2. Il calcolo simbolico

2 Il calcolo simbolico

22 Polinomi Prerequisiti

Conoscenze aritmetiche elementari Gli enunciati logici Conoscenze aritmetiche e geometriche elementari Monomi Obiettivi

Sapere indicare con simboli generici degli elementi numerici o no in modo da potere ottenere risultati generali

Abituarsi a sostituire opportuni simboli per indicare grandezze variabili Abituarsi a usare simbologie Saper trasformare espressioni aritmetiche o algebriche in altre equivalenti Saper eseguire le operazioni aritmetiche di somma e prodotto fra polinomi Sapere riconoscere e semplificare opportunamente i prodotti notevoli piugrave comuni Contenuti

Richiamiamo le conoscenze Concetto di polinomio Operazione di prodotto nellrsquoinsieme dei polinomi Prodotti notevoli Potenze di binomi e triangolo di Tartaglia

Quelli che hellip vogliono sapere di piugrave

Polinomi e notazione posizionale dei numeri Cambiamenti di base Parole Chiave

Binomio ndash Polinomio ndash Polinomio omogeneo ndash Polinomio ordinato ndash Trinomio

Carmelo Di Stefano Dal problema al modello matematico ndash Volume 1 ndash Capitolo 2 - Unitagrave 2 - Biennio

211

Richiamiamo le conoscenze

Uso delle parentesi come contenitori

Nelle matematiche le parentesi hanno una precisa funzione sono dei delimitatori dei contenitori Esse de-vono essere usate solo laddove egrave strettamente necessario anche se il loro uso inutile non viene considerato un errore Vediamo qualche esempio Esempio A

Se vediamo scritta lespressione (3 + 2) 5 come dobbiamo calcolarla Se ci atteniamo al fatto che le pa-rentesi sono un contenitore racchiudono cioegrave degli oggetti matematici che devono essere accomunati al loro interno cominceremo a lavorare proprio allinterno della parentesi effettuando la somma A questo punto come scriveremo (5) 5 oppure 5 5 Egrave ovvio che le due scritte hanno lo stesso significato quindi per un principio di economia egrave preferibile la seconda

Consideriamo la seguente espressione 3 2 4

7 3

In questo caso la parentesi egrave necessaria Certamente

no poicheacute il lavoro di raggruppamento degli addendi 3 e 2 egrave giagrave svolto dalla linea di frazione e quindi an-cora una volta la parentesi puograve essere omessa

Se con una calcolatrice vogliamo calcolare la seguente espressione 1

2 3 siamo costretti a usare le pa-

rentesi Diversamente premendo in successione i seguenti tasti 1 2 + 3 otterremmo il risultato dellrsquooperazione 05 + 3 cioegrave 35 mentre il valore corretto egrave 02

Nella seguente espressione (2 + 3) 5 la parentesi egrave necessaria Se la usiamo il risultato dellrsquooperazione saragrave 25 se non la usiamo saragrave invece 2 + 15 = 17 La parentesi egrave dunque necessaria


212

Verifiche

Lavoriamo insieme

Nellrsquoespressione 3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

b g b g b g b g quali delle parentesi usate sono necessarie percheacute

diversamente lespressione avrebbe un valore diverso La prima parentesi egrave inutile percheacute il lavoro di raggruppamento egrave operato dalla frazione cosigrave come la terza parentesi percheacute loperazione di addizione non modifica lespressione Possiamo perciograve scrivere

3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

b g b g

In questo modo lespressione vale 5

53 4 5 2 3 8 1 12 8 19 Eliminando invece tutte le paren-

tesi avremo 3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

5

51 8 5 5 6 1 1 8 8

Stabilire quali delle parentesi usate nelle seguenti espressioni possono essere eliminate percheacute non neces-

sarie Quindi calcolare le espressioni con e senza le parentesi

Livello 1

1 a) (3 ndash 2) ndash (4 + 1) b) 5 3

24 2

( )( ) c) ( )

( )

( )2 3

2 3 4

3 2

10a) 4 2 b) 2418 c) 5 5 14

3

2 a) (2 + 7)2 (ndash5)3 (2)5 b) 34 1 5 3

2

c) [2 + (3 5) ndash 1] (2 + 1)

13 13a) 324000 3949 b) 3 5 3 5 c) 48 16

2 2

3 a) 54 7 2

(7) b)

3 5 11 2 5

4 2 4

c) 2 + [3 ndash (4 + 1)] ndash 2 + 1

5 5 7a) 1 1 b) 0 c) 1 1

7 7 8

4 a) 27 73 1 1 2 3

2 2

b)

23 1 21 2 3 2

24 3

b) 2 1 22+12

[a) (674 8) b) (1 16) c) (213 8)] 5 a) 5 ndash (4 ndash 1) ndash [(5 ndash 4) ndash 1] b) 2 + 3 (1 + 2) ndash (4 ndash 2) c) (4 ndash 1) middot (4 + 1) ndash (2 + 3)2

[a) (2 ndash13) b) (1 1) c) (ndash10 8)] 6 a) 7 ndash (6 ndash (5 ndash (4 ndash (3 ndash (2 ndash 1))))) b) 7 + (6 ndash (5 + (4 ndash (3 ndash 2 ndash 1)))) [a) (4 ndash14) b) (4 6)] 7 Con riferimento al quesito dellrsquoesercizio 5 egrave un caso che i risultati con i due procedimenti siano uguali

o tutte le parentesi sono inutili Giustificare le risposte [Solo un caso]


213

Concetto di polinomio

Abbiamo giagrave detto che la somma algebrica di due monomi egrave un monomio solo se tutti i monomi sono simili fra loro Abbiamo altresigrave visto che molte delle formule che usiamo nelle matematiche non sono perograve di tipo monomio Esempio 1

La formula per determinare larea di un trapezio mediante le lunghezze delle sue basi a e b e quella della

sua altezza h egrave a b

h

2

che non egrave un monomio

Lespressione che usiamo per indicare simbolicamente la proprietagrave distributiva del prodotto rispetto alla somma egrave a b c a b a c b g che rappresenta unuguaglianza fra due espressioni nessuna delle quali egrave

un monomio Per determinare la lunghezza dellipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti lunghi a e b usiamo la

formula a b2 2 che non egrave un monomio Risulta opportuno in vista degli esempi precedenti porre una definizione piugrave generale di espressione varia-bile rispetto a quella di monomio Definizione 1

Diciamo polinomio la somma algebrica di due o piugrave monomi

Definizione 2

Diciamo che un polinomio egrave scritto in forma semplificata se contiene solo monomi fra loro non simili

Definizione 3

A seconda del numero di monomi che lo compongono un polinomio in forma semplificata si chiameragrave con un nome formato da un prefisso che indica quanti sono i monomi componenti (mono = 1 bi = 2 tri = 4 quadri = 4 penta = 5 hellip) seguito dal suffisso nomio

La prima cosa che notiamo egrave che nella definizione di polinomio rientra anche come caso particolare il mo-nomio in quanto polinomio con un solo termine In effetti la precedente definizione non risolve tutti i nostri problemi Esempio 2

Con riferimento al precedente esempio la prima espressione cosigrave come egrave scritta non egrave un polinomio non sapendo come eseguire le operazioni in essa indicati non sappiamo se puograve ricondursi nella forma voluta La seconda egrave unuguaglianza nella quale solo il secondo termine egrave un polinomio un binomio Nella terza ciograve che egrave scritto dentro la radice quadrata egrave un polinomio lintera espressione non lo egrave Non modificheremo la definizione di polinomio impareremo invece a eseguire le operazioni aritmetiche fra polinomi Intanto perograve forniamo altre definizioni utili nel seguito

Definizione 4

Diciamo grado complessivo di un polinomio il maggiore fra i gradi dei monomi che lo compongono

Notazione 1

Per indicare il grado complessivo di un polinomio p usiamo la notazione deg(p)1

1 Deg deriva dallinglese degree che significa appunto grado


214

Definizione 5

Diciamo grado di un polinomio rispetto a una variabile il maggiore esponente con cui essa egrave presente nel polinomio scritto in forma semplificata Se la variabile non egrave presente nel polinomio diciamo che esso egrave di grado zero rispetto a detta variabile

Definizione 6

Dato un polinomio in una sola variabile scritto in forma semplificata chiamiamo suo coefficiente direttore il coefficiente del suo monomio di massimo grado Esempio 3

Indichiamo con p il polinomio 3

2

54

753 2 5x y xy z x i suoi tre monomi componenti hanno gradi rispet-

tivi 4 4 5 Quindi il grado di p saragrave 5 cioegrave deg(p) = 5 Rispetto alla lettera x il polinomio egrave di grado 5 rispetto alla y di grado 2 rispetto ala lettera z di grado 1 rispetto a qualsiasi altra lettera diversa da queste egrave di grado 0

Il polinomio 5 3 13 4 2x x x egrave un quadrinomio di quarto grado rispetto alla sola variabile x Il suo coef-ficiente direttore egrave ndash3

Nel seguito risulteranno importanti quei polinomi che hanno la particolaritagrave di avere tutti i monomi compo-nenti dello stesso grado

Definizione 7

Diciamo che un polinomio egrave omogeneo di grado n se tutti i suoi monomi componenti hanno grado n Che cosa significa

Omogeneo egrave una parola formata dal prefisso omo che deriva dalla parola greca homograves che significa simile e dal suffisso geneo che deriva dalla parola greca gegravenos che significa genere Per esempio omonimo cioegrave che ha lo stesso significato omogravefono ossia che ha lo stesso suono Per contrapposizione il prefisso etero significa diverso Per esempio eterogeneo vuol dire di diverso genere

Passiamo agli esempi Esempio 4

I seguenti sono esempi di polinomi omogenei di primo grado rispettivamente in una due e tre variabili 4a 5a ndash b 7x + y ndash z

I seguenti sono esempi di polinomi omogenei di secondo grado rispettivamente in una due e tre variabi-

li 1

22 2 2x ab a m mn mp

I seguenti sono esempi di polinomi non omogenei a xy x z m q xz 2 12 3 2 Il primo percheacute ha un monomio di primo grado e uno di grado zero (come tutti i numeri puri) il secondo di grado 2 e 0 il terzo di grado 3 e 2

Risulta anche importante ordinare i polinomi rispetto a una delle loro variabili Definizione 8

Se un polinomio egrave scritto in modo che tutte le potenze di una sua data variabile sono scritte in modo che quella scritta prima ha un esponente uguale o piugrave piccolo di qualunque altra variabile omonima scritta successivamente diciamo che il polinomio egrave ordinato secondo le potenze crescenti di tale variabile

Se un polinomio egrave scritto in modo che tutte le potenze di una sua data variabile sono scritte in modo che quella scritta prima ha un esponente uguale o piugrave grande di qualunque altra variabile omonima scritta successivamente diciamo che il polinomio egrave ordinato secondo le potenze decrescenti di tale variabile


215

Intanto ci chiediamo egrave sempre possibile fare una cosa del genere Se il polinomio ha una sola variabile egrave certamente possibile sempre purcheacute esso sia stato ridotto in forma semplificata Esempio 5

2

34 3 2 23 2 4 2 5 3 3x x y y x x x x y x y xy sono esempi di polinomi ordinati secondo le po-

tenze decrescenti della variabile x 2 3 5 3 4 1 53 3 2 3 4 5 3a a ax a a x a x a x y sono esempi di polinomi ordinati secondo le potenze cre-

scenti della variabile a xy x xy a b ab a m n m n n 3 2 2 2 3 3 2 3 23 sono esempi di polinomi non ordinati secondo alcuna

delle potenze presenti Naturalmente se vi sono variabili di uguale grado possono esserci diversi ordinamenti di uno stesso polino-mio rispetto a una stessa variabile Esempio 6

Il polinomio 5 4 5 13 2 2 2b b c b x b puograve essere ordinato secondo le potenze crescenti della b in uno dei seguenti modi 1 4 5 5 1 4 5 5 1 4 5 52 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 b c b x b b b c b b x b b x b c b b Naturalmente tutte le scritture sono accettabili se proprio vogliamo stabilire un modo per considerare un ordine migliore di un altro potremmo utilizzare la convenzione usata dai vocabolari (ordinamento lessicografico) secondo la quale la parola decagono precede la parola decalogo percheacute le prime quattro lettere coincidono mentre con-frontando le quinte lettere la g precede la l Quindi lordine privilegiato egrave 1 5 4 52 2 2 3 b b c b x b Nel seguito converremo di utilizzare lordinamento lessicografico Vediamo unrsquoaltra questione Definizione 9

Diciamo che un polinomio egrave completo rispetto a una variabile se contiene tutte le potenze della variabile da zero fino al massimo con cui essa risulta presente nel polinomio Esempio 7

Il polinomio a a a3 2 1 egrave completo anche se non ordinato rispetto alla lettera a Il polinomio ab a b a b2 2 3 22 egrave completo rispetto a entrambe le variabili Il polinomio x x x2 42 1 non egrave completo essendo privo del termine di esponente 3


216

Verifiche

Lavoriamo insieme

Stabilire il grado complessivo e quello relativo alle singole variabili del polinomio 23

413 2 2x y x y xy

I diversi monomi hanno rispettivamente grado 4 4 2 e 0 Quindi il polinomio ha grado 4 Il massimo grado con cui compare la x egrave 3 quello della y egrave 2 pertanto questi sono i gradi del polinomio rispetto alle date va-riabili Il polinomio egrave ordinato decrescentemente rispetto alla variabile x infatti i gradi dei monomi rispetto a x cosigrave come sono scritti sono (3 2 1 0) Non egrave ordinato rispetto alla y dato che la successione degli espo-nenti di questa variabile egrave (1 2 1 0) Il polinomio egrave perograve completo rispetto a entrambe le variabili visto che non vi sono vuoti fra gli esponenti di esse da 0 al massimo presente Il polinomio non egrave omogeneo poicheacute abbiamo osservato che i monomi hanno diversi gradi

Dei seguenti polinomi stabilire il loro grado complessivo e quello rispetto alle singole lettere presenti Va-

lutare poi se sono ordinati rispetto alle singole variabili Determinare infine se sono omogenei eo com-

pleti rispetto alle singole variabili

Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4

522 2 3 2 2 2 2 3ax z a xz a z b d b cd d [a) (5 3 2 2) b) (5 2 1 3)]

2 a) b) 5

8

1

52 16 5 6 2 12 2 3 4 2 2 3 2mq t m qt m t q q t x x x [a) (4 3 4 2) b) (3 3)]

3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1

2432 162 2 3 3eh e h e h amo mia mamma [a) (3 3 3) b) (5 2 1 3 1)]

5 a) b) 2 4 12 5 2 3 2 82 3 3 5 2 2 3t z t z zt x y xy x xy [(6 3 5) b) (3 3 2)] Livello 2 6 Ordinare i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti della z e decrescenti della t successivamen-

te aggiungere eo togliere i termini necessari affincheacute essi divengano polinomi omogenei e completi di grado uguale al maggiore dei gradi dei suoi monomi componenti

