La variabile casuale (v.c.) è un modello matematico in grado di interpretare gli esperimenti casuali. Infatti gli eventi elementari che compongono lo spazio campionario possono essere di qualunque natura (“T” e “C” nel lancio della moneta, “m” e “f” nella previsione del sesso del nascituro, “figura”, “cuori”, “fiori” nell’estrazione da un mazzo di carte ecc.). Da qui l’esigenza di uno strumento che trasformi gli eventi elementari in numeri reali x sui quali è possibile usare la matematica. Nella “trasformazione” non si deve trascurare che:a) ad ogni evento elementare è associata una probabilità;b) qualunque insieme di eventi elementari rappresenta un evento (compreso l’insieme vuoto che rappresenta l’evento impossibile) con associata la propria probabilità.La v.c. è tale strumento.

3) VARIABILI CASUALI

3.1) Significato e definizione

IMMAGINE E CONTROIMMAGINE

Ogni elemento in , tramite la funzione X(), trova una

“immagine” in un punto di ascissa x della retta R .

Può accadere anche che la stessa ascissa x sia l’immagine

in R di più elementi di , ad esempio se più oggetti

degli n precedenti hanno lo stesso numero x.

Tali oggetti formano un sottoinsieme E di , che è a sua

volta un elemento dell’insieme delle parti al quale la

funzione P ha assegnato la probabilità P(E).

L’ascissa x di R ha quindi la sua controimmagine

nell’elemento E di e di conseguenza si assegna ad x la

probabilità che la funzione P ha attribuito ad E, cioè:

P (X = x) = P (E)

nnii11 x,x,...,x,x,...,x,x

con adottando a

volte anche la notazione (xi)=P(X=xi). Si dirà inoltre

che la v.c. X assume i valori x1,…,xi,…,xn, dove per

motivi di semplicità si pone x1<…<xi<…<xn, con

“funzione di probabilità” (f.p.) (xi), (i=1,…,n).

,1xe,n,...,1i,0xn

1iii

Ricordiamoci comunque che:

•i valori x1,…,xi,…,xn formano lo spazio numerico

indicato in precedenza con R e tale spazio

rappresenta l’insieme delle immagini in R di eventi le

cui controimmagini sono elementi di .

• (x) è la funzione che assume quali valori le

probabilità relative all’elemento o agli elementi di

la cui immagine sull’asse R è rappresentata

dall’ascissa x.

Una variabile casuale verrà intesa come l’insieme delle

coppie di valori:

Sotto il profilo grafico il comportamento della

f.p. (x) è del tipo:

(x)

xxnxix2x10

cioè (x) è costantemente nulla ad eccezione dei

punti di ascissa x1,…,xi,…,xn in cui effettua salti

pari alla probabilità (x1),…, (xi),…, (xn).

La v.c. X è una funzione con dominio nello spazio

campionario e codominio in .

X assegna ad ogni uno ed un solo numero reale x

, detto “valore o determinazione di X”;

un numero reale x può avere più di una

controimmagine in e l’insieme di tali controimmagini

rappresenta un evento (o un evento elementare, o l’evento

impossibile).

Esempio 1:

=lancio contemporaneo di una

moneta e di un dado regolari

CCCCCC

TTTTTT

654321

654321

X = “punteggio del dado - n. croci” è una v.c.. Essa ha

dominio in e codominio in , poiché ad ogni evento

elementare associa un numero x .

1T 2T 3T 4T 5T 6T 1C 2C 3C 4C 5C 6C

X 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5

Quindi X ha “trasformato” gli eventi elementari in

numeri. In tale trasformazione ha conservato le

probabilità associate a . Infatti:

P (X = 0) = P (1C) = 1/12

P (X = 1) = P (1T) + P (2C) = 2/12 = 1/6

…

…

P (X = 5) = P (5T) + P (6C) = 2/12 = 1/6

P (X = 6) = P (6T) = 1/12

Infine qualunque numero reale x ha come

controimmagine un evento (o un evento ele-mentare o

l’evento impossibile). Ad esempio, la controimmagine,

attraverso X, del numero 5 è l’evento {5T, 6C}= “esce 5

e T oppure esce 6 e C”; la controimmagine, attraverso X,

del nu-mero 0 è l’evento elementare {1C} = “esce 1 e

C”; la controimmagine, attra-verso X, del nu-mero 8 è

l’evento impossibile {} = .

