1

CAPITOLO 2 POLINOMI Definizione. Addizione e moltiplicazione tra polinomi Si dicono polinomi in una variabile, espressioni del tipo P (x ) = a0 + a1x + ...+ anx

n , dove i coefficienti appartengono ad un determinato insieme numerico. In genere ci occuperemo di polinomi a coefficienti interi, con qualche accenno ai casi in cui i coefficienti appartengono all’insieme dei numeri reali. Un polinomio è scritto nella forma canonica dopo che i monomi simili sono stati tutti sommati tra loro, e si definisce grado del polinomio quello maggiore dei monomi che lo costituiscono. Principio di identità dei polinomi. Consideriamo identici due polinomi che hanno lo stesso grado, e gli stessi coefficienti corrispondenti. I polinomi possono essere sommati o moltiplicati tra loro. Riprendiamo la regola in base alla quale queste operazioni possono essere eseguite. Siano P (x ) = a0 + a1x + ...+ anx

n e Q (x ) = b0 + b1x + ...+ bmxm due polinomi con, ad

esempio, n > m . Risulta: • P (x )+Q (x ) = a0 + b0( )+ (a1 + b1)x + ...+ (am + bm )xm + am+1xm+1 + ...+ anxn ; • P (x ) ⋅Q (x ) = anbmx

n+m + (anbm−1 + an−1bm )xn+m−1 + ...+ a0b0 .

Esercizi 1. Si eseguano le addizioni P x( )+Q x( )e le moltiplicazioni

P x( ) ⋅Q x( )per le seguenti coppie di polinomi: a)

P x( ) = x2 −5x +2 Q x( ) = x3 +5x − x2 , b)

P x( ) = 3x4 + x −3 Q x( ) = 2x5 −6x3 +7x2 +1 .

2. Determinare i coefficienti a e b in modo che i due polinomi P x( ) = x3 +2ax2 + b−2( )x +1e Q x( ) = x3 + 1− b( )x2 + a+3( )x +1 siano identici.

3. Scrivere 12345 come polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di 10.

2

In queste ipotesi è chiaro il motivo per cui non viene assegnato il grado al polinomio nullo P (x ) ≡ 0 : se, per assurdo, fosse d il grado del polinomio nullo, per la regola di moltiplicazione risulterebbe ad esempio 0 = 0 ⋅ x⇒ d +1= d , e ciò non è possibile. E’ possibile osservare un’interessante analogia tra l’insieme dei polinomi a coefficienti interi, che denotiamo con Q x!" #$, e quello dei numeri interi, dove per ogni elemento esiste l’opposto rispetto all’addizione, ma non il reciproco rispetto alla moltiplicazione. E’ quindi necessario approfondire la questione legata alla divisibilità tra polinomi. Divisibilità tra polinomi Definizione. Si dice che il polinomio A(x) è divisibile per B(x ) se esiste un polinomio Q (x ) , detto il quoziente, tale che A(x ) =Q (x )B(x ) . Notiamo come questa definizione richiami quella analoga di divisibilità tra numeri interi. L’analogia prosegue con la verifica delle seguenti proprietà: • D(x )|A(x ),B(x )⇒ D(x )| A(x )+ B(x )( ) ; • D(x )|A(x )⇒ D(x )|A(x )C (x ) ;

• D(x )|A(x ) A(x )|B(x )⇒ D(x )|B(x ) . Questo “esame comparato” ci porta alla ricerca dell’analogo per i polinomi dei numeri primi. Riducibilità tra polinomi Definizione. Un polinomio si dice riducibile se ammette divisori diversi dalle costanti non nulle e da se stesso; in caso contrario si dice irriducibile. I polinomi irriducibili costituiscono quindi l’analogo dei numeri primi. E’ importante notare che la riducibilità di un polinomio è legata all’insieme di appartenenza dei coefficienti. Ad esempio, A(x ) = x2 −2 = (x − 2)(x + 2) è riducibile come polinomio a coefficienti reali, ma non lo è come polinomio a coefficienti interi. Analogamente, A(x ) = x2 +1 non è riducibile come polinomio a coefficienti reali. Infatti, per stabilire se, in generale, un polinomio di secondo grado è riducibile, occorre vedere se questo può essere scritto come prodotto di due polinomi di primo grado. Poniamo quindi x2 +1= (x + a)(x + b) . Svolgendo il prodotto al membro di destra, ed uguagliando i coefficienti dei polinomi ai due membri dell’uguaglianza, otteniamo:

3

x2 +1= x2 + (a+ b)x + ab⇒1=10 = a+ b1= ab

"

#$

%$

, chiaramente impossibile; il

polinomio A(x ) = x2 +1non è riducibile nell’insieme dei reali. Strumenti molto utili per risolvere questioni legate alla riducibilità dei polinomi, sono rappresentati dai prodotti notevoli. Ne riportiamo alcuni, espressi in modo “opportuno”. a2x2 − b2( ) = ax − b( ) ax + b( ) , a3x3 − b3( ) = ax − b( ) a2x2 + abx + b2( ) ,

ax + b( )n= n

k

!

"#

$

%&

k=0

n

∑ akxkbn−k .

Esercizi 1. Scrivere il polinomio x12 + x6 +1 come prodotto di fattori (fattorizzare,

cioè, il polinomio). 2. Si determinino a, e b in modo tale che i polinomi x3 −2ax2 + bx +1 e x3 +2bx2 + (a −1)x +1siano identici.

