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MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI - 3.1

3. Confronto tra medie di due campioni

indipendenti o appaiati

BIOSTATISTICA

Marta Blangiardo, Imperial College, London

Department of Epidemiology and Public Health

[email protected]


CAMPIONE

PARAMETRIUNIVERSO

STIMATORI

PROGRAMMARE

DESCRIVERE

SPECULARE

INFERIRE

3. CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI INDIPENDENTI O APPAIATI


CAMPIONE

PARAMETRIUNIVERSO

STIMATORI

Siamo interessati a valutare se due diete (A e B) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite

3. CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI INDIPENDENTI O APPAIATI


CAMPIONE

PARAMETRIUNIVERSO

STIMATORI

PROGRAMMARE

Vengono scelti casualmente due campioni di 12 e 13 cavie ciascuno, ad ognuno di essi viene somministrata una delle due diete in studio dalla nascita fino all’età di 3 mesi e ne vengono registrati gli incrementi di peso. I campioni sono indipendenti

Siamo interessati a valutare se due diete (A e B) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite

3. CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI INDIPENDENTI


STATISTICHE STATISTICHE

n1 = 12

CAMPIONE 1 CAMPIONE 2

56 59

63 52

57 68

64 61

57 60

63 60

n2 = 13

yi2: generica i-esima osservazione del campione 2 (j =2)

yi1: generica i-esima osservazione del campione 1 (j =1)


DESCRIVERE


61 64

67 56

60 72

68 65

61 64

67 64

60


CAMPIONE 1

CAMPIONE 2

50 54 58 62 66 70

1

2

3

4

74

50 54 58 62 66 70

1

2

3

4

74

y1 = 60

y2 = 63.77

s1 = 4.24

s2 = 4.21



Media campionariaµµµµ


IPOTESI: I due campioni provengono dallastessa popolazione di cavie e se

potessimo misurare l’intera popolazionesarebbe

X ~ N(µµµµ,σσσσ2)

Noi non conosciamo nè la media µµµµ nè la varianza σσσσ2, ma conosciamo i parametricampionari:

y1 y2

medie

s1 s2Dev.

standard

n1 n2

numerosità


campione 1 campione 2

Dieta A Dieta B

n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.24

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21

POPOLAZIONE

Ai due campioni assegniamo diete diverse.

Le osservazioni ottenute sono ancora compatibili con l’ipotesi che i due campioni

provengono dalla stessa popolazione?



CAMPIONE

PARAMETRIUNIVERSO

STIMATORI

PROGRAMMARE

DESCRIVERE

SPECULARE

INFERIRE



POPOLAZIONE BERSAGLIO

Media campionariaMedie campionarie

y1

y2

Tutti i possibili campioni

µµµµ


δδδδ = µµµµ2 - µµµµ1= µµµµ - µµµµ =0

d = y2 – y1 H0: δδδδ=0


POPOLAZIONE 1 (dieta A)

(tutte le medie campionarie y 1)



POPOLAZIONE 2 (dieta B)

(tutte le medie campionarie y 2)


y1

µµµµ1111

y2

µµµµ2222

δδδδ = µµµµ2- µµµµ1

d = y2 – y1H1: δ δ δ δ = 0

Le due distribuzionihanno la stessavarianza


n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.24

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21

d = y2 - y1 = 3.77

POPOLAZIONE 1 POPOLAZIONE 2

µµµµ1 µµµµ2

δδδδ = µµµµ1 - µµµµ2

La variabile di interesse non è più la media campionaria bensì la differenza

tra medie campionarie


IN GENERALE


d

Differenze tra medie campionarie


(tutte le possibili differenze tra medie campionari e)


δδδδ

ignota



H0: µµµµ1 = µµµµ2 δδδδ = 0

Ipotesi nulla:

Cosa succede sotto l’ipotesi nulla?




Questa situazione ècompatibile con l’ipotesi nulla?

d



(tutte le possibili differenze tra medie campionari e)

δδδδ = 0



d

δδδδ = 0

d

δδδδ = 0

Situazione possibile

Situazione meno probabile



d


Ipotesi nulla:

L’ipotesi nulla non può essere mai rigettata con assoluta certezza! Dobbiamo agganciare alla stima d un “livello di confidenza”.