Definizione: ad ogni v.c. X è associata la f.r. (x) così definita:

(x) = probabilità che X assuma valori inferiori

o uguali al numero x

= P (X x) = P{(-,x]}=

Proprietà della f.r.:

1. e

infatti la definizione di (x) mette in luce che si tratta di

una probabilità.

2. Fissati due numeri x e y con x < y allora (x)(y),

cioè la f.r. è monotona non decrescente.

(Le proprietà 1 e 2 garantiscono che la f.r. assume valori

compresi tra 0 e 1).

3. La f.r. gode della proprietà matematica della continuità

(puntuale). In particolare è continua (almeno) a “destra”,

cioè:

0)(lim

xx

1)(lim

xx

)()(lim0

xx

)(...)()()( 21 xxxxxx

i

i

3.2) Funzione di ripartizione (f.r.)

Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per cal-colare la

seguente probabilità:

dati 2 numeri a e b, con a<b si ha:

P (a<X<b) = P (Xb) - P (Xa) = (b) - (a)

in quanto:

)bXa(P)aX(P)bX(P

da cui:

)a()b(

)aX(P)bX(P)bXa(P

e graficamente:

(x)

xxnxix2x10

1 -

che è una funzione a gradini del tipo:

xx per

xxx per x...xx

xxx per x...xx

xxx per xx

xxx per x

xx- per

n

1-n1-n21

1iii21

3221

211

1

1

0

x

n

Osservazione: la f.r. è utile, ad esempio, per cal-colare la seguente probabilità:dati 2 numeri a e b, con a<b si ha:P (a<X<b) = P (Xb) - P (Xa) = (b) - (a)

X è v.c. discreta se il suo dominio è un insieme finito o infinito numerabile.

Caratteristiche di una v.c. discreta1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è finito o infinito numerabile.2. Generalmente le determinazioni x di X sono numeri interi.3. Le probabilità associate alla v.c. X sono interpretate da una funzione detta di probabilità.

3.3) V.c. discrete e continue

X è v.c. continua se il suo dominio è un insieme infinito non numerabile cioè con la potenza del continuo.1. L’insieme dei valori x assumibili dalla v.c. X è infinito non numerabile (ad esempio coincide con o con un intervallo).2. Perdono di significato i singoli punti x ed è necessario procedere con riferimento ad intervalli.3. Le probabilità associate alla v.c. X sono interpretate da una funzione detta di densità.

Esempio 2:la v.c. dell’esempio 1 è discreta perché assumei 7 valori x = 0,1,2,3,4,5,6.La v.c. interprete del peso dei neonati che na-sceranno nella prossima ora nella clinica XXXdella città YYY è uin esempio di v.c. continua.Il peso dei neonati è infatti un numero x appar-tenente ad un intervallo di , ad esempiox (2000, 5000) grammi.

V.c. continue

La figura mostra un esempio di funzione di densità di probabilità, dove in ascissa ci sono le X ed in ordinata le densità associate ai valori di X. La curva continua deriva dai rettangoli facendo tendere a 0 la base degli stessi.

1. 0<p(x)1Infatti la definizione di p(x) mette in luce che si tratta di una probabilità

2.

La somma delle probabilità associate a tutti i valori x della v.c. X vale 1. Tale somma coincide, infatti, con P().

Esempio 1 (continua):la v.c. X = “punteggio del dado - n. delle croci” è v.c. discreta perché può assumere i soli valori x = 0,1,2,...,6.