2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1

z t z t zt zt t z z t z t t z z

z t t z t t t z tz t zt zt t z z zt

7 Scrivere la forma generale di un polinomio completo di quinto grado nella variabile x e a coefficienti unitari [x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1]

8 Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di secondo grado nelle variabili x e y a coefficienti unitari [x2 + xy + y2]

9 Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di terzo grado nelle variabili x e y a coefficienti unitari [x3 + x2

y + xy2 + y3]

10 Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di secondo grado nelle variabili x y e z a coefficienti unitari di segno alterno [x2 ndash xy + xz ndash y2

+ yz ndash z2] 11 Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di terzo grado nelle variabili x y e z

a coefficienti unitari [x3 + x2y + x2

z + xy2 + xz

2 + y2z + yz

2 + y3 + z3] 12 Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di IV grado in due variabili [5] 13 Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di IV grado in tre variabili [14] Livello 3 14 Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di grado n in due variabili [n + 1] 15 Assegnando ai coefficienti solo i valori +1 e ndash1 scrivere tutti i polinomi omogenei e completi di se-

condo grado nelle due variabili x e y Quanti sono tutti i polinomi [8] 16 Assegnando ai coefficienti solo i valori +1 e ndash1 quanti diversi polinomi omogenei e completi di grado

n nelle due variabili x e y si ottengono [2n + 1]


217

Moltiplicazione nellinsieme dei polinomi

Dato che sappiamo sommare monomi sappiamo sommare allo stesso modo i polinomi quindi consideriamo loperazione di moltiplicazione cominciando dal prodotto di un monomio per un binomio Esempio 8

Riprendiamo la formula per il calcolo dellarea di un trapezio e vediamo di svolgere la moltiplicazione 1

2h a b b g Come possiamo procedere Per avere unrsquoidea consideriamo un esempio numerico come svol-

giamo il prodotto 7 (12 + 34) In questo caso abbiamo due alternative sommare allrsquointerno della parentesi e poi moltiplicare 7 46 = 322 applicare la proprietagrave distributiva 7 12 + 7 34 = 84 + 238 = 322 Nel nostro prodotto fra un monomio e un polinomio non possiamo evidentemente applicare il primo meto-do dato che i monomi a e b non sono simili ci rimane perciograve lunica alternativa di utilizzare la proprietagrave di-

stributiva del prodotto rispetto alla somma algebrica Abbiamo perciograve 1

2

1

2

1

2h a b ah bh b g Possiamo

anche verificare la validitagrave del nostro procedimento considerando un trapezio di basi lunghe 4 e 7 e altezza

5 Applicando la formula nel modo consueto avremo 4 7 11 55

5 5 2752 2 2

e nel secondo caso avre-

mo 1 1 20 35 55

4 5 7 5 2752 2 2 2 2 Ovviamente i risultati coincidono

Il procedimento precedente ci suggerisce come moltiplicare due polinomi Esempio 9

Moltiplicare 3 4 12 2a b a b c h c h Distribuendo tutto il primo fattore rispetto a ciascuno dei monomi del

secondo fattore avremo 3 3 4 3 1 3 12 4 32 2 2 2 3 2 2 3 2a b a a b b a b a ab a b b a b c h c h c h c h Vi-

sta la validitagrave della proprietagrave commutativa per la moltiplicazione potevamo anche distribuire il secondo fat-

tore rispetto al primo 3 4 1 4 1 3 12 3 42 2 2 3 2 2 2 3a a b b a b a a b a ab b b c h c h

In vista degli esempi precedenti possiamo enunciare la seguente regola

Regola 1

Il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ciascun monomio del primo polinomio per tutti i mono-mi del secondo polinomio La predetta regola puograve generalizzarsi facilmente al prodotto di piugrave di due polinomi Esempio 10

Effettuare il seguente prodotto )432(3

1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

Cominciamo a sviluppare la

prima moltiplicazione ottenendo 2 21 1 1 1 1 1 1 1(2 3 4 )

4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax

Dopo aver semplificato i termini opposti

nel primo fattore otteniamo )432(9

1

16

1 2222 axaxax

e continuando a moltiplicare otteniamo

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4

8 16 4 9 3 9x a x ax a x a a x Notiamo che vi egrave solo una coppia di monomi simili pertanto

il polinomio prodotto scritto in forma semplificata egrave

4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4

8 16 9 4 3 9 8 144 4 3 9x a x ax a a x x a x ax a a x

4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a

Tenuto conto di quanto visto finora e data leventualitagrave che nellrsquoeseguire i calcoli si ottengano monomi simi-li stabiliamo il seguente risultato Teorema 1

Il prodotto di un polinomio di m termini per un polinomio di n termini dagrave luogo a un polinomio che in for-ma semplificata ha un massimo di m n termini e un minimo di 1 termine se nessuno dei due polinomi egrave il polinomio nullo Naturalmente vale anche per linsieme dei polinomi il principio di annullamento del prodotto e quindi se nessuno dei fattori egrave il polinomio nullo neanche il risultato lo saragrave Il seguente egrave un altro risultato di imme-diata intuizione Teorema 2

Il grado del polinomio prodotto di due polinomi egrave uguale alla somma dei gradi dei polinomi fattori Esempio 11

Considerando il prodotto del precedente esempio )432(3

1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da

due polinomi di primo grado e uno di secondo effettivamente lo sviluppo del prodotto 1

8

5

144

1

4

1

3

4

94 2 2 3 4 3x a x ax a a x egrave un polinomio di grado 1 + 1 + 2 = 4


219

Verifiche

Lavoriamo insieme Semplificare la seguente espressione (ab + ac ndash bc) (ac ndash ab + bc) Applicando ripetutamente la proprietagrave distributiva del prodotto rispetto alla somma dobbiamo moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio Otteniamo cosigrave

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

ab ac ab ab ab bc ac ac ac ab ac bc bc ac bc ab bc bc

a bc a b ab c a c a bc abc abc abc b c a b ab c a c b c

Abbiamo segnato con uguali segni i monomi simili per facilitarne la loro somma Semplificare le seguenti espressioni verificando che il grado del polinomio prodotto si ottiene sommando

i gradi dei polinomi fattori

Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)

4 4 4m n mn mn p p at bt ct

3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)

2 3 4 2pz p z a b a b a x y y y

2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2

2 3p z pz pz a b a b a b x y x y

4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2

2 5 6 4a b c ab ac b c a b a b x y xy x

4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)

2 2 3 5 5a b c a b c a b c a b a b a b x y x y x y

5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)

8 3 3a b ab b a xz x z m p m p mp

3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)

8 2a b a b a b x z xz xz m p m p m p

6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)

2 3 4 5 2 5 7 4ax yz ax x y az xz m p t mp m t mpt p

2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)

6 10 8 4 5 5 35 5a x yz a x yz ax y z ax yz m p t m p t m p t m p t

7 2 2 2 2a) 7 4 7 4 b) 7 4 7x y z x y z x y z xy z 4 2 2 4 2 2 2a) 49 16 b)49 7 28 4x y z x y x y x z z

8 3 3 2 2a) b)x y x y x y x y 4 3 3 4 3 2 2 3a) b)x x y xy y x x y xy y

9 2 2 2 2 2 2 2 2a) b) ax by a x abxy b y ax by a x abxy b y 3 3 3 3 3 3 3 3a) b) a x b y a x b y

10 a) b) 2a b c a b c m n p m n p 2 2 2 2 2 2a) 2 b) 3 2 2 3a b bc c m mn mp n np p

11 a) 2 3 1 2 3 2 b) 2 3 2 3a b a b a b c a b c 2 2 2 2 2a) 4 2 9 9 2b) 4 6 4 12 9a a b b a ab ac b bc c


220

12 2 2 2 2 2 2a) 4 1 3 2 3 b)a mt am t am z ax b y a x by

3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3a) 12 8 12 3 2 3 b)a m t a m t a mtz am t am z a x a b xy abx y b y

13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1

2 4xy z x y z xyz a a

3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1

8 4 2x y x y z xyz z a a a

14 2 2 2 2a) b) x y z x y z x y z x y z 4 2 2 2 4 2 2 2a) 2 b) 2x x y y z x x z y z

Lavoriamo insieme

Semplificare la seguente espressione 2 1 2 1 1 12 2 2 2a b a b a b a b a b a b b g b g c h b g b g c h Sviluppiamo le moltiplicazioni tenuto conto che dobbiamo scegliere quali svolgere per prime la scelta egrave ar-bitraria percheacute vale la proprietagrave associativa Abbiamo allora

4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a ab a ab b b a b a b a ab a ab b b a b a b

a b b a b a b b a b

e j c h e j c hc h c h c h c h

Continuiamo a moltiplicare

4 4 2 2 2 24 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 2 2 2 3 2 2 4 2 2a a b a b b a b b a b a a b a b b a b b a b c h Semplifichiamo 4 2 2 4 2 3 2 2 4 2 3 4 2 24 5 2 2 2 2a a b b a b b a b a a b b b a b

⊲ ⊲

4 2 2 4 2 3 2 2 4 2 2 4 24 1 5 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 5 2 4 2a a b b a b b a b a a b b a b

Semplificare le seguenti espressioni

Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4

x y x y x y x y ax bx ax bx a x b x

21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3

t z tz t z t z t zt z

FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

43 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2a m b p a m b p a m b p a m b pF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1

3a b c a b c a b a b FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c

21 2 2 2a) b) 1 1mx my nz mz nx m m mxy mz ax ax by bx ay bx x a b

2a) 2 b) m z ax bx

22 a) am middot (bn ndash cp) ndash an middot (bm + np) ndash ac middot (mp + bn) b) a b a b a b b a a b b g b g b g b g2 3 4 3 22 2 2 2 2a) 2 b) 9 8 4abcn acmp an p a ab b


221

23 3 9 3 3 3 2 3 2 3 42 2 2a b a ab b a a b a b a b b b g c h b g b g b g 35b

24 x y x xy y x y x y x y x y y b g c h b g b g b g b g2 2 23 3 3 3 2 3 36x xy y

25 2 3 3 1 3 5 2 4 17 1 9 2 22 2 2 2m n m n mn m n m n n m n m n b g b g b g b g c h c h 2 2 2 240 12 6 1m n m n

26 2 4 2 2 2 3 2 3 182 2 2a b a ab b a a b a b b b a b g c h b g b g b g [0]

27 x y x xy y x y x y y x y x y y x b g c h b g b g b g b g b g2 2 24 2 4 2 3 4 1 3 2 23 16x x y x

28 f w f fw w f w f w f f w f w fw f w b g c h b g b g b g b g b g2 2 5 2 2 5 4 21

2 3 210 42 10f fw w w

29 n y n ny y n n y n y y n y n y n n ny ny y b g c h b g b g b g b g c h2 2 2 2 2 32 2 3 3 5 4

2 2 4 3ny y y

30 m s m ms s m s m s m s m s m m m s b g c h b g b g b g b g c h2 2 2 22 3 2 2 2

2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s

31 3 9 3 3 3 2 3 2 4 32 2 2a k a ak k a a k a k a k k b g c h b g b g b g 35k

32 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 6 9 2 3 4 6 9 3 2 9 6 4 3 2 9 6 4x u x ux u x u x ux u x u x ux u x u x ux u

2 372 70ux u

33 a ab b a b a ab b a b2 2 2 22 2 2 c h b g c h b g 2 24a b ab

34 b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c3 4 4 3 3 4 4 3 6 8 8 6 14 12 14 14 c h c h c h b g b g 12 16b c

35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1

3x d d x d x d d x x dFHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1

222 2 2 2g x y z x z g y x g y z g x y z F

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z

40 a b c d a b c d a b c d a b c d b g b g b g b g [ndash4ab ndash 4ad]

41 a b a b c a c a c b b c a b c b c a b g b g b g b g b g b g2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 42 2 2 2a a b b c c

Lavoriamo insieme Data la moltiplicazione (3x

2 ndash x + 1) (2x2 ndash 4x ndash 5) senza sviluppare tutti i prodotti vogliamo sapere quan-

to varragrave il coefficiente del monomio di grado 3 del polinomio risultato Noi sappiamo che il grado del prodotto di due monomi egrave la somma dei gradi dei singoli monomi quindi ot-terremmo grado 3 moltiplicando fra loro due monomi uno di grado 2 e laltro di grado 1 cioegrave dai prodotti 3x

2 (ndash 4x) (ndash x) 2x2 pertanto il coefficiente cercato egrave ndash12 ndash 2 = ndash14


222

Senza effettuare la moltiplicazione per intero stabilire quanto vale il coefficiente di grado 3 del polinomio

risultato delle moltiplicazioni seguenti

42 a) 3 2 1 4 2 43 2 4 3x x x x x x c h c h b) 2 5 2 14 3 4 3 2x x x x x c h c h [a) ndash12 b) ndash3]

43 a) x x x x3 2 4 3 1 c h c h b) x x x x x7 5 3 22 1 2 2 c h c h c) x x x x x2 4 32 1 5 c h c h [a) 1 b) ndash2 c) 0]

Langolo delle correzioni

Ciascuno dei seguenti polinomi egrave uno sviluppo errato del prodotto 3 22 3xy x xy x senza effettuare i

calcoli spiegare in ciascun caso percheacute lo sviluppo egrave errato 1 x x y x y x y4 4 3 2 23 2 6 [Il polinomio dovrebbe avere grado 5 non 4]

2 x x y x y x y xy5 4 3 2 2 23 2 6 [Il polinomio al massimo puograve avere 4 termini non 5]

3 x x z x y x y5 4 3 2 23 2 6 [Il polinomio non puograve contenere la variabile z]

4 x x y x y x y5 4 3 2 3 23 2 6 [Il polinomio non puograve essere omogeneo dato che non lo sono i fattori]

5 x x y x y x y5 4 3 2 23 2 6 [Il polinomio non puograve avere tutti coefficienti positivi]


223

Prodotti notevoli

Per quanto visto in precedenza in generale per moltiplicare un polinomio di m termini per uno di n termini devono effettuarsi m n moltiplicazioni cosigrave per esempio per moltiplicare un polinomio di 4 termini per uno di 5 devono effettuarsi ben 20 moltiplicazioni Naturalmente allaumentare del numero di operazioni da eseguire aumenta anche la probabilitagrave che qualcuna delle operazioni effettuate risulti sbagliata Ciograve ci sugge-risce di cercare degli accorgimenti per ridurre le operazioni da eseguire Naturalmente ciograve non saragrave sempre possibile ma lo saragrave per alcuni prodotti che perciograve chiamiamo notevoli

2 Vediamo qualche esempio Esempio 12

Semplificare lrsquoespressione 5 2 5 2 25 10 10 42 2 2 2 2 2ab bc ab bc a b ab c ab c b c b g b g Come si egrave visto ab-

biamo ottenuto due termini opposti Ci chiediamo questo fatto egrave stato un caso oppure pensiamo di poter e-nunciare una regola piugrave generale Osserviamo che i due fattori hanno una particolaritagrave sono formati da due monomi uguali (5ab) e da due monomi opposti (ndash2bc e 2bc) Questo fa sigrave che nelleffettuare le moltiplica-zioni si ottengano sempre due termini opposti Ma allora risulta inutile effettuare queste moltiplicazioni per prodotti del genere basta moltiplicare fra loro solamente i primi due monomi e gli altri due monomi