P-Value: quanto estremo è ilrisultato che abbiamo ottenuto?

δδδδ = 0d


P-value=0.03

d


δδδδ = 0d

P-Value: probabilità di ottenere un risultato campionario altrettanto o piùestremo di quello osservato, se H 0 èvera

P-value = Pr ( D >d sotto H 0)

Più piccolo è il valore del p-value,

1) più “estremo” è ilvalore d osservato

2) Più bassal’evidenza che i datisiano coerenti con la distribuzione sotto

l’ipotesi nulla

P-value=0.25


P-value=0.03

d


δδδδ = 0

PROBLEMA: l’ipotesi è bidirezionale

P-value = Pr ( D >d sotto H 0)

H0: δδδδ = 0 H1: δδδδ = 0vs

Unidirezionale

Bidirezionale

2*P-value

-d

P-value=0.03

P-value=0.06


A. Stima intervallare

B. Test basato sulla t di Student

C. Analisi della varianza e test F


Tre procedure per saggiare l’ipotesi nulla


MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI - 3.21A. Stima intervallare

y ± t . es

Ricordando la stima intervallare nel caso di una media campionaria:

la si adatti al confronto tra due medie campionarie



y ± t . es

La variabile misurata di interesse non

è più la media campionaria y, bensì la

differenza tra medie campionarie d:

d ± t . es




n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.2

n2 = 12

y2 = 64

s2 = 4.2

d ± t . es

n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.24

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21

d = y2 – y1 = 3.77




d ± t . es

L’errore standard non è piùvisto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due deviazioni standard ( s1 e s2) e due numerositàcampionarie ( n1 e n2)

√√√√s / n

s* = (n1-1) .s1

2 + (n2-1) .s22

(n1-1) + (n2-1)



Pooled


d ± t . es

L’errore standard non è piùvisto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due deviazioni standard ( s1 e s2) e due numerositàcampionarie ( n1 e n2)

√√√√s / n

n1 + n2

n1 . n2

= n1

1n2

1+



=1

n*


n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.2

n2 = 12

y2 = 64

s2 = 4.2

3.77 ± t . es

= 1.69

(12-1) .4.23 + (13-1) .4.212 2

(12-1) + (13-1)

12 + 13

12 . 13=esd

n1 + n2

n1 . n2

(n1-1) .s12 + (n2-1) .s2

2

(n1-1) + (n2-1)=esd =

n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.24

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21



s*

n*

1


d ± t . es

Valore critico della variabile casuale t

di Student, caratterizzata da un certo

numero di gradi di libertà g e da una

probabilità (1- α). α). α). α). Quindi

d ± t g ; (1-αααα). es





g = ( n1 + n2 ) - 2

I gradi di libertà non sono più n - 1 visto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due numerosità campionarie ( n1 e n2):





Dove 1 - αααα è il livello di confidenza dell’intervallo (di solito definiamo 0.9, 0.95 o 0.99)




3.77 ± tg;(1-αααα). 1.69

Fissando (1- αααα) = 0.9 e avendo due code abbiamo 0.9 + 0.1/2 = 0.95

3.77 ± t23;0.95. 1.69

3.77 ± 1.7139. 1.69

Dalla tavola della distribuzione t:



n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.23

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21


Distribuzione t

1.89461.41491.11920.89600.71110.54910.26327

1.94321.43981.13420.90570.71760.55340.26486

2.01501.47591.15580.91950.72670.55940.26725

2.13181.53321.18960.94100.74070.56860.27074

2.35341.63771.24980.97850.76490.58440.27673

2.92001.88561.38621.06070.81650.61720.28872

6.31383.07771.96261.37641.00000.72650.32491

0.050.10.150.20.250.30.4

5.40794.7853

5.95885.2076

6.86885.8934

8.61037.1732

12.924010.2145

31.599122.3271

636.6192318.3088

0.00050.001

….

