SOPRA ALCUNE OPERAZIONI ALGEBRICHESULLE MATRICI

(TESI DI ABILITAZIONE)

FRANCESCO CECIONI

INTRODUZIONE

Sia

una sostituzione lineare che fa passare dalle variabili zl , ~z , ... , xnalle yl , yz , ... , y , e indichiamo con

la matrice dei suoi coefficienti 1). Sia analogamente

una seconda sostituzione lineare che fa passare dalle variabili

yl , yz , ~.. , yn alle xl , x2 , ... , x~, , e indichiamo la sua matrice con

Esprimiamo ora le variabili ,..., ~n per le ,..., xn ;otteniamo cos la sostituzione

i) Nell’ indicazione delle matrici adopereremo indifferentemente, percomodo tipobrafico, le sgraffe e le parentesi tonde.

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che fa passare dalle variabili x alle e che equivale quindi alla.

successiva applicazione delle due sostituzioni sopra considerate;vediamo che la matrice di questa sostituzione composta non è cheil prodotto della U per la V, eseguito moltiplicando, suol dirsi, le righe della per le colonne della seconda.

Siano

due forme bilineari nelle due serie di variabili xl , x2 , ... , x~z e

Yi Y2 ,..., Y- - È noto che nel calcolo simbolico delle forme bilineari 1)si chiama prodotto (simbolico) della forma f per la Cf, in quest’ordine,la forma bilineare

Se ora per una forma bilineare qualunque, ad es. la f, chia-miamo l1?atrice della rorma la matrice

’

vediamo che la matrice della forma prodotto di due altre non è cheil prodotto delle matrici delle due forme, nel medesimo ordine, ese-guito ancora moltiplicando le righe della prima per le colonne dellaseconda.

Si sa ora che si possono coiiipori-e due matrici. quadrate dellostesso ordine in quattro modi diversi secondo che si moltiplicanole righe o le colonne della prima per le righe o le colonne della

i) Cfr. FROBENIUS, Substitutionen und bilineare F01’rnen~ Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXXIV (1878),pp. 1-63], p. 2. Citeremo in seguito questo lavoro con le iniziali L. S.Cfr. anche Murn, Theorie und Anice>idu>ig Ele»ie>ita>.the le>. (Leipzig,Teubner, 11899) p. 20.

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seconda; noi adotteremo costantemente il modo detto sopra e riser-

-vei-emo il nome di pi-odolto di due matrici A , B (in quPSt’ ordine)alla matrice ottenuta moltiplicando le righe di A per le colonne di B.Indicando con A’ la.matrice coiziztqata o tlraslJosta di una qualunqueniatí@ice A (cioè quella che si ottiene dalla A scambiando le righecon le colonne), vediamo che gli altri tre modi di composizione diA con B si hanno facendo il pi-odotto di A per B’, di A’ per B,di A’ per B’.

Adottata questa definizione del prodotto, i concetti ed i teoremidella teoria delle matrici si traducono in concetti e teoremi della

teoria delle sostituzioni lineari e delle forme bilineari; in luogo diparlare di queste ultime si può quindi parlare astrattamente di ma-trici. Una stessa formula relativa a matrici può poi interpetrarsi irivarie modi, quando ci si voglia riferire a forme bilineari od a sosti-tuzioni lineari. Cos ad es. il prodotto di A per B può interpetrarsilic,ii solo come prodotto di sostituzioni o come prodotto di forme,ma anche (e si vede facilmente) come forma ottenuta dalla forma A

eseguendo sulle variabili della seconda serie la sostituzione lineare B,oppure come forma ottenuta dalla forma B eseguendo sulle variabilidella prima serie la sostituzione A’, trasposta della A.

Considereremo più in generale, in luogo di matrici quadrate,matrici rettangolari, e cominceremo ora dal ricordare alcune defi-nizioni e notazioni fondamentali.

° ’

Siano A e B due matrici, la prima di 1n righe ed 1l colonne,la seconda righe e 1) colonne,

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conformemente a quanto sopra abbiamo detto, chiameremo prodottodi A per- B, e indicheremo con AB, la matrice di m righe e pcolonne rappresentata da

Perchè dunque possa parlarsi del prodotto di due matrici A. , B(in quest’ordine) bisogna e basta che il numero delle colonne di Asia uguale al numero delle righe di B ; 1) spesso nel seguito non enun-ceremo esplicitamente questa condizione, intendendola senz’ altrosottintesa nel fatto stesso che considereremo il prodotto AB. Sichiama prodotto di più matrici, in un ordine determinato, la ma-trice che si ottiene moltiplicando la prima matrice per la seconda,il prodotto ottenuto per la terza, e cos via; e dicendo cos veniamoa sottintendere che il numero delle colonne di ogni matrice (eccettol’ultima) deve essere uguale a quello delle righe della matrice suc-cessiva.

Per il prodotto di matrici, cos definito, vale la proprietà asso-espressa dalla formula.

(AB) C A (BC) ,

come si verifica immediatamente ~). Non vale però, in generale, la

proprietà conlnlulatit.a. Se due matrici A , B sono tali che sia

AB BA , i

le due matrici si dicono perrnutabili; sarà in tal cago, con le no-tazioni precedenti, n1 =n=p , a meno che non si voglia definire1’ uguaglianza di due matrici qualunque nel modo che abbiamo os-servato poco fa in nota.

1) Ci si può, del resto, sempre ridurre a questo caso intendendo difar seguÌ1’e alle righe o alle colonne di una delle due matrici, righe ocolonne di elementi nulli. Con questo criterio si può evidentemente de-finire anche l’uguaglianza di due matrici di diverso numero di righe edi colonne.

2) Si osservi che tale proprietà non varrebbe ove si considerasse ilprodotto per righe.

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Data una matrice quadrata M (per la quale cioè il numero delle

righe uguaglia il numero delle colonne), resta fissato, dalle defini-zioni date, il significato di potenxa di M con esponente intero e

positivo; si ha cos

vale evidentemente la formula

Chiameremo matrice diagonale una matrice quadrata nella qualetutti gli elementi della diagonale principale siano uguali, e siano0 gli altri:

’

si suole indicare anche col simbolo (d) ; si ha evidentemente

e questo prodotto si ottiene semplicemente dalla A moltiplicandonetutti gli elementi per d; lo indicheremo anche con dA o Ad, cosche avremo

Se è d=1, la matrice (d) si chiama matrice e si suole in-dicare con E:

-

quando si voglia mettere in evidenza 1’ordine n della matrice unitàscriveremo E,,; quasi sempre però sottintenderemo quest’ indice, ed8iiche in uno stesso calcolo adopereremo lo stesso simbolo E per

8

indicare due o più matrici unità, eventualmente di ordine diverso,quando il modo nel quale ognuno di questi simboli verrà adoperato,non lasci alcun dubbio sull’ordine della matrice che esso rap-

presenta.Date due matrici R, S

aventi rispettivamente un ugual numero di righe ed un ugual 11L1-mero di colonne, si chiama loro e si indica con R -f-- S, lamatrice

Analoga definizione si ha per la e per la somma di piùmatrici. Si indica poi, ad es., con - S, la matrice

Vale evidentemente, per la somma algebrica di più matrici, la pro-prietà associativa e commutativa, e vale pure, come subito si vede,la proprietà distribativa della moltiplicazione rispetto all’addizione:

Una matrice si dice nulla quando ha tutti gli elementi ugualia 0; una tale matrice si indicherà semplicemente col simbolo 0,quando non possa nascere equivoco sul numero delle- sue righe edelle sue colonne; cos , anche in uno stesso calcolo, adopereremoin seguito il medesimo simbolo 0 per indicare matrici nulle di di-verso numero di righe e di colonne, quando il modo con cui ognunodi questi simboli figura nelle formule non possa dar luogo ad am-biguità sul numero delle righe e delle colonne della matrice da essorappresentata.In base alle definizioni ora date viene fissato anche che cosa

si intende per 1’axionale intera di più matrici. Non po-tranno però queste funzioni ridursi alla stessa forma come le ana-

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loghe per i numeri, in quanto che non vale ora, generalmente, la

proprietà commutativa del prodotto.In particolare chiameremo funzione Lineare di una matrice (varia-

bile) X una somma di prodotti di matrici, in ciascuno dei quali la Xentri al massimo una sola volta come fattore; è evidente che ognitale funzione può ridursi alla forma

la quale non può, in generale, valendosi delle proprietà elementaridella somma e del prodotto sopra ricordate, ridursi ad una forma

più semplice. Una particolare matrice X per la quale si abbia

sarà detta una solitxione dell’eqziaxione lineare ora scritta.Nei Cap. I e II del presente lavoro ci occuperemo di alcune

particolari equazioni lineari fra matrici : 1) precisamente nel Cap. Itratteremo di quelle equazioni nelle quali le matrici incognite gono moltiplicate per le matrici note sempre da una medesima parte,e detern>inereino inoltre, come altro esempio, le condizioni di riso-lubilità dell’eqaazione AXB C ; nel Cap. II considereremo l’equa-zione particolarmente notevole, AX - XB. Nel Cap. III infine tratte-

i) Riguardo alle più generali equazioni lineari in una matrice ricor-deremo i seguenti lavori di SYLVESTER contenuti nei Cornpies hebdo?>iadai>?es des séances de l’Académie des sciences, t. IC (1884, 20 sem.):

la solution du cas le plus général des équations linéaires en quan-tités c’est-à-di1"e en quate1’1nions o2c en mali-ices du seconcl ordre(pp. 117-118).

Sitr la 1’1ésolution géné1"ale de l’équalion linéaii-e en mat1’ices d’un ordreqitelcoiiqzte (pp. 409-412, 432-436).

les deux mélhodes, celle de Hamilton et celle de L’auteur, pourresoucl1"e l’équation linéaire en quaternions (pp. 473-476).

SUl’ de la nou1;elle méthode L’équation li-néaire la plus généraZe eja quate1"nions (pp. 502-504).

In questi lavori viene esposto un metodo secondo il quale si puòdeterminare razionalmente la soluzione di qualsiasi equazione lineare inuna matrice incognita, nel caso ira ezci q2cesta equazione possegga una solasot2czione, ma tale metodo conduce a calcoli estremamente lunghi.

Nei casi particolari che tratteremo ci proporremo, più generalmente,di determinare le condizioni di risolubilità e tutte le soluzioni delle equa-zioni che studieremo.

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remo l’equazione più semplice di grado superiore X"? =A, vale adire il problema del!’ estra.zione della Tadice di una matrice(di una sostituzione lineare).

Diamo ancora, prima di entrare in argomento, la definizionedi una notazione ~) che sarà adoperata assai spesso. Siano À.~(2 =1 , 2 ,..., ~rra ; k =1 , 2 , 11) m~2 matrici, la generica delle quali,Aik, abbia un certo numero Vi di righe, e un certo numero Vk dicolonne; le A,i, Aiz ,..., Ai. hanno cos tutte lo stesso numero ~.Zdi righe, le Blk , B21t ,..., Bmk lo stesso numero v, di colonne. Indi-cheremo col simbolo

quella matrice di P-i i righe e Vl +’), + ... +v,, colonne, le cui colonnesono ordinatamente quelle di Ail , quelle di ecc...., quelle diAi,,; e col simbolo

intenderemo quella matrice, di ~t~+P-2 +... + p-m righe e

colonne, le cui righe sono ordinatamente quelle di

quelle di (A21, A22 ,..., A~n) , ... quelle di Åm2 ,..., è chiaro

poi che le sue colonne sono ordinatamente quelle delle n matrici

Il 1 ..G - -

mom

Se infine íVl è una matrice quadrata qualunque, indicheremo

con- 1 Mi I il suo determinante.