Diamo un nome al prodotto notevole venuto fuori dal precedente esempio

Definizione 10

Il prodotto di due binomi aventi fra di loro due monomi uguali e due monomi opposti si chiama prodotto

della somma per la differenza delle basi Enunciamo quindi una regola per il calcolo semplificato del prodotto notevole Regola 2

Il prodotto della somma per la differenza delle basi fornisce come risultato la differenza dei quadrati delle basi In simboli (A + B) (A ndash B) = A2 ndash B2 con la convenzione che A e B rappresentino in generale due po-linomi Esempio 13

Eseguiamo dei prodotti notevoli applicando la precedente regola 2 3 2 3 2 3 4 92 2 2x x x x b g b g b g

5 2 5 2 5 2 25 42 2 2 2 2xy z xy z xy z x y z b g b g b g b g 7 7 7 492 2 2 2 2 2 4a b a b a b a bc h c h c h

Vediamo adesso dei prodotti ai quali non puograve applicarsi la precedente regola Esempio 14

4 4a b b a b g b g abbiamo la somma per la differenza ma non di monomi uguali

7 72 2z p z p c h c h abbiamo il prodotto di due binomi uguali

1 12 2 a b a bc h c h abbiamo il prodotto di due trinomi

Tenuto conto di quanto detto ci rendiamo conto che anche i precedenti prodotti saranno notevoli o comun-que avranno dei risultati in qualche modo semplici ciograve proprio per la presenza in essi di monomi uguali o opposti Consideriamo in particolare il secondo dei prodotti dellrsquoesempio che egrave molto simile al prodotto somma per la differenza

2 Cioegrave degni di essere notati osservati


224

Esempio 15

Si ha 7 7 7 7 7 7 2 7 49 142 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2z p z p z z p p z p z z p p z pz p c h c h c h c h

Quindi anche questo egrave un prodotto notevole dato che otteniamo due termini uguali che quindi si calcole-ranno una volta sola e poi si raddoppieranno

Usando quanto appena visto effettuiamo questaltro sviluppo

xy a xy a xy a xy a xy a xy a x y a xy aFHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g

In vista dei precedenti esempi possiamo definire il prodotto ed enunciare la conseguente regola Definizione 11

Il prodotto di due binomi uguali si chiama quadrato di un binomio Regola 3

Vale il seguente sviluppo per il quadrato di un binomio (A B)2 = A2 2AB + B2

Vediamo esempi errati di applicazione della precedente regola Esempio 16

3 2 3 2 9 42 2 2 2 2 2xy z xy z x y z b g b g b g Manca il doppio prodotto Si ricordi che lo sviluppo del qua-

drato di un binomio egrave sempre un trinomio Espressione corretta 9 12 42 2 2x y xyz z

ab ab ab a b a b a b 3 2 3 3 18 9 19 92 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b g b g b g b g b g Il doppio prodotto egrave svolto fra i

quadrati e non fra i monomi di partenza Espressione corretta a b ab2 2 6 9

4

3

4

32

4

3

16

9

8

3

2 22 2 2a b a a b b a ab bFHG

IKJ FHG

IKJ Il secondo monomio egrave ndashb non b Espressione cor-

retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444

22 2 4 8ax y a x axy yF

HGIKJ Il quadrato di un numero reale egrave sempre un numero non negativo

Espressione corretta 1

442 2 4 8a x axy y

2 3 2 12 32 3 2 4 6 2 3 2m n a m n am n a c h Si innalzano al quadrato anche i coefficienti dei monomi non

solo le parti letterali Espressione corretta 4 12 94 6 2 3 2m n am n a Le precedenti regole sono valide anche per polinomi non solo per monomi Vediamo qualche esempio Esempio 17

Semplificare 2 22 2x a b x a b c h c h Possiamo pensare la moltiplicazione come un particolare

prodotto somma per differenza i cui termini sono un monomio e un polinomio Scriviamo perciograve

2 2 4 4 2 4 22 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2x a b x a b x a b x a a b b x a a b b c h c h c h c h In questo

modo abbiamo eseguito solo 4 moltiplicazioni invece di 9 Semplificare 1 2 3 1 2 3 x y z x y zb g b g b g b g Anche in questo caso consideriamo prima il pro-

dotto somma per differenza (1 ndash 2x)2 ndash ( 3y ndash z)2 = 1 ndash 4x + 4x2 ndash (9y

2 ndash 6yz + z2) = 1 ndash 4x + 4x2 ndash 9y

2 + 6yz ndash z2 Abbiamo eseguito 6 moltiplicazioni invece di 16

Possiamo sviluppare anche il quadrato di un polinomio con piugrave di 2 termini


225

Esempio 18

Possiamo sviluppare (x + 2y ndash 3z)2 nei due modi seguenti Scriviamo [(x + 2y) ndash 3z]2 e quindi lo consideriamo come un particolare quadrato di binomio in cui perograve

il primo monomio egrave in effetti un binomio abbiamo perciograve (x + 2y)2 ndash 2 (x + 2y) 3z + (3z)2 da cui otte-niamo x2

+ 4y2 + 4xy ndash 6xz ndash 12yz + 9z

2 Oppure moltiplichiamo il trinomio per se stesso ottenendo lo stesso risultato Dal precedente esempio in ogni caso estrapoliamo la seguente regola Regola 4

Lo sviluppo del quadrato di un polinomio egrave dato dalla somma dei quadrati di tutti i monomi componenti e da tutti i doppi prodotti fra gli stessi monomi a due a due considerati una sola volta Simbolicamente

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2n n n n n nA A A A A A A A A A A A A A A A A A

Vediamo ancora un esempio Esempio 19

Lo sviluppo di (2a + b ndash c + 1)2 si ottiene aggiungendo ai quadrati dei 4 monomi (4a2 b2 c2 1) i doppi

prodotti a due a due (4ab ndash4ac 4a ndash2bc 2b ndash2c) Quindi 4a2 +b

2 + c2 + 1 + 4ab ndash4ac + 4a ndash2bc + 2b ndash2c Vediamo ancora qualche altro prodotto notevole Esempio 20

Semplificare 3 9 3 27 9 3 9 3 272 2 3 2 2 2 2 3 3 3x y x xy y x x y xy x y xy y x y b g c h Come si ve-

de i 6 monomi si sono ridotti solo a due che sono poi il cubo di ciascuno dei due termini del binomio di partenza

Semplificare 3 9 3 27 9 3 9 3 272 2 3 2 2 2 2 3 3 3x y x xy y x x y xy x y xy y x y b g c h Il prodotto egrave

molto simile al precedente stavolta la semplificazione egrave perograve data dalla somma dei cubi In vista dei precedenti esempi poniamo le seguenti regole Regola 5

Vale la seguente uguaglianza (A ndash B) (A2 + AB + B2) = A3 ndash B3

Regola 6

Vale la seguente uguaglianza (A + B) (A2 ndash AB + B2) = A3 + B3


226

Verifiche

Lavoriamo insieme Quali fra i seguenti prodotti sono notevoli quindi possono svilupparsi in modo semplificato

3 2 3 2 2x y x y b g c h Apparentemente abbiamo a che fare con un prodotto notevole del tipo somma per

differenza in effetti non egrave cosigrave dato che i monomi 2y e 2 2y non sono uguali pertanto la moltiplicazione

si svilupperagrave nel modo consueto cioegrave 3 2 3 2 9 6 6 42 2 2 3x y x y x xy xy y b g c h

2 52 3 2a x yc h Abbiamo a che fare con un quadrato di binomio possiamo perciograve applicare la regola adat-

ta 2 5 2 2 2 5 5 4 20 252 3 2 2 2 2 3 3 2 4 2 2 3 6a x y a x a x y y a x a xy y c h c h c h c h c h

(1 + x2 + x3)2 egrave un quadrato di trinomio pertanto dobbiamo eseguire i quadrati dei monomi e poi tutti i possibili prodotti a due a due 1 + x4 + x6 + 2x

2 + 2x3 + 2x

5

4 5 16 40 252x x x b g c h Potremmo avere a che fare con un prodotto la cui semplificazione da luogo a

una somma di cubi ma non egrave cosigrave percheacute il secondo termine del secondo fattore non egrave il prodotto di 4x e 5 cioegrave 20x dobbiamo quindi procedere senza scorciatoie

4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h

7 3 49 21 92 4 2 2 2 2 2a b bc a b a b c b c c h c h In questo caso invece abbiamo effettivamente un prodotto che

semplificato fornisce la differenza di due cubi pertanto facilmente abbiamo

7 3 49 21 9 7 3 343 272 4 2 2 2 2 2 2 3 3 6 3 3 3a b bc a b a b c b c a b bc a b b c c h c h c h b g

Semplificare i seguenti prodotti applicando laddove possibile la regola A B A B A B b g b g 2 2

Livello 1

1 2 2a) 2 2 b) 3 3 c) 2 3 3 2xy xy a b x ab x a b b a

2 2 3 3 2 2 2 2 2a) 4b) 3 3 9 c) 9 4x y a b a bx ab x x b a

2 3 3 2 2 2 2a) 3 b) 4 c) 12 13 12 13abc a abc a x x x x m n m n

2 2 2 2 2 6 4 2 4 4a)3 2 b)4 3 c)144 169a b c a bc a x x x m n

3 2 2 3 2a) b) 3 3 c) 5 1 5 1my nz nz my t y t y p p

2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p

4 4 2 2 4a) 3 1 3 b) 4 4 c) 5 5xy x y a b c a b c w w

2 2 6 6 4 2 2 4 2 2a) 9 3 3 b)16 4 4 c) 10 25x y xy x y a b a b c a b c c w w

5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)

2 3 2 3 3 3x yz xy z x yz xy z abc bcd abd bcd

2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)

9 4 9 3 3x y z x y z a b cd ab c d ab cd b c d

8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)

3 4 3 4 4 2 4 2hk mn hk hk axy ax y axy axy

2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)

4 9 49 4m p m p ab az bz z

Semplificare i seguenti prodotti applicando laddove possibile i prodotti notevoli rispondenti alle leggi dei

quadrati di polinomi

Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax

2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 3a) 9 6 b) 2 c) 4 12 9a b c abcdef d e f a ab b a x ax

12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n

13 a) b) c) a b a b a a p p 2 2 5 5 7 3 3 72 2 3 3b g b g c h c h c h c h

2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5

22a b x x a b a bFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b

15 a) b) c) xy xz xz xy a b a b m p w w m p b g b g c h c h c h c h 8 7 8 7 11 12 12 112 2 4 4 4 4

2 2 2 2 2 3 2 2 3 8 2 4 4 8a) 2 b) 64 56 56 49 c) 12 264 144x y x yz x z a a b ab b m p m pw w

16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z

4 2 3 2 2 2 2 4 3 2 6 5 4 3 2a) 2 2 2 b) 2 2 1 c) 2 4 2 1x y x y x y x xy y a a a a z z z z z z

17 a) b) a b c a b c b g b g2 2

2 2 2 2 2 2a) 2 2 2 b) 2 2 2a ab ac b bc c a ab ac b bc c

18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2

x y t x y t b g b g 2 2 2 2 2 2a) 16 16 24 4 12 9 b) 16 16 24 4 12 9t tx ty x xy y t tx ty x xy y

19 a) b) ax by cz ax by cz b g b g2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a) 2 2 2 b) 2 2 2a x abxy acxz b y bcyz c z a x abxy acxz b y bcyz c z


228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25

e ef eg eh f fg fh g gh h


Semplificare i seguenti prodotti applicando laddove possibile la regola

A B A AB B A B A B A AB B A B b g c h b g c h2 2 3 3 2 2 3 3

Livello 1

21 a) b) 5 3 25 15 9 3 2 3 6 42 4 2 2 2 2 2d f d d f f ab c a b abc c c h c h b g c h

6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c

22 a) b) 2 3 4 6 9 4 16 42 2 3 3 2 6 4 4 6 2a b a ab b hm h m h m h m h m b g c h c h c h

3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m

23 a) b) a bc a abc b c m n m m n n b g c h c h c h2 2 2 2 2 2 27 2 49 14 4

3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4

32 92 2 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 6mn np m p mnp n p ax y b a x y ab x y b F

HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27

9 3m np m n p m np mn p mn p n p a x y a b x y b

25 a) b) x y x x y y x y x xy y2 2 4 2 2 4 2 2 2 42 2 4 c h c h c h c h

6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y

26 a) b) 2 2 22 2 2 2 3 2 3 6ax by a x abxy b y x y x xy y b g c h c h c h

3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x

27 a) b) 3 4 9 12 16 2 3 4 6 92 4 2 3 2 2 2 2 2a b ab a b a b a b m p m mp y c h c h b g c h

6 3 4 3 3 3 3 2 2 2 2a) 27a 96 64 b) 8 24 18 18 27b a b a b m m p mp my py

28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1

162 4 23 2 6 3 2 2 3 4 5 3 4 6ax by a x abx y b y a b a a b bF

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2

4 16 64a x a bx y b y a a b a b a b a b a b b

29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1

222 2 2 4 3 3 4 2 2 2mn m n m n m n m n ab a b ab F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25

45 42 3 4 4 3 2 4 3 8 3 5 8 3 5 32t w y t w t y w y a b a a b bF

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)

8 2 2t w t w y t w y y a a b a b a b a b b


229

Lavoriamo insieme

Con i monomi 4 32 3a b ab scrivere un prodotto notevole la cui semplificazione egrave del tipo somma di cubi

Dato che la legge generale egrave la seguente A B A AB B A B b g c h2 2 3 3 basta sostituire ai simboli A e

B i detti monomi Abbiamo perciograve 4 3 4 4 3 32 3 2 2 2 3 3 2a b ab a b a b ab ab c h c h c h c h c h sviluppando ottenia-

mo 4 3 16 12 92 3 4 2 3 4 2 6a b ab a b a b a b c h c h Con i seguenti monomi formare prodotti notevoli il cui risultato egrave rispettivamente del tipo differenza di

quadrati differenza di cubi somma di cubi

Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2

4 6ab ab xy z mn mz d a a b ab abc ab

32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)

5 4 6 2 3n np p abc a a d a b m n p a b

33 a) b) c) x y a b ab cn n m n p2 3 2 1 42 3 c h c h c h

Lavoriamo insieme Semplificare la seguente espressione utilizzando il minor numero possibile di operazioni

2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa

Anche se i termini non sono monomi ma polinomi questo puograve considerarsi come un ldquoprodotto della somma

per la differenza della basirdquo Pertanto possiamo scrivere

2222

2

4

3

3

baba Dobbiamo perciograve calco-

lare due quadrati di binomio Intanto ldquodistribuiamordquo il quadrato al numeratore e al denominatore

