2 Tracciamento dei profili di moto permanente

PROFILI DI MOTO PERMANENTE Alcuni appunti

Andrea Defina

Novembre 2010

Prefazione

Spesso, gli studenti dei corsi di idraulica mi hanno sottolineato le perplessità e le difficoltà da loro incontrate nella rappresentazione qualitativa dei profili di moto permanente in situazioni geometriche e con condizioni al contorno anche semplici, lamentando l’assenza di materiale didattico o l’insufficienza di quello disponibile.

Questo volumetto raccoglie di fatto alcuni suggerimenti, esempi ed esercizi relativi

al tracciamento di profili di moto permanente, in alvei prismatici per tratti. Gli aspetti teorici sono qui solo brevemente richiamati e gli esempi illustrati non sono certamente esaustivi di tutte le possibili situazioni che si possono incontrare nella pratica ingegneristica. Lo scopo è quello di illustrare una metodologia generale per il tracciamento dei profili di moto permanente e di fornire una consistente serie di esempi che consentano un utile esercizio.

In questi appunti sono inoltre riportati, sinteticamente, alcuni approfondimenti di

problemi legati alle correnti unidimensionali a superficie libera aventi soprattutto lo scopo di suggerire, in qualche caso, una certa cautela nell’impiego delle soluzioni fornite dalla classica trattazione teorica qui presentata.

L’autore è grato fin d’ora (o meglio fin dal 2000, anno della prima stesura di questi

appunti) a quanti, animati da buona volontà e spirito di collaborazione, vorranno inviare correzioni (da questo punto di vista, i comandi copia & incolla di un qualsiasi processore di testi, di cui ho fatto un uso scellerato, sono deleteri), precisazioni, suggerimenti e commenti o vorranno sottopormi questioni particolari o problemi stimolanti da inserire in questa raccolta.

Andrea Defina

Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima Ambientale e Geotecnica - Università di Padova. via Loredan, 20 – 35131 PADOVA email: [email protected] http://www.image.unipd.it/a.defina/

E’ vietata la riproduzione, integrale o parziale, a meno che la stessa non sia stata preventivamente autorizzata dall’autore.

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Indice

1 Richiami di idraulica delle correnti unidimensionali a superficie libera in moto stazionario 2

1.1 Alcuni elementi distintivi 2 1.2 Moto uniforme 2 1.3 Caratteristiche energetiche e dinamiche della corrente 6

2 Tracciamento dei profili di moto permanente 10 2.1 Profili di moto gradualmente vario 11 2.2 Variazioni localizzate 13 2.3 Condizioni al contorno e condizioni interne 13 2.4 Criteri generali per la ricostruzione dei profili 16

3 Canali prismatici a portata costante 18 3.1 Variazioni di pendenza 18 3.2 Variazioni di scabrezza 23 3.3 Salto di fondo 26 3.4 Gradino di fondo 30 3.5 Breve rialzo di fondo 32 3.6 Sbocco in un serbatoio 37 3.7 Imbocco da un serbatoio 39 3.8 Variazione di larghezza: allargamento 41 3.9 Variazione di larghezza: restringimento 46 3.10 Breve restringimento localizzato 52 3.11 Paratoia piana sollevata a battente 56 3.12 Ostacolo generico 60

4 Alcune precisazioni 65 4.1 Isteresi idraulica 65 4.2 Stabilità del risalto 68

5 Canali prismatici a portata variabile 72 5.1 Sottrazione localizzata di portata 72 5.2 Immissione localizzata di portata 76 5.3 Sottrazione continua di portata 80 5.4 Immissione continua di portata 81

6 Altre precisazioni 86 6.1 Canali di lunghezza finita 86 6.2 Canali non prismatici 87 6.3 Considerazioni …. non unidimensionali 88 6.4 Resistenze idrauliche 90 6.5 Canali a forte pendenza 90 6.6 Canali con fondo curvo 94 6.7 Effetti legati alla distribuzione non idrostatica delle pressioni 94 6.8 Considerazioni conclusive 96

7 Canali caratterizzati da sezioni chiuse 97 7.1 Inquadramento teorico 97 7.2 Il caso di un breve tratto di canale tombato 107 7.3 Il caso di un tombino 123 7.4 Alcune precisazioni 124

8 Aspetti numerici 125 8.2 Integrazione numerica dei profili di moto gradualmente vario 129

9 ESERCIZI 132

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1 Richiami di idraulica delle correnti unidimensionali a superficie libera in moto stazionario

Prima di illustrare le regole generali che è opportuno seguire per il tracciamento dei profili di moto permanente si richiamano molto brevemente alcuni concetti ed alcune nozioni di base relativi alle correnti unidimensionali a superficie libera, in moto stazionario, rimandando, per l’illustrazione di dettaglio degli aspetti teorici, ad un qualsiasi testo di Idraulica o di Meccanica dei Fluidi. Questi brevi richiami hanno, infatti, soprattutto lo scopo di introdurre la simbologia e il linguaggio utilizzati nel seguito; e il modo stesso in cui è organizzato questo capitolo presuppone che il lettore conosca già gli aspetti di base relativi alle correnti unidimensionali a superficie libera.

1.1 Alcuni elementi distintivi La maggior parte delle considerazione contenute in questi appunti fanno riferimento a condizioni geometriche schematiche ed utilizzano alcune ipotesi semplificative ce sono qui richiamate. Le considerazioni presentate possono comunque essere facilmente estese a situazioni reali, più complesse di quelle qui discusse. Tranne nei casi in cui è diversamente indicato in modo esplicito, si assumerà che la pendenza e la curvatura della superficie libera siano trascurabilmente piccole potendo così considerare idrostatica la distribuzione delle pressioni in direzione normale al fondo. Si farà inoltre riferimento a canali caratterizzati da una modesta pendenza del fondo per i quali, pertanto, è possibile confondere la direzione verticale con la normale al fondo. In tal caso la superficie libera descrive l’andamento della quota piezometrica. Si farà riferimento a canali prismatici (o alvei cilindrici) caratterizzati cioè da una sezione la cui forma e le cui dimensioni sono costanti nello spazio. Saranno inoltre considerati canali caratterizzati da una sezione compatta (Per sezione compatta si intende una sezione per la quale si possa assumere che la velocità sia distribuita in modo sostanzialmente uniforme sulla sezione. Il concetto di compattezza quindi non è associato ad un carattere puramente geometrico, di forma della sezione, ma più strettamente idraulico) e tale per cui, a moto uniforme, il legame tra livello e portata è biunivoco (si veda, a questo proposito, quanto riportato nel paragrafo 6.3). Alcune riflessioni relative a correnti in presenza di non trascurabili pendenze e curvature della superficie libera sono riportate nel paragrafo 0 mentre alcune osservazioni riguardanti le correnti su fondo caratterizzato da forti pendenze sono riportate nel paragrafo 0. Per i casi di alveo non prismatico e sezioni non compatte, che rivestono un notevole interesse applicativo, alcune considerazioni sono esposte nei capitoli che seguono.

1.2 Moto uniforme Le condizioni di moto uniforme in un canale si determinano quando l’altezza d’acqua e la velocità si mantengono costanti nello spazio e nel tempo; la superficie libera, pertanto, risulta parallela al fondo (Fig. 1). La definizione di moto uniforme, come detto nel paragrafo 1.1, ha senso solo se il canale è prismatico.

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Nel seguito, le caratteristiche cinematiche e dinamiche del moto uniforme saranno evidenziate con il pedice “0”.

Fig. 1

Nel caso di sezione compatta, il legame tra la velocità (o la portata) e l’altezza d’acqua può essere espresso da una qualsiasi formula di moto uniforme. Qui, in particolare, si farà riferimento alla formula di Gauckler-Strickler:

fHS iyRyAkQ 3/200 )]([)(= (1)

in cui kS è il coefficiente di scabrezza secondo Strickler, A è l’area della sezione trasversale, RH il raggio idraulico (RH=A/c, essendo c il perimetro bagnato) e if la pendenza del fondo. E’ importante osservare che se il canale non è prismatico e la portata è variabile lungo il percorso, non è possibile definire una condizione di moto uniforme.

1.2.1 Il coefficiente di resistenza

Come è noto la formula di Gauckler-Strickler (o l’equivalente formula di Manning) vale per condizioni di moto turbolento di parete scabra e rappresenta un’approssimante della formula di Darcy-Weisbach nella quale la funzione di resistenza è calcolata mediante la formula di Colebrook-White. Il coefficiente kS dovrebbe pertanto essere una “misura” della scabrezza di parete. In realtà nel coefficiente kS sono normalmente inglobati gli effetti dissipativi di molti fenomeni non inquadrabili come “attrito”. Tra questi, sono da ricordare gli scambi trasversali di quantità di moto prodotti da variazioni geometriche della sezione, dalla presenza di curve, di forme di fondo, di vegetazione e gli effetti dissipativi associati ad instabilità superficiali (vedi paragrafo 6.4).

1.2.2 Scabrezza non uniforme (sezione compatta)

Nel caso in cui la scabrezza non sia uniformemente distribuita lungo il contorno bagnato come, ad esempio, nel caso di un canale di sezione trapezia con sponde realizzate in materiale diverso da quello del fondo, è necessario stimare un coefficiente di resistenza equivalente keq in grado di descrivere il legame tra altezza y0 e portata Q in queste particolari condizioni. Nell’approccio di Horton-Einstein si suddivide la sezione complessiva in sottosezioni ciascuna delle quali è delimitata da un contorno a scabrezza omogenea, come illustrato in Fig. 2 mentre la rimanente parte di contorno è tale per cui lungo lo stesso non si sviluppino sforzi tangenziali.

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Fig. 2

Per ciascuna sottosezione di area Ai è possibile scrivere la relativa formula di moto uniforme (che rappresenta semplicemente il bilancio, nella direzione del moto, tra la forza peso e le resistenze d’attrito)

( ) fiiSii icAkv 3/2/= (2)

nella quale vi è la velocità media del fluido relativa alla generica sottosezione, ci è la lunghezza del contorno bagnato a cui è associato il coefficiente di resistenza kSi. Nell’ipotesi di sezione compatta, per definizione, ogni sottosezione sarà caratterizzata dalla stessa velocità media coincidente con quella media dell’intera sezione, espressa anch’essa mediante una formula di moto uniforme nella quale è utilizzato un coefficiente di resistenza equivalente keq

( ) feqi icAkAQvv 3/2// === (3)

Esplicitata l’equazione (2) rispetto all’area Ai e l’equazione (3) rispetto all’area A, ed essendo

∑=i iAA

si trova

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

ifSi

ii ifeq ik

vcAik

vcA2/32/3

Da cui

3/2

2/3

3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑iSi

i

eq

kc

ck (4)

1.2.3 Il caso di sezione non compatta

Nel caso di sezioni non compatte (vedi Fig. 3), per le quali la velocità presenta una distribuzione fortemente non uniforme, le considerazioni sviluppate in questo capitolo possono ancora, con qualche cautela e limitatamente alle correnti (molto) lente, essere considerate valide.

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Fig. 3

Per quanto riguarda il moto uniforme è possibile determinare un coefficiente di resistenza equivalente keq con un procedimento analogo a quello visto per le sezioni compatte a scabrezza non uniforme (Engelund). Possiamo dividere la sezione in sottosezioni mediante contorni interni lungo i quali sono nulli gli sforzi trasmessi tra sottosezioni. L’ipotesi di velocità uniforme su tutta la sezione invocata nella trattazione del caso di sezione compatta viene ovviamente rimossa e sostituita dall’ipotesi di poter individuare, con buona approssimazione, l’andamento dei contorni interni che separano le diverse sottosezioni. Generalmente si assume che questi contorni siano segmenti verticali opportunamente posizionati come illustrato, ad esempio, in Fig. 3. Per ogni sottosezione è così possibile scrivere l’equazione (2). Essendo inoltre

( ) ( )∑∑ ====i fiiiSii iifeq icAAkAvicAAkvAQ 3/23/2 //

si trova

3/23/5

3/23/5

cAcAk

k i iiSieq

∑=

E’ da osservare, nella precedente relazione, che anche qualora la scabrezza fosse omogenea lungo tutto il contorno bagnato (kSi=kS), il valore del coefficiente keq non è costante ma viene a dipendere dal livello.

-6-

Nel caso di sezione non compatta, inoltre, è necessario introdurre opportune correzioni ai termini che, in modo più o meno diretto, rappresentano le accelerazioni. In particolare, nelle equazioni dinamiche si fa uso dei coefficienti di correzione α e β (detti coefficienti di Boussinesq o di Coriolis) così definiti

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

A

dAv

yxvA

3),(1α …………….…… ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

A

dAv

yxvA

2),(1β (5)

in cui v è la velocità media sulla sezione e v(x,y) è la velocità in un generico punto della sezione. L’impiego di questi coefficienti è descritto nei paragrafi che seguono. Si osservi che nel caso di sezioni compatte, caratterizzate quindi da una velocità sostanzialmente uniforme, (v(x,y)≈v), i coefficienti α e β si riducono all’unità. Per sezioni non compatte, invece, con riferimento all’approccio appena visto per la valutazione delle caratteristiche del moto uniforme possiamo scrivere

( )( )

∑

∑∑∫

=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

i i

iSi

eq

ii

feq

fiiSi

ii

i

A

cAk

kAc

AicAkicAk

AA

vv

AdA

vyxv

A

2

33

33

2

3

3/2

3/233

//11),(1α

∑∑∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

i i

iSi

eqii

i

A cAk

kAcA

vv

AdA

vyxv

A 3/4

3/72

23/7

3/422 1),(1β

e tali coefficienti possono risultare anche sensibilmente superiori all’unità.

1.3 Caratteristiche energetiche e dinamiche della corrente

1.3.1 Energia specifica rispetto al fondo

L’energia specifica E e l’energia specifica rispetto al fondo H sono definite dalle seguenti relazioni:

2

2

2 AgQyzE ++= …………….…… 2

2

2 AgQyzEH +=−= (6)

in cui z è la quota del fondo. L’andamento della funzioni H(y), per una prefissata portata e forma della sezione trasversale, è illustrato in Fig. 4. ● Nel caso di sezione non compatta, il termine cinetico deve essere corretto

mediante l’introduzione del coefficiente α

2

2

2 AgQyzE α++= …………….…… 2

2

2 AgQyzEH α+=−= (7)

1.3.2 Spinta totale

In molte situazioni è utile far riferimento anche alla spinta M, per unità di peso specifico, espressa dalla seguente relazione:

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AgQzAM G

2

+= (8)

in cui zG è la distanza verticale del baricentro dell’area A dalla superficie libera. ● Nel caso di sezione non compatta, il termine di inerzia deve essere corretto

mediante l’introduzione del coefficiente β

AgQzAM G

2

β+= (9)

L’andamento della funzioni M(y), per una prefissata portata e forma della sezione trasversale, è illustrato in Fig. 4

Fig. 4

1.3.3 Condizioni critiche

Entrambe le curve H(y) e M(y) definite nei due precedenti paragrafi, come è noto, presentano un minimo che individua la cosiddetta condizione critica. Tale condizione, indicata con il pedice “c”, è la stessa per entrambe le funzioni H(y) e M(y), e distingue le correnti rapide (y<yc) da quelle lente (y>yc) La condizione critica corrisponde all’annullarsi della derivata rispetto a y dell’energia H(y) o della spinta M(y). Imponendo questa condizione si trova

1)()(

3

2

=c

c

yAgyBQ

(10)

in cui B è la larghezza della sezione misurata in corrispondenza della superficie libera. Nota la portata Q e la forma della sezione, nella precedente equazione è presente la sola incognita yc contenuta in B e in A. La precedente relazione vale per il caso di sezione compatta. Per una sezione non compatta l’annullarsi della derivata rispetto a y delle equazioni (7) e (9) fornisce, rispettivamente, le seguenti condizioni

dyd

AgQ

AgBQ αα

2

2

3

2

21+=

dyd

AgQ

AgBQ ββ 2

2

3

2

1+= (11)

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Per una sezione rettangolare (compatta), l’equazione (10) si semplifica nella seguente

32

2

BgQyc = (12)

1.3.4 Il numero di Froude

Nei moti a superficie libera il gruppo adimensionale più importante è certamente il numero di Froude introdotto, in origine, con riferimento ad una sezione rettangolare. Dal punto di vista dinamico, il numero di Froude (F) rappresenta il rapporto tra le forze di inerzia e le forze di gravità e si scrive

gyvF = (13)

Dal punto di vista cinematico, il numero di Froude rappresenta il rapporto tra la velocità media della corrente, v e la celerità (relativa) di propagazione di una piccola perturbazione gyc = .

E’ evidente che piccole perturbazioni, caratterizzate da una celerità assoluta a=v±c, possono risalire la corrente (a<0) se il numero di Froude è inferiore all’unità. Nel caso contrario (F>1) risulta sempre a>0 e le perturbazioni sono trascinate dalla corrente verso valle. E’ immediato verificare che, sempre per una sezione rettangolare, il numero di Froude può essere scritto anche nella seguente forma

3

2

AgBQF = (14)

Questa forma del numero di Froude ne estende comunemente la definizione anche a sezioni compatte diverse da quella rettangolare, assumendo che B misuri la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera. Il motivo di questa estensione appare chiaro se si confrontano la definizione (14) con la condizione (10). Con questa definizione di numero di Froude, infatti, le condizioni critiche corrispondono alla condizione F=1. E’ facile verificare inoltre che una corrente rapida è caratterizzata da numeri di Froude superiori all’unità (F>1) mentre le correnti lente sono caratterizzate da numeri di Froude inferiori all’unità (F<1). Con riferimento al significato cinematico del numero di Froude, e per una sezione rettangolare, possiamo dunque affermare che piccole perturbazioni possono risalire la corrente solo se questa è lenta. Al contrario, in una corrente rapida, piccole perturbazioni sono immancabilmente trascinate verso valle. Queste considerazioni di natura cinematica possono, con qualche cautela (vedi paragrafo 6.3.3), essere estese anche a sezioni compatte diverse da quella rettangolare, e a sezioni non compatte.

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1.3.5 Pendenza critica

Si definisce pendenza critica (ic) quella pendenza del fondo a cui corrisponde, per un assegnato valore di portata, un moto uniforme caratterizzato dallo stato critico y0=yc. E’ immediato verificare che, a moto uniforme, quando if<ic la corrente è lenta, mentre quando if>ic la corrente è rapida. La pendenza critica può essere determinata combinando una relazione di moto uniforme (per esempio l’equazione (1)) con la condizione di moto critico (10).

3/42Hcc

c

Sc RB

Akgi = (15)

E’ da osservare, nella precedente equazione (15), che la seconda frazione è solo debolmente dipendente dalle caratteristiche del moto (livello, portata) e assume valori non molto diversi dall’unità. In prima approssimazione, quindi, la pendenza critica vale ic≈g/ks

2. Nel caso di canali molto scabri la pendenza critica assume valori prossimi a 0.01 (1%), nel caso di canali relativamente lisci (es.: rivestiti in calcestruzzo), la pendenza critica è relativamente più bassa attestandosi intorno al valore 0.005 (0.5%).

1.3.6 Le condizioni di moto uniforme nei diagrammi H-y e M-y

E’ interessante osservare che se if e ks sono costanti, mentre variano forma della sezione, quote del fondo e portata, le condizioni di moto uniforme, nei diagrammi H-y e M-y, sono rappresentate da una curva monotona crescente (vedi Fig. 4). Sostituendo, infatti, la portata Q espressa dalla (1) nelle equazioni (6) e (8) si trova, rispettivamente

3/40

2

00 )]([2

yRgik

yH HfSα+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= 3/40

2

000 )]([)()( yRg

ikyzyAM H

fsG β

(16)

Il punto di intersezione tra le curve espresse dalle (16) e le curve H-y o M-y rappresentano le condizioni di moto uniforme. Tali punti di intersezione, evidentemente, possono trovarsi sia lungo il ramo delle correnti lente che lungo il ramo delle correnti rapide.

1.3.7 Dissipazioni continue di energia

Per un moto non uniforme, le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j, vengono usualmente stimate con riferimento ad una relazione di moto uniforme sostituendo j al posto della pendenza del fondo if. Utilizzando in particolare la formula di Gauckler-Strickler, si trova:

23/42

2

ARkQj

HS

= (17)

E’ da osservare che, per la maggior parte delle sezioni aperte e compatte (si veda paragrafo 6.3), il prodotto ARH

3/2 cresce al crescere dell’altezza d’acqua y. Da ciò segue che per y<y0 risulta j>if mentre per y>y0 risulta j<if.

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2 Tracciamento dei profili di moto permanente Nel seguito si assume, per ipotesi, che la portata fluente vari lungo il percorso, al più, per effetto di immissioni e/o sottrazioni localizzate. E’ questa una schematizzazione che può essere considerata valida in un grande numero di situazioni pratiche. Alcune situazioni per le quali è invece opportuno considerare variazioni continue di portata sono comunque brevemente trattate nei Capitoli 5.3 e 5.4 Si assume inoltre che la portata fluente possa essere determinata a priori, in ogni sezione, sulla base della soluzione della sola equazione di continuità. Alcuni casi, per i quali la portata dipende dalla soluzione generale delle equazioni del moto, saranno comunque discussi nel capitolo 5 (si veda, ad esempio, il paragrafo 3.7.1). In queste ipotesi, pertanto, il tracciamento dei profili di moto permanente consiste nel dare una rappresentazione grafica alla soluzione dell’equazione dinamica per le correnti unidimensionali, in moto stazionario, a cui sono associate opportune condizioni al contorno sui livelli (vedi paragrafo 2.3). In generale (Fig. 5), la soluzione è composta da tratti lungo i quali si sviluppano profili che variano gradualmente, seguendo andamenti qualitativamente noti (vedi paragrafo 2.1) e che rappresentano la soluzione dell’equazione

jxE

−=∂∂ (18)

Questi profili, di moto gradualmente vario, sono separati da tratti di lunghezza modesta ove si attuano variazioni brusche delle caratteristiche del moto e tali da poter essere trattate come variazioni localizzate (vedi paragrafo 2.2). Questi tre ingredienti: profili di moto gradualmente vario (GV), variazioni localizzate (LV) e condizioni al contorno, esterne o interne (CC), opportunamente combinati, consentono agevolmente la ricostruzione complessiva di un profilo di moto permanente. A tale proposito si ricorda che la ricostruzione di un profilo di moto permanente deve essere effettuata a partire da valle per i tratti in cui la corrente è lenta, ovvero da monte per i tratti in cui la corrente è rapida1.

Fig. 5

1 A questo proposito sarò grato a chi vorrà fornirmi una giustificazione semplice e convincente del motivo per cui l’integrazione (non analitica) deve procedere in questo modo.

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● In qualche caso, nella ricostruzione dei profili, è conveniente utilizzare l’equazione che esprime la conservazione della quantità di moto anziché l’equazione (18) relativa alla conservazione dell’energia. Per un alveo prismatico caratterizzato da una sezione compatta il bilancio delle forze applicato ad un tratto di canale di lunghezza infinitesima si scrive

gCiA

xM

f ρτ 0−=

∂∂

in cui C è il contorno bagnato e τ0 è lo sforzo tangenziale medio alla parete. Ricordando che è τ0=ρgRH j, la precedente relazione può essere riscritta come segue

)( jiAxM

f −=∂∂ (19)

2.1 Profili di moto gradualmente vario Nelle ipotesi di piccola pendenza del fondo e variazione graduale della quota della superficie libera (che consentono di assumere distribuzione idrostatica delle pressioni in direzione verticale), l’andamento della superficie libera lungo un tronco di canale prismatico è determinato dalla soluzione dell’equazione (6) scritta nella seguente forma:

21 Fji

dxdy f

−−

= (20)

I profili di moto permanente che possono svilupparsi sono quelli di tipo M, per pendenze del fondo inferiori a quella critica, e di tipo S, per pendenze superiori a quella critica (Fig. 6).

Fig. 6

Oltre ai profili di tipo M e S, appena richiamati, si possono sviluppare profili di tipo C, quando la pendenza del fondo coincide con la pendenza critica, di tipo H quando il fondo è orizzontale e di tipo A quando la pendenza del fondo è negativa (contropendenza). Tali profili sono illustrati in Figura 1.9. E’ da segnalare che la condizione if=ic è poco frequente nella pratica. In queste condizioni, per altro, la superficie libera risulta fortemente instabile.

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Fig. 7

E’ da osservare, infine, che in presenza di un breve tratto di canale a fondo orizzontale o in contropendenza, i profili H2 o A2 e H3 o A3 che si sviluppano sono di fatto analoghi ai corrispondenti profili M2 e M3 caratteristici della debole pendenza. Per questi motivi, nel seguito, non verranno analizzate le situazioni if=ic e if≤0. Per quest’ultimo caso, peraltro, qualche esempio è riportato negli esercizi raccolti nella seconda parte di questo volumetto.

2.1.1 Una nota sul profilo M1.

il profilo M1 viene rappresentato da una curva monotona decrescente che verso monte tende asintoticamente alle condizioni di moto uniforme e verso valle tende, ancora asintoticamente, a disporsi orizzontalmente. Un profilo, quindi, lungo il quale la quota della superficie libera risulterebbe sempre decrescente. In realtà, se le dissipazioni di energia sono valutate, ad esempio, con la formula di Gauckler-Strickler, il profilo M1 non risulta essere sempre decrescente. A partire dall’equazione (18) e nell’ipotesi di canale prismatico e portata costante, si ottiene

2

2

1 FjFi

xh f

−−

=∂∂ (21)

Nel caso di corrente lenta (F<1) il denominatore, nella precedente equazione, risulta sempre positivo e la condizione ∂h/∂x>0 si riduce pertanto alla seguente

02 >− jFi f (22)

Utilizzando per j la formula di Gauckler-Strickler (17), si ha

23/42

2

3

2

ARkQ

AgBQi

HSf > (23)

Utilizzando l’espressione della pendenza critica fornita dalla (15), esplicitata rispetto a ks, si trova

3/4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>

H

Hc

c

ccf R

RAA

BB

ii (24)

Se consideriamo, per semplicità, il caso di sezione rettangolare larga, la precedente relazione si semplifica nella seguente

3/1c

cf yy

ii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛> (25)

Nel caso di profilo S1, si ha if>ic e y>yc e la precedente relazione è sempre verificata (lungo il profilo S1 la quota della superficie libera cresce nella direzione del moto). Nel

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caso di profilo M2, sarà sempre ∂h/∂x<0 in quanto sia l’altezza y che la quota del fondo z diminuiscono nella direzione del moto. Nel caso del profilo M1, per valori molto elevati del tirante, il rapporto yc/y tende a zero e non appena è verificata la seguente condizione

3fcc )i/i(yy > (26)

risulta ∂h/∂x>0. Questo risultato, per altro, mostra che il profilo M1 tende asintoticamente all’orizzontale da sotto come schematicamente illustrato in Fig. 8

Fig. 8

E’ da osservare, per completezza, che se in luogo della formula di Gauckler-Strickler per la valutazione di J, fosse stata usata la formula di Chézy, con coefficiente di Chézy costante, la condizione (26) sarebbe stata if>ic. In questo caso, pertanto, un profilo M1 risulta sempre decrescente. • Nell’illustrare le soluzioni presentate nei capitoli che seguono spesso,

consapevolmente, il profilo M1 è disegnato “in salita” (si veda, ad esempio, Fig. 14); ciò al solo scopo di evidenziare meglio, dal punto di vista grafico, la “forma” dei profili che si instaurano.

2.2 Variazioni localizzate In corrispondenza di una qualsiasi variazione localizzata, delle caratteristiche geometriche o della portata, si determinano modifiche nel comportamento della corrente. Queste ultime, spesso, sono accompagnate da rapide variazioni di velocità e di livello il cui andamento, cadendo l’ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni e lenta variabilità del moto, non è rappresentabile mediante i profili di tipo M o S. In tal caso il tracciamento del profilo tra due sezioni immediatamente a monte e a valle della discontinuità è puramente qualitativo. Il legame tra le caratteristiche idrodinamiche relative alle due suddette sezioni si determina sulla base di un bilancio di energia o, in qualche caso, mediante l’applicazione del teorema della quantità di moto come verrà ampiamente illustrato nei paragrafi successivi.

2.3 Condizioni al contorno e condizioni interne Assumendo nota la distribuzione spaziale delle portate, le condizioni al contorno necessarie per la soluzione dell’equazione (18) vanno poste sui livelli. Possiamo distinguere tra condizioni al contorno esterne, e condizioni al contorno interne. Le prime consistono nell’assegnare il livello nella sezione estrema di monte e/o di valle in dipendenza dalla natura della corrente (si veda a tale proposito il paragrafo 6.1). Le seconde sono descritte in dettaglio nei paragrafi 2.3.1-2.3.3.

-14-

2.3.1 Sezioni di controllo (transizione lenta→rapida)

Definiamo sezione di controllo una sezione (o un breve tratto di canale) attraverso la quale si ha transizione da corrente lenta a corrente rapida e per la quale, nota la portata, sono univocamente definibili le condizioni che consentono di integrare il profilo di corrente lenta a monte e quello di corrente rapida a valle (vedi Fig. 12a). Infatti, in corrispondenza di una sezione di controllo si stabilisce, in genere, l’altezza critica yc (determinabile univocamente quando siano fissate le caratteristiche geometriche della sezione e la portata fluente) ovvero si stabiliscono condizioni diverse da quelle critiche ma comunque facilmente e univocamente quantificabili. E’ questo, ad esempio, il caso di efflusso libero sotto battente illustrato in Fig. 9 per il quale, nota la portata, è comunque possibile determinare facilmente le condizioni di monte e di valle per l’integrazione dei profili.

Fig. 9

L’altezza di valle, da porre come condizione al contorno, è infatti a⋅cc (vedi Fig. 9), mentre l’altezza di monte yM è calcolata mediante un semplice bilancio di energia:

2

2

2

2

)]([2)]([2 cc

MM caAg

QcayAg

Qy +=+ (27)

• Le sezioni di monte e di valle, fisicamente distinte, sono considerate, dal punto di vista concettuale, coincidenti tra loro e coincidenti quindi con la sezione di controllo.

Per un assegnato tratto di corso d’acqua, solo le sezioni in corrispondenza delle quali si verificano variazioni geometriche o di portata sono potenzialmente sezioni di controllo. Non è però possibile stabilire a priori se in tali sezioni si realizzi effettivamente la transizione da corrente lenta a rapida.

2.3.2 Sezioni di sconnessione idraulica (transizione rapida→lenta)

Definiamo sezione di sconnessione idraulica una sezione (o un breve tratto di canale) attraverso la quale si attua la transizione da corrente rapida a corrente lenta. I profili liquidi a monte e a valle di una sezione di sconnessione idraulica sono determinati in modo indipendente come se i tratti di monte e di valle fossero tra loro isolati (vedi Fig. 12b). In presenza di una sezione di sconnessione idraulica, pertanto, è necessario disporre di un’ulteriore condizione al contorno. Come è noto, la transizione da corrente rapida a corrente lenta avviene attraverso la formazione di un risalto idraulico. Mediante l’applicazione del teorema della quantità di moto (nella quale, generalmente, si trascurano la componente della forza peso nella direzione del moto e gli sforzi tangenziali al fondo), è possibile stabilire una

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relazione biunivoca tra le altezze d’acqua a monte e a valle del risalto. Tale relazione, per una sezione rettangolare, si scrive:

2/)811( 2112 Fyy ++−= (28)

in cui i pedici 1 e 2 si riferiscono, indifferentemente, alla sezione di monte (rapida) e di valle (lenta) o viceversa. Le altezze y1 e y2 si dicono tra loro coniugate. Nel seguito, l’altezza y2, coniugata di y1, sarà indicata con y1R. Dal punto di vista grafico, il legame tra le altezze coniugate nel risalto è di immediata determinazione se si fa riferimento al diagramma M-y (vedi Fig. 10).

Fig. 10

Tra monte e valle di un risalto si ha quindi una dissipazione localizzata di energia che, per sezioni rettangolari, può essere valutata mediante una delle seguente relazioni nelle quali il pedice 1 indica la sezione di monte

( )21

312

4 yyyyE −

=Δ

( ))181(16

3812

1

32

1

1 −+

−+=

Δ

F

FyE

(29)

Va sottolineato, infine, che • il legame tra le altezze coniugate y1 e y2 è utilizzabile al solo scopo di determinare

la posizione del risalto; • le sezioni a monte e a valle del risalto, fisicamente distinte, sono considerate, dal

punto di vista concettuale, coincidenti tra loro e coincidenti quindi con la sezione di sconnessione idraulica;

• è possibile, anche se molto improbabile, che le altezze y1 e y2 siano praticamente coincidenti tra di loro e coincidenti quindi con l’altezza critica. Il tal caso si può avere una transizione da corrente rapida a corrente lenta senza che si abbia il risalto (Fig. 11).

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Fig. 11

2.3.3 Casi particolari (transizione lenta→rapida→lenta)

In qualche caso una sezione di controllo e una sezione di sconnessione idraulica si presentano molto ravvicinate tra di loro al punto da poterle considerare come un’unica sezione. Si parla in tal caso di una doppia transizione localizzata lenta→rapida→lenta (vedi Fig. 12c). Situazioni di questo tipo si incontrano, ad esempio, in presenza di un salto di fondo (vedi Casi A2-a e A2-b del paragrafo 3.3.1) o di un brusco allargamento (vedi Caso A2-b del paragrafo 3.8.1). Non è possibile che si verifichi il caso opposto di doppia transizione localizzata rapida→lenta→rapida (ma sono pronto a ricredermi se qualcuno mi dimostra il contrario).

Fig. 12

2.4 Criteri generali per la ricostruzione dei profili Si enunciano di seguito e in modo del tutto informale le principali regole che è opportuno seguire per tracciare in modo corretto (anche solo qualitativamente) i profili di moto permanente che si sviluppano lungo un generico tratto di canale. 1) Conviene, preliminarmente, rappresentare per ciascun tratto (prismatico) del

canale l’altezza di moto uniforme y0 e quella critica yc; è opportuno, inoltre, individuare tutte le sezioni che potrebbero risultare sezioni di controllo;

2) si procede quindi all’integrazione dei profili partendo dalla condizione di valle (se questa è assegnata e la corrente è localmente lenta) e/o dalla condizione di monte (se questa è assegnata e la corrente è localmente rapida);

3) si prosegue nell’integrazione fin dove è possibile;

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4) in assenza di condizioni al contorno esterne, o quando si è costretti ad arrestare il procedimento di integrazione, si fissa la condizione critica nella sezione più vicina (a monte, se si stava integrando da valle, a valle, nel caso opposto) in cui vi è una qualche variazione (di geometria o di portata), potendo essere questa una sezione di controllo;

5) a partire dalle sezioni di controllo si procede verso monte e verso valle in accordo con il punto 3).

• Si suggerisce di riconsiderare queste regole dopo aver visto alcuni degli esempi discussi nei successivi capitoli.

E’ utile affiancare alla ricostruzione grafica di un generico profilo la sua rappresentazione nel diagramma H-y. Negli esempi che seguono, la descrizione del profilo con riferimento al diagramma H-y è illustrata a partire dalla sezione di monte indipendentemente dal percorso logico seguito nella ricostruzione del profilo stesso.

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3 Canali prismatici a portata costante In questo paragrafo sono illustrati e discussi alcuni esempi relativi al tracciamento dei profili di moto permanente in canali percorsi da una portata costante, prismatici e infinitamente lunghi. Quest’ultima condizione introduce una semplificazione del problema legata al fatto che, infinitamente a monte e a valle, e quindi in corrispondenza delle sezioni di estremità del canale, si realizzano condizioni di moto uniforme. Queste rappresentano pertanto le condizioni al contorno esterne per i problemi qui indagati.

3.1 Variazioni di pendenza Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta una variazione di pendenza, come illustrato schematicamente in Fig. 13. I casi possibili sono definiti dalle combinazioni di if<ic, if>ic per i due tratti di monte e di valle. Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della pendenza del fondo if, l’altezza y0 diminuisce.

3.1.1 Caso A: if<ic per entrambi i tratti.

Per quanto detto in precedenza, essendo la corrente a moto uniforme lenta, procediamo nella ricostruzione del profilo a partire da valle (sez. 1) dove si impone un’altezza pari a y1=y0V. Proseguendo verso monte, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra una qualche variazione geometrica. Nella sezione 2, immediatamente a valle del cambio di pendenza, si avrà pertanto y2= y0V.

Fig. 13

Tra la sezione 2 e la sezione 3, posta immediatamente a monte del cambio di pendenza, consideriamo il bilancio di energia:

2233 HzHz +=+ (30)

il quale, essendo z2=z3 e mantenendosi invariata la natura della corrente, fornisce y3=y2=y0V. Nel caso A1 (vedi Fig. 13), in corrispondenza della sezione 3 l’altezza d’acqua risulta pertanto superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di monte. Al contrario, nel caso A2, essa risulta inferiore. Nel caso A1, si avrà pertanto, a monte della sezione 3, un profilo di rigurgito M1 mentre nel caso A2 si realizzerà un profilo di chiamata M2 (Fig. 14). Infine, in entrambi i casi, nella sezione 4, posta infinitamente a monte, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y4=y0M.

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Fig. 14

La rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è riportata nei diagrammi H-y di Fig. 15. A partire dalle condizioni di moto uniforme di monte (punto 4), la corrente lenta segue un profilo M1 (CASO A1) o M2 (CASO A2) fino a portarsi in corrispondenza della sezione 3 nelle stesse condizioni energetiche che caratterizzano la corrente lenta di valle in moto uniforme. Lo stesso punto (1≡2≡3) nel diagramma H-y è quindi rappresentativo dello stato di moto nel tratto a valle della sezione 3.

Fig. 15

3.1.2 Caso B: if>ic per entrambi i tratti.

Essendo la corrente a moto uniforme rapida, procediamo alla ricostruzione del profilo a partire da monte (sez. 1 di Fig. 16) dove si impone un’altezza pari a y1=y0M. Proseguendo verso valle, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione geometrica determinata dal cambio di pendenza. Nella sezione 2, si avrà pertanto y2=y0M. Tra la sezione 2 e la sezione 3 posta immediatamente a valle del cambio di pendenza consideriamo il bilancio di energia espresso, formalmente, dalla stessa eq. (30) Essendo z2=z3 e mantenendosi invariata la natura della corrente, si trova y3=y2= y0M. Nella sezione 3, l’altezza d’acqua risulta pertanto inferiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B1, mentre risulta superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B2 (vedi Fig. 16).

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Fig. 16

Nel caso B1, si avrà pertanto, a valle della sezione 3, un profilo di corrente decelerata S3 mentre nel caso B2 si realizzerà un profilo di corrente accelerata S2 (Fig. 17). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a valle, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y4=y0V.

Fig. 17

La rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è riportata nei diagrammi H-y di Fig. 18.

Fig. 18

In entrambi i casi, come si è visto, la condizione di monte (moto uniforme) si mantiene tale fino alla sezione 3. Lo stesso punto (1≡2≡3) nel diagramma H-y è quindi rappresentativo dello stato di moto nel tratto compreso tra queste due sezioni. A partire dalla sezione 3 si segue il ramo delle correnti rapide del diagramma H-y verso la condizione di moto uniforme di monte, rappresentata dal punto 4.

3.1.3 Caso C: if<ic a monte e if>ic a valle.

In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di pendenza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente lenta e rapida. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione lenta-rapida ovvero alla

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formazione di una sezione di controllo. Per quanto detto nel paragrafo 2.3.1, la sezione di controllo si disporrà in corrispondenza del cambio di pendenza, essendo questa l’unica variazione presente nel dominio. Infatti, non esistono profili di moto permanente in grado di descrivere l’andamento della superficie libera rispettivamente a monte o a valle della sezione ad altezza critica qualora il tirante yc si stabilisse, per assurdo, a valle (Fig. 19A) ovvero a monte (Fig. 19B) della sezione in cui si realizza il cambio di pendenza.

Fig. 19

Necessariamente, quindi, l’altezza critica yc si formerà in corrispondenza del cambio di pendenza e da qui si svilupperà, verso monte, un profilo di chiamata M2 mentre verso valle la corrente proseguirà secondo un profilo S2 (Fig. 20 – CASO C).

Fig. 20

3.1.4 Caso D: if>ic a monte e if<ic a valle.

In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di pendenza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente rapida e lenta. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione rapida- lenta, cioè alla formazione di una sezione di sconnessione idraulica. A partire da monte, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 20 – CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso valle. Partendo da valle, invece, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente lenta decelerata S1, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 20 – CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso monte. Da qualche parte, nel tratto a cavallo del cambio di pendenza, dove i due profili si sovrappongono, si assisterà alla formazione del risalto. La posizione di quest’ultimo è univocamente determinata dalla condizione di eguaglianza della spinta totale di monte e di valle. Indicate con M0M e M0V rispettivamente la spinta della corrente di moto uniforme di monte e quella di valle, si può verificare una delle seguenti situazioni. Nel caso in cui sia: M0M=M0V, l’equilibrio delle forze si ha esattamente in corrispondenza del cambio di pendenza dove, pertanto, si formerà il risalto. Nel caso in cui sia: M0M>M0V, l’equilibrio delle forze si avrà a valle del cambio di pendenza. Infatti, a valle della sezione 3 (Fig. 20) la corrente rapida, seguendo un profilo M3,

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riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di valle (Fig. 21, CASO D-a). Nel caso, invece, in cui sia: M0M<M0V, l’equilibrio delle forze si avrà a monte del cambio di pendenza. Infatti, a monte della sezione 2 (Fig. 20) la corrente lenta, seguendo un profilo S1, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di monte (Fig. 21, CASO D-b).