, i) Cfr. LAGUERRE, le calcul des línéaires [Journal de

Polytecnique, t. XXV (1867), pp. 215-264], p. 255.

CAPITOLO I.

Alcune equazioni lineari fra matrici

Le equazioni AX==B, XA===B. - Sistemi di equazioni lineari

nell e matrici.

1. -- È noto che data una matrice quadrata A di ordine n, adeterminante diverso da 0, esiste una e una sola matrice, che chia-meremo matrice recipi-oca 1) di A, e indicheremo col simbolo tale che si abbia

Esiste dunque una ed una sola soluzione di ciascuna delle due equa-zioni AX = B , YA = B, nell’ ipotesi che sia 0, ma le duesoluzioni risultano, in generale, diverse; solo nel caso in cui essesiano uguali si suol dare il nome di di B per A all’unicamatrice X per cui è AX = XA = B , e la condizione perchè questocaso si verifichi è che le due matrici A e B siano permutabili ~).

KRONECKER , vo?.iesu?igen iiber Determinantentheorie (Leipzig,Teubner, 1903), p. 333. FROBENIUS, L. S., p. 7. - Altri riservano il nomedi matrice recxpc alla matrice Ao = (a°) (i, k =1 , 2 ,..., n) nella qualel’elemento a l’agg.iunto dell’elemento alti i di A; cfr., ad es., LA-GUERRE, cit., p. 218. Si ha evidentemente A,== I A I A-1; chia-meremo eventualmente la Ao matrice aggiunta di A ( KRONECKER, Op.cit., p. 329; FROBENIUS, L. S., p. 7).

1) KRONECKER, Op. p. 354; FROBENIUS, L. S., p. 8; LAGUERRE,cit., p. 217; MUTH, Op. cit., p. 31.

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Supponiamo ora che possa essere anche f A É =0 , e consideriamopiit in generale r equazione

(1) AX=B,

nella quale A rappresenti ora una matrice di 1)7 righe ed ~z co-

lonne, B una matrice pure di 1n righe ma di un numero qualunque pdi colonne. Se questa equazione è risolubile, ogni colonna di B,la ad es., è una combinazione lineare delle colonne di A, icoefficienti della combinazione essendo ordinatamente gli elementidella colonna di X; le due matrici A ed (A, B) hanno dunqueugual caratteristica. Se viceversa questo accade, una qualunque co-lonna di B risulta una certa combinazione lineare delle colonne

di A, e l’equazione (1) è quindi risolubile. Ne segue:Condixione necessaTia e stiffitiente AX=B

ccmn2ettcc è che le due A ed (A, B) abbiano ugualcaratteristica 1).

Analogamente :necessaria e lJ equaxione YC=D

cctyamettc soZLCioni é ehe Le d Lce ncct°ic2 C e C

cbbLCCno c ZccZ ecc-ammetta ’ è che le due matrici C e D abbiano zigiial ca-ratteristica.

Essendo ora r la caratteristica di A, si indichi con A* unamatrice costituita da r righe indipendenti della matrice A, sianole i2esiwa 1...1 e con .B* la niatrice costituita dalle T

righe di B aventi rispettiv amente i medesimi numeri d’ordinei2 i,; ogni matrice X che soddisfa alla (1) soddisfa anche

alla

Sia A’ la matrice delle righe residue di A , B’ quella delle righe/A* B*

residue di B; , poichè le matrici (A* , B*) ) e A A* , , , ) hanno am-,bedue la caratteristica r, l’equazione Y (A*, B*) = (A’ , B’) è, peril teorema precedente, risolubile ; si ha quindi, per una soluzione

i) Cfr. FROBENIUS, L. .S’., p. 8. -

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di essa, YA*=A’, YB* B’ . Se dunque X soddisfa all’equa-zione (2) si ha

e quindi anche, combinando quest’ ultima con la (2), AX=B; le

(1), (2), sono dunque equivalenti.Dell’ equazione (2) si determina facilmente la soluzione generale.

Completiamo infatti la A* con una matrice P di ii 2013 ~ righe (ed ncolonne), qualunque fissa, con l’unica condizione che siaA*

t 0, e completiamo pure la B* con una matrice Q di n-rP /righe (ed ii colonne) di costanti Consideriamo l’ equa-

à* B*zione -p ) X==( j; essa equivale alle due equazioni A*X==B*,(P) - Q /

. A _ B .PX = Q, e quindi la sua soluzione X == P soddisfa, inP Qparticolare, alla (2); se viceversa X è una soluzione qualunque

della 2 ) e si prende Q=PX, sarà soddisfatta la )X= Q’ P / B/.

... e si avrà quindi, con la matrice ( considerata, X =: n ) ’ .e Si iJvrà qUindii C°lÌ llÌéit’ic Q X + (P / (Q ) .Quest’ultima formula dà dunque tutte le soluzioni della (2), e adue matrici Q distinte corrispondono inoltre evidentemente due di-stinte soluzioni X.

Risulta poi manifesto, da quanto abbiamo detto, che se P, èun’altra matrice che soddisfa alle medesime condizioni della P, le

A _1 B A _I B dUe f°rnlaie x = 1©l 1 B* e x = definisc°n° unadue formule X Y (Q) e X == (P, definiscono unamedesima totalità di matrici X; difatti la X definita, per unacerta matrice Q, dalla prima di queste due formule soddisfa alla

’

à* B*A*X=B*, e se quindi poniamo Qi==PiX abbiamo P X- Q,

, Bi/ Ì i

ossia X - l ( , cioè la stessa matrice X si ottiene dalla se-Bl-i/ (B*)conda formula facendovi ed inversamente.

Possiamo enunciare il risultato ottenuto al modo seguente:

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Indicando con r Lac earatteristiccz di A, con A* una matrice

formata con r righe indipendenti di A, con B* la matrice formata,con le righe corrispondenti di B (aventi cioè il medesimo nU1nerod’ordine), la generale di AX = 3 (supposta °isol2cbile) èdata da

dove P e Q sono due matrici d n - r ricdhe (essendo n il delle colonne di A), scelta la prima cora t’unica condixione che sia

A* 0, rna fissata una volta per tutte, arbitraria la seconda. Se pè il numero delle colonne di B, le soluxioni dette sono 0o pw’ .. *

La caratteristica di X è poi quella di (Q) ; e poichè la carat-teristica di B* è quella stessa di B, possiamo aggiungere :

Se s è la caratteristica di B, le caratteristiche delle soluxionidell’equaxione AX=B sono date dai s, s-E-1

Si osservi anche che esisterà una soluzione sola allora soltanto

che la matrice A* sia quadrata; dunque :Condizione necessaria e sufficiente lJe1"chè l’equa--ione AX= B

(supposta risoliibile) abbia una sola soluxione, è che il numero dellecolonne di A sia uguale alla sua La soluzione hapoi la caratteristica stessa di B.

Ragionamenti del tutto analoghi possiamo ripetere per l’equa-zione YC = D; enunceremo dunque il risultato:

Indicando con r la caratteristica di C, con C** una matriceformata con r colonne indipendenti di C, con D** la matrice for-mata coya le colonne corrispondenti di D (a2)enti cioè il 9,nedesiinonum,ero d’ordine), la soluzione generale di (supposta riso-lubile) è data da

dove P e Q sono due inatrici di colonne (essendo n 2:l nu-mero delle righe di C), scelta la prima con condixione che

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1 C**, p ~ =~= 0 , ma fissata una volta per tutte, arbitraria laseconda. è il numero delle righe di D, le soluxioni dette.

Se s è la caratteristica di D, le caratteristiche delle soluxioni

dell’equazione YC = D sono date dai numeri s, s-f-1 ,..., s + n - r.Condixione necessaria e sufficiente perchè YC = D

(supposta risolubile) abbia una sola soluxione, è che il num-ero dellerighe di C sia Zcgua.le alla sua caratteristica.

La soluxione ha poi la caratteristica stessa di D.La soluzione generale di una qualunque delle due equazioni

AX = B , YC = D , ad es. della prima, può anche determinarsi, conFROBENIUS (L. S., p. 8), aggiungendo ad una soluzione particolaredell’equazione medesima la soluzione generale della AX == O 1). Ri-guardo a quest’ ultima equazione è facile vedere che se X1 è unasua soluzione particolare, avente la caratteristica massima n-r,la soluzione generale è data da X==X~R dove R è una . matricequadrata arbitraria di ordine p. Ciò si vede subito direttamenté, 2)oppure può dedursi dai precedenti risultati nel modo che segue.

Sia: essendo quindi la matrice ~1 ~~- caratteristicai B

n - ~° ; avrem o 1 ma po-

nendo vediamo che presa ad arbitrio la matrice Q (din - r righe e p colonne) esistono sempre matrici R che soddisfano

all’ equazione Qi R = Q ; la è quindi effettivamente la so-luzione generale della AX = 0 . Si vede però di qui che, eccettuatoil caso che sia (nel qual caso la matrice Q1 è quadrata)la formula dà ogni soluzione infinite volte.

2. - Abbiansi due equazioni

e stipponiamo che abbiano soluzioni comuni ; queste soddisfaranno

l Il numero delle colonne della matrice 0 deve evidentemente in-tendersi essere p; il numero delle sue righe è poi quello stesso di A.

2) Cfr. FROBENIUS, L. rS~., p. 6.

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all’ equazione

e viceversa ogni soluzione di questa equazione soddisfa alle due

equazioni precedenti ; dunqueCondi,,-ione necessaria e sufficiente perchè le due equaxioni

.AX == B , CX = D abbiano soluxioni comuni è che le due matrici

abbiano ugual cai,atteristica; le soluzioni 1 1 1 1 1

sono le solttxioni dall’equazione

Condixio>ie necessaria e sztfficie)ite le due XA=B , XC=D abbiano soluxioni c01nuni è che le due iiiali-ici

(A, C) , abbiano ugual caratteristica; le soluzioni comuni

sono le soluxioni dell’ equaxione X (A , C) = (B , D).o Per il caso di più di due equazioni valgono evidentemente le

proprietà analoghe.3. - Se inoltre le due equazioni

sono equivalenti, le due serie dei numeri che danno le caratteri-stiche delle loro soluzioni debbono essere identiche; le due matrici

A , C (come anche le B , D) hanno quindi la stessa caratteristica,

-e poichè 1’ e q uazione è equivalente, nell’ipotesi fatta, ’(A) X Wa ciascuna delle precedenti equazioni, la stessa caratteristica di A

e C ha anche la matrice (A) È ui evidentemente soddisfatta lae pcondizione del n.° precedente, e quindi le tre matrici A , C , ( " Dhanno ugual caratteristica.

Supposta, inversamente, verificata questa condizione, l’ equa-

zione /§) X =(§§) è risolubile; ma applicando per la sua risolu-C X D ’ ppzione il metodo del m.° 1, essa si riduce, mantenendo le stessenotazioni del n.° 1 medesimo, all’equazione equivalente A*X=B*,

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o all’ altra C* X = D*, le quali poi equi val gono rispettivameiite alle

AX == B , CX=D, che dunque sono equivalenti fra loro. Quindi :Condéxéo?ie necessaria e su# cieiile per la risolubilità e l’equi-

1:alenxa di due equaxioni AX = B , CX = D ( o XA=B , XC = D)

è che le tre abbiano zcgzcal

Con questo criterio si verifica ~n particolare che le varie equa-zioni A*X=B* che si deducono secondo il n. o 1 dalla AX = B ,sono tutte equivalenti.