3. Dato il polinomio A(x ) = ax2 + bx + c , determinare a, b, c affinché A(x +1)− A(x ) = x . Supponiamo inoltre che la variabile x possa assumere soltanto i valori “naturali” 1, 2, 3,…Si dimostri che dalle differenze A(n+1)− A(n)è possibile ottenere la formula della somma dei primi N numeri naturali.

4. Si sfruttino le considerazioni dell’esercizio precedente per calcolare, a partire dal polinomio A(x ) = ax3 + bx2 + cx + d , la somma dei quadrati dei primi N numeri naturali.

5. Si dica per quale valore di h il polinomio x3 −4x2 +4x + h è divisibile per x +1.

6. Si sviluppino i seguenti prodotti notevoli: a3 + b3x3( ) , x +1( )7 .

7. Dati i polinomi A x( ) = 8x3 −4x2 +2x −1 e B x( ) = ax3 + bx2 + cx + d , determinare i coefficienti a,b,c,d in modo tale che

A x( )+ B x( ) = x −1( )2.

4

8. Trovare i divisori dei seguenti polinomi: a) x4 −1, b) x2 + x +1, c) x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1, d) x3 −8 .

9. Si dica per quale valore di k il polinomio 2x3 −5x2 +5x − k è divisibile per x −2.

Soluzioni

1. x12 + x6 +1= x6 +1( )2− x6 = x6 +1( )− x3"

#$% x6 +1( )+ x3"#

$%

2. −2a = 2bb = a −1

"#$

⇒a =1 2b = −1 2

"#&

$&.

3. x = A(x +1)− A(x ) = a(x +1)2 + b(x +1)+ c − ax2 − bx − c = 2ax + a+ b

⇒ 2a =1a+ b = 0

#$%

⇒a =1 2b = −1 2

#$&

%&

Dalla somma delle A(n+1)− A(n) = n , otteniamo il valore della somma dei primi n numeri

naturali: A(n+1)− A(1) = (n+1)2

2−n+12

+ c − 12+12− c = n(n+1)

2.

4.

x2 = A(x +1)− A(x ) = 3ax2 + 3a+2b( )x + a+ b+ c⇒3a =1⇒ a =1 3

3a+2b = 0⇒ b = −1 2a+ b+ c = 0⇒ c =1 6

#

$%%

&%%

. Da questo segue

A(n+1)− A(1) = (n+1)3

3−(n+1)2

2+n+16

+ d − 13+12−16− d = n(n+1)(2n+1)

6

5. Posto x3 −4x2 +4x + h = (x +1)(ax2 + bx + c )⇒ h = 9 . 6. a3 + b3x3( ) = a+ bx( ) a2 − abx + b2x2( ) ,

x +1( )7= 7

k

!

"#

$

%&

k=0

7

∑ xk17−k =1+7x +21x2 +35x3 +35x4 +21x5 +7x6 + x7 .

7. B(x ) = −8x3 +5x2 −4x +2 .

5

8. a) x4 −1= x2 +1( ) x +1( ) x −1( ) , b) x2 + x +1, c)

x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1, d) x3 −8 = x −2( ) x2 +2x +4( ) . 9. k = 6 .

Divisione con resto fra polinomi Vediamo se le operazioni che hanno permesso, nel caso della divisione tra numeri interi, di determinare quoziente e resto, si possono adattare all’insieme dei polinomi. Ad esempio, abbiamo scritto “32 diviso 12 “ nella forma 32 = 2 ⋅12+8 , dove 2 rappresentava il quoziente, e 8 il resto. Ora, quanto scritto può essere interpretato come il risultato di 2 (quoziente) sottrazioni successive:

32−12 = 2020−12 = 832+20−2 ⋅12 = 20+8⇒ 32 = 2 ⋅12+8

.

Proviamo ad applicare questo metodo al caso dei polinomi. Siano A(x ) = 5x4 −3x2 +4x −2 e B(x ) = 5x2 −1. Se dividiamo il monomio di grado massimo di A(x ) per quello di B(x ) otteniamo: 5x4 5x2 = x2e, quindi A(x )− x2B(x ) = −2x2 +4x −2 := R1(x ) . Ripetiamo il procedimento dividendo stavolta il monomio di grado massimo del resto venutosi a formare al passaggio precedente, R1(x ) , sempre per quello di B(x ) :

R1(x )− −25

"

#$

%

&'B(x ) := 4x −

125:= R2(x ) . Il processo si arresta quando il grado

del polinomio resto che si viene a formare è minore di quello del polinomio divisore B(x ) . Ricapitolando:

A(x )− x2B(x ) = −2x2 +4x −2 := R1(x )

R1(x )− −25

"

#$

%

&'B(x ) = 4x −

125:= R2(x ), deg R2(x )() *+< deg B(x )() *+

A(x )− x2 − 25

"

#$

%

&'B(x ) = 4x −

125

.

Con questo procedimento sembra possibile determinare il resto senza effettuare la divisione che, tuttavia, poteva essere eseguita con il metodo usuale (che poggia su quanto appena visto):

6

5x4 −3x2 +4x −2−5x4 + x2

−2x2 +4x −2

2x2 − 25

4x −125:= R(x )

5x2 −1

x2 − 25

.