X ha f.p.:

5,...,16/112/2

6,012/1)(

x

xxp

1)( x

xp

3.4) Funzione di probabilità (f.p.)

con 0 p(x) 1 e .161

5121

2)(6

0

x

xp

X ha anche f.r.: (x) = P (Xx) = xy

yp )(

Ad esempio con a = 3 e b = 5 si ha:P(a<Xb) = P(3<X5) = (5)-(3) =

35

)()(yy

ypyp

= [p(5) + p(4) + p(3) + p(2) + p(1) + p(0)] - [p(3) + p(2) + p(1) + p(0)] = p(5) + p(4) = =1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Osservazione:(3<X5) rappresenta l’evento {4T, 5C, 5T, 6C}.

Se X è una v.c. continua, le probabilità che rimangono associate ai valori di X sono interpretate dall’area sottesa a una funzione (x) detta f.d.

Esempio 3:sia X la v.c. che assume i valori x dell’intervallo [0,4]. Allora x è v.c. continua.

Sia

altrove

xx

0

4025.0)(

La f.d. di X.Graficamente (x) è composta dai 3 segmenti:

(x)

x+-

0 4

0.25

3.5) Funzione di densità (f.d.)

L’area sottesa a tali segmenti esprime la probabilità associata all’insieme di valori di X.Ad esempio:

(x)

x

+-

0 4

0.25

1 3

P(1X 3) = (3 - 1)0.25 = 0.5

Osservazioni:• l’area totale sottesa a (x) è pari a 1 e coincide con P();• (1 X 3) rappresenta un evento;• poiché X è continua le probabilità puntuali sono nulle. Infatti: P(X = x) = area sottesa ad un punto di (x) = 0poiché l’area sottesa ad un punto è, come si intuisce, nulla. È per tale motivo che nel caso continuo occorre procedere con riferimento ad intervalli;• per l’osservazione precedente gli eventi (a X b), (a X < b) e (a < X < b)hanno tutti la stessa probabilità, poiché, ad esempio, P(a X b) = P(a < X < b) + P(X = a) + P( X = b)

= P(a < X < b) + 0 + 0;• anche la v.c. X continua ha associata la f.r. (x) = P(X x).Poiché i valori minori o uguali a x rappresentano l’intervallo (-, x] allora la f.r. per x continua è rappresentata dall’area sottesa alla f.d. (x) a sinistra del punto x.

Esempio 3 (continua)

(x)

x

+-

0 4

0.25

x

(x) = P(X x) = (x - 0)0.25 = 0.25 x

Se X è continua il calcolo del valore atteso richiede

l’operazione di integrale che è strumento non contemplato

tra gli obbiettivi di questo eserciziario.

Il valore atteso (media) di una v.c. X è un numero che

informa sull’ordine di grandezza e sulla “tendenza centrale”

(baricentro) di X. La media della v.c. X si calcola

attraverso l’operazione E(X) che è diversa a seconda che X

sia discreta o continua.

Se X è discreta l’operazione E(X) consiste nel sommare

tutti i prodotti fra i valori di x ed il corrispondente valore

della funzione di probabilità p(x). Formalmente:

.)()()( xx

xXPxxpxXE

3.6) Valore atteso (media) di una v.c.

È quindi possibile scambiare tra loro i simboli e E comunque siano le v.c. Xi sommate.

Esempio 1 (continua)la media della v.c. X = “punteggio del dado - n. di croci” è

6

0x

xpxXE

= 01/12 + 11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 ++ 51/6 + 61/12 = 36/12 = 3.

Esempio 1 (continua):

la varianza della v.c.

X = “punteggio del dado - n. di croci” è:

6

0

22 3x

xpxXEXV

= (0 - 3)21/12 + (1 - 3)21/6 +

+ (3 - 3)21/6 + (4 - 3)21/6 + (5 - 3)21/6 +

+ (6 - 3)21/12 = 38/12 = 3.16

La varianza 2 = V(X) di una v.c. Xè un numero positivo che informa circa la dispersione dei valori X intorno alla media ed è così definita:

.222 XEXEXEXV

V(X) si calcola attraverso l’operazione di valore atteso E. ad esempio, se X è discreta si ha:

.22 x

xpxXEXV

3.7) Varianza di una v.c.