La condizione poi perchè AX = B ammetta tutte le soluzioni

di CX=D è evidentemente che CX=D e A X = B siano equi-(e) (Dvalenti, e si deduce quindi:

necessaria e sufficiente AX = B(o XA=B) am netta t2ctte le soluxioni della CX =D (risp. XC=D),

é che le due (

caratteristica.4. - Confrontiamo ora un’ equazione di un tipo con un’ equa-

zione dell’altro; proponiamoci cioè di determinare, ove esistano, lesoluzioni comuni alle due equazioni

le matrici A, B , C , D sono matrici rettangolari, le prime due delle

quali hanno un ugual numero di righe, le ultime due un ugualnumero di colonne; perchè inoltre le due equazioni (5) abbiano so-luzioni comuni, occorre evidentemente che il numero delle colonnedi A e quello delle colonne di B siano eguali rispettivamente alnumero delle righe di D e a quello delle righe di C. Condizionenecessaria perchè le (5) ammettano soluzioni comuni è poi che sia

(6) AD = BC ;

infatti dalla prima delle (5) si deduce AXC=BC, e dalla secondaAXC= AD ; I e poiché la condizione (6) comprende evidentementetutte le condizioni prima dette, relative ai numeri delle righe e delle

Ann. S. N. 2

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colonne delle quattro matrici, la (6) medesima rappresenta l’unicacondizione necessaria trovata fino ad ora, e noi dimostreremo che

essa è anche sufficiente.

Sia iit il numero delle righe di A (e delle righe di B), n quellodelle colonne di A (e delle righe di D), p quello delle colonne di B

(e delle righe di C), e q quello delle colonne di C (e di quelle di D);secondo le formule (3), (4) del n.° 1, le soluzioni generali delledue equazioni (5) sono date rispettivamente da

dove A* , B* , C** , D** hanno i noti significati, le due matrici Ped M sono due matrici fisse aventi rispettivamente righe ed n

colonne, p righe colonne (essendo r la caratteristica di

~1 , r’ quella di C), e le Q , N sono due matrici di costanti arbi-trarie aventi la prima l -- r righe e p colonne, la seconda ?i righee p - 9-’ colonne. Perchè dunque le (5) abbiano soluzioni comuni ènecessario e sufficiente che le Q , N si possano scegliere in modoche si abbia

ossia

La (7) é conseguenza della (6) che supponiamo verificata; ri-

mangono dunque da esaminare le (8) e (9).Distinguiamo ora due casi, secondo clle almeno una delle due

equazioni (5) possiede una sola soluzione, oppure ciò non si verifica.Nel primo caso sia ad es. la AX = B quella che ha una soluzione

sola; è allora n--)- , P = Q= 0 ; la (9) è quindi verificata, e la (8)dà l’unica soluzione della AX=B soddisfa quindianche alla XC = D . Analoga conclusione vale quando si suppongainvece che la XC=D abbia una soluzione sola. - Se ambedue le

(5) hanno una soluzione sola, esse risultano allora equivalenti.

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Nel secondo caso, nel caso cioè che nessuna delle (5) abbia unasoluzione unica, la (8) ammette infinite soluzioni per la matrice N,e per ognuna di queste la (9) dà una ed una sola matrice Q, poichèè C** , M ~ ~ 0 ; le (5) hanno quindi soluzioni comuni. - Questesoluzioni comuni non possono però essere tutte quelle di una odell’ altra delle due equazioni (5); bisognerebbe infatti per questoche o la matrice N, o la Q, potesse darsi ad arbitrio, e che questonon sia risulta per la N dalla (8), per la Q dalla

conseguenza della (9). In particolare, le (5) non sono mai, in questosecondo caso, equivalenti.

Possiamo dunque dire :Condixione necessaria e sufficiente perchè le equazioni AX =I3,

XC = D , supposte risolubili, abbiano soluxioni cornuni è che siaAD ==BC.

Esse non possono mai essere equivalenti, eccetto il caso ovvioche a1nbedue abbiano una soluzione sola. Di una di esse non

può possedere tutte le soluzioni eccetto anche qui il solocaso che di esse abbia una soluxione

Da ciò che si è detto sopra risulta che le soluzioni con1unj pos-sono rappresentarsi con la formula

111 ) J

dove è

riguardando sempre, in queste formule, le P , M come fisse, la Qinvece coliie arbitraria. Infatti la soluzione generale dell’equazione (8)

A*-’ B* . ÌVIrispetto alla lxlatrice N può scriversi N - ( P ) ( RI1) , essei-ido Rrispetto alla matl’1ce N può scriversi N = p) R’ essendo Runa matrice arbitraria di )i-)- righe e 2 - ’ colonne; ma poten-dosi evidentemente determinare sempre una matrice Q tale che sia

si ha appuuto 1

serviamo però che gli elementi della matrice Q, per quanto arbi-

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trari, non rappresentano altrettante costanti essenziali nell’ espres-sione (12) della N, e quindi nell’espressione (11) della X; le costantiessenziali sono infatti soltanto gli elementi della R = QBI , e sono

perciò in numero di (n-T) (p2013?~). - Adoperando invece della (8)la (10), le soluzioni comuni possono scriversi

essendo

e la matrice N è arbitraria ; valgono per essa le stesse osservazionifatte sopra per la matrice Q.

5. Facendo il caso particolare C = A , D = B si ottiene :La necessai>iia e le due

risolubili)

abbiano soluzioni è che A e B siano perJnutabili.Poichè inoltre se le (13) hanno ambedue una sola soluzione, la

matrice A, e quindi anche la B, è una matrice quadrata, ed è

~ A I =~= 0, vediamo cheLe due equazioni (13) nzon possono eccetto

il caso che le dzce siano quadrate e ~ A: =~= 0 ; in questocaso poi esse sono eqztivale ili allora ed allora soltanto che A e Bsiano come si vede anche direttamente, e come ab-biamo ricordato in pdncipio.

~i vede di pi i che volendo mantenere al concetto di quoxientedi due matrici A , B la proprietà di essere definito da una qua-lztnqzte delle due equazioni AX = B , XA = B , si ricade necessa-i°iamente nel caso che sia ~ 0 ( ed AB == BA ), ossia nel casodell’ unicità del quoziente medesimo.

Un altro caso particolare può aversi facendo nelle (5) B = D ==0;si ha

Se le due AX = 0, XC= 0 hanno arnbedue solttxioninon ideiitica>ne>ile posseggono soluxioni comuni, non nulle.

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6. -- Abbiasi ora un sistema di 1n equazioni lineari in n ma-trici incognite, del tipo .

n

e sia ~.2 il numero delle righe di A, ,i , i Ai.2 ... , 1 Bi quellodelle colonne di A,,,7, , e v il numero delle colonnedelle B i ; 1) ogni X7t avrà allora .V7t righe e v colonne. Ponendo

vediamo che ad ogni soluzione del sistema (14) corrisponde unasoluzione dell’ equazione

essendo la X legata alle Xl , X2 , ... , dalla relazione (15); e ~Ti-ceversa da ogni soluzione di questa equazione si ottiene una solu-zione del sistema (14).

Si ha cos il seguente risultato, completamente analogo al teoremadi CAPELLI per le equazioni lineari:

Condizione e pei-chè il sistema (14) 1netta soZczzonz, è che le clce

1) V. la definizione di somma di matrici e le osservazioni fatte inprincipio,

22

abbiano la stessa caratteristica. - Arnrnette poi una sola soluzioneallora ed allora soltanto che qitesta caralteristica sia uguale alnitinei-o delle colonne della Altrirnenti, se r è ladetta caratteristica, le soluzioni sono 00 1 (11 + 12 + ... +,,~ - r) .

Applicando, per la risoluzione effettiva dell’equazione (16), ciòche è stato detto al n. o 1, ci si riduce ad un’ equazione analoga,nella quale la matrice nota del. primo membro è una matrice qua-drata, avente il determinante diverso da 0, mentre nella matricedel secondo n1embro si introducono le costanti arbitrarie occorrenti.

Supponiamo ora appunto che per il sistema (14) si abbia’I + ’12 + ... -- v 2 -F- ... -j-;.."2 , e che il deteriiiina ite del sistenza,cioè il determinante della prima delle matrici (17), sia diverso dazero. Della matrice ora detta potremo allora considerare la matrice

reciproca, che scriveremo al modo seguente

rappresenta una matrice di v2 righe e colonne; indi-cando allora con , h il simbolo di KRONECKER (§==0 per k#h,~~=1), avremo

Se quindi moltiplichiamo equazione del sistema (14), cioè la

.L

per A’ 1t. i a sinistra, e sommiamo poi rispetto ad i da 1 ot-teniamo

Questa fonmtcZa presenta una evidente analogia con la regola diCRAMER.

23. . e

Riguardo infine alla caratteristica delle soluzioni possiamo dire,

nel caso generale, che se s è la caratteristica della matrice

le caratteristiche delle varie matrici

, - 7’" I

sono date dai numeri

s , s--~-1 , I ... -~- V2 + ... --~- vn-r , essendo r la caratteristica della

prima delle due matrici (17). Nel caso poi che questa matrice sia

quadrata ed abbia il determinante diverso da 0, la caratteristica r~,di ogni singola X7t sarà, secondo la formula (18), la caratteristicadel prodotto delle due matrici .

r TI i

la prima delle quali ha caratteristica uguale al numero delle suerighe; avremo quindi 1)

_

essendo il numero dei divisori elementari uguali ad U~ 2) dellamatrice,

. A ’ ~ B

1) V. la mia Nota: Sulla caratteristica del prodotto di dlte matrici[Periodico di Matematica, anno XXIV (1909), fase. VI, pp. 253-265], p. 261.

2) Per la definizione e le proprietà dei divisori elementari di unamatrice cfr. MU1.’H, Op. Cit.

24

nella quale la A’ 1t non è che la A’ 11. cui siano aggiunte (se è s > ’hJ s-«),righe di elementi nulli, e la B è formata con s colonne indipen-denti della B e (se è v~, > s ) con colonne di elementi nulli.

L’ equazione AXB = C .

7. - Un procedimento analogo a quello segu to nel 1 ci

permette di determinare le condizioni di risolubilità di un’ altra

equazione lineare fra matrici, di tipo diverso da quelle considerateprecedentemente, cioè della

(19) AXB = C .

È intanto manifesto, per quel che vedemmo al n.° 1 medesimo, chese tale equazione ammette soluzioni, le due matrici A, (A, C) hanno

/T)B

-ugual caratteristica, come pure le altre due B, B @ in quanto cheg p C qrisultano risolubili ambedue le equazioni AY = C , ZB = C ; dimo-streremo ora che queste condizioni sono insieme sufficienti.

Supponiamo perciò che queste condizioni siano soddisfatte, eindichiamo, con notazioni analoghe a quelle del n.° 1, con ??2 Pi numeri delle righe rispettivamente di A e B, con n, q i numeridelle loro colonne, con T la caratteristica di A, con s quella di B,con t quella di C. Consideriamo ora una matrice A* formata con1)" righe indipendenti di A, e siano quelle aventi i numeri d’ordine

io¿ ,..., 1:,., una B** formata con s colonne indipendenti di B, ad

es. la k~ e.9i’»a , 7:2 eS2ry ,~ ~~, esima, ed infine la C formata dagli ele-menti di C che appartengono ordinatamente alle righe di indici

iz,..., iy , e alle colonne di indici ki , k2 ,..., k-, . Poichè A* ed (A, C)

risp. e ()) hanno, per l’ipotesi fatta, ugual caratteristica, èÌ C ’chiaro che ogni riga di (A, C) ) iis . p ogni colonna di jj che nonsia fra i2 esimct ~...~ ’esima ( risp. ~il una combinazione lineare di queste ultime; altrettanto quindi accade

per la matrice C, e la matrice C ha dunque la stessa caratteristica

25

di C. Scambiando allora opportunamente le righe di A e C, e le co-lonne di B e C, potremo scrivere la í19) nel modo seguente:

avendo la A’ righe e n colonne, la B’ p righe e q-s colonne,la C’ r righe e q - s colonne, la C" 7n-7. righe e s colonne, la C"’infine 1Jl- r righe e q - s colonne. Ma le due matrici

hanno ambedue, in seguito alla ipotesi ammessa, la caratteristica i-,e cos le

hanno la caratteristica s; per il ll. o 1 potremo allora porre

essendo L una matrice di righe e r colonne, 31 una di s

righe e q --s colonne. La (20) si può anche scrivere:

e quindi se X verifica la (19) verifica anche la

Ala, inversamente, soddisfi X alla (23), e le due condizioni enun-ciate siano soddisfatte; avremo allora, per le (21),

26

onde sarà soddisfatta anche’la (22). Le (19), (23) sono dunque equi-valenti.