Questo metodo di divisione può essere generalizzato, ed enunciato formalmente come teorema. Teorema 1. Siano A(x) e B(x)due polinomi tali che deg A(x)[ ] = n ≥ deg B(x)[ ] =m . Allora è possibile sottrarre ad A(x)un multiplo di B(x) , detto Q(x) , in modo da ottenere un polinomio R(x) di grado inferiore a quello di A(x) . Dimostrazione. Si tratta di compiere il procedimento visto sopra:

A(x )−anbmxn−mB(x ) := R(x ) , e di iterarlo sostituendo ad ogni passo il

dividendo con il resto che si viene così a formare, finché non si ottiene un resto di grado minore di quello del divisore. Esercizi

10. Determinare il resto, senza eseguire la divisione, tra i polinomi A(x ) = 3x3 +5x2 − x +2 e B(x ) = x +2 .

11. Determinare a, b in modo tale che il polinomio 2x4 + ax3 + x2 +4x + b sia divisibile per x2 + x .

7

12. Eseguire la divisione con resto tra i seguenti polinomi: A x( ) = x5 −3x2 +5x +4 B x( ) = x3 +3

A x( ) = x3 +1 B x( ) = x +1A x( ) = 3x4 +4x3 −5x2 −6 B x( ) = 2x2 +1

A x( ) = 5x3 −7x2 +4x −2 B x( ) = x −2A x( ) = 3x3 +5x2 − x +2 B x( ) = x +2

A x( ) = x5 + x4 −3x3 − x2 −5 B x( ) = x +3A x( ) = x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 B x( ) = x +1

.

Soluzioni

10. Si ha 3x3

x= 3x2 ⇒ A(x )−3x2B(x ) = −x2 − x +2 := R1(x );

−x2

x= −x⇒ R1(x )− (−x )B(x ) = x +2 := R2(x );

xx=1⇒ R2(x )− (1)B(x ) = 0⇒ A(x ) = (3x2 − x +1)(x +2)⇒ R(x ) = 0

.

11. Si determina il resto: R3(x ) = (a+1)x + b⇒ R3(x ) = 0⇔a = −1b = 0

$%&

.

8

12.

A x( ) = x2B x( )−6x2 +5x +4A x( ) = x2 − x +1( )B x( )

A x( ) = 3x2

2+2x −13

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟B x( )+ 5x4 −6

A x( ) = 5x2 +3x +10( )B x( )+18A x( ) = 3x2 − x +1( )B x( )

A x( ) = x4 −2x3 +3x2 −10x +30( )B x( )−95A x( ) = x4 + x2 +1( )B x( )

.

A questo punto è possibile enunciare un risultato che ricorda molto uno analogo relativo alla divisione tra interi. Teorema 2. Siano A(x) e B(x)due polinomi tali che B(x) ≠ 0 . Esiste un’unica coppia di polinomi Q(x),R(x) tali che A(x) = B(x) ⋅Q(x)+ R(x) , dove deg R(x)[ ] < deg B(x)[ ]∨deg B(x)[ ] = 0 .

Dimostrazione. L’esistenza è una diretta applicazione del metodo visto nel teorema 1. Si dimostra quindi l’unicità, supponendo per assurdo l’esistenza

di due coppie tali che A(x ) = B(x ) ⋅Q 1(x )+ R1(x )A(x ) = B(x ) ⋅Q 2(x )+ R2(x )

. Sottraendo membro a

membro si ottiene l’uguaglianza 0 = B(x ) Q 1(x )−Q 2(x )"# $%+ R1(x )− R2(x )"# $% . Se

Q 1(x )−Q 2(x )"# $%fosse diverso da zero, sarebbe un polinomio di grado k,

quindi B(x ) Q 1(x )−Q 2(x )"# $%avrebbe grado m+ k . Ora, per ipotesi,

R1(x )− R2(x )"# $% ha grado minore di m, quindi il membro di destra

dell’uguaglianza 0 = B(x ) Q 1(x )−Q 2(x )"# $%+ R1(x )− R2(x )"# $% avrebbe grado m+ k , e non potrebbe quindi essere uguale al polinomio nullo, membro di sinistra.

9

Massimo comun divisore

Definizione. Dati due polinomi A x( ),B x( ) si dice loro massimo comun divisore

MCD A x( ),B x( )!"

#$un polinomio D x( ) divisore comune di A x( ),B x( ) ,

multiplo di ogni divisore di A x( ),B x( ) . L’esistenza, così come il calcolo, del massimo comun divisore si dimostra adattando ai polinomi l’algoritmo euclideo. Esempio. Calcoliamo il massimo comun divisore tra i polinomi A x( ) = x5 −4x e B x( ) = x4 −4x2 +4 . Estendiamo quindi ai polinomi l’algoritmo euclideo, riportando i vari passi nella seguente tabella. A x( ) B x( ) Q x( ) R x( ) x5 −4x x4 −4x2 +4 x 4x3 −8x x4 −4x2 +4 4x3 −8x 1

4x −2x2 +4

4x3 −8x −2x2 +4 −2x 0 Il massimo comun divisore è quindi il polinomio −2x2 +4 , equivalente a −2x2 +4 = −2 x2 −2( ) . Esiste anche un analogo del teorema di Bézout per i polinomi: il massimo comun divisore tra i polinomi A x( ) = x5 −4x e B x( ) = x4 −4x2 +4 , può essere scritto come un’opportuna combinazione di questi; ad ogni passo si esprime il resto come combinazione del dividendo e del divisore, e con un procedimento “a cascata” come quello seguito nel caso dei numeri interi si giunge alla soluzione.