Fig. 21

Per la localizzazione del risalto, in alternativa al procedimento appena descritto, basato sul confronto diretto tra le spinte, si può ricorrere al metodo, del tutto equivalente, che si basa sulla rappresentazione delle altezze coniugate. In tal caso si può far riferimento, indifferentemente, all’altezza coniugata della corrente rapida di monte o a quella della corrente lenta di valle. Nel primo caso la soluzione è illustrata graficamente in Fig. 22 nella quale yR indica, sezione per sezione, l’altezza coniugata della corrente rapida di monte. Il risalto si localizza in corrispondenza dell’intersezione tra la curva delle altezze coniugate e il profilo della corrente lenta di valle.

Fig. 22

Nel secondo caso la soluzione è illustrata graficamente in Fig. 23 nella quale yR indica questa volta l’altezza coniugata della corrente lenta di valle. Il risalto si localizza in corrispondenza dell’intersezione tra la curva delle altezze coniugate e il profilo della corrente rapida di monte.

Fig. 23

La descrizione dei due profili illustrati in Fig. 21, rappresentati nel diagramma H-Y a partire da monte, è riportata in Fig. 24. Nel primo caso (CASO D-a), si parte dalle condizioni di moto uniforme y0M (sezione 1). Tali condizioni si mantengono fino al cambio di pendenza (sezione 2, sezione 3), quindi ci si sposta lungo un profilo M3

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fino alla sezione 5, immediatamente a monte del risalto. Si salta, con dissipazione di energia, alla sezione 6, immediatamente a valle del risalto, caratterizzata dalle stesse condizioni del moto uniforme di valle (sezione 4). Nel secondo caso (CASO D-b), si parte ancora dalle condizioni di moto uniforme y0M (sezione 1). Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 5, immediatamente a monte del risalto. Si salta, con dissipazione di energia, alla sezione 6, immediatamente a valle del risalto, e si prosegue quindi con un profilo S1 fino alle sezioni 2 e 3 in corrispondenza del cambio di pendenza. Dalla sezione 3, verso valle, il moto si mantiene uniforme (sezione 4).

Fig. 24

3.2 Variazioni di scabrezza Le considerazioni che verranno fatte in questo paragrafo sono del tutto analoghe a quelle appena viste per il caso di variazione di pendenza. Ciò discende dal fatto che, in moto permanente, la pendenza del fondo if e il coefficiente di scabrezza ks si presentano sempre accoppiati nel prodotto fs ik .

Si ricorda, inoltre, che la pendenza critica ic è fortemente controllata dal coefficiente di scabrezza ks (vedi equazione (15)). Per un’assegnata pendenza del fondo, pertanto, può accadere che ks sia sufficientemente piccolo da determinare una pendenza critica ic maggiore di if. Viceversa, per valori di ks sufficientemente elevati si può verificare la situazione opposta: if>ic. Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta una variazione di scabrezza, come illustrato schematicamente in Fig. 25. I casi possibili sono definiti dalle combinazioni di if<ic, if>ic per i due tratti di monte e di valle. Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della scabrezza del fondo, cioè al diminuire di ks, anche l’altezza y0 aumenta.


Essendo la corrente a moto uniforme lenta, procediamo da valle (sezione 1) dove si impone un’altezza pari a y1=y0V. Proseguendo verso monte, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione di scabrezza. Nella sezione 2, si avrà pertanto y2=y0V. Tra le sezioni 2 e 3, quest’ultima posta immediatamente a monte del

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cambio di scabrezza, consideriamo il bilancio di energia espresso ancora dall’equazione (30). Essendo z2=z3 e mantenendosi invariata la natura della corrente, il bilancio fornisce y3=y2=y0V. Nel caso A1 (vedi Fig. 25), in corrispondenza della sezione 3 l’altezza d’acqua risulta pertanto superiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di monte. Al contrario, nel caso A2 essa risulta inferiore.

Fig. 25

Nel caso A1 si avrà pertanto, a monte della sezione 3, un profilo di rigurgito M1 mentre nel caso A2 si realizzerà un profilo di chiamata M2 (Fig. 26). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a monte, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y4=y0M.

Fig. 26

La rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è analoga a quella riportata in Fig. 15.


La corrente a moto uniforme è rapida, procediamo pertanto da monte (sezione 1) dove si impone un’altezza pari a y1=y0M. Proseguendo verso valle, il moto si mantiene uniforme finchè non si incontra la variazione di scabrezza. Nella sezione 2 si avrà pertanto y2=y0M. Tra la sezione 2 e la sezione 3 posta immediatamente a valle del cambio di scabrezza consideriamo il solito bilancio di energia (equazione (30)). il quale, essendo z2=z3 e mantenendosi invariata la natura della corrente, fornisce y2=y3=y0M. Nella sezione 3 l’altezza d’acqua risulta pertanto inferiore a quella di moto uniforme che compete al tratto di valle nel caso B1, mentre risulta superiore nel caso B2 (vedi Fig. 27).

Fig. 27

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Nel caso B1 si avrà pertanto, a valle della sezione 3, un profilo di corrente decelerata S3 mentre nel caso B2 si realizzerà un profilo di corrente accelerata S2 (Fig. 28). Infine, nella sezione 4, posta infinitamente a valle, saranno raggiunte le condizioni di moto uniforme y4=y0V.

Fig. 28

Anche in questo caso, la rappresentazione delle caratteristiche energetiche in corrispondenza delle diverse sezioni è analoga a quella riportata nel diagramma H-y di Fig. 18.


In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di scabrezza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente lenta e rapida. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione lenta-rapida ovvero alla formazione di una sezione di controllo. Per quanto detto nel paragrafo 2.3.1, la sezione di controllo si disporrà in corrispondenza del cambio di scabrezza, essendo questa l’unica variazione presente nel dominio (vedi discussione del Caso C, nel precedente paragrafo). Qui si formerà l’altezza critica yc. Verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2 mentre verso valle la corrente proseguirà secondo un profilo S2 (Fig. 29, CASO C).

Fig. 29


In questo caso, infinitamente a monte e a valle del cambio di scabrezza di stabiliranno condizioni di moto uniforme rispettivamente di corrente rapida e lenta. Necessariamente quindi si assisterà ad una transizione rapida-lenta ovvero alla formazione di una sezione di sconnessione idraulica. A partire da monte, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 29, CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso valle. Partendo da valle, invece, la corrente si mantiene in moto uniforme fino al cambio di pendenza quindi, seguendo un profilo di corrente lenta decelerata S1, si porta verso le condizioni critiche (Fig. 29, CASO D). Da qui in poi non è più possibile procedere verso monte.

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Da qualche parte, nel tratto a cavallo del cambio di scabrezza, dove i due profili si sovrappongono, si assisterà alla formazione del risalto. La posizione di quest’ultimo è univocamente determinata dalla condizione di eguaglianza della spinta totale di monte e di valle. Indicate con M0M e M0V rispettivamente la spinta della corrente di moto uniforme di monte e quella di valle, si può verificare una delle seguenti situazioni. Nel caso in cui sia: M0M=M0V, l’equilibrio delle forze si ha esattamente in corrispondenza del cambio di scabrezza dove, pertanto, si formerà il risalto. Nel caso in cui sia: M0M>M0V, l’equilibrio delle forze si avrà a valle del cambio di scabrezza. Infatti, a valle della sezione 3 (Fig. 29, CASO D) la corrente rapida, seguendo un profilo M3, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di valle (Fig. 30, CASO D-a). Nel caso, invece, in cui sia: M0M<M0V, l’equilibrio delle forze si avrà a monte del cambio di scabrezza. Infatti, a monte della sezione 2 (Fig. 29, CASO D) la corrente lenta, seguendo un profilo S1, riduce progressivamente la sua spinta (al limite raggiunge il valore minimo in condizioni critiche) fino ad eguagliare quella di monte (Fig. 30, CASO D-b).

Fig. 30

Anche in questo caso è possibile localizzare il risalto facendo ricorso alla rappresentazione delle altezze coniugate come illustrato nel paragrafo 3.1.4. La descrizione dei due profili illustrati in Fig. 30, rappresentati nel diagramma H-Y a partire da monte, è analoga a quella riportata in Fig. 24.

3.3 Salto di fondo Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un salto di fondo, come illustrato schematicamente in Fig. 31.

3.3.1 Caso A: if<ic.

Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del salto di fondo si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Partendo quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e procedendo verso monte si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle del salto (vedi Fig. 31).

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Fig. 31

Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EaHH Δ+−= (31)

in cui H2=H0. Possono a questo punto presentarsi due casi. Se la quantità (H2-a+ΔE32) che compare nell’equazione (31) risulta superiore all’energia minima Hc, allora il bilancio (31) è fisicamente significativo e rappresentativo dell’effettivo valore di H3. nota dunque l’energia H3, si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza critica yc ma necessariamente inferiore a quella del moto uniforme y0. A monte della sezione 3 si svilupperà pertanto un profilo di chiamata M2 (Fig. 32, caso A1) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).

Fig. 32

Se, viceversa, la quantità (H2-a+ΔE32) dovesse risultare inferiore all’energia minima Hc, allora il bilancio (31) non consente di determinare l’energia H3. Si noti che ciò equivale a dire che il moto uniforme non può portarsi dalla sezione 1 fino alla sezione 2 subito a valle del salto. In tal caso si ha la formazione dell’altezza critica sopra il gradino (y3=yc) e si è pertanto in presenza di una sezione di controllo, a valle della quale la corrente è rapida. A partire da queste condizioni, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2, come illustrato in Fig. 32 (Caso A2). Dal bilancio di energia (31), fissata questa volta l’energia di monte H3=Hc ed essendo invece H2 incognita, si determina H2 e quindi l’altezza d’acqua y2 sul ramo delle correnti rapide. Si procede quindi verso valle, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a ridurre la spinta al valore che caratterizza la condizione di moto uniforme di valle (sezione 5). Qui si assiste alla formazione di un risalto, a valle del quale (sezione 6) si incontrano le condizioni di moto uniforme (Fig. 32, Caso A2). I due profili rappresentati in Fig. 32 sono illustrati, con riferimento al diagramma H-y in Fig. 33.

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Fig. 33

Con riferimento alla situazione descritta per il Caso A2, in cui è prevista la transizione attraverso le condizioni critiche, vi è la possibilità, per qualche verso particolare ma tutt’altro che infrequente, che il profilo di valle differisca da quello illustrato in Fig. 32. Può accadere, infatti, che, pur realizzandosi la sezione di controllo sopra il gradino, l’altezza y2 di valle determinata utilizzando il bilancio (31) sia relativamente elevata e tale da produrre una spinta inferiore a quella del moto uniforme di valle ed insufficiente, quindi, a sostenere il risalto (vedi Esercizio 1). In tal caso il risalto migra verso monte fino ad incollarsi a ridosso del gradino laddove la spinta della corrente di monte può incrementarsi per la parte statica grazie al contributo offerto dal gradino stesso. Le sezioni di controllo e di sconnessione idraulica, pertanto, risultano tra loro molto ravvicinate al punto da individuare, di fatto, un’unica sezione (vedi paragrafo 2.3.3). Per queste situazioni, il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y, sono qualitativamente riportati in Fig. 34.

Fig. 34

3.3.2 Caso B: if>ic.

Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del salto di stabiliranno condizioni di moto uniforme di

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corrente rapida. Si parte quindi da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a monte del salto (vedi Fig. 35).

Fig. 35

Le caratteristiche del moto nella sezione 3, a valle del gradino, si determinano attraverso il seguente bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2323 EaHH Δ−+=

in cui H2=H0. Nota l’energia H3, si calcola l’altezza d’acqua y3, sul ramo delle correnti rapide, che risulta, naturalmente, inferiore all’altezza y0. Verso valle, pertanto, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3. ● Nei CASI A2-b e B-b è possibile stimare l’altezza yp del cuscino d’acqua che si

forma tra la faccia del gradino e il getto mediante l’applicazione del teorema della quantità di moto. Con riferimento alle indicazioni riportate in Fig. 36, relativamente al CASO A2-b, l’applicazione del teorema della quantità di moto al volume di controllo individuato dal fluido compreso tra le sezioni 2 e 3 consente di scrivere

22

3 21 MyBM p =+

Fig. 36

-30-

Essendo nota la portata fluente e le altezze y3=yc e y2, è immediato il calcolo delle spinte M2 e M3 e quindi, dal bilancio delle spinte, è altrettanto immediato il calcolo dell’altezza yp. In modo del tutto analogo si può valutare l’altezza yp per il CASO B-b.

● Una situazione analoga a quelle analizzate in questo paragrafo ma caratterizzata da un’altezza a del salto di fondo molto grande, è quella dello sbocco in un serbatoio descritto nel paragrafo 3.6.

3.4 Gradino di fondo Consideriamo ora i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un gradino di fondo, come illustrato schematicamente in Fig. 91.


Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del gradino di stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si parte quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle del gradino (vedi Fig. 91).

Fig. 37

Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EaHH Δ++=

in cui H2=H0. L’energia H3 fornita dalla precedente relazione risulta sempre superiore all’energia H2 e quindi all’energia minima Hc. Nota H3, si determina il livello y3 sul ramo delle correnti lente che risulterà superiore non solo all’altezza y0 ma anche all’altezza y2+a. A monte della sezione 3 si svilupperà pertanto un profilo di rigurgito M1 (Fig. 91) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).


Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del gradino di stabiliscono condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Si parte quindi da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a monte del gradino (vedi Fig. 92). Utilizzando il seguente bilancio di energia

-31-

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EaHH Δ−−= (32)

in cui H2=H0, si determina H3. A questo punto possono presentarsi due diverse situazioni. Se l’energia H3 così calcolata è superiore all’energia minima Hc, la corrente dispone dell’energia sufficiente per superare il gradino e, nota H3, si calcola il corrispondente valore y3 sul ramo delle correnti rapide. Risulta sempre y3>y2 e quindi, nel caso in esame, y3>y0. A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà pertanto un profilo S2 (Fig. 92). La rappresentazione del profilo complessivo, con riferimento al diagramma H-y, è riportato nella stessa Fig. 92. • In realtà la condizione H3>Hc è una condizione necessaria ma non sufficiente per

il superamento del gradino senza transizione. In particolari circostanze, infatti, può accadere che, pur essendo verificata la precedente disuguaglianza, il comportamento della corrente sia analogo a quello illustrato di seguito, caratterizzato dalla condizione H3<Hc. Questo particolare comportamento e le condizioni per cui lo stesso si verifica, sono illustrate nel paragrafo 4.1.

Fig. 38

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hc (si noti che ciò equivale a dire che la corrente non può mantenersi uniforme fino alla sezione 2), la corrente supera il gradino in condizioni di minima energia e, in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=yc. Dalla sezione 3, verso valle, la corrente prosegue secondo un profilo di tipo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Subito a monte del gradino, invece (sezione 2), si stabilisce l’altezza d’acqua y2 di corrente lenta ricavabile utilizzando il bilancio (32) nel quale H3 è nota e pari a Hc. Dalla sezione 2, verso monte, si prosegue seguendo un profilo di tipo S1 fino alla sezione 6 in cui la corrente presenta la medesima spinta totale del moto uniforme. La posizione del risalto (sezioni 5 e 6) viene determinata dunque utilizzando il teorema della quantità di moto, imponendo la condizione: M6=M5=M0. Il profilo così ricostruito è illustrato in Fig. 93 accanto alla sua rappresentazione nel diagramma H-y. • Non deve sorprendere (vedi curva H-y, Caso B-b2 di Fig. 93) se l’energia H2

acquisita complessivamente dalla corrente in corrispondenza della sezione 2, dovesse risultare inferiore a quella posseduta dalla corrente inizialmente (sezioni 1 e 4). Ciò è dovuto alla diversa entità delle dissipazioni di energia che hanno

-32-

luogo tra le sezioni 2 e 3 quando il gradino è affrontato da una corrente rapida ovvero da una lenta.

Fig. 39

3.5 Breve rialzo di fondo Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un breve rialzo di fondo, come illustrato schematicamente in Fig. 40.

Fig. 40


Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del gradino si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si parte quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle del gradino (vedi Fig. 41). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia

-33-

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EaHH Δ+−= (33)

in cui H2=H0. Possono a questo punto presentarsi due casi. Se l’energia H3 fornita dalla (33) risulta superiore all’energia minima Hc, allora il bilancio (33) fornisce effettivamente l’energia H3 nota la quale, si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza critica yc ma inevitabilmente inferiore alla differenza y2-a, pertanto sul gradino si avrà un abbassamento della superficie libera. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a monte del gradino, si opera un secondo bilancio di energia

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 4334 EaHH Δ++= (34)

Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 (Fig. 41) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5).

Fig. 41

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hc, la corrente supera il gradino in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=yc. Dal bilancio (33), nel quale H3=Hc, si trova: H2=Hc+a-ΔE32 e si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti rapide. Dalla sezione 2 si procede verso valle integrando il profilo M3 di corrente rapida decelerata fino alla sezione 6 dove la spinta della corrente eguaglia quella del moto uniforme di valle. Qui si ha la formazione del risalto. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 (critiche) a quelle della sezione 4 immediatamente a monte del gradino, si opera il bilancio di energia (34) nel quale H3=Hc. Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 (Fig. 42) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5).

-34-

Fig. 42

In questo caso può accadere che la spinta massima della corrente rapida che si determina in corrispondenza della sezione 2, a valle del gradino, sia inferiore alla spinta che caratterizza la corrente di valle in moto uniforme. In tale evenienza il risalto è sospinto verso monte fino al gradino dove trova la collaborazione offerta dalla spinta statica prodotta dal gradino stesso cosicchè le sezioni di controllo e di sconnessione idraulica vengono di fatto a coincidere (Fig. 43).

Fig. 43


Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del gradino di stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Si parte quindi da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a monte del gradino (vedi Fig. 44). Utilizzando il seguente bilancio di energia

-35-

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2323 EaHH Δ−−= (35)

si determina H3. A questo punto possono presentarsi due diverse situazioni. Se l’energia H3 è superiore all’energia minima Hc, la corrente dispone dell’energia sufficiente per superare il gradino e, nota H3, si calcola il corrispondente valore di y3 sul ramo delle correnti rapide. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a valle del gradino, si opera un secondo bilancio di energia:

443433 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3434 EaHH Δ−+= (36)

Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti rapide. Essendo y4>y0, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 5). Il profilo che si sviluppa e la sua rappresentazione nel diagramma H-y, sono riportatio in Fig. 44. • In realtà la condizione H3>Hc è una condizione necessaria ma non sufficiente per

il superamento del gradino senza transizione. In particolari circostanze, infatti, può accadere che, pur essendo verificata la precedente disuguaglianza, il comportamento della corrente sia analogo a quello illustrato nei successivi casi B2-a e B2-b, caratterizzati dalla condizione H3<Hc. Questo particolare comportamento e le condizioni per cui lo stesso si verifica sono illustrate nel paragrafo 4.1

Fig. 44

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hc (si noti che ciò equivale a dire che la corrente in moto uniforme non dispone dell’energia sufficiente per superare il gradino), la corrente supera il gradino in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=yc. Dal bilancio (35), nel quale H3=Hc, si trova: H2=Hc+a+ΔE23 e si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente. Dalla sezione 2 si procede verso monte integrando il profilo S1 di corrente lenta decelerata fino alla sezione 7 dove la spinta della corrente eguaglia quella del moto uniforme di monte (sezione 6). Qui si ha la formazione del risalto.

-36-

Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 (condizioni critiche) a quelle della sezione 4, immediatamente a valle del gradino, si opera il bilancio di energia (36) nel quale H3=Hc. Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti rapide. Nel caso in cui risulti y4<y0, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo S3 (Fig. 45) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 5).

Fig. 45

Nel caso opposto, in cui sia y4>y0, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo S2 (Fig. 46) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 5).

Fig. 46

Non deve sorprendere (vedi curva H-y, Caso B2-c in Fig. 47) se l’energia H2 acquisita complessivamente dalla corrente in corrispondenza della sezione 2 dovesse risultare inferiore a quella posseduta dalla corrente inizialmente (sezioni 1 e 6). Ciò è dovuto alla diversa entità delle dissipazioni di energia per la corrente rapida e per quella lenta quando investono il gradino. In questo caso, l’altezza y4 a valle del gradino, risulta superiore all’altezza di moto uniforme e, procedendo verso valle, si sviluppa un profilo S2 di corrente rapida accelerata (Fig. 47).

-37-

Fig. 47

3.6 Sbocco in un serbatoio I problemi di sbocco in un serbatoio sono qualitativamente analoghi a quelli relativi alla presenza di un salto di fondo visi nel paragrafo 3.3. Anche per questo problema conviene analizzare separatamente i casi di pendenza del fondo inferiore o superiore a quella critica. (Si osservi che il serbatoio può essere visto come un tratto di canale estremamente largo e profondo per il quale la corrente è lenta (F<1) e la pendenza del fondo inferiore a quella critica).


Consideriamo dapprima il problema di sbocco in un serbatoio nel caso in cui il canale immissario sia caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. In queste condizioni il moto è comandato da valle (cioè dal livello nel serbatoio). Indicata con Δ la differenza tra la quota tra la superficie libera nel serbatoio hS e la quota del fondo del canale alla sezione di sbocco zV, sciviamo il bilancio di energia tra le sezioni 1 (serbatoio) e 2 (sezione di sbocco del canale)

ShEEHz ==Δ−+ 12122 ovvero Δ+==Δ−++ 221

22

22 2zhE

gvyz S (37)

Se si assume, come è consuetudine, che nello sfociare nel serbatoio la corrente dissipi una quantità di energia pari al carico cinetico (ΔE21=v2

2/2g), dalla (37) si avrà y2=Δ. E’ necessario, a questo punto distinguere il caso in cui risulta y2>yc da quello in cui è y2<yc. Nel primo caso (y2=Δ>yc), nella sezione 2 abbiamo una corrente lenta, correttamente determinata a partire da valle, la quale può essere integrata verso monte senza problema alcuno. Nel caso in cui il livello y2 sia superiore all’altezza di moto uniforme y0 (vedi Fig. 48, CASO A1-a), a partire dalla sezione di sbocco si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino a raccordarsi, infinitamente a monte, con l’altezza y0 di monte. Nel caso, invece (Fig. 48, CASO A1-b), in cui il livello y2 dovesse risultare inferiore a y0, a partire dalla sezione di valle si avrà un profilo di chiamata M2 che si raccorderà gradualmente con il moto uniforme di monte.

-38-

Fig. 48

Nel caso in cui dovesse invece risulta y2=Δ<yc, nella sezione 2 non si stabilisce il livello y2=Δ (tale livello, infatti, che è stato determinato a partire da valle, è associato ad una corrente rapida) E’ da osservare a questo proposito che la soluzione y2=Δ<yc descrive, di fatto, la situazione per la quale la corrente lenta di valle (cioè il moto nel serbatoio) non ha energia sufficiente per stabilire una condizione di corrente lenta in corrispondenza della sezione di sbocco del canale. In tal caso, in corrispondenza di questa sezione terminale si stabiliscono le condizioni critiche (y2=yc). A monte della sezione 2 si svilupperà pertanto un profilo di chiamata M2, mentre la corrente supercritica a valle della sezione 2 subirà l’immediata transizione a lenta come illustrato in Fig. 49 (caso di sezione di controllo e di sconnessione praticamente coincidenti)

Fig. 49


Consideriamo ora il caso in cui il canale immissario sia caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. In queste condizioni, essendo la corrente di monte rapida e quella di valle (nel serbatoio) lenta, si dovrà verificare una transizione rapida-lenta con la formazione di un risalto. Procedendo preliminarmente da monte (sezione 1), si assume, in prima ipotesi, che la corrente si mantenga in moto uniforme fino alla sezione di sbocco (y2=y0). Utilizzando il teorema della quantità di moto si calcola l’altezza yR coniugata di y2, ovvero dell’altezza di moto uniforme (per sezioni rettangolari si può utilizzare l’equazione (28)). Se risulta yR>Δ significa che la corrente rapida di monte è dotata di una spinta superiore a quella della corrente lenta imposta dal livello nel serbatoio. In tal caso il risalto viene sospinto nel serbatoio e la situazione che si realizza è quella illustrata in Fig. 50

-39-

Fig. 50

Se, viceversa, risulta yR<Δ, allora in corrispondenza dello sbocco si avrà y2=Δ. Procedendo verso monte si segue un profilo di corrente lenta decelerata S1 fino a raggiungere il livello y5=yR, laddove si formerà il risalto (vedi Fig. 51).

Fig. 51

3.7 Imbocco da un serbatoio I problemi di imbocco da un serbatoio sono qualitativamente analoghi a quelli relativi alla presenza di un gradino di fondo visi nel paragrafo 3.4. Anche per questo problema conviene analizzare separatamente i casi di pendenza del fondo inferiore o superiore a quella critica. (Si osservi che il serbatoio può essere visto come un tratto di canale estremamente largo e profondo per il quale la corrente è lenta (F<1) e la pendenza del fondo inferiore a quella critica).


Consideriamo dapprima il caso in cui il canale emissario sia caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica. In queste condizioni, la corrente risulta essere ovunque (nel canale e nel serbatoio) lenta. Per ricostruire il profilo, si parte pertanto dalla sezione di valle (sezione 1). Il problema, in questo caso, è complicato dal fatto che non può essere nota a priori la portata che defluisce lungo il canale in quanto la stessa dipende anche dal livello nel serbatoio. In generale, si procede per tentativi. Assunta una portata Q di primo tentativo, si ricostruisce il profilo di corrente lenta da valle verso monte fino alla sezione di imbocco (sezione 2) dove si avrà l’altezza y2. A questo punto si calcola l’energia H2 e si considera il bilancio di energia:

2232 HzEhs +=Δ− (38)

-40-

in cui hs è la quota della superficie libera nel serbatoio. Se l’equazione di bilancio (38), nella quale la perdita ΔE32 può generalmente essere trascurata, non dovesse essere verificata, si procede ad un nuovo tentativo modificando la portata Q. Nel caso in cui il canale sia infinitamente lungo la superficie libera, in prossimità dell’imbocco, si dispone secondo il profilo di moto uniforme e alla sezione 2 si ha pertanto y2=y0. All’equazione (38) può quindi essere associata la relazione di moto uniforme (1) ottenendo, nell’ipotesi di trascurare la dissipazione localizzata ΔE32, la seguente equazione nella sola incognita y2

giyRk

yzh fHss 2

)( 23/42

22 +=− (39)

Risolta l’equazione (39) è possibile determinare, mediante la (1), la portata fluente. Il profilo liquido, per questo caso, è illustrato in Fig. 52.

Fig. 52

L’andamento qualitativo dei profili che si stabiliscono in un canale di lunghezza finita (per il calcolo dei quali si segue il processo iterativo sopra delineato) sono, infine, illustrati in Fig. 53.

Fig. 53


Consideriamo quindi il problema di imbocco da un serbatoio quando il canale emissario sia caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. In questo caso si attua una transizione tra la corrente lenta nel serbatoio e quella rapida lungo il canale. La sezione di controllo si posiziona in corrispondenza dell’imbocco dove si avrà un’altezza pari a quella critica yc. All’equazione (38) può pertanto essere associata la condizione espressa dall’equazione (10) ottenendo, nell’ipotesi di

-41-

trascurare la dissipazione localizzata ΔE32, la seguente equazione nella sola incognita y2= yc

)(2)(

2

222 yB

yAyzhs +=− (40)

Calcolata l’altezza y2=yc, a partire dalla sezione di imbocco, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 come illustrato in Fig. 54.

Fig. 54

3.8 Variazione di larghezza: allargamento Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un brusco allargamento, come illustrato schematicamente in Fig. 55.

Fig. 55

Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme e le altezze critiche caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della larghezza, l’altezza y0 e quella critica yc diminuiscono entrambe.

-42-


Analizziamo dapprima il caso di un allargamento localizzato in un canale caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle della variazione di larghezza, si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta con altezze y0M e y0V diverse tra loro. In particolare, utilizzando una qualsiasi formula di moto uniforme e l’espressione per l’energia H, è facile verificare che dovrà essere: y0M>y0V e H0M>H0V. Si parte da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0V), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0V) posta immediatamente a valle della variazione di larghezza (vedi Fig. 56, CASO A1). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (41)

in cui H2=H0V. Possono a questo punto presentarsi due casi. Se l’energia H3 fornita dalla (41) risulta superiore all’energia minima di monte HcM, allora nota H3 si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza critica ycM ma inferiore a quella del moto uniforme y0M. A monte della sezione 3 si svilupperà pertanto un profilo di chiamata M2 (Fig. 56, CASO A1) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).

Fig. 56

Se, viceversa, l’energia H3 fornita dalla (41) dovesse risultare inferiore all’energia minima HcM, allora il bilancio (41) non consente di determinare H3. In tal caso, infatti, si ha la formazione dell’altezza critica immediatamente a monte dell’allargamento (y3=ycM) dove si è pertanto in presenza di una sezione di controllo, a valle della quale la corrente è rapida. A partire da queste condizioni, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2, come illustrato in Fig. 57 (Caso A2-a). Dal bilancio di energia (41), fissata questa volta l’energia di monte H3=HcM, si determina H2 e quindi l’altezza d’acqua y2 sul ramo delle correnti rapide. Si procede quindi verso valle, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a ridurre la spinta al valore che caratterizza la condizione di moto uniforme di valle (sezione 5). Qui si assiste alla formazione di un risalto, a valle del quale (sezione 6), si incontrano le condizioni di moto uniforme (Fig. 57, Caso A2-a).

-43-

Fig. 57

E’ da sottolineare che, nel secondo caso indagato, la trattazione unidimensionale descrive in modo molto approssimativo il comportamento della corrente a valle dell’allargamento che nella realtà ha un carattere spiccatamente bidimensionale. Va detto, peraltro, che questa situazione si presenta con una frequenza relativamente modesta. Spesso, infatti, la corrente rapida, immediatamente a valle dell’allargamento (sezione 2), è caratterizzata da una spinta insufficiente a sostenere il risalto il quale, pertanto, risale verso monte portandosi a ridosso dell’allargamento stesso. La sezione di controllo e quella di sconnessione idraulica si sovrappongono (vedi paragrafo 2.3.3). Questa situazione è illustrata in Fig. 58.

Fig. 58


Consideriamo ora il caso di un allargamento localizzato in un canale caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. Infinitamente a monte e a valle della variazione di larghezza si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida come illustrato nella precedente Fig. 55, CASO B. Si parte pertanto da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0M), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0M) posta immediatamente a monte della variazione di larghezza (vedi Fig. 59).

-44-

Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2323 EHH Δ−= (42)

in cui H2=H0M. Nota l’energia H3, si determina il valore y3, sul ramo delle correnti rapide il quale risulterà certamente inferiore all’altezza di moto uniforme y0V. Procedendo verso valle, pertanto, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino a raggiungere le condizioni di moto uniforme (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y, sono illustrati in Fig. 59.

Fig. 59

• Con riferimento a questa situazione è da osservare che la teoria unidimensionale male si presta ad interpretare la realtà fisica. In corrispondenza di deviazioni planimetriche, infatti, una corrente rapida sviluppa una serie di fronti d’onda, generalmente di altezza finita, che modificano in misura anche sensibile il campo di moto. Dal punto di vista qualitativo, la configurazione dei fronti è illustrata in Fig. 60.

Fig. 60

• A rigore, con riferimento ad un allargamento, sono possibili in qualche caso anche le situazioni: “if>ic a monte, if<ic a valle” e “if<ic a monte, if>ic a valle”. Combinando la formula di Gauckler-Strickler per il moto uniforme e la definizione di numero di Froude, si può individuare una relazione che mostra come varia il numero di Froude al variare della larghezza B. A tale scopo è conveniente rendere adimensionali le diverse grandezze introducendo una lunghezza di riferimento L0 e una portata di riferimento Q0, così definite:

-45-

320 )]/([ fs ikgL = 3/8

00 LikQ fs= (43)

In relazione alla forma della sezione trasversale, si ottiene una relazione del tipo: F=f (B/L0,Q/Q0), essendo B una larghezza caratteristica di riferimento. Per una sezione rettangolare, ad esempio, tale relazione è illustrata graficamente in Fig. 61.

Fig. 61

Quando la sezione è relativamente larga, nel passare dalle condizioni di moto uniforme di monte a quelle di valle, si ha una diminuzione del numero di Froude (vedi Fig. 61) che può passare da valori superiori all’unità (if>ic) a valori inferiori (if<ic). L’opposto può accadere quando la sezione è relativamente stretta.


In questo caso si ha evidentemente la formazione di una sezione di controllo. L’altezza critica, non può stabilirsi in corrispondenza della sezione 3 a valle dell’allargamento perché il bilancio di energia tra questa sezione e la sezione 2 di monte non presenterebbe soluzioni (vedi Fig. 62). Ne consegue che l’altezza critica si forma nella sezione 2 posta immediatamente a monte dell’allargamento. A partire dall’altezza critica nella sezione 2, si prosegue verso monte seguendo un profilo di chiamata M2. Dal bilancio di energia (42) tra le sezioni 2 e 3, con H2=HcM, si determina l’energia H3 e quindi l’altezza d’acqua y3 su ramo delle correnti rapide. Da qui si prosegue verso valle seguendo un profilo S3. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y sono illustrati in Fig. 62.

-46-

Fig. 62


In questo caso, a partire da monte, la corrente si mantiene in moto uniforme fino alla sezione 2. Utilizzando il bilancio di energia (42) si determina H3 e si calcola quindi l’altezza y3 sul ramo delle correnti rapide. Si procede quindi verso valle, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a raggiungere le condizioni di equilibrio con il moto uniforme di valle (sezione 5). Qui si ha la formazione del risalto che porta la corrente (sezione 6) nelle condizioni di moto uniforme di valle. Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Fig. 63.

Fig. 63

Anche in questo caso è possibile che la spinta della corrente rapida in corrispondenza della sezione 2 risulti inferiore alla spinta della corrente lenta di valle. Se ciò dovesse verificarsi, il risalto verrebbe sospinto a ridosso dell’allargamento.

3.9 Variazione di larghezza: restringimento Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un brusco restringimento, come illustrato schematicamente in Fig. 64.

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Fig. 64

Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme e le altezze critiche caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al crescere della larghezza, l’altezza y0 e quella critica yc diminuiscono entrambe.


Consideriamo dapprima il caso di un restringimento localizzato, in un canale caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica. Infinitamente a monte e a valle della variazione di larghezza si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta come illustrato nella precedente Fig. 64. Si parte pertanto da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0V), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0V) posta immediatamente a valle della variazione di larghezza (vedi Fig. 65). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+=

in cui H2=H0V. Nota l’energia H3, si determina il valore y3, sul ramo delle correnti lente il quale risulterà certamente superiore all’altezza di moto uniforme y0M. Procedendo verso monte, pertanto, si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino a raggiungere, infinitamente a monte, l’altezza y0M (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y, sono illustrati in Fig. 65.

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Fig. 65


Consideriamo ora il caso di un restringimento localizzato, in un canale caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. Infinitamente a monte e a valle della variazione di larghezza si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida come illustrato nella precedente Fig. 64. Si parte pertanto da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0M), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0M) posta immediatamente a monte della variazione di larghezza (vedi Fig. 66). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ−= (44)

in cui H2=H0M. Se l’energia H3 risulta superiore all’energia minima di valle HcV, allora nota H3 si determina il valore y3 sul ramo delle correnti rapide, il quale risulterà certamente superiore all’altezza di moto uniforme y0V. Procedendo verso valle, pertanto, si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4).

Fig. 66

-49-

• Con riferimento a questa situazione è da osservare che la teoria unidimensionale male si presta ad interpretare la realtà fisica. In corrispondenza di deviazioni planimetriche, come si è detto, una corrente rapida sviluppa una serie di fronti d’onda, generalmente di altezza finita, che modificano in misura anche sensibile il campo di moto. Inoltre, se il restringimento è relativamente brusco, si determinano “urti forti”, con transizione locale della corrente da rapida a lenta. Dal punto di vista qualitativo, la configurazione dei fronti è illustrata in Fig. 67.

Fig. 67

• Anche in questo caso la condizione H3>HcV è necessaria ma non sufficiente per il superamento del restringimento senza transizione. In particolari circostanze, infatti, può accadere che, pur essendo verificata la precedente disuguaglianza, il comportamento della corrente sia analogo a quello illustrato di seguito caratterizzato dalla condizione H3<HcV. Questo particolare comportamento e le condizioni per cui lo stesso si verifica sono illustrate nel paragrafo 4.1

Se l’energia H3 dovesse invece risultare inferiore all’energia minima di valle HcV, la corrente supera necessariamente il restringimento in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=ycV. Verso valle, la corrente segue un profilo di tipo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Nel procedere verso monte, si determina innanzitutto l’energia H2 utilizzando il bilancio (44): H2=H3+ΔE23. Nota H2, si calcola la corrispondente altezza y2 sul ramo delle correnti lente. Si prosegue quindi verso monte seguendo un profilo di tipo S1 fino alla sezione 6 dove la spinta totale è pari a quella del moto uniforme di monte (M6=M5=M0M). Il profilo così ricostruito è illustrato in Fig. 68 accanto alla sua rappresentazione nel diagramma H-y. (Vedi Esercizio 4). Non deve sorprendere (vedi curva H-y, Caso B-b2 di Fig. 68) se l’energia H2 acquisita complessivamente dalla corrente in corrispondenza della sezione 2 dovesse risultare inferiore a quella posseduta dalla corrente inizialmente (sezione 1). Ciò è dovuto alla diversa entità della dissipazione di energia per i casi in cui il restringimento è superato da una corrente rapida, caratterizzata da un elevato carico cinetico, o da una corrente lenta.

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Fig. 68

Come per il caso di allargamento, anche in presenza di un restringimento, dal punto di vista teorico, sono possibili le ulteriori due situazioni: “if>ic a monte, if<ic a valle” e “if<ic a monte, if>ic a valle”.


In questo caso (vedi Fig. 64), necessariamente, si realizza in corrispondenza della variazione di larghezza una sezione di controllo e, in particolare, si determineranno le condizioni critiche nella sezione 3 (vedi Fig. 69). Si osservi infatti che se le condizioni critiche si determinassero, per assurdo, in corrispondenza della sezione 2 (y2=ycM), il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 fornirebbe: H3=H2-ΔE23=HcM-ΔE23, ma tale valore di H3 non avrebbe significato fisico in quanto non è rappresentabile sulla curva H-y. Verso valle la corrente prosegue secondo un profilo S2 con cui si porta alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Procedendo verso monte, si determina innanzitutto l’energia H2=H3+ΔE23=HcV+ΔE23 utilizzando il bilancio (44). Si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente e si procede verso monte, seguendo un profilo di rigurgito M1 fino a raggiungere le condizioni di moto uniforme (sezione 1). Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Fig. 69.

-51-

Fig. 69


In questo caso (vedi Fig. 64), procedendo da valle (sezione 1), si mantengono le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 posta immediatamente a valle del restringimento (y2=y1=y0V). Mediante un bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, si individuano le caratteristiche del moto nella sezione 3, dove la corrente è certamente lenta. Si prosegue quindi verso monte seguendo un profilo S1 fino alla sezione 6 dove la spinta eguaglia quella della corrente rapida, in moto uniforme, proveniente da monte. Tra le sezioni 5 e 6 si ha quindi la formazione del risalto, mentre a monte della sezione 5 il moto è uniforme di corrente rapida. Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono riportati in Fig. 70.

Fig. 70

• In questi ultimi due casi (CASO C e CASO D) il moto è caratterizzato da condizioni prossime a quelle critiche. SI tratta di situazioni relativamente improbabili nelle quali, inoltre, il moto risulta spesso caratterizzato da instabilità superficiali nella forma di ondulazioni regolari di ampiezza non trascurabile. L’ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni risulta pertanto non sempre accettabile e una soluzione più accurata potrebbe venire dall’impiego di equazioni che contemplano gli effetti legati alla pendenza e alla curvatura della superficie libera (vedi paragrafo 0)

-52-

3.10 Breve restringimento localizzato Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo che presenta un breve restringimento, come illustrato schematicamente in Fig. 71.

Fig. 71


Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle del restringimento si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si parte quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle del restringimento (vedi Fig. 72). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (45)

in cui H2=H0. Possono a questo punto presentarsi due casi. Se l’energia H3 fornita dalla (45) risulta superiore all’energia minima nel restringimento Hcb, allora il bilancio (45) è fisicamente significativo e, nota H3, si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà inferiore all’altezza y2, pertanto in corrispondenza del restringimento si avrà un abbassamento della superficie libera. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a monte del restringimento, si opera un bilancio di energia:

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 4334 EHH Δ+= (46)

Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 (Fig. 72) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5).

-53-

Fig. 72

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hcb, la corrente supera il restringimento in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=ycb. Dal bilancio (45), nel quale H3=Hcb, si trova: H2=Hcb-ΔE32. Si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti rapide. Dalla sezione 2 si procede verso valle integrando il profilo M3 di corrente rapida decelerata fino alla sezione 6 dove la spinta della corrente eguaglia quella del moto uniforme di valle. Qui si ha la formazione del risalto. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 (condizioni critiche) a quelle della sezione 4 immediatamente a monte del restringimento, si opera il bilancio di energia (46). Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 (Fig. 73) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5).

Fig. 73

In questo caso può accadere che la spinta massima della corrente rapida a valle del restringimento, che si determina in corrispondenza della sezione 2, sia inferiore alla spinta che caratterizza la corrente di valle in moto uniforme. In tale evenienza il risalto è sospinto verso monte fino al restringimento dove trova la collaborazione della spinta statica prodotta dalle pareti di valle del restringimento stesso, cosicchè le sezioni di controllo e di sconnessione idraulica vengono di fatto a coincidere (Fig. 74).