La soluzione generale della (23) si scrive immediatamente; seinfatti P , Q sono due matrici fisse, rispettivamente di n - r righee n colonne, p righe e p - s colonne, scelte del resto con l’unica

condizione che sia y* *

0 B** 0 e U T W tre matricicondizione che sia > e > tre matrici

affatto arbitrarie, aventi rispettivamente r righe e p-s colonne,n-r righe e s colonne, righe e colonne, ogni matriceX per la quale si abbia

soddisfa evidentemente alla (23), mentre per ogni soluzione della

(23) esistono manifestamente tre matrici U , V , W per le quali èsoddisfatta l’ultima relazione; vi è inoltre corrispondenza biunivocafra le soluzioni X della (23), e i sistemi di valori delle costantidi U, -V , W. Si ha dunque :

Co.ndixione necessaria e sufficiente perchè l’eqizaxione (19) am-

metta è che le due matrici A, > ( A C), e le altre due B, (B)abbiano rispettivamente ugual caratteristica. - La soluxione gene-rale di tale equaxione è data da

essendo le P, Q 1natrici fisse, le U , V, W matrici formate di co-stanti arbitrarie, ed avendo poi tutti i simboli il significato dettosopra.

Gondixione necessaria e sufficiente perchè la ( 19), supposta riso-lubile, abbia sola soluxione, è che la caratteristica di A siauguale al numero delle sue colonne, e quella di B uguale al nu-1nero delle sue Tighe. Se questo non è, le soluxioni sono

Riguardo alle caratteristiche delle soluzioni dell’equazione (19~si osservi anzitutto che la matrice (C , U) può avere per caratte-

27

ristica, essendo la U arbitraria, uno qualunque dei numeri com-

presi (i limiti inclusi ) fra t e il più piccolo dei numeri t + p-s ed

r; ciò si vede immediatamente supponendo di sostituire a C unamatrice formata con t colonne indipendenti di C medesima. Ana-

logamente se per una certa U la (C, U) ha una caratteristica p,

la (C ) potrà avere per caratteristica uno qualunque dei numeriv W /compresi (i limiti inclusi) fra r, e il più piccolo dei numeri

e p. Se allora supponiamo che p sia precisamente la massima ca-ratteristica che può raggiungere la (C, U), cioè il più piccolo deinumeri ed i-, vediamo che la massima caratteristica della

C ’u ) j è data dal più piccolo dei tre numeri +p20132013s- , ( V, W .Poiché, per la formula (25), la caratteristica di X è uguale a quella

di l i abbiamo dunque :(C " U) 1

Le caratteristiche delle soluzioni della (19) sono date dai itu-meri liiniti inclusi C e %7pm Piccolo dei tre numeri 7Z,p.

~

CAPITOLO II.

L’equazione AX = XB

L’ equazione AX

8, - Prendiamo ora a considerare l’equazione

in essa le due matrici A, B devono essere necessariamente quadrate,in quanto che, ad es., il numero delle righe come quello delle colonnedi A, debbono essere uguali ambedue al numero delle righe di X.

Il FROBENIUS, in L. S. pag. 28, giunge (in modo rax’¡onale) alrisultato che per la risolubilità della (26) è necessario che le due

caratteristiche 1)

rispettivamente di A e di B abbiano divisori comuni ~).Il SYLVESTER 3) mostra poi che questa condizione è anche suffi-

ciente, determinando effettivamente (quando essa sia soddisfatta)

i) Ricordiamo che data una :matrice quadrata A, di ordine n, sichiama funzione caratteristica di A il polinomio di grado n nella varia-bile m , .

2) Cfr. anche iVIUTH, Op. cit., p. 163, che però considera solo il casoIBI =1= 0 .

3) en 7nat>.ices xq [Con1ptes rendus ecc., vol. IC(1884, 2.~ sem.), pp. 67-70, 115-116 ~.

29

alcune soluzioni dell’ equazione medesima ; esse però vengono de-terminate in modo irrazionale, valendosi del teorema fondamentale

dell’Algebra. Ci proponiamo in quel che segue di determinare 7.a-;;ionalJnente la soluzione generale della (26); ritrovererlo cos anchela condizione necessaria e sufficiente ora ricordata.

Ci varremo perciò del procedimento dato recentemente dal sig.prof. 0. NICOLETTI per ridurre ad una certa forma canonica, deter-ininabile razionalmente, una sostituzione lineare omogenea 1). Conquesto procedimento in luogo di operare nel campo di razionalitàdi tutti i numeri reali e complessi, si opera in un qualunque campoR di razionalità che conteuga gli elementi delle matrici date.

9. - Cominciamo dal ricordare, in questo n. o e nel successivo,alcuni dei primi teoremi dati nella Memoria ora citata, Memoriache in seguito indicheremo brevemente con la iniziale Sia

(i ,~ j =1, 2 ,..., n) una matrice quadrata di ordine 7i e

D (w) == ila sua funzione caratteristica, 2) e si ponga per brevità

== aij (i, j == 1 , 2 ’I

ess,ondo ,’ij i simboli di KRONECKER; sia poi R un determinatocampo di razionalità, che contenga gli elementi di un divisore (variabile), nel campo R, del determinante

D(w) , pa2 ,..., pah ~ ~ ... ~ ah) i divisori elementaridella matrice A- Ew relativi al divisore P. Posto in generale

ogni minore di di D ((~))

i) Sulla riduzione a for iia canonica di una sostituzionelineare oiiiogeiz2a e fascio di bil¿near1i [Aiinali di Matematicapura ed applicata, serie III, t. XIV, (1908), pp. 265-325], Cap. I.

2) I risultati che ora ricordiamo sono dill10strati in 1B1. prendendo pi@in generale, in luogo della E, una qualunque matrice a determinantenon nullo.

30

sarà divisibile per e ve ne sarà fra essi almeno uno regolai-erispetto a P, cioè non divisibile per una potenza superiore di P ;e poichè, come è noto, ogni minore di D (w) regolare rispetto a Pcontiene minori, di qualunque ordine, che godono di questa pro-prietà, potremo inoltre supporre che i successivi minori regolari ri-

spetto a P, che indicheremo ordinatamente con

siano ciascuno contenuto nel successivo.

Dividiamo ora per ognuno dei seguenti minori di ordine n-p

e indichiamo con il quoziente ottenuto, cos che avremo

Si hanno allora per la matrice

di h righe ed n colonne, formata con le hn funzioni di (ù ora de-finite, le proprietà seguenti :

a) Si ha

b) La 1natrice (27) ha (mod. P) la caratteristica h 1).10. Siano ora ho = h , hz .... i cos detti mumeri di

PREDELLA 2) relativi al divisore P, ed alla matrice sia cioèin generale h, il numero degli esponenti cio maggiori di t; abbiamoil teorema 3):

!) M., n. 1-2, pp. 268-271.2) V. BERTINI, Introduzione alla geometria pi-oiettiva degli

Pisa, Spoerri, (1907), p. 99.3) M., n. 3, pp. 271-273.

31

Le congrue11ze

ai>1»iello>io ht1 soluxioni (indipendenti) la cui matrice ha P)la

Qualunque matrice di soluxioni di esse congruenxe ha (mod. P)una caratterzstzca non 1naggiore di

Per t> a.l la dimostrazione stessa di questo teorema prova, senzaalcuna modificazione, che ogni soluzione delle congruenze ,

è divisibile per P ; ponendo allora, per una tale soluzione, X~ otteniamo

,

e eosi seguitando vediamo che il teorema enunciato può comple-tarsi cosi :

Ogni soluxione delle congruelzxe

1

è di/visibile per Pl-ai .

Si ha inoltre che se P (appartenendo sempre ad R) non divideogni soluxione delle o (29’) è 0 (mod. PL).

Infatti i ragionamenti del citato n. 3 di M. provano che ogni talesoluzione è divisibile per P, e le considerazioni fatte poco fa mo-strano allora appunto che essa è divisibile per P .

Ogni sistema di hn funzioni (~= 1, 2 ,..., n ; p==] , 2 ,..., ~c)che goda delle due proprietà a), b) poco sopra enunciate, è detto(ll1., p. 27 3) gin sistema canonico di soluzioni relatzvo al divisore Ped alle righe di A. - Eo). Vale il teorema 1).

i) M., n. 4, pp. 273-275.

32

L’eslJressione della generale solitzíone Xj delle (29) per delle soluxioni di itn canonico è

In essa ogni polinomio 1~I~. (o» (1-- 1, 2,..., hL_1) è determinatorispetto al modulo P~, ogni polinomio (w) rispetto a Per ; essa

dipende da

parametri aTbit’raTi, essendo g il grado di P rispetto ad w..Se consideriamo invece le (29)’, la proprietà sopra notata dice

evidentemente che la loro soluzione generale si ha moltiplicandoper Pl-ai la soluzione generale delle congruenze

si vede allora facilmente che anche per le (29/ si ha una formula come

la (30), solo che in essa 111ancheral1110 i termini £,, M. (c) Xr’ (c) ,i

ed i valori di p, anzichè andare da 1 a andranno da 1 ad 1.

Ma se nella (30), cos come è scritta, diamo un valore mag-giore di al, ed osserviamo che può ritenersi /~=0 per possiamo dire che la (30) dà la solltÃione generale delle congruenze

can 1 qualunque (intero e positivo), pzirchè si intenda che ognunadelle

debba esser fatta 2cgzcale a 0, è iiiillo l’ir2dice sztpei-ioi-e. -.11 dei pai-aiiietri aobrttrari da dipei de la detta

33

xione generale è dato in ogni caso da g (h-E- hl -~- ... -]- hz-,); infattiper esso è g ~h--~hl -I-...T h«1-1 ), e si ha

11. - Richiamate queste proprietà fondamentali si considerinoi q sistemi di congruelze

dove i E~z,..., ~3~ ~ ~2 >...> Pq) sono un certo numero q di numeriinteri e positivi affatto arbitrari, e è un polinomio di grado g, primo nel considerato campo di razio-nalità R.

Indichiamo con X,,1 una soluzione qualunque del primo sistema,con X , una del secondo, ecc. ; siccome ogni X~(o==l,2,...~) èdefinita solo rispetto al modulo PPa, potrà scriversi esplicitamenteal modo che segue: 1)

Le debbono riguardarsi come quantità note, contenenti pa-rametri arbitrari, in quanto che le cose ricordate nei n.i precedentipermettono di determinare la soluzione generale di ognuno dei si-stemi di congruenze (31); e poichè le date dalle (32) soddisfanoai sistemi (31), si trova facilmente, eseguendo la sostituzione, chedeve aversi 2)

~

f) Si confronti il principio del n. 6 (p. 276) di M.2) Cfr. M. n. 7, pp. 278-279.