Nel caso esaminato sopra risulta −2x2 +4 = −14x

"

#$

%

&'A x( )+ 1+ 14 x

2"

#$

%

&'B x( ) .

Esercizi Si calcoli il massimo comun divisore tra le seguenti coppie di polinomi, e si esprima il risultato come combinazione dei polinomi stessi.

13. A x( ) = x2 +3x +2; B x( ) = 7x2 + x −6

10

14. A x( ) = x3 +2x2 + x +2; B x( ) = x2 + x +2

15. A x( ) = x4 −4x3 +6x2 −5x +2; B x( ) = x3 −5x2 +5x −4

16. A x( ) = −x3 + x2 +3x +1; B x( ) = −2x2 +3x +1 .

Soluzioni 13. D x( ) = −6(x +1)⇒ x +1

14. D x( ) = x +2

15. D x( ) = x2 − x +1

16. D x( ) = 4⇒1 Il teorema di Ruffini Analogamente al caso dei numeri interi, il polinomio A(x) è divisibile per B(x ) se e soltanto se il resto R(x ) è uguale a zero. Sussiste al riguardo il seguente risultato. Teorema 3. (Ruffini) Il polinomio A(x) è divisibile per (x −α) quando il resto R(x) è uguale a zero, quindi se e solo se A(α) = 0 . In questo caso si dice che α è una radice del polinomio. Dimostrazione. (⇒) A(x) è divisibile per (x −α) , allora A(x) = (x −α)Q(x)⇒ A(α) = (α −α)Q(α) = 0 . (⇐)Viceversa, posto A(x) = (x −α)Q(x)+ R(x) , segue che deg R(x)[ ] < deg x −α[ ] =1 , quindi il resto è una costante, per cui A(x) = (x −α)Q(x)+ h . Si giunge alla tesi facendo vedere che questa costante è 0: per ipotesi A(α) = 0 , allora 0 = A(α ) = (α −α )Q (α )+ h⇒ h = 0 . Tra le conseguenze del teorema di Ruffini consideriamo le seguenti. Proposizione 1. Un polinomio di terzo grado è riducibile se e solo se ammette una radice. Dimostrazione. (⇒) Un polinomio di terzo grado riducibile può essere scritto nel prodotto di un polinomio di grado uno per un polinomio di grado due. La tesi segue dal fatto che un polinomio di grado uno ammette sempre una radice.

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(⇐) Viceversa, se il polinomio A(x) ammette una radice α , può essere scritto nella forma A(x) = (x −α)Q(x) , dove il quoziente è un polinomio di grado due. Proposizione 2. Se α è una radice di un polinomio a coefficienti interi, allora α divide il termine noto. Dimostrazione. P (x ) = a0 + a1x + ...+ anx

n ⇒ 0 = P (α )⇒−a0 =α a1 + a2α + ...+ anαn−1( )⇒α|a0 .

Esercizi 17. Trovare tutte le radici, intere o razionali, del polinomio

x4 −3x3 − 2x2 −32 . 18. Tra i polinomi di secondo grado che divisi per (x −1), (x − 2) danno

per resto 4, determinare quello che ha come radice α = 0 . 19. E’ dato il polinomio Pn (x) = xn +1 sull’insieme degli interi. Per quali

valori di n è riducibile? In tal caso, si dica quant’è il valore dei coefficienti del polinomio di grado massimo che si viene a determinare nella divisione.

20. Dividere il polinomio x16 −1per x −1, e determinare i coefficienti del polinomio quoziente.

21. Si trovino le intersezioni tra la parabola di vertice V (2, 2) passante per l’origine, e l’iperbole xy =12 .

22. Per quali valori di k la parabola di equazione y = x2 − 2x −1 interseca l’iperbole xy = k in punti ad ascissa intera?

23. Sia P(x) un polinomio e Q(x) = P(x)+1. Dimostrare che P(x)2n +Q(x)n −1è divisibile per il prodotto P(x) ⋅Q(x) .

24. Dimostrare che un polinomio è divisibile per (x −1) se la somma dei suoi coefficienti è zero.

Soluzioni

17. Si osserva che x = 4 e x = −2 sono radici del polinomio, quindi questo può essere scritto nella forma x4 −3x3 − 2x2 −32 = (x − 4)(x + 2)(x2 − x + 4) , con l’ultimo fattore irriducibile in R.

18. ax2 + bx + c = (ax + a+ b)(x −1)+ a+ b+ cax2 + bx + c = (ax + 2a+ b)+ 4a+ 2b+ c

⇒ a+ b+ c = 44a+ 2b+ c = 4

#$%

⇒ b = −3ac = 4+ 2a

#$%

. Il

polinomio può quindi essere scritto nella forma P(x) = ax2 −3ax + 4+ 2a .

12

Imponendo P(0) = 0 otteniamo il polinomio:P(0) = 0⇒ 4+ 2a = 0⇒ a = −2⇒ P(x) = −2x2 + 6x .