-54-

Fig. 74


Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica (Fig. 71). In questo caso, infinitamente a monte e a valle del restringimento di stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Si parte dunque da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a monte del restringimento (vedi Fig. 75). Utilizzando il seguente bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ−= (47)

si determina H3. A questo punto possono presentarsi due diverse situazioni. Se l’energia H3 è superiore all’energia minima Hcb, la corrente dispone dell’energia sufficiente per superare il restringimento e, nota H3, si calcola il corrispondente valore di y3 sul ramo delle correnti rapide. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a valle del restringimento, si opera un bilancio di energia:

443433 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3434 EHH Δ−= (48)

Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti rapide. Essendo y4>y0, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 5). La rappresentazione del profilo complessivo, anche con riferimento al diagramma H-y, è riportato in Fig. 75. • In realtà la condizione H3>Hc è una condizione necessaria ma non sufficiente per

il superamento del restringimento senza transizione. In particolari circostanze, infatti, può accadere che, pur essendo verificata la precedente disuguaglianza, il comportamento della corrente sia analogo a quello illustrato nel successivo caso B2-b, caratterizzato dalla condizione H3<Hc. Questo particolare comportamento e le condizioni per cui lo stesso si verifica, sono illustrate nel paragrafo 4.1.

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Fig. 75

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hcb (si noti che ciò equivale a dire che la corrente in moto uniforme non possiede un’energia sufficiente per il superamento del restringimento), la corrente supera il restringimento in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=ycb. Dal bilancio (47), nel quale H3=Hcb, si trova: H2=Hcb+ΔE23. Si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente. Dalla sezione 2 si procede verso monte integrando il profilo S1 di corrente lenta decelerata fino alla sezione 7 dove la spinta della corrente eguaglia quella del moto uniforme di monte (sezione 6). Qui si ha la formazione del risalto. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 (condizioni critiche) a quelle della sezione 4, immediatamente a valle del restringimento, si opera il bilancio di energia (48). Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti rapide. Normalmente risulta y4<y0, e, in tal caso, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo S3 (Fig. 76) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 5).

Fig. 76

Non deve sorprendere (vedi curva H-y, Caso B2-b di Fig. 77) se l’energia H2 acquisita complessivamente dalla corrente in corrispondenza della sezione 2 dovesse risultare inferiore a quella posseduta dalla corrente inizialmente (sezioni 1 e 6). Ciò è dovuto alla diversa entità delle dissipazioni di energia per la corrente rapida

-56-

( *23EΔ ) e per quella lenta (ΔE23) quando attraversano il restringimento. In questo

caso, l’altezza y4 a valle del restringimento, risulta superiore all’altezza di moto uniforme e, procedendo verso valle, si sviluppa un profilo S2 di corrente rapida accelerata (Fig. 77).

Fig. 77

3.11 Paratoia piana sollevata a battente Consideriamo i diversi casi possibili di un canale, infinitamente lungo, nel quale sia inserita una paratoia sollevata a battente, come illustrato schematicamente in Fig. 78.

Fig. 78

Come è stato anticipato nel paragrafo 2.3.1, la paratoia, interagendo con la corrente, localizza una sezione di controllo con transizione della corrente da lenta a rapida. Ciò è evidente quando l’efflusso è libero ma la stessa situazione si verifica anche in caso di efflusso rigurgitato come si avrà modo di chiarire in questo paragrafo.


Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle della paratoia si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Nel caso in cui l’efflusso sia libero, in corrispondenza della paratoia (sezione di controllo) si attua la transizione da corrente lenta a corrente rapida. E’ evidente pertanto che, più a valle, dovendo la corrente ritornare allo stato lento, si localizzerà un risalto (sezione di sconnessione idraulica).

-57-

Può accadere però che la spinta della corrente rapida a valle della paratoia sia insufficiente a sostenere il risalto, il quale, pertanto, risalirà verso monte fino alla paratoia, dove troverà la collaborazione della spinta statica determinata dal paramento di valle della paratoia stessa. In questo caso l’efflusso è rigurgitato e le sezioni di controllo e sconnessione idraulica vengono praticamente a coincidere. In questo senso la paratoia è ancora una sezione di controllo. Per ricostruire il profilo liquido, come di consueto, si parte da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta poco a valle della paratoia (vedi Fig. 79), immaginando che il moto si mantenga in condizioni di corrente lenta e che l’efflusso sia quindi rigurgitato. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a valle della paratoia, si potrebbe operare un bilancio di energia. A tale proposito è da osservare che la valutazione della dissipazione localizzata prodotta dall’espansione del getto sommerso tra le sezioni 3 e 2 non è agevole ed è allora conveniente far riferimento al bilancio della spinte che, per il caso in esame, si scrive (vedi Fig. 79)

2

222

223 )/(

2)/(

2 ygBQy

cagBQy

c

+=+ (49)

in cui cc è il coefficiente di contrazione.

Fig. 79

Possono a questo punto presentarsi due casi. Se l’altezza y3 fornita dalla (49) risulta superiore allo spessore minimo a.cc del getto sommerso, allora il bilancio delle spinte (49) è fisicamente significativo e l’efflusso è effettivamente rigurgitato. E’ importante osservare che il passaggio dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle per la sezione 3 è stato trattato come se tra queste sezioni vi fosse una variazione localizzata di una qualche caratteristica del campo di moto. In effetti una variazione c’è, anche se poco evidente. La distribuzione di velocità, che nella sezione 2 è quasi uniforme, diventa infatti decisamente disuniforme nella sezione 3. Si osservi inoltre che, per questo motivo, l’energia in corrispondenza della sezione 3 va valutata considerando il coefficiente di correzione α nel termine cinetico. Essendo:

23

0

33

23

3

0

33

23

3

03

3

3

3

)()()()/(

)(1 3

c

cacay

cay

dvQ

yBdv

QyB

dyBQ

vy

cc

==== ∫∫∫ ξξξξξξα (50)

risulta:

-58-

2

2

323

2

33 )(2)/(

2)/(

ccagBQy

ygBQyH +=+= α (51)

A questo punto, per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a monte della paratoia, si opera un bilancio di energia:

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3434 EHH Δ+= (52)

nel quale la dissipazione di energia ΔE43 è generalmente trascurabile. Nota l’energia H4, si determina l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5). L’andamento della superficie libera per la situazione appena esaminata e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Fig. 80. (Vedi Esercizio 5).

Fig. 80

• Un modo alternativo, è più immediato, per stabilire se l’efflusso è libero o rigurgitato si basa sul confronto tra la spinta di valle in corrispondenza della sezione 2, M2 e quella massima della corrente rapida di monte, Mmax nel caso di efflusso libero, che si determina in corrispondenza della sezione contratta. Se risulta Mmax<M2, l’efflusso è rigurgitato. Se, viceversa, risulta Mmax >M2 l’efflusso è libero. Questo criterio risulterà più evidente dopo aver esaminato la situazione seguente.

Qualora, al contrario, dall’equazione (49), dovesse risultare y3<a.cc, l’efflusso si mantiene libero e in corrispondenza della sezione 3 si stabilisce l’altezza y3=a.cc. A partire dalla sezione 3 si prosegue verso valle seguendo un profilo di corrente rapida ritardata M3 fino alla sezione 6 dove la spinta si riduce al valore che caratterizza il moto uniforme di valle (sezione 7). Qui si localizza il risalto. Calcolata l’energia H3 mediante l’equazione (51),dal bilancio (52) si determina H4 e quindi l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y4 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza y0 di moto uniforme, pertanto procedendo dalla sezione 4 verso monte, si seguirà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 5).

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L’andamento della superficie libera e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Fig. 81.

Fig. 81


Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle della paratoia si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Dovendosi formare, in corrispondenza della paratoia, una sezione di controllo, necessariamente a monte della stessa si avrà una transizione della corrente da rapida a lenta (sezione di sconnessione idraulica) con la formazione di un risalto. • Questa necessità risulta evidente se si considera la seguente situazione.

Consideriamo una corrente in moto uniforme con altezza y0 che scorra al di sotto di una paratoia sollevata di una quantità a>y0. Supponiamo ora di abbassare gradualmente la paratoia fino a toccare la superficie libera e a penetrare nella corrente di una quantità anche molto piccola (a<y0). A valle della paratoia si stabilirà un’altezza y3=a.cc che, anche nell’ipotesi di assumere cc=1, sarà inferiore a y0. L’energia H3, pertanto, risulta superiore a quella H0 del moto uniforme. D’altra parte, subito a monte della paratoia, anche trascurando le eventuali dissipazioni di energia, si avrà: H2=H3>H0. Pertanto la corrente di monte, prima di giungere nella sezione 2, deve incrementare la sua energia e ciò, come è noto, può avvenire solo attraverso la preventiva transizione da corrente rapida a corrente lenta.

Alle stesse conclusioni si perviene seguendo la consueta procedura. Si parte da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a monte della paratoia. Utilizzando il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, nell’ipotesi di trascurare le dissipazioni localizzate, si trova: H3=H2=H0. Per determinare l’altezza y3, si deve risolvere l’equazione (51) la quale, per essere a.cc<y0, fornisce per y3 valori inferiori al prodotto a.cc e, pertanto, fisicamente inaccettabili. Stabilito quindi che in corrispondenza della paratoia si realizza una sezione di controllo e che a valle della stessa si ha un’altezza y3=a.cc, si prosegue come segue.

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Verso valle, essendo y3<y0 la corrente seguirà un profilo di tipo S3 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). L’altezza y2 di corrente lenta subito a monte della paratoia si determina utilizzando il seguente bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2332 EHH Δ+=

nel quale la dissipazione localizzata ΔE23 è generalmente trascurabile. Si procede quindi verso monte seguendo un profilo di corrente lenta S1 fino alla sezione 6 dove la spinta si riduce al valore che caratterizza la corrente di monte (sezione 7). Qui si ha la formazione del risalto. L’andamento della superficie libera e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Fig. 82.

Fig. 82

• Il verificarsi della disuguaglianza a<y0 non è una condizione necessaria affinchè la corrente interagisca con la paratoia producendo il profilo liquido illustrato in Fig. 82. Quando a<y0, infatti, il comportamento della corrente è certamente quello appena illustrato ma, lo stesso profilo può instaurasi anche quando risulti: y0<a. Ovvero, per valori dell’apertura (non troppo) superiori a y0 sono possibili sia la configurazione illustrata in Fig. 82, sia quella che vede la corrente rapida in moto uniforme passare sotto la paratoia senza interagire con quest’ultima. Questa non univocità della soluzione, analoga a quella già richiamata in alcuni casi precedenti è discussa, con maggior dettaglio, nel paragrafo 4.1.

3.12 Ostacolo generico Le situazioni esaminate finora sono, in realtà, casi particolari di un ostacolo generico. In questo paragrafo, quindi, si riporta una sorta di sintesi dei procedimenti già visti. Consideriamo un canale infinitamente lungo nel quale sia posto un generico ostacolo come illustrato schematicamente in Fig. 83. Possiamo suddividere gli ostacoli in due categoria: alla prima, appartengono quelle ostruzioni che determinano anche una sensibile riduzione della sezione utile al deflusso, alla seconda appartengono quegli ostacoli che riducono in misura modesta, e quindi trascurabile, la sezione utile. Con riferimento agli ostacoli della prima categoria a cui appartengono, ad esempio, le pile

-61-

di un ponte, il procedimento da seguire per la ricostruzione del profilo di moto permanente è del tutto analogo a quello visto per il caso di un breve restringimento (vedi paragrafo 3.10). In ogni caso si rende necessario considerare, oltre alle sezioni immediatamente a monte e a valle dell’ostacolo, anche una sezione in corrispondenza dello stesso, caratterizzata da una curva H-y (o M-y) differente per effetto della riduzione della sezione utile. Data la stretta analogia con la situazione citata (breve restringimento localizzato), il caso di generico ostacolo, accompagnato da riduzione di sezione, non viene illustrato. Alla seconda categoria appartengono invece, ad esempio, le macro-scabrezze di fondo utilizzate per localizzare un risalto. In questi casi, il legame tra le caratteristiche del moto, a monte e a valle dell’ostruzione, può essere determinato, indifferentemente, mediante un bilancio di energia o attraverso l’applicazione del teorema della quantità di moto. Per questo motivo, nell’illustrare gli esempi che seguono, verranno considerati entrambi i bilanci.

Fig. 83


Analizziamo dapprima il caso di pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle dell’ostacolo si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si parte quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle dell’ostacolo (vedi Fig. 84). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, a monte dell’ostacolo, si può operare, in relazione al tipo di ostruzione, un bilancio di energia (53), ovvero un bilancio di forze (54):

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (53)

23 MFM =Δ− ⇒ FMM Δ+= 23 (54)

in cui H2=H0, M2=M0 e ΔF è la resistenza offerta dall’ostacolo, generalmente dipendente dalla portata e dalle altezze di monte e di valle: ΔF=ΔF(Q, y2, y3). L’energia H3 fornita dalla (53) risulta certamente superiore all’energia minima Hc e, analogamente, la spinta M3 fornita dalla (54) risulta superiore a quella minima Mc. Nota H3 (ovvero M3), si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza di moto uniforme y0, pertanto, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1, fino alle condizioni di moto uniforme.

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L’andamento della superficie libera e la sua rappresentazione nei diagrammi H-y e M-y sono illustrati in Fig. 84.

Fig. 84


Analizziamo ora il caso di pendenza superiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle dell’ostacolo di stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Si parte quindi da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0), posta immediatamente a monte dell’ostacolo (vedi Fig. 85). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, a valle dell’ostacolo, si può operare, in relazione al tipo di ostruzione, un bilancio di energia (55), ovvero un bilancio di forze (56):

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ−= (55)

32 MFM =Δ− ⇒ FMM Δ−= 23 (56)

in cui H2=H0, M2=M0 e ΔF=F(Q, y2, y3) è la resistenza offerta dall’ostacolo. A questo punto possono presentarsi due diverse situazioni. Se l’energia H3 è superiore all’energia minima Hc, ovvero se la spinta M3 è superiore a quella minima Mc, la corrente dispone dell’energia sufficiente per superare l’ostruzione e, nota H3 (ovvero M3), si calcola il corrispondente valore di y3 sul ramo

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delle correnti rapide. Essendo y3>y0, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme. L’andamento della superficie libera e la sua rappresentazione nei diagrammi H-y e M-y sono illustrati in Fig. 85.

Fig. 85

Qualora, al contrario, dovesse risultare H3<Hc ovvero M3<Mc, la corrente supera l’ostacolo in condizioni di minima energia e in corrispondenza della sezione 3, che diventa una sezione di controllo, si stabilisce l’altezza y3=yc. Dai bilanci (55), nel quale H3=Hc, o (56), in cui M3=Mc, si determinano, rispettivamente, l’energia H2 o la spinta M2 relative alla sezione 2 e si calcola quindi l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente. Dalla sezione 2, si procede verso monte integrando il profilo S1 di corrente lenta decelerata fino alla sezione 6 dove la spinta della corrente eguaglia quella del moto uniforme di monte (sezione 5). Qui si ha la formazione del risalto. A valle della sezione 3 si svilupperà invece un profilo S2 (Fig. 86) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4). Per questo caso si veda l’Esercizio 20.

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Fig. 86

Non deve sorprendere se l’energia H2 acquisita complessivamente dalla corrente in corrispondenza della sezione 2 dovesse risultare inferiore a quella posseduta dalla corrente inizialmente (sezione 1). Ciò è dovuto alla diversa entità della dissipazione di energia per i casi in cui l’ostacolo è superato da una corrente rapida, caratterizzata da un elevato carico cinetico, o da una corrente lenta (vedi Esercizio 21). • Anche in questo caso la condizione H3>Hc ovvero M3>Mc è una condizione

necessaria ma non sufficiente per il superamento dell’ostacolo senza transizione. In particolari circostanze, infatti, può accadere che, pur essendo verificata la precedente disuguaglianza, il comportamento della corrente sia analogo a quello illustrato in precedenza nei casi in cui è prevista la doppia transizione della corrente (CASO B2). Questo particolare comportamento e le condizioni per cui lo stesso si verifica, sono discusse, con maggior dettaglio, nel paragrafo 4.1.

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4 Alcune precisazioni In questo capitolo sono riportate alcune precisazioni relativamente al problema della ricostruzione dei profili di moto permanente per una corrente trattata in ipotesi unidimensionali. Si mostrerà in particolare come, nel caso di una corrente rapida che affronta un generico ostacolo, la soluzione non sia unica (paragrafo 4.1) e come, in un breve tratto di canale in contropendenza il risalto possa non essere stabile (paragrafo 4.2).

4.1 Isteresi idraulica Nei capitoli precedenti è stato illustrato un procedimento che consente di ricostruire, univocamente, il profilo di moto stazionario che si sviluppa in un canale. C’è da chiedersi, tuttavia, se l’equazione di conservazione dell’energia (18) prevede che la soluzione sia effettivamente unica. La risposta a questo quesito è: no. Vi sono alcune situazioni per le quali sono ammissibili due soluzioni distinte; di queste, una è quella che si ottiene seguendo il procedimento illustrato mentre l’altra richiede ulteriori considerazioni che saranno esposte in questo paragrafo, relativo all’isteresi idraulica, e nel paragrafo che segue relativo alla stabilità del risalto. Consideriamo una corrente rapida che affronta un ostacolo. Indichiamo con Hmin la minima energia specifica rispetto al fondo che la corrente dovrebbe possedere, immediatamente a monte dell’ostacolo, per essere in grado di superarlo senza transizione. Indichiamo inoltre con il pedice m le grandezze che caratterizzano la corrente poco a monte dell’ostacolo. Abbiamo visto che se Hm>Hmin la corrente possiede energia sufficiente per superare l’ostacolo (Fig. 87A) e il superamento di quest’ultimo avviene senza transizione. In realtà, come si vedrà tra breve, in questo caso sarebbe più corretto dire che la corrente potrebbe superare l’ostacolo senza transizione. Abbiamo anche visto che se Hm<Hmin la corrente non possiede energia sufficiente per superare l’ostacolo e si determina pertanto, necessariamente, una transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto a monte dell’ostacolo mentre a valle del risalto la corrente (lenta) recupera energia rispetto al fondo fino a raggiungere il minimo valore di energia necessario a superare l’ostacolo stesso (si vedano, ad esempio, le soluzioni discusse nei paragrafi 3.4.2, 3.5.2, 3.9.2, 3.10.2 e 3.12.2) Il risalto si localizza decisamente a monte dell’ostacolo in quanto il profilo di corrente lenta a valle dello stesso (S1 o M1) deve essere sufficientemente lungo da consentire alla corrente di recuperare non solo la quantità di energia che mancava per poter superare l’ostacolo (che potrebbe, al limite, essere trascurabilmente piccola) ma anche quella che dissipa attraverso il risalto (vedi Fig. 87B). La condizione

minHHm <

è pertanto una condizione sufficiente per avere la transizione. In questa situazione il bilancio di energia tra una sezione a monte del risalto e la sezione immediatamente a monte dell’ostacolo si scrive

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minHHHH SMJm =Δ+Δ− ovvero 0min <−=Δ−Δ HHHH mSMJ (57)

In cui ΔHj è la dissipazione dovuta al risalto e ΔHSM è il recupero di energia rispetto al fondo lungo il tratto caratterizzato dal profilo S1 o M1 a valle del risalto.

Fig. 87

Immaginiamo di partire da questa situazione e di variare la differenza Hm-Hmin (incrementando l’energia Hm di monte e/o riducendo quella minima) in modo che risulti Hm-Hmin>0. In questa situazione, evidentemente, la corrente avrebbe energia sufficiente a superare l’ostacolo. Tuttavia, partendo da una situazione nella quale è presente la transizione, l’incremento della differenza Hm-Hmin a valori poco superiori a zero determina una configurazione del campo di moto in cui è ridotta la lunghezza del tratto lungo il quale si sviluppa il profilo S1 o M1 riducendosi di conseguenza la

-67-

quantità di energia ΔHSM recuperata dalla corrente in modo che il bilancio espresso dalla (57) sia ancora verificato. Via via che si incrementa la differenza Hm-Hmin si riduce la lunghezza del tratto di corrente lenta a valle del risalto e quindi ΔHSM. Nella condizione limite in cui la lunghezza (e quindi ΔHSM) si riducono a zero, il bilancio (57) diventa

Jm HHH Δ=− min

Per valori della differenza Hm-Hmin superiori a ΔHj, il bilancio potrebbe essere verificato solo per valori negativi di ΔHSM che sono fisicamente privi di significato. Pertanto quando Hm-Hmin>ΔHj non può esservi transizione della corrente e questa disuguaglianza rappresenta la condizione necessaria per non avere transizione. Le considerazioni appena illustrate possono essere così sintetizzate: se l’energia della corrente rapida di monte è inferiore a quella minima (Hm<Hmin) si assiste necessariamente alla transizione rapida→lenta e l’ostacolo viene superato in condizioni di energia minima; se l’energia della corrente rapida di monte non solo è sufficiente ma è superiore alla somma Hmin+ΔHj, l’ostacolo viene superato senza che possa instaurarsi alcuna transizione della corrente; con valori dell’energia di monte intermedi

Jm HHHH Δ+<< minmin (58)

entrambe le configurazioni (con o senza transizione) sono possibili e il profilo di corrente che si instaura dipende dalle caratteristiche del moto che hanno temporalmente preceduto quelle attuali. In particolare, se le condizioni attuali si sono determinate a partire da una configurazione senza transizione allora, nell’intervallo di valori di energia individuato dalla (58), il moto si mantiene di corrente rapida nel superamento dell’ostacolo. Viceversa, se le condizioni attuali si sono determinate a partire da una configurazione con transizione, allora il risalto a monte dell’ostacolo permane fintantoché l’energia Hm non supera il valore Hmin+ΔHJ. • La condizione espressa dalla (58) andrebbe ulteriormente precisata. Il termine

Hmin che si trova a sinistra, infatti, corrisponde alla minima energia che una corrente rapida deve possedere immediatamente a monte dell’ostacolo per poterlo eventualmente superare senza transizione, mentre lo stesso termine Hmin che si trova a destra della doppia disuguaglianza corrisponde alla minima energia che una corrente lenta possiede immediatamente a monte dell’ostacolo quando questo è superato in condizioni critiche. In generale questi due valori limite non sono uguali tra loro. Indicando con HminR e HminL l’energia minima a monte dell’ostacolo quando lo stesso è affrontato da una corrente rapida e da una lenta, rispettivamente, la condizione (58) si scrive, più correttamente, come segue

JLmR HHHH Δ+<< minmin (59)

-68-

4.2 Stabilità del risalto Si è visto (paragrafo 2.3.2) che la transizione da corrente rapida a corrente lenta presenta una discontinuità detta risalto. Il risalto è localizzato laddove le spinte della corrente rapida di monte e di quella lenta di valle si bilanciano, garantendo una condizione di equilibrio. In realtà, non sempre la condizione di equilibri tra le spinte è sufficiente a stabilire la posizione del risalto; è necessario infatti verificare che la condizione di equilibrio sia anche stabile. Consideriamo una corrente a superficie libera in un canale rettangolare in condizioni di moto stazionario. Assumiamo inoltre che il canale sia percorso da corrente rapida a monte e lenta a valle cosicché, da qualche parte, si debba formare un risalto (Fig. 88).

Fig. 88

In condizioni di equilibrio, immaginando di trascurare gli effetti del peso e degli sforzi tangenziali al fondo, dovrà essere

00 du MM = (60)

in cui M la spinta per unità di peso specifico (vedi equazione (8)). I pedici u e d indicano le sezioni di monte e di valle, rispettivamente, mentre l’ulteriore pedice 0 sta ad indicare che si tratta di una condizione di equilibrio. Per studiare la stabilità del risalto immaginiamo di spostare lo stesso leggermente verso valle rispetto alla sua posizione di equilibrio. In particolare, indichiamo con δx=x-x0 la distanza tra la nuova posizione (x) e quella di equilibrio (x0). Le spinte di monte e di valle, nella nuova posizione, possiamo approssimarle con uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine

xx

MMM u

uu δ∂

∂+≅ 0 x

xM

MM ddd δ

∂∂

+≅ 0 (61)

E’ evidente che la condizione di equilibrio è stabile se, nella nuova posizione, la spinta di valle risulta superiore a quella di monte in modo che il risalto sia sospinto indietro verso la posizione originaria di equilibrio. Dovrà quindi essere Mu<Md. Combinando le due precedenti relazioni, questa condizione si riduce alla seguente

xM

xM du

∂∂

<∂

∂ (62)

Immaginando di spostare il risalto leggermente verso monte e ripetendo le considerazioni appena viste, si perviene alla stessa disuguaglianza (62) che rappresenta dunque la condizione di stabilità per un risalto.

-69-

Il vincolo espresso dalla (62), risolto analiticamente più avanti, presenta un’efficace soluzione grafica. Nella situazione illustrata in Fig. 89A nella quale la curva delle altezze coniugate della corrente rapida interseca il profilo di corrente lenta dall’alto, il risalto è stabile. Infatti, se immaginiamo di spostare il risalto verso valle questo verrebbe a trovarsi in una posizione nella quale il profilo di corrente lenta è più alto di quello delle altezze coniugate, dunque la spinta di corrente lenta di valle è maggiore di quella della corrente rapida e il risalto viene sospinto verso monte e ritorna nella sua posizione di equilibrio. Analogamente, se immaginiamo di spostare il risalto verso monte questo verrebbe a trovarsi in una posizione nella quale il profilo di corrente lenta è più basso di quello delle altezze coniugate, dunque la spinta di corrente rapida di monte è maggiore di quella della corrente lenta e il risalto viene sospinto verso valle, nella sua posizione di equilibrio.

Fig. 89

Al contrario, nella situazione illustrata in Fig. 89B nella quale la curva delle altezze coniugate della corrente rapida interseca il profilo di corrente lenta dal basso, il risalto è instabile. Infatti, se immaginiamo di spostare il risalto verso valle questo verrebbe a trovarsi in una posizione nella quale il profilo di corrente lenta è più basso di quello delle altezze coniugate, dunque la spinta della corrente rapida di monte è maggiore di quella della corrente lenta e il risalto viene sospinto verso valle allontanandosi ulteriormente dalla posizione di equilibrio. Analogamente, se immaginiamo di spostare il risalto verso monte questo verrebbe a trovarsi in una posizione nella quale il profilo di corrente lenta è più alto di quello delle altezze coniugate, dunque la spinta della corrente lenta di valle è maggiore di quella della corrente rapida e il risalto viene sospinto verso monte, allontanandosi ulteriormente dalla posizione di equilibrio. Si dimostra che la condizione di Fig. 89B, nella quale il risalto è instabile, è possibile solo per tratti di canali in contropendenza (si veda, ad esempio, l’Esercizio 29). • Soluzione analitica della condizione espressa dalla (62). Per un canale

rettangolare caratterizzato da pendenza non trascurabile, le espressioni per la spinta totale M e l’equazione della conservazione dell’energia sono rispettivamente (vedi paragrafo 0)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ϑϑ

coscos

2

23

2

gyqyBM (63)

( )22 1cos Fjsen

dxdy

−−−

=ϑ

ϑ (64)

-70-

in cui y è il tirante misurato in direzione verticale (Fig. 88), B è la larghezza del canale (nel seguito supposta grande rispetto al tirante y), q è la portata per unità di larghezza, ϑ l’angolo che il fondo forma con l’orizzontale (con la convenzione ϑ>0 per contropendenza). La dissipazione di energia per unità di lunghezza viene qui espressa mediante la formula di Chèzy nella quale, però, il coefficiente di resistenza χ non è considerato costante

22332

2 coscos

Fgy

qjχ

ϑϑχ

== (65)

In cui F è il numero di Froude, così definito per un canale a forte pendenza

ϑ43

22

cosygqF = (66)

Essendo dM/dx=(∂M/∂y)(dy/dx), dalle relazioni (63), (64) e (65) si ottiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2

2

2 tancos Fg

gyBdxdM ϑχ

χϑ (67)

Sostituendo l’equazione (67) nella condizione (62), quest’ultima diventa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

22

2

2

tan1tan1d

d

ddu

u

uu F

gyF

gy

ϑχχ

ϑχχ

(68)

Utilizzando l’equazione (28) e osservando che, per continuità è

( )322 / duud yyFF =

la condizione (68), dopo qualche passaggio, può essere espressa come segue

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++−< 1

181

/2

813

2tan2

22

22

u

du

u

uu

FF

Fg

χχϑχ (69)

Nel caso di parete liscia il coefficiente di Chèzy dipende dal numero di Reynolds il quale, per essere la portata q costante, assume lo stesso valore a monte e a valle del risalto. Si può pertanto assumere χu/χd=1 e la condizione (69) si riduce a

( )22

22

2

181

1812tan

−+

++<

u

uu

u

F

FF

gϑχ (70)

Nel caso di parete scabra, dal confronto tra la formula di Chèzy e quella di Gauckler-Strickler, si può scrivere

6/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

d

u

d

u

yy

χχ

Sostituita questa relazione nella (69), e utilizzando l’equazione (28) si trova

-71-

( )[ ]2

3/72

22

813

12/1812tan

u

uu

u

F

FF

g +−

−−+<

−

ϑχ (71)

Le condizioni (70) e (71), rispettivamente per parete liscia e scabra, sono illustrate graficamente in Fig. 90. Si osserva, in particolare, che la curva di stabilità neutra (che separa le condizioni stabili da quelle instabili) per la condizione di parete liscia è praticamente coincidente con quella di parete scabra. Si osserva inoltre che un risalto instabile si sviluppa solo quando la pendenza del fondo (tanϑ) è positiva, ovvero solo in presenza di un tratto di canale in contropendenza.

Fig. 90

-72-

5 Canali prismatici a portata variabile In questo paragrafo sono illustrati e discussi alcuni esempi relativi al tracciamento dei profili di moto permanente in canali prismatici infinitamente lunghi lungo i quali si realizza una variazione, localizzata o distribuita, di portata.

5.1 Sottrazione localizzata di portata Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo, che presenta una sottrazione di portata lungo un tratto sufficientemente breve da poter considerare il fenomeno come localizzato (vedi Fig. 91).

Fig. 91

Preliminarmente conviene indicare, in modo qualitativo, le altezze di moto uniforme e le altezze critiche caratteristiche dei due tratti osservando che, a parità di altre condizioni, al diminuire della portata, sia l’altezza y0 che l’altezza yc diminuiscono.


Analizziamo dapprima il caso di una sottrazione localizzata in un canale caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica. In questo caso, infinitamente a monte e a valle della variazione di portata si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta con altezze y0M e y0V diverse tra loro. In particolare, utilizzando una qualsiasi formula di moto uniforme e l’espressione per l’energia H, è facile verificare che dovrà essere: y0M> y0V e H0M>H0V. Si parte da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0V), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0V) posta immediatamente a valle della variazione di portata (vedi Fig. 92). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (72)

in cui H2=H0V. Possono, a questo punto, presentarsi due casi. Se l’energia H3 fornita dalla (72) risulta superiore all’energia minima di monte HcM, allora nota H3, si determina il valore y3 sul ramo delle correnti lente. L’altezza y3 così calcolata sarà ovviamente superiore all’altezza critica ycM ma inevitabilmente inferiore a quella del moto uniforme y0M. A monte della sezione 3 si svilupperà pertanto un profilo di chiamata M2 (Fig. 92, CASO A1) fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).

-73-

Fig. 92

Se, viceversa, l’energia H3 fornita dalla (72) dovesse risultare inferiore all’energia minima HcM, allora il bilancio (72) non consente di determinare H3. In tal caso, infatti, si ha la formazione dell’altezza critica immediatamente a monte della sottrazione di portata (y3=ycM) dove si è pertanto in presenza di una sezione di controllo, a valle della quale la corrente è rapida. A partire da queste condizioni, verso monte si svilupperà un profilo di chiamata M2, come illustrato in Fig. 92 (CASO A2). Dal bilancio di energia (72), fissata questa volta l’energia di monte H3=HcM, si determina H2 e quindi l’altezza d’acqua y2 sul ramo delle correnti rapide. Si procede quindi verso valle, seguendo un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a ridurre la spinta al valore che caratterizza la condizione di moto uniforme di valle (sezione 5). Qui si assiste alla formazione di un risalto, a valle del quale (sezione 6) si incontrano le condizioni di moto uniforme (Fig. 92, CASO A2). I due profili rappresentati in Fig. 92 sono illustrati, con riferimento al diagramma H-y, in Fig. 93.

Fig. 93

Con riferimento al secondo caso indagato, è da sottolineare che spesso la corrente rapida, immediatamente a valle della sottrazione di portata (sezione 2), è caratterizzata da una spinta insufficiente a sostenere il risalto che, pertanto, risale verso monte portandosi in corrispondenza della sezione in cui si attua la sottrazione di portata. La sezione di controllo e quella di sconnessione idraulica si sovrappongono (vedi paragrafo 2.3.3). Si potrebbe studiare questa situazione introducendo, tra le sezioni 2 e 3, una particolare sezione intermedia caratterizzata da una portata intermedia tra quelle di monte e di valle. Questa sezione intermedia, che è unica, deve consentire il percorso illustrato nel diagramma H-y di Fig. 94. Analiticamente, la condizione che deve essere verificata, è espressa dalle seguenti relazioni:

-74-

bilancio 3-5 : 5353 HEH =Δ− con H3=HcM e ΔE35=0

bilancio 5-6 : 65 MM =

bilancio 6-2 : 2626 HEH =Δ− con H2=H1=HcV e ΔE62=0

(73)

Nelle precedenti relazioni non è stata considerata la quota del fondo che è la stessa per le sezioni 3, 5, 6 e 2. Le grandezze incognite, nelle precedenti relazioni, sono le altezze y5 e y6 e la portata in corrispondenza della sezione intermedia (vedi Esercizio 18). In situazioni di questo tipo, conviene comunque studiare il fenomeno utilizzando l’approccio illustrato nel paragrafo 5.3 relativo al caso di sottrazione distribuita di portata.

Fig. 94


Consideriamo ora il caso di una sottrazione localizzata di portata in un canale caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. Infinitamente a monte e a valle della variazione di portata si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida come illustrato nella precedente Fig. 91. Si parte pertanto da monte, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0M), e si procede verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0M) posta immediatamente a monte della variazione di portata (vedi Fig. 95). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2323 EHH Δ−= (74)

in cui H2=H0M. Nota l’energia H3, si determina il valore y3, sul ramo delle correnti rapide il quale risulterà certamente inferiore all’altezza di moto uniforme y0V.

-75-

Fig. 95

Procedendo verso valle, pertanto, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino a raggiungere, infinitamente a valle, la condizione di moto uniforme (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y, sono illustrati in Fig. 95. ● Analogia con il caso di un allargamento. E’ di qualche interesse confrontare il comportamento della corrente in presenza di una sottrazione localizzata di portata con quello, visto nel paragrafo 3.8, relativo ad un brusco allargamento. L’analogia è notevole, al punto che la costruzione e la rappresentazione grafica dei profili è la medesima per i diversi casi analizzati. L’analogia riguarda anche la possibilità che nei tratti a monte e a valle della sottrazione, pur rimanendo invariata la pendenza del fondo if, si determinino le situazioni: “if>ic a monte, if<ic a valle” e “if<ic a monte, if>ic a valle”. Facciamo riferimento, per semplicità di esposizione, ad una sezione rettangolare. Combinando una formula per il moto uniforme e la definizione di numero di Froude, si può scrivere:

[ ] 3/20

6/106/1

)/21()/(/By

ByBgikF fS +

= (75)

Fig. 96

-76-

Al variare della portata, cambia l’altezza di moto uniforme y0 e quindi il numero di Froude in accordo con la precedente relazione, la cui rappresentazione grafica è illustrata in Fig. 96. Si osserva che, a parità di altre condizioni, il numero di Froude presenta un massimo relativo per y0/B=1/6. Per sezioni strette, F0 diminuisce al crescere dell’altezza y0 e quindi della portata, per sezioni larghe, accade l’opposto. Si possono pertanto presentare entrambi i casi appena menzionati la cui discussione è del tutto analoga a quella vista nei paragrafi 3.8.3 e 3.8.4. Va segnalato, a questo proposito, che mentre il caso “if>ic a monte, if<ic a valle” è relativamente poco frequente (e nella pratica, per quanto possibile, sarebbe da scongiurare), il caso “if<ic a monte, if>ic a valle” è decisamente improbabile ed essendo associato a forti variazioni di portata, dovrebbe essere risolto mediante un approccio che considera la sottrazione continua anziché localizzata (vedi paragrafo 5.3). ● Dissipazione . Non è infrequente, nella pratica, imbattersi in sottrazioni di portata distribuite lungo tratti di canale di estensione L, non trascurabile se confrontata con le altezze d’acqua (es.: sfioratori laterali). Per queste situazioni è opportuno integrare le equazioni differenziali per i moti gradualmente vari con sottrazione di portata per i quali si rimanda al paragrafo 5.3. Peraltro, in questi casi, il comportamento della corrente, qualitativamente, resta analogo quello appena illustrato. Infatti, il bilancio di energia tra le sezioni di monte (sezione 1) e di valle (sezione 2), tenendo conto che, essendo L non trascurabile, non è possibile assumere una medesima quota del fondo, si scrive:

221211 HzLjHz +=−+ ⇒ LijHH f )( 1221 −+=

Per i casi di sottrazione analizzati, lungo il tratto caratterizzato dalla variazione di portata (vedi Fig. 97), risulta sempre y<y0 e quindi J12>if. Il termine (J12- if)L, sempre positivo, può essere considerato quindi alla stregua di una dissipazione di energia localizzata equivalente ΔE12.

Fig. 97

5.2 Immissione localizzata di portata Consideriamo i diversi casi possibili di un canale infinitamente lungo, che presenta una immissione di portata ortogonale alla direzione della corrente lungo un tratto sufficientemente breve da poter considerare il fenomeno come localizzato (vedi Fig. 98).

-77-

Fig. 98

Nel caso di immissione, le variazioni di energia (dissipazioni) possono essere consistenti e di difficile stima; è pertanto preferibile fare riferimento al teorema della quantità di moto piuttosto che all’equazione di conservazione dell’energia ed utilizzare dunque il diagramma M-y in luogo di quello H-y. Infinitamente a monte e a valle dell’immissione si stabiliranno condizioni di moto uniforme con altezze y0M e y0V diverse tra loro. In particolare, utilizzando una qualsiasi formula di moto uniforme e l’espressione per la spinta M, è facile verificare che dovrà essere: y0M<y0V e M0M<M0V


Analizziamo dapprima il caso di una immissione localizzata di portata in un canale caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica. In questo caso la corrente infinitamente a monte e a valle sarà lenta. Si parte pertanto da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1). Tra le sezioni 2 e 3 si scrive il seguente bilancio delle forze:

2323 MMM =Δ− ⇒ 3223 MMM Δ−=

in cui M2=M0V e ΔM32, generalmente piccola e positiva, rappresenta la variazione di spinta dovuta al mancato equilibrio tra la forza peso nella direzione del moto e quella prodotta dagli sforzi τ0 al fondo. Nota la spinta M3, si calcola il corrispondente valore dell’altezza y3 sul ramo delle correnti lente. Essendo y3>y0M, si integra verso monte seguendo un profilo di corrente lenta decelerata M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma M-y, sono illustrati in Fig. 99.

Fig. 99

-78-


Consideriamo ora una immissione localizzata di portata in un canale caratterizzato da una pendenza superiore a quella critica. In questo caso la corrente infinitamente a monte e a valle sarà rapida. Si parte pertanto da monte con y1=y0M e si prosegue verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1). Tra le sezioni 2 e 3 si scrive il seguente bilancio delle forze:

3232 MMM =Δ− ⇒ 2323 MMM Δ+= (76)

in cui M2=M0M e ΔM23, è generalmente piccola e positiva. In questo caso possono presentarsi due diverse situazioni. Se l’equazione (76) ammette una soluzione fisicamente accettabile, ovvero se risulta M3>McV, si determina la spinta di valle M3 e quindi l’altezza y3 sul ramo delle correnti rapide. Risulterà y3>y0V, pertanto, a partire dalla sezione 3, si svilupperà un profilo S2 di corrente rapida accelerata fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (y4=y0V). Questa situazione è illustrata in Fig. 100.

Fig. 100

Se, viceversa, dovesse risultare M3<McV allora, necessariamente, la sezione 3 diventa una sezione di controllo in corrispondenza della quale l’altezza d’acqua sarà y3=ycV. A valle della sezione 3, la corrente segue un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Mediante il bilancio di forze (76), in cui M3=McV, si determina la spinta M2 e quindi l’altezza y2 su ramo delle correnti lente. A partire da questa sezione, si integra il profilo S1 verso monte finchè la spinta della corrente non si riduce al valore che caratterizza il moto uniforme di monte (sezione 6). Tra le sezioni 6 e 5, concettualmente coincidenti, si attua il risalto. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma M-y, sono illustrati in Fig. 101.