Anit. S. N. 3

34

questo porta evidentemente che sia (M. p. 278)

Consideriamo ora la matrice seguente, che indicheremo con

composta di matrici parziali dei tipi qui indicati, ciascuna delle

quali ha l’ordine 9; la è perciò di ordine e la

ha, come subito si riconosce, 1’ unico divisore elementare po-niamo inoltre

/ P(1) n n B

35

risultando cos Bo,l una matrice quadrata di ordine che chiameremo Piati-ice normale relatira ai dirisori elementari

PP2 P03B2, ; la B,,,, - Ew possiede appunto questi divisori ele--mentari 1). Se allora indichiamo con la matrice

di n righe e colonne (essendo j l’ indice delle righe, vg + u quellodelle colonne), e con X la

di n righe e colonne, vediamo che la (33) puòscriversi brevemente cos,,-, . ---

onde concludiamo che la matrice (34) soddisfa alla relazione (35),pensata come un’equazione nella matrice incognita X.

Ma supponiamo viceversa che essendo una matrice qua-lunque della forma sopra definita, con le costanti bi , b2 ,..., bg ar-bitrarie nel campo di razionalità R, soggette all’ unica condizioneche il polinomio -~- bi + 00 --E-- bg sia primo in essocampo, l’equazione (35) ammetta una soluzione X. Adottando pertale soluzione X la notazione (34) e tutte quelle adoperate finora,vediamo che i suoi elementi soddisfano alle (33), e se quindi de-finiamo qn funzioni (j=1, 2 ,..., n ; ~=1 , 2 ,..., q ) mediante le(32), esse soddisfano, come si vede facilmente, alle congruenze (31),e perciò la X si ottiene nel modo precedentemente indicato.

Se il polinomio P, mediante il quale è formata la matrice Bo,1,non divide il (a = ~ ~ 2 ~", ~ q) dei sistemi di con-gruenze (31) non ha, per il n.o precedente, che soluzioni divisibiliper e risulta quindi necessariamente X = 0 . Se invece P di-

vide esistono effettivamente soluzioni non nulle. - Poichè

i) Abbiamo apposto alle notazioni Bl 1’ indice 1 appunto perindicare che i determinanti IB«’) - Eu)l , 2013E ammettono, nel campo0,1 0,1

solo divisore primo. Cfr. le notazioni che adopereremo ai n. 13 e 14.

36

inoltre il determinante IBo,l - è una potenza di P, e P è primonel campo R, che contiene gli elementi di A, vediamo clle il mas-simo divisore comune di JA-Ewl e è una potenza di P,e possiamo quindi enunciare la cosa nel modo seguente :"

Condixione necessaria e sufficiente perchè l’eqitaxíoiie (35), doveB,,,, ha il detto significato, ccrnnzetta soluxioni nulle è che ledue fitnzioni caratteristiche !À-Ewl , divi-sOTi La solit,-,ioi-ie più generale di essa equaxione si hasotto la formcc (34), essendo le Xj,vg+u de finite dalle (31), (32), e sideteriiiina qzti zdí 7.axio>ial»ze?ile, in ogni ca1npo di raxionalità Rche contenga gli elementi di A e di Bo.~.

12. - È facile calcolare il numero N dei parametri arbitrarida cui dipende la soluzione più generale della (35), Dal n, 10 siha intanto che la più generale matrice è un aggregato lineareed omogeneo l) di

particolari matrici X(1), linearmente indipendenti, avendo indicatocon i numeri di PREDELLA relativi alla matrice A ed al divisore P;la X dipenderà quindi, pure linearmente ed omogeneamente, da

- , ..

parametri arbitrari. A questo numero N si possono però dare altreforme che vogliamo determinare.

Scrivendo, anzitutto, per disteso la somma dell’ultima formulaal modo seguente:

i) Notiamo esplicitamente che qui ed in seguito con le frasi : com-b na1-’e linearmente piú matrici, aggregato lineare edoniogeneo di più matrici, ed analoghe, intendiamo sempre che i coeffi-cienti della combinazione siano nun2eri e non ’1natrici.

37

e indicando con ~0=~==~ , ... i numeri di PREDELLA per lamatrice si vede immediatamente che è

’

ne segue anche, per ragione di simmetria,

Un’ altra espressione per mezzo dei numeri a può ottenersicosi. Essendo· evidentemente

si ha

ossia

Può scriversi allora

e vediamo che il numero +... + hp6-1 può anche ottenersiconsiderando di ogni coppia (Na , y) , (~,, fJ2) ,..., {~ ~. , ’1.h) il numero

più piccolo e facendo la somma degli h numeri cos ottenuti; perottenere N bisogna poi fare la somma rispetto a 3, e moltiplicareper g.

Possiamo dunque dire:~Se con ~~~~. il piccolo dei nU7neri ~~ , 3~. (;:=1,2,...,1~ ;

o==l,2,...,~), l’equaxione (35) ammette

1) Per h=k=q , al- =~1 , uz-~z ,..., ut,, =~h si ottiene *Cfr.M.n.5,p.276.

’

38

soluxioni linearinente indipendenti,. la soLzcrione generale si ottienecombi, za ido linearmente ed omogeneamente N soluxioni linear-nlente indipendenti.

L’equazione AX

13. - Siano ora, sempre nel considerato campo di razionalità

R che contiene gli elementi della matrice A, p~I,I, ~~1,2 ,...,

,..., P°‘z,2 ,..., i divisori elementari di A-Ew;1 2 m mindichiamo con Ao, 2 (i=1, 2 ,..., rn) la matrice normale relativa ai

divisori elementari p~i,1 ,..., e con Ao la matrice di ordine n

l a Åo - Ero ha allora i medesimi divisori elementari della A-Ew,e la Ao può dirsi Zc 1natrice normale 1 j relativa ai suddetti sori elementari di A.

Si vede subito che il metodo del n. 11 permette di determinare,in modo razionale, la soluzione generale dell’equazione

Sia infatti gi il grado di P, , e poniamo

essendo X.i una matrice (incognita) di n righe e di

-~- ... -}- y i ,~ Z ) colonne; la (36) può scriversi allora

~

i) Si osservi che veramente di tali matrici se ne ha un numero finito,e non una sola, secondo l’ordine in cui si seguono le Ao, i . Adopreremonon ostante la frase « La matrice normale » perchè tale ordine sarà disolito indifferente, ed avremo cura di metterlo in evidenza quando dovràsoddisfare a particolari condizioni.

39

e si scinde quindi nelle »i equazioni

ciascuna di esse, contenendo la sola matrice incognita Xi, ed es-sendo del tipo studiato al n. 11, può risolversi razionalmente, erisulta cos risoluta anche la (36).

Ogni matrice Xi dipende poi, in modo lineare ed omogeneo, da

parametri arbitrari, essendo il minore dei due numeri il numero dei parametri che entrano, pure linearmente ed omoge-neamente, nella soluzione generale della (36) risulta allora

Se supponiamo che sia, per ogni valore di 1facilmente si trova, in questo caso,

si ha dunque

Indicando poi cun n11 il grado in o) del m. c. d. dei minori di or-dine n - r di si ha

e si ottiene cos per il numero N anche l’altra espressione

Si può richiedere ora se la (36) anmnetta soluzioni a determi--nante diverso da 0, o ivi altri termini se il determinante IXI della

40

soluzione generale sia una funzione identicamente nulla o no delleN costanti arbitrarie.

Dai nn. 6 (pp. 276-278) e 9 (pp. 281-283) della più volte citataMemoria del sig. prof. NICOLETTI risulta appunto che se ogni ma-trice parziale Xi si determina mediante un sistema canonico rela-tivo al divisore P i, la matrice X ha effettivamente il determinantediverso da 0. Il determinante ~X~ della soluzione generale della (36)non è dunque identicamente nullo, e l’imporre alle costanti arbi-trarie la condizione non limita il numero delle costanti me-

desime, onde le soluzioni a determinante diverso da 0 dipendonodallo stesso numero N di costanti arbitrarie, come la soluzionegenerale.

Dai nn. 1l (pp. 284-285) e 13 (pp. 286-288) di M. risulta poi chela X ottenuta nel modo ora detto, adoperando per ogni Pi i il piùgenerale sistema canonico, è la più generale soluzione della (36)a determinante non nullo; e le considerazioni dei 11n. 5 (pp. 275-276)e 10 (p. 283) della Memoria medesima offrono il modo di costruireeffettivamente tale matrice. Si può invece procedere alla determi-nazione della soluzione più generale della (36) nel modo detto sopra,ed imporre in ultimo alle costanti arbitrarie la limitazione

Nei citati nn. 5 e 10 di M. viene poi determinato, come numerodelle costanti arbitrarie che entrano nella più generale soluzioneX a determinante non nullo, appunto il numero

il che è conforme a ciò che sopra abbiamo detto.

È noto che due matrici A e B (quadrate e del medesimo ordine)si dicono sirniti i) se esiste una matrice S, a determinante diversoda 0, per la quale sia e si dice che la S ricluce la Aalla B, o anche A nella B. -- Le due matrici A , Aosono dunque simili, e la Ao si suole anche chiamare la forma noi--

ridursi la A (nel campo R), o semplice-mente forma normale della matrice A (nel campo R); le solu-

t) Cfr. FxoBENius, L. S., p. 21; MUTH Oj). cit., p. 29,

41

zioni ~. della (36) con sono tutte e sole le matrici che ri-ducono A alla sua forma normale. Abbiamo dunque : 1)

Se A è una ii cttrice qualunque ed Ao la sua forma normale

(in un deterJninato campo di raxiunalità che contiene gli eLeme»ti

di A), e si indicano con @ i

divisori etem,entari di A-Eå), e con AO~i i (i-1 , 2 ,... , m) le ma-trici relative ris»ettit>a>nente ai divisori elementaripai,1

i 5 equaxoe

risoZversi con operazioni ,, 1e determinando ogni Xi, col 1netodo del n. 11, dall’equazioneAX i = Xi AO.i i (i=1, 2 ,..., (36) a1n1nette N soluzioni li-nearmente essendo

dove g i è il grado d z P i , ed n,. indica il grado 2f2 ro del m. e. d.dei 1ninori di ordine n - r di la soluzione generalesi ha combinando linearniente ed oi>iogenea>izente N tali soluxioni

particolari. Il della soluzione generale non è iden-ticanieiite nt.cLLO, ed imhonendo la condixione si hanno 00 N1natrici che sono tutte quelle che riducono A alla s2ca forma

Risoluzione dell’ equazione AX=XB.

14. - Veníamo ora alI’ equaziome

che consideriamo in un campo di razionalità R che contenga glielementi di A e di B, e sia V una particolare matrice che riduce Balla sua forma normale Bo:

i) Cfr. il teorema di M., n. 13, p. 288.

42

dalla (26) si deduce allora

e ponendo

se viceversa Y soddisfa alla (38), la determinata dalla

(37) soddisfa alla (26); basta dunque considerare l’equazione (38).Siano i (~==1,2~...,~) i divisori elementari

di B-Ew nel considerato campo R, e si indichi con la ma-

trice normale relativa ai divisori elementari cos

che sarà

detto poi n l’ordine di A , g i il grado di P; , si ponga

essendo la Yi una matrice di n righe e colonne. La (38) equivale allora alle n~. equazioni

Ora, per il n. 11, la i esima di queste non ammette che la soluzionenulla se Pz i non divide mentre se Pi i divide ammette soluzioni non nulle; la condizione di risolubilità (con ma-trici non nulle) della (38), e quindi anche della (26), è dunque chele due funzioni e o IB-Eool, abbiano divisoricomuni, ossia che ammettano un m. c. d. variabile.