19. Il polinomio è riducibile se n è dispari. In tal caso x = −1è una radice, quindi può essere diviso per il polinomio x +1; di conseguenza Pn (x) = x

n +1= a0 + a1x +...+ an−1xn−1( ) x +1( ) . I coefficienti del polinomio

quoziente di grado n−1 si determinano eseguendo la moltiplicazione dei fattori presenti al membro di destra, ed imponendo l’unicità della forma canonica: xn +1= a0 + (a0 + a1)x + (a1 + a2 )x2 +...+ (an−2 + an−1)xn−1 + an−1xn da cui seguono le uguaglianze a0 =1, an−1 =1⇒ an−2 = −1⇒ an−3 =1⇒ ...⇒ a1 = −1 , ottenute ponendo uguale

a zero tutte le somme tra parentesi. Il quoziente è quindi Qn−1(x) = (−1)k xk

k=0

n−1

∑ .

20. x16 −1= x −1( ) x +1( ) x2 +1( ) x4 +1( ) x8 +1( ) . Poiché x =1è una radice del polinomio, non c’è in realtà bisogno di fare grandi calcoli: si procede, con qualche adattamento, come nell’esercizio precedente: x16 −1= a0 + a1x +...+ an−1x

n−1( ) x −1( ) = −a0 + a0 − a1( ) x + a1 − a2( ) x2 +... an−2 − an−1( ) xn−1 + an−1xn

a0 =1⇒ a1 = a2 = ... = an−1 =1

21. Si mette a sistema l’equazione della parabola

y− 2 = − 12x − 2( )2 ⇒ y = − x

2

2+ 2x , con quella dell’iperbole, ottenendo

l’equazione risolvente x3 − 4x2 + 24 = 0 . Le soluzioni dell’equazione sono radici del polinomio P(x) = x3 − 4x2 + 24 ; poiché una di queste è x = −2 , il polinomio può essere fattorizzato nel prodotto x3 − 4x2 + 24 = x + 2( ) x2 − 6x +12( ) . Essendo il polinomio di secondo grado irriducibile nell’insieme dei numeri reali, l’unica intersezione tra la parabola e l’iperbole è rappresentata dal punto −2;−6( ) .

22. Dall’equazione risolvente x3 − 2x2 − x − k = 0 e dalla divisibilità per x = n ∈ Z otteniamo la fattorizzazione x3 − 2x2 − x − k = x − n( ) x2 + n− 2( ) x + n2 − 2n−1( ) , con resto zero n n n− 2( )−1"# $%− k = 0⇒ k = n n n− 2( )−1"# $% . Il valore (o i valori) di k dipendono da quelli di n che forniscono radici intere del polinomio di secondo grado nella fattorizzazione. Questi valori si ottengono imponendo che il discriminante dell’equazione associata al fattore di secondo grado sia non negativo: −3n2 + 4n+8 ≥ 0⇒ 2− 2 7

3≤ n ≤ 2+ 7

3⇒ n = 0,1 . Per

13

n =1 otteniamo k = −2 e x3 − 2x2 − x + 2 = x −1( ) x2 − x − 2( ) = x −1( ) x +1( ) x − 2( ) . Per n = 0 otteniamo k = 0 e l’iperbole non esiste.

23. Posto P(x) =Q(x)−1 , poiché Q(x)n −1è divisibile per Q(x)−1 si ha P(x)2n +Q(x)n −1= P(x)2n +Q(x)n +P(x)−Q(x) = P(x)(P(x)2n−1 +1)+Q(x)(Q(x)n−1 −1) . Ora, poiché nel caso in cui n è dispari xn +1 è divisibile per x +1, essendo 2n−1 dispari, allora P(x)2n−1 +1 è divisibile per P(x)+1, ovvero

per Q(x) . In definitiva, P(x)2n +Q(x)n −1= P(x)(P(x)2n−1 +1)+Q(x)(Q(x)n−1 −1) =

P(x)A(x)Q(x)+Q(x)B(x)P(x) =Q(x)P(x)(A(x)+B(x)).

24. Per il teorema di Ruffini, la divisibilità per (x −1)equivale a dire che x =1è una radice del polinomio, quindi 0 = P(1) = a0 + a1 +...+ an .

“Liceo Scien t i f i c o Stata le “Guido Caste lnuovo”

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

10/12/2015 Quesiti

1. Si calcolino le radici dei polinomi A x( ) = x5 + x3 + x2 +1 e

B x( ) = x3 −3x2 + x −3 . Si determini D x( ) = MCD A x( ),B x( )⎡⎣

⎤⎦ .

• A x( ) = x5 + x3 + x2 +1= x3 x2 +1( )+ x2 +1( ) = x3 +1( ) x2 +1( ) = x +1( ) x2 − x +1( ) x2 +1( )

• B x( ) = x3 −3x2 + x −3= x2 x −3( )+ x −3( ) = x2 +1( ) x −3( ) .

Le radici dei polinomi sono x = −1 per A x( ) e x = 3 per B x( ) . Il massimo comun divisore è D x( ) = MCD A x( ),B x( )⎡

⎣⎤⎦= x

2 +1.

2. Sono dati i polinomi A x( ) = x2 +1 e B x( ) = x2 −1. Dopo averne

calcolato il massimo comun divisore D x( ) , si trovino due polinomi

M x( ),N x( ) tali che D x( ) = M x( ) ⋅ A x( )+ N x( ) ⋅B x( ) . • Poiché A x( ) = x2 +1 non è riducibile, il massimo comun divisore è

D x( ) =1. Di conseguenza,

14

x2 +1= x2 −1+2⇒ 2 = x2 +1( )− x2 −1( )⇒ D x( ) =1=x2 +1( )− x2 −1( )

2, da

cui segue 1= D x( ) = 12 ⋅ A x( )+12⋅B x( ) .