….

1.65771.28861.04090.84460.67650.52580.2539120

1.66021.29011.04180.84520.67700.52610.2540100

1.66411.29221.04320.84610.67760.52650.254280

1.66691.29381.04420.84680.67800.52680.254370

1.67061.29581.04550.84770.67860.52720.254560

1.67591.29871.04730.84890.67940.52780.254750

1.67941.30061.04850.84970.68000.52810.254945

….

3.37353.1595

3.39053.1737

3.41633.1953

3.43503.2108

3.46023.2317

3.49603.2614

3.52033.2815

gdl

1.71391.31951.06030.85750.68530.53170.256323

….3.76763.4850


3.77 ± 1.7139 . 1.69

0.87 , 6.67

n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.23

n2 = 13

y2 = 64

s2 = 4.21

δδδδ = 0

1 2 3 4 5 6 7 8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

valore atteso sotto

l’ipotesi nulla

Ripetendo l’esperimento 100 volte nelle stesse condizioni, ci si aspetta che in 90

casi le due diete differiscano




Visto che l’intervallo non contiene il valore atteso sotto l’ipotesi nulla

= 0.1ααααcon:

allora concludiamo che non c’èabbastanza evidenza che supporti che i dati siano coerenti con l’ipotesi nulla e quindi


H1: µµµµ1 ≠≠≠≠ µµµµ2 δδδδ ≠≠≠≠ 0

Le due medie differiscono significativamenteE se avessimo prefissato un errore di

primo tipo più cautelativo (es. αααα = 0.01)?A. Stima intervallare



Distribuzione t

1.41491.11920.89600.71110.54910.26327

1.43981.13420.90570.71760.55340.26486

1.47591.15580.91950.72670.55940.26725

1.53321.18960.94100.74070.56860.27074

1.63771.24980.97850.76490.58440.27673

1.88561.38621.06070.81650.61720.28872

3.07771.96261.37641.00000.72650.32491

0.10.150.20.250.30.4

5.40794.7853

5.95885.2076

6.86885.8934

8.61037.1732

12.924010.2145

31.599122.3271

636.6192318.3088

0.00050.001

….

….

1.28861.04090.84460.67650.52580.2539120

1.29011.04180.84520.67700.52610.2540100

1.29221.04320.84610.67760.52650.254280

1.29381.04420.84680.67800.52680.254370

1.29581.04550.84770.67860.52720.254560

1.29871.04730.84890.67940.52780.254750

1.30061.04850.84970.68000.52810.254945

….

3.37353.1595

3.39053.1737

3.41633.1953

3.43503.2108

3.46023.2317

3.49603.2614

3.52033.2815

gdl

1.31951.06030.85750.68530.53170.256323 ….

3.4995

3.7074

4.0321

4.6041

5.8409

9.9248

63.6567

0.005

2.6174

2.6259

2.6387

2.6479

2.6603

2.6778

2.6896

3.76763.48502.8073


3.77 ± 2.8073 . 1.69

-0.98 , 8.52

n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.23

n2 = 13

y2 = 63.77

s2 = 4.21

δδδδ = 0

1 2 3 4 5 6 7 8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

valore atteso sotto

l’ipotesi nulla

Non c’è più evidenza che le due diete differiscano



Se seguiamo un approcico più cautelativo e fissiamo 1-α α α α = 0.99



B. Test del t di Student






Ricordando la variabile casuale t nel caso di una media campionaria è:

la si adatti al confronto tra due medie campionarie

s n

y - µµµµt =




s n

y - µµµµt =

È la differenza tra il valore osservato e

quello atteso sotto l’ipotesi nulla

(y2 - y1) - 0

Nel caso della differenza tra due

medie quindi:



d


s n

y - µµµµt =

È l’errore standard di una media

campionaria

Nel caso della differenza tra due

medie quindi:



(n1-1) .s12 + (n2-1) .s2

2

(n1-1) + (n2-1)

n1 + n2

n1 . n2 =esd = s*

n*

1


s n

y - µµµµt =

Il valore della variabile casuale t è

caratterizzato dai gradi di libertà ( g):