Soddisfatta questa condizione, se P~ i è un divisore, primo nelcampo R, conmne alle due funzioni dette, si può dalle (39) deter-minare razionalmente, secondo il 11. Il, la più generale matrice Yi i

43

che vi soddisfa, la quale dipende, linearmente ed omogeneamente(n. 12), da

parametri arbitrari, essendo i i divisori ele-

mentari di A-Ew relativi a P,, , e il più piccolo dei numeri

Se dunque v è il numero dei divisori primi comuni alledue funzioni il numero delle costanti arbi-

trarie da cui dipende la soluzione generale della (26) è data dav

Di questo numero si può facilmente ottenerei

Lm’ espressione indipendente dal campo di razionalità R nel qualesi opera 1). Si indichino infatti con i successivi di-visori elementari compM di B - Ew , si ponga cioè

e siano analogamente quelli di A-Ew ; il m. c. d. di

E~ e di F6 risulta manifestamente P§2ea ... e se quindiooa è il grado di tale m. c. d. avremo

onde segue

che è l’ espressione voltita.Abbiamo cosi il teorema :

Condixione necessaria e sufficiente perchè l’equaxionc

ananietta sohzioizi non nitlle, è che le due funxioni caratteristiche

IA-Ewl , IB-EtOl am1nettano divisori comuni. Se P~, P2 , ..., P,,

1) Questa espressione mi fu fatta osservare dal prof. O. NiCOIrETTI.

44

sono i divisori, primi in un campo di raxionalità Rche contenga gli elementi di A e di B, comuni alle dlte dette ficr2-

zioni, ,1 ,_.., P-i,,i i (í-l 2 ,..., ,) i corriS1JOndent£ ele-

di A-Ew, P6i,1 ,..., i quelli di B - Ew, e indichiamocon B,,í i (i =1 , 2 ,..., v) la matrice nor1nale relativa ai divisori ele-

1nentari la soluxione generale della (26) si ha dalla

formula

dove V è una particolare che riduce B alla sua formanormale

ed ogni YZ i si ottiene

col metodo del n. 11.

La soluxione generale della (2C) linea)-ii ente ed o iio-

geneamente da

costanti arbitrarie, essendo 7i,,,, il pi11 piccolo dei e il grado del m. c. d. del divisore elementare di A - Ero e del (j esimo di B - Ero. - Si hanno per il nu~~~ero Nanche le espressioni .

45

essendo h~i ~ , ,... i numeri di PREDELLA per il divisore P ~relativi alla matrice A kl(i)-qi , k"), 1;(", ... quelli relativi a B.

15. - Supponiamo ora che A e ~3 siano dello stesso ordine; lamatrice incognita X è allora anch’essa quadrata e dello stesso ordineche A e B, e ci possiamo quindi domandare sotto quali condizioniesisteranno soluzioni X a determinante diverso da 0. Se questoaccade le due matrici A e B sono simili, e i divisori elementaridi A - E:ò sono quindi eguali a quelli di B - Ew 1). supponiamoviceversa che questa condizione sia soddisfatta; allora nell’ equa-zione (38) la matrice Bo non è che la forma normale di A, e quindieffettivamente, per il n. 13, la soluzione generale Y, e perciò ancorala soluzione generale X della (26), avrà il determinante non identi-camente nullo. Si ha cos il seguente teorema, caso particolare diun teorema di WEIERSTRASS : 2)

Coradiziorze necessaria e sufficiente perrhè (26) am-1netta soluxioni a deterrninante diverso da 0, cioè perchè due ma-

A e B siano è che le due in(tti-ici A - E:J) , B - Ewabbiano gli stessi divisori

La generale iizatrice X che trasfor>na la A nella 1natriceB, cioè per la quale si ha

si ottiene determinando la soluxione generale della AX = XB, e

imponendo poi alle costanti arbit1"arie la condixione Essa

può ottenersi con operaxioni razionali dagli elementi delledue A e B, modo che r sttlta da ciò che sopra è stato

detto, e dipende,, li?eear??ee>zte ed o?riogeiieai>i,eute, da

arbitrari) avenda i siinboli gi , n, il significato dettop>.eeedente?ne>?te.

i) V., ad es., MUTH, Op. cit., p. 252.2) Per la dimostrazione di questo teorema di WEIERSTRASS (sul quale

i,itornerenio jn seg-uito), e le notizie ad esso relative, si veda la Memoriapiù volte citata del sig. prof. NICOLETTI.

46

Le matrici permutabili con upa matrice data.

16. - Facendo in particolare, nell’ equazione (26), B=A si ot-tiene da ciò che precede una risoluzione razionale del problema dideterminare tutte le matrici pe?.»iiitabili con zcna data matrice A 1).Basta per questo, secondo ciò che abbiamo visto, trovare (col me-todo del n. 13) la soluzione generale dell’equazione

se U1 è una soluzione particolare di questa medesima equazione,con ed U quella generale, la soluzione generale della

si ha poi ponendo

Si può anche, invece di determinare la soluzione generale della

(3~)‘, determinare quella della

se Y è questa soluzione si ha

facendo infatti la trasformazione 1 si passa dalla (40)alla (41), e viceversa.

Il numero delle costanti arbitrarie da cui dipende la più gene-rale matrice permutabile con una matrice assegnata A, è dato evi-dentemente da

i) Una risoluzione di questo problema, che presuppone però il teo-rema fondamentale dell’Algebra, è in Voss, Ueber die mit einer bilinea1’1en

vei-laitschbaren b linearen Fori>ien [Sitzungsberichte der mathema-tisch-physikalischen Classe der K. bayer. Akad. der Wiss., Bd. XIX (1889),pp. 283-300].

47

avendo i simboli gi, nr i significati precedentemente definiti,per la matrice A.

17. - Si osservi ora che ogni potenza di A, e più generalmenteun aggregato lineare qualunque di potenze di A, è permutabile conA stessa, ma non ogni matrice permutabile con A si potrà in gene-rale esprimere sotto tale forma ; vogliamo ricercare appunto le con-dizioni perchè ogni soluzione della (40) sia un aggregato lineare di

potenze di A.Ricordiamo anzitutto che se indichiamo il quoziente

del determinante lA - Ero! per il m. c. d dei suoi minori di ordinen-1, se poniamo cioè, coi simboli adoperati nei n,i precedenti

si ha identicamente

mentre le potenze

non sono legate da nessuna relazione lineare a coefficiemti nume-rici 1). Ne segue che ogni potenza di A, e quindi ogni aggregatolineare di tali potenze, si esprime linearmente, in modo facilmentedeterminabile, per le prime gl ~ll,1-+- g2 91,2 + - * * + 9 11, potenze oraindicate; ed essendo queste indipendenti, vediamo che gli aggregatilineari di potenze di A danno precisamente e soltanto ++ ... + gm i soluzioni linearmente indipendenti della (40). D’ altraparte il numero delle soluzioni linearmente indipendenti di questaequazione è

1) Per la dimostrazione di questo ben noto teorema V. FRO-BENius, Ueber 1Jfatrizen [,Sitzuiigsberichte der KóuiglichPreussischen Akademie der Wissenschaften, zu Berlin, 1896, XXVI,pp. 601-614], p. 606. Cfr. anche FROBENIUS, L. S., pp. 10-11, MUTH, Op.cit., pp. 34-35; la dimostrazione ivi data è però trascendente.

48

perchè quindi ognuna di tali soluzioni soddisfi alla condizione vo-luta occorre e basta che sia fJ.i,’2==’li,3==."==O (i=1, 2 ... m). Ab-biamo cos : -

Condixione necessaria e sufficiente perchè ogni 1natrice per7nu-tabile con A sia un aggregato lineare di potenxe di A, è che ad

ogni divisore di corrisponda solo ele-mentare della matrice A-Ew ; od in altre parole che í minori d’or-dine n -1 di questa matrice non ammettano alcun divisore (va-riabile) comune.

Per una matrice tale condizione è soddisfatta, e siritrova cos un teorema della Memoria del sig. MOUEN, Ueber Sy-steme höherer complexer Zahlen [Math. Annalen, Bd. XLI (1893),pp. 83-156; p. 122]. Vediamo anche che i due fatti che una ma-trice A abbia il massimo numero n di potenze linearmente indi-

pendenti, e che le matrici permutabili con essa siano tutte aggregatilineari delle sue potenze, si presentano simultaneamente.

Avremo in seguito occasione di vedere a quali sistemi di valoridelle costanti arbitrarie che figurano nella soluzione generale (42) del-I"equazio e (40), corrispondano gli aggregati lineari di potenze di A.

Altro metodo di risoluzione dell’ equazione AX == XB .

18. - Prendiamo di nuovo a considerare 1’equazione (26), evediamo come si possa dare un’altra espressione della sua solu-zione generale, note che siano due particolari matrici che riducano

rispettivamente le A , B alle loro forme normali Ao, Bo.

Siano, adoperando le stesse notazioni del n. 14, i

(i - 1 , 2 , i divisori elementari di A - Ew, nel solito campo

d.. , L. t.... R fli1 l f - ,q. ( . _1 2 ) IL. d, B Edi razionalità R, e ( j =1, 2 ,..., y.) quelli di B-Ew,e indichiamo con Ao, i (i =1, 2,..., m) la matrice normale relativa

.

d... L t. pai 1 a p . co B (. 1 2 ) Ilai divisori elementari con Bo, j ( j=1, 2 ,..., .) quellarelativa ai Siano poire a va a i ,..., i j. ana pOi

49

i divisori primi comuni alle due funzioni Indi-chiamo con U, V due particolari matrici che riducano .A, B rispet-tivamente alle loro forme normali

cioè due matrici per le quali si abbia

ponendo allora

(43)dalla (26) si deduce

(44)

mentre viceversa se Y soddisfa a questa equazione, la X data dalla(43) soddisfa alla (26); ricercando dunque, come ora faremo, la piùgenerale soluzione della (44), avremo dalla (43) la più generale so-luzione della (26).

Poniamo perciò

dove Y;; è una matrice incognita di ~~-,i-b..+~-.~) righe e

Y(-,i+...-)--,q.) colonne, ftyendo indicato con gi il grado di Pi ,con Yj quello di Qj; la (44) si scinde allora nelle m~ equazioni

(45) (~1~...~~=1,2,...~);

ma se in esse facciamo oppure ~~’~>’~ le due funzioniS. N. 4

50

BAO,i -Ec~~ , --E,1 nan hanno divisori comuni ; si ha dunque

e ponendo per brevità

rimangono le > equazioni

ciascuna delle quali contiene una delle matrici incognite Yi ; risol-vendo ciascuna di esse si ha poi la soluzione generale della (44)nella forma

Consideriamo ora una qualunque delle equazioni (46), e proce-diamo sn di essa in modo analogo a quello tenuto per la (44). Indi-chiamo con A(-) (p= 1,2,...,?,) la matrice normale relativa al di-visore elementare con B~(~==1~2,...,~) quella relativaa P03B2i" e poniamo

essendo una matrice (incognita) di righe e co-

51

Ionne. Anche qui ciascuna delle equazioni (46) risulta equivalenteal sistema di i equazioni

ognuna delle quali contiene l’unica matrice incognita Basta dunque studiare una qualunque delle equazioni (49); dalla

soluzione generale di ciascuna di esse si dedurrà mediante le for-mule (48) e (47) la soluzione generale della (44).