3. Si determini il più piccolo intero positivo multiplo di 3 tale che, diviso

per 5 dà resto 2, e diviso per 7 dà resto 1. • Poiché 7,5,3 sono primi tra loro, per il teorema cinese del resto il

sistema che scaturisce dal problema ammette soluzione:

N ≡ 2mod 5( )N ≡1mod 7( )

⎧

⎨⎪

⎩⎪⇒

N = 2+5xN =1+7 y

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ 5x +2 = 7 y+1⇒ 7 y−5x =1.

Risulta y = −2+5nx = −3+7n

⇒ N = 2−15+35n = 35n−13 . Si ha la tesi per

n = 2 dal momento che N = 57 risponde a tutte le richieste. Approfondimento: IL TERZO GRADO Polinomi, equazioni, funzioni. Presentiamo un percorso limitato allo studio delle principali proprietà, e delle loro implicazioni, degli “oggetti di terzo grado”. Definizione. Un polinomio di terzo grado è un’espressione del tipo

P3 x( ) = ax3 + bx2 + cx + d .

E’ noto che, in generale, più grande è il grado, più difficile da trattare è il polinomio. Ma cosa significa trattare un polinomio? E’ qui che entrano in scena le equazioni e le funzioni. Definizione. Una funzione polinomiale di terzo grado è una legge che associa ad ogni numero reale x, un numero reale, che indichiamo con f x( ) . In simboli:

x→ f x( ) = ax3 + bx2 + cx + d .

Ci occuperemo in seguito della rappresentazione grafica di una funzione di polinomiale di terzo grado (d’ora in poi cubica), per il momento ci limitiamo alla questione della determinazione degli zeri della funzione, cioè dei punti del piano in cui questa taglia l’asse delle ascisse.

15

Gli zeri si determinano annullando il valore dell’immagine di una funzione: f x( ) = 0 . Nel nostro caso si tratta di risolvere un’equazione di terzo grado (d’ora in poi un’equazione cubica). Definizione. Un’equazione (algebrica) di terzo grado è un’uguaglianza del tipo

ax3 + bx2 + cx + d = 0 . Termina qui questa breve introduzione, con la quale sono stati presentati in forma coesa i concetti di polinomio, equazione e funzione di terzo grado. Per iniziare a comprendere quanto possono essere legate tra loro le funzioni e le equazioni cubiche, presentiamo qualche risultato preliminare sui polinomi di terzo grado. Osserviamo innanzitutto che un polinomio di terzo grado può essere scritto privandolo del termine di secondo grado.

Proposizione. Ogni polinomio cubico del tipo p3 x( ) = x3 + ax2 + bx + c 1può essere

scritto nella forma !p3 x( ) = x3 + px + q .

Dimostrazione. Consideriamo la sostituzione x −α : p3 x −α( ) = x −α( )

3+ a x −α( )

2+ b x −α( )+ c . Scriviamo il polinomio in forma

canonica: p3 x( ) = x3 + 3α + a( )x2 + 3α2 +2aα + b( )x +α3 + aα2 + bα + c . Si giunge

alla tesi ponendo 3α + a = 0⇒α = −a3

, da cui segue !p3 x( ) = x3 + px + q avendo

posto b− a

2

3:= p

2a3

27−ba3+ c := q

"

#

$$

%

$$

.

Osservazione. La sostituzione utilizzata nella dimostrazione precedente ha un’interessante interpretazione geometrica: si tratta di una traslazione del

grafico della funzione f x( ) = x3 + ax2 + bx + c verso destra di fattore a3

.

Il metodo di Lagrange Più che un metodo, per la risoluzione di equazioni di terzo grado particolari, del tipo x3 + px + q = 0 , si tratta di una semplice sostituzione:

1I polinomi in cui il coefficiente del termine di grado massimo è 1 si dicono monici.

16

x = z − p3z

.

In questo modo si ottiene l’equazione ausiliaria (trinomia) z6 + qz3 − p3

27= 0 .

Esercizio. Verificare il risultato precedente, e scrivere una formula risolutiva per equazioni di terzo grado del tipo x3 + px + q = 0 . I polinomi di terzo grado e la loro riducibilità Consideriamo identici due polinomi che hanno lo stesso grado, e gli stessi coefficienti corrispondenti. Esercizio. Si dica per quale valore di h il polinomio x3 − 4x2 + 4x + h è divisibile per x +1.

• Posto x3 − 4x2 + 4x + h = (x +1)(ax2 + bx + c)⇒ h = 9 . Abbiamo avuto modo di osservare che un polinomio di terzo grado è riducibile se e solo se ammette una radice. In generale, la riducibilità di un polinomio è strettamente connessa all’equazione ad esso associata. Nel caso di un polinomio di terzo grado, si possono presentare i seguenti casi:

a) 3 soluzioni distinte: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x − x2( ) x − x3( ) . b) 2 soluzioni distinte: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x − x2( )2 . c) 1 soluzione: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x2 + px + q( ) , con p2 − 4q < 0 ,

oppure x3 + ax2 + bx + c = x − x1( )3(tre soluzioni coincidenti)

Dallo schema sopra emerge un fatto notevole: a differenza delle equazioni di secondo grado, quelle di terzo ammettono sempre almeno una soluzione. Tra le varie dimostrazioni che si possono dare, segnaliamo questa giustificazione di tipo geometrico, che poggia sulla conoscenza dei metodi analitici con cui si trattano la parabola e l’iperbole. Studiamo l’intersezione tra una parabola di equazione y = x2 + ax + b ed un’iperbole di equazione xy+ c = 0 . Risulta, sostituendo l’ordinata della parabola nell’equazione dell’iperbole: x3 + ax2 + bx + c = 0 . La risoluzione di un’equazione di terzo grado è quindi connessa ad un problema geometrico, quello dell’intersezione di una parabola con un’iperbole.