-79-

Fig. 101

● Analogia con il caso di un restringimento. E’ di qualche interesse confrontare il comportamento della corrente in presenza di una immissione localizzata di portata con quello, visto nel paragrafo 3.9, relativo ad un brusco restringimento. L’analogia è notevole, al punto che la costruzione e la rappresentazione grafica dei profili è qualitativamente la medesima per i diversi casi analizzati. In particolare, per le soluzioni illustrate in Fig. 99, Fig. 100 e Fig. 101, la rappresentazione nel diagramma H-y è quella riportata rispettivamente in Fig. 65, Fig. 66, e Fig. 68 quando la dissipazione localizzata tra le sezioni 2 e 3 sia calcolata applicando l’equazione di conservazione delle spinte (teorema della quantità di moto). L’analogia riguarda anche la possibilità che nei tratti a monte e a valle della immissione, pur rimanendo invariata la pendenza del fondo if, si determino le situazioni: “if>ic a monte, if<ic a valle” e “if<ic a monte, if>ic a valle”. Ciò lo si può evincere, ad esempio, con riferimento alla relazione (75) e alla sua rappresentazione grafica (vedi Fig. 96) già viste al termine del paragrafo 5.1.2. ● Variazione di spinta . Non è infrequente, nella pratica, imbattersi in immissioni di portata distribuite lungo tratti di canale di estensione L, non trascurabile se confrontata con le altezze d’acqua. Per queste situazioni è opportuno integrare le equazioni differenziali per i moti gradualmente vari con immissione di portata per i quali si al paragrafo 5.4. Peraltro, in questi casi, il comportamento della corrente, qualitativamente, resta analogo a quello appena illustrato. Infatti (vedi Fig. 102), il bilancio delle spinte tra le sezioni di monte (sezione 1) e di valle (sezione 2), nel quale non è possibile trascurare la differenza tra la componente della forza peso nella direzione del moto e la resistenza prodotta dagli sforzi alla parete, diventa

2121 )( MLjiAM f =−+ ⇒ LjiAMM f )( 1221 −−= (77)

Per i casi di immissione analizzati, lungo il tratto caratterizzato dalla variazione di portata risulta sempre y>y0 e quindi J12<if. Il termine A.(if-J12).L, sempre positivo, può essere considerato quindi alla stregua di una variazione localizzata di spinta ΔM12.

-80-

Fig. 102

5.3 Sottrazione continua di portata In alcuni casi non è possibile assumere come localizzata la variazione di portata ed è necessario risolvere l’equazione dinamica nella quale si ammette che la portata vari gradualmente. Nel caso di sottrazione, con buona approssimazione, si può ipotizzare che il processo non determini ulteriori dissipazioni di energia e conviene, pertanto, fare riferimento all’equazione (18) che può essere così sviluppata

jdxdz

xH

xE

−=+=∂∂

∂∂ ovvero Ji

xH

f −=∂∂

D’altra parte

( )xQ

AgQF

dxdy

xQ

AgQ

dxdy

AgBQ

dxdy

AgQy

xxH

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22

23

2

2

2

12

+−=+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Combinando tra loro le due precedenti relazioni si trova

2

2

1 FxQ

AgQjif

dxdy

−

−−=

∂∂

(78)

I possibili profili (analoghi ai profili M e S illustrati nel paragrafo 2.1) dipendono ancora dal rapporto tra la pendenza e del fondo e Ia pendenza critica (if ic) e dal rapporto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica (y0 yc) ma queste grandezze, a parte la pendenza del fondo, variano nello spazio per effetto della variazione di portata. Inoltre i profili sono influenzati anche dall’entità del termine che, nell’equazione (78), descrive gli effetti prodotti dall’immissione. Non è quindi agevole catalogare i diversi profili. Quelli che più frequentemente si possono incontrare nella pratica sono illustrati in Fig. 103. Nella stessa Fig. 103 sono riportate anche le curve luogo dei punti y=yc e y=y0 calcolati utilizzando il valore locale della portata fluente.

-81-

Fig. 103

5.4 Immissione continua di portata Nel caso di immissione continua di portata non è possibile trascurare la dissipazione di energia determinata dal trasferimento di quantità di moto dalla corrente nel canale al flusso in ingresso e conviene fare riferimento all’equazione di conservazione della quantità di moto. In particolare se l’immissione è perpendicolare alla direzione media della corrente e non contribuisce quindi al bilancio delle forze proiettato in questa direzione, si può utilizzare l’equazione (19) riportata nuovamente qui di seguito per comodità

( )jiAxM

f −=∂∂

Sviluppando il termine ∂M/∂x si trova

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xQ

AgQF

dxdyA

xQ

AgQ

dxdy

AgBQ

dxdyA

AgQzA

xxM

G ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22

2

22 212

Combinando,infine, tra loro le due precedenti relazioni si ottiene

2

2

1

2

FxQ

AgQji

dxdy f

−

−−=

∂∂

(79)

Confrontando tra loro le espressioni (78), dedotta assumendo che la variazione di portata non determini alcuna ulteriore dissipazione di energia, e (79) si può concludere che l’immissione di portata determina un incremento dell’energia dissipata per unità di lunghezza pari a (Q/gA2) ∂Q/∂x. Posto, infatti,

xQ

AgQjj

∂∂

2' +=

la (79) può essere così riscritta

2

2

1

'

FxQ

AgQji

dxdy f

−

−−=

∂∂

-82-

formalmente corrispondente alla (78). I possibili profili (analoghi ai profili M e S illustrati nel paragrafo 2.1) dipendono ancora dal rapporto tra la pendenza e del fondo e Ia pendenza critica (if ic) e dal rapporto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica (y0 yc) ma queste grandezze, a parte la pendenza del fondo, variano nello spazio per effetto della variazione di portata. Inoltre i profili sono influenzati anche dall’entità del termine che, nell’equazione (79), descrive gli effetti prodotti dall’immissione. Non è quindi agevole catalogare i diversi profili. Quelli che più frequentemente si possono incontrare nella prtica sono illustrati in Fig. 104. Nella stessa Fig. 104 sono riportate anche le curve luogo dei punti y=yc e y=y0 calcolati utilizzando il valore locale della portata fluente. Un diverso, possibile profilo è riportato in Fig. 105 (paragrafo 5.4.1).

Fig. 104

5.4.1 Transizione lenta→rapida lungo l’immissione

Può accader che lungo il tratto interessato dall’immissione di portata si determini una transizione da corrente lenta a corrente rapida e, evidentemente, tra la sezione iniziale e quella terminale dell’immissione si stabilirà l’altezza critica. Valutare la posizione della sezione in cui si realizzano le condizioni critiche è una condizione necessaria per poter ricostruire il profilo in quanto è a partire da questa sezione che si procederà ad integrare la corrente lenta verso monte e quella rapida verso valle. Consideriamo, per semplicità un’immissione uniforme q=∂Q/∂x=costante in un canale di sezione rettangolare. Consideriamo quindi l’equazione (79), riscritta nella seguente forma

( ) 222 221

AgqQji

xQ

AgQji

dxdyF ff −−=−−=−

∂∂

In condizioni critiche (F=1) il termine di sinistra si annulla. Utilizzando per le dissipazioni di energia l’espressione (17), si può scrivere

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

c

c

cHcS

cf

cc

cc

c

c

AgBAgB

ARkQ

iABQABQ

AgqQ

23/42

2

2

2

Nella precedente relazione con il pedice c sono indicate le grandezze che riferite alla sezione in cui si realizzano le condizioni critiche. Sviluppando la precedente equazione ricordando in particolare la (14) e il fatto che è F=1, si trova

-83-

3/42

2

HcS

cf

c

c

Rkgy

iQ

qy−=

Ricordando l’espressione (12) per l’altezza critica, la precedente relazione può essere così riscritta

3

3/422

38⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

HcS

cf

c Rkgy

iQgB

q

ovvero

3

3/42

3

2

8

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

HcS

cf

c

Rkgyi

qgB

Q (80)

L’equazione (80) fornisce il valore della portata in corrispondenza della sezione in cui si realizzano le condizioni critiche in forma implicita in quanto il rapporto 3/4/ Hcc Ry che compare al secondo membro dipende dalla portata Qc. La soluzione della (80) può essere agevolmente ottenuta mediante un procedimento iterativo. Sostituendo nella (80) il valore 1/ 3/4 ≅Hcc Ry di primo tentativo, si determina un valore per Qc di prima approssimazione mediante il quale si calcolano l’altezza critica yc e il corrispondente raggio idraulico RHc di seconda approssimazione. Procedendo iterativamente in questo modo si perviene alla soluzione della (80). Nota la portata Qc si determina la posizione xc della sezione in cui si realizzano le condizioni critiche essendo

cc xqQQ += 0

in cui Q0 è la portata in corrispondenza della sezione di monte dove ha inizio l’immissione. Se la posizione xc così individuata dovesse cadere al di fuori del tratto lungo il quale si ha l’immissione continua ciò sta ad indicare che non vi è transizione lenta→rapida e la corrente mantiene il suo stato di moto lungo tutto il tratto. Il fatto che a monte e a valle della sezione xc si sviluppino condizioni di corrente lenta e di corrente rapida, rispettivamente, non significa che la pendenza del fondo debba essere rispettivamente inferiore e superiore a quella critica. Tenendo conto dell’equazione (15), la (80) si può scrivere come segue

( )3

3

2

8

cfc ii

qgB

Q−

=

ovvero

32

38

ccf QgB

qii =−

E’ evidente quindi che almeno in un intorno di xc deve essere if>ic essendo positivo il termine a destra nella relazione precedente.

-84-

Un esempio di profilo in cui è presente la transizione tra corrente lenta e rapida lungo il tratto di canale in cui avviene l’immissione di portata è illustrato in Fig. 105. Nell’esempio si è assunto Q0=0.

Fig. 105

5.4.2 Alcune semplici soluzioni

Consideriamo il caso di un canale collettore di sezione rettangolare nel quale, a partire dall’inizio, viene immessa una portata per unità di larghezza q costante (Fig. 106). Assumiamo che al termine del canale, lungo L, vi sia un salto di fondo oppure un restringimento molto spinto o comunque una situazione che determini il passaggio attraverso le condizioni critiche. Assumiamo trascurabili sia la pendenza del fondo che le dissipazioni di energia continue per attrito. In queste condizioni è possibile formulare una semplice soluzione del problema. La portata complessivamente raccolta dal canale sarà Q0=qL. L’altezza critica che si stabilisce nella sezione terminale (x=L) vale dunque

3 2 /)/( gBqLyc =

A questa altezza corrisponde la spinta

2222

23

2 cc

c yBgBy

LqyBM =+=

Applicando il teorema della quantità di moto al volume di fluido compreso tra la generica sezione e la sezione terminale si può scrivere

22

222

23

2 cyygB

xqy=+

-85-

La precedente relazione fornisce, in forma implicita, l’andamento nello spazio dell’altezza y. In particolare, nella sezione iniziale (x=0), risulta

cyy 3)0( =

Fig. 106

-86-

6 Altre precisazioni

6.1 Canali di lunghezza finita Quando, come accade nella realtà, si ha a che fare con tratti di canali di lunghezza finita, le condizioni al contorno esterne, da porre in corrispondenza delle sezioni di estremità del dominio, possono essere (e generalmente sono) diverse da quelle corrispondenti alla condizione di moto uniforme. Questo fatto introduce ulteriori possibili configurazioni del campo di moto che possono essere anche sensibilmente diverse da quelle analizzate nei paragrafi precedenti. A tale proposito si pensi che su un fondo a debole pendenza (if<ic) si può assegnare una condizione al contorno a monte (ovviamente di corrente rapida) e, al contrario, su un fondo a pendenza superiore a quella critica è possibile imporre una condizione al contorno a valle (ovviamente di corrente lenta). E’ questa, di fatto, l’unica differenza formale tra canali di lunghezza finita e canali infinitamente lunghi. Tuttavia, il modo di procedere per ricostruire l’andamento del profilo liquido è concettualmente lo stesso seguito negli esempi illustrati. Dal punto di vista pratico, invece, l’estensione finita dei canali introduce una complicazione operativa legata alla necessità di individuare correttamente le condizioni al contorno esterne. E’ questo un problema che si incontra più frequentemente quando il canale è caratterizzato da una debole pendenza. Nel caso di forti pendenze, infatti, la sezione trasversale è generalmente regolare e la corrente raggiunge di solito molto rapidamente condizioni prossime a quelle di moto uniforme. Nelle condizioni di debole pendenza, che sono peraltro quelle che più frequentemente si incontrano nella pratica, è spesso conveniente estendere il dominio di integrazione verso valle fino a raggiungere un sostegno, una traversa (si veda ad esempio l’Esercizio 15), un serbatoio o un qualsiasi bacino idrico di grandi dimensioni (laddove cioè sia possibile assegnare un livello (Fig. 107A), eventualmente dipendente dalla portata fluente), ovvero fino a comprendere una qualsiasi altra sezione di controllo in corrispondenza della quale, grazie alla biunivocità del legame tra portata e livello, la condizione al contorno è determinabile facilmente e con certezza (Fig. 107B, C). Quando, per la ben nota legge di Murphy, non si è in grado di individuare, a breve distanza, una sezione in cui sia possibile assegnare univocamente la condizione al contorno, si può procedere come segue. Individuata una qualsiasi sezione sufficientemente a valle del tratto lungo il quale si vuole ricostruire il profilo liquido, si fissa un’altezza d’acqua yv ragionevole (una stima può essere fatta utilizzando, in una formula di moto uniforme, una sezione media e una pendenza media del fondo). Si ricostruiscono quindi i profili di moto permanente facendo variare il livello imposto a valle all’interno di un sensato intervallo di valori ±Δy attorno ad yv (vedi Fig. 107D) con lo scopo di evidenziare l’errore che si commette a causa delle incertezze presenti relativamente all’assegnazione delle condizioni al contorno di valle.

-87-

Fig. 107

6.2 Canali non prismatici Nel caso di canali non prismatici, per i quali cioè vi è una variazione della forma o delle dimensioni della sezione nella direzione del moto, la trattazione unidimensionale nel caso di correnti rapide non è più applicabile. In questa situazione, infatti, il moto è caratterizzato da una forte bidimensionalità accompagnata dall’insorgenza di fronti d’onda stazionari a seguito delle inevitabili deviazioni planimetriche della corrente. Nel caso di correnti lente, invece, pur con qualche cautela, la trattazione unidimensionale può considerarsi ancora corretta. Per i corsi d’acqua naturali, ad esempio, variazioni della forma o delle dimensioni della sezione trasversale lungo la direttrice del moto costituisce la regola piuttosto che l’eccezione. In tal caso l’integrazione dell’equazione dell’energia (18) per la determinazione del profilo di

-88-

moto permanente viene usualmente condotta facendo riferimento, tratto per tratto, a sezioni caratterizzate da valori medi delle dimensioni caratteristiche. Gli effetti dissipativi associati più o meno direttamente all’irregolarità morfologica di un corso d’acqua vengono inclusi nel calcolo assegnando opportuni valori ai coefficienti di resistenza (vedi paragrafo 1.2.1). E’ inoltre opportuno sottolineare che l’applicazione del teorema della quantità di moto richiede una certa cautela laddove le componenti delle forze di pressione esercitate dalle pareti laterali non possono più dirsi, per l’orientazione delle pareti stesse, normali alla direzione del moto e perciò ininfluenti.

6.3 Considerazioni …. non unidimensionali In alcuni casi, a partire dalla soluzione unidimensionale, si effettuano considerazioni e valutazioni a carattere bidimensionale o tridimensionale. Queste valutazioni si basano, evidentemente, sull’ipotesi che gli effetti di ordine spaziale superiore non influenzino in misura sensibile la soluzione unidimensionale e pertanto devono essere considerate con qualche cautela.

6.3.1 Sovralzi in curva

Nel caso tratti di canali in curva, percorsi da una corrente rapida, il moto assume, in generale, spiccate caratteristiche bidimensionali e, con particolare riferimento alla stima dei sovralzi che si vengono a determinare in corrispondenza dell’estradosso, gli effetti tridimensionali assumono un’importanza rilevante. Nel caso di curve molto strette e valori del numero di Froude relativamente bassi, la curva si comporta come un ostacolo che viene superato con transizione della corrente da rapida a lenta a monte della curva stessa. Non è pertanto significativo effettuare stime del sovralzo in curva, a partire dalla soluzione unidimensionale, nel caso di correnti rapide. Nel caso di correnti lente è invece possibile effettuare valutazioni approssimate che possono ritenersi significative. Per una sezione rettangolare, l’equazione di Eulero proiettata in direzione normale e mediata sulla verticale si scrive

grrv

drdy )(2

= (81)

Assumendo che nel piano orizzontale il moto si comporti come irrotazionale, la distribuzione radiale delle velocità è

rcrv =)( con

)/ln( ie rrBvc =

in cui v è la velocità longitudinale media sulla sezione, re e ri sono i raggi di curvatura esterno ed interno, rispettivamente, e B=re-ri è la larghezza della sezione. Sostituendo questa espressione per v(r) nella (81) ed integrando l’equazione differenziale a variabili separabili che così si ottiene, si trova

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=Δ 22

22 11)/ln(2 eiie

ie

rrrrrr

gvy (82)

-89-

in cui Δy=ye-yi è la differenza di livello tra l’estradosso e l’intradosso della curva. La precedente relazione può essere semplificata nel caso in cui la larghezza del canale sia piccola rispetto ai raggi di curvatura. Nel caso in cui sia ri<<B, infatti, si può scrivere

iii

iie r

BrB

rBrrr ≅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+= 1lnln)/ln(

Sostituita questa approssimazione nella (82) e potendo confondere i raggi re e ri con il raggio di curvatura medio rm, si trova

me

ie

e

ie

rB

gv

rrrB

gv

rrr

gvy 2

2)(

22

2

2

2

2

222

≅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≅Δ (83)

Il confronto tra i sovralzi Δy calcolati con la (82) e quelli calcolati con la (83) è illustrato in Fig. 108. Si osserva che fino a rapporti B/rm≈0.5 le due formulazioni producono risultati poco dissimili tra loro.

Fig. 108

L’equazione (83) può essere riscritta nella seguente forma

2FrB

yy

m

≅Δ

la quale mostra che il sovralzo relativo Δy/y cresce proporzionalmente alla curvatura e al quadrato del numero di Froude. Va tuttavia sottolineato che le ipotesi e le semplificazioni che hanno consentito di ottenere le relazioni (82) o (83) non possono ritenersi accettabili quando le curve sono molto strette e la corrente è caratterizzata da elevati valori del numero di Froude. Ad esempio, per valori di (B/rm)F2 superiori 0.25 si assiste alla separazione

-90-

della corrente in corrispondenza dell’intradosso e la stessa soluzione unidimensionale cade in difetto. C’è inoltre da considerare la lunghezza della curva che deve essere sufficiente per consentire che il sovralzo si sviluppi completamente. In direzione trasversale, infatti, la superficie libera è orizzontale in corrispondenza della sezione iniziale della curva e, via via che si procede verso valle si inclina fino a raggiungere, dopo una lunghezza (di adattamento) Lmin, la pendenza Δy/B fornita dalla (82) o dalla (83). Empiricamente, questa lunghezza viene generalmente assunta pari a Lmin=30 Δy.

6.3.2 Livello costante o energia costante?

OMISSIS

6.3.3 Variazione di F nella sezione

OMISSIS

6.4 Resistenze idrauliche Come si è detto, il coefficiente kS dovrebbe essere una “misura” della scabrezza di parete mentre, in pratica, nel coefficiente kS sono normalmente inglobati gli effetti dissipativi di molti fenomeni non propriamente inquadrabili come “attrito”. Nei paragrafi che seguono sono discussi alcuni di questi processi dissipativi e la possibilità di considerarli attraverso un opportuno adattamento dei coefficienti di resistenza.

6.4.1 Irregolarità longitudinale della sezione

OMISSIS

6.4.2 Circolazioni trasversali in curva

OMISSIS

6.4.3 Forme di fondo

OMISSIS

6.4.4 Vegetazione

6.4.5 Altri meccanismi dissipativi

OMISSIS

6.5 Canali a forte pendenza Si parla di canali a forte pendenza quando non è più lecito assumere (vedi Fig. 109) tan(ϑ)≈sen(ϑ) e cos(ϑ)≈1, cioè quando non si può confondere la normale al fondo con la verticale (indicate rispettivamente con μ e ζ in Fig. 109). Il comportamento di una corrente caratterizzata da elevata pendenza del fondo è inquadrabile in modo sostanzialmente analogo a quello visto nei paragrafi precedenti per le correnti che si sviluppano in alvei caratterizzati da modeste pendenze del

-91-

fondo. Le differenze che si riscontrano discendono proprio dal fatto che non è più possibile confondere sen(ϑ) con tan(ϑ) e assumere cos(ϑ)≈1. Tali differenze, soprattutto per le maggiori pendenze, hanno comunque un importante impatto sulla soluzione come verrà evidenziato nel seguito.

Fig. 109

6.5.1 Moto uniforme e dissipazioni continue

L’equazione per il moto uniforme (1) e, analogamente, quella per il calcolo delle dissipazioni continue (17) mantengono la loro validità a patto di sostituire al posto dell’altezza y lo spessore della lama d’acqua n=y.cos(ϑ).

6.5.2 Caratteristiche energetiche e dinamiche

Consideriamo innanzitutto la distribuzione delle pressioni. La seconda equazione di Eulero, proiettata in direzione normale al moto (μ) garantisce distribuzione idrostatica delle pressioni. Per il generico punto P (Fig. 109), dunque, la pressione vale

( ) )cos(ϑμγ −= npP (84)

La quota piezometrica *Ph , nel punto P, sarà dunque data dalla seguente relazione

( ) )cos()cos(/)cos(* ϑμϑμγϑμ −++=++= nzpzh PP

ovvero

)(cos)cos( 2* ϑϑ yznzhP +=+= (85)

che risulta costante, cioè indipendente dalla posizione μ del punto P lungo la normale al fondo. Al contrario, è facile verificare che la distribuzione delle pressioni in direzione verticale non è idrostatica2.

2 In direzione verticale (ζ), la quota geodetica del punto P vale z+ζ, utilizzando l’espressione (84) per la pressione, la quota piezometrica del punto P è fornita dalla seguente relazione

-92-

Si osserva che la quota piezometrica non coincide più con la quota della superficie libera e risulta inferiore ad essa. Al crescere della pendenza, la pressione sul fondo p(z) si riduce sensibilmente essendo, dalla (84), p(z)=γ n.cos(ϑ)=γ y.cos2(ϑ) e, al limite, per un canale con fondo verticale (ϑ=90°), la pressione sul fondo si annulla. L’energia E è data dalla somma della quota piezometrica e dell’altezza cinetica. Utilizzando la (85), possiamo pertanto scrivere

2

22

2)(cos

AgQyzE ++= ϑ …………….…… 2

22

2)(cos

AgQyzEH +=−= ϑ (86)

in cui l’area A è quella della sezione liquida normale alla direzione del moto. Per una sezione rettangolare, ad esempio, l’energia rispetto al fondo vale

)(cos2/)(cos 22222 ϑϑ yBgQyH += .

Per la spinta M, che agisce nella direzione del moto, la componente statica è data al prodotto dell’area A, normale alla direzione del moto, per l’altezza di pressione pG/γ valutata mediante la (84) in corrispondenza del baricentro.

AgQA

AgQp

AM GG

22

)cos( +=+= ϑμγ

in cui μG è la profondità del baricentro misurata nel piano della sezione ortogonale al moto. Per una sezione rettangolare, ad esempio, risulta

)cos(2)(cos 232

ϑϑ

BygQByM +=

Il diagramma H-y, che è una rappresentazione grafica della (86), fissate la portata e la forma della sezione, è poco dissimile da quello illustrato in Fig. 4. In particolare il coefficiente angolare dell’asintoto obliquo non è più 1 ma vale cos2(ϑ). L’altezza critica, corrispondente al minimo della curva espressa dalla (86) si determina imponendo la seguente condizione, analoga alla (10)

1)cos(3

2

=ϑc

c

AgBQ

(87)

Per una sezione rettangolare, ad esempio, si trova

342

2

)(cos ϑBgQyc = (88)

Si osserva innanzitutto che, a differenza del caso in cui la pendenza del fondo è relativamente, quando la pendenza è forte l’altezza critica dipende anche dalla pendenza. Si vede poi che al crescere della pendenza l’altezza critica si sposta verso valori sempre più elevati estendendo di fatto in questo modo la regione delle correnti rapide. Al limite, per un fondo verticale, l’altezza critica tende ad infinito è non è più possibile avere correnti lente.

( ) ( ) )()(cos)(cos)cos(/ 222* ϑζϑϑζζϑμζγζ senyzyznzpzh PP ++=−++=−++=++=

Non essendo la quota piezometrica costante, in quanto dipende dalla posizione ζ del punto, la distribuzione delle pressioni in direzione verticale non è idrostatica.

-93-

Per il diagramma M-y valgono le stesse considerazioni appena illustrate con riferimento al diagramma H-y. In particolare, le relazioni (87) e (88) esprimono la condizione di minimo anche per la spinta M. Estendendo la definizione di numero di Froude ai moti caratterizzati da forti pendenze, con riferimento alla (87) possiamo scrivere

)cos(3

2

ϑAgBQF = (89)

Per una sezione rettangolare si ha

)(cos2 ϑygvF =

E’ facile mostrare che la celerità di propagazione di una piccola perturbazione in presenza di forti pendenze vale

)(cos2 ϑygc =

Pertanto, nel caso di sezione rettangolare, il numero di Froude continua a rappresentare il rapporto tra la velocità del fluido v e la celerità c di propagazione di una piccola perturbazione.

6.5.3 Equazione di conservazione dell’energia

Per la ricostruzione dei profili di moto permanente si integra l’equazione che esprime la conservazione dell’energia (18), con la definizione di energia data dalla (86) e, per le dissipazioni continue, i suggerimenti riportati nel paragrafo 6.5.1. Nel caso di un canale prismatico caratterizzato da una sezione compatta, lo sviluppo dell’equazione (18) porge3

( )22 1)(cos)(

Fjsen

dxdy

−−

=ϑ

ϑ

6.5.4 Alcuni problemi che si riscontrano nella pratica

OMISSIS

3 La derivata rispetto ad x della (86) si scrive

dxdn

gABQ

dxdysen

dxdn

gAQ

dnd

dxdy

dxdz

dxdE

3

22

2

22 )(cos)(

2)(cos −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ϑϑϑ

L’equazione (18) si scrive pertanto

)cos()(cos)(3

22 ϑϑϑ

dxdy

gABQ

dxdysen

dxdEj −+−==−

Ricordando l’espressione (89) per il numero di Froude, la precedente relazione può essere scritta come segue

( )22 1)(cos)(

Fjsen

dxdy

−−

=ϑ

ϑ

-94-

6.6 Canali con fondo curvo

OMISSIS

6.7 Effetti legati alla distribuzione non idrostatica delle pressioni Per i casi in cui le variazioni spaziali dell’altezza y non sono trascurabilmente piccole, cioè tali da consentire di assumere distribuzione idrostatica delle pressioni in direzione verticale (o, almeno, in direzione normale al fondo) è possibile formulare delle apposite equazioni differenziali approssimate. Consideriamo, per semplicità, un alveo prismatico a sezione rettangolare molto larga con una pendenza del fondo sufficientemente piccola, tale da consentire di confondere la normale al fondo con la verticale. Essendo la pendenza della superficie libera dh/dx relativamente importante, la componente verticale della velocità non è più trascurabile. Assumiamo che la componente orizzontale v della velocità sia sostanzialmente uniforme sulla verticale (v=q/y) e indichiamo con w la componente della velocità nella direzione verticale, ζ (Fig. 110),

Fig. 110

In prossimità della superficie libera, dovendo il moto essere parallelo alla superficie stessa, sarà

( )dxdyvi

dxdyvzy

dxdv

dxdhvhw f ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+==)( (90)

mentre al fondo sarà

0)( ≅−== fivdxdzvzw

Essendo q=vy costante nello spazio, dalla (90) si ha

( )dxdvyhw

dxdvy

dxdyvvy

dxd

dxdq

+=+=== )(0 cioè yhw

dxdv )(

−=

Consideriamo l’equazione di continuità

0=+ζd

dwdxdv

-95-

la quale, in base alla precedente relazione può essere scritta come

yhw

ddw )(

=ζ

Questa equazione differenziale può essere immediatamente integrata ottenendo

yzhww −

=ζζ )()( ζ>z

Consideriamo ora l’equazione dinamica in direzione verticale nella quale si trascurano gli sforzi turbolenti

0)(1)( =∂∂

+∂∂

++∂∂

ζζ

γζww

xwv

gp

Utilizzando l’espressione per w=w(ζ) precedentemente individuata, dopo qualche passaggio, si può scrivere

( )zdxdy

ydxyd

ygvp

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=

∂∂ ζ

γζ

2

22

22 111)(

Integrando questa equazione tra ζ e h, e ricordando che p(h)=0, si trova

))((112

)()( 222

22

22

zydxdy

ydxyd

ygvhp

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−= ζζ

γζ

Individuate le espressioni per w(ζ) e p(ζ), consideriamo il trinomio di Bernoulli mediato sulla verticale tra z e h

∫

∫

∫

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

+−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−+=

=+

++=

h

z

h

z

h

z

dg

zyhwv

y

dzydxdy

ydxyd

ygvh

y

dg

wvpy

E

ζζ

ζζζζ

ζζγζζ

2

)()(1

)])((112

)([1

]2

)(/)([1

22

2

222

22

22

22

Sviluppando la precedente relazione si arriva a scrivere (Serre, 1953; Benjamin-Lighthill 1954)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+++=

2

2

2

2

2

31

321

2 dxdy

dxydy

gyqyzE (91)

nella quale, rispetto a quella canonica espressa dalla (6), sono presenti due termini addizionali che tengono conto della pendenza della superficie libera (dy/dx) della sua curvatura (d2y/dx2). Si osserva inoltre che questi contributi diventano importanti quando è importante il termine cinetico. Sviluppando l’equazione (18), nella quale l’espressione per l’energia E è quella fornita dalla (91) si trova

-96-

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−

−−=

2

2

22

3

322

31

3211

3

dxdy

dxydyF

dxydyFji

dxdy f

(92)

Procedendo in modo analogo a quello seguito per determinare l’espressione per l’energia E in presenza di pendenze e curvature non trascurabili della superficie libera, è possibile determinare l’espressione per la spinta M che si scrive

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++=

2

2

222

31

311

2 dxdy

dxydy

ygqy

BM (93)

Va segnalato che la soluzione dell’equazione (18) con l’energia espressa dalla (91) ovvero la soluzione della (92) presentano non pochi problemi di carattere numerico legati alla forte instabilità che intrinsecamente caratterizza queste equazioni. Inoltre, per la presenza di una derivata seconda del livello nell’espressione per E, la soluzione richiede condizioni al contorno addizionali non sempre agevoli da assegnare. Non va per altro sottaciuto che queste equazioni non introducono sensibili miglioramenti nella ricostruzione dei profili liquidi e il loro impiego, nella pratica ingegneristica, è generalmente caratterizzato da un modesto interesse.

6.8 Considerazioni conclusive I problemi relativi alle correnti unidimensionali in moto stazionario non si esauriscono certo con le considerazioni esposte nei capitoli precedenti. D’altra parte lo scopo di questi appunti è quello di …. illustrare una metodologia generale per il tracciamento dei profili di moto permanente e di fornire una consistente serie di esempi che consentano un utile esercizio…. OMISSIS

-97-

7 Canali caratterizzati da sezioni chiuse Non è infrequente imbattersi, nella pratica, in canali che, per tratti di lunghezza non trascurabile, sono caratterizzati da una sezione chiusa e possono pertanto funzionare sia a superficie libera che in pressione. In quest’ultimo caso il profilo da tracciare non è più, ovviamente, quello della superficie libera bensì quello che rappresenta la quota piezometrica. Situazioni di questo tipo si verificano con riferimento a condotti fognari e, soprattutto, con riferimento a tombini e a tratti, più o meno lunghi, di canali tombati, molto frequenti, questi ultimi, in ambito urbano. E’ abbastanza difficile reperire in letteratura una trattazione organica degli aspetti teorici relativi alle caratteristiche del moto entro condotti. Inoltre, come si vedrà, il moto entro condotti, è un problema notevolmente complesso per la grande quantità di situazioni differenti che possono presentarsi. Ad esempio, il problema è complicato dal fatto che, quando il moto avviene a superficie libera, anche in condizioni di moto uniforme, il legame tra portata fluente e altezza d’acqua non è necessariamente biunivoco. Inoltre perdono in parte di significato alcuni parametri caratteristici dei moti a superficie libera quali quelli che fanno riferimento alle condizioni critiche. Il problema, dal punto di vista pratico, è ulteriormente complicato dal fatto che non è più trascurabile la dinamica dell’aria al di sopra della superficie libera, trascinata dalla corrente. Per questi motivi verranno qui illustrati solo alcuni aspetti teorici, nell’ipotesi semplificativa che, se il moto avviene a superficie libera, la pressione al di sopra di quest’ultima sia atmosferica. Qualche cenno sul reale funzionamento, influenzato dagli effetti determinati dal trascinamento dell’aria, saranno comunque brevemente discussi.

7.1 Inquadramento teorico Nell’affrontare gli aspetti teorici si assume che il moto in pressione sia un’estensione dei moti a superficie libera. Pertanto, per quanto possibile, si è cercato di mantenere ed estendere l’impostazione classica dei moti a superficie libera. Consideriamo, per semplicità, il caso di condotti cilindrici per i quali la sezione possa considerarsi compatta. L’analisi si limita inoltre al caso di condotti caratterizzati da una pendenza modesta così da poter confondere la verticale con la normale al fondo ed assumere distribuzione idrostatica delle pressioni in direzione verticale. La discussione, inoltre, considera due sole sezioni, quella circolare e quella rettangolare, caratterizzate da comportamenti sensibilmente diversi che in qualche modo si pongono agli estremi di quelli possibili per sezioni chiuse di forma diversa. La differenza di comportamento, dal punto di vista idraulico, è sostanzialmente determinata dal fatto che la larghezza B in corrispondenza della superficie libera si riduce gradualmente a zero al crescere del tirante y per una sezione circolare mentre si annulla bruscamente nel passaggio da moto a superficie libera (y<D) a moto in pressione (y>D) nel caso di sezione rettangolare, essendo D l’altezza della sezione.

7.1.1 Alcune definizioni e osservazioni preliminari

Nel caso di moto a superficie libera l’altezza y misura lo spessore della lama d’acqua (y è la distanza verticale tra il fondo la superficie libera) e coincide con la quota piezometrica misurata rispetto al fondo. Possiamo estendere quest’ultima definizione per y al caso di moto in pressione (vedi Fig. 111).

-98-

Si ricorda che per un moto uniforme a superficie libera è costante la velocità e l’altezza d’acqua y e quindi l’energia rispetto al fondo H, inoltre la pendenza della superficie libera (che corrisponde alla pendenza della linea piezometrica) coincide con la pendenza della linea dell’energia j ed entrambe coincidono con la pendenza del fondo if. In un moto stazionario in pressione, invece, la velocità è sempre costante (e quindi il moto è sempre uniforme). Inoltre, essendo costanti area e raggio idraulico, si ha sempre la coincidenza tra la pendenza della linea piezometrica e la pendenza della linea dell’energia j e queste pendenze, normalmente, differiscono dalla pendenza del fondo if (ovvero dalla pendenza dell’asse della condotta). E’ da osservare inoltre che per alcune sezioni chiuse, come ad esempio quella circolare, quando il moto avviene a superficie libera si realizzano due distinte altezze di moto uniforme, come verrà precisato nel seguito.

Fig. 111

7.1.2 Condizioni di moto uniforme e pendenze caratteristiche

Nel caso dei canali, come si è visto, vi è un’unica pendenza caratteristica: la pendenza critica ic (vedi paragrafo 1.3.5). Per un moto che può svilupparsi indifferentemente a superficie libera o in pressione, è opportuno considerare tre diverse pendenze caratteristiche. Accanto alla pendenza critica ic, definita come si è già visto per un moto a superficie libera, va considerata la pendenza limite iD definita come la pendenza del fondo in corrispondenza della quale si ha un moto in pressione con altezza piezometrica y coincidente con l’altezza della sezione (y=D). In tal caso la linea piezometrica coincide con la generatrice superiore della sezione. Più semplicemente la pendenza limite iD corrisponde alla pendenza della linea piezometrica quando il moto avviene in pressione. Vi è infine la pendenza minima im al di sotto della quale il moto non può avvenire a superficie libera. La pendenza minima, quindi, corrisponde alla pendenza del fondo per la quale, in condizioni di moto uniforme a superficie libera, la capacità di portata della sezione )/( fs ikQ è massima. Indicato con ym il corrispondente livello, si ha Ym/D=0.94 per una sezione circolare Ym/D=1 per una sezione rettangolare

Per un canale a sezione chiusa, fissato il rapporto Q/ks, il legame tra la pendenza del fondo if e l’altezza di pressione y, è fornito da una qualsiasi formula di moto uniforme. Per sezioni circolari e rettangolari tale legame è qualitativamente illustrato in Fig. 112. Si osserva che per una sezione rettangolare si ha un brusco passaggio, da if=im

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a if=iD, quando il livello passa da valori appena inferiori all’altezza D della sezione, a valori appena superiori. Si osserva inoltre che per y>D non vi è nessun legame tra la pendenza del fondo e l’altezza piezometrica y. E’ da osservare infine che, per la sezione circolare e una pendenza del fondo compresa tra if=im e if=iD si realizzano due distinte altezze di moto uniforme a superficie libera. La prima, che sarà indicata con y0, è inferiore a ym, la seconda, che sarà indicata con y00, è superiore a ym: Nel complesso si ha quindi 0<y0<ym<y00<D. Al contrario, nel caso di sezione rettangolare, la condizione di moto uniforme è unica.

Fig. 112

7.1.3 Caratteristiche dinamiche della corrente

Nel caso di sezioni compatte, per le quali, cioè, si possa ritenere la velocità distribuita uniformemente su tutta la sezione, l’energia specifica E e l’energia specifica rispetto al fondo H sono definite dalle relazioni (6) nelle quali, come è noto, l’area A varia con y quando il moto è a superficie libera mentre resta constante nei moti in pressione. Per un assegnato valore della portata, l’andamento dell’energia H al variare dell’altezza y, fornito dall’equazione (6), è qualitativamente quello illustrato in Fig. 113

Fig. 113

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L’energia rispetto al fondo H ammette un minimo che corrisponde alle condizioni critiche. Come per i canali, questa condizione di minimo si trova imponendo ∂H/∂y=0 ovvero imponendo F=1 (vedi Fig. 113a-b). Per la sezione rettangolare, però, può accadere che la soluzione della relazione F=1, nella quale si assuma la larghezza B costante, produca un’altezza yc>D e non è quindi possibile parlare di altezza critica in senso stretto. In questo caso è comodo estendere la definizione di altezza critica ponendo yc=D (vedi Fig. 113c). In questo modo yc che rappresenta ancora sia la condizione di minimo per H, sia, come si vedrà, il punto di separazione tra corrente lenta e rapida,. Per quanto riguarda invece la pendenza critica che, in queste condizioni, evidentemente non esiste, è comodo assegnare alla stessa il valore che avrebbe se la sezione rettangolare non fosse chiusa superiormente. In tal modo possiamo pensare che la situazione illustrata in Fig. 113c sia caratterizzata da una pendenza critica inferiore alla pendenza minima (ic<im). Questi aspetti possono risultare più chiari se si osserva il legame tra l’altezza y e il numero di Froude, per un assegnato valore di portata, illustrato in Fig. 114. In questa figura si osserva, nel caso di sezioni circolari (Fig. 114a), che al variare di y nell’intervallo 0<y<D, il numero di Froude varia tra zero e infinito. Di conseguenza esiste sempre una soluzione per la condizione F=1, e si avrà quindi 0<yc<D. Nel caso di sezioni rettangolari, invece, non sempre la condizione F=1 ammette soluzione. In tal caso (Fig. 114c), si può assumere, come si è detto, yc=D nel senso che per y<yc la corrente è caratterizzata da valori del numero di Froude superiori all’unità mentre per y>yc risulta F=0.

Fig. 114

Estendendo i concetti di corrente lenta (F<1) e rapida (F>1) propri dei moti a superficie libera, al caso di un moto in pressione, si può dire che quest’ultimo è sempre caratterizzato dall’essere una corrente lenta (Fig. 113). Questa estensione, come si vedrà nel seguito, si trova in sostanziale accordo con le conseguenze proprie evidenziate per i moti a superficie libera. Ad esempio, nelle ipotesi fatte, di fluido incomprimibile e condotto indeformabile, la velocità di propagazione di piccole perturbazioni ondose (onde di pressione) è infinita, pertanto queste perturbazioni sono sempre in grado di risalire la corrente come avviene nei moti a superficie libera caratterizzati dallo stato sub-critico.

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Per quanto riguarda il concetto di spinta M, questo resta sostanzialmente analogo a quello introdotto per i canali. L’andamento della funzione M(y) è illustrato in Fig. 115 ed ha caratteristiche del tutto analoghe all’andamento dell’energia H illustrato nella precedente Fig. 113.