Consideriamo dunque una qualunque delle (49), e supponiamo,per fissare le idee, che sia ricordando il modo nel qualesono state formate le A~~~ , (V. n. 11), si vede subito allora chequando i assume, come supponiamo, uno dei valori 1, 2 ,..., v, si ha

essendo M, N due certe matrici, la prima delle quali quadrata edi ordine si soddisfa dunque evidentemente alla corri-spondente equazione (49) ponendo

dove Z§) è una matrice quadrata di ordine soluzione del-1’ equazione

’

poichè anzi esistono precisamente gi matrici Z~~ linearmenteindipendenti che soddisfano a questa equazione, avremo pure g O,.i,2matrici linearmente indipendenti, della forma considerata. Ma

l’equazione (49) ammette appunto soltanto gi soluzioni linear-mente indipendenti; ne segue che in ogni soluzione della (49) sononulle le prime gi - colonne, e la soluzione medesima èq’lindi della forma suddetta.

,

Se si fosse invece supposto a.2 ,~ ~ ~i ,a , si sarebbe trovato ana-logamente che la soluzione generale della corrispondente equazione

52

(49) ha nulle le ultime c~ ~ (~ 2 ,o -;~i ,~) righe, e la matrice quadratacostituita dalle righe residue è la più generale matrice permuta-bile con la 1).

Sapendosi ora, per il n. 16, determinare la più generale matrice

permutabile con una matrice assegnata, sono cos completamentecaratterizzate le soluzioni della (49). Per esprimere la cosa in gene-

rale si indichi con quella delle due matrici A~~~ , che èdi ordine ininore, ossia la matrice normale relativa al divisore ele-

mentare e si osservi che tale matrice è manifestamente

nelle condizioni del teorema del n. 17 ; abbiamo cos :La dell’eqiiaxio>ie (44) si ottiene dalle

(47), (48), delle quali ogni ha nullele prime colonne, o le righe, se-condo che è 1nentre la 1natrice qtadrata Zi

"(iea righe o colonne è la generale,con ed é data dalla

dove le a2° , a(1 , ... indicano arbitrarie.I;: ioa

i) I ragionamenti ora fatti provano più generalmente, con pochemodificazioni subito evidenti, che se è la matrice normale relativa

a un certo divisore elernentare P~~, e pa2,..., ( y ~a9~ ... ), sonoi divisori elementari, relativi al divisore P, di una certa matrice A2013Em,ed è nella più generalo soluzione X dell’ equazione sono nulle le prime g (;~~-~rl) colonne, essendo g il grado di P; e chenella più generale soluzione Y della sono invece nulle le

ultime - (/.1) righe, Per quest’ultima proprietà converrà scrivere

nella forma - La prima di queste proposizioni risulta diretta-

....., ........... ,,

mente anche ctal metodo esposto nel n. il per la risoluzione clellaricordando quanto abbiamo osservato relativamente alla for-

mula (30) del n. 10. - E poi chiaro come ambeclue queste osservazionisiano applicabili all’equazione (49) e diano appunto le proprietà enun-ciate nel testo.

53

Osserviamo ancora che ogni matrice Z~ ~ è della forma

dove ogni Z, , Zz ,..., è di ordine tale infatti è la forma di

ed è evidente d’altra parte che il prodotto e la somma di due0,to più matrici di questa forma ha ancora la medesima forma.

19. -- Le considerazioni precedenti danno in particolare un altrometodo per determinare la più generale matrice Y permutabile conuna matrice data Ao di forma normale; si ottiene cos anche (cfr.n. 16), mediante la formula (42), la più generale matrice permu-tabile con una matrice qualunque A, nota che sia una particolarematrice U1 l che riduce A alla sua forma normale Ao..

È facile anzi, da ciò che precede, trovare un’espressione dellasoluzione generale Y della AoY==YAo. nella quale siano messi inevidenza gli aggregati lineari di potenze di Ao. Sia infatti Y unasoluzione della detta equazione, e si abbia, mantenendo tutte lenotazioni del n.° precedente :

Ciascuna delle ~~a matrici YH) (i =1 , ‘? ~..., m) soddisfa alla corri~

54

spondente equazione

si ha dunque

e poichè la matrice

si trova evidentemente nelle condizioni del teorema del n. 17, la

risulta un aggregato lineare di potenze della matrice (50). Le potenzeindi pendenti di tale matrice essendo in numero di 17 = 92’12,1-)-...-)-~~j, vediamo dunque che esiste un sistema di valori

1,o , )’1 ,..., ) a-l, ed uno solo, per il quale si ha, per ogni valore di ida 1 a d ii?,

4

Indichiamo d’altra parte con Y quella matrice che si ottienedalla più generale matrice permutabile con Ao, facendovi (~=1,2,...,~), il che individua le costanti che entrano nella 3e lasciando completamente arbitrarie le costanti relative alle altrematrici parziali. 1 valori ),. sopra determinati sono allona tali che, per

a-1 -la matrice Y considerata, la differenza Y - Ni, r Aó è della forma Y.

o

5555

Abbiamo cus che per ogni matrice Y permutabile con Ao, esisteuna ed una sola Y, ed uno ed un solo sistema di

pei quali si ha -

v

e viceversa, presi ad arbitrio i Àr e la Y, la matrice Y definitada questa formula è permutabile con Ao. È poi evidente che ognimatrice della forma Y (non nulla) non è un aggregato di potenzedi Ao; eguagliando infatti ad Y un tale aggregato 1,,j,,A’, si ot-tiene = 0 (i = 1 ,2 ,..., >1a) , e = 0, onde y.o = pi=... _ ~.u-1= ~ .

La (51) mette dztnqzie come lepotenze della 1natrice Ao nell’ espressione della piÙ/ gene1’ale ma-trice per )i?tlabile con Ao slessa ; ricordando la (42) (n. 16) possiamoaggiungere che se U1 l è una particola)-e 97zatrice che’riduce A alla

forma la formitla

per la matrice A lo stesso ufficio che la (51) la Ao.

Le caratteristiche delle soluzioni dell’equazione AX=XB.

20. - La forma data al n. 18 per la soluzione generale del-

l’eqt azioi e AX = XB permette di risolvere la questione seguente.Per ogni sistema di valori delle costanti arbitrarie che entrano nellasoluzione generale X della suddetta equazione, la X stessa avrà unacerta caratteristica, e questa caratteristica potrà variare col sistemadi valori scelto; quali saranno le varie caratteristiche che verrà adavere la X, quando le costanti arbitrarie variano comunque nelconsiderato campo di R? In particolare, quale sarà lamassima caratteristica delle soluzioni della AX = XB ?

Dimostriamo, riguardo a ciò, il teorema seguente:Ma)itenendo tutte le notaxioni del n. 18, e dicendo

piccolo dei p qi i (i = 1, 2 ,..., v), ta coiidixione ne-

56

e sufficiente esistaz2o, nel di R,solit;tioiii della AX = X B, aventi una ce)-ta ca?.atteristica 1", è che

questo r sia della

dove ogni li è un ,intero che sodd,isfa alla li?>iitaxio?ie

In particolare la 1nassima cai-altei-istica delle dellaAX = XB è data da

L’ultima proprietà è evidentemente indipendente dal campo dirazionalità che si considera.

Per maggior chiarezza dividiamo in due parti la dimostrazionedi questo Teorema, dimostrandolo dapprima per una qualunque delleequazioni (49).

1. o Si tratta di provare in tal caso che le caratteristiche delle

soluxioni della (49) sono i 1nultipli di 9 i

l’ultimo dei quali la Quest’ultima asserzione è evidente: adoperando tutte le nota-

zioni del suddetto n. 18, la Z§/ dovendo solo esser permutabile conpuò infatti scegliersi a determinante diverso da 0, e quindi

di caratteristica e d’altra parte la Y~i~ ha la medesima ca-ratteristica della Z~~ in quanto che differisce da essa solo per l’ag-giunta di righe o colonne di elementi nulli.

Si vede pure facilmente che esistono soluzioni della (49) (nelcampo R) la cui caratteristica è 19 (0 c t C ~~i~~). Si indichi perciòcon C/(1 la matrice normale relativa al din@isore elementare P, esi osservi che, per la forma che hanno le matrici normali, può scri-

57

versi

essendo le M , N , N’ opportune matrici ; se allora indichiamo con

una qualunque matrice permutabile con Coli vediamo subitoche può soddisfarsi all’equézione

ossia alla

ponendo

Se scegliamo quindi, come è possibile, la Z(’) a determinante di-verso da 0, otteniamo appunto una soluzione Z~ ~ di caratteristica 19 i .

Rimane dunque, per l’equazione (49), da dimostrare solo cheogni sua soluzione (nel campo R) ha necessariamente una carat-teristica multipla di ,gi . - Cominciamo dal provare ciò per il casoche sia ~~ --- N~. - 1, cioè per un’ equazione del tipo

dove si è posto

essendo

uni polinomio primo in R, e W è la matrice incognita.

58

La risoluzione di questa equazione si ottiene, secondo il n. 11,per mezzo della soluzione più generale del sistema di congruenze

dove si è posto

Occorre quindi anzitutto considerare un sistema canonico di solu-zioni per le righe di H - EO), sistema che si riduce in questo casoad una soluzione sola, nella quale una almeno delle Wi, ’V2 ,o.., W9non sia divisibile per P; una tale soluzione può determinarsi, ad es., col

metodo ricordato ai n.i 9 e 10, e indichiamola con W1, W2, ..., W l 1La soluzione più generale del considerato sistema di congruenze èallora, secondo la formula (30),

dove M (00) è un polinomio arbitrario di grado g-1, e se vogliamoche la soluzione stessa appartenga ad R, i coefficienti di M (w) deb-bono pure appartenere ad R. Se ora è, ad es. (mod. P), èanche M (00) W 0 (mod. P), eccetto che si abbia identicamenteM (00) == O; ne segue che ogni soluzione del considerato sistema dicongruenze, che non sia la soluzione nulla, è alla soluzione cano-nica per le righe di e quindi (n. 13) la corrispondente solu-zione dell’ equazione H’V = ha il determinante diverso da 0.Questa equazione non ammette dunque effettivamente, nel campo dirazionalità R, che soluzioni di caratteristica 0 o di caratteristica g.

Ritornando all’equazione (49), è facile ora dimostrare, per in-duzione, che ogni soluzione dell’equazione

(e quindi ogni soluzione della (49)) ha una caratteristica multipladi gi . - Ogni tale matrice è infatti, per l’ultima osservazione

59

del n. 18, della forma

dove ogni Z~, Z2 ,..., è una niatrice dell’ordine dall’equa-

zione a cui soddisfa segue allora evidentemente

e quindi o o Z1= 0 . Nel primo caso è anche equindi la cosa è conforme all’enunciato; nel secondo caso poi lamatrice residua

1 -

1

risulta manifestamente, per osservazioni fatte poco fa, permutabilecon la matrice normale relativa ai divisori elementari

se dunque ammettiamo che per quest’ultima matrice il teorema valga,esso vale sempre.

Da ciò che abbiamo detto risulta anche che ogni soluzione del-0 Z

l’equazione (49) è del tipo (o o t) j dove Z(’) è permutabile con lamatrice normale relativa al divisore elementare Pi ed hail deterniinante diverso da 0.

2.~ Passiamo ora a dimostrare il teorema in questione per unadelle equazioni (46)

60

quando tale dimostrazione sarà fatta, la formula (47) mos(ra subitoche la proprietà in discorso vale per l’equazione ÀoY == YBoJ e

quindi evidentemente per la XB.Ricordiamo la formula (48) che scriveremo,omettendo per bre-

vità 1’ indice i nelle matrici Y~ ~ ; essa è ,

ed ogni Y~~ soddisfa alla relazione Si vede subito, intanto, che esistono effettivamente soluzioni

della (46) aventi una qualunque caratteristica prefissata 19 i cono -~~ i C ~~i 11-i- ... basta infatti prendere 0 per r, *,3,e scegliere poi le in modo che abbiano conve-nienti caratteristiche (necessariamente multiple di

Dimostriamo ora che ogni soluzione della (46) ha una caratte-ristica multipla di î

Procederemo anche qui per induzione, ammettendo che la pro-prietà valga per un’ equazione del medesimo tipo (46), ma nellaquale i divisori elementari relativi alle matlici note del primo e delsecondo membro, in luogo di essere rispettivamente in numero dip, e siano rispettivamente in numero di ~z -1 , q i -1. Poichèil procedimento che seguiremo dimostrerà anche che la proprietàenunciata vale quando uno qualunque dei numeri p i e q i è ugualead 1, la cosa risulterà dimostrata in generale.