17

Esempio. Vogliamo studiare l’intersezione della parabola di equazione y = x2 + x +1 con l’iperbole xy =1.

Dal grafico (realizzato con il software dinamico geogebra) possiamo dare una risposta qualitativa al problema: esiste una sola intersezione, con ascissa compresa tra 0 e 1. Il problema algebrico equivalente sarebbe stato quello in cui si chiede di risolvere l’equazione di terzo grado x3 + x2 + x −1= 0 . Volendo seguire la via geometrica, si pone la questione di “smontare” l’equazione di terzo grado in modo da tirar fuori la parabola e l’iperbole. Per questo è sufficiente seguire a ritroso la strada

x3 + ax2 + bx + c = 0⇒ y = x2 + ax + bxy+ c = 0

"#$

%$. Nel nostro caso a =1, b =1e c =1.

Esempio. Stavolta consideriamo l’equazione di terzo grado x3 − x2 − x +1= 0 . In questo caso, è possibile scrivere l’equazione in forma tale da rendere immediate le sue soluzioni: 0 = x3 − x2 − x +1= x2 x −1( )− x −1( ) = x2 −1( ) x −1( ) = x −1( )

2x +1( ) . Le soluzioni

distinte sono x =1 e x = −1. Vale la pena spendere due parole sulla soluzione x =1. E’ radice doppia del polinomio x −1( )

2, ed ascissa del vertice della

parabola y = x −1( )2: poiché l’ordinata del vertice è 0, l’asse delle ascisse è

tangente alla parabola nel vertice. S’intuisce un’altra chiave interpretativa in senso geometrico: in corrispondenza della radice doppia, la parabola y = x2 − x −1e l’iperbole

18

xy = −1sono tangenti nel punto 1,−1( ) , nel senso che in quel punto condividono la stessa retta tangente di equazione y = x −2 .

Esempio. Risolviamo infine l’equazione x3 +2x2 − x −2 = 0 . Anche in questo caso è immediato porre l’equazione nella forma di prodotto di binomi: 0 = x3 +2x2 − x −2 = x −1( ) x +1( ) x +2( ) . Le tre soluzioni distinte corrispondono al caso in cui la parabola e l’iperbole s’intersecano in tre punti distinti.

19

Un’applicazione all’idrostatica delle equazioni di terzo grado Concludiamo questa panoramica iniziale sulle equazioni di terzo grado con la seguente applicazione ad un problema di idrostatica, suggerita dall’ingegnere belga A. Demanet nel 1898. Si hanno un cilindro di superficie di base S, e un cono di raggio di base r ed altezza a. I due recipienti sono collegati attraverso un tubicino sottile, di volume trascurabile rispetto a quello dei due recipienti. Si versa del liquido di volume V in uno dei due recipienti e, per il principio dei vasi comunicanti, il livello raggiunge una quota h. Vogliamo calcolare il valore della quota h raggiunta dal liquido nei due recipienti.

Il volume totale V è dato dalla relazione π3x !r 2 + Sx =V ⇒

π3r2

a2x3 + Sx =V . Si

tratta di un’equazione di terzo grado che può essere scritta nella forma, ormai familiare, seguente:

x3 + 3a2S

π r2x −V = 0 ,

e risolta con i metodi introdotti.

Esercizio. Risolvere l’equazione sopra nel caso particolare in cui ra=

3π

, e

S =1cm2 . Interpretare fisicamente le soluzioni trovate. Problema E’ dato il polinomio di terzo grado p(x ) = x3 −4x2 + x +6 .

20

a) Si discuta la riducibilità e si risolva l’equazione associata x3 −4x2 + x +6 = 0 .

b) Si determinino le equazioni della parabola e dell’iperbole, di cui l’equazione x3 −4x2 + x +6 = 0 ne caratterizza le intersezioni, e si tracci un grafico delle curve ottenute.

c) Si scriva il polinomio p(x ) = x3 −4x2 + x +6 nella forma !p x( ) = x3 + px + q . d) Si dica se l’equazione associata al polinomio ottenuto al punto

precedente si presta all’interpretazione idrostatica. Soluzione

a) E’ immediato verificare che x = 2 è una radice del polinomio che, per il teorema di Ruffini, può essere scritto nella forma p(x ) = x3 −4x2 + x +6 = ax2 + bx + c( ) x −2( ) . Il polinomio di secondo grado si può determinare applicando il principio d’identità dei polinomi: x3 −4x2 + x +6 = ax2 + bx + c( ) x −2( ) = ax3 + b−2a( )x2 + c −2b( )x −2c

⇒

a =1b−2a = −4c −2b =1−2c = 6

#

$%%

&%%

⇒

a =1b = −2c = −3c = −3

#

$%%

&%%

⇒ x3 −4x2 + x +6 = x2 −2x −3( ) x −2( ). Il

polinomio di secondo grado è a sua volta riducibile nel prodotto x2 −2x −3= x +1( ) x −3( ) .Di conseguenza,

x3 −4x2 + x +6 = x +1( ) x −3( ) x −2( ) , e le soluzioni dell’equazione

x3 −4x2 + x +6 = 0 sono x1 = −1, x2 = 2, x3 = 3 . b) Un metodo rapido ed efficace per determinare le equazioni della parabola

e dell’iperbole può essere il seguente: dopo aver posto la condizione algebrica x ≠ 0 , si sposta il termine noto (+6) a destra del simbolo di uguaglianza, e si dividono ambo i membri per x. Otteniamo così le equazioni cercate:

x3 −4x2 + x = −6⇒ x2 −4x +1= −6x⇒

parabola : y = x2 −4x +1

iperbole : y = −6x

#

$%

&%

.