Quindi dovrebbe essere scritta come:

tg =esd

(y2 - y1) - 0

che rappresenta il valore empirico(osservato) di t. La valutazione dell’accettazione/rifiuto viene ottenuta tramite il P-value




0.025

DISTRIBUZIONE t g



tgδδδδ = 0

-tg

Non sufficiente evidenzacontro H0

P-value>=0.1

Evidenza contro H00.05<P-value<0.1

Forte evidenza contro H00.01<P-value<0.05

Fortissima evidenza controH0

P-value<0.01


n1 = 12

y1 = 60

s1 = 4.23

n2 = 13

y2 = 64

s2 = 4.21

tg= esd

(y2 - y1) - 0

è il valore empirico della statistica t. Il P-value corrispondente è

P-value < 0.025

t 23 = 1.69

3.77=2.23



2*P-value < 0.05

Ipotesi bidirezionale

<0.05: Forte evidenzacontro H 0




C. Analisi della varianza e test F C. Analisi della varianza e test F





56 59

63 52

57 68

64 61

57 60

63 60

Media generale: y = 62

Da quali fonti dipende la variabilità(devianza) totale del fenomeno?

Devianza totale =

= (56-62)2 + (59-62)2 + (63 -62)2 +...

...+ (67-62)2 + (64-62)2 + (60 -62)2 =

= 499

ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ (yij - y)2ji



61 64

67 56

60 72

68 65

61 64

67 64

60



Una prima fonte di variabilità è dovuta al fatto che i due campioni sono stati sottoposti

a diverse diete (fattore sperimentale)

60 60

60 60

60 60

60 60

60 60

60 60

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8

Devianza tra i livelli del fattore sperimentale

ΣΣΣΣ n j (yj - y)2j

y1 = 60 y2 = 63.8

Media generale: y = 62



= 12 . (60-61.96)2 + 13 .

(63.8-61.96)2 = 88.65



Una seconda fonte di variabilità è dovuta al fatto

che ogni unità sperimentale tende a rispondere in modo

diverso dalle altre allo stesso stimolo (livello del

fattore sperimentale)

60 60

60 60

60 60

60 60

60 60

60 60

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8 63.8

63.8

Devianza entro i livelli del fattore sperimentale

ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ (yij - y j)2i

y1 = 60 y2 = 63.8



= (56-60)2 + (59-60)2 + (63 -60)2 +...

...+ (67-63.8)2 + (64-63.8)2 + (60 -63.8)2 =

= 410.3

j


SISTEMATICA

Tra gruppi 88.65 +

CASUALE

Entro gruppi * 410.3 =

Fonti di variabilità devianza

Totale 498.96

* Variabilità residua




Tra gruppi

Entro gruppi

Fonti di variabilità

Totale

88.65 +

410.3 =

devianza

498.96 =

1 (N.gruppi-1) +

23 (N – N.gruppi) =

gradi di libertà

24 (N-1)




Tra gruppi

Entro gruppi

Fonti di variabilità

Totale

96 +

396 =

devianza

498.96 =

1 +

gradi di libertà

24

varianza

=88.65 + 1 + 88.65

22 =22 = =410.3 + 23 + 17.8

F1, 23 =Varianza tra gruppi

Varianza entro gruppi

88.65

17.8= = 4.97




1 Valore atteso sotto l’ipotesi nulla

DISTRIBUZIONE Fg1;g2

Area = 1



In questo caso le tavole disponibili non permettono di calcolare il P-value. E’possibile calcolare il P-value tramite

software (excel, R, Matlab).