Fig. 115

7.1.4 Profili di moto gradualmente vario

Come si è detto, per un moto che può svilupparsi indifferentemente a superficie libera o in pressione, è opportuno considerare tre diverse pendenze caratteristiche: la pendenza critica ic, la pendenza limite iD e la pendenza minima im. La discussione dei possibili profili, di conseguenza, è più articolata e complessa rispetto a quella vista nel paragrafo 2.1, relativa ai canali. Un’ulteriore complicazione è determinata dal fatto che, come si vedrà, alla pendenza critica possono essere associati due diversi valori dell’altezza critica yc. In generale, qualsiasi sia la forma della sezione chiusa, la pendenza iD è certamente superiore alla pendenza im (vedi Fig. 112). Il rapporto tra queste pendenze e la pendenza critica dipende invece dalla forma della sezione. Sezione circolare. Quando la sezione è circolare anche la pendenza critica ic deve essere superiore a im: Qualsiasi pendenza inferiore a im, infatti, produce un moto uniforme in pressione per il quale il numero di Froude è identicamente nullo e non esistono pertanto condizioni critiche. Le possibili situazioni sono dunque: im<iD<ic e im<ic<iD. Consideriamo dapprima il caso im<iD<ic. I profili che possono svilupparsi al variare della pendenza del fondo rispetto alle tre pendenze caratteristiche, sono illustrati in Fig. 116. Degna di nota è la situazione relativa al caso im<if<iD<ic (Fig. 116c) nella quale si osserva che un moto caratterizzato da un’altezza prossima a y00 è sostanzialmente instabile. Partendo da valle (si tratta di una corrente lenta) con un’altezza prossima a y00, infatti, nel procedere verso monte, piccoli disturbi possono determinare l’instaurarsi del profilo M4, verso la condizione di moto uniforme con y=y0, oppure l’instaurarsi del profilo M5 che porterebbe il moto riempire la sezione e a svilupparsi quindi in pressione lungo il profilo P2.

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Quando il moto avviene in pressione si può avere il profilo P2, quando è if<iD, o il profilo P1 quando invece è if>iD. Un’ultima osservazione riguarda il profilo M5 del caso di Fig. 116c e il profilo M2 illustrato in Fig. 116d. Questi profili sono entrambi caratterizzati da una corrente lenta, comandata da valle, e una superficie libera che, procedendo verso monte, si incolla al cielo della condotta producendo un moto in pressione. In prossimità della transizione a moto in pressione, l’aria al di sopra della superficie libera che viene trascinata verso valle dalla corrente produce, inevitabilmente, uno stato di depressione che anticipa la transizione verso le condizioni di moto in pressione.

Fig. 116

Consideriamo quindi, sempre per una sezione circolare, il caso im<ic<iD. Essendo la pendenza critica inferiore a iD, esistono, associati alla pendenza critica due diversi valori dell’altezza critica yc e questo fatto rappresenta, evidentemente, un’ulteriore complicazione. Tuttavia, da un punto di vista qualitativo, vi è spesso una certa corrispondenza tra i profili che si realizzano in queste condizioni e i profili illustrati precedentemente relativi al caso im<id<ic. In particolare, il caso im<ic<iD<if e prevede, qualitativamente, i profili già illustrati in Fig. 116a. Per il caso im<ic<if<iD caratterizzato da due diverse altezze critiche yc, comunque comprese tra le altezze di moto uniforme y0 e y00, i profili che si sviluppano sono illustrati in Fig. 117a. Anche il caso im<if <ic<iD prevede una doppia configurazione legata al valore assunto dall’altezza critica yc. Quando l’altezza yc dovesse risultare inferiore a y0 (e quindi anche a y00), i profili che si sviluppano sono sostanzialmente quelli illustrati in Fig.

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116c. Quando invece risulta y0<y00<yc, i profili che si determinano sono quelli riportati in Fig. 117b. Infine, nel caso if<im<ic<iD i profili che si sviluppano sono analoghi a quelli illustrati in Fig. 116d.

Fig. 117

Con riferimento alle situazioni illustrate in Fig. 117, si possono fare considerazione analoghe a quelle discusse con riferimento al caso im<id<ic (Fig. 116). In particolare, si osserva ancora, nel caso im<ic<if<iD (Fig. 117a), che un moto caratterizzato da un’altezza prossima a y00 è sostanzialmente instabile. Partendo da valle (si tratta di una corrente lenta) con un’altezza prossima a y00, infatti, nel procedere verso monte, piccoli disturbi possono determinare l’instaurarsi del profilo S4, verso la condizione critica, oppure l’instaurarsi del profilo S5 che porterebbe il moto riempire la sezione e a svilupparsi quindi in pressione lungo il profilo P2. Anche nel caso im<if<ic<iD (Fig. 117b) l’altezza di moto uniforme y00 risulta instabile. Partendo questa volta da monte da valle (si tratta di una corrente rapida) con un’altezza prossima a y00, infatti, nel procedere verso valle, piccoli disturbi possono determinare l’instaurarsi del profilo M1, verso la condizione critica, oppure l’instaurarsi del profilo M8 verso la condizione di moto uniforme con y=y0. Problemi di depressione, infine, legati al trascinamento dell’aria da parte della corrente si presentano quando il moto si sviluppa con il profilo S5 del caso di Fig. 117a e con il profilo M6 illustrato in Fig. 117b. E’ da sottolineare che i profili P1 e P2 indicati in Fig. 116 e in Fig. 117 sono tracciati, per maggiore chiarezza grafica, solo per y>D. In realtà questi profili, quando il moto avviene a sezione piena, possono spingersi all’interno del condotto (y<D) ed essere caratterizzati anche da valori negativi dell’altezza piezometrica y. In questi casi, evidentemente, il moto avviene in depressione. Esempio. Consideriamo ad esempio il caso di una condotta circolare di diametro D=1 m e coefficiente di scabrezza ks=80 m1/3/s, nella quale fluisca una portata Q=4.1 m3/s. In tal caso l’altezza critica vale yc=0.98 m a cui corrisponde una pendenza ic=0.02422 inferiore alla pendenza limite, che vale iD=0.02704, e superiore alla pendenza minima im=0.02337. Se la condotta è caratterizzata da una pendenza del fondo if=0.02355, siamo nel caso im<if <ic<id illustrato in Fig. 117b. Le altezze di moto uniforme valgono infatti y0=0.914 m e y00=0.960 m, entrambe inferiori a yc. A queste altezze sono associati i valori F=1.5 e F=1.2, rispettivamente. Siamo dunque di fronte alla situazione in cui,

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pur essendo la pendenza del fondo inferiore a quella critica, il moto uniforme è di corrente rapida. Se, invece, la condotta è caratterizzata da una pendenza del fondo if=0.025, siamo nel caso im<ic <if<id illustrato in Fig. 117a. Le altezze di moto uniforme valgono infatti y0=0.861 m e y00=0.991 m, rispettivamente inferiore e superiore a yc. A queste altezze sono associati i valori F=1.785 e F=0.819, rispettivamente. Siamo dunque di fronte alla situazione in cui, pur essendo la pendenza del fondo inferiore a quella critica, il moto uniforme può essere sia di corrente rapida (y0) sia di corrente lenta (y00). Sezione rettangolare. Per una sezione rettangolare è innanzitutto importante osservare (Fig. 112) che il legame tra il livello y e la pendenza del fondo if è biunivoco finché il moto si mantiene a superficie libera. Di conseguenza, perde di significato il confronto tra la pendenza limite iD e quella critica ic. Per una sezione rettangolare è poi importante distinguere tra le due situazioni illustrate in Fig. 115b e in Fig. 115c. Nel caso di Fig. 115b la pendenza critica ic è certamente superiore a im: Qualsiasi pendenza inferiore a im, infatti, produce un moto uniforme in pressione per il quale il numero di Froude è identicamente nullo e non esistono pertanto condizioni critiche. Nel caso illustrato in Fig. 115c, invece, non è possibile definire la pendenza critica ma, come si è detto, possiamo pensare che in queste condizioni la pendenza critica sia inferiore alla pendenza minima. Per quanto detto, pertanto, si possono distinguere le situazioni im<ic e ic<im. Nella discussione sulle possibili configurazioni è poi necessario distinguere i casi in cui if<iD da quelli in cui if>iD ricordando, per altro, che tale distinzione si riflette esclusivamente sui profili che si sviluppano quando il moto è in pressione. Consideriamo dapprima il caso im<ic. I profili che possono svilupparsi al variare della pendenza del fondo rispetto alle tre pendenze caratteristiche, sono illustrati in Fig. 118a-e. Nel caso, invece, in cui sia ic<im, come si è detto, la corrente è sempre rapida se il moto avviene a superficie libera mentre è lenta se il moto è in pressione. I profili che possono svilupparsi al variare della pendenza del fondo rispetto alle pendenze iD e im, sono illustrati in Fig. 118f-h. A parte i problemi che possono nascere per l’eventuale mancanza di una sufficiente aerazione della vena nei casi dei profili M2 di Fig. 118e, e S2 di Fig. 118f-g, vi sono alcune situazioni cui vale la pena accennare. E’ interessante osservare, in Fig. 118b e Fig. 118d che per valori del tirante prossimi a y=D, imposti da valle essendo la corrente comunque lenta, può svilupparsi un moto in pressione o un moto a superficie libera che seguendo il profilo S4 (Fig. 118b) o M4 (Fig. 118d) si porta rispettivamente verso le condizioni critiche o verso il moto uniforme. Quando l’altezza y è poco inferiore a D, quindi, piccoli disturbi sulla superficie libera possono determinare lo sviluppo di un moto in pressione. Un po’ particolari sono i profili che si realizzano quando ic<im (Fig. 118f-h). Il profilo di corrente rapida S6 di Fig. 118h, comandato da monte, non può evidentemente estendersi fino al limite y=D così come il profilo di corrente rapida S2 di Fig. 118f, comandato da monte, non può originare dal limite y=D

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Fig. 118

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Come per la sezione circolare, è da sottolineare che i profili P1 e P2 indicati in Fig. 118 sono tracciati, per maggiore chiarezza grafica, solo per y>D. In realtà questi profili, quando il moto avviene a sezione piena, possono spingersi all’interno del condotto (y<D) ed essere caratterizzati anche da valori negativi dell’altezza piezometrica y. In questi casi, evidentemente, il moto avviene in depressione.

7.1.5 Transizione tra moti a superficie libera e moti in pressione

La transizione da un moto in pressione ad un moto a superficie libera, in assenza di discontinuità geometriche, avviene gradualmente seguendo un profilo P2, a monte che si raccorda verso valle con un profilo M2 (Fig. 116d, Fig. 118e) o M5 (Fig. 116c) o M6 (Fig. 117b) o S2 (Fig. 118g) o S5 (Fig. 117a) con qualche possibile problema legato eventualmente all’insufficiente aerazione della corrente a superficie libera. Nel caso illustrato in Fig. 118g, per altro si pone il problema di individuare il punto di transizione essendo la corrente rapida lungo il profilo S2 comandata da monte. Anche la transizione da una corrente a superficie libera ad una corrente in pressione può avvenire in modo graduale. Ciò accade quando il moto a superficie libera è caratterizzato da corrente lenta e il moto in pressione è descritto dal profilo P1. Questo tipo di transizione è proprio delle condizioni illustrate in Fig. 116a-b, Fig. 118a, e Fig. 118c. Spesso, però, la transizione avviene in modo brusco, quando una corrente rapida subisce una transizione a corrente lenta e, quest’ultima, si incolla al cielo del condotto determinando la formazione di una sorta di risalto (Fig. 119). In ogni caso, la corrente di valle deve essere caratterizzata da un profilo P1.

Fig. 119

Il legame tra le caratteristiche del moto a monte e a valle di questo risalto è ancora determinato attraverso l’applicazione del teorema della quantità di moto applicato al volume di fluido compreso tra le sezioni m e v di Fig. 119. Nell’ipotesi di trascurare il contributo delle resistenze di parete e il peso del fluido nella direzione della corrente, il bilancio delle forze si scrive

vGvv

mGmm Ag

QzAAg

QzA22

+=+ (94)

in cui zGv è la distanza verticale tra il baricetro della sezione di valle e la corrispondente quota piezometrica. Per una sezione rettangolare, la precedente relazione può essere riscritta come segue

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DBgQDyB

yBgQyB v

m

m222

)2/(2

+−=+ (95)

Sviluppando la precedente relazione si trova

Dy

DyF

yD

Dy

yy mm

mm

m

m

v ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

21 2 (96)

A differenza del caso di un canale a superficie libera, l’equazione (96) non è simmetrica, nel senso che i pedici m e v non possono essere scambiati.

7.2 Il caso di un breve tratto di canale tombato Consideriamo il problema, relativamente semplice, di un canale di sezione rettangolare, infinitamente lungo, largo B=2.0 m e caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=60 m1/3/s, che presenta un breve tratto tombato con un’altezza della sezione pari a D=1.0 m, come indicato schematicamente in Fig. 120. Siano, inoltre, if la pendenza del fondo, L la lunghezza del tratto a sezione chiusa e Q la portata fluente.

Fig. 120

Negli esempi che seguono distingueremo poi il caso di imbocco ben raccordato dal caso di imbocco a spigolo vivo e i casi di corrente aerata o non aerata. Esempio 1. Assumiamo che il tratto a sezione chiusa sia lungo L=60 m, che la pendenza del fondo sia if=0.001 e che la portata fluente valga Q=1.0 m3/s. In tal caso si ha

y0=0.533 m yc=0.294 m im=0.00017 iD=0.00030 ic=0.00578 Con riferimento alle condizioni nei tratti di canale a cielo aperto, essendo if<ic, avremo, infinitamente a monte e a valle condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Essendo im<iD<if<ic, i profili che possono svilupparsi lungo il tratto tombato sono quelli di Fig. 118c. Per ricostruire il profilo si parte da valle (sez. 1) con un’altezza pari a quella di moto uniforme Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 2, poco a valle dello sbocco, dove risulta y2=y1=y0=0.533 m. Tra le sezioni 2 e 3 non ci sono variazioni percepite dalla corrente, sarà quindi y3=y2. Proseguendo verso monte si mantengono dunque condizioni di moto uniforme fino alla sezione 4. Ancora, tra le sezioni 4 e 5 non ci sono variazioni percepite dalla corrente, sarà dunque y5=y4=y0. Verso monte la corrente continuerà a mantenersi in condizioni di moto uniforme, e la condizione di moto uniforme occuperà dunque tutto il canale (Fig. 121).

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Fig. 121

Esempio 2. La stessa soluzione (Fig. 121) si trova quando nel canale appena descritto fluisce una portata di 2.0 m3/s anche se, in questo caso, essendo

y0=0.876 m yc=0.467 m im=0.00070 iD=0.00120 ic=0.00585 e quindi im<if <iD<ic, i profili che possono svilupparsi sono quelli di Fig. 118d. Per essere l’altezza del moto y0 poco inferiore all’altezza D della sezione potrebbe verificarsi, in questo caso, un funzionamento irregolare caratterizzato da un moto pulsante (vedi paragrafo 7.4), determinato da un’insufficiente aerazione della corrente. Esempio 3. Supponiamo ora di incrementare la portata al valore Q=3.0 m3/s. In questo caso si ha

y0=1.188 m yc=0.612 m im=0.00157 iD=0.0027 ic=0.0061 Con riferimento alle condizioni nei tratti di canale a cielo aperto, essendo if<ic, avremo, infinitamente a monte e a valle, condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Essendo inoltre if<im<iD<ic, i profili che possono svilupparsi lungo il tratto tombato sono quelli di Fig. 118e. Per ricostruire il profilo si parte da valle (sez. 1) con un’altezza pari a quella di moto uniforme. Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 2, poco a valle dello sbocco, dove risulta y2=y1=y0=1.188 m.

Fig. 122

Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3’, immediatamente a valle dello sbocco, conviene operare un bilancio delle spinte che, con riferimento allo schema illustrato in Fig. 122, si scrive

BygQyB

BDgQy

B2

222

22'3

22+=+ (97)

Risolta la precedente relazione rispetto a y3’, si trova y3’=1.157 m a cui corrisponde l’energia H3’=1.272 m. Nel passare dalla sezione 3’ alla sezione 3 si può assumere che l’energia si mantenga costante. Si avrà pertanto H3=H3’=1.272m e y3=y3’=1.157 m.

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L’integrazione del profilo P2 lungo il tratto tombato fino alla sezione 4 fornisce: H4=H3+(iD-if)⋅L=1.374 m y4=y3+(iD-if)⋅L=1.259 m

Se consideriamo l’imbocco ben raccordato, dal bilancio di energia tra le sezioni 5 e 4, nell’ipotesi di trascurare le eventuali modeste dissipazioni localizzate si ha H5=H4=1.374 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y5=1.307 m. Essendo y5>y0, verso monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 6). Il profilo complessivo è illustrato in Fig. 123.

Fig. 123

Esempio 4. Supponiamo ora di incrementare ulteriormente la portata al valore Q=8.0 m3/s. In questo caso si ha

y0=2.616 m yc=1.177 m im=0.0112 iD=0.01923 ic=0.00728 L’altezza critica nel canale risulta superiore a D, pertanto, per il tratto tombato non è definibile la pendenza critica (ovvero si può pensare che sia ic<im, come accade per il canale) ed essendo if<im<iD, potranno svilupparsi i profili illustrati in Fig. 118h. In questo caso, comunque, sempre nell’ipotesi che l’imbocco sia ben raccordato, la soluzione del problema è qualitativamente analoga a quella appena vista, illustrata in Fig. 123. Esempio 5. Consideriamo la stessa situazione descritta nell’Esempio 4 assumendo però che l’imbocco sia a spigolo vivo e non siano presenti dispositivi in grado di aerare la vena lungo il tratto tombato. Le caratteristiche del moto e i possibili profili sono, ovviamente, quelli già visti nell’esempio precedente. Il profilo che si sviluppa in questo caso, illustrato in Fig. 124, si determina a partire dalla sezione di valle (sezione 1) in corrispondenza della quale si hanno condizioni di moto uniforme. Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 2, poco a valle dello sbocco, dove risulta y2=y1=y0=2.616m. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3’, immediatamente a valle dello sbocco, conviene operare il bilancio delle spinte (97) che fornisce y3’=2.197 m a cui corrisponde l’energia H3’=3.013 m. Nel passare dalla sezione 3’ alla sezione 3 si può assumere che l’energia si mantenga costante. Si avrà pertanto H3=H3’=3.013 m e y3=y3’=2.197 m. In corrispondenza della sezione 3, inoltre, la spinta vale M3=6.656 m3. L’integrazione del profilo P2 lungo il tratto tombato fino alla sezione 4, posta poco a valle dell’imbocco, fornisce H4=H3+(iD-if)⋅L=4.107 m, y4=y3+(iD-if)⋅L=3.291 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 5 e 4, nell’ipotesi di considerare la dissipazione localizzata di imbocco, si trova H5=H4+0.5.v2/2g=4.515 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y5=4.474 m.

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Essendo y5>y0, verso monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 6). E’ da osservare che, in corrispondenza della sezione di vena contratta, indicata in figura come sezione 4’, compresa tra le sezioni 4 e 5, si ha un sensibile abbassamento della pressione. La quota piezometrica y4’ può essere calcolata dal bilancio di energia H5=H4’ che fornisce, assumendo per il coefficiente di contrazione il valore cc=0.6, y4’=2.249 m. Essendo y4’>D, la vena non è soggetta a depressione e la soluzione illustrata in Fig. 124 resta pertanto valida anche in presenza di dispositivi di aerazione della vena.

Fig. 124

Esempio 6. Assumiamo, come negli esempi precedenti che il tratto a sezione chiusa sia lungo L=60 m e alto D=1 m, assumiamo inoltre lo stesso coefficiente di resistenza kS=60 m1/3/s, ma una pendenza del fondo if=0.005 e una portata fluente Q=6.0 m3/s. In tal caso si ha

y0=1.091 m yc=0.972 m im=0.0063 iD=0.0108 ic=0.0068 Essendo if<im<ic<iD, i possibili profili sono quelli illustrati in Fig. 118e. Per quanto riguarda l’ubicazione delle diverse sezioni si può fare riferimento alla Fig. 124. Il moto uniforme nel canale è caratterizzato da corrente lenta pertanto si parte dalla sezione di valle (sezione 1) con y1=y0=1.091 m. Tali condizioni si mantengono fino alla sezione 2, poco a valle dello sbocco. Essendo y2<D, è necessario considerare una sezione 3’ immediatamente a valle dello sbocco come già visto nell’Esempio 3. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3’ si opera il bilancio delle spinte (97) che fornisce y3’=1.018 m a cui corrisponde l’energia H3’=1.477 m. Nel passare dalla sezione 3’ alla sezione 3 si può assumere che l’energia si mantenga costante. Si avrà pertanto H3=H3’=1.477 m e y3=y3’=1.018 m. In corrispondenza della sezione 3, inoltre, la spinta vale M3=2.871 m3, appena inferiore a quella del moto uniforme di valle che vale M0=2.872 m3. L’integrazione del profilo P2 tra le sezioni 3 e 4’ fornisce H4=H3+(iD-if)⋅L=1.825 m a cui corrispondono l’altezza y4=y3+(iD-if)⋅L=1.366 m e la spinta M4=M3+A⋅(iD-if)⋅L=3.567 m3. Dal bilancio di energia tra le sezioni 5 e 4, nell’ipotesi di considerare la dissipazione localizzata di imbocco, si trova H5=H4+0.5.v2/2g=2.054 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y5=1.931 m. Essendo y5>y0, verso monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 6). E’ da osservare che, in corrispondenza della sezione di vena contratta, indicata in figura come sezione 4’, compresa tra le sezioni 4 e 5, si ha un sensibile abbassamento della pressione. La quota piezometrica y4’ può essere calcolata dal

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bilancio di energia H5=H4’ che fornisce, assumendo per il coefficiente di contrazione il valore cc=0.6, y4’=0.780 m. Essendo y4’<yc e la lunghezza del tratto a sezione chiusa relativamente lungo (lunghezza maggior di 10D), la corrente si comporta in modo diverso in relazione all’aerazione della stessa. Per una corrente non aerata, il profilo che si sviluppa è sostanzialmente quello illustrato in Fig. 124, dove però l’altezza critica risulta, come si è visto, inferiore all’altezza D della sezione. Se però, in prossimità della sezione di vena contratta è presente un dispositivo in grado di garantire l’aerazione della corrente, la configurazione che si realizza potrebbe essere sensibilmente diversa da quella di Fig. 124. Assumiamo che in corrispondenza della sezione di vena contratta possa instaurarsi, sulla superficie liquida, una pressione prossima a quella atmosferica. In tal caso si ha y4’=D.cc=0.6 m, H4’=D.cc+Q2/2g (D.cc)2=1.874 m. A partire dalla sezione 4’ verso valle si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3. Se, durante l’integrazione del profilo M3, si ricostruisce contemporaneamente l’andamento delle altezze coniugate in pressione, utilizzando l’equazione (96), e si confrontano queste ultime con il profilo P2, ci si accorge che la corrente lenta di valle è caratterizzata da una spinta sempre superiore a quella della corrente rapida (Fig. 125a), pertanto il moto viene rigurgitato e la configurazione che si realizza è esattamente la stessa prevista nel caso di assenza di aerazione.

Fig. 125

Esempio 7. Consideriamo le stesse condizioni geometriche ed idrauliche dell’esempio precedente ma assumiamo che il tratto a sezione chiusa sia lungo L=40 m. le altezze e le pendenze caratteristiche saranno evidentemente le stesse calcolate per l’Esempio 6. Procedendo da valle, e facendo riferimento alla Fig. 124 per l’ubicazione delle diverse sezioni, si avrà ancora y1=y2=y0=1.091 m. Utilizzando il bilancio delle spinte tra le sezioni 2 e 3’ e quindi il bilancio di energia tra le sezioni 3’ e 3 risulterà, come in precedenza, y3=y3’=1.018 m e H3=H3’=1.477 m. Seguendo verso monte il profilo P2 si trova H4=H3+(iD-if)⋅L=1.709 m a cui corrisponde l’altezza y4=y3+(iD-if)⋅L=1.25 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 5 e 4, nell’ipotesi di considerare la dissipazione

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localizzata di imbocco, si trova H5=H4+0.5.v2/2g=1.938 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y5=1.796 m. Infine, essendo y5>y0, verso monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 6). In corrispondenza della sezione di vena contratta (sezione 4’) si ha un sensibile abbassamento della pressione. La quota piezometrica y4’ può essere calcolata dal bilancio di energia H5=H4’ che fornisce, assumendo per il coefficiente di contrazione il valore cc=0.6, y4’=0.664 m. Per una corrente non aerata, il profilo che si sviluppa è sostanzialmente quello illustrato in Fig. 124, dove però l’altezza critica risulta inferiore all’altezza D della sezione. Se però in prossimità della sezione di vena contratta è presente un dispositivo in grado di garantire l’aerazione della corrente, essendo y4’<yc, la configurazione che si realizza potrebbe essere sensibilmente diversa da quella di Fig. 124. Assumiamo che in corrispondenza della sezione di vena contratta possa instaurarsi, sulla superficie liquida, una pressione prossima a quella atmosferica. In tal caso si ha y4’=D.cc=0.6 m, H4’=D.cc+Q2/2g (D.cc)2=1.874 m. A partire dalla sezione 4’ verso valle si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3. Confrontando l’andamento delle altezze coniugate in pressione, calcolato mediante l’equazione (96), e il profilo P2, si osserva che l’eguaglianza delle spinte si attua all’interno del tratto tombato ad una distanza di circa 7.6 m a valle dell’imbocco (Fig. 125b). Qui si ha la formazione di un risalto stabile. In corrispondenza delle sezioni 7 e 8, poste a cavallo del risalto, si trova y7=0.649 m e y8=1.206 m. Il profilo liquido risultante è illustrato in Fig. 126.

Fig. 126

Esempio 8. Consideriamo ancora le stesse condizioni geometriche ed idrauliche dei due precedenti esempi ma riduciamo la lunghezza del tratto a sezione chiusa al valore L=30 m. Ovviamente le altezze e le pendenze caratteristiche saranno le stesse viste in precedenza. Del tutto analoga sarà anche la ricostruzione del profilo a partire da valle (sezione 1) fino alla sezione 3 in corrispondenza dello sbocco dove si avrà y3=1.018 m e H3=1.477 m. Seguendo verso monte il profilo P2 si trova H4=H3+(iD-if)⋅L=1.651 m a cui corrisponde l’altezza y4=y3+(iD-if)⋅L=1.192 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 5 e 4, nell’ipotesi di considerare la dissipazione localizzata di imbocco, si trova H5=H4+0.5.v2/2g=1.880 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y5=1.726 m. Infine, essendo y5>y0, verso monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme.

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Il bilancio di energia H5=H4’ consente di calcolare la quota piezometrica y4’ in corrispondenza della sezione di vena contratta (sezione 4’). Assumendo per il coefficiente di contrazione il valore cc=0.6 si trova y4’=0.606 m. Per una corrente non aerata, il profilo che si sviluppa è ancora una volta sostanzialmente quello illustrato in Fig. 124, dove però sia yc<D. Se però in prossimità della sezione di vena contratta è presente un dispositivo in grado di garantire l’aerazione della corrente, essendo y4’<yc, la configurazione che si realizza è sensibilmente diversa da quella di Fig. 124. Per una corrente sufficientemente aerata, la vena contratta è caratterizzata da una superficie libera sulla quale si instaura una pressione prossima a quella atmosferica. In tal caso si ha y4’=D.cc=0.6 m, H4’=D.cc+Q2/2g (D.cc)2=1.874 m. A partire dalla sezione 4’ verso valle si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3. Confrontando l’andamento delle altezze coniugate in pressione, calcolato mediante l’equazione (96), e il profilo P2, si osserva che quest’ultimo resta sempre al di sopra della curva delle altezze coniugate pertanto l’eguaglianza delle spinte non si attua all’interno del tratto tombato. Il profilo M3 prosegue pertanto a valle del tratto tombato. Dal confronto tra le altezze coniugate, calcolate ora mediante l’equazione (28) valida per canali rettangolari a superficie libera, e l’altezza di valle, a moto uniforme, si osserva che l’eguaglianza delle spinte si attua ad una distanza di circa 5.3 m a valle dello sbocco (Fig. 127a). Qui si ha la formazione di un risalto stabile. In corrispondenza delle sezioni 7 e 8, poste a cavallo del risalto, si trova y7=0.861 m e y8=y0=1.091 m. Il profilo liquido risultante è illustrato in Fig. 127b.

Fig. 127

Negli esempi visti finora, la pendenza del fondo è sempre risultata essere inferiore a quella critica. Analizziamo ora alcune situazioni per le quali la pendenza del fondo è invece superiore a quella critica e, nel canale, a moto uniforme la corrente è rapida. Esempio 9. Assumiamo che il tratto a sezione chiusa sia lungo L=60 m, che la pendenza del fondo sia if=0.01 e che la portata fluente valga Q=5.0 m3/s. Assumiamo inoltre che l’imbocco sia ben raccordato. In tal caso si ha

y0=0.738 m yc=0.860 m im=0.0044 iD=0.0075 ic=0.0066 Con riferimento alle condizioni nei tratti di canale a cielo aperto, essendo if>ic, avremo, infinitamente a monte e a valle condizioni di moto uniforme di corrente

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rapida. Essendo poi im<ic<iD<if, i profili che possono svilupparsi lungo il tratto tombato sono quelli di Fig. 118a. In queste condizioni, per essere y0<D, la corrente può mantenersi uniforme lungo tutto il canale (Fig. 129a e Fig. 129g). Anzi, essendo iD<if, necessariamente, come verrà chiarito più avanti, il moto si manterrà uniforme lungo tutto il canale. Consideriamo ora la stessa situazione ma con una portata incrementata al valore Q=6.0 m3/s. In tal caso si ha

y0=0.842 m yc=0.972 m im=0.0063 iD=0.0108 ic=0.0068 Essendo ancora y0<D la corrente può mantenersi uniforme lungo tutto il canale come nel caso precedente (Fig. 129b) ma, essendo ora iD>if, questa potrebbe non essere l’unica soluzione. Se incrementiamo ulteriormente al portata al valore Q=7.0 m3/s avremo

y0=0.944 m yc=1.077 m im=0.0086 iD=0.0147 ic=0.0070 Anche in questo caso, essendo y0<D la corrente può mantenersi uniforme lungo tutto il canale (Fig. 129c) ma per essere iD>if, questa potrebbe non essere l’unica soluzione. Consideriamo infine il caso in cui la portata raggiunga il valore Q=8.0 m3/s. In queste condizioni avremo

y0=1.0435m yc=1.177 m im=0.0112 iD=0.0192 ic=0.0072 Essendo y0>D, la corrente rapida di monte non è in grado di superare il tratto tombato e, necessariamente, subisce a monte dello stesso una transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto. Evidentemente, poi, per essere la corrente di valle rapida, si dovrà verificare anche una transizione lenta→rapida con la formazione di una sezione di controllo. Quest’ultima, essendo l’imbocco ben raccordato, può posizionarsi solo in corrispondenza della sezione di sbocco. La possibilità di avere una sezione di controllo in corrispondenza dell’imbocco, infatti, si può avere solo se lo stesso non è ben sagomato e la corrente è sufficientemente aerata così da consentire la formazione di una vena contratta libera (vedi Esempio 10). Il profilo che si sviluppa nel canale, illustrato in Fig. 128, viene ricostruito a partire dalla sezione di controllo (sezione 4) dove si impone y4=yc=D=1.0 m a cui corrisponde l’energia H4=1.815 m. Procedendo verso valle possiamo scrivere il bilancio di energia H4=H4’ che fornisce y4’=y4=1.0 m. A partire dalla sezione 4’ si svilupperà poi un profilo S3 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Procedendo invece verso monte, l’integrazione del profilo lungo il tratto tombato dalla sezione 4 alla sezione 3 fornisce H3=H4+(iD-if).L=2.367 m a cui corrisponde l’altezza y3=y4+(iD-if).L=1.552 m Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 2, immediatamente a monte dell’imbocco, si opera un bilancio di energia nel quale, per essere l’imbocco ben raccordato, si possono trascurare le dissipazioni localizzate. All’energia H2=H3=2.367 m corrisponde l’altezza y2=2.198 m sul ramo delle correnti lente. Proseguendo verso monte si segue un profilo S1 fino alla sezione 7 dove la spinta della corrente uguaglia quella relativa alla sezione 6 che vale M6=M0=4.215 m3; qui si ha la formazione del risalto. Nel caso in esame si trova y7=1.322 m (essendo y7 l’altezza coniugata di y6=y0) e il risalto si posiziona circa 82 m a monte dell’imbocco.

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Fig. 128

E’ interessante osservare quello che accade se, a partire dalla configurazione del campo di moto appena esaminata (Fig. 129d), si riduce progressivamente la portata riportandosi nelle medesime condizioni assunte nelle situazioni precedentemente viste. Consideriamo la sezione 4 ancora come sezione di controllo con y4=yc=D=1.0 m e ricostruiamo procedendo verso valle e verso monte i profili che si determinano riducendo gradualmente la portata. Per una portata di 7.0 m3/s procedendo verso valle si avrà y4’=y4=1.0 m ed essendo y4’>y0=0.944 m, a partire dalla sezione 4’ si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme. Procedendo invece verso monte, essendo H4=1.624 m, l’integrazione del profilo P2 fornisce H3=1.906 m e un’altezza y3=1.282 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha y2=1.686 m. Si seguirà quindi un profilo S1 fino alla sezione 7 (y7=1.222 m), posta circa 41 m a monte dell’imbocco, dove la coniugata di y7 coincide con l’altezza y6=y0. Il profilo nel suo complesso è illustrato in Fig. 129e. Analogamente, per una portata di 6.0 m3/s procedendo verso valle si avrà y4’=y4=1.0 m ed essendo y4’>y0=0.842 m, a partire dalla sezione 4’ si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme. Procedendo invece verso monte, essendo H4=1.459 m, l’integrazione del profilo P2 fornisce H3=1.508 m e un’altezza y3=1.049 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha y2=1.177 m. Si seguirà quindi un profilo S1 fino alla sezione 7 (y7=1.114 m), posta circa 4.5 m a monte dell’imbocco, dove la coniugata di y7 coincide con l’altezza y6=y0. Il profilo nel suo complesso è illustrato in Fig. 129f. Infine, per una portata di 5.0 m3/s procedendo verso valle si avrà y4’=y4=1.0 m ed essendo y4’>y0=0.738 m, a partire dalla sezione 4’ si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme. Procedendo invece verso monte, essendo H4=1.319 m, l’integrazione, questa volta del profilo P1, fornisce H3=1.244 m e un’altezza y3=0.925 m<D. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha H2=H3<Hc=1.291 m. Questo modo di procedere non consente quindi di determinare alcuna soluzione per la sezione 2. Pertanto, l’ipotesi assunta di imporre le condizioni critiche in corrispondenza della sezione di sbocco (sezione 4) non è accettabile. Per quanto riguarda il profilo complessivo, quindi, l’unica soluzione possibile è quella che vede la corrente rapida in moto uniforme estendersi lungo tutto il canale (Fig. 129g). Con riferimento alle particolari caratteristiche geometriche e di scabrezza utilizzate negli esempi appena descritti, al crescere e al successivo diminuire della portata si realizza un ciclo isteretico (vedi paragrafo 4.1), sinteticamente illustrato in Fig. 129. E’

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da osservare, a questo proposito, che il tratto tombato può essere assimilato ad un ostacolo inserito nel canale.

Fig. 129

La condizione limite per il passaggio dalla configurazione illustrata in Fig. 129f a quella di Fig. 129g si determina quando la lunghezza del profilo S1 si riduce a zero. In tal caso, immediatamente a monte dell’imbocco si realizzerà l’altezza y2=y7 coniugata del moto uniforme di monte. Con riferimento all’esempio appena illustrato queste condizioni si realizzano per la portata Q=5.875 m3/s. In questo caso si ha

y0=0.830 m yc=0.958 m im=0.00604 iD=0.0104 ic=0.00677 Consideriamo la sezione 4 ancora come sezione di controllo con y4=yc=D=1.0 m Procedendo verso valle si avrà y4’=y4=1.0 m ed essendo y4’>y0=0.83 m, a partire dalla sezione 4’ si svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme. Procedendo invece verso monte, essendo H4=1.440 m, l’integrazione del profilo P2 fornisce H3=1.462 m e un’altezza y3=1.022 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2

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e 3 si ha y2=1.10 m che coincide, come richiesto, con l’altezza coniugata della corrente rapida di monte in moto uniforme. In generale, la condizione limite si verifica quando il moto in pressione è descritto da un profilo P2. Quando il profilo che si sviluppa in pressione è un P1, certamente il moto con transizione non è possibile. Esempio 10. Nell’esercizio precedente è stato considerato per il tratto tombato un imbocco ben raccordato. Vediamo cosa accade nell’ipotesi di imbocco a spigolo vivo. Se la corrente non è aerata, il risultato che si trova è sostanzialmente lo stesso dell’Esempio 9. Le differenze, solo quantitative, sono legate al fatto che tra le sezioni 2 e 3 (vedi Fig. 128), quando lungo il tratto a sezione chiusa il moto che si sviluppa è in pressione, si determina una dissipazione di energia localizzata. Se, al contrario, la corrente è ben aerata, si osservano differenze anche qualitative rispetto alla soluzione illustrata nell’Esempio 9. Queste differenze riguardano, evidentemente, le configurazioni in cui il moto non è uniforme lungo tutto il canale ma si assiste alla transizione rapida→lenta a monte del tratto tombato. Le soluzioni trovate per i casi illustrati in Fig. 129a-c e in Fig. 129g sono pertanto valide anche nel caso di imbocco a spigolo vivo. Consideriamo quindi la situazione corrispondente alla soluzione illustrata in Fig. 129d che si viene a determinare quando la portata fluente vale Q=8.0 m3/s e l’altezza di moto uniforme vale y0=1.0435 m. Essendo y0>D, la corrente rapida di monte non è in grado di superare il tratto tombato e, necessariamente, subisce a monte dello stesso una transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto. Evidentemente, poi, per essere la corrente di valle rapida, si dovrà verificare anche una transizione lenta→rapida con la formazione di una sezione di controllo. Quest’ultima può posizionarsi o in prossimità dell’imbocco, e più precisamente in corrispondenza della sezione di vena contratta, o in corrispondenza della sezione di sbocco come accade nel caso dell’Esempio 9 o in corrispondenza di entrambe queste sezioni. In quest’ultimo caso si ha la formazione di un secondo risalto localizzato tra queste due sezioni.. Per stabilire quale di queste tre possibilità è quella che effettivamente si realizza confrontiamo il profilo S3 che si sviluppa lungo il tratto a sezione chiusa a partire dal livello y3=ccD imposto in corrispondenza dell’imbocco con il profilo P2 calcolato a partire dalla condizione y4=D imposta in corrispondenza dello sbocco. Confrontiamo in particolare l’andamento delle altezze coniugate associate al profilo S3 (calcolata mediante l’equazione (96) con il profilo P2 di corrente lenta. Si osserva (Fig. 130) che il profilo P2 si mantiene sempre al di sotto della curva delle altezze coniugate, pertanto è la corrente rapida di monte ad occupare il tratto di canale a sezione chiusa. A valle della sezione di sbocco, inoltre, il profilo S3 prosegue fino alle condizioni di moto uniforme. Procedendo verso monte, essendo H2=H3=2.865 m, si trova y2=2.758 m. Questa altezza risulta superiore all’altezza y7=1.322 m, coniugata della corrente rapida di monte. A monte della sezione 2, pertanto, si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 7 posta circa 139 m a monte dell’imbocco, come illustrato in Fig. 131.

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Fig. 130

Fig. 131

Vediamo ora quello che accade se, a partire dalla configurazione del campo di moto appena esaminata (Fig. 131 e Fig. 132c), si riduce progressivamente la portata. In queste valutazioni consideriamo la sezione 3 ancora come sezione di controllo con y3=ccD=0.6 m e ricostruiamo procedendo verso valle e verso monte i profili che si determinano. Per una portata di 7.0 m3/s procedendo verso valle si avrà un profilo S3 fino alle condizioni di moto uniforme. Il massimo tirante lungo il tratto tombato risulta infatti y4=0.861 m, inferiore a D. Procedendo invece verso monte, essendo H2=H3=2.334 m, si trova y2=2.206 m. Questa altezza risulta superiore all’altezza y7=1.221 m, coniugata della corrente rapida di monte. A monte della sezione 2, pertanto, si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 7 posta circa 90.5 m a monte dell’imbocco (Fig. 132d). Riducendo via via la portata si riduce la lunghezza del tratto lungo il quale si sviluppa il profilo S1. La condizione limite si ha quando l’altezza y2, immediatamente a monte dell’imbocco, coincide con l’altezza coniugata della corrente rapida di monte in moto uniforme. Questa condizione si verifica per una portata Q=3.65 m3/s (Fig. 132c). Con riferimento alle particolari caratteristiche geometriche e di scabrezza utilizzate in questo esempio, al crescere e al successivo diminuire della portata si realizza il ciclo isteretico, analogo a quello visto nell’Esempio 9, sinteticamente illustrato in Fig. 132.

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Fig. 132

Esempio 11. Nell’esercizio precedente, e con riferimento al caso di un tratto tombato lungo L=60 m e una portata fluente Q=8 m3/s, è stato considerato un imbocco a spigolo vivo e una condizione di corrente ben aerata (Fig. 131). In questo esercizio vediamo cosa accade variando la lunghezza L del tratto tombato. Abbiamo visto che l’altezza di moto uniforme, y0=1.0435 m, è maggiore dell’altezza D, pertanto la corrente rapida di monte non è in grado di superare il tratto tombato e, necessariamente, subisce a monte dello stesso una transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto. In prossimità dell’imbocco (sezione 3), inoltre, avendo assunto che la corrente sia sufficientemente aerata, possiamo ipotizzare che si determini una sezione di controllo y3=ccD=0.6 m. Consideriamo, ad esempio, il caso in cui la lunghezza del tratto tombato sia L=70 m. Se integriamo il profilo S3 che si sviluppa verso valle a partire dalla sezione 3, si trova che in corrispondenza dello sbocco si raggiunge il livello y4=0.932 m, inferiore all’altezza D, e pertanto la soluzione, dal punto di vista qualitativo è sostanzialmente identica a quella illustrata in Fig. 131. Se però confrontiamo l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 che si stabilisce lungo il tratto tombato nell’ipotesi di porre la condizione critica (sezione di controllo) in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m), si osserva che è possibile anche una diversa soluzione. Le due curve infatti si intersecano ad una distanza dall’imbocco di 13.3 m e tornano ad intersecarsi anche alla distanza di 60.1 m (Fig. 133). Quest’ultima soluzione, come si è visto nel paragrafo 4.2, è instabile e non viene presa in considerazione. Si ha quindi la formazione di un risalto che si localizza all’interno del tratto tombato come illustrato in Fig. 134. A monte della sezione 3 la soluzione resta invariata essendo comandata dalla condizione critica che qui si

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stabilisce. Questa seconda configurazione del campo di moto può instaurarsi o per effetto di un qualche disturbo temporaneo che produce il moto in pressione nel tratto terminale del canale tombato o quando questo valore di portata si instaura dopo che in precedenza il canale era interessato da portate maggiori. In queste condizioni, dunque, sono possibili due diverse configurazioni, entrambe stabili, e il moto può essere soggetto ad isteresi.

