabilità e severità della pena che le autorità Le combinazione di probabilità e severità della pena che le autorità possono scegliere, perché sono quelle compatibili con la somma che possono scegliere, perché sono quelle compatibili con la somma che può essere spesa per prevenire il crimine, sono rappresentate da può essere spesa per prevenire il crimine, sono rappresentate da una curva come questa ...una curva come questa ...

Si tratta di una curva decrescente perché per aumentare la spesa Si tratta di una curva decrescente perché per aumentare la spesa necessaria per rendere più probabile la punizione si deve ridurre la necessaria per rendere più probabile la punizione si deve ridurre la spesa che si deve sostenere per punire il crimine.spesa che si deve sostenere per punire il crimine.

L’inclinazione di questa curva, inoltre, misura di quanto deve L’inclinazione di questa curva, inoltre, misura di quanto deve diminuire la probabilità della pena quando aumenta la severità diminuire la probabilità della pena quando aumenta la severità della pena se si deve rispettare il vincolo di bilancio. della pena se si deve rispettare il vincolo di bilancio.

Quando aumenta la severità della pena, la spesa aumenta del costo, Quando aumenta la severità della pena, la spesa aumenta del costo, PPSS, che si deve sostenere per aumentare la severità della pena. , che si deve sostenere per aumentare la severità della pena.

Allora, se la spesa complessiva deve rimanere invariata, la spesa per Allora, se la spesa complessiva deve rimanere invariata, la spesa per rendere probabile la pena deve diminuire di Prendere probabile la pena deve diminuire di PSS. Quindi, se il costo . Quindi, se il costo

che si deve sostenere per rendere probabile la pena è Pche si deve sostenere per rendere probabile la pena è PPP, la , la

probabilità della punizione deve diminuire di Pprobabilità della punizione deve diminuire di PSS / P / PPP. .

Dunque, se supponiamo che i costi PDunque, se supponiamo che i costi PSS e P e PPP siano costanti, siano costanti,

l’inclinazione della curva è costante e la curva è una retta.l’inclinazione della curva è costante e la curva è una retta.

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Se la combinazione di probabilità e severità della punizione Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è A, a parità di spesa le autorità possono rendere meno inizialmente è A, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. aumentandone la severità.

Infatti, se le autorità scelgono la combinazione C, l’utilità attesa del Infatti, se le autorità scelgono la combinazione C, l’utilità attesa del crimine diminuisce. crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, Se la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, a parità di spesa le autorità possono rendere meno inizialmente è B, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la severità della pena e interessante il crimine riducendo la severità della pena e aumentandone la probabilità. aumentandone la probabilità.

Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del crimine diminuisce. crimine diminuisce. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, le autorità Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, le autorità possono prevenire più efficacemente il crimine aumentando, possono prevenire più efficacemente il crimine aumentando, secondo i casi, la severità della pena oppure la probabilità della secondo i casi, la severità della pena oppure la probabilità della pena. pena.

Vediamo ora in quale posizione si trovano le autorità se il potenziale Vediamo ora in quale posizione si trovano le autorità se il potenziale criminale è propenso al rischio. criminale è propenso al rischio. Consideriamo le curve che rappresentano le combinazioni di Consideriamo le curve che rappresentano le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono la stessa utilità probabilità e severità della pena che garantiscono la stessa utilità attesa del crimine, ricordando che alle combinazioni rappresentate attesa del crimine, ricordando che alle combinazioni rappresentate da curve poste più in alto corrisponde un’utilità attesa del crimine da curve poste più in alto corrisponde un’utilità attesa del crimine più bassa . più bassa .

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Infatti, se le autorità scelgono la combinazione B, l’utilità attesa del Infatti, se le autorità scelgono la combinazione B, l’utilità attesa del crimine diminuisce. crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è D, a parità di spesa le autorità possono rendere meno inizialmente è D, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. aumentandone la severità.

Quando la combinazione di probabilità e severità della punizione, Quando la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, se le autorità a parità di spesa rendono invece, inizialmente è B, se le autorità a parità di spesa rendono meno severa la punizione e ne aumentano la probabilità il crimine meno severa la punizione e ne aumentano la probabilità il crimine diventa più interessante.diventa più interessante.

Se il potenziale criminale, invece, è avverso al rischio, l’efficacia Se il potenziale criminale, invece, è avverso al rischio, l’efficacia deterrente della probabilità e della severità della pena cambiano.deterrente della probabilità e della severità della pena cambiano.Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, si può Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, si può ridurre l’incentivo a delinquere solamente aumentando la severità ridurre l’incentivo a delinquere solamente aumentando la severità della pena.della pena.

Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del crimine aumenta. crimine aumenta.

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3.1 Introduzione 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.1 Conseguenze di una lotteria 3.2.2 Utilità,...

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