4

4

9

32222 baba

adesso applichiamo la regola per il calcolo del quadrato di un binomio

4

816

9

69

4

)4(24

9

323 2424222222 bababababbaabbaa

e riduciamo al minimo comune denominatore

36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa

Abbiamo cosigrave effettuato 6 moltiplicazioni 3 somme Avremmo anche potuto evitare di applicare i prodotti notevoli con la seguente procedura Effettuiamo il minimo comune multiplo allrsquointerno di ciascuna parentesi

2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

In questo modo anche se non abbiamo piugrave un prodotto notevole abbiamo comunque un prodotto piugrave sem-plice di quello di partenza Effettuiamo la moltiplicazione

36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa

Naturalmente abbiamo ottenuto lo stesso risultato Perograve le operazioni effettuate sono state 12 moltiplicazioni e 5 somme cioegrave 17 contro le 9 della precedente procedura


230

Usando i prodotti notevoli laddove possibile semplificare le seguenti espressioni per fare il minor nume-

ro possibile di operazioni

Livello 2

34 a) b) x y x y x y x y x y x y

F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7

2 2ab ab ab ab x y x x y x

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y

36 a) b) a b a b a b a b xy x y xy x y2 2 2 2

8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)

64 32 4 2 4 64 6 36 6 36 36 6 36 6a a b a ab b b x y x y x xy x y y

37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 4x xz z m n mnp mnp p p p

38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2

a b a b a b a bab c ab c ab c

4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56

22222222 mnnmmnnmmnnmmnnm 4 2 2 4121 121

900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24

xy yz yz xy xy yz yz xym pq m pq

2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18

9 64x y y z m m p q p q

42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25

a a a x y x y x y d s d s d s

42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s

43 2 2 2 2 2a) 4 3 4 3 16 9 b) m n m n m n an p an p a n p

4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p

44 2 3 2 3 4 92 3 2 3 2 3 2 3a m b c a m b c a m b c a m b c c h c h c h c h 2 35a b cm

45 2 3 2 3 2 3 2 33 4 3 4 3 4 3 4 2 3 2 5 2 3 2 5x z t y x z t y x z t y x z t y c h c h c h c h 6 8 4 2 3 3 2 4 5 518 6 6t y t x y z t x y z


231

46 6 2 3 3 2 13 x y x y xy x y x yb g b g b g b g 4 436 36x y

47 2 3 2 3 2 1 3 2 1 5 2 5 2x b b x x b x b x b x b b b b g b g b g b g b g b g b g 2 216 4 10 1b bx x

48 7 3 7 2 4 2 4 6 22 2 2 2 2 2aw t t aw aw t t aw t aw t c h c h c h c h c h 2 2 2 441 14a w at w t

49 ( ) ( )mn np np mn m n n p m n n p m n n p 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c h c h c h 4 4 2 4 215 10n p m n p

50 2 3 2 3 16 36 814 2 2 4a b a b a a b b b g b g c h 3 2 2 3 5 6 2 2s q s q qs q s q qs s b g b g b g c h 6 6 3 2 3 264 729 6 6 6 6a b q q s s

51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1xyyxxyyxxyyx 2 6 4 42 1

9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17

3223322332233223 zxyzyxzxyzyxzxyzyxzxyzyx

4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2

a b a b a b a b b g b g b g b g 226b

57 x y x y x y x y x y x xy y xy x y 3 3 2 2 2 3 4 6 9 7 112 2 2 2b g b g b g b g b g c h b g 3 3x y

58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2

m n m n m n mn b g b g c h b g [0]

59 x x x x x x x x 2 3 4 1 2 1 1 12 2 2b g b g c h b g c h 3 28 13 5x x x

60 3 9 5 7 62 2 2 2 2 2 ak t ak t ak t ak t ak tc h c h c h c h c h 2 4 2 23 94a k t ak t

61 a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b2 2 4 2 3 3 2 4 4 3 3 5 c h c h b g b g b g 4 52a b

62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2

a v a v a v a v b g b g b g b g b g [ndash 12av ndash 22a + 14v ndash 32]

65 x x x x x x x x x x x3 2 2 3 2 2 2 2 2 31 1 2 1 1 4 1 c h c h b g b g b g b g 412x

66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n

67 s t s st t s t s st t t s s st t s t s st t b g c h b g c h b g c h b g c h2 2 2 2 2 2 2 2 28st


232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2

1xmxmxmxmmxxmxmxmmxxm

6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x

69 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2am n a m amn n am n a m amn n am n a m amn n am n a m amn n

2 2 2 32 2 2a m n amn n

70 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 6 9 3 3 3 2 2 4 2 4 4xy z x y xyz z xy z x y xyz z xy z x y xyz z xy z x y xyz z

3 2 2 236 17z xyz x y z

71 2 4 2 4 2 2 2 2 4 23 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2p q p q p q p pq q p q p q p q p pq q c h c h b g c h c h c h b g c h 6 3 3 34 2 2p p q q

72 a b c a b a bc c a b c a b c a b c2 4 2 2 2 6 3 3 6 3 3 6 3 32 2 4 8 8 8 c h c h c h c h c h [0]

73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2

a b ab a b ab a b ab a b ab

ab a b ab a b a b ab a b ab a b

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9

x y x y x z x z w z w z

w y w y y z z

4 81y

Lavoriamo insieme Sviluppare il seguente prodotto usando i prodotti notevoli (a ndash 2x + by ndash 1) (a + 2x + by + 1) Questo non rientra in alcuno dei prodotti notevoli che abbiamo finora considerato ci rendiamo ugualmente conto che qualcosa di notevole deve esservi infatti i monomi di ciascun polinomio senza considerare i se-gni sono identici Possiamo allora modificare lrsquoespressione in modo da renderne piugrave semplice lo svolgimen-to [(a + by) ndash (2x + 1)] [(a + by) + (2x + 1)] In pratica abbiamo suddiviso i due polinomi in modo da rag-gruppare in essi i monomi uguali e quelli opposti In questo modo abbiamo ottenuto una differenza di qua-

drati i cui componenti non sono monomi ma binomi Scriviamo perciograve a by x b g b g2 22 1 e sviluppiamo

a aby b y x x a aby b y x x2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 1 2 4 4 1 c h

abbiamo effettuato cosigrave solo 6 moltiplicazioni invece delle 16 che richiede la normale moltiplicazione fra polinomi

Sfruttando i prodotti notevoli sviluppare le seguenti espressioni

Livello 3

75 a) (e + 2f + 3g) (e ndash 2f + 3g) b) (e + 2f + 3g) (e ndash 2f ndash 3g) 2 2 2 2 2 2a) 6 4 9 b) 4 12 9e eg f g e f fg g

76 a) (h + 2k + 3j) (h ndash 2k ndash 3j) b) (h ndash 2k + 3j) (h ndash 2k ndash 3j) 2 2 2 2 2 2a) 9 12 4 b) 9 4 4h j jk k h j hk k

77 a) b) a a a a a a a a2 2 2 21 1 2 1 2 1 c h c h c h c h 4 2 4 2a) 2 1 b) 4 4 1a a a a a a


233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y

79 a) b) a a b b a a b b x y z x y z 2 2 2 2 1 1c h c h b g b g

4 2 2 2 4 2 2 2 2a) 2 2 b) 2 2 2 1a a b a ab b b x xz x y z z

80 22 22 2a) 2 1 2 1 4 1 b) 2 2a c a c a c ax b ax b c

2 2 3 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2a) 8 4 32 32 8 b) 8 2 16 8a c a c c c a x a b x a cx b b c c

81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)

2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6a c a ac c x y z x y z x y z x y z

6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)

3 6 9 18a a c c xy xz yz z

82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22

a b a ab b b g c h 6 3 3 3 6 364 432 16 729 54 1a a b a b b

84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 6 9 2 3 4 6 9a m a am m a m a am m m a m a

4 6733

729a m

85 a b c d a b c d a b c d a b c d 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 42b g b g b g b g 2 22304c d

86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2

b c d c d b c d b b d c d b b d b g b g b g b g b g b g 233d

89 (ab + c ndash d) (ab ndash c + d) ndash (ab + c) (ab ndash c) + (c + d) (c ndash d) 2 22c cd d

90 222 2 2

a) 2 3 4 4 3 2 b) 2 3 2 3 1 2 3 12 1ab bc ac ac bc ab x y x y x y xy

2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y

91 2 2 2 2a) b) am bn cp am bn cp a b c d a b c d

[a) 4acmp ndash 4abmn b) 4ac + 4ad +4bc+ 4bd]

92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2

x y a b x a y b x b y a a b x y b g b g

[ndash 24ax ndash 16bx ndash 48by + 24xy]

93 (p + 2q ndash 3t + 4u)(p + 2q + 3t ndash 4u) + (p ndash 2q ndash 3t + 4u) (p + 2q ndash 3t + 4u) 22 4 6 8p pq pt pu

94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4x y z x y z x y z x y z FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234

95 [(m + 2n) ndash 3p] [(m ndash 2n) + 3p] ndash [(m ndash 3p) ndash 2n] [(m + 3p) ndash 2n] + [(2n ndash 3p) + m] [(2n ndash 3p) ndash m] 2 2 24 4 9m mn n p

96 3 3 32

mnp m n mnp m n mnp m n b g b g b g 2 26 2 2m np m mn

97 a x b y a x b y a x b y b g b g b g2 22 2 2 2a ab ax ay

98 (a + 2b + c + d) (a + 2b ndash c ndash d) ndash (a ndash b ndash 2c + d) (a ndash b + 2c ndash d) 2 26 3 3 6ab b c cd

99 m n p q t m n p q m n q t m n q t 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2b g b g b g b g Suggerimento tene-

re conto che molti prodotti si ripetono 28 8 16 16 8 2 16 4mq mt nq nt pq pt qt t

100 a) (xn + x2n + 1)2 ndash (xn ndash x2n + 1)2 (ndashan + b2n ndash c3n

+ 1)2 + (an ndash b2n + c3n ndash 1)2 [a) 4x

3n + 4x2n b) 0]

101 Senza effettuare le operazioni dire di quanti monomi egrave composto lo sviluppo del quadrato di un poli-

nomio con 5 termini [15] 102 Il quadrato di un binomio omogeneo di grado n egrave ancora un polinomio omogeneo Se sigrave di che grado

Giustificare la risposta [Sigrave 2n] 103 Lo sviluppo della potenza n ndash esima di un binomio omogeneo di grado k egrave sempre un polinomio omo-

geneo Se la risposta egrave positiva quanto vale il suo grado [Sigrave kn]


235

Potenze di binomi e triangolo di Tartaglia

Un altro prodotto notevole si ottiene sviluppando potenze qualsiasi di un binomio Abbiamo giagrave visto il qua-drato adesso vediamo il cubo Esempio 21

Sviluppare il seguente cubo di un binomio a bb g3 Scriviamo nel seguente modo

3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 32 2 2 3 3a b a b a b a ab b a b a a b ab a b ab b a a b ab b

Lrsquoesempio precedente ci suggerisce di enunciare una regola per lo sviluppo del cubo di un binomio che si avvale di appena 4 moltiplicazioni contro le 8 che invece dovremmo effettuare moltiplicando la base per se stessa tre volte Regola 7

Lo sviluppo del cubo di un binomio genera un quadrinomio formato dai cubi dei due monomi formanti la base e dai due tripli prodotti fra il quadrato di ciascun monomio per laltro In simboli (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3 Vediamo qualche esempio Esempio 22

Sviluppare 2 2 3x yc h Applichiamo la precedente regola

3 2 33 22 2 2 2 3 2 2 4 6 3 2 2 4 62 2 3 2 3 2 8 3 4 6 8 12 6x y x x y x y y x x y x y y x x y xy y

Possiamo generalizzare le regole viste per il quadrato e il cubo di un binomio a potenze qualsiasi purcheacute in-tere e positive Tale problema egrave molto vecchio ed era noto certamente agli antichi cinesi vissuti parecchie centinaia di secoli prima della nascita di Cristo Se ne occuparono in seguito illustri matematici tantegrave che in Italia lo schema associato viene chiamato triangolo di Tartaglia mentre in altri paesi egrave noto come triangolo

di Pascal Ma procediamo con ordine Per cercare una regola generale consideriamo qualche esempio Esempio 23

Sviluppare a bb g4 Possiamo scrivere a b a b a b b g b g b g4 3 Eseguendo questa moltiplicazione tenu-

to conto che il cubo di binomio dagrave luogo a 4 termini avremo la somma di due quadrinomi

a a a b ab b 3 2 2 33 3c h e b a a b ab b 3 2 2 33 3c h Vi saranno certamente dei termini simili precisamen-

te le seguente 3 coppie 3 3 3 33 3 2 2 2 2 3 3a b a b a b a b ab ab c h c h c h Perciograve lo sviluppo finale saragrave

a b a a b a b ab b a a b a b ab b b g b g b g b g4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 43 1 3 3 1 3 4 6 4

Il precedente esempio ci fa capire come possiamo sviluppare in generale a bn

b g Infatti se adesso volessi-

mo calcolare a bb g5 tenendo conto dello sviluppo di a bb g4 possiamo dire che otterremmo la somma di

due monomi con 5 termini a a a b a b ab b 4 3 2 2 3 44 6 4c h e b a a b a b ab b 4 3 2 2 3 44 6 4c h Vi saran-

no stavolta 4 coppie di termini simili 4 6 4 4 6 44 4 3 2 3 2 2 3 2 3 4 4a b a b a b a b a b a b ab ab c h c h c h c h Quindi avremo

come sviluppo un polinomio di 6 termini a a b a b a b ab b5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5

Possiamo allora dire che in generale valgono le seguenti regole per lo sviluppo di a bn

b g

1) ha n + 1 termini 2) ciascun monomio ha grado n 3) nel polinomio sono presenti tutte le potenze di a da n a 0 e contemporaneamente tutte le potenze di b da 0 a n


236

Rimane solo un problema come possiamo determinare i coefficienti dei monomi Abbiamo visto nei due esempi che basta sommare due coefficienti dello sviluppo precedente Possiamo quindi costruire il seguente triangolo in cui ciascuna riga si ottiene dalla precedente tranne le prime due iniziando e finendo con 1 e determinando i rimanenti termini come somma di tutte le coppie di termini adiacenti della precedente riga

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ

ցւ ց ւ ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ցւ ցւ ցւ

Vediamo qualche esempio di applicazione di quanto detto Esempio 24

Sviluppiamo la potenza del binomio 21

22

5

a bFHG

IKJ Tenuto conto di quanto detto scriviamo

2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5

a a b a b a b a b bc h c h c h c h c h FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

Adesso facciamo particolare attenzione a sviluppare il prodotto tenuto conto che prima dobbiamo sviluppa-re le potenze

32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ

Concludiamo il paragrafo considerando alcune applicazioni dei prodotti notevoli che possono aiutarci nel calcolo Ricordiamo abbastanza bene i quadrati dei numeri da 1 a 10 compresi qualche difficoltagrave in piugrave ab-biamo per i quadrati di numeri interi maggiori di 10 Vogliamo calcolare perciograve tali quadrati usando solo quelli noti a memoria Vediamo come