21

c) Si sfruttano le relazioni b− a

2

3:= p

2a3

27−ba3+ c := q

"

#

$$

%

$$

da cui segue

p =1−163= −133

q = −12827

−−43+6 = 70

27

⇒ #p x( ) = x3 −133 x +7027

.

d) Affinché l’equazione si presti ad un’interpretazione idrostatica, occorre

che p = 3a2S

π r2> 0 e q = −V < 0 . Poiché queste condizioni non sono

soddisfatte, l’equazione non si presta ad un’interpretazione idrostatica.

COMPITO DI MATEMATICA Classe III sezione E

10/10/2014 PROBLEMA E’ dato il polinomio di terzo grado p x( ) = x3 −6x2 +9x −4 :

a) Se ne discuta la riducibilità; • p 1( ) = 0⇒ x3 −6x2 +9x −4 = x2 −5x +4( ) x −1( ) = x −1( )

2x −4( ) .

b) Si risolva l’equazione di terzo grado associata; • x3 −6x2 +9x −4 = 0⇒ x −1( )

2x −4( ) = 0⇒ x1 ≡ x2 =1, x3 = 4

c) Si interpreti l’equazione x3 −6x2 +9x −4 = 0 come risolvente il problema dell’intersezione di una parabola e di un ramo d’iperbole, e

22

si tracci il grafico di queste due curve, evidenziando le coordinate dei punti d’intersezione;

• x3 −6x2 +9x −4 = 0⇒ x ≠ 0( )⇒ x3 −6x2 +9x −4 = 0⇒y = x2 −6x +9 = x −3( )

2

y = 4x

$

%&&

'&&

d) Si trasformi il polinomio dato in uno della forma q x( ) = x3 + px + q .

• Con la sostituzione (traslazione) x = !x − a3

#

$%

&

'(= !x +2( )otteniamo

!p ( !x ) = !x +2( )3−6 !x +2( )

2+9 !x +2( )−4 = !x 3 −3 !x −2⇒ p = −3, q = −2 .

L’equazione associata a questo polinomio, si presta per un’opportuna interpretazione “idrostatica”? • No, poiché risulta p = −3 , ed un recipiente cilindrico non può

avere una sezione “negativa”. QUESITI

1. Si dimostri che, nel caso in cui p > 0,q < 0 , l’equazione x3 + px + q = 0 ammette un’unica soluzione x = h...( ) .

23

• Se x = h è soluzione di x3 + px + q = 0 , allora

Il polinomio di secondo grado non è riducibile, quindi l’equazione ammette l’unica soluzione x = h . Oppure, nelle condizioni date p > 0,q < 0 l’equazione può essere interpretata idrostaticamente, quindi l’unicità della soluzione è giustificata dal significato fisico dell’equazione. 2. Un dispositivo utilizzato per l’interpretazione idrostatica di

un’equazione di terzo grado è costituito da un imbuto avente il raggio di base uguale all’altezza, collegato tramite un tubicino molto sottile ad un cilindro di sezione S = 2cm2 . Nell’imbuto vengono versati V =12cm3 di acqua. Quale sarà il livello raggiunto nei due recipienti

all’equilibrio? (Si assuma π3≈1 )

• x3 + Sx −V = 0⇒ x3 + 2cm2( )x −12cm3 = 0⇒ x = 2cm . Notiamo inoltre che

x3 +2x −12 = x2 +2x +6( ) x −2( ) , ed il polinomio x2 +2x +6( )non è ulteriormente riducibile; la soluzione trovata è quindi unica (come deve essere, vista la provenienza fisica del problema!) 3. Si dica per quale valore di α il polinomio

p x( ) = x3 − 2+α( )x2 + 2α +1( )x −α ammette tre radici reali coincidenti. • Il polinomio ammette tre radici reali coincidenti se è lo sviluppo di

un cubo di un trinomio. In tal caso deve risultare, ad esempio,

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− 2+α( ) = ±3⇒ −2−α = +3⇒α = −5−2−α = −3⇒α =1

. Se α = −5allora

p x( ) = x3 − 2+α( )x2 + 2α +1( )x −α = x3 +3x2 −9x +5che NON è lo sviluppo di un cubo di un binomio, mentre se α =1, p x( ) = x3 − 2+α( )x2 + 2α +1( )x −α = x3 −3x2 +3x +−1= x −1( )

3si ha la soluzione

del problema. Il ragionamento poteva essere condotto anche in

riferimento al coefficiente 2α +1( ) = ±3⇒ 2α +1= +3⇒α =12α +1= −3⇒α = −2

, e

saremmo giunti alle stesse conclusioni.