=DISTRIB.F(4.97,1,23) = 0.036

Funzione di Excel

P-value<0.05 Forte evidenzacontro H 0


Ci sono tavole tabulate che permettono dicalcolare una soglia di accettazione/rifiutoper alcune prespecificate soglie1-α(0.9,0.95)

F(1-αααα),g1,g2

Fg1,g2 Fg1,g2

Non sufficienteevidenzacontro H 0

Sufficienteevidenzacontro H 0


Gradi di libertà del numeratore

Gra

di d

i lib

ertà

del

den

om

inat

ore

Distribuzione F g1;g2;0.95

F

1 2 3 4 5 101 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 241.882 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.403 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.794 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 5.965 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.746 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.067 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.648 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.359 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.1410 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 2.9811 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 2.8512 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 2.7513 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.6714 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.6015 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.5416 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.4917 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.4518 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.4119 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.3820 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.3521 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.3222 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.3023 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.2724 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.2525 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.2430 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.1650 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.03


Distribuzione F 1,23

4.97Valore empirico

allora dovremmo rifiutare l’ipotesi nulla: p < 0.05

4.28

0.95 0.05

Valore tabulato

Area di accettazioneArea di rifiuto




Test del t di Student

t23 = 2.23

Analisi della varianza

F1,23 = 4.97

t23 = F1,232

Due vie equivalenti per saggiare l’ipotesi nulla



CAMPIONE

PARAMETRIUNIVERSO

STIMATORI

PROGRAMMARE

Si estrae un campione di 13 zolle di terreno e su ognuna di esse si misura il pH in superficie e nel sottosuolo. Abbiamo due misurazioni per ogni zolla. I campioni sono appaiati

Siamo interessati a valutare se il pH di un terreno acido sulla superficie è diversa da quella del sottosuolo

3. CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI APPAIATI



n = 13


6.57 6.77

6.53 6.71

6.72 6.01

4.99 5.49

5.56 5.32

5.92 6.55

6.93

E’ lo stesso campione con due diverse misurazioni

Per ogni zolla le due misurazioni non sono indipendenti

8.34 6.13

6.32 8.30

8.44 6.80

5.42 7.90

5.20 5.32

6.21 5.66

5.66


Superficie Sottosuolo


Calcoliamo la variabile differenzatra le due misurazioni


6.57 6.77

6.53 6.71

6.72 6.01

4.99 5.49

5.56 5.32

5.92 6.55

6.93

8.34 6.13

6.32 8.30

8.44 6.80

5.42 7.90

5.20 5.32

6.21 5.66

5.66

-1.77 0.64

0.21 -1.59

-1.72 -0.79

-0.43 -2.41

0.36 0.00

-0.29 0.89

1.27

Superficie Sottosuolo Differenza

La nuova variabile Differenzaè quella su cui vogliamo fare

inferenza


Media campionariaµµµµ

IPOTESI: La differenza tra il pH in superficie e nel sottosuolo si distribuisce

come una variabile casuale Normale

D ~ N(µµµµd,σσσσ2d)

Noi non conosciamo nè la media µµµµd nè la varianza σσσσ2

d, ma conosciamo i parametricampionari:

d

media

sdDev.

standard

n

numerosità


INFERENZA SU UN CAMPIONE



Media campionariaMedie campionarie

d

Tutti i possibili campioni di differenze

µµµµd

H0 : µµµµd = 0


Cosa succede sotto l’ipotesi nulla?



È questa situazione compatibile con l’ipotesi nulla?

d



(tutte le possibili differenze)



d

d

Situazione possibile

Situazione meno probabile



d1

H0: µµµµd=0

Ipotesi nulla:

L’ipotesi nulla non può essere mai rigettata con assoluta certezza! Dobbiamo agganciare alla stima d un “livello di confidenza”.

P-Value: quanto estremo è ilrisultato che abbiamo ottenuto?