Esempio 25

Vogliamo calcolare il quadrato di 83 Possiamo scrivere 832 = (80 + 3)2 cioegrave come un quadrato di binomio Possiamo applicare la ben nota regola che vale anche se i monomi componenti sono due numeri ossia 832 = 802 + 2 80 3 + 32 = 6400 + 480 + 9 = 6889 E tutti i prodotti si eseguono facilmente a mente Il procedimento precedente puograve applicarsi anche a numeri con piugrave di due cifre solo che in questo caso natu-ralmente esso diviene piugrave laborioso In modo analogo potrebbero determinarsi anche i cubi ma stavolta for-se la scelta non risulta molto conveniente dato che devono in ogni caso memorizzarsi i cubi dei numeri da 1 a 9 e anche nei calcoli dei cosiddetti tripli prodotti sarebbero coinvolti numeri con piugrave di una cifra Un altro prodotto notevole che potrebbe essere sfruttato nel calcolo numerico egrave quello che conduce alla dif-ferenza di due quadrati come nel seguente esempio Esempio 26

Calcolare 48 52 Osserviamo che possiamo scrivere 48 52 = (50 ndash 2) (50 + 2) riconducendoci a una dif-ferenza di quadrati 48 52 = 502 ndash 22 = 2500 ndash 4 = 2496


237

Il precedente procedimento egrave molto utile per prodotti del tipo (10a + b) (10a ndash b) ma puograve utilizzarsi per tutti i prodotti vista la validitagrave del risultato seguente Teorema 3

Quali che siano i numeri reali a e b vale la seguente identitagrave a ba b a b a b a b

2 2 2 2

Dimostrazione Basta sviluppare il secondo membro Egrave evidente perograve che in generale non sempre il rimedio egrave migliore del male come testimoniato dal successivo esempio

Esempio 27

Calcolare 7153 Applicando lrsquoidentitagrave del teorema 3 Scriviamo

71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )

e ancor piugrave complicata risulta lrsquoapplicazione della stessa formula a questrsquoaltra moltiplicazione

38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti

Niccolograve Tartaglia nacque probabilmente nel 1505 a Brescia nellrsquoallora Repubblica Veneta Sono in-fatti scarse le notizie sulla sua vita specialmente quella dei primi anni Pare che si chiamasse Fontana e per un difetto di parola dovuto a una ferita alla lingua che gli fu procurata durante una incursione dei soldati francesi che saccheggiarono Brescia nel 1512 fu soprannominato ldquoil tartagliardquo Insieme a Cardano Del Fer-ro Bombelli e Ferrari rappresenta uno degli esponenti piugrave importanti della scuola algebrica italiana rina-scimentale che ebbe il merito di scoprire le formule per risolvere le equazioni di III e IV grado noncheacute di cominciare a dare una forma piugrave moderna al linguaggio algebrico Scrisse fra lrsquoaltro i Quesiti et invenzioni

diverse pubblicato nel 1546 e il General trattato di numeri et misure del 1556 ndash 1560 Morigrave a Venezia il 13 dicembre 1557

Lrsquoangolo storico

Lrsquoalgebra egrave una disciplina alquanto recente sviluppatasi soprattutto a partire dal X secolo d C Eppure alcu-ni concetti come quelli dei prodotti notevoli erano trattati anche ai tempi di Euclide seppure con metodi ge-ometrici Per esempio in figura il quadrato di lato che misura 8 unitagrave egrave stato decomposto in quattro quadrila-teri un quadrato di lato 5 due rettangoli di lati 3 e 5 e un quadrato di lato 3

Il che concorda con lo sviluppo del quadrato di binomio (5 + 3)2 = 52 + 2 5 3 + 32 Se ripetiamo il proce-dimento mostrato nellesempio precedente sostituendo ai numeri 5 e 3 variabili a e b il risultato opportu-

namente modificato non cambia Abbiamo perciograve riottenuto per altra via la formula a b a ab b b g2 2 22

proprio come fece Euclide piugrave di 2000 anni fa nella proposizione 4 del II libro degli Elementi


238

Verifiche

Lavoriamo insieme

Sviluppare la seguente potenza del binomio

52

2

1

bax

Dobbiamo costruire un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando fra loro le diverse potenze dei due monomi in modo che quando il grado di uno ldquocrescerdquo da 0 a 5 quello dellrsquoaltro ldquodecrescerdquo da 5 a 0 mante-nendo uguale a 5 la somma delle potenze Scriviamo perciograve

5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2

N ax b N ax b N ax b N ax b

N ax b N ax b

Con i simboli Ni abbiamo indicato i fattori per cui moltiplicare ogni termine valori che sappiamo possono ottenersi mediante il triangolo di Pascal o Tartaglia che qui arrestiamo al livello 5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2

a x a x b a x b a x b

ax b b a x a b x a b x a b x ab x b

Osserviamo che il polinomio sviluppo egrave omogeneo di grado 10 percheacute il polinomio base era omogeneo di grado 2 Sviluppare le seguenti potenze di binomi verificando se i polinomi ottenuti sono ordinati omogenei eo

completi rispetto a qualcuna delle variabili presenti

Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u

3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 3a) 6 12 8 b) 64 96 48 8 c) 6 12 8a a x ax x a b a b c ab c b c v v u vu u

3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1

8 2 3 27m m n mn n q z q z q z q z y y y


239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3

9 81 256 16 8m m n m n m n n b b c b c bc c

6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme

Semplificare la seguente espressione ax xz ax xz2 4 2 43 3 c h c h

Saremmo tentati di sviluppare distintamente le due potenze ma notiamo che a parte un segno le basi coin-cidono e quindi coincideranno anche i due sviluppi sempre a parte qualche segno Ciograve significa che nello svolgimento delle due potenze otteniamo valori uguali e valori opposti dato che stiamo effettuando una dif-ferenza eseguendo i calcoli quelli opposti diverranno uguali e si sommeranno raddoppiandosi quelli uguali invece diverranno opposti e si elimineranno Cominciamo allora con lrsquoindividuare i monomi uguali e quelli opposti Dal secondo sviluppo vengono fuori solo termini preceduti dal segno + dal primo verragrave fuori il se-gno ndash solo quando calcoleremo potenze dispari di (ndash3xz) Quindi dobbiamo calcolare solo la parte dello svi-luppo di (ax

2 ndash 3xz)4 che coinvolge potenze dispari di (ndash3xz) e una volta calcolati tali monomi li raddoppie-remo Perciograve (ax

2 ndash 3xz)4 ndash (ax2 + 3xz)4 = 2 [(ax

2)3 (ndash3xz) + (ax2) (ndash3xz)3] = 2 (ndash3a

3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z

3 Concludiamo osservando che in questo modo abbiamo effettuato appena 3 moltiplicazioni e 2 potenze

Sviluppare le seguenti espressioni utilizzando il minor numero possibile di operazioni

Livello 2

8 a) b) 2ab cd ab cd x x b g b g c h c h3 3 3 2 31 1 2 2 3 3 6 2a) 6 2 b) 2 6a b cd c d x x

9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n

10 a) b) 2 2 2 22 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5ax a x ax a x ax a x ax a x c h c h c h c h

15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x

11 a) b) a b ab a b ab a b ab a b ab2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 42 2 2 2 c h c h c h c h

5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b

12 a) b) 3 3 3 32 5 2 5 2 4 2 4x xz x xz x xz x xz c h c h c h c h

10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5

xy xz xy xz m p m p b g b g c h c h

6 5 6 3 3 6 5 20 12 8 4 16a) 384 320 24 b) 2 20 10x y z x y z x yz m m p m p

14 a) b) q r r q az az3 2 4 2 3 4 2 5 2 52 2 c h c h c h c h

12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6

m h m h a b a b FHGIKJ FHG

IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)

4 27 81h h m h m h m a b a b ab

Utilizzando tutti i prodotti notevoli semplificare le seguenti espressioni

16 2 3 4 4 2 24 402 3 2 2 2 2y x y x x y x y x y x y x xy y x y xy b g b g b g b g b g c h 3 311x y

17 x x x x x x x x x3 2 2 3 2 2 2 2 3 21 1 2 1 2 1 2 1 3 c h c h c h b g c h 39 5 1x x

18 x x y y x y x y x y x y x xy y x y xy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 3 3 2 3 2 9 6 4 59 322 2 2 2c h 3 3x y

19 2 2 5 2 5 2 2 3 6 9 42 2 2x x y y x y x y x y x y x xy y x y xy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 122 3 2c h 3 32 3x y

20 3 2 4 42 3 2d d h h d h d h d h d h d dh h ( ) (3 ) (3 ) ( ) ( ) 2c h 3 2 2 33 9 2 32d d h dh h

21 g e g e e g e g e g e g e eg g e g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 2 2 2 2 2 4 2 42 2 3 3c h 2 222 3eg e g

22 a v a v v a v a v a v a v av a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 2 3 2 2 42 2c h 3 2 2 310 18 17 4a a v av v

23 r r b b r b r b r b r b r br b b b r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 33 2 2 2 3 3 3 9 2 342 2 2c h 226br

24 a f a f a f a a f a f a f2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 5 3 2 c h c h c h c h2 2 2( ) ( ) 4 2 2 418 3a a f f

25 ( ) ( ) ( ) ( ) (5 ) (5 )22 3 2 3 3 5 3 4 14 6 2h j h j h j h h j h j h j 220 46hj j

26 3 4 3 4 3 4 8 2 42 2 2 2 2mp st mp st mp st st mp st c h c h c h c h2 28mpst

27 6 5 4 3 2 3 2 10 6 42 2 2kq ku k q u q u k u q u b g b g b g b g 2 2k u

28 3 5 2 5 5 102 2

ax y ax y ax ax y b g b g b g 100axy

29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62

qs qs h qs h qs qs h b g b g b g b g 24 4 5h h

30 s y s y s sy y sy s y 2 2 2 4 63 2 2b g b g c h b g 218sy

31 a b a ab b a b a ab b a b a ab b 3 3 9 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2b g c h b g c h b g c h 3 2 2 33 8 6 35a a b ab b

32 a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 2 3 2 3 3 2 42 2 2 2b g b g b g b g b g 10 9ab ac bc

33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m

39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3( 2 2 26 4 24 9a ac b bc c

40 x t x x t t x t x t tx x t x t tx x 2 3 2 3 73 2 2 2 2b g b g b g b g c h b g c h 2 2 315 9 11t x tx x

41 2 2 32 3 4 12 4 2 2 4 1 4 6 7 1n n m m n m n m n n n mn m n n

23 2 20mn m n

42 2 2 22 2 2 3 2a c d e c d e c d e c d e d e d e d e d e c d e

26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15

a m p a m p a m p a m p a p mm p p a m p a

22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3

a b q r a b q r r q a b q r ab a q r r b

21 1

3 2aq b

45 x y xy x y x xy y x y x y x y x y b g b g c h b g b g c h5 2 2 2 3 2 22 6 3 2 3 2 3 2 26 6 6 6x y x y x y x y

46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3

z t z t t z t z FHGIKJ FHG

IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z

47 x y z x y x y x y z y x y z 2 2 2 2 2 42 2b g b g b g b g b g 2 22 4x y

Livello 3 48 La seguente tabella stabilisce il numero di moltiplicazioni da effettuare per sviluppare il quadrato di un

polinomio con 2 3 e 4 monomi (la scritta 3 = 2 + 1 significa che 2 sono i quadrati e 1 il doppio prodot-to analogo significato hanno le altre scritte) completarla e cercare di enunciare una legge che dica quante operazioni debbono farsi per un polinomio con n termini [n (n + 1) 2]

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

Moltiplicazioni 3 = 2 + 1 6 = 3 + 3 10 = 4 + 6

49 Quanti termini ha il polinomio risultato della seguente espressione a b a b b g b g100 100 [51]

50 Quanti termini ha il risultato della seguente espressione a b a b b g b g100 100 [50]

Lavoriamo insieme Eseguire a mente il calcolo 1172 sfruttando le proprietagrave dei prodotti notevoli Scriviamo 1172 = (100 + 10 + 7)2 = 1002 + 102 + 72 + 2 100 10 + 2 100 7 + 2 10 7 = 10000 + 100 + 49 + 2000 + 1400 + 140 = 13689 Eseguire le seguenti espressioni sfruttando i prodotti notevoli

Livello 1 51 a) 472 b) 512 c) 692 d) 1022 e) 2132 f) 3472 g) 12342 h) 24702 52 a) 133 b) 283 c) 573 d) 1013 e) 2053 f) 3133 g) 10023 h) 21043 53 a) 42 38 b) 51 49 c) 67 73 d) 103 97 e) 215 205 f) 504 496


242

Lavoriamo insieme Trovare la somma delle cifre del numero (10378 ndash 1)2 sfruttando i prodotti notevoli Dato che 10378 significa 1 seguito da 378 zeri togliendo 1 troviamo 377 volte la cifra 9 poi perograve dobbiamo innalzarla al quadrato e il quesito si complica Invece sviluppiamo il quadrato tenuto conto che egrave un bino-

mio ottenendo 10756 ndash 2 10378 + 1 in pratica abbiamo la seguente differenza 755

378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001

Spieghiamo cosa egrave successo 10756 + 1 ha 757 cifre formate da due 1 (prima e ultima cifra) e 755 zeri Men-tre 2 10378 egrave un 2 seguito da 378 zeri Quando sottraiamo avremo 1 come ultima cifra poi sottrarremo fra di loro 377 zeri ottenendo appunto zero Quindi sottrarremo 2 da 0 con il prestito della decina otteniamo 8 e quindi tutti gli zeri che precedono questo 0 (che sono 755 ndash 378 = 377) divengono 9 Alla fine la somma ri-chiesta saragrave 9 377 + 8 + 1 = 3402 Determinare la somma delle cifre dei seguenti numeri

Livello 2 54 a) (10215 + 1)2 b) (10512 + 3)2 c) (101234 + 2)2 [a) 4 b) 16 c) 9] 55 a) (101548 + 7)2 b) (10489 + 4)2 c) (101001 + 5)2 [a) 19 b) 16 c) 9] Livello 3

56 a) (1075 ndash 3)2 n ℕ b) (10127 ndash 1)2 c) (10217 ndash 2)2 [a) 679 1143 1954]

57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]

58 a) (10n + 1)2 n ℕ b) (10n + 9)2 n ℕ c) (10n ndash 1)2 n ℕ [a) 4 19 9n]

59 Sapendo che la somma delle cifre di 102

n m n m c h N egrave 18 determinare m [8]

60 Quanto vale la somma delle cifre del numero 10 10 12 2n n c h [9]

61 Dopo aver osservato che 1000001 = 106 + 1 calcolare la sua seconda terza e quarta potenza 62 Calcolare la seconda terza e quarta potenza del numero 2000000002 Lavoriamo insieme La seguente figura egrave proposta da Euclide nella proposizione 7 del III libro degli Elementi come giustifica-

zione del prodotto notevole che in termini moderni scriviamo (a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b