Fig. 133

Fig. 134

Consideriamo ora il caso in cui la lunghezza del tratto tombato sia L=85 m. Se integriamo il profilo S3 che si sviluppa verso valle a partire dalla sezione 3, si trova che in corrispondenza dello sbocco si raggiunge il livello y4=0.978 m, inferiore all’altezza D. La soluzione complessiva, pertanto, è, dal punto di vista qualitativo, sostanzialmente identica a quella illustrata in Fig. 131. Tuttavia, se confrontiamo come fatto in precedenza l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 che si stabilisce lungo il tratto tombato nell’ipotesi di porre la condizione critica (sezione di controllo) in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m), si osserva che, fatta eccezione per un brevissimo tratto terminale, lungo poco più di 2 m, il profilo P2 si mantiene sempre al di sopra della curva delle altezze coniugate. In tal caso la spinta della corrente lenta è superiore a quella della corrente rapida e tutto il tratto tombato sarà interessato da un moto in pressione indipendentemente dal fatto che sia garantita o meno una aerazione adeguata della corrente. In corrispondenza della sezione 3, in particolare, si avrà y3=1.785 m e H3=2.600 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3, nel

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quale va considerata la perdita di imbocco, si avrà H2=3.008 m a cui corrisponde l’altezza y2=2.912 m. Verso monte si svilupperà pertanto un profilo S1 fino all’altezza y7=1.322 m coniugata della corrente rapida in moto uniforme. Tra le sezioni 6 (y6=y0=1.044 m) e 7 si ha dunque la formazione di un risalto che si localizza ad una distanza di circa 152 m a monte dell’imbocco, Il profilo, nel suo complesso, è illustrato in Fig. 135.

Fig. 135

Questa seconda configurazione del campo di moto può instaurarsi o per effetto di un qualche disturbo temporaneo che produce il moto in pressione nel tratto terminale del canale tombato o quando questo valore di portata si instaura dopo che in precedenza il canale era interessato da portate maggiori e quindi da un moto in pressione. Consideriamo infine il caso in cui la lunghezza del tratto tombato sia L=100 m. Se integriamo il profilo S3 che si sviluppa verso valle a partire dalla sezione 3, si trova che già ad una distanza dall’imbocco di 95 m, il profilo raggiunge il cielo del tratto tombato. Imposta la condizione critica in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m), possiamo confrontare l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 che si stabilisce lungo il tratto tombato. Si osserva (Fig. 136) che la curva delle altezze coniugate si mantiene sempre al di sotto del profilo P2 ad indicare che la corrente lenta è, ovunque lungo il tratto tombato, caratterizzata da una spinta maggiore della corrente rapida. In questo caso, anche in presenza di un’aerazione potenzialmente sufficiente, il moto avviene in pressione lungo tutto il tratto compreso tra le sezioni 3 e 4. In corrispondenza della sezione 3, in particolare, si avrà y3=1.923 m e H3=2.738 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3, nel quale va considerata la perdita di imbocco, si avrà H2=3.146 m a cui corrisponde l’altezza y2=3.059 m. Verso monte si svilupperà dunque un profilo S1 fino all’altezza y7=1.322 m coniugata della corrente rapida in moto uniforme. Tra le sezioni 6 (y6=y0=1.044 m) e 7 si ha dunque la formazione di un risalto che si localizza ad una distanza di circa 167 m a monte dell’imbocco, Il profilo, nel suo complesso corrisponde, qualitativamente, a quello precedentemente illustrato in Fig. 135.

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Fig. 136

Esempio 12. Consideriamo la configurazione inizialmente studiata negli esempi precedenti nei quali il tratto tombato è lungo L=60 m ed è interessato da una portata Q=8 m3/s. La soluzione per il caso di imbocco a spigolo vivo, in presenza di una sufficiente aerazione della corrente è illustrata in Fig. 131 (Esempio 10), mentre quella per il caso di imbocco sufficientemente raccordato è illustrata in Fig. 128 (Esempio 9). Studiamo ora le situazioni che si presentano per un imbocco caratterizzato da un raccordo intermedio. Il grado di raccordo può essere rappresentato dal valore del coefficiente di contrazione che sarà fatto variare tra 0.6 (spigolo vivo) e 1.0 (raccordo ben profilato). A partire dalla configurazione di Fig. 131, caratterizzata da un imbocco a spigolo vivo a cui è associato un coefficiente di contrazione cc=0.6, procediamo a smussare gradualmente lo spigolo. Consideriamo dapprima il caso cc=0.65. L’altezza imposta in corrispondenza della sezione 3 sarà dunque y3=ccD=0.65 m. A partire da questa sezione, verso valle, si svilupperà un profilo S3 che, in corrispondenza dello sbocco (sezione 4) è caratterizzato da un’altezza y4=0.930 m, inferiore a D. Lungo il canale, pertanto, si può sviluppare un profilo complessivo del tutto analogo a quello illustrato in Fig. 131. Se però confrontiamo l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 che si stabilisce lungo il tratto tombato nell’ipotesi di porre la condizione critica in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m), si osserva che è possibile anche una diversa soluzione. Infatti, le due curve, il cui andamento è qualitativamente simile a quello illustrato in Fig. 133, si intersecano ad una distanza dall’imbocco di circa 5 m e tornano ad intersecarsi anche alla distanza di circa 49 m. Quest’ultima soluzione, come si è visto nel paragrafo 4.2, è instabile e non viene presa in considerazione. Si ha quindi la formazione di un risalto che si localizza all’interno del tratto tombato e la soluzione complessiva è sostanzialmente analoga a quella illustrata in Fig. 134. Per il caso cc=0.7, l’altezza imposta in corrispondenza della sezione 3 sarà y3=ccD=0.7 m. A partire da questa sezione, verso valle, si svilupperà un profilo S3 che, in corrispondenza dello sbocco (sezione 4) è caratterizzato da un’altezza

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y4=0.960 m, inferiore a D. Lungo il canale, pertanto, si può sviluppare un profilo complessivo del tutto analogo a quello illustrato in Fig. 131. Tuttavia, se confrontiamo l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 che si stabilisce lungo il tratto tombato nell’ipotesi di porre la condizione critica (sezione di controllo) in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m), si osserva che, fatta eccezione per un brevissimo tratto terminale, lungo circa 4.3 m, il profilo P2 si mantiene sempre al di sopra della curva delle altezze coniugate. In tal caso la spinta della corrente lenta è superiore a quella della corrente rapida e tutto il tratto tombato sarà interessato da un moto in pressione, indipendentemente dal fatto che sia garantita o meno una aerazione adeguata della corrente, e il profilo complessivo è simile a quello di Fig. 135. Questa situazione, dunque, è del tutto analoga a quella vista nell’Esempio 11 quando la lunghezza del tratto tombato è L=85 m. Assumiamo ora cc=0.8. In tal caso in corrispondenza della sezione 3 si avrà y3=ccD=0.8 m. In questo caso, lungo il profilo S3 il livello raggiunge il cielo del tratto tombato ad una distanza di circa 55 m dall’imbocco. Confrontando l’altezza coniugata, valutata mediante l’equazione (96) e associata al profilo S3 appena calcolato, con i livelli piezometrici del profilo P2 calcolato imponendo la condizione critica in corrispondenza dello sbocco (y4=D=1 m) si osserva che la spinta della corrente lenta è ovunque superiore a quella della corrente rapida. In questo caso, pertanto, si ha un’unica soluzione che vede il tratto tombato percorso da una corrente in pressione e un profilo complessivo del tutto simile a quello di Fig. 135. Confrontando le soluzioni viste in questo esempio con quelle discusse nell’Esempio 11, possiamo osservare che c’è una stretta analogia tra gli effetti prodotti da una diversa lunghezza del tratto tombato e quelli determinati da un più o meno efficiente raccordo dell’imbocco.

7.2.1 Alcune considerazioni finali

I pochi esempi illustrati per situazioni relativamente semplici mostrano, credo inequivocabilmente, la complessità del moto quando questo può avvenire sia a superficie libera che in pressione. C’è inoltre da considerare che la trattazione unidimensionale utilizzata per la soluzione dei problemi proposti consente di inquadrare e di comprendere i diversi possibili comportamenti della corrente. Nella pratica, però, è spesso necessario tenere in dovuta considerazione gli effetti tridimensionali, soprattutto in prossimità degli imbocchi e degli sbocchi, gli effetti legati alla dinamica bifase (corrente liquida e flusso di aria soprastante) e alla instabilità, per i maggiori numeri di Froude, della superficie libera che può condurre a moti pulsanti (vedi paragrafo 7.4). Le soluzioni che si ottengono seguendo un approccio unidimensionale, pertanto, vanno considerate con la necessaria cautela.

7.3 Il caso di un tombino Il funzionamento di un tombino è per molti aspetti analogo a quello appena visto relativo ad un tratto di canale tombato. Le maggiori differenze sono sostanzialmente due. Da una parte c’è da considerare il fatto che i tratti di canale a monte e a valle di un tombino sono caratterizzati da una sezione generalmente diversa e, spesso, sensibilmente più grande di quella del tratto tombato. Inoltre un tombino è caratterizzato frequentemente da una lunghezza modesta, rispetto alle dimensioni trasversali della sezione, pertanto gli effetti di imbocco e di sbocco assumono un’importanza rilevante. Entrambe queste differenze introducono ulteriori

-124-

complicazioni ed effetti che male si prestano ad essere inquadrate correttamente dalla teoria unidimensionale. Sono disponibili in letteratura una notevole quantità di indagini sperimentali e di suggerimenti su come debbano essere svolte le verifiche idrauliche di un tombino. Si tratta, in genere, di approcci molto semplificati e grossolani che si basano su una qualche catalogazione delle possibili situazioni che possono verificarsi nella pratica. Generalmente si distingue tra il funzionamento controllato dall’imbocco e quello controllato dallo sbocco e, con riferimento alla prima situazione, si distingue tra tombino idraulicamente corto e idraulicamente lungo. Quest’ultima distinzione è legata a quanto visto nell’Esempio 11 e nell’Esempio 12. Nel primo di questi esempi si è visto, infatti, come cambia la configurazione al variare della lunghezza del tratto tombato. Nel secondo esempio si è visto che configurazioni analoghe possono ottenersi mantenendo costante la lunghezza e variando il grado di raccordo dell’imbocco. Con queste precisazioni, si definisce idraulicamente corto un tombino per il quale il moto avviene a superficie libera

7.4 Alcune precisazioni

OMISSIS

-125-

8 Aspetti numerici Prima di illustrare alcuni esempi, nei quali sono richieste valutazioni quantitative, mi sembra opportuno dare qualche suggerimento relativamente ad alcuni aspetti numerici. In particolare, si suggeriscono alcuni procedimenti iterativi per determinare l’altezza d’acqua y a partire dalla conoscenza di altre caratteristiche del moto quali, ad esempio, l’energia H o la spinta M. I metodi qui suggeriti, di tipo iterativo, non sono necessariamente quelli caratterizzati dalla maggiore velocità di convergenza, ma hanno il pregio di essere semplici e robusti. Si indicheranno nel seguito con yk il valore dell’altezza d’acqua alla k-esima iterazione e con yk+1 quello relativo all’iterazione successiva. Si farà inoltre uso della seguente espressione approssimata per l’area A(yk+1) dedotta mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine di approssimazione

))((B)(A)()(A)(A 111 kkkkkk

yy

kk yyyyyyyAyy

k

−+=−+≅ ++

=

+

∂∂ (98)

Per i procedimenti iterativi suggeriti è facile costruire semplici routines o impostare il calcolo su un qualsiasi foglio elettronico.

8.1.1 Valutazione dell’altezza di moto uniforme y0 note le caratteristiche della sezione e la portata Q.

Assegnate le caratteristiche geometriche e di scabrezza di un canale e la portata fluente Q, per calcolare l’altezza di moto uniforme y0 si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Esplicitata l’espressione (1) rispetto all’area A (contenuta anche nell’espressione del raggio idraulico), e utilizzando l’equazione (98) per A(y), si trova

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ )()(

)(1

05/2

0

5/3

00

10

kk

fsk

kk yAyCik

QyB

yy primo tentativo8/3

10 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fs ikQy ε

in cui y0k è il valore alla k-esima iterazione. Il parametro ε che compare

nell’espressione di y01 rappresenta, in prima approssimazione il rapporto y0/B(y0).

Normalmente si può porre ε=0.1. Nel caso di sezione rettangolare, la precedente relazione si semplifica nella seguente

5/20

5/3

10 )2(1 k

fs

k yBik

QB

y +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ primo tentativo

8/3

10 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fs ikQy ε

In alternativa, per una sezione rettangolare, si può più semplicemente utilizzare come primo tentativo il valore y0

1=0.

● Esempio. Un canale, di sezione rettangolare, largo B=10 m, è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.0025 e da un coefficiente di resistenza ks=50 m1/3/s. Sapendo che la portata fluente vale Q=10 m3/s determinare l’altezza di moto uniforme.

-126-

Utilizzando le precedenti relazioni e sostituendovi i valori numerici, si può scrivere: 4.0

01

0 )210(2297.0 kk yy +=+ primo tentativo: 7092.01 =y

in cui si è posto ε=0.1. Procedendo nelle iterazioni si trova:

6039.06039.06041.06084.0 50

40

30

20 ==== yyyy

La soluzione, quindi, è y0=0.6039 m.

In alternativa, assunto 0=10y , si ottiene la soluzione dopo lo stesso numero di iterazioni

6039.06039.06027.05770.0 50

40

30

20 ==== yyyy

8.1.2 Valutazione dell’altezza y note l’energia H e la portata Q.

Per una prefissata portata Q, ad ogni valore dell’energia specifica H corrispondono due soluzioni per l’altezza d’acqua y: una di corrente lenta e una di corrente rapida. Per individuare la soluzione di corrente lenta si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Esplicitata l’espressione (6) per H, rispetto al termine y che rappresenta l’energia di posizione, si trova:

2

21

)(2 kk

yAgQHy −=+ primo tentativo: Hy =1

Nel caso di sezione rettangolare, la precedente relazione si semplifica nella seguente:

2

21

)(2)/(

kk

ygBQHy −=+ primo tentativo: Hy =1

Per individuare la soluzione di corrente rapida si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Esplicitata l’espressione (6) per H, rispetto all’area A contenuta nel termine cinetico, e utilizzando l’espressione (98) per A(y), si trova

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+=+ )(

)(2)(11 k

kkkk yA

yHgQ

yByy primo tentativo: 2/1 Hy =

Nel caso di sezione rettangolare, la precedente relazione si semplifica nella seguente

)(2/1

k

k

yHgBQy−

=+ primo tentativo: 2/1 Hy =

In alternativa, per una sezione rettangolare, si può più semplicemente utilizzare come primo tentativo il valore y1=0.

● Esempio. In un canale, di sezione rettangolare, largo B=10 m, fluisce la portata Q=10 m3/s. Sapendo che l’energia specifica rispetto al fondo vale H=0.8 m, determinare l’altezza d’acqua nelle condizioni di corrente lenta e di corrente rapida. Utilizzando le precedenti relazioni per il caso di corrente lenta e sostituendovi i valori numerici, si può scrivere:

21 )(05097.08.0 kk yy −=+ primo tentativo: 8.01 =y

Procedendo nelle iterazioni si trova:

-127-

6942.0...6945.06949.06965.07018.07204.0 1065432 ====== yyyyyy La soluzione, quindi, è y=0.6942 m. Utilizzando le precedenti relazioni per il caso di corrente rapida e sostituendovi i valori numerici, si può scrivere:

kk yHy −=+ /22576.01 primo tentativo: 4.01 =y


3289.0...3294.03302.03326.03392.03570.0 1065432 ====== yyyyyy La soluzione, quindi, è y=0.3289 m.

In alternativa, assunto 01 =y , si ottiene la soluzione praticamente dopo lo stesso numero di iterazioni

3289.0...3280.03262.03209.03051.02524.0 965432 ====== yyyyyy

8.1.3 Valutazione dell’altezza critica yc nota la portata Q.

Per individuare l’altezza critica yc, per un’assegnata portata Q, si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Esplicitata l’espressione (10) rispetto all’area A e utilizzando l’espressione (98) per A(y), si trova

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ )()(

)(1

3/121 k

c

kc

kc

kc

kc yA

gyBQ

yByy primo tentativo: ( ) 5/1221 / gQyc ε=

Il parametro ε che compare nell’espressione di yc1 rappresenta, in prima

approssimazione, il rapporto: yc/B(yc). Normalmente si può porre ε=0.1. Nel caso di sezione rettangolare, l’altezza critica è fornita direttamente dalla seguente relazione

( ) 3/122 / BgQyc =

8.1.4 Valutazione dell’altezza y note la spinta M e la portata Q.

Per una prefissata portata Q, ad ogni valore della spinta M corrispondono due soluzioni per l’altezza d’acqua y: una di corrente lenta e una di corrente rapida, tra loro coniugate. Nota la spinta M, per individuare l’altezza di corrente lenta y si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Si considera lo sviluppo in serie del prodotto AzG

[ ]

[ ]221

2212

11

)()(2

)(A)(z)(A

)()()(z)(A)(z)(A

kkk

kk

Gk

kk

yy

GkG

kkG

k

yyyyyy

yyyzAyyyy

k

−+=

=−+≅

+

+

=

++

∂∂

Esplicitata l’espressione (8) per M, rispetto al prodotto AzG, si trova

[ ])(A

)()(2

)(A)(z)(A2

221k

kkk

kk

Gk

ygQMyy

yyyy −=−+ +

ovvero

-128-

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+=+ )(z()(A

)(A)(A2)(

221 k

Gk

kk

kkk yy

ygQM

yyyy primo tentativo: ( ) 3/11 2 My ε=

Il parametro ε che compare nell’espressione di y1 rappresenta, in prima approssimazione il rapporto y/B(y). Normalmente si può porre ε=0.1. Nel caso di sezione rettangolare, la precedente relazione si semplifica nella seguente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+

kk

ygQM

By

B2 2

1 primo tentativo: ( ) 3/11 2 My ε=

Viceversa, per individuare la soluzione di corrente rapida si suggerisce il seguente procedimento iterativo. Esplicitata l’espressione (8) per M, rispetto all’area A che compare nel secondo addendo, relativo alla spinta dinamica, ed utilizzando l’espressione (98) per A(y), si trova:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=+ )(A

)()(A)(1 2

1 kk

Gkk

kk yyzyMg

QyB

yy primo tentativo: gMQy /1 ε=

Il parametro ε che compare nell’espressione di y1 rappresenta, in prima approssimazione il rapporto y/B(y). Normalmente si può porre ε=0.1. Nel caso di sezione rettangolare, la precedente relazione si semplifica nella seguente

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+

2/)(1

2

21

kk

yBMQ

Bgy primo tentativo: gMQy /1 ε=

● Esempio. In un canale, di sezione rettangolare, largo B=10 m, fluisce la portata Q=10 m3/s. Sapendo che la spinta vale M=5.0 m3, determinare l’altezza d’acqua nelle condizioni di corrente lenta e di corrente rapida. Utilizzando le precedenti relazioni per il caso di corrente lenta e sostituendovi i valori numerici, si può scrivere:

kk yy /20387.011 −=+ primo tentativo: 0.11 =y


8760.08760.08763.08784.08923.0 65432 ===== yyyyy La soluzione, quindi, è y=0.8760 m. Per la soluzione di corrente rapida, utilizzando le precedenti relazioni si può scrivere:

))(1/(20387.0 21 kk yy −=+ primo tentativo: 4515.01 =y


2136.02137.02141.02182.02561.0 65432 ===== yyyyy La soluzione, quindi, è y=0.2136 m.

-129-

8.2 Integrazione numerica dei profili di moto gradualmente vario L’integrazione numerica delle equazioni (18) o (20) è ormai un problema di semplice soluzione. La rappresentazione formale, in termini finiti, dell’equazione del moto dipende dallo schema numerico adottato, dalle caratteristiche geometriche del tratto di corso d’acqua indagato (canale prismatico o irregolare) e dalla natura della corrente (rapida o lenta). In generale l’equazione (20), dedotta dalla (18) in ipotesi di canale prismatico, si presta meglio ad un’integrazione esplicita proprio nel caso di canali prismatici mentre l’equazione (18) è quella più frequentemente impiegata nel caso di alvei, naturali o artificiali, caratterizzati però da una non trascurabile variabilità della sezione nella direzione del moto.

8.2.1 Il caso di alvei prismatici.

Nel caso di alvei prismatici è agevole ricostruire i profili di moto permanente integrando, con un semplice metodo esplicito, l’equazione dell’energia (20) riscritta in forma discreta come segue

i

f

ii

ii

Fji

xxyy

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

−−

+

+2

1

1

1 (99)

in cui con i pedici i e i+1 sono indicate due sezioni consecutive la cui posizione è individuata dalle coordinate xi e xi+1 rispettivamente

Fig. 137

Nel caso di corrente lenta (Fig. 137A), l’integrazione procede da valle, pertanto la sezione i+1 è posizionata a monte della sezione i. Posto Δx=xi-xi+1>0, la (99) può essere esplicitata rispetto a yi+1

xF

jiyyi

fii Δ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−=+ 21 1

(100)

Il passo di integrazione Δx può essere dell’ordine di 1-10 volte il tirante d’acqua y, ma è opportuno che scenda a valori inferiori quando si è in prossimità delle condizioni critiche. Al contrario, nel caso di corrente rapida (Fig. 137B), l’integrazione procede da monte, pertanto la sezione i+1 è posizionata a valle della sezione i. Posto Δx=xi+1-xi>0, la (99), esplicitata rispetto a yi+1, si scrive

-130-

xF

jiyyi

fii Δ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−+=+ 21 1

(101)

E’ inoltre opportuno che il passo di integrazione Δx non sia superiore a 0.5-2 volte il tirante d’acqua y.

8.2.2 Il caso di alvei naturali.

Nel caso di alvei naturali, caratterizzai da una non trascurabile variabilità spaziale delle sezioni, la ricostruzione dei profili di moto permanente si basa sull’integrazione dell’equazione (18). Essendo, nella pratica, decisamente più frequente il caso di corrente lenta, conviene utilizzare come variabile di integrazione, la quota della superficie libera h in luogo dell’altezza y in quanto la prima è caratterizzata da una variabilità spaziale sensibilmente inferiore alla seconda quando la corrente è caratterizzata da bassi valori del numero di Froude. La forma discreta dell’equazione (18) è una relazione del tipo

),,(),(),(1

1

11 Qhhjxx

QhEQhEii

ii

iiii+

+

++ −=−− (102)

in cui j è un valore medio, tra le sezioni i e i+1, della dissipazione di energia per unità di lunghezza. Note le caratteristiche del moto per la sezione i, la precedente relazione consente di determinare quelle relative alla sezione i+1. Nel caso di corrente lenta (Fig. 137A), l’integrazione procede da valle, pertanto la sezione i+1 è posizionata a monte della sezione i. Posto Δx=xi-xi+1>0, la (102) può essere riscritta come segue

xjEE ii Δ+=+1 (103)

Stante la natura non lineare dell’equazione da risolvere, conviene seguire un procedimento iterativo a partire da una quota 1

1+ih di primo tentativo che può coincidere con la quota hi relativa alla sezione di valle.

Con riferimento alla generica iterazione, si calcola l’energia kiE 1' + dal bilancio (102)

xQhhjEE kiii

ki Δ+= ++ ),,(' 11

Si valuta quindi l’energia kiE 1" + a partire dalla sua definizione

21

2

11 )(2" k

i

ki

ki hAg

QhE+

++ +=

Si determina quindi il valore di migliore approssimazione 11+

+kih mediante la seguente

relazione

-131-

( )ki

ki

ki

ki EEhh 111

11 "' ++++

+ −+=

Ovviamente il procedimento iterativo si arresta quando la correzione ki

ki EE 11 "' ++ −

risulta sufficientemente piccola. Con questo procedimento di integrazione il passo di calcolo Δx può essere dell’ordine di 2-50 volte il tirante d’acqua y, ma è opportuno che scenda a valori inferiori quando si è in prossimità delle condizioni critiche. Nel caso di corrente rapida, per effetto della rapida variabilità dei tiranti y, il passo di integrazione Δx è opportuno che sia dell’ordine di 0.5y-5y. In questo caso, dovendo essere il passo di integrazione relativamente piccolo, è sufficiente utilizzare uno schema esplicito ed integrare l’equazione differenziale del moto come descritto nel paragrafo 8.2.1: Qualora, viceversa, si volesse integrare la corrente rapida, adottando uno schema implicito, analogo a quello impiegato nell’integrazione delle correnti lente, si suggerisce di adottare come variabile di integrazione il tirante y e di procedere come segue.

Con riferimento alla generica iterazione, si calcola l’energia kiE 1' + dal bilancio (102)

xQyyjEE kiii

ki Δ+= ++ ),,(' 11

Si valuta quindi l’energia kiE 1" + a partire dalla sua definizione

21

2

111 )(2" k

i

kii

ki yAg

QyyE+

+++ ++=

Si determina quindi il valore di migliore approssimazione 11+

+kiy mediante la seguente

relazione

2111

11 /)"'( i

ki

ki

ki

ki FEEyy +++

++ −−=

Per il primo tentativo, inoltre, si suggerisce di assumere ii yy =+1

1 .

Anche in questo caso, ovviamente, il procedimento iterativo si arresta quando la correzione k

iki EE 11 "' ++ − risulta sufficientemente piccola.

E’ comunque possibile, anche se sconsigliato, adottare anche per le correnti rapide la quota della superficie libera h anziché l’altezza y come variabile di integrazione.

-132-

9 ESERCIZI Esercizio 1. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta un salto di fondo come illustrato in figura. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando la portata fluente vale: Q=10 m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme y0 e H0, l’altezza critica yc e la corrispondente energia minima Hc. Risulta:

y0=1.119 m H0=1.160 m yc=0.467 m Hc=0.701 m Essendo y0>yc la pendenza è inferiore a quella critica e, infinitamente a monte e a valle, si realizzano condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si parte quindi da valle, con un’altezza pari a quella di moto uniforme (y1=y0), e si procede verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y0) posta immediatamente a valle del salto (vedi Figura 1A). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 si opera un bilancio di energia:

222333 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2323 EaHH Δ+−= (1)

Essendo H2=H0 e trascurando la perdita ΔE23 risulta H3=0.56 m<Hc. Non essendo l’energia sufficiente per superare il gradino, necessariamente si ha la formazione dell’altezza critica in corrispondenza della sezione 3 che diventa una sezione di controllo.

Figura 1

Si avrà pertanto y3=yc=0.467 m. Dal bilancio (1), essendo H3=Hc=0.701 m si trova H2=1.301 m. Nella sezione 2, inoltre, la corrente è rapida (per definizione di sezione di controllo) e, nota l’energia H2, si trova y2=0.217 m.

-133-

Lungo il tratto a monte della sezione 3, essendo if<ic, si svilupperà un profilo di chiamata M2. Per il tratto a valle della sezione 2 ci si aspetta (vedi Fig. 32 CASO A2, nel paragrafo 3.3.1) un profilo M3 di corrente rapida decelerata fino a raggiungere l’altezza coniugata a quella del moto uniforme di valle. Essendo F0=0.27, l’altezza coniugata a quella del moto uniforme di valle vale 0.144 m e risulta pertanto inferiore all’altezza y2. Ciò stà ad indicare che la corrente rapida a valle del salto, non è in grado di sostenere la corrente lenta di valle e il risalto, di fatto, si incolla contro il gradino come illustrato in Figura 1B (vedi anche Fig. 34 CASO A2-a, nel paragrafo 3.3.1). La rappresentazione del profilo ottenuto nel diagramma H-Y, è analogo a quello relativo al CASO A2-a, illustrato in Fig. 34, nel paragrafo 3.3.1.

-134-

Esercizio 2. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, sbocca in un serbatoio. Il breve tratto terminale del canale presenta un restringimento raccordato come illustrato in figura. Sapendo che la portata fluente vale: Q=10 m3/s si tracci l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando nel serbatoio la quota della superficie libera vale h=9.5 m.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme y0 e H0, l’altezza critica yc e l’altezza critica ycV, in corrispondenza della sezione di sbocco. Risulta:

y0=1.903 m H0=1.917 m yc=0.467 m ycV=0.657 m Essendo y0>yc, la pendenza del fondo è inferiore a quella critica; essendo inoltre Δ=h-hs=-0.5 m<ycV, in corrispondenza della sezione di sbocco si avrà y1=ycV (vedi paragrafo 3.6.1, CASO A2) e l’efflusso nel serbatoio non risulta influenzato dal livello nello stesso. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 1 a quelle della sezione 2 immediatamente a monte del restringimento, si opera un bilancio di energia:

112122 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2112 EHH Δ+= (1)

Essendo H1=HcV=0.985 m e trascurando la perdita ΔE21 risulta H2=0.985 m. A questo valore di energia corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y2=0.925 m. Quest’altezza è inferiore a quella di moto uniforme y0, pertanto, a partire dalla sezione 2, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y sono illustrati in Figura 2.

-135-

Figura 2

-136-

Esercizio 3. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’ Esercizio 2, ma col livello nel serbatoio pari a h=12.5 m.

Valutate preliminarmente le caratteristiche del moto uniforme y0 e H0, e le altezza critiche yc e ycV, quest’ultima in corrispondenza della sezione di sbocco (y0=1.903 m, H0=1.917 m, yc=0.467 m, ycV=0.657 m), si considera il dislivello Δ=h-hs che in questo caso vale Δ=2.5 m. Essendo Δ>ycV, il moto nel canale è influenzato dal livello nel serbatoio e, in particolare, dal bilancio tra la sezione di sbocco e il serbatoio stesso, nell’ipotesi che la dissipazione di energia localizzata ΔE1s coincida con l’altezza cinetica della corrente in arrivo, si trova (come si è visto nel paragrafo 3.6)

hEHh ss =Δ−+ 11 ⇒ 5.21 =Δ=y m; 523.21 =H m (1)

in cui y1 e H1 sono l’altezza d’acqua e l’energia in corrispondenza della sezione di sbocco. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 1 a quelle della sezione 2 immediatamente a monte del restringimento, si opera un bilancio di energia:

112122 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 2112 EHH Δ+= (2)

Trascurando la perdita ΔE21 risulta: H2=2.523 m. A questo valore di energia corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y2=2.515 m. Quest’altezza è superiore a quella di moto uniforme y0, pertanto, a partire dalla sezione 2, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y sono illustrati in Figura 3.

Figura 3

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Esercizio 4. E’ dato un canale di sezione rettangolare che presenta una variazione localizzata di larghezza come illustrato in figura. Sapendo che la pendenza del fondo è if=0.01 e che il coefficiente di resistenza secondo Strickler vale ks=80 m1/3/s, si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera quando la portata fluente vale: Q=10 m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche nei due tratti di monte e di valle. Con i dati del problema si trova

tratto di monte tratto di valle y0M=0.294 m y0V=0.411 m H0M=0.884 m H0V=1.250 m ycM=0.467 m ycV=0.657 m HcM=0.701 m HcV=0.985 m

Essendo, per entrambi i tratti, l’altezza di moto uniforme inferiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta superiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è rapida. Va precisato che, come evidenziato nel paragrafo 3.9.2, la trattazione unidimensionale male si presta ad interpretare la realtà fisica quando una corrente rapida è soggetta a variazioni planimetriche di sezione. La soluzione numerica che si ottiene applicando la teoria delle correnti unidimensionali va pertanto considerata con qualche cautela. Si parte da monte con y1=y0M e si prosegue verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, trascurando le dissipazioni di energia localizzate, si trova H3=H2=0.884 m. Tale energia è inferiore alla minima energia HcV che la corrente può possedere in corrispondenza della sezione 3. Pertanto, la sezione 3 è una sezione di controllo con y3=ycV=0.657 m. Verso valle la corrente si mantiene rapida e, essendo y3>y0V, segue un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, nota l’energia H3=HcV, si trova H2=0.985 m e quindi, scegliendo la soluzione di corrente lenta, y2=0.926 m. Si prosegue verso monte con un profilo di corrente lenta ritardata S1 finchè la spinta non uguaglia quella della corrente rapida di monte (sezione 6 di Figura 4). In corrispondenza della sezione 6, per quanto detto, si avrà un’altezza y6 pari all’altezza coniugata della

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corrente rapida di monte (y0M=0.294 m, F0M=2.0). Utilizzando l’equazione (28) si trova: y6=0.699 m cui corrisponde un’energia che vale H6=0.803 m. Possiamo quindi stimare anche la quantità di energia dissipata dal risalto essendo ΔErisalto=H5-H6=0.081 m. Il profilo liquido così ricostruito e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 4.

Figura 4

E’ anche possibile effettuare una stima abbastanza accurata della distanza tra le sezioni 6 e 2. Ammettendo che il tratto compreso tra queste sezioni sia relativamente breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2):

2223/42

2

66 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+

ovvero

6223/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 6: y=(y2+y6)/2=0.812 m. Con questo valore di y si trova: RH=0.699 m e A=8.12 m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova Δx=18.9 m. Un’integrazione più raffinata dell’equazione per il moto gradualmente vario porta a stimare la distanza tra le sezioni 6 e 2 in Δx=16.1 m.

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Esercizio 5. E’ dato un canale di sezione rettangolare largo B=10 m, nel quale è inserita una paratoia sollevata a battente come illustrato in figura. Sapendo che la pendenza del fondo è if=0.0002 e che il coefficiente di resistenza secondo Strickler vale ks=30 m1/3/s, si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera quando la portata fluente vale: Q=10 m3/s e l’apertura vale a=0.2 m. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova: y0=1.903 m, H0=1.959 m, yc=0.742 m. Essendo y0>yc, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con un’altezza y1=y0=1.903m e procedendo verso monte si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 poco a valle della paratoia (y2=y1=1.903m). Si ricorda che in corrispondenza della sezione 3, immediatamente a valle della paratoia, la distribuzione delle velocità non è uniforme a causa del getto sommerso (vedi paragrafo 3.11). Tra le sezioni 3 e 2 si attua quindi una brusca variazione delle caratteristiche del moto accompagnata da una dissipazione localizzata di energia. Tra queste due sezioni conviene applicare il teorema della quantità di moto e scrivere (vedi paragrafo 3.11)

2

222

223

)/(21)/(

21

ygBQy

cagBQy

c

+=+

Assunto cc=0.61, la precedente relazione fornisce y3=1.434 m. Essendo y3>a.cc=0.122 m, l’efflusso risulta essere effettivamente rigurgitato. (D’altra parte la spinta di valle vale M2=M0=20.25 m3 mentre la spinta in corrispondenza della sezione di vena contratta, per il caso di efflusso libero, vale Mmax=0.843 m3). L’energia relativa alla sezione 3 vale (vedi paragrafo 3.11)

=+=+= 2

2

323

2

33 )()/(

2)/(

ccagBQy

ygBQyH α 4.858 m

Incidentalmente si può osservare che tra le sezioni 3 e 2 si attua una dissipazione di energia localizzata che vale ΔE32=4.858-1.959≅2.9 m. Per determinare le condizioni nella sezione 4, a monte della paratoia, si scrive il seguente bilancio di energia: H4=H3=4.858 m. Nota l’energia H4, si trova y4=4.856 m (sul ramo delle correnti lente). Essendo y4>y0, procedendo verso monte si segue un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y sono illustrati in Figura 5.

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Figura 5

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Esercizio 6. E’ dato un canale, infinitamente lungo, il cui tratto di monte è caratterizzato da una sezione rettangolare larga B=10 m mentre la sezione del tratto di valle è trapezia con una larghezza alla base b=8 m e pendenza della sponde 1:2 (vedi figura). Sapendo che la pendenza del fondo è if=0.0005 e che il coefficiente di resistenza secondo Strickler vale ks=60 m1/3/s, si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera quando l’altezza di moto uniforme del tronco di valle vale: y0V=2.5 m. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Conoscendo l’altezza di moto uniforme del tronco di valle, utilizzando la formula di Gauckler-Strickler è possibile valutare la portata fluente che risulta: Q=62.0 m3/s. A questo punto conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tronchi di canale. Con i dati del problema si trova


Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica per entrambi i tratti, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del raccordo (y2=y1). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte del raccordo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ LiEHH f Δ−Δ+= 3223 (1)

in cui ΔL è la distanza tra le sezioni 2 e 3. Trascurando la differenza (ΔE32-if.ΔL) risulta: H3=H2=H0V=2.686 m, superiore, anche se di poco, al valore minimo di energia, HcM che caratterizza la corrente di monte.

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A questo valore di energia corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y3=2.32 m. Quest’altezza è inferiore a quella di moto uniforme y0M, pertanto, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2. Il profilo liquido è illustrato in Figura 6.

Figura 6

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Esercizio 7. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’ Esercizio 6, quando il canale sia caratterizzato da una pendenza del fondo pari a if=0.001. Conoscendo l’altezza di moto uniforme del tronco di valle, utilizzando la formula di Gauckler-Strickler è possibile valutare la portata fluente che vale Q=87.6 m3/s. A questo punto conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tronchi di canale. Con i dati del problema si trova:


Essendo, per entrambi i tratti, l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Si parte pertanto da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del raccordo (y2=y1). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 immediatamente a monte del raccordo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ LiEHH f Δ−Δ+= 3223 (1)

in cui ΔL è la distanza tra le sezioni 2 e 3. Trascurando la differenza (ΔE32-if.ΔL) risulta H3=H2=H0V=2.87 m. Questo valore di energia risulta inferiore all’energia minima del tronco di monte (H3<HcM) pertanto in corrispondenza della sezione 3 si stabilirà l’altezza critica y3=ycM=1.986 m e, procedendo verso monte, si seguirà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme. Utilizzando il bilancio di energia (1), nel quale è nota l’energia H3=HcM, si determina H2=2.979 m. Si trova quindi l’altezza y2 su ramo delle correnti rapide. Risulta y2=1.472m, cui corrisponde una spinta M2=59.35 m3. La spinta della corrente a moto uniforme di valle vale M0V=59.5 m3. Essendo, anche se di poco, M0V>M2, il risalto non potrà localizzarsi a valle della sezione 2 ma risalirà all’interno del raccordo. Il profilo liquido, pertanto, sarà quello schematicamente illustrato in figura 1.

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Figura 7

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Esercizio 8. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta una variazione localizzata di pendenza e di scabrezza come illustrato in figura. Si tracci il profilo di moto permanente quando la portata fluente è: Q=10 m3/s.

Conviene, preliminarmente, determinare le caratteristiche del moto uniforme, per i due tronchi di canale, di monte e di valle, e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova:

tratto di monte tratto di valle y0M=0.351 m y0V=1.119 m H0M=0.765 m H0V=1.160 m M0M=3.522 m3 M0V=7.171 m3

Inoltre, per entrambi i tratti, si ha yc=0.467 m e Hc=0.701 m. Per il tronco di monte, essendo l’altezza di moto uniforme inferiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta superiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è rapida. Viceversa, per il tronco di valle è y0V>yc; la pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Naturalmente, da qualche parte, si assisterà alla transizione rapida-lenta con la formazione del risalto. Dal confronto tra le spinte a moto uniforme, essendo M0V>M0M, evidentemente il risalto sarà ricacciato a monte della sezione in cui si verificano le variazioni di pendenza e di scabrezza. Conviene quindi partire da valle con y4=y0V=1.119 m. Si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3, posta immediatamente a valle del cambio di pendenza (y3=y4). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si deduce immediatamente l’altezza y2=y3=1.119 m. Si prosegue quindi verso monte seguendo un profilo S1 lungo il quale si riduce progressivamente la spinta fino al valore che caratterizza la corrente rapida, in moto uniforme, di monte (sezione 6 in Figura 8). Essendo l’altezza y5, a monte del risalto, coincidente con l’altezza di moto uniforme y0M, l’altezza y6 risulta essere la coniugata dell’altezza di moto uniforme di monte: y6=y5R=y0MR=0.607 m (vedi equazione (28)). All’altezza y6 corrisponde l’energia H6=0.745 m pertanto la dissipazione di energia localizzata determinata dal risalto vale ΔErisalto=H5-H6=0.02 m. L’andamento del profilo liquido ricostruito è illustrato in Figura 8. E’ anche possibile effettuare una stima di prima approssimazione della distanza tra le sezioni 6 e 2. Ammettendo che il tratto compreso tra queste sezioni sia relativamente

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breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2):

2223/42

2

66 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+

ovvero

6223/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 6: y=(y2+y6)/2=0.863 m. Con questo valore di y si trova RH=0.736 m e A=8.6 3m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova: Δx=44.0 m. Un’integrazione più raffinata dell’equazione per il moto gradualmente vario porta a stimare la distanza tra le sezioni 6 e 2 in Δx=45.4 m.