µµµµd = 0d




B. Test basato sulla t di Student




MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI - 3.64A. Stima intervallare

y ± t . es

Avendo un solo campione, in questo caso la stima intervallare da utilizzare èproprio quella introdotta precedentemente nel caso di una media campionaria:


d ± t . es

Che nel caso di campioni appaiati è

n = 13

d = -0.43

se = 1.15

sd/radq(n)


Valore critico della variabile casuale t

di Student, caratterizzata da un certo

numero di gradi di libertà g e da una

probabilità (1- α). α). α). α). Quindi l’intervallo di

confidenza sarà


Noi non conosciamo la varianza σσσσ2

T di Student


tg ; (1-αααα)

n-1livello di confidenza

dell’intervallo (di solito definiamo 0.9, 0.95 o

0.99)



-0.43 ± tg;(1-αααα). 1.15

Fissando (1- αααα) = 0.95 e avendo due code abbiamo 0.95 + 0.05/2 = 0.975

-0.43 ± t12;0.975. 1.15

-0.43 ± 2.1788. 1.15

Dalla tavola della distribuzione t:


n = 13

d = -0.43

es = 1.15



Distribuzione t

1.89461.41491.11920.89600.71110.54910.26327

1.94321.43981.13420.90570.71760.55340.26486

2.01501.47591.15580.91950.72670.55940.26725

2.13181.53321.18960.94100.74070.56860.27074

2.35341.63771.24980.97850.76490.58440.27673

2.92001.88561.38621.06070.81650.61720.28872

6.31383.07771.96261.37641.00000.72650.32491

0.050.10.150.20.250.30.4

5.40794.7853

5.95885.2076

6.86885.8934

8.61037.1732

12.924010.2145

31.599122.3271

636.6192318.3088

0.00050.001

….

….

1.65771.28861.04090.84460.67650.52580.2539120

1.66021.29011.04180.84520.67700.52610.2540100

1.66411.29221.04320.84610.67760.52650.254280

1.66691.29381.04420.84680.67800.52680.254370

1.67061.29581.04550.84770.67860.52720.254560

1.67591.29871.04730.84890.67940.52780.254750

1.67941.30061.04850.84970.68000.52810.254945

….

3.37353.1595

3.39053.1737

3.41633.1953

3.43503.2108

3.46023.2317

3.49603.2614

3.52033.2815

gdl

….2.17881.78231.35621.08320.87260.69550.53860.259012

2.3646

2.4469

2.5706

2.7764

3.1824

4.3027

12.7062

0.025

1.9799

1.9840

1.9901

1.9944

2.0003

2.0086

2.0141

4.31783.9296



-0.43 ± 2.1788. 1.15

-2.93 , 2.08

µµµµd = 0

1 2 3 4 5 6 7 8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

valore atteso sotto

l’ipotesi nulla

Ripetendo l’esperimento 100 volte nelle stesse condizioni, ci si aspetta che in 95

casi i due pH non siano diversi significativamente


n = 13

d = -0.43

es = 1.15




B. Test del t di StudentB. Test del t di Student




Ricordando la variabile casuale t nel caso di una media campionaria è:


d - 0

Nel caso di campioni appaiati

abbiamo:

s n

d - µµµµt =

È la differenza tra il valore osservato

e quello atteso sotto l’ipotesi nulla

1.275.666.93

………

0.216.326.53

0.646.136.77

-1.778.346.57

dpH2pH1

d -0.43



s n

yi - µµµµt =

È l’errore standard (es) di una media

campionaria


ΣΣΣΣ(yi - y)2

i =1

n

n - 1s

n

=

n

= 1.15



s n

yi - µµµµt =

Il valore della variabile casuale t è

caratterizzato dai gradi di libertà ( g):

Quindi dovrebbe essere scritta come:

che rappresenta il valore empirico(osservato) di t. La valutazione dell’accettazione/rifiuto viene ottenuta tramite il P-value

I gradi di libertà sono n-1


tg =esd

d - 0



t 12 = 1.15

-0.43= -0.37


n = 13

d = -0.43

esd = 1.15

tg =sed

d - 0

è il valore empirico della statistica t. Il P-value corrispondente è



Il valore ènegativo

-0.37


Le tavole restituiscono la coda di destrasolo per valori positivi, ma

0.37

Pr(D<-0.37 sotto H 0) = Pr(D>0.37 sotto H 0) Dalle tavole otteniamo

0.3<P-value 0.4

0.6 2*P-value 0.8

<

<

Non c’è evidenza di una differenza significativa dei pH

<

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati · MARTA BLANGIARDO – CONFRONTO...

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