2 Abbiamo aggiunto nella figura le scritte accanto a ciascuna linea Come mai Euclide disegna questa figura Abbiamo un quadrato di lato (a ndash b) quindi di area (a ndash b)2 che egrave quello in grigio poi abbiamo un quadrato di lato b quindi area b2 quello in verde ancora due rettangolo tratteggiati entrambi di area b (a ndash b) infine il quadrato complessivo di area a2 Euclide intende suggerire che possiamo trovare il quadrato in grigio considerando il quadrato grande e to-gliendovi non i due rettangoli tratteggiati bensigrave i rettangoli formati unendo questi con il quadrato verde cioegrave due rettangoli la cui area egrave a b dato che perograve questo quadratino egrave comune a entrambi i rettangoli lo verre-mo a togliere due volte quindi dobbiamo aggiungerlo (+ b2) percheacute tutto quadri

Livello 2 63 Verificare geometricamente in due modi diversi la formula del binomio per un quadrato di lato 8

scomponendolo nelle somme 3 + 5 e 2 + 6 64 Fornire una verifica geometrica della formula del quadrato di un trinomio applicandola a un quadrato

di lato 12 scomposto come 3 + 4 + 5


243

65 Costruire la figura associata alla formula del quadrato di un trinomio nel caso generale 66 Verificare geometricamente la formula della differenza di due quadrati per (7 + 5) (7 ndash 5) Livello 3 67 Esprimere mediante i prodotti notevoli quanto stabilito dalla seguente figura (prop 8 del libro II degli

Elementi di Euclide) [(a + b)2 ndash (a ndash b)2 = 4ab]

Usando lalgebra geometrica verificare le seguenti identitagrave

68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq

69 a b c a b c a b c b g b g b g2 2

70 a b c d a b c d a b c d b g b g b g b g2 2

71 a b c d a b c d a b c d b g b g b g2 2

72 Usando la seguente figura dimostrare la formula per il cubo di binomio

Livello 2 Quesiti di logica

Determinare quali fra le seguenti condizioni sono necessarie sufficienti o necessarie e sufficienti per

laccadere dei fatti descritti 73 Essere un polinomio omogeneo percheacute anche il suo quadrato sia un polinomio omogeneo

[Necessaria e sufficiente] 74 Avere un monomio di grado 10 percheacute il polinomio abbia grado 10 [Necessaria] 75 Avere tutti i monomi di grado 10 percheacute il polinomio abbia grado 10 [Sufficiente] 76 Avere il coefficiente del termine di secondo grado diverso da zero per essere un polinomio completo

di terzo grado in una sola variabile [Necessaria] 77 Essere lo sviluppo di un prodotto notevole somma per differenza di monomi per essere un binomio

[Sufficiente] Quesiti sulle relazioni binarie

78 Verificare che la relazione binaria definita nellrsquoinsieme dei polinomi a una variabile associando fra di loro due polinomi solo se hanno lo stesso grado egrave una relazione di equivalenza Quanti elementi ha lrsquoinsieme quoziente [infiniti]

79 Se definiamo la relazione binaria dellrsquoesercizio precedente nellrsquoinsieme formato dai polinomi di grado compreso tra 17 e 203 quanti elementi ha lrsquoinsieme quoziente [187]

80 Verificare che la relazione binaria definita nellrsquoinsieme dei polinomi a una variabile associando fra di loro due polinomi solo se contengono la stessa variabile egrave una relazione di equivalenza Quanti ele-menti ha lrsquoinsieme quoziente [Quanti simboli ha lalfabeto usato 26 usando quello inglese]

81 Verificare che la relazione binaria definita nellrsquoinsieme dei polinomi di primo grado a due variabili associando fra di loro due polinomi solo se contengono una stessa variabile scelta nellrsquoalfabeto a b c hellip x y z egrave una relazione di equivalenza Per esempio a + b + 1 2a + 3c e a ndash 2 sono equivalenti Quanti elementi ha lrsquoinsieme quoziente [676]


244


I polinomi e la notazione posizionale dei numeri Cambiamenti di base

I polinomi sembrano scritture strane e inutilmente complicate ma in realtagrave noi utilizziamo spesso tali con-cetti anche con i piugrave familiari numeri interi Esempio 28

Scrivere il numero 7234 equivale a scrivere 7000 + 200 + 30 + 4 o anche 7 103 + 2 102 + 3 10 + 4 Co-sigrave considerando il numero 10 come la variabile x y o comunque vogliamo chiamarla possiamo pensare al numero 7234 come a un quadrinomio di terzo grado nella variabile 10 ossia come se in 7x

3 + 2x2 + 3x + 4

al posto di x mettiamo 10 La scrittura in forma polinomiale di un numero giustifica la regola per moltiplicare due numeri in colonna Esempio 29

Per moltiplicare 23 per 425 ci hanno insegnato che dobbiamo utilizzare lo schema rappresentato di seguito 23

425

115

46

92

9775

Come mai questa scelta Scriviamo la moltiplicazione scomponendo il secondo fattore in notazione posizio-nale decimale 23 425 = 23 (400 + 20 + 5) = 23 (4 102 + 2 10 + 5) applicando la proprietagrave distributiva possiamo anche scrivere 23 4 102 + 23 2 10 + 23 5 = 92 102 + 46 10 + 115 Allora se partendo dallrsquoultimo numero sostituiamo ogni zero proveniente dalla notazione posizionale con uno spazio vuoto alla destra del numero abbiamo ottenuto appunto la regola che ci hanno insegnato Egrave chiaro che si puograve pensare di ridurre o aumentare i simboli a disposizione e in tal modo aumentare o ridur-re la ldquolunghezzardquo nella scrittura di un numero Esempio 30

Probabilmente luso di 10 simboli dipende dal fatto che abbiamo 10 dita in 2 mani Cosa accadrebbe se vo-lessimo contare con le dita di una mano sola cioegrave usare solo 5 simboli per esempio 0 1 2 3 e 4 Vuol dire che i numeri a 2 cifre scatteranno a partire dal sesto numero cosigrave scrivendo [10]5 (il numero scritto in pic-colo indica quante cifre usiamo) stiamo indicando quello che in base 10 egrave 6 Per ciograve i numeri con due cifre non saranno piugrave 90 (100 ndash 10) ma saranno 20 (25 ndash 5) Cioegrave saranno [10]5 [11]5 [12]5 [13]5 [14]5 [15]5 [20]5 [21]5 [22]5 [23]5 [24]5 [30]5 [31]5 [32]5 [33]5 [34]5 [40]5 [41]5 [42]5 [43]5 [33]5 Quindi la terza cifra scatteragrave a partire dal ventiseiesimo numero cioegrave da 52 + 1 In generale il numero di posto 5n + 1 + 1 saragrave il primo con (n + 1) cifre Notazione 2

Per indicare che un numero egrave scritto in una certa base b utilizziamo la scritta [n]b con n la scritta simbolica del numero e b la sua base Esempio 31

Il numero [721]8 a quale numero in base 10 equivale Basta scrivere il numero nella notazione polino-miale con 8 come variabile e sommare con le ordinarie regole valide nella base 10 Abbiamo perciograve

[721]8 = [782 + 28 +1]10 = [465]10 Come possiamo invertire il procedimento precedente cioegrave passare da [465]10 a [721]8 Il problema equi-

vale a quello di ripartire il liquido contenuto in 5 contenitori da 1 litro 6 da 10 litri 4 da 100 litri in con-


245

tenitori le cui dimensioni sono in litri 80 =1 81 = 8 82 = 64 non andiamo oltre percheacute 83 = 512 gt 465 Inoltre poicheacute 8 contenitori da 1 litro equivalgono a 1 da 8 riempiremo al massimo 7 contenitori da 1 al-lo stesso modo poicheacute 8 contenitori da 8 litri equivalgono a uno da 82 litri non riempiremo piugrave di 7 con-tenitori da 8 litri Adesso cominciamo a riempire i contenitori piugrave grandi cioegrave quelli da 6a litri Poicheacute 465 = 7 64 + 17 riempiamo 7 contenitori da 64 litri e ci rimangono ancora 17 litri da travasare nei con-tenitori piugrave piccoli cioegrave da 8 litri Dato che 17 = 2 8 + 1 riempiamo due contenitori da 8 e ci rimane 1 solo litro Infine abbiamo suddiviso i nostri 465 litri in 7 contenitori da 64 2 da 8 e 1 da 1 Ciograve significa che egrave [465]10 = [721]8 La regola pratica consiste nel dividere 465 per 8 considerando il resto poi divide-re il quoziente per 8 e cosigrave via fincheacute non otteniamo per quoziente 0 Alla fine scriviamo i resti al contra-

rio di come li abbiamo ottenuti Cioegrave

465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7

Ancora un esempio Esempio 32

Tradurre il numero [1234]6 in base 13 A causa della familiaritagrave che abbiamo con essa egrave preferibile usare la base 10 come collegamento Scriviamo cioegrave [1234]6 = [4 + 36 + 2 62 + 163]10 = [310]10 Poi trasformiamo tale numero in base 13 con il procedimento descritto nellrsquoesempio precedente ottenendo

310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1

Nasce un problema alcuni resti sono maggiori di 9 dobbiamo perciograve usare nuovi simboli per indicarli In genere si usano le lettere Cosigrave indichiamo 10 con A e 11 con B Avremo perciograve [1234]6 = [310]10 = [1AB]13


Lrsquoutilizzo della notazione posizionale egrave una delle piugrave interessanti scoperte o invenzioni (al solito vi egrave contro-versia se la matematica si inventi o si scopra) che siano state effettuate nelle matematiche Pensiamo al mo-do di scrivere degli antichi romani Essi utilizzavano dei simboli (I V X L C D M) a ognuno dei quali as-sociavano un valore (nellrsquoordine 1 5 10 50 100 500 1000) e poi stabilivano delle regole per comporre tali simboli per scrivere i numeri La regola fondamentale era la notazione additiva ossia i valori numerici dei simboli si sommavano quasi sempre Infatti mentre la scritta MCLVIII significava 1000 + 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1158 IX non era 1 + 10 ma 10 ndash 1 Ora egrave immediato notare come risulta complicata questa nota-zione il nostro 1158 scritto con soli quattro simboli nella notazione romana egrave scritto con ben 7 simboli La notazione posizionale ha origini molto antiche (giagrave i babilonesi la utilizzavano nellrsquoantica Mesopotamia) ha il pregio di usare un numero determinato di simboli nel nostro caso 10 e di associare a ogni simbolo un valore numerico che non egrave sempre lo stesso ma che dipende dalla posizione che ha nel numero Cosigrave nel numero 1111 i quattro simboli uguali valgono rispettivamente da sinistra a destra 1000 100 10 e 1 Invece nella notazione romana IIII tutti e quattro i simboli I hanno lo stesso valore indipendentemente dal posto che occupano Nellrsquoantico Egitto per moltiplicare due numeri interi si usava anche se inconsciamente la numerazione bi-naria Ciograve percheacute risultava piugrave semplice moltiplicare per due cioegrave raddoppiare un numero che moltiplicarlo per un qualsiasi numero Se perciograve per esempio doveva moltiplicarsi 37 41 Si scriveva 41 = 32 + 8 + 1 = 25 + 23 + 1(ricordiamo che [41]10 = [101001]2) Quindi basta moltiplicare 37 per 25 23 e 1 e poi sommare Per effettuare facilmente queste operazioni raddoppiamo 37 0 volte (moltiplichiamo per 1) 3 volte (per 23) e 5 volte (per 25) ottenendo 37 + 296 + 1184 = 1517


246

Verifiche

Lavoriamo insieme Esprimere il numero [123]4 in base 5 Prima portiamolo in base 10 scrivendo nella forma polinomiale [123]4 = [142 + 241 + 340] = [27]10 Ades-so portiamo questo numero in base 5 scrivendolo come somma di potenze di 5 [27]10 = 25 + 2 = 52 + 2 = 152 + 05+250 = [102]5 Questo significa che lacqua contenuta in un bidone da 42 = 16 litri 2 da 4 e 3 da 1 puograve essere interamente riversata riempiendoli completamente in 2 bidoni da 10 litri e 7 da 1 litro oppure in 1 da 52 = 25 litri e in 2 da 1 litro Effettuare le trasformazioni dei dati numeri da una base allrsquoaltra Usiamo i simboli A = 10 B = 11 C =

12 D = 13 E = 14 F = 15

Livello 2 1 a) [12345]10 []3 b) [112200]3 []10 c) [101]2 []5 [a) [121221020]3 b) [396]10 c) [10]5] 2 a) [1234321]5 []5 b) [122333]8 []4 c) [1010101]10 []11

[a) [101111100010000]2 b) [22103123]4 c) [62A9A4]11] 3 a) [765]12 []6 b) [1000001]2 []7 c) [12345]10 []3 [a) [5005]6 b) [243]7 c) [22222]3] 4 a) [ABC]15 []14 b) [CADE]16 []10 c) [999]10 []9[a) [C55]14 b) [51934]10 c) [14640]9] 5 a) [AAAA]11 []5 b) [AAAA]16 []12 c) [AE00]15 []5

[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]

Lavoriamo insieme Risolvere il seguente problema Un grossista di biscotti per cani ha a disposizione casse che possono conte-

nere 4 16 64 o 256 lattine Sappiamo che quando deve fare una spedizione cerca di inviare il minor nume-

ro complessivo di casse invia solo casse completamente piene ieri ha inviato 946 fra casse e lattine singo-

le Vogliamo sapere quante casse di ciascun tipo ha spedito Dato che 1 4 16 64 256 sono le successive potenze di 4 da 40 = 1 fino a 44 = 256 il problema si risolve facilmente trasformando [946]10 in base 4 Per far ciograve sappiamo che dobbiamo procedere con le successive divisioni del numero per 4 annotando i resti Abbiamo

946 = 236 4 + 2 236 = 59 4 + 0 59 = 14 4 + 3 14 = 3 4 + 2 3 = 0 4 + 3 Quindi leggendo i resti in ordine inverso abbiamo [946]10 = [32302]4 Ciograve significa che il grossista ha in-viato 3 casse da 256 scatole 2 da 64 3 da 16 e 2 scatole sfuse Risolvere i seguenti problemi utilizzando le nozioni sul cambiamento di base

Livello 2 8 Sei persone (indicate con A B C D E F) vanno ad attingere lrsquoacqua da un serbatoio che contiene 45

litri drsquoacqua A ha un bidone da 1 litro B da 2 litri C da 4 D da 8 E da 16 e F da 32 Vanno nellrsquoordine da F ad A e ciascuno o riempie completamente il proprio bidone o lo lascia vuoto Chi non riesce a riempire il proprio bidone [B ed E]