Figura 8

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Esercizio 9. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10m, presenta una variazione localizzata di pendenza in corrispondenza di un salto di fondo come illustrato in figura. Si tracci il profilo di moto permanente quando la portata fluente è: Q=10m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.


tratto di monte tratto di valle y0M=0.392 m y0V=1.006 m H0M=0.723 m H0V=1.057 m

Inoltre, per entrambi i tratti, si ha yc=0.467 m e Hc=0.701 m. Per il tronco di monte, essendo l’altezza di moto uniforme inferiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta superiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è rapida. Viceversa, per il tronco di valle è y0V>yc. La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Naturalmente, da qualche parte, si assisterà alla transizione rapida-lenta con la formazione del risalto. Partendo da valle, con y4=y0V=1.006 m, si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3 (y3=y4=1.006 m). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3:

332322 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 2332 (1)

essendo a=0.5 m e trascurando la dissipazione localizzata ΔE23, si trova: H2=0.557 m, che risulta inferiore all’energia minima Hc. Pertanto, la corrente di valle non è in grado di superare il salto di fondo e in corrispondenza della sezione 2 si stabilirà l’altezza critica y2=yc=0.467 m. E’ da osservare, a questo punto, che per il tratto di monte non esistono profili su fondo con pendenza superiore a critica che possano raccordarsi con l’altezza critica nella sezione 2. Pertanto l’ipotesi che nella sezione 2 si stabiliscano le condizioni critiche non è accettabile. Partendo invece da monte con y1=y0M=0.392 m, si prosegue verso valle mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.392 m). Dal bilancio (1) nel quale è nota l’energia H2=H0M=0.723 m, si trova H3=1.223 m. A questo valore di energia corrisponde un’altezza y3, sul ramo delle correnti rapide, che vale y3=0.226 m.

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Procedendo dalla sezione 3 verso valle, la corrente tende progressivamente a ridurre la sua spinta seguendo un profilo M3. Per valutare qualitativamente dove si forma il risalto, conviene innanzitutto confrontare la spinta di valle con quella massima della corrente rapida di monte che si determina in corrispondenza della sezione 3. Essendo M0V=6.077 m3>M3=4.186 m3, il risalto viene ricacciato contro il salto di fondo. In alternativa, si poteva usare l’equazione (28) per determinare l’altezza coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme, trovando y0VR=0.172 m. Essendo y0VR<y3 si può concludere che la corrente lenta di valle sospinge il risalto contro il salto di fondo. L’andamento del profilo liquido, pertanto, è quello illustrato in Figura 9.

Figura 9

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Esercizio 10. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta un salto di fondo seguito, a breve distanza, da un’immissione localizzata di portata come illustrato in figura. La portata immessa vale: ΔQ=5 m3/s. Si tracci il profilo di moto permanente quando la portata fluente nel tronco di monte è: QM=10 m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.


tratto di monte tratto di valle QM=10 m3/s QV=15 m3/s y0M=1.980 m y0V=2.615 m H0M=1.993 m H0V=2.632 m M0M=20.12 m3 M0V=35.07 m3

ycM=0.467 m ycV=0.612 m HcM=0.701 m HcV=0.918 m

Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Si parte pertanto da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle dell’immissione localizzata (y2=y1=2.615 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte dell’immissione, si opera il bilancio di forze M2=M3. essndo M2=M0V, si trova M3=35.07 m3. A questo valore della spinta, essendo Q3=QM=10 m3/s, corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=2.634 m. Per passare poi dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a monte del salto di fondo, si opera un bilancio di energia

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 4334 (1)

Essendo a=0.5 m, H3=2.641 m e trascurando la dissipazione localizzata ΔE43, si trova H4=2.141 m, che risulta superiore all’energia minima HcM. Nota H4 si determina quindi l’altezza y4 sul ramo delle correnti lente, y4=2.130 m.

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Essendo y4>Y0M, procedendo verso monte si seguirà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido, pertanto, è quello schematicamente illustrato in Figura 10. Nella stessa figura è illustrata anche la soluzione con riferimento al diagramma H-y. Si osservi, a questo proposito, che per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si è fatto uso (correttamente) del teorema della quantità di moto (conservazione delle spinte). Possiamo valutare, con riferimento all’energia, l’entità della dissipazione localizzata prodotta dall’immissione. Essendo H3=2.641 m e H2=H0V=2.632 m, la dissipazione localizzata vale ΔE32=0.009 m.

Figura 10

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Esercizio 11. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta un’immissione localizzata di portata seguita, a breve distanza, da un salto di fondo come illustrato in figura. La portata immessa vale: ΔQ=5 m3/s. Si tracci il profilo di moto permanente quando la portata fluente nel tronco di monte è QM=10 m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Conviene, preliminarmente, determinare le caratteristiche del moto uniforme, per i due tronchi di canale, di monte e di valle, e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova

tratto di monte tratto di valle QM=10 m3/s QV=15 m3/s y0M=1.980 m y0V=2.615 m H0M=1.993 m H0V=2.632 m M0M=20.12 m3 M0V=35.07 m3

ycM=0.467 m ycV=0.612 m HcM=0.701 m HcV=0.918 m

Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Si parte da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del salto di fondo (y2=y1=2.615 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte del salto di fondo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3223 (1)

essendo a=0.5 m, H2=2.632 m e trascurando la dissipazione localizzata ΔE32, si trova H3=2.132 m, che risulta superiore all’energia minima HcV. Nota H3 si determina l’altezza y3 sul ramo delle correnti lente y3=2.106 m. A questa altezza d’acqua corrisponde la spinta M3=23.265 m3. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4, immediatamente a monte dell’immissione localizzata, si opera un bilancio di forze, M3=M4. da cui si trova M4 =23.265 m3. A questo valore della spinta, essendo Q4=QM=10 m3/s, corrisponde l’altezza y4=2.135 m, sul ramo delle correnti lente.

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Essendo y4>y0M, procedendo verso monte la corrente seguirà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido e il relativo diagramma H-y, pertanto, sono quelli schematicamente illustrati in Figura 11. Si osservi che per passare dalla sezione 3 alla sezione 4 si è fatto uso (correttamente) del teorema della quantità di moto (conservazione delle spinte). Possiamo valutare, con riferimento all’energia, l’entità della dissipazione localizzata prodotta dall’immissione. Essendo H4=2.146 m e H3=2.132 m, la dissipazione localizzata vale ΔE43=0.014 m.

Figura 11

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Esercizio 12. Un canale infinitamente lungo, di sezione trapezia, con una larghezza alla base b=50 m e pendenza delle sponde 1:3, è attraversato da una condotta temporanea, poggiante sul fondo, di diametro d=1.0 m. Utilizzando i dati riportati in figura, si chiede di tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando la portata fluente vale: Q=60 m3/s. Con riferimento alla resistenza offerta dalla condotta si assuma un coefficiente di resistenza pari a CR=0.6.

Conviene, preliminarmente, determinare le caratteristiche del moto uniforme. Con i dati del problema si trova: y0=1.892 m, H0=1.909 m. Essendo inoltre F0=0.139, la corrente, in condizioni di moto uniforme, è lenta e la pendenza del fondo risulta pertanto inferiore a quella critica. Si parte da valle con y1=y0 e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle dell’ostacolo rappresentato dalla condotta (y2=y1=1.892 m). A questo punto conviene considerare il bilancio delle forze tra le sezioni 4 e 2 poste a cavallo della condotta:

2424 MFM =Δ− ⇒ 4224 FMM Δ+= (1)

in cui la spinta M4=M0 vale 99.75 m3 mentre la resistenza ΔF42, offerta dalla condotta sommersa, può essere espressa mediante la seguente relazione

gvCF R 2

2

42 Ω=Δ con dyb )102( +≅Ω (2)

in cui CR è il coefficiente di resistenza (il testo suggerisce di assumere CR=0.6), Ω è l’area di ingombro della condotta (proiezione della superficie della condotta su un piano verticale) mentre la velocità v e l’altezza d’acqua y sono quelli relativi alla sezione 4. Per la soluzione del sistema composto dalle equazioni (1) e (2) conviene procedere iterativamente. Si assume di primo tentativo y4=y2. Mediante le relazioni (2) si determina la forza ΔF42 quindi, utilizzando l’equazione (1) si calcola la spinta M4 e, sul ramo delle correnti lente, la corrispondente altezza y4. Quest’ultimo valore è assunto per l’iterazione successiva.

iterazione y4 v4 Ω ΔF42 M4 y4

(m) (m/s) (m2) (m3) (m3) (m) 1 1.892 0.5696 61.966 0.614 100.364 1.898 2 1.898 0.5676 62.004 0.611 100.361 1.898

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In questo caso il processo iterativo converge immediatamente in quanto la spinta ΔF42 risulta essere piccola rispetto alle spinte M2 e M4. Si trova, in particolare, y4=1.898 m a cui corrisponde l’energia H4=1.914 m. Essendo H2=H0=1.909 m, nel superare la condotta la corrente dissipa localmente l’energia ΔE42=H4-H2=0.005 m. Tale dissipazione, causata essenzialmente dalla brusca espansione della vena a valle della condotta, si concentra in pratica tra le sezioni 3 e 2 (ovvero ΔE43≈0, ΔE32≈0.005). A questo punto è comunque necessario controllare se la corrente è effettivamente in grado di superare l’ostacolo senza transizione. A tale scopo si considera il seguente bilancio di energia:

3222334344 EHzHzEHz Δ++=+=Δ−+ ⇒ dEHdHH −Δ+=−= 32243 (3)

essendo d=1.0m, si trova: H3=0.914 m. Tale valore deve essere confrontato con l’energia minima Hc3 relativo alla sezione 3. Per determinare le caratteristiche del moto in corrispondenza della sezione 3, è necessario fare riferimento ad una sezione trapezia modificata come illustrato schematicamente in Figura 12.

Figura 12

Per questa sezione, l’energia critica vale: Hc3=0.594 m. Risulta, pertanto, H3>Hc3 e la corrente supera la condotta senza transizione. Nota l’energia H3 si determina poi l’altezza y3 sul ramo delle correnti lente: y3=0.811 m. Infine, procedendo dalla sezione 4 verso monte, la corrente seguirà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido, pertanto, sarà quello schematicamente illustrato in Figura 13.

Figura 13

-155-

Esercizio 13. In un canale infinitamente lungo, di sezione trapezia, con una larghezza alla base B=10 m e pendenza delle sponde 1:3, è inserito un restringimento localizzato come illustrato in figura. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando la larghezza utile in corrispondenza del restringimento vale b=8 m e la portata fluente vale: Q=15 m3/s.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per il tratto di canale a sezione trapezia nonché le condizioni critiche relative alla sezione ristretta. Con i dati del problema si trova y0=1.346 m H0=1.378 m yc=0.576 m Hc=0.827 m ycb=0.710 m Hcb=1.065 m

La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0 e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del restringimento (y2=y1=1.346 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, in corrispondenza del restringimento, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (1)

in cui H2=H0=1.378 m mentre la dissipazione localizzata ΔE32 può essere valutata assumendo una perdita di tipo Borda (brusco allargamento):

gv

AAE

2)1(

222

3

232 −≅Δ (2)

in cui A2=18.9 m2 e A3 sono le aree delle sezioni 2 e 3 rispettivamente e v2=0.7935 m/s è la velocità in corrispondenza della sezione 2. E’ da osservare che, anche nell’ipotesi di assumere trascurabile la dissipazione di energia ΔE32, risulta sempre H3>Hcb. Pertanto, il sistema composto dalle equazioni (1) e (2) ammette soluzione.

-156-

Pur potendo sostituire l’espressione (2) nell’equazione (1) ottenendo in tal modo un’unica equazione nella sola incognita y3, per maggior chiarezza è forse preferibile impiegare il seguente processo iterativo. Si assume un valore per y3 di primo tentativo. Mediante l’equazione (2) si calcola la dissipazione ΔE32 e quindi l’energia H3 dal bilancio (1). Nota H3 si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y3 di migliore approssimazione. Assunto, come primo tentativo, y3=y2=1.346 m, si trova

iterazione y3 ΔE32 H3 y3 (m) (m) (m) (m) 1 1.346 0.018 1.396 1.288 2 1.288 0.022 1.400 1.293 3 1.293 0.022 1.400 1.293

Si ha, pertanto, y3=1.293 m e H3=1.400 m (ovviamente superiore all’energia minima Hcb). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 3 a quelle della sezione 4 immediatamente a monte del restringimento, si opera ancora un bilancio di energia:

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 4334 EHH Δ+= (3)

Trascurando la dissipazione localizzata, risulta: H4=1.400 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y4=1.369 m. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono schematicamente illustrati in Figura 14.

Figura 14

-157-

Esercizio 14. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’Esercizio 13, quando il restringimento è caratterizzato dalla larghezza b=3.8m. Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per il tratto di canale a sezione trapezia nonché le condizioni critiche relative alla sezione ristretta. Con i dati del problema si trova: y0=1.346 m H0=1.378 m yc=0.576 m Hc=0.827 m ycb=1.168 m Hcb=1.750 m La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0 e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del restringimento (y2=y0=1.346 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, in corrispondenza del restringimento, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 3223 EHH Δ+= (1)

La dissipazione localizzata ΔE32 può essere valutata assumendo una perdita di tipo Borda (brusco allargamento):

gv

AAE

2)1(

222

3

232 −≅Δ (2)

in cui A2=18.9 m2 e A3 sono le aree delle sezioni 2 e 3 rispettivamente e v2=0.7935 m/s è la velocità in corrispondenza della sezione 2. Pur potendo sostituire l’espressione (2) nell’equazione (1) ottenendo in tal modo un’unica equazione nella sola incognita y3 (che, essendo H2<Hcb, potrebbe non avere soluzione se la dissipazione di energia non è sufficientemente elevata), per maggior chiarezza è forse preferibile impiegare il procedimento iterativo illustrato nella soluzione dell’Esercizio 13. Prima di affrontare il calcolo, però, è conveniente verificare se il sistema composto dalle equazioni (1) e (2) ammette soluzione. A tale scopo si consideri la minima altezza di corrente lenta che può stabilirsi in corrispondenza della sezione 3. Essa vale ycb=1.168m a cui corrisponde un’area di 4.86 m2. La massima dissipazione localizzata vale pertanto ΔE32MAX=0.341 m. Di conseguenza la massima energia in corrispondenza della sezione 3, calcolata mediante il bilancio (1), vale H3MAX=H2+ΔE32MAX=1.719 m. Tale valore risulta inferiore a Hcb, e il restringimento è pertanto superato in condizioni critiche. In corrispondenza della sezione 3 si avrà quindi y3=ycb=1.168 m e H3=Hcb=1.750 m. Procedendo dalla sezione 3 verso monte, si determina innanzitutto il livello nella sezione 4, posta immediatamente a monte del restringimento, mediante il seguente bilancio di energia:

334344 HzEHz +=Δ−+ ⇒ 4334 EHH Δ+= (3)

-158-

Trascurando la dissipazione localizzata, risulta H4=1.750 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y4=1.733 m. Essendo y4>y0, a monte della sezione 4 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Procedendo verso valle, si utilizza il bilancio (1) tra le sezioni 3 e 2. In questo caso, a valle della sezione 3 la corrente è rapida; si avranno certamente delle dissipazioni di energia localizzate ma queste saranno relativamente modeste e comunque non valutabili mediante l’espressione (2) in quanto vengono a cadere alcune delle ipotesi (come, ad esempio, quella relativa alla distribuzione delle pressioni, immediatamente a valle del restringimento) che stanno alla base della derivazione teorica. Assumendo, per semplicità, ΔE32≅0, risulta H2=H3=1.750 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, l’altezza y2=0.257 m. In corrispondenza della sezione 2 la spinta vale M2=8.623 m3 mentre la spinta della corrente lenta di valle, in moto uniforme, vale M0=M1=12.719 m3. Essendo M1>M2, il risalto viene ricacciato, dalla corrente lenta di valle, a ridosso del restringimento, determinando, in corrispondenza dello stesso, una sezione di controllo ed una di sconnessione idraulica di fatto coincidenti (vedi paragrafo 2.3.3) Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel il diagramma H-y, sono schematicamente illustrati in Figura 15.

Figura 15

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Esercizio 15. Un canale, di sezione rettangolare, largo B=10 m e caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.001, termina, dopo un piccolo salto seguito da un breve tratto a fondo orizzontale, con uno sfioratore in parete sottile come illustrato in figura. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando la portata fluente vale: Q=10 m3/s. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per il tratto di canale a monte del salto. Con i dati del problema si trova y0=1.013 m, yc=0.467 m. La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica. Dovendo essere l’altezza d’acqua in prossimità della soglia sfiorante maggiore del petto p=2.5 m, la corrente, in tutto il tratto a valle del gradino, sarà certamente lenta. Determiniamo quindi il livello in corrispondenza della sezione 1 posta immediatamente a monte dello sfioratore. Dovendo essere:

2/31 )(2 pHgBCQ Q −= (1)

e assumendo CQ=0.41, si trova H1=2.172 m. Nota l’energia H1, si determina l’altezza y1 sul ramo delle correnti lente. Risulta y1=2.161 m. Procedendo verso monte, si segue un profilo H2 (simile al profilo M2) di corrente lenta su fondo orizzontale. Si tratta quindi di integrare l’equazione (18), scritta in forma discreta come segue (vedi paragrafo 8.2.2):

1123/42

2

22 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+ (2)

ovvero

xARk

QHHHs

Δ⋅+= 23/42

2

12 (3)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 1 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 1. D’altra parte la lunghezza Δx è modesta e la velocità in corrispondenza della sezione 1 è relativamente piccola (v1=0.46 m/s). La dissipazione totale di energia e quindi le variazioni di altezza d’acqua nel tratto compreso tra le sezioni 2 e 1 dovrebbero, pertanto, essere modeste e tali da poter porre, con buona approssimazione y=(y2+y1)/2≅y1=2.161 m. Con questo valore di y si trova RH=1.509 m e A=21.61 m2.

-160-

Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova H2=H1+0.002=2.174 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y2=2.163 m (che risulta appena superiore a y1 confermando così l’approssimazione utilizzata nel calcolo). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 immediatamente a monte del salto, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3233 (4)

Trascurando la dissipazione localizzata ed essendo a=0.5 m, risulta H3=1.674 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=1.655 m. Essendo y3>y0, a monte della sezione 3 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme. Il profilo liquido, pertanto, sarà quello schematicamente illustrato in Figura 16.

Figura 16

-161-

Esercizio 16. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’ Esercizio 15 quando il petto dello sfioratore vale p=0.6 m. Nella nuova situazione, dovendo essere

2/31 )(2 pHgBCQ Q −= (1)

e assumendo CQ=0.41, si trova H1=1.272 m. Nota l’energia H1, si determina l’altezza y1 sul ramo delle correnti lente. Risulta y1=1.239 m. Procedendo verso monte, si segue un profilo H2 (simile al profilo M2) di corrente lenta su fondo orizzontale. Si tratta quindi di integrare l’equazione (18), scritta in forma discreta come segue (vedi Esercizio 15):

xARk

QHHHs

Δ⋅+= 23/42

2

12 (2)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 1. Se, come fatto in precedenza (Esercizio 15), si assume y=(y2+y1)/2≅y1=1.239 m, si trova RH=0.993 m e A=12.39 m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova H2=H1+0.011=1.283 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y2=1.250 m. Le altezze y1 e y2 risultano tra loro differenti e, per ottenere una migliore stima delle caratteristiche del moto nella sezione 2 conviene ripetere il calcolo precedente assumendo y=(y2+y1)/2≅(1.250+1.239)/2=1.2445 m. In questo modo si trova RH=0.996 m, A=12.445 m2 e quindi H2=H1+0.011=1.283 m. Ovvero, almeno fino alla terza cifra decimale, si ottiene lo stesso risultato precedente. Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 immediatamente a monte del salto, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3233 (3)

Trascurando la dissipazione localizzata ed essendo a=0.5 m, risulta H3=0.783 m. A tale valore di energia, che è superiore all’energia minima (Hc=0.701 m) corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=0.669 m. Essendo y3<y0, a monte della sezione 3 si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme. Il profilo liquido, pertanto, sarà quello schematicamente illustrato in Figura 17.

Figura 17

-162-

Esercizio 17. Un canale, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta una sottrazione localizzata di portata mediante una griglia di fondo con luci circolari (CQ≅0.63). Complessivamente, l’area di efflusso vale Af=1.5 m2. Sapendo che la portata di valle vale QV=10 m3/s e utilizzando le indicazioni riportate in figura, si tracci l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche per il tronco di valle. Si trova:

y0V=0.93 m H0V=0.99 m ycV=0.467 m Essendo y0V>ycV, nel tratto di valle, la pendenza del fondo è inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Si parte quindi da valle con un’altezza y1=y0V=0.93 m e si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle della griglia (y2=y0V=0.93 m). Per valutare le caratteristiche del moto in corrispondenza della sezione 3, a monte della griglia, è innanzitutto necessario stabilire la portata sottratta e quindi quella di monte. La portata sottratta ΔQ può essere determinata utilizzando la relazione:

ygACQ fQ 2=Δ (1)

in cui CQ è il coefficiente di portata (CQ≅0.63), Af è l’area netta di efflusso e y è un’altezza d’acqua compresa tra y2 e y3. Assumendo, in prima approssimazione y=y2, si trova ΔQ=4.037 m3/s e la portata nel tronco di monte vale pertanto QM=14.037 m3/s. A questo punto, per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 immediatamente a monte della griglia, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3233 (2)

Essendo H2=H0V=0.99 m e trascurando la perdita ΔE32 risulta H3=0.99 m. A questo valore di energia corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y3=0.851 m. Quest’altezza è inferiore a quella del moto uniforme di monte che vale y0M=1.157m, pertanto, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2. Il profilo liquido e la sua rappresentazione sul diagramma H-y sono illustrati in Figura 18. Volendo affinare la stima della portata sottratta, conviene assumere y=(y2+y3)/2. In questo caso le equazioni (1) e (2) vanno risolte contemporaneamente. Per la non linearità di queste relazioni conviene procedere iterativamente come segue. Si assume in prima approssimazione y3=y2 (per cui risulta y=y2=0.93 m) e, tramite l’equazione (1) si calcola la portata sottratta. Si valuta poi l’energia nella

-163-

sezione 3 mediante l’equazione (2) e quindi la corrispondente altezza y3 che, nel caso in esame, vale y3=0.851 m. A questo punto si dispone di una stima di migliore approssimazione per y3 con cui valutare l’altezza y che risulta valere y=(0.93+0.851)/2=0.89 m. Utilizzando l’equazione (1) si trova ΔQ=3.949 m3/s. Nota l’energia nella sezione 3, H3=0.99 m, e la portata di monte che vale QM=13.949 m3/s, si trova y3=0.854 m. Procedendo nelle iterazioni si trova ΔQ=3.953 m3/s, QM=13.953 m3/s, y3=0.854 m e y0M=1.152 m. La soluzione così trovata risulta poco diversa da quella determinata in prima approssimazione.

Figura 18

-164-

Esercizio 18. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’ Esercizio 17, quando l’area netta di efflusso vale Af=4.5 m2.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche per il tronco di valle. Si trova

y0V=0.93 m H0V=0.99 m ycV=0.467 m Essendo y0V>ycV, nel tratto di valle, la pendenza del fondo è inferiore a quella critica e la corrente a moto uniforme è lenta. Si parte quindi da valle con un’altezza y1=y0V=0.93 m e si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle della griglia (y2=y0V=0.93 m). Per valutare le caratteristiche del moto in corrispondenza della sezione 3, a monte della griglia, è innanzitutto necessario stabilire la portata sottratta e quindi quella di monte. La portata sottratta ΔQ può essere determinata utilizzando la relazione:

ygACQ fQ 2=Δ (1)

in cui CQ è il coefficiente di portata (CQ≅0.63), Af è l’area netta di efflusso e y è un’altezza d’acqua compresa tra y2 e y3. Assumendo, in prima approssimazione y=y2, si trova ΔQ=12.11 m3/s e la portata nel tronco di monte vale pertanto QM=22.11 m3/s a cui corrispondono un’altezza critica ycM=0.793 m e un’energia minima HcM=1.189 m. A questo punto, per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3 immediatamente a monte della griglia, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3233 (2)

Essendo H2=H0V=0.99 m e trascurando la perdita ΔE32 risulta H3=0.99 m. Essendo H3<HcM, in corrispondenza della sezione 3 (sezione di controllo) si avrà l’altezza critica ycM. Il problema, a questo punto, si complica non poco per il fatto che, in queste condizioni, l’altezza y sulla griglia risulta sensibilmente inferiore a quella assunta in prima approssimazione. Di conseguenza cambiano anche la portata sottratta ΔQ, la portata di monte QM e l’altezza critica di monte ycM. Si suggerisce di procedere come segue. Stabilito che nella sezione 3 si instaurano le condizioni critiche, si assume che nella sezione 2 la corrente sia ancora rapida e perciò non influenzata da valle. Si assume inoltre, nel calcolo della portata sottratta, che sia y≅y3. In base a queste ipotesi, dovendo essere:

3 23 /)/( gBQy M= e QQQ VM Δ+= (3)

l’equazione (1) diventa:

VMfQM QgBQgACQ =− 3 2 /)/(2 =10 m3/s (4)

-165-

La soluzione della precedente equazione fornisce QM=20.989 m3/s mentre dall’equazione (3) si trova y3=ycM=0.766 m. L’energia H3 vale pertanto H3=HcM=1.149 m ed essendo H2=H3 (vedi equazione (2)), si determina l’altezza y2 sul ramo delle correnti rapide trovando y2=0.236 m. A questa altezza corrisponde una spinta M2=4.593 m3 che risulta inferiore alla spinta della corrente di valle essendo M0V=5.419 m3. Le ipotesi assunte, pertanto, non sono verificate e, in particolare, si avrà una transizione da corrente rapida a corrente lenta, con la formazione del risalto, proprio in corrispondenza della griglia. Dal punto di vista qualitativo il profilo è quello illustrato in Fig. 94. Va detto che in queste condizioni la trattazione unidimensionale male si presta ad interpretare la realtà fisica essendo importanti gli effetti legati alla pendenza e alla curvatura della superficie libera, il tipo e la lunghezza del risalto. Inoltre lo stesso coefficiente di portata, soprattutto quando la corrente è rapida, è fortemente influenzato dal numero di Froude. In ogni caso, in una situazione così complessa è più efficace risolvere il problema attraverso l’integrazione numerica dell’equazione dell’energia nel caso di sottrazione di portata discussa nel paragrafo 5.3. Volendo comunque, a scopo di esercizio, risolvere il problema secondo la trattazione unidimensionale e volendo fare riferimento all’ipotesi semplificaiva di sottrazione localizzata, si può procedere come segue. Si introducono le sezioni 5 e 6, comprese entrambe tra le sezioni 3 e 2 e poste immediatamente a monte e a valle del risalto, rispettivamente. Si assume che l’area netta di efflusso compresa tra le sezioni 3 e 5 sia ε.Af e che quella compresa tra le sezioni 6 e 2 sia (1-ε)Af. Per il tratto di monte, tra le sezioni 3 e 5, essendo la corrente rapida, nella legge di efflusso si può porre y=y3 mentre per il tratto di valle, caratterizzato da una corrente lenta, si può assumere y=y2. Si indica infine con QR la portata fluente in corrispondenza delle sezioni 5 e 6. Fissato un valore per ε di primo tentativo, ad esempio ε=0.5, si procede da valle calcolando la portata ΔQV sfiorata nel tratto compreso tra le sezioni 6 e 2:

22)1( ygACQ fQ ε−=Δ =6.055 m3/s (5)

Utilizzando il bilancio di energia H6=H2=0.99 m e l’equazione di continuità, si determinano le caratteristiche del moto nella sezione 6, ovvero Q6=QR=16.055 m3/s, y6=0.7663 m e M6=6.365 m3. Procedendo invece da monte, poste le condizioni critiche in corrispondenza della sezione 3, l’equivalente dell’equazione (4) si scrive:

RMfQM QgBQgACQ =− 3 2 /)/(2ε (6)

La quale fornisce QM=21.602 m3/s. Si calcola quindi y3=ycM=0.7806 m e H3=HcM=H5=1.171 m. Nota l’energia nella sezione 5 e la portata fluente (QR) si calcola l’altezza y5=0.4175 m sul ramo delle correnti rapide e la corrispondente spinta M5=7.165 m3. Essendo M5>M6 il risalto si localizzerà un po’ più a valle. Si assume quindi per ε un valore compreso tra 0.5 e 1.

-166-

Posto ε=0.75 e ripetute le precedenti stime, si trova: M5=5.904 m3 e M6=5.823 m3. Essendo M5>M6 il risalto si localizzerà ancora un po’ più a valle, per un valore del parametro ε superiore quindi a ε=0.75. Un risultato accettabile lo si ottiene per ε=0.77 a cui corrispondono le seguenti caratteristiche del moto: QSV=2.785m3/s QR=12.785m3/s y6=0.883m M6=5.79m3 QM=21.286m3/s y3=yc=0.773m y5=0.314m M5=5.80m3 Inoltre l’altezza di moto uniforme di monte, per la portata di 21.286 m3/s, vale y0M=1.52 m. Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 19.

Figura 19

-167-

Esercizio 19. E’ dato un canale di sezione rettangolare largo B=10 m, nel quale è inserita una paratoia sollevata a battente come illustrato in figura. La pendenza del fondo è if=0.01, il coefficiente di resistenza secondo Strickler vale ks=70 m1/3/s e la portata fluente vale: Q=10 m3/s. La paratoia viene manovrata e l’andamento nel tempo dell’apertura a è illustrato nel grafico di figura. Si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera agli istanti t=0, t1, t2, t3 e t4. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova

y0=0.319 m H0=0.82 m yc=0.467 m Hc=0.70 m Essendo y0<yc, la pendenza del fondo risulta superiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è rapida. Determiniamo inoltre le caratteristiche del moto all’istante iniziale. Verifichiamo innanzitutto se le condizioni sono tali da consentire l’efflusso libero al di sotto della paratoia piana. In condizioni di efflusso libero l’altezza in corrispondenza della sezione di vena contratta (sezione 3) vale y3=a.cc=0.366 m a cui corrisponde un energia H3=0.746 m. Questa energia, che coincide con quella immediatamente a monte della paratoia (H2=H3=0.746 m) deve essere confrontata sia con H0 che con H0-ΔErisalto (vedi paragrafo 4.1). Per la valutazione del termine ΔErisalto, si può utilizzare l’equazione (29) per la dissipazione prodotta dal risalto oppure, in alternativa, valutare le caratteristiche del moto a valle dell’eventuale risalto. Volendo seguire questa seconda altenativa si calcola l’altezza a valle dell’eventuale risalto y0R, coniugata dell’altezza y0. Mediante l’equazione (28) si trova y0R=0.655 m. Si calcola quindi l’energia H0R=0.774 m che compete a questa altezza. Si osserva quindi che l’energia H0R coincide con l’energia H0-ΔErisalto. Risulta H2<H0 e quindi è possibile che la corrente rapida non interagisca con la paratoia. Si ha inoltre H2<H0-ΔErisalto=0.774 m ed è quindi certo che la corrente rapida in moto uniforme transiti indisturbata sotto la paratoia. All’istante iniziale, quindi, la corrente si mantiene in moto uniforme lungo tutto il canale senza interagire con la paratoia (Figura 20A). All’istante t=t1, la paratoia presenta una luce a=0.4m. Essendo ancora a>y0, nessuna interazione tra la corrente e la paratoia ha luogo (Figura 20B). All’istante t=t2, la luce è ridotta al valore a=0.3m. Essendo a<y0, la corrente necessariamente interagisce con la paratoia e la condizione di moto che si instaura è quella già vista nel paragrafo 3.11 (CASO B). A monte della paratoia si ha la formazione di un risalto a valle del quale si sviluppa un profilo di corrente lenta

-168-

decelerata S1 mentre a valle della paratoia, a partire dall’altezza y3=a.cc, si sviluppa un profilo S3 fino alle condizioni di moto uniforme (vedi Figura 20C). Assumendo cc=0.61, l’altezza d’acqua nella sezione 3 vale y3=a.cc=0.183 m a cui corrisponde un’energia pari a H3=1.705 m. Dal bilancio energetico tra le sezioni 2 e 3, assumendo trascurabili le dissipazioni localizzate, si trova H2=H3=1.705 m e quindi un’altezza y2=1.687 m sul ramo delle correnti lente. A partire dalla sezione 2, verso monte, si segue un profilo S1 fino ad intersecare l’altezza coniugata della corrente rapida di monte. Essendo y5=y0=0.319 m (vedi Figura 20C), si trova y6=y5R=0.656 m a cui corrisponde l’energia: H6=0.774 m. E’ anche possibile effettuare una stima abbastanza accurata della distanza tra il risalto e la paratoia ovvero tra le sezioni 6 e 2. Ammettendo che il tratto compreso tra queste sezioni sia relativamente breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2):

2223/42

2

66 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+ (1)

ovvero

6223/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− (2)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 6: y=(y2+y6)/2=1.17 m. Con questo valore di y si trova: RH=0.948 m e A=11.7 m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione (2) si trova Δx=94.5 m. Il rapporto Δx/y≅80 risulta decisamente elevato e la stima appena effettuata può essere affetta da un errore non trascurabile. In realtà, procedendo ad un’integrazione accurata del profilo S1 a monte della paratoia, si trova Δx=96.0 m, poco diverso dal valore stimato. All’istante t=t3, la luce è incrementata al valore a=0.4 m, lo stesso che si presentava all’istante t=t1. Per stabilire la configurazione del campo di moto conviene ipotizzare che permangano le condizioni di efflusso libero. In questa ipotesi, l’altezza a valle della paratoia vale y3=a.cc=0.244 m e la corrispondente energia vale H3=H2=1.10 m. Essendo H2>H0-ΔErisalto si mantiene, qualitativamente, la stessa configurazione del campo di moto presente all’istante t=t2 (vedi Figura 20D) nonostante l’apertura a sia inferiore all’altezza di moto uniforme e quindi la corrente avrebbe la possibilità di transitare al di sotto della paratoia senza interagire con la stessa. Procedendo alle valutazioni quantitative nello stesso modo visto poc’anzi, si trova:

y3=a.cc=0.244 m H3=1.10 m H2=H3=1.10 m y2=1.054 m y5=y0=0.319 m y6=y5R=0.656 m H6=0.774 m

Volendo inoltre effettuare una stima abbastanza accurata della distanza tra il risalto e la paratoia ovvero tra le sezioni 6 e 2, procedendo come visto in precedenza si trova

y=(y2+y6)/2=0.855 m RH= 0.730 m A=8.55 m2 Δx=34.0 m

-169-

Il rapporto Δx/y≅40 non è eccessivamente elevato. Procedendo ad un’integrazione accurata del profilo S1 a monte della paratoia, si trova Δx=35.0 m, poco diverso dal valore stimato. All’istante t=t4, infine, essendo nuovamente H2<H0-ΔErisalto, la corrente si riporta in condizioni di moto uniforme senza interagire con la paratoia. I profili liquidi, nei diversi istanti considerati, sono illustrati in Figura 20.

Figura 20

-170-

Esercizio 20. In un canale di sezione rettangolare, largo B=10 m, è inserita, sul fondo, una fila di denti come illustrato in figura. Sapendo che la resistenza offerta complessivamente dai denti vale F=κ0

.B.v2/2g, in cui v è la velocità della corrente immediatamente a monte dell’ostacolo e κ0=0.1 m, tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente quando la portata fluente vale: Q=5 m3/s.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova

y0=0.256 m yc=0.294 m H0=0.450 m Hc=0.441 m M0=1.323 m3 Mc=1.299 m3 La pendenza del fondo è, pertanto, superiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è rapida (F0=1.23). Si parte dunque da monte con l’altezza y1=y0 e si procede verso valle mantenendo le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.256 m). Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera il seguente bilancio delle forze

3232 MFM =Δ− ⇒ 3223 FMM Δ−= (1)

in cui ΔF32 è la resistenza complessiva offerta dai denti. Utilizzando l’espressione suggerita nel testo per il calcolo di ΔF32, essendo v=1.953 m/s, si trova ΔF32=0.194 m3. Essendo inoltre M2=M0=1.323 m3, l’equazione (1) fornisce M3=1.129 m3. Tale valore di spinta risulta inferiore a quello minimo Mc. Pertanto, la corrente, prima di affrontare l’ostacolo, subirà una transizione portandosi allo stato di corrente lenta e, in corrispondenza della sezione 3, si determineranno le condizioni critiche: y3=yc=0.294 m. Procedendo verso valle, la corrente seguirà un profilo S2 portandosi rapidamente verso le condizioni di moto uniforme (sezione 4). Utilizzando il bilancio delle forze (1) è, invece, possibile determinare le caratteristiche idrauliche relative alla sezione 2 (corrente lenta). Essendo l’altezza y2 (incognita del problema) contenuta sia nell’espressione di M2 che in quella di ΔF32, è conveniente procedere iterativamente a partire da un valore di primo tentativo per y2, calcolando la resistenza ΔF32 mediante l’espressione suggerita nel testo, la spinta M2 dall’equazione (1) e quindi, nota la spinta M2, un valore per y2 di migliore approssimazione. Assumendo, in prima battuta, y2=y3=0.294 m, si ha

-171-

iterazione y2 ΔF32 M2 y2 (m) (m3) (m3) (m) 1 0.294 0.147 1.446 0.404 2 0.404 0.078 1.377 0.372 3 0.372 0.092 1.391 0.379 4 0.379 0.089 1.388 0.378 5 0.378 0.089 1.388 0.378

Si trova, pertanto, y2=0.378 m e M2=1.388 m3. Nel tratto a monte della sezione 2 (tra le sezioni 5 e 6 di Figura 21) si avrà la formazione del risalto. L’altezza y6, a valle del risalto, è la coniugata all’altezza y5 immediatamente a monte dello stesso. Essendo y5=y1=y0=0.256 m, si trova y6=0.336 m. E’ anche possibile effettuare una stima abbastanza accurata della distanza tra le sezioni 6 e 2. Ammettendo che il tratto compreso tra queste sezioni sia relativamente breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

2223/42

2

66 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+ (2)

ovvero

6223/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− (3)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 6: y=(y2+y6)/2=0.357 m. Con questo valore di y si trova RH=0.333 m e A=3.57 m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione (3) si trova Δx=2.7 m. (Un’integrazione più accurata fornisce il risultato Δx=3.05 m) Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 21. Con riferimento all’energia H è da osservare che la corrente di monte, in moto uniforme, possiede un’energia H1=H0=0.450 m inferiore all’energia H2=0.467 m necessaria a superare l’ostacolo. La dissipazione di energia complessivamente prodotta dai denti (includendo anche quella dovuta al risalto) vale H1-H3=0.009 m.

-172-

Figura 21

-173-

Esercizio 21. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’ Esercizio 20, quando la portata fluente vale: Q=15 m3/s.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova y0=0.505 m yc=0.612 m H0=0.955 m Hc=0.918 m M0=5.818 m3 Mc=5.620 m3

La pendenza del fondo è, pertanto, superiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è rapida (F0=1.34). Si parte da monte con l’altezza y1=y0 e si procede verso valle mantenendo le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.505 m). Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera il seguente bilancio delle forze:

3232 MFM =Δ− ⇒ 2323 FMM Δ−= (1)

in cui ΔF32 è la resistenza complessiva offerta dai denti. Utilizzando l’espressione suggerita nel testo per il calcolo di ΔF32, essendo v=2.97 m/s, si trova ΔF32=0.450 m3. Essendo inoltre M2=M0=5.818 m3, l’equazione (1) fornisce M3=5.368 m3. Tale valore di spinta risulta inferiore a quello minimo Mc. Pertanto la corrente, prima di affrontare l’ostacolo, subirà una transizione portandosi allo stato di corrente lenta e, in corrispondenza della sezione 3, si determineranno le condizioni critiche: y3=yc=0.612 m. Procedendo verso valle, la corrente seguirà un profilo S2 portandosi rapidamente verso le condizioni di moto uniforme (sezione 4). Utilizzando il bilancio delle forze (1) è, invece, possibile determinare le caratteristiche idrauliche relative alla sezione 2 (corrente lenta). Essendo l’altezza y2 (incognita del problema) contenuta sia nell’espressione di M2 che in quella di ΔF32, è conveniente procedere iterativamente a partire da un valore di primo tentativo per y2, calcolando la resistenza ΔF32 mediante l’espressione suggerita nel testo, la spinta M2 dall’equazione (1) e quindi, nota la spinta M2, un valore per y2 di migliore approssimazione. Assumendo, in prima battuta, y2=y3=0.505 m, si ha

iterazione y2 ΔF32 M2 y2 (m) (m3) (m3) (m) 1 0.505 0.450 6.070 0.801 2 0.801 0.179 5.799 0.728 3 0.728 0.216 5.836 0.740 4 0.740 0.209 5.829 0.738 5 0.738 0.211 5.831 0.738

Si trova, pertanto, y2=0.738 m e M2=5.831 m3. Nel tratto a monte della sezione 2 (tra le sezioni 5 e 6 di Figura 22) si avrà la formazione del risalto. L’altezza y6, a valle del risalto, è la coniugata all’altezza y5 immediatamente a monte dello stesso. Essendo y5=y1=y0=0.505 m, si trova: y6=0.734 m. E’ anche possibile effettuare una stima abbastanza accurata della distanza tra le sezioni 6 e 2. Ammettendo che il tratto compreso tra queste sezioni sia relativamente

-174-

breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

2223/42

2

66 HzxARk

QHzHs

+=Δ⋅−+ (2)

ovvero

6223/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− (3)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 2 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 2 e 6: y=(y2+y6)/2=0.736 m. Con questo valore di y si trova RH=0.642 m e A=7.36 m2. Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova Δx=0.24 m. (Un’integrazione più accurata fornisce il risultato Δx=0.135 m). Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 22. Con riferimento all’energia H è da osservare che la corrente di monte, in moto uniforme, possiede un’energia H1=H0=0.955 m che risulta essere superiore all’energia H2=0.949 m necessaria a superare l’ostacolo. Questa apparente contraddizione si spiega con la diversa entità dell’energia dissipata dalla corrente, nel superare l’ostacolo, al variare della velocità. La dissipazione di energia complessivamente prodotta dai denti (includendo anche quella dovuta al risalto) vale H1-H3=0.037 m.

