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    EXPERIMENTO 3

    ANÁLISIS GRÁFICO

    1. OBJETIVOS

     Hacer uso de las técnicas de anlisis !r"co.  #onocer las $ases %ara reali&ar una re%resentaci'n

    !r"ca.  (tili&ar adecuada)ente el %a%el )ili)etrado* lo!ar+t)ico

    , se)ilo!arit)ico.

    -.  MTERI/ES

     3 Ho0as de %a%el )ili)etrado  1 o0a de %a%el lo!ar+t)ico  1 o0a de %a%el se)ilo!arit)ico 

    Re!la de 32 c) /%i&

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    3. (N4MENTO TE5RI#O

     ANÁLISIS GRÁFICO

     En el anlisis de un %ro$le)a 6+sico se %uede %artir de la teor+a 7ue %redice una cierta le, 6+sica la cual se e8%resa con una ecuaci'n cu,a 6or)a )ate)tica nos !uiar al anali&ar la 6or)a del !r"co. Es decir* !ra"cando los 9alores e8%eri)entales se tendrn una cur9a uni6or)e 7ue )uestra la tendencia de los %untos. Ense!uida se co)%ara la 6or)a de la cur9a o$tenida* con a7uello %redico te'rica)ente. Si concuerdan* ello corres%onde a una co)%ro$aci'n e8%eri)ental de la le, 6+sica considerada. /a 6unci'n )ate)tica )s si)%le es la l+nea recta , es %or ello 7ue

    tiene !ran i)%ortancia en el anlisis de datos e8%eri)entales. Por lo tanto es :til la linealidad de la cur9a cuando ésta no sea una recta.

     ELECCIÓN DE VARIABLES

    ; Varia$le 4e%endiente

    (na 9aria$le de%endiente es a7uella cu,os 9alores de%enden de los 7ue to)en otra 9aria$le. /a 9aria$le de%endiente en una 6unci'n se suele re%resentar %or ,. /a 9aria$le de%endiente se re%resenta en el e0e ordenadas. Son las 9aria$les de res%uesta 7ue se

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    o$ser9an en el estudio , 7ue %odr+an estar in

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     FUNCIÓN LINEAL

    i= /a ecuaci'n de una recta est de"nida %or>

     y=mx+b

    ii= Tal es el caso del lan&a)iento 9ertical acia a$a0o* cu,a le, de )o9i)iento est dada %or>

    V =¿+Vo

    Si se reali&a tal e8%eriencia , se to)an 9alores de 9 ? [email protected]= se o$ser9ar 7ue al !ra"car la ta$la de 9alores de 9 , t* o$tendre)os una recta . 4ica recta nos %er)itir deter)inar la aceleraci'n de !ra9edad ! a tra9és del clculo de su %endiente. de)s se %odr deter)inar 92 aciendo una e8tra%olaci'n de la recta o$tenida asta cortar el e0e 9ertical. Por lo tanto %ara !ra"car una 6unci'n tal co)o la indicada* se utili&ar %a%el )ili)etrado @%a%el de uso )s co):n cu,os e0es son a)$os lineales* es decir* las di9isiones estn i!ual)ente es%aciadas=.

     FUNCIÓN POTENCIAL

    /a ecuaci'n de una 6unci'n %otencial est de"nida %or>

     y=∁ X  n   4onde # , n son constantes.

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    l re%resentar los 9alores de las 9aria$les* de%endiente e inde%endiente en una !r"ca so$re el %a%el )ili)etrado* de$e resultar la cur9a caracter+stica de la 6unci'n %otencial de la 6or)a co)o se indica en la "!ura A. Si to)a)os lo!arit)o

    de a)$os lados se o$tiene>

    log y=n log x+log∁   BB.. @1=

    Si ace)os el ca)$io de 9aria$les>

    9 ? lo! ,

    u ? lo! 8

    C ? lo! c

     Tene)os 7ue la ecuaci'n @1= se %uede escri$ir co)o>

    v=nu+k 

     FUNCIÓN EXPONENCIAL

    /a ecuaci'n de una 6unci'n e8%onencial est de"nida %or>

       y=k a bx

     

    4onde C* a , $

    son constantes.

    l re%resentar los 9alores de las 9aria$les* de%endiente e inde%endiente en el %a%el )ili)etrado* de$e resultar la cur9a

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    caracter+stica de la 6unci'n e8%onencial tal co)o se indica en la "!ura D. Si to)a)os lo!arit)o de a)$os lados se o$tiene>

    a

    log ¿+ logk 

    ¿  y=bx¿

    log¿

    Si a 9ale 12* de$e a%licarse lo!arit)o en $ase die&. Si a tiene un 9alor cual7uiera* de$e a%licarse lo!arit)o en $ase a ese )is)o 9alor. Por e0e)%lo* si a ? -* se a%lica lo!arit)o en $ase -. Se tiene entonces>

    log y=bx+ logk   B @3=

    Si se ace el ca)$io de 9aria$le>

    u=log y

      9 ? lo! C

    Se tiene 7ue la ecuaci'n @3= resulta>

    u=bx+v

    MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

    (na recta 7ue )e0or se a0usta es una l+nea recta 7ue es la )e0or a%ro8i)aci'n del con0unto de datos dado.

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    Es usada %ara estudiar la naturale&a de la relaci'n entre dos 9aria$les.