9 Dobbiamo dividere 11255 caramelle in confezioni che ne possono contenere rispettivamente 6 36 216 1296 7776 Sapendo che ciascuna confezione si riempie del tutto e che si cerca di usare il minor numero di confezioni vogliamo sapere a) quali confezioni rimangono vuote b) quante confezioni da 1 296 caramelle si riempiono c) quante caramelle non riescono a sistemarsi in alcuna confezione

[a) Quelle da 36 b) 2 c) 5] 10 Un negoziante di giocattoli confeziona le biglie in gruppi di 7 Di queste 7 vengono poi messe in una

confezione piugrave grande e questo processo si ripete mettendo sette di queste confezioni in una busta an-cora piugrave grande Non si usano buste se non vengono completamente riempite Poicheacute abbiamo un tota-le di 104 734 biglie vogliamo sapere a) quante biglie contiene la piugrave grande busta utilizzata b) quan-


247

te sono le buste piugrave grandi usate c) quante sono le confezioni da 7 che non riescono a mettersi in alcu-na busta piugrave grande [a) 7776 b) 6 c) 0]

Livello 3 11 Simuliamo la crescita di una popolazione nel seguente modo In unurna immettiamo 5 palline numera-

te da 0 a 4 Numeriamo i giorni delle settimane nel modo seguente 0 = lunedigrave 1 = martedigrave 6 = domenica Ogni giorno estraiamo una pallina e moltiplichiamo il numero ottenuto per 5n con n giorno della settimana Ogni giorno sommiamo il valore ottenuto ai precedenti Se la domenica abbiamo otte-nuto 66 035 individui vogliamo sapere a) in quanti giorni non abbiamo estratto 0 5 b) in quali giorni abbiamo estratto 0 c) quante volte abbiamo estratto 4 d) la somma dei punteggi delle 7 palline estrat-te [a) 5 b) Lunedigrave e Venerdigrave c) 1 d) 11]

12 Se pensiamo alla scrittura polinomiale dei numeri naturali in base 10 tali polinomi sono ovviamente sempre ordinati secondo le potenze decrescenti di 10 Quali numeri rappresentano polinomi completi

[Quelli privi di cifre nulle] 13 Sempre nellrsquoordine di idee dellrsquoesercizio precedente possono esistere polinomi omogenei Se la rispo-

sta egrave positiva cosa hanno di particolare tali numeri e per ciascun grado quanti ne esistono [Quelli che hanno tutte le cifre nulle tranne una 9]

14 Dei batteri vengono messi in una coltura batteriologica Sperimentalmente si stabilisce che essi tripli-cano di numero ogni giorno Un dato giorno vengono iniziate dieci colture con lo stesso numero inizia-le di 1 259 batteri Per diversi motivi le colture vengono interrotte (in pratica non generano piugrave batteri) alla fine di diversi giorni ma in modo che uno stesso giorno non vengano interrotte mai piugrave di due col-ture Quando si interrompe lrsquoultima coltura si contano i batteri di tutte e dieci le prove e si trova che essi ammontano a 58626594 Relativamente alle colture sospese lrsquoultimo giorno vuol sapersi a) quan-te erano b) quanti batteri contenevano alla fine ciascuna c) dopo quanti giorni sono state interrotte d) se vi sono stati dei giorni in cui non sono state interrotte colture

[a) 21 b) 24780897 c) 10d) 4 primo secondo settimo e ottavo] Lavoriamo insieme Verificare che il numero 1331 egrave un cubo perfetto in qualunque base maggiore di tre Infatti scriviamo il numero in una base generica b [1331]b = 1b3 + 3b2 + 3b + 1b0 = (1 + b)3

Livello 3 15 Verificare che il numero 144 egrave un quadrato perfetto in qualunque base maggiore di quattro Calcolare

il suo valore espresso in base 10 per le basi da 2 a 9 comprese 16 Verificare che il numero 14641 egrave una quarta potenza perfetta in qualunque base maggiore di sei Cal-

colare il suo valore espresso in base 10 per le basi da 2 a 9 comprese Giochiamo alla matematica Una regola permette di calcolare facilmente a mente il quadrato di numeri di due cifre che finiscono per

5 basta moltiplicare fra di loro la cifra delle decine e il suo successivo questo fornisce le prime cifre del risultato le cui ultime cifre sono sempre 25 Per esempio 352 = 1225 (12 = 3 4) 752 = 5625 (56 = 7 8) Vogliamo dare una giustificazione alla regola Un numero generico di questo tipo si indica con n5 in cui n egrave una cifra non nulla Allora n52 = (10n + 5)2 = 100n

2 + 100n + 25 = 100n (n + 1) + 25 che egrave appunto quello che abbiamo affermato

La seguente regola permette di indovinare un numero di quattro cifre pensato da qualcuno Essa egrave dovuta a Gaspard Bachet ed egrave presente nel suo libro Problems plaisants et delectables qui se font par le nombres pubblicato nel 1612 Colui che ha pensato il numero deve effettuare le seguenti operazioni

pensare il numero come formato dalle sue 4 cifre che per comoditagrave indichiamo con a b c e d raddoppiare a aggiungere 5 moltiplicare per 5 aggiungere 10 aggiungere b moltiplicare per 10 aggiungere c moltiplicare per 10 aggiungere d comunicare solo questrsquoultimo risultato

Il ldquomagordquo toglieragrave 3500 e troveragrave il numero pensato Vediamo intanto di verificarlo su un numero a caso per esempio 5572 Di seguito schematizziamo le operazioni effettuate da chi ha pensato il numero

5 10 15 75 85 90 900 907 9070 9072 Viene comunicato 9072 sottraiamo a esso 3500 e otteniamo proprio 5572 Vediamo percheacute la ldquomagiardquo


248

funziona Il numero abcd scritto in notazione decimale egrave 1000a + 100b + 10c + d Vediamo che operazioni si effettuano su questo numero generico a 2a 2a + 5 10a + 25 10a + 35 10a + b + 35 100a + 10b + 350 100a + 10b + c + 350 1000a + 100b + 10c + 3500 1000a + 100b + 10c + d + 3500 Togliendo appunto 3500 troviamo il numero di partenza

Un altro trucco consistente sempre nellrsquoindovinare un numero pensato da altri utilizza la seguente tabella

Si inviti una persona a pensare un numero intero compreso tra 1 e 31 Si facciano poi indicare le colonne della tabella in cui egrave presente il numero ciograve basta a individuarlo Infatti ciascuna colonna deve interpretarsi come la posizione di un numero nella numerazione binaria pertanto se il numero pensato fosse 27 esso egrave presente nella prima nella seconda nella quarta e nella quinta colonna e quindi si ha la sequenza 11011 da cui [11011]2 = [27]10 Se perciograve ci viene detto che il numero egrave presente nella prima seconda e quarta colonna la sequenza 01011 ci dice che il numero egrave [01011]2 = 23 + 2 + 1 = 11

Attivitagrave

1 Trovare una regola ldquomagicardquo simile a quella di Bachet per i numeri di 5 e 6 cifre 2 Una persona pensa un numero di 4 cifre abcd e ci comunica il risultato finale delle seguenti

operazioni moltiplica a per 5 aggiunge 8 raddoppia aggiunge b moltiplica per 10 aggiunge 12 aggiunge c raddoppia aggiunge 6 moltiplica per 5 aggiunge d Quale numero dobbiamo togliere al risultato comunicato per ottenere abcd [1750]

3 Una persona pensa un numero di 4 cifre abcd e ci comunica il risultato finale delle seguenti operazioni moltiplica a per 5 aggiunge 4 raddoppia aggiunge b raddoppia aggiunge 24 moltiplica per 5 aggiunge c raddoppia toglie 30 moltiplica per 5 aggiunge d Quale numero deve togliersi al risultato comunicato per ottenere abcd [1850]

4 Estendere la tabella presentata ai numeri fino a 63 e poi fino a 127 5 Costruire una tabella simile a quella dei numeri in base due per i numeri in base 3


249

Per la prova Invalsi

Lavoriamo insieme Consideriamo il seguente quesito facente parte della prova Invalsi del 2012 Lrsquoespressione a

37 + a38 egrave uguale a A) 2a75 B) a75 C) a37 (a + 1) D) a37middot38

Osserviamo che abbiamo a che fare con un polinomio che non puograve diventare un monomio percheacute i due mo-nomi non sono simili fra loto pertanto tranne la C) le altre sono certamente sbagliate Per verificare che ef-fettivamente la C) egrave la risposta corretta basta eseguire la moltiplicazione in essa contenuta il cui risultato fi-nale coincide effettivamente con lrsquoespressione iniziale Risolvere i seguenti quesiti alcuni dei quali assegnati nelle prove Invalsi degli anni precedenti

1 (Invalsi 2003) A quale delle seguenti espressioni egrave equivalente (x + y)2 ndash (x ndash y)2 per ogni valore di x e y A) 2x

2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y

2 + 4xy [D] 2 (Invalsi 2005) Quale espressione algebrica corrisponde alla proposizione ldquoMoltiplicare il quadrato

della differenza di due numeri per la somma dei quadrati dei due numerirdquo [D] A) (x2 ndash y2) (x + y)2 B) (x ndash y)2 (x + y)2 C) (x2 ndash y2) (x2 + y2) D) (x ndash y)2 (x2 + y2)

3 (Invalsi 2005) Prendiamo un numero intero di due cifre e scambiamo le cifre tra loro Facendo la somma tra il numero di partenza e quello con le cifre scambiate quale delle seguenti proposizioni egrave vera Il numero che si ottiene egrave sempre unhellip [D] A) numero minore di 100 B) multiplo di 9 C) numero pari D) multiplo di 11

4 (Invalsi 2007) In un triangolo rettangolo un cateto supera lrsquoaltro di 3 cm Indicando con x la misura in centimetri del cateto minore quale tra le seguenti espressioni rappresenta lrsquoarea del triangolo [C]

A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2

x x D) x (x ndash 3)

5 (Invalsi 2011) Lrsquoespressione 1037 + 1038 egrave anche uguale a A) 2075 B) 107 C) 11middot1037 D) 1037middot38 [C] 6 (Invalsi 2015) Lrsquoespressione a43 + a44 e uguale a A) a44middot43 B) a43 middot (a + 1) C) a87 D) 2a

87 [B] 7 (Invalsi 2017) Lrsquoespressione 2n ndash l rappresenta al variare di n nellinsieme dei numeri naturali mag-

giori di 0 un qualunque numero dispari Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni in cui n varia nellrsquoinsieme dei numeri naturali egrave vera (V) o falsa (F) A) Per ogni n (2n ndash 1)2 rappresenta un numero pari B) Per ogni n 3n rappresenta un numero dispari C) Per ogni n 2n + 1 rappresenta un numero di-spari [F F V]

8 (Invalsi 2017) Lrsquoespressione 1

aa

si puograve scrivere come [C]

A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a

9 Il polinomio 4m + 5n2 rappresenta la somma fra A) un numero pari e il quadrato di un multiplo di 5

B) un multiplo di 4 e il quintuplo di un quadrato C) un numero pari e uno dispari D) un quadrato e un non quadrato [B]

10 Quale fra i seguenti polinomi qualunque siano i numeri interi che sostituiamo alle sue variabili rap-presenta sempre un quadrato perfetto [C] A) x2 + y2 B) x2 + 4y

2 + 4 C) 4x2 + 9y

2 + 12xy D) x2 + 2xy ndash y2 11 Quale fra i seguenti polinomi si puograve considerare il doppio del polinomio x + 2y + 1 [A]

A) 2x + 4y + 2 B) 2x + 4y C) 2x + 2y + 1 D) 2x + 2y + 2 12 Per completare il polinomio ordinato nella sola variabile x xn + 3x

7 ndash 2x4 + x2 ndash 2 servono 23 termini

Se n egrave il monomio di grado massimo quanto vale A) 23 B) 24 C) 26 D) 27 [D]


250

La sfida Qui riportiamo alcuni quesiti particolarmente impegnativi

1 a b a bn n

b g b g ha 37 termini quanto vale n [72]

2 Enunciare una congettura sul risultato della somma di tutti i numeri relativi a una stessa riga del trian-golo di Tartaglia [Sono potenze di 2]

3 Dopo avere sviluppato il triangolo di Tartaglia fino alla decima potenza colorare tutti i multipli di 2 notando che in tal modo si ottengono delle particolari figure Ripetere il procedimento per i multipli di 3 4 e 5

4 Spiegare percheacute per passare dalla base 2 alla base 4 puograve utilizzarsi il seguente procedimento piugrave velo-ce si raggruppano le cifre del numero a due a due a partire da destra e si sostituisce a ciascuna cop-

pia il corrispondente valore decimale Esempio [1101101]2 = [1 (10) (11) (01)]2 = [1231]4 5 Trovare una regola analoga a quella presentata nellrsquoesercizio precedente per passare dalla base 2 alla

base 8 6 Lo stesso dellrsquoesercizio precedente per passare dalla base b a una base bn 7 Lo stesso dellrsquoesercizio precedente per passare dalla base 2n alla base 2 8 Lo stesso dellrsquoesercizio precedente per passare dalla base bn alla base b 9 Osserviamo che [213132]4 ha 6 cifre mentre lo stesso numero scritto in base 2 diviene

[100111011110]2 che ha 12 cifre Egrave sempre vero che se N in base 4 ha n cifre in base 2 ne ha 2n Giu-stificare la risposta [No per esempio [10]4 = [100]2]

10 Se un numero in base 16 ha 5 cifre egrave sempre vero che scritto in base 10 ha piugrave di 5 cifre Giustificare la risposta [No per esempio [10000]16 = [65536]10]

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali Ciascun simbolo si riferisce a una gara matematica AHSME = Annual High School Mathematics Examination GNP = Gara Nazionale Prime Olimpiadi della Matematica MT =Mathematics Teacher rivista della NCTM OMI = Olimpiadi della matematica italiane

Lavoriamo insieme Il seguente quesito egrave stato assegnato agli AHSME del 1950

Quanti termini ha lo sviluppo di 22 2

3 3a b a b

Possiamo scrivere 22 2 42 2 2 2 2 23 3 9 9a b a b a b a b

Lo sviluppo della quarta potenza di

un binomio egrave un polinomio con 5 elementi 1 (AHSME1951) Formiamo numeri di 6 cifre ripetendo numeri di 3 cifre per esempio 256256 o 678678

Ogni numero di questo tipo egrave sicuramente divisibile [E] A) solo per 7 B) solo per 11 C) solo per 13 D) per 101 E) per 1001

2 (MT1995) 75 in base 10 equivale a 300 in base b Trovare b [5] 3 (AHSME 1983) Senza svolgere il prodotto determinare il grado del polinomio semplificazione della

seguente espressione x xx x x

53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]

4 (MT1993) Semplificare 2

1234567890

1234567891 1234567890 1234567892 (Sugg Usare i prodotti notevoli)

[1234567890] 5 (GNP2013) Al polinomio x8 + x4 si vuole aggiungere un monomio (di grado diverso da 4 e da 8) in

modo che il trinomio che si ottiene sia il quadrato di un binomio In quanti modi diversi lo si puograve fare [4]