Figura 22

-175-

Esercizio 22. Una canaletta rettangolare che presenta un fondo semicircolare (vedi figura) confluisce in un canale di sezione rettangolare, largo B=10m. Sapendo che la portata fluente vale: Q=20 m3/s, si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera lungo i due tronchi di canale.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche nei due tratti di canale, di monte e di valle. Con i dati del problema si trova:


Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica per entrambi i tronchi e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=3.522 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte della confluenza, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3223 (1)

in cui H2=H0V=3.539 m e la perdita ΔE32 può essere assimilata ad una perdita per brusco allargamento (Borda):

gv

AAE

2)1(

222

3

232 −≅Δ (2)

in cui A2=35.22 m2 e A3 sono le aree delle sezioni 2 e 3 rispettivamente e v2=0.568 m/s è la velocità in corrispondenza della sezione 2.

-176-

Pur potendo sostituire l’espressione (2) nell’equazione (1) ottenendo in tal modo un’unica equazione nella sola incognita y3, per maggior chiarezza è forse preferibile impiegare il seguente processo iterativo. Si assume un valore per y3 di primo tentativo. Mediante l’equazione (2) si calcola la dissipazione ΔE32 e quindi, dal bilancio (1), l’energia H3. Nota H3 si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y3 di migliore approssimazione. Assumendo, come primo tentativo, la stessa quota della superficie libera nelle sezioni 2 e 3, ovvero: y3=y2-a=2.522 m, si trova:

iterazione y3 ΔE32 H3 y3 (m) (m) (m) (m) 1 2.522 0.169 2.708 2.370 2 2.370 0.206 2.745 2.425 3 2.425 0.191 2.730 2.403 4 2.403 0.197 2.736 2.412 5 2.412 0.195 2.734 2.409 6 2.409 0.195 2.734 2.409

Si ha, pertanto, y3=2.409 m e H3=2.734 m, superiore all’energia minima HcM. Essendo y3>y0M, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 23.

Figura 23

-177-

Esercizio 23. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’Esercizio 22 quando il tronco di monte è caratterizzato da un coefficiente di scabrezza pari a ks=60 m1/3/s. Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche nei due tratti di canale, di monte e di valle. Con i dati del problema si trova:


Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica per entrambi i tronchi e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=3.522 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte della confluenza, si opera un bilancio di energia:

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH −Δ+= 3223 (1)

in cui H2=H0V=3.539 m e la perdita ΔE32 può essere assimilata ad una perdita per brusco allargamento (Borda):

gv

AAE

2)1(

222

3

232 −≅Δ (2)

in cui A2=35.22 m2 e A3 sono le aree delle sezioni 2 e 3 rispettivamente e v2=0.568 m/s è la velocità in corrispondenza della sezione 2. Pur potendo sostituire l’espressione (2) nell’equazione (1) ottenendo in tal modo un’unica equazione nella sola incognita y3, per maggior chiarezza è forse preferibile impiegare il seguente processo iterativo. Si assume un valore per y3 di primo tentativo. Mediante l’equazione (2) si calcola la dissipazione ΔE32 e quindi, dal bilancio (1), l’energia H3. Nota H3 si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y3 di migliore approssimazione. Assumendo, come primo tentativo, la stessa quota della superficie libera nelle sezioni 2 e 3, ovvero y3=y2-a=2.522 m, si trova:

iterazione y3 ΔE32 H3 y3 (m) (m) (m) (m) 1 2.522 0.169 2.708 2.370 2 2.370 0.206 2.745 2.425 3 2.425 0.191 2.730 2.403 4 2.403 0.197 2.736 2.412

-178-

5 2.412 0.195 2.734 2.409 6 2.409 0.195 2.734 2.409

Si ha, pertanto, y3=2.409 m e H3=2.734 m, superiore all’energia minima HcM. Essendo y3<y0M, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4). Il profilo liquido e la sua rappresentazione nel diagramma H-y sono illustrati in Figura 24.

Figura 24

-179-

Esercizio 24. In un canale, infinitamente lungo, di sezione rettangolare larga B=6 m, è immessa una portata ΔQ=3.0 m3/s attraverso il dispositivo illustrato in figura. L’acqua in ingresso è caratterizzata da una velocità v0 di 2 m/s e sbocca con direzione parallela al fondo. Sapendo che la portata fluente a monte dell’immissione vale QM=2 m3/s, tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tratti a monte e a valle dell’immissione. Con i dati del problema si trova:

tratto di monte tratto di valle QM=2.0 m3/s QV=5.0 m3/s y0M=0.573 m y0V=1.042 m H0M=0.590 m H0V=1.075 m ycM=0.225 m ycV=0.414 m HcM=0.337 m HcV=0.621 m

La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con l’altezza y1=y0 e si procede verso monte mantenendo le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=1.042 m). Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera un bilancio delle spinte.

Figura 25

-180-

Tale bilancio, nell’ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni in corrispondenza delle sezioni 3 e 3’ (quest’ultima posta immediatamente a valle dell’immissione di portata, vedi Figura 25), si scrive

20

3

22

3 )(2

Mg

vQyBg

QayB M =Δ

+++ (1)

in cui M2=M0V=3.667 m3. Per la soluzione della precedente equazione conviene procedere iterativamente, esplicitando, come segue, l’espressione (1) rispetto all’altezza y3 che compare nel primo termine (essendo il contributo di spinta statica certamente superiore a quello della spinta dinamica dipendente da y3)

Bg

vQyBg

QMay M /)(2 0

3

2

23Δ

−−+−= (2)

Assunto, per y3, un valore di primo tentativo (ad esempio y3=y0V-a), si determina, mediante l’equazione (2), un valore y3 di migliore approssimazione. Al termine del procedimento iterativo si trova y3=0.486m a cui corrisponde un’energia H3=0.510 m. Per il tratto compreso tra le sezioni 4 e 3, di lunghezza modesta, è possibile discretizzare alle differenze finite l’equazione (18) e scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

3323/42

2

44 HzxARk

QHzHs

M +=Δ⋅−+ (3)

ovvero

xARk

QHHHs

M Δ⋅++= 23/42

2

34 5.0 (4)

in cui Δx=5 m è la distanza tra le sezioni 4 e 3 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le stesse sezioni: y=(y3+y4)/2. Essendo l’incognita y4 presente sia nel termine che esprime le dissipazioni di energia sia in H4, conviene procedere per iterazioni. Si assume un valore per y4 di primo tentativo. Mediante l’equazione (4) si calcola l’energia H4, nota la quale si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y4 di migliore approssimazione. Assumendo che la superficie libera nel tratto in esame sia pressochè orizzontale, si trova, per il primo tentativo, y4=y3+a=0.986 m.

iterazione y4 y A RH H4 y4 (m) (m) (m2) (m) (m) (m) 1 0.986 0.736 4.414 0.633 1.012 1.006 2 1.006 0.746 4.476 0.597 1.012 1.006

Si ha, pertanto, y4=1.006 m e H4=1.012 m. Un’integrazione più accurata fornisce il risultato y4=1.004 m. Essendo y4>y0M, procedendo dalla sezione 4, verso monte, la corrente seguirà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). L’andamento qualitativo del profilo liquido è illustrato in Figura 26.

-181-

Figura 26

-182-

Esercizio 25. E’ dato un canale, infinitamente lungo, il cui tratto di valle è caratterizzato da una sezione rettangolare larga B=10 m mentre la sezione del tratto di monte è trapezia con una larghezza alla base b=8 m e pendenza della sponde 1:2 (vedi figura). Sapendo che la pendenza del fondo è if=0.0005 e che il coefficiente di resistenza secondo Strickler vale ks=60 m1/3/s, si tracci l’andamento qualitativo della superficie libera quando l’altezza di moto uniforme del tronco di valle vale: y0V=3.0 m. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Conoscendo l’altezza di moto uniforme del tronco di valle ed utilizzando la formula di Gauckler-Strickler è possibile valutare la portata fluente che risulta valere Q=61.2 m3/s. A questo punto conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tronchi di canale. Con i dati del problema si trova:


Essendo l’altezza di moto uniforme superiore all’altezza critica, la pendenza del fondo risulta inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con y1=y0V e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2, posta immediatamente a valle del raccordo (y2=y1=3.0 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte del raccordo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ LiEHH f Δ−Δ+= 3223 (1)

in cui ΔL è la distanza tra le sezioni 2 e 3. Trascurando la differenza (ΔE32-if.ΔL) risulta H3=H2=H0V=3.212 m, superiore al valore minimo di energia, HcM che caratterizza la corrente di monte.

-183-

A questo valore di energia corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y3=3.115 m. Quest’altezza è superiore a quella di moto uniforme y0M, pertanto, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1. Il profilo liquido è illustrato in Figura 27.

Figura 27

-184-

Esercizio 26. In un canale, infinitamente lungo, di sezione rettangolare larga B=8 m, è sottratta una portata ΔQ=0.5 m3/s attraverso il dispositivo illustrato in figura. Sapendo che la portata fluente a valle della sottrazione vale QV=3 m3/s, tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tratti di canale, a monte e a valle dell’immissione. Con i dati del problema si trova


La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con l’altezza y1=y0 e si procede verso monte mantenendo le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.366 m). Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 conviene far riferimento all’energia della corrente, scrivendo il seguente bilancio

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH +Δ+= 3223 (1)

Trascurando la dissipazione ΔE32, si trova H3=0.920 m. E’ da sottolineare che, in questo caso, l’energia cinetica della corrente in corrispondenza della sezione 3 andrebbe corretta per tener conto della probabile distribuzione non uniforme delle velocità lungo la verticale. Assumendo trascurabile l’entità della correzione, si trova y3=0.908 m. Per il tratto compreso tra le sezioni 4 e 3, di lunghezza modesta, è possibile discretizzare alle differenze finite l’equazione (18), e scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

3323/42

2

44 HzxARk

QHzHs

M +=Δ⋅−+ (2)

ovvero:

-185-

xARk

QHHHs

M Δ⋅+−= 23/42

2

34 5.0 (3)

in cui Δx=5 m è la distanza tra le sezioni 4 e 3 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le stesse sezioni: y=(y3+y4)/2. Essendo l’incognita y4 presente sia nel termine che esprime le dissipazioni di energia sia in H4, conviene procedere per iterazioni. Si assume un valore per y4 di primo tentativo. Mediante l’equazione (3) si calcola l’energia H4, nota la quale si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y4 di migliore approssimazione. Assumendo che la superficie libera nel tratto in esame sia pressochè orizzontale, si trova, per il primo tentativo, y4=y3-a=0.408 m.

iterazione y4 y A RH H4 y4 (m) (m) (m2) (m) (m) (m) 1 0.408 0.658 5.264 0.565 0.425 0.341 2 0.341 0.625 5.000 0.541 0.426 0.343 3 0.343 0.626 5.008 0.541 0.426 0.343

Si ha, pertanto, y4=0.343 m e H4=0.426 m. Un’integrazione più accurata fornisce il risultato y4=0.360 m. Essendo y4<y0M, procedendo dalla sezione 4, verso monte, la corrente seguirà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). L’andamento qualitativo del profilo liquido è illustrato in Figura 28.

Figura 28

-186-

Esercizio 27. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’Esercizio 26 quando la portata sottratta vale ΔQ=1.0 m3/s. Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per i due tratti di canale, a monte e a valle dell’immissione. Con i dati del problema si trova


La pendenza del fondo è, pertanto, inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Si parte da valle con l’altezza y1=y0 e si procede verso monte mantenendo le condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.366 m). Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 conviene far riferimento all’energia della corrente, scrivendo il seguente bilancio

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ aEHH +Δ+= 3223 (1)

Trascurando la dissipazione ΔE32, si trova H3=0.920 m. E’ da sottolineare che, in questo caso, l’energia cinetica della corrente in corrispondenza della sezione 3 andrebbe corretta per tener conto della probabile distribuzione non uniforme delle velocità lungo la verticale. Assumendo trascurabile l’entità della correzione si trova y3=0.904 m. Per il tratto compreso tra le sezioni 4 e 3, di lunghezza modesta, è possibile discretizzare alle differenze finite l’equazione (18), e scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

3323/42

2

44 HzxARk

QHzHs

M +=Δ⋅−+ (2)

ovvero:

xARk

QHHHs

M Δ⋅+−= 23/42

2

34 5.0 (3)

in cui Δx=5 m è la distanza tra le sezioni 4 e 3 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le stesse sezioni: y=(y3+y4)/2. Essendo l’incognita y4 presente sia nel termine che esprime le dissipazioni di energia sia in H4, conviene procedere per iterazioni. Si assume un valore per y4 di primo tentativo. Mediante l’equazione (3) si calcola l’energia H4, nota la quale si determina, sul ramo delle correnti lente, un valore per y4 di migliore approssimazione.

-187-

Assumendo che la superficie libera nel tratto in esame sia pressochè orizzontale, si trova, per il primo tentativo, y4=y3-a=0.404 m.

iterazione y4 y A RH H4 y4 (m) (m) (m2) (m) (m) (m) 1 0.404 0.654 5.232 0.562 0.427 nessuna soluzione

Essendo, al primo tentativo, H4<HcM, non è possibile procedere ulteriormente nelle iterazioni. La condizione limite, affinchè non ci sia transizione, si ha quando in corrispondenza della sezione 4 di determinano le condizioni critiche, cioè quando y4=ycM=0.294 m. A partire da questo valore di tentativo, per y4, si trova

iterazione y4 y A RH H4 y4 (m) (m) (m2) (m) (m) (m) 1 0.294 0.599 4.792 0.521 0.429 nessuna soluzione

Essendo, anche in questo caso limite, H4<HcM, la corrente non è in grado di percorrere il tratto compreso tra le sezioni 4 e 3 mantenendosi lenta. In tal caso, in corrispondenza della sezione 4 si stabiliranno le condizioni critiche con y4=ycM=0.294 m e H4=HcM=0.441 m. Essendo y4<y0M, procedendo dalla sezione 4, verso monte, la corrente seguirà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Procedendo dalla sezione 4 verso valle, invece, la corrente seguirà un profilo di tipo S2 fino alla sezione 6 (vedi Figura 29). Tra le sezioni 6 e 7 si avrà la formazione di un risalto. Per quanto riguarda le valutazioni quantitative relative al profilo liquido che si determina tra le sezioni 4 e 3, è opportuno procedere all’integrazione dell’equazione differenziale per il moto gradualmente variabile, facendo attenzione al fatto che la pendenza del fondo, nel tratto in esame, è molto elevata e non consente, a rigore, di confondere la normale al fondo con la verticale. Inoltre la lunghezza del risalto non è certamente trascurabile. Una stima di prima approssimazione può farsi assumendo, per il calcolo delle dissipazioni di energia continue nel tratto compreso tra il risalto (sezione 7) e la sezione 3, che sia y≅y3=0.904 m. In tal caso, l’equazione (18) discretizzata alle differenze finite diventa:

xARk

QL

aHHHs

M Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−+= 23/42

2

37 (4)

in cui ΔL è la distanza tra le sezioni 4 e 3 e Δx è la distanza tra le sezioni 7 e 3. Sostituiti i valori numerici, la precedente relazione si scrive

H7=0.920-0.0995.Δx (5)

A questa relazione va associata quella, analoga, relativa al tratto compreso tra le sezioni 4 e 6, la quale, nelle ipotesi di trascurare la lunghezza del risalto, si scrive come segue

-188-

)(23/42

2

46 xLARk

QL

aHHHs

M Δ−Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ+= (6)

in cui il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 4 e 6, ovvero y=(y6+y4)/2. L’ultima equazione, da porre a sistema con le due precedenti, è quella che lega le altezze y6 e y7, coniugate del risalto, ovvero l’equazione (28). Data la forte non linearità del sistema di equazioni, nel quale le incognite sono y6, y7 e Δx, conviene procedere per iterazioni. In questa particolare situazione, essendo di breve lunghezza il tratto compreso tra le sezioni 4 e 6, si può pensare che l’altezza y6 non sia molto inferiore a y4. In tal caso, assunto come primo tentativo y6=y4, mediante l’equazione (28) si determina y7 e quindi H7, utilizzando poi l’equazione (5) si valuta Δx e, successivamente, mediante l’equazione (6) si determina H6 e quindi un valore per y6 di migliore approssimazione. Il processo iterativo è illustrato nella seguente tabella.

iterazione y6 y7 H7 Δx y H6 y6 (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) 1 0.294 0.294 0.441 4.81 0.294 0.457 0.246 2 0.246 0.349 0.453 4.69 0.270 0.465 0.236 3 0.236 0.361 0.459 4.64 0.265 0.468 0.233 4 0.233 0.365 0.461 4.62 0.264 0.469 0.231 5 0.231 0.368 0.462 4.60 0.263 0.471 0.230 6 0.230 0.370 0.463 4.59 0.262 0.471 0.230

Si ha, pertanto, y6=0.230 m, H6=0.471 m, y7=0.370 m, H7=0.463 m e Δx=4.59 m. L’andamento qualitativo del profilo liquido è illustrato in Figura 29.

Figura 29

-189-

Esercizio 28. Un canale di sezione rettangolare larga B=10 m, termina con una traversa sagomata (CQ=0.45) il cui ciglio di sfioro si trova ad un’altezza p=0.8 m dal fondo. Ad una distanza Δx=10 m a monte della traversa ha inizio uno sfioratore laterale lungo ΔL=5 m la cui soglia sfiorante (CQ=0.45) è parallela al fondo e alta 1.2 m (vedi figura). Sapendo che la portata sfiorata sulla traversa di valle vale QV=20 m3/s, tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche per il tratto a monte della traversa. Con i dati del problema si trova

y0V=0.559 m H0V=1.211 m ycV=0.742 m HcV=1.112 m Essendo y0V<ycV, la pendenza del fondo, nel tratto compreso tra le sezioni 2 e 1, è superiore a quella critica. E’ facile immaginare, tuttavia (e l’ipotesi sarà poi verificata), la traversa è sufficientemente alta da impedire che la corrente rapida di monte sia in possesso di un’energia sufficiente per superarla senza transizione. In tal caso la corrente in corrispondenza della sezione 1 è lenta e per la valutazione delle caratteristiche del moto in questa sezione si può utilizzare la seguente legge di efflusso

2/31 )(2 pHgBCQ QV −= (1)

in cui QV=20 m3/s è la portata sfiorata sulla traversa e H1 è l’energia della corrente in corrispondenza della sezione 1. Con i dati del problema si trova H1=1.802 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, un’altezza d’acqua y1=1.734 m. Per ricostruire il profilo liquido (S1) lungo il tratto compreso tra le sezioni 2 e 1, di lunghezza modesta, è possibile discretizzare alle differenze finite l’equazione (18) e scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

1123/42

2

22 HzxARk

QHzHs

V +=Δ⋅−+ (2)

ovvero

xiARk

QHH fHs

V Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 23/42

2

12 (3)

-190-

in cui Δx=10 m è la distanza tra le sezioni 2 e 1 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le stesse sezioni: y=(y1+y2)/2. Essendo l’incognita y2 presente sia nel termine che esprime le dissipazioni di energia sia in H2, conviene procedere per iterazioni. A partire da un valore di primo tentativo per y2, si calcola l’energia H2 dall’equazione (3) e quindi, nota H2, un valore per y2 di migliore approssimazione. Assumendo che la superficie libera, nel tratto in esame, sia pressochè orizzontale, si trova, per il primo tentativo, y2=y1-if.Δx=1.534 m.

iterazione y2 y A RH H2 y2 (m) (m) (m2) (m) (m) (m) 1 1.534 1.634 16.34 1.232 1.609 1.521 2 1.521 1.628 16.28 1.228 1.609 1.521

Si ha, pertanto, y2=1.521 m e H2=1.609 m. Un’integrazione più accurata fornisce y2=1.523 m. Nel successivo tratto compreso tra le sezione 3 e 2, interessato dalla presenza dello sfioratore laterale, essendo la pendenza del fondo elevata e la corrente relativamente lenta e quindi caratterizzata da dissipazioni di energia modeste, risulta (if-J).ΔL non trascurabile e non è quindi lecito assumere H2=H3. In tal caso, per il tratto in esame, conviene considerare l’equazione (18) discretizzata alle differenze finite:

LiARk

QHH fHs

Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 23/42

2

23 (4)

in cui ΔL=5 m è la distanza tra le sezioni 3 e 2 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le stesse sezioni. Analogamente, per la portata Q va utilizzato un valore intermedio tra quelli di monte e di valle. Alla precedente relazione devono quindi essere associate le seguenti equazioni:

2/323 )2.1(2 −Δ+= ygLCQQ Q (5)

2/)( 32 yyy += 2/)( VM QQQ += (6)

in cui QM=Q3 e QV=Q2 sono le portate a monte e a valle dello sfioratore, rispettivamente. Per la soluzione del problema, in cui le incognite sono y3 e QM, conviene procedere per iterazioni. Fissato un valore di primo tentativo per y3, mediante la prima delle (6) si determina y. Quindi si calcola la portata Q3 dall’equazione (5) e la portata Q mediante la seconda delle (6). Utilizzando, infine, l’equazione (4) si determina l’energia H3 e quindi l’altezza y3 di migliore approssimazione. Assumendo che la superficie libera, nel tratto in esame, sia pressochè orizzontale, si trova, per il primo tentativo, y3=y2-if.ΔL=1.421 m.

-191-

iterazione y3 y Q3 Q H3 y3 (m) (m) (m3/s) (m3/s) (m) (m) 1 1.421 1. 471 21.40 20.70 1.514 1.403 2 1.403 1.462 21.34 20.67 1.514 1.403

Si ha, pertanto, y3=1.403 m, H3=1.514 m e Q3=QM=21.34 m3/s. Con riferimento al tratto a monte della sezione 3 è, a questo punto, possibile determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Si trova

y0M=0.582 m H0V=1.267 m ycM=0.774 m HcM=1.161 m Essendo y0M<ycM, la pendenza del fondo, nel tratto a monte della sezione 3, è superiore a quella critica e pertanto, presumibilmente a monte dello sfioratore laterale, si avrà la formazione di un risalto. A tale proposito è da osservare che la spinta in corrispondenza della sezione 3 vale M3=13.151 m3 mentre quella relativa alle condizioni di moto uniforme di monte vale M0M=9.668 m3. Essendo M3>M0M, il risalto si localizzerà effettivamente a monte della sezione 3. In particolare (vedi Figura 30) si avrà y5=y4=y0M=0.582 m e y6=1.005 m, essendo y6 l’altezza coniugata del risalto. Ammettendo che il tratto compreso tra le sezioni 6 e 3 sia relativamente breve e discretizzando alle differenze finite l’equazione (18), si può scrivere (vedi paragrafo 8.2.2)

6323/42

2

HHxARk

QiHs

f −=Δ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− (7)

in cui Δx è la distanza tra le sezioni 3 e 6 mentre il raggio idraulico RH e l’area A sono valutati utilizzando un valore medio dell’altezza y tra le sezioni 3 e 6: y=(y3+y6)/2=1.204 m. Con questo valore di y si trova RH=0.970 m e A=12.04 m2. Si ha, inoltre, H6=1.235 m. Sostituendo questi valori nella precedente equazione si trova Δx=15.5 m mentre un’integrazione più accurata fornisce il risultato Δx=16.6 m. Il profilo liquido è illustrato in Figura 30.

Figura 30

-192-

Esercizio 29. Un canale di sezione rettangolare larga B=3 m, è presidiato, a valle, da due paratoie: la prima sollevata a battente, la seconda a ventola come illustrato in figura. Quest’ultima paratoia, lunga 2 m, viene manovrata e l’andamento nel tempo del petto p della soglia sfiorante è illustrato nel grafico di figura. Sapendo che la portata fluente vale Q=3.6 m3/s, tracciare l’andamento qualitativo della superficie libera agli istanti t=0, t=t1, t=t2 e t=t3.

Nella risoluzione di questo problema è importante ricostruire i profili di moto permanente con una certa accuratezza. Per questo motivo, nell’illustrare la soluzione, si farà riferimento all’integrazione numerica dell’equazione (18). Consideriamo, preliminarmente, le condizioni di moto uniforme nel tratto di canale a monte della paratoia sollevata a battente. Con i dati del problema si trova:

y0=0.752 m H0=0.882 m yc=0.528 m Hc=0.791 m Essendo y0>yc, la pendenza del fondo, nel tratto in esame, è inferiore a quella critica e la corrente, a moto uniforme, è lenta. Essendo inoltre a<yc, la corrente, necessariamente, interagisce con la paratoia. Consideriamo la situazione all’istante t=0. Assumiamo, come ipotesi iniziale, che l’efflusso al di sotto della paratoia sia libero e sia dunque y3=a.cc=0.244 m (avendo assunto cc=0.61). A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata su fondo orizzontale H3 (analogo al profilo M3 su debole pendenza). In particolare, l’integrazione numerica dell’equazione (18) nel tratto compreso tra le sezioni 3 e 1, lungo complessivamente 22 m, fornisce il profilo H3 illustrato in Figura 31, con y1=0.308 m, ancora molto inferiore all’altezza critica yc=0.528 m. Nell’effettuare il calcolo è stato ricostruito, passo passo, anche l’andamento delle altezze coniugate illustrato nella stessa Figura 31. Si osserva che la corrente è in grado di mantenersi rapida fino alla sezione di sbocco. Ciò, tuttavia, non è sufficiente per affermare che è proprio questo il profilo che si stabilisce a valle della paratoia. E’ infatti necessario verificare che una diversa situazione, ovviamente di corrente lenta, non sia possibile. A tale scopo, fissata in corrispondenza della sezione 1 l’altezza y1=yc=0.528 m, si ricostruisce il profilo di corrente lenta (H2) illustrato in Figura 31. Essendo, in ogni sezione, l’altezza coniugata della corrente rapida superiore all’altezza della corrente lenta, la soluzione di corrente rapida è l’unica ammissibile e, pertanto, il profilo liquido, indipendentemente dagli eventi precedenti l’istante in esame, è effettivamente quello H3 ricostruito inizialmente e l’ipotesi di efflusso libero è verificata.

-193-

In corrispondenza della sezione di vena contratta (sezione 3) l’energia vale H3=1.477 m. Assumendo, come di consueto, H4=H3=1.477 m, si trova, sul ramo delle correnti lente, y4=1.442 m. A monte della paratoia, pertanto, si stabilisce un’altezza superiore a quella del moto uniforme nel canale e, procedendo verso monte, si determinerà un profilo M1 di rigurgito fino alle condizioni di moto uniforme y5=0.752 m. Il profilo liquido è illustrato in Figura 31.

Figura 31

Consideriamo ora la situazione all’istante t=t1. Assumiamo, anche in questo caso, come ipotesi iniziale, che l’efflusso al di sotto della paratoia sia libero e sia dunque y3=a.cc=0.244 m. Anche in questo caso, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata su fondo orizzontale H3. L’integrazione numerica dell’equazione (18) nel tratto compreso tra le sezioni 3 e 2, lungo 20 m, fornisce il profilo H3 illustrato in Figura 32, con y2=0.302 m. Proseguendo l’integrazione fino alla sezione 1 si individua il profilo A3 illustrato nella stessa Figura 32, con y1=0.363 m. E’ da osservare che lungo il tratto compreso tra le sezioni 2 e 1, la pendenza del fondo è relativamente elevata e l’ipotesi di confondere la normale al fondo con la verticale non sarebbe più accettabile. Si osserva che la corrente è ancora in grado di mantenersi rapida fino alla sezione di sbocco. Inoltre, in considerazione del fatto che, nell’intervallo di tempo precedente l’istante t=t1, la situazione era quella di corrente rapida (vedi Figura 31), in assenza di disturbi esterni, la corrente si mantiene rapida anche in questa nuova configurazione geometrica (vedi paragrafo 4.1 sull’isteresi) indipendentemente dal fatto che sia possibile o meno l’instaurarsi di una corrente lenta, e l’ipotesi di efflusso libero è verificata. In corrispondenza della sezione di vena contratta (sezione 3) l’energia vale H3=1.477 m. Quindi, assumendo che sia H4=H3=1.477 m, si trova, sul ramo delle correnti lente, y4=1.442 m. A monte della paratoia, pertanto, si stabilisce un’altezza superiore a quella del moto uniforme nel canale e, procedendo verso monte, si determinerà un profilo M1 di rigurgito fino alle condizioni di moto uniforme y5=0.752 m. Il profilo liquido è illustrato in Figura 32.

-194-

Figura 32

Consideriamo ora la situazione all’istante t=t2. Assumiamo, anche in questo caso, come ipotesi iniziale, che l’efflusso al di sotto della paratoia sia libero e sia dunque y3=a.cc=0.244 m. Come nei due casi precedenti, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata su fondo orizzontale H3. L’integrazione numerica dell’equazione (18) nel tratto compreso tra le sezioni 3 e 2, lungo 20 m, fornisce il profilo H3 illustrato in Figura 33A, con y2=0.302m come nei casi precedenti. Proseguendo l’integrazione verso la sezione 1, si segue un profilo di tipo A3 lungo il quale l’altezza y cresce progressivamente e, poco a monte della sezione 1, raggiunge la condizione critica, y=yc (vedi Figura 33A). La corrente, pertanto, non è in grado di mantenersi rapida fino allo sbocco. Le configurazioni possibili, in tal caso, sono due. La prima prevede la formazione di un risalto tra le sezioni 3 e 1, mantenendosi così l’efflusso libero, la seconda prevede un efflusso rigurgitato e la corrente lenta fino alla sezione 1 dove si determinano le condizioni critiche. Fissata, in corrispondenza della sezione 1, l’altezza y1=yc=0.528 m, si ricostruisce, per integrazione numerica dell’equazione (18), il profilo di corrente lenta A2 fino alla sezione 2 (y2=1.105 m) e quindi il profilo H2 fino alla sezione 3 (y3=1.111 m) come illustrato in Figura 33A. Essendo, in ogni sezione, l’altezza coniugata della corrente rapida inferiore all’altezza della corrente lenta, quest’ultima è l’unica soluzione ammissibile per tutto il tratto a monte dello sbocco. In tal caso, quindi, l’efflusso al di sotto della paratoia sollevata a battente è rigurgitato e, per una più precisa ricostruzione del profilo liquido, è conveniente introdurre un’ulteriore sezione (sezione 6) poco a valle della sezione 3 (vedi Figura 33A). Considerando di lunghezza trascurabile il tratto compreso tra le sezioni 3 e 6, si può assumere, per y6, il valore y3 precedentemente trovato (y6=y3=1.111 m) e calcolare quindi l’energia H6 che risulta valere H6=1.170 m. In corrispondenza della sezione 3, immediatamente a valle della paratoia, la distribuzione delle velocità non è uniforme a causa del getto sommerso (vedi paragrafo 3.11). Tra le sezioni 3 e 6 si attua quindi una brusca variazione delle caratteristiche del moto accompagnata da una dissipazione localizzata di energia. Tra queste due sezioni conviene applicare il teorema della quantità di moto e scrivere (vedi paragrafo 3.11)

BMygBQy

cgBQy

c

/)/(21)/(

21

66

226

223 =+=+

a (1)

Il quale, essendo M6=2.248 m3 ed assunto cc=0.61, fornisce y3=0.666 m.

-195-

L’energia in corrispondenza della sezione 3 vale (vedi paragrafo 3.11):

=+=+= 2

2

323

2

33 )(2)/(

2)/(

ccagBQy

ygBQyH α 1.899 m (2)

Incidentalmente si può osservare che tra le sezioni 3 e 6 si attua una dissipazione di energia localizzata che vale ΔE36=1.899-1.170≅0.73 m.

Figura 33

Per determinare le condizioni nella sezione 4, a monte della paratoia, si scrive il bilancio di energia H4=H3=1.899 m. Nota l’energia H4, si trova, sul ramo delle correnti lente, y4=1.878 m. Essendo y4>y0, procedendo verso monte si segue un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido è illustrato nella precedente Figura 33B. Consideriamo infine la situazione all’istante t=t3, analoga a quella che si presentava all’istante t=t1. Assumiamo, anche in questo caso, come ipotesi iniziale, che l’efflusso al di sotto della paratoia sia libero e sia dunque y3=a.cc=0.244 m. L’integrazione numerica dell’equazione (18) nel tratto a valle della sezione di vena contratta fornisce, ovviamente, lo stesso profilo liquido illustrato nella precedente Figura 32 con la corrente che è in grado di mantenersi rapida fino alla sezione di sbocco. Ciò, tuttavia, non è sufficiente per affermare che è proprio questo il profilo che si stabilisce a valle della paratoia. E’ infatti necessario verificare che una diversa situazione, ovviamente di corrente lenta, non sia possibile. A tale scopo, fissata in corrispondenza della sezione 1 l’altezza y1=yc=0.528 m, si ricostruisce il profilo di corrente lenta nei tratti compresi tra le sezioni 1 e 2 (profilo A2) e tra le sezioni 2 e 3 (profilo H2). Si osserva che il profilo di corrente lenta interseca la curva delle altezze coniugate in due punti distinti (indicati con una freccia in Figura 34), posti poco a monte e poco a valle della sezione 2. In corrispondenza di entrambi questi punti si ha equilibrio delle spinte tra la corrente rapida a monte e quella lenta a valle, pertanto in entrambe le posizioni la formazione del risalto è possibile.

-196-

Per stabilire in quale di queste due posizioni si localizzerà effettivamente il risalto è necessario analizzare la stabilità dell’equilibrio nelle due posizioni individuate (si veda, a questo proposito, il paragrafo 4.2). Si osserva, in particolare, che in corrispondenza della sezione di equilibrio compresa tra le sezioni 2 e 1 la curva delle altezze coniugate interseca il profilo di corrente lenta da sotto e ciò sta ad indicare che questa posizione di equilibrio è instabile. Il risalto, pertanto, si stabilirà nella sezione di equilibrio posta più a monte come illustrato in Figura 34.

Figura 34

-197-

Esercizio 30. Un canale di sezione rettangolare larga B=10 m, presenta un breve salto di fondo raccordato, come illustrato in figura. Immediatamente a monte del salto è inserita una paratoia sollevata a battente la cui luce vale a=0.4 m. Sapendo che la portata fluente vale Q=5 m3/s, tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente.

Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche che sono le medesime per i due tronchi, di monte e di valle, del canale. Con i dati del problema si trova:

y0=0.895 m H0=0.911 m M0=4.294 m3 yc=0.294 m Hc=0.441 m La corrente, a moto uniforme, è pertanto lenta. Si parte da valle con y1=y0 e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.895 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte del salto di fondo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ ZEHH Δ−Δ+= 3223 (1)

Trascurando le dissipazioni di energia, continue e localizzate, essendo il tratto in esame molto breve e il moto, accelerato, presumibilmente non interessato da fenomeni di separazione, si trova H3=0.911-1.5=-0.589 m. Essendo H3 ovviamente inferiore all’energia minima Hc ed essendo inoltre yc<a, in corrispondenza della sezione 3 si ha la formazione dell’altezza critica y3=yc=0.294 m a cui corrisponde l’energia H3=Hc=0.441 m. Dal bilancio di energia (1), nel quale l’energia H3 è nota, si determina H2=1.941 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, l’altezza y2=0.083 m. E’ da osservare che la spinta in corrispondenza della sezione 2 vale M2=3.112 m3 e risulta pertanto inferiore alla spinta M0 del moto uniforme di valle. Il risalto, quindi, risalirà spingendosi contro lo scivolo come illustrato in Figura 35. Essendo y3<y0, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà, invece, un profilo M2 di chiamata. Nel complesso, il profilo liquido è quello illustrato in Figura 35.

-198-

Figura 35

C’è da chiedersi, però, se questa è l’unica soluzione possibile. Si tratta, in pratica, di verifica se la soluzione che prevede l’interazione tra la corrente e la paratoia è ammissibile. Assumiamo quindi che vi sia un efflusso libero e che l’altezza in corrispondenza della sezione 3 sia y3=a.cc=0.244 m, a cui corrisponde l’energia H3=0.458 m. Essendo y3<yc, effettivamente, verso valle può svilupparsi un profilo di corrente rapida accelerata su un fondo non rettilineo e a forte pendenza. Per il tratto compreso tra le sezioni 3 e 2 conviene quindi operare come in precedenza attraverso un bilancio di energia. Determinate le caratteristiche del moto nella sezione 2 è possibile stabilire dove si forma il risalto, ovvero stabilire se il risalto si forma a monte (Figura 35) o a valle della sezione 2. Per ricostruire il profilo a monte della sezione 3, utilizziamo il bilancio di energia H4=H3=0.458 m. All’energia H4=0.458 m corrisponde, sul ramo delle correnti lente l’altezza y4=0.359 m. Questa altezza risulta però inferiore all’apertura a=0.4 m della paratoia, pertanto questa soluzione non è accettabile e nel complesso l’unica soluzione possibile è quella descritta in Figura 35.

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Esercizio 31. Tracciare l’andamento qualitativo del profilo di moto permanente nella situazione illustrata nell’Esercizio 30 quando la luce sotto la paratoia vale a=0.35 m. Conviene preliminarmente determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche che sono le medesime per i due tronchi, di monte e di valle, del canale. Con i dati del problema si trova

y0=0.895 m H0=0.911 m M0=4.294 m3 yc=0.294 m Hc=0.441 m La corrente, a moto uniforme, è pertanto lenta. Si parte da valle con y1=y0 e si prosegue verso monte mantenendo condizioni di moto uniforme fino alla sezione 2 (y2=y1=0.895 m). Per passare dalle condizioni relative alla sezione 2 a quelle della sezione 3, immediatamente a monte del salto di fondo, si opera un bilancio di energia

223233 HzEHz +=Δ−+ ⇒ ZEHH Δ−Δ+= 3223 (1)

Trascurando le dissipazioni di energia, continue e localizzate, essendo il tratto in esame molto breve e il moto, accelerato, presumibilmente non interessato da fenomeni di separazione, si trova H3=0.911-1.5=-0.589 m. Essendo H3 ovviamente inferiore all’energia minima Hc ed essendo inoltre yc<a, in corrispondenza della sezione 3 si ha la formazione dell’altezza critica y3=yc=0.294 m a cui corrisponde l’energia H3=Hc=0.441 m. Dal bilancio di energia (1), nel quale l’energia H3 è nota, si determina H2=1.941 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, l’altezza y2=0.083 m. E’ da osservare che la spinta in corrispondenza della sezione 2 vale M2=3.112 m3 e risulta pertanto inferiore alla spinta M0 del moto uniforme di valle. Il risalto, quindi, risalirà spingendosi contro lo scivolo. Essendo y3<y0, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà, invece, un profilo M2 di chiamata. Nel complesso, il profilo liquido è quello illustrato nella precedente Figura 35 dell’Esercizio 30. Ci si chiede, però, se questa è l’unica soluzione possibile. Si tratta, in pratica, di verifica se la soluzione che prevede l’interazione tra la corrente e la paratoia è ammissibile. Assumiamo quindi che vi sia un efflusso libero e che l’altezza in corrispondenza della sezione 3 sia y3=a.cc=0.214 m, a cui corrisponde l’energia H3=0.493 m. Essendo y3<yc, effettivamente, verso valle può svilupparsi un profilo di corrente rapida accelerata su un fondo non rettilineo e a forte pendenza. Per il tratto compreso tra le sezioni 3 e 2 conviene quindi operare come in precedenza attraverso il bilancio di energia (1) il quale, nota l’energia nella sezione 3 consente di determinare l’energia nella sezione 2. Trascurando le dissipazioni, continue e localizzate, si trova H2=0.441+1.5=1.941 m, a cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, l’altezza y2=0.082 m. La spinta in corrispondenza della sezione 2 vale M2=3.112 m3 e risulta pertanto inferiore alla spinta M0 del moto uniforme di valle. Il risalto, quindi, risalirà spingendosi contro lo scivolo come illustrato in Figura 36

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Per ricostruire il profilo a monte della sezione 3, utilizziamo il bilancio di energia H4=H3=0.493 m. All’energia H4=0.493 m corrisponde, sul ramo delle correnti lente l’altezza y4=0.421 m. Essendo y4<y0, a partire dalla sezione 4, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 5). Il profilo liquido è illustrato in Figura 36.

Figura 36

Questa duplice soluzione, che configura quindi un problema di isteresi, è possibile sono a causa dell’effetto di contrazione della vena. Nel caso di cc=1, infatti, la soluzione sarebbe unica (quella rappresentata nella Figura 35 dell’Esercizio 30) in quanto, in questo caso, si avrebbe y3=a.cc=a>yc mentre, come discusso nel paragrafo 2.3.1, a valle di una paratoia, quando l’efflusso non è rigurgitato, la vena contratta è caratterizzata sempre da numeri di Froude superiori all’unità.

2 Tracciamento dei profili di moto permanente

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