    (na recta 7ue )e0or se a0usta %uede ser deter)inada

    a%ro8i)ada)ente usando el )étodo 9isual al di$u0ar unal+nea recta en una !r"ca de dis%ersi'n %ara 7ue tanto el n:)ero de %untos arri$a de la recta , de$a0o de la recta sean casi i!uales @, la l+nea %asa a tra9és de tantos %untos co)o sea %osi$le=.

    (na 6or)a )s %recisa de encontrar la recta 7ue )e0or se a0usta es el )étodo de )+ni)os cuadrados.

    (se los %asos si!uientes %ara encontrar la ecuaci'n de la recta 7ue )e0or se a0usta %ara un con0unto de %are0as ordenadas>

    Paso 1> #alcule la )edia de los 9alores de x  , la )edia de los 9alores de y .

    Paso -> Realice la su)a de los cuadrados de los 9alores de x .

    Paso 3> Realice la su)a de cada 9alor de x  )ulti%licado %or su 9alor corres%ondiente y .

    Paso A> #alcule la %endiente de la recta usando la 6'r)ula>

     

    4onde n es el n:)ero total de %untos de los datos.

    http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/slope.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/slope.html

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    Paso > #alcule la interce%ci'n en y  de la recta usando la 6'r)ula>

    4onde >

    Son las )edias de las coordenadas de x y y  de los %untos de

    datos res%ecti9a)ente.

    Paso D> (se la %endiente , la interce%ci'n en y  %ara 6or)ar la ecuaci'n de la recta.

    Ejemplo:

    (se el )étodo de )+ni)os cuadrados %ara deter)inar la ecuaci'n de la recta 7ue )e0or se a0usta %ara los datos. /ue!o !ra"7ue la recta.

    Solución:

    Fra"7ue los %untos en un %lano coordenado.

    http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/y-intercepts.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/y-intercepts.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/y-intercepts.html

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    #alcule las )edias de los 9alores de x , los 9alores de y * la su)a de los cuadrados de los 9alores de x * , la su)a de cada 9alor de x  )ulti%licado %or su 9alor corres%ondiente y .

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    #alcule la %endiente.

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    #alcule la interce%ci'n en y .

    Pri)ero* calcule la )edia de los 9alores de x , la )edia de los 9alores de y .

    (se la 6'r)ula %ara calcular la interce%ci'n en y .

    (se la %endiente , la interce%ci'n en y  %ara 6or)ar la ecuaci'n de la recta 7ue )e0or se a0usta.

    /a %endiente de la recta es ? ;1.1 , la interce%ci'n en y  es ? 1A.2.

    Por lo tanto* la ecuaci'n es y ? ;1.1 x G 1A.2.

    4i$u0e la recta en la !r"ca de dis%ersi'n.

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    USO DEL PAPEL LOGARITMICO

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    USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO

    Para relaciones e8%onenciales de la 6or)a  y=k 10  xn

     se utili&a

    %a%el se)ilo!ar+t)ico* %or 7ué .#onstru,a adecuada)ente

    su ta$la %ara a%licar el )étodo de re!resi'n lineal.

    /a 6unci'n  y=e  x

      en donde Ke KK es el 6a)oso n:)ero cu,o

    9alor a%ro8i)ado es -*L1-1-A2A* se deno)ina 6unci'n e8%onencial natural. (na 6or)a )s !eneral de la

    6unci'n e8%onencial es>  y=f  ( x )=me kx

     * en la 7ue ) , C %ueden

    ser cuales7uiera n:)eros reales. En el si!uiente !r"co se %resenta la 6or)a de la 6unci'n e8%onencial %ara )?122 ,

    C?2*>  y=100e  x /2

     

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    Por e0e)%lo #')o %ode)os )edir la

    edad de una len!ua %articular Su%on!a)os 7ue desea)os esta$lecer la ecuaci'n 7ue ri!e la desa%arici'n de %ala$ras de una len!ua %articular 7ue en el )o)ento t?2 conta$a con N2 %ala$ras $sicas. Estas %ala$ras %ueden ser sustanti9os co)o o)$re* )u0er , casa 9er$os co)o co)er , ca)inar ad0eti9os co)o $ueno , !rande , %artes de %ala$ras co)o %re"0os , su"0os. En la lista $sica no se inclu,en las %ala$ras técnicas 7ue %ueden 6or)ar %arte de la len!ua en estudio.

    Puesto 7ue las len!uas e9olucionan lenta)ente* el tie)%o t se considerar en )ilenios. El su%uesto 6unda)ental 7ue )ane0an los antro%'lo!os del len!ua0e es 7ue la tasa instantnea de 9ariaci'n res%ecto al tie)%o* esto es* la tasa a la 7ue las %ala$ras de la lista $sica a$andonan la len!ua en el )o)ento t* es directa)ente %ro%orcional al n:)ero de %ala$ras [email protected]= de la lista en ese )o)ento. Si)$'lica)ente %odr+a)os e8%resar este su%uesto co)o>

    Tasa de 9ariaci'n instantnea de @t=?;C @t=

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    En donde C es un 6actor de %ro%orcionalidad @de si!no %ositi9o= 7ue de%ende s'lo de la len!ua estudiada. El si!no ne!ati9o en la e8%resi'n ocurre %or7ue [email protected]= decrece en el tie)%o* claro est. 4eter)inar [email protected]= a