Supponiamo dunque dapprima che uno dei due numeri, ad es.qi, possa anche essere uguale ad 1, mentre sia

Consideriamo una qualunque soluzione (48)" della nostra equa-..zione (46), e sia ).~~g2 i caratteristica della matrice parzialeYea (~== 1 , 2 , ... , ~~ ~ ; Q== ~, 2 ,..., q i ) ; in ogni tale matrice Yea sonoallora nulle, come abbiamo osservato poco fa, le prime 9 (~y2013~)colonne e le ultime ~i (ai,o -~~~~) righe, e la matrice residua Z(’)

61

ha il determinante diverso da U, ed è permutabile con la matrice

normale relativa al divisore elementare P i (20". Sia il mas-simo dei i numeri ,,,, e corrispondentemente ad ogni Y (2a(p=l,2,...,~, a = 1 , 2 , ..., ~i ) consideriamo la seguente matricequadrata, di ordine ),g; ,

ogni tale Z’ è evidentemente permutabile con la iiiatrice normalerelativa al divisore elementare P1, e si ha, per p=~,o=6’, IZ’ rs È chiaro inoltre, per ciò che or ora abbiamo ricordato, che la matrice

si ottiene dalla Yi i sopprimendo od aggiungendo semplicemente dellelinee nulle, onde essa ha la stessa caratteristica della basterà

quindi in luogo della Yi i considerare tale matrice Y’ i .Sottragghiamo ora, nella Y’i , da ognun adelle matrici parziali

l’altra

moltiplicata per Z’QS; con questo la caratteristica rimane inal-terata, e la nuova matrice che si ottiene è

62

avendo posto

Si vede quindi intanto che nel caso che sia qi = 1 la matrice Y’* i,che si riduce alla

ha la caratteristica) 9 i, onde in tal caso la proprietà in questioneè dimostrata. Sia dunque

Poichè ogni matrice Z’~~ è permutabile con la matrice normalerelativa al divisore elementare matrice normale che indiche-

remo con segue evidentemente che altrettanto accade per ognimatrice Z’* f!G’ onde si ha

Indicando allora con C1 , C2 due matrici del tipo

ma nella prima delle quali le matrici che vie compaiono siano

63

~Z -1, nella seconda r~i -1, si ha infine che la matrice

soddisfa all’ equazione

Poichè quest’equazione è appunto del tipo (46), ma i divisori ele-mentari di sono rispettivamente pi-l segue di qui ehe, per la fatta ipotesi, la caratteristica di Y’i** èmultipla di gi; e poichè quella della Y’i*, e quindi quella della Yi siottiene da questa aggiungendovi la caratteristica di Z’r s , anch’essaè multipla di gi , come volevamo provare.

Rin1ane infine da dimostrare che la massima caratteristica delle

soluzioni Yi della (46) è data da ( ~~211-}- ... -~-’~2~ i ~ z ) c~ i . Si osserviperciò che per determinare tale massima caratteristica può supporsidi operare su una soluzione Yi i della (46), per la quale la Yn abbiala massima caratteristica l’ in, onde il numero X della dimostrazione

superiore sarà uguale appunto a Il procedimento stesso di

sopra dinjosti,a-aiiora, sempre operando per induzione, che la caratte-ristica massima di Yi è data appunto da + (~ti22 1

Il teorema enunciato è cos completamente dimostrato.21. -- Dal teorema del n.° precedente seguono subito le condi-

zioni necessarie e sufficienti perchè esistano soluzioni della (26)aventi la massima caratteristica compatibile col numero delle loro

righe e delle loro colonne. - Supponiamo, per fissare le idee, chel’ordine di A sia minore od eguale a quello di B; poichè l’ordinedi A dà il numero delle righe della soluzione X della (26), e l’or-dine di B quello delle colonne, vediamo che la condizione neces-saria e sufficiente perché il fatto voluto si verifichi è che la, massimacaratteristica delle soluzioni X sia uguale appunto all’ordine di A,ossia che si abbia, con le notazioni precedenti

64

Poiché è

questo porta evidentemente che sia

me segue che tutti i divisori primi distinti di , devono di-videre e si deve avere poi

. Supposte, inversamente, soddisfatte queste condizioni, si ha ma-nifestamente

e si verifica quindi il fatto voluto. Considerazioni analoghe val-

gono per il caso che l’ordine di B sia minore od uguale a quello, di A ; abbiamo cos :

Condizione necessaria e sufficiente esistano soluxioni della

(26) aventi la massima caratteristica compatibile col delleloro righe e delle loro colonne, è che, se di A è e ~:»

.,a quello di B, tutti i divisori di (olJpUredi IB-Eroj) dividano IB-E(ùl (risp. JA- e che per ogni taledivisore il dei della

B -Ew) sia od uguale a quello ?"eZCxt2L’0 (t B - EH)(risp. e gli esponenti dei prirni siano o)-dinatamente 1ni-nori od eguali a quelli dei secondi.

Se l’ordine di A è uguale a quello di B, segue di qui che lacondizione perchè esistano soluzioni della (26) a determinante di-

. verso da 0 è che sia

e si ritrova cos il teorema (di WEIFRSTRASS) di cui al n. 15.

65

Esempio numerico.

22. - Diamo ora un esempio della teoria svolta nei prece-denti, risolvendo Inequazione

nel campo dei numeri razionali. - Indichiamo con A la matrice

nota del primo membro, con B quella del secondo; si trova imme-diatamente

1’ equazione ammette dunque soluzioni. Ponendo inoltre

si ha

onde vediamo che i divisori elementari, nel campo razionale, disono ù+l,M20132, quelli di (o+l)M20133; di, 30 8D ..piu i due minori 2D sono regolari risp. per le due matrici.e ’le ’31 2d51È dunque

esistono quindi soluzioni, ed ognuna di esse 11a, con le costantiraxional , o la caratteristica 0 o la caratteristica 2.

Ann. 5

66

La forma normale di B è

ed occorre determinare una particolare matrice V per la quale siaV-IBV =Bo. Si calcolino perciò (cfr. n.i 9 e 10) i seguenti mi-nori di D :

e si ponga

67

Indicando allora con Y la soluzione generale dell’equazione

si ha

onde occorre determinare Y. L’ultima colonna della matrice Y è

di elementi nulli, e se indichiamo con Y1 la matrice delle primequattro colonne e poniamo

la Yi soddisfarà all’equazione

la risoluzione della quale si riduce alla ricerca della soluzione ge-nerale delle congruenze

Per ottenere tale soluzione si osservi che è

onde avremo un particolare sistema canonico per le righe di C

i) Può anche ricordarsi che, per le osservazioni fatte in una notaal n. 1R, le prime due colonne della Yi debbono essere nulle, come con-ferma il calcolo che qui facciamo ; la matrice delle altre due colonne sipotrebbe poi evidentemente determinare mediante le congruenze stessesopra scritte, considerandole invece rispetto al modulo cu2-~-1 .

68

ponendo

la soluzione più generale delle congruenze suddette è data allora da

ossia da

essendo le a, b costanti arbitrarie. Prendendo per nuove costanti

arbitrarie - 1 b si ha q uindi :3 3

la

dà allora la soluzione generale dell’ equazione proposta, che consemplici calcoli numerici potrebbe faciIniente scriversi in modo

esplicito.Riguardo infine alle caratteristiche può verificarsi, sull’ espres-

sione data per Y, che con valori razionali delle e delle b non

69

si può far assumere alla Y stessa che la caratteristica 2 oppurela caratteristica 0; si trova infatti

Caso del campo totale di razionalità.

23. - La teoria precedentemente svolta vale in particolare se si

prende per campo di razionalità R il campo di tutti i numeri reali ecomplessi, o più generalmente un campo nel quale le funzioni caratte-ristiche che debbono considerarsi si decompongano in divisori lineari.

In tale caso la matrice di forma normale, relativa a un divisoreelementare è, come subito si vede, la matrice di ordine al

Procedendo come fu indicato in generale, si ottiene la riduzionedi una matrice a forma normale, e la risoluzione dell’ equazioneAX = XB, come pure la determinazione della più generale matricepermutabile con una matrice assegnata.’

Il teorema del n. 20 dice poi che, nel campo di razionalità cheora consideriamo, esistono soluzioni dell’ equazione AX = XB chehanno una qualsiasi caratteristica inferiore o uguale alla massima,la quale si determina con la medesima regola esposta nel detto teo-rema. Si vede quindi in altre parole, che se, in u~2 certo rampo diraxionalità R, 1B ed r2 sono due numeri della forma llgl + l2g2 +... ++ ly gy (V. n. 20), e fra essi non vi è compreso alcun altro numerodella forma medesima, il sistema di equazioni che si ottiene an-nullando tutti i iiiinori di ordine r, della soluzione generale dellaAX = XB, e riguardando come incognite le costanti arbitrarie, ètale che le sue soluzioni 9-a;vionali annullano anche tutti i minori

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di ordine T2-1 , r)"2-2 I... , r2 (rz-rl-1)=~~1-~- 1, mentre una soluzionedelle equazioni medesime, che non annulli uno almeno di questiminori, esiste solo in un opportuno campo di razionalità più ampiodel campo dato R, ed è quindi ii-)-azio zctle rispetto a quest’ ultimo.

Consideriamo ora, nel campo di razionalità di tutti i numeri

reali e complessi, l’espressione della soluzione generale dell’equazione

.A-o v = Y B° ,

essendo le Ao, Bo di forma normale, alla quale equazione può ri-

dursi, come sappiamo, la AX=XB , quando si supponga che Aosia la forma normale di A, Bo quella di B . Se ro2, o.. , 5 W, sonole radici comuni ad e

2 ,...,p~) i divisori elementari di A-Ew, relativi ad (a=1 , 2 , ... , q i) quelli di basta, per le formule (47), (48)del n. 18 , risolvere ognuna delle equazioni

dove la matrice nota del primo membro è di ordine r:J.i,e’ quella delsecondo di ordine

Sia, ad es., la è allora, per l’ultima osservazionedel medesimo n. 18, della furma

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e si vede inoltre che le Cl , C2 ... , c,~2~6 possono prendersi affatto ad

arbitrio; ciò segue facilmente dal citato teorema del n. 18, e può an-che verificarsi osservando che le ~ij ~ matrici che si deducono dalla

ora scritta facendo uguale a 1 una delle costanti, e uguali a 0le altre, soddisfano effettivamente all’equazione (52). Cose analoghevalgono per il caso che sia

Ma si può anche, in luogo di ricorrere ai risultati generali deln. 18, discutere direttamente l’ equazione (52) 1). Supporremo anzi

più generalmente che la (52) sia del tipo

con (»I eventualmente diverso da 002.

Eseguendo intanto effettivamente i prodotti, si hanno le equa-zioni.

ossia

avendo posto

’) Cfr. il procedimento che ora seguiremo con quello adoperato dalsig. Voss, nella memoria citata al n. 16, per determinare la più generalematrice permutabile con una matrice data.

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Sia ora (1)~ =~= (°2; supponendo che per un certo valore di h e perqualunque da 1 a N si abbia ~~_~~=:0, si ricava

onde

e quindi