6 (OMI2013) Andrea scrive la somma di due numeri a tre cifre con il relativo risultato Poi sostituisce a ciascuna cifra una lettera facendo corrispondere lettera uguale a cifra uguale e usando lettere diverse


251

per cifre diverse In questo modo ottiene TRE + TRE = SEI Allora A) la lettera E corrisponde neces-sariamente a un numero pari B) la lettera S corrisponde necessariamente a un numero pari C) la lettera E corrisponde necessariamente a un numero dispari maggiore di 4 D) la lettera E corrisponde necessa-riamente a un numero pari minore di 5 E) nessuna delle precedenti affermazioni egrave vera [E]

7 (OMI2014) Se x + 1x = 5 quanto fa x3 + 1x3 A) 105 B) 110 C) 115 D) 120 E) 125 [B] 8 (OMI2014) Qual egrave il coefficiente di x199 in (x2 + x + 1)100 A) 100 B) 298 C) 4950 D) 5050 E) 992 [A] Questions in English

Working together The following exercise was published in the issue of May 1995 of Mathematics Teacher Which pair of natural numbers have squares that differ by 75 We call x and y the numbers to find they satisfy the relation x2 ndash y2 = 75 or (x ndash y) (x + y) = 75 We seek for natural numbers hence we write 75 as product of two natural numbers We have only the following pos-sibilities 1 75 3 25 5 15 This means x ndash y = 1 and x + y = 75 if we sum term by term we obtain 2x = 76 or x = 38 and y = 37 Verify 382 ndash

372 = 1444 ndash 1369 = 75 x ndash y = 3 and x + y = 25 2x = 28 x = 14 and y = 11 Verify 142 ndash 112 = 196 ndash 121 = 75 x ndash y = 5 and x + y = 15 2x = 20 x = 10 and y = 5 Verify 102 ndash 52 = 100 ndash 25 = 75 There are no other solutions

9 (AHSME1957) The first step in finding the product 3 2 5x x by use of the distributive property

in the form a (b + c) = a b + a c is A) 3x2 ndash 13x ndash 10 B) 3x (x ndash 5) + 2 (x ndash 5) C) (3x + 2) x +

(3x + 2) (ndash5) D) 3x2 ndash 17x ndash 10 E) 3x

2 + 2x ndash 15x ndash 10 [C]

10 (AHSME1975) Determine the sum of the digits of the number 10 1408 2c h [4]

11 (AHSME1979) For all real numbers x x [x x (2 ndash x) ndash 4 + 10] + 1 = [E]

A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x

2 + 10x + 1 C) ndashx4 ndash 2x

3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x

3 ndash 4x2 ndash 10x + 1 E) ndashx

4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1

12 (AHSME1980) Without evolve the powers tell the polynomialrsquos degree result of the following multi-

plication x x2 4 3 31 1 c h c h [17]

13 (MT1991) 15 15 = 321 is correct if the numbers are expressed in a certain base b which [6] 14 (MT1991) The Octal society has asked you to distribute $1234 in prize money The dollar amounts of

the prizes are $1 $8 $64 and $512 What is the least number of prizes you can award if you use the total amount [9]

15 (MT1995) Given that x and y are positive integers for which x2 ndash y2 = 1995 determine the maximum value of y [997]

16 (MT1995) Prove that the sum of 3 consecutive integers is divisible by 3 the sum of 5 such integers is divisible by 5 but the sum of 4 consecutive integers is not divisible by 4


252

Attivitagrave di recupero


Fase 1 Osserva

In una cartoleria dopo le vendite di inizio anno scolastico sono rimaste 14 penne 23 quaderni 5 mati-

te 7 gomme e 3 temperamatite Il cartolaio ordina quindi altro materiale nelle seguenti quantitagrave 50 penne 100 quaderni 20 matite 40 gomme e 10 temperamatite Quale saragrave la nuova giacenza della car-toleria Ciascun oggetto egrave diverso dagli altri puograve quindi considerarsi come un singolo monomio non simile agli altri puograve perograve sommarsi la sua quantitagrave con quella degli oggetti dello stesso tipo ordinati dal cartolaio Indichiamo allora nel seguente modo la situazione segnando con lrsquoiniziale ciascun og-getto 14p + 23q + 5m + 7g + 3t + 50p + 100q + 20m + 40g + 10t = (14 + 50)p + (23 + 100)q + (5 + 20)m + (7 + 40)g + (3 + 10)t = 64p + 123q + 25m + 47g + 13t

Vogliamo semplificare la seguente espressione polinomiale axaaxaxxa 225

2

3

1

2

3 Rag-

gruppiamo i coefficienti dei monomi fra loro simili axxa 213

112

5

2

2

3

Naturalmente

i monomi ax e xa sono uguali Abbiamo quindi axxaaxxa

3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa

In un supermercato sono rimasti fra le altre cose 12 fustini di detersivo 15 pacchi di zucchero 22 chi-

logrammi di pasta 3 confezioni di tovaglioli 7 bottiglie di acqua minerale da due litri Per reintegrare queste scorte si ordinano altri 40 fustini 120 pacchi di zucchero 230 chili di pasta 75 pacchi di tova-glioli 150 bottiglie di acqua Determinare le nuove disponibilitagrave Indichiamo ciascun prodotto con la propria iniziale ottenendo cosigrave la seguente espressione polinomiale

12 d + 15 z + 22p + helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Raccogliamo i coefficienti di monomi simili e li sommiamo ottenendo

(12 + 40) d + (15 + hellip) z + (22 + hellip) p + helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip= = helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Semplificare la seguente espressione polinomiale baababbaabbaab 2222

3

22

4

1

5

23

3

7

Riconosciamo helliphellip diversi tipi di monomi simili quindi raggruppiamo fra loro quelli appartenenti allo stesso tipo ottenendo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Effettuiamo le somme per ottenere la semplificazione finale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fase 3 Prova

1 Nella tabella seguente abbiamo segnato le disponibilitagrave in chilogrammi di un panificio e le quantitagrave

ordinate determinare le nuove disponibilitagrave dopo lrsquoordine [252 139 55 25 88] Prodotto Farina di frumento Farina di segale Sale Lievito Sesamo Prima 12 24 2 05 23 Dopo 240 115 35 2 65

2 Nella tabella seguente abbiamo segnato la situazione relativa a un mese di un negozio di abbigliamen-

to aggiornata a ogni settimana dalle vendite e dai conseguenti nuovi ordini Stabilire il numero totale di vestiti per tipo rimasti nel negozio alla fine del mese [41 11 26 27]


253

Gonne Pantaloni Magliette Camicie Situazione iniziale 24 52 16 48 Ordine 1 52 13 65 21 Vendita 1 45 60 35 46 Ordine 2 30 45 15 48 Vendita 2 25 50 10 12 Ordine 3 20 35 0 0 Vendita 4 15 24 25 32


3 a) b) 3

22

2

53 42 2am ma a m x y xy xyx xxy xyy 2 21 12

a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7

442 2 2ax a xa x a x a mn mmn mnm nm nnm

2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n

5 xbaxabaxbbxabaxbxabxaxababx 233

1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5

333 yxxyyxxyyxxyxyxyyx 2 2 214 13 3

3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3

23 aaaaaaaaaaaaa 3 22 26

45 21

a a a

8 cabcbabcabacacbabc2

1

4

3

3

4

4

125

13

6abc

9 bbbabbabbbabababbababbab 232

5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab

10 aababbabababbabaabbabababaaabbababba 233

4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab

Moltiplicazione nellrsquoinsieme dei polinomi

Fase 1 Osserva

Vogliamo semplificare la seguente espressione 2ab (a ndash b + 1) Lrsquounico modo per svolgere la molti-

plicazione egrave di applicare la proprietagrave distributiva del prodotto rispetto alla somma algebrica ottenendo cosigrave 2 2 2 1 2 2 22 2ab a ab b ab a b ab ab dato che non vi sono termini simili non semplifi-chiamo ulteriormente il polinomio

Semplificare (3x ndash 2y) (4x + y) Applichiamo piugrave volte la proprietagrave distributiva scrivendo

2 2 2 23 4 2 4 3 4 3 2 4 2 12 3 8 2 12 5 2x x y y x y x x x y y x y y x xy xy y x xy y

Semplificare (4a + b ndash 1) (3a ndash b ndash 2) Distribuiamo il prodotto

4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2

a a b b a b a b a ab a ab b b a b

a ab a b b

b g b g b g

Vogliamo semplificare la seguente espressione polinomiale (am ndash 1) (am + 2) ndash (a + 1) (m ndash 2) ndash a (m + 3) + m (a ndash 2)

Per far ciograve basta cominciare a eseguire le moltiplicazioni


254

am am am a m m a m m a

a m am am am a m am a am m

2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2

b g b g b g b g b g b g

Adesso riduciamo i termini simili a m am a m a m a m2 2 2 22 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 3 b g b g b g

Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx

Eseguiamo le moltiplicazioni 1

2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2

x x y y x y x y x x y

y x y x y x xy x xy y y

x y x xy x xy y y x y

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )

Raccogliamo e riduciamo i termini simili 1

6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )

Fase 2 Completa hellip

Sviluppiamo la seguente moltiplicazione 4ab (x + 2y ndash 1) Distribuiamo il prodotto rispetto ai singoli

addendi del secondo fattore 4ab x + helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Eseguiamo le moltiplicazioni 4abx + helliphelliphelliphelliphellip Dato che helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip possiamo dire che questa espressione egrave lo sviluppo della moltiplicazione iniziale

Semplificare la seguente espressione 3 1 4 22 2x x c h c h Distribuiamo i due addendi del primo fattore

rispetto al secondo fattore 3 4 22 2x x c hhelliphelliphelliphelliphelliphellip Effettuiamo le moltiplicazioni

12 64 2x x helliphelliphelliphelliphelliphellip Riduciamo i termini simili helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ecco la semplifi-cazione finale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Semplificare a a a a2 23 3 1 c h c h Distribuiamo gli addendi del primo fattore rispetto al secondo

fattore a a a2 2 3 1 c h helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Eseguiamo le moltiplicazioni

a a4 33 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Riduciamo i termini simili helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Vogliamo semplificare la seguente espressione polinomiale

2 1 3 2 3 12 2 3 2x x x x x x x c h c h c h Eseguiamo le moltiplicazioni 2 3 2 3 22 2 2x x x x x x c h c h helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip=

= 2 6 43 2 4x x x x helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Adesso racco-gliamo e riduciamo i termini simili 1 24 3 2 b g b g b g b gx x x x

= helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Semplificare baabbababa6

1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1

Effettuiamo le moltiplicazioni


255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Adesso raccogliamo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip ottenendo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip da cui svolgendo i calcoli si ha helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fase 3 Prova

Semplificare le seguenti moltiplicazioni fra polinomi

1 a) b) c) 3 2 5 3 72 2x a b a a x xy x y x b g b g c h

3 2 2 3 2 2a) 3 3 6 b) 5 5 15 c) 7 7 7ax ab a a a x a x y x y xy

2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2

312 3 3 2ax a x ax y a x y p p m F

HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4

3a x ax ax a x y ax y ax y m p p p

3 a) b) c) 3abc ab bc ac ab a b c d x y b g b g c h 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a) b) c) 3 3a b c a bc ab c a b ab abc abd x y

4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1

552 2 3 2 5 4 3m pq m p q m p m p x x x x ( ) c h c h

2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)

4 4 4 5 5m pq m p q m pq m pq m p m p m p x x x

5 a) b) c) a b a b x y x y m n m n 3 3 3 22 2 2 2c h c h b g b g c h c h

3 2 2 3 2 2 3 2 2 3a) 3 3 9 b) 3 2 c) 2 2a a b ab b x xy y m m n mn n

6 a) b) c) 4 4 5 1 1 5 4 42 2 2 2 3 3 4 3 3 4a b a b x x a b a b c h c h c h c h c h c h

4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b

7 a) b) c) 2 3 4 3 1 3 1 2 22 2a b a b x y x y m n p m n p b g b g b g b g c h c h

2 2 2 2 4 2 2 2a) 2 4 3 4 b) 6 9 1 c) 4 4a ab a b b x xy y m m n n p

8 a) b) c) ab a b a b m n m mn n p t p pt t 1 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2b g c h b g c h b g c h

3 2 2 2 3 2 3 3 2 3a) 4 2 3 2 b) 3 2 c) 3 2a b a b ab a b m mn n p pt t

9 a) b) c) 3 2 1 2 2 12 2 2 2z z z z z z z z z c h c h b g b g c h c h

4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1

9 9a ab a b x x p p p

11 a) b) 3

5

2

33 2 1 1 2ax ay a x y x y x yF

HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2

5 5 15 5 3 3a x a y ax axy ax ay ay x x y y


256

12 a) b) 31

3

3

22 3abc a b c a x y z a x yF

HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3

2 3 2 3a bc ab c abc a b c a ax ay az x xy xz y yz

13 a) b) a b c a b c a a a a b g b g c h c h2 1 22 2

2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x

16 a ab ab a a a b a2 2 4 3 21 2 1 c h c h 3 2 2 22 2 3 1a b a b a ab

17 3 1 1 3 3 2 4 12 3 2 4 2 5 2m m m m m m m m m c h c h c h b g 5 3 22 2 4m m m m

18 y xy xy x x y xy2 2 2 21 3 3 1 3 2 c h c h c h b g 2 2 2 3 24 2 5 1x y x xy xy y

19 a b c a b c a b c a b c3 2 3 2 3 2 3 21 2 2 3 c h c h c h c h 3 3 2 2 22 2 2 4 2 8 8a c a b c b c c

20 (2a ndash 3y ndash 2) (4a ndash y + 3) ndash (a ndash y ndash 1) (a + y + 1) ndash 7a (a ndash 2y) + 5 (y + 1) 24 2y a

21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3

2 22222 aaaaaaaaa 13

a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4

1ayxaxxaayaxxaayax 21 2 1

110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3

12 nmmmnnmnmnm 24 7 13

3 4 12n n

25 21 1 1 1 1 1 1 1 3mn m mn m mn m mn m mn m mn m m n n m n

[mn ndash m + 3] 26 (a + 2b ndash 3c + d) (a ndash 2b + 3c + d) ndash (a ndash 2b ndash 3c + d) (a + 2b + 3c + d) [24bc]

27 (x + y ndash 1) (x + y ndash 1) ndash (x + y) (x ndash y) ndash x (x ndash y) + y (x + y) 2 24 2 3 2 1x xy x y y

28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y

30 (m3 ndash m2 + 1) (m2 ndash 1) + (m2 ndash m + 2) (m3 ndash 1) ndash (1 + 2m) (m4 + m3 + m2) 4 35 2 3m m m


257

Prodotti notevoli Fase 1 Osserva

Lrsquoimportanza dei prodotti notevoli sta nel fatto che applicandoli si riduce notevolmente il numero di opera-zioni da effettuare riducendo contemporaneamente la probabilitagrave di effettuare errori di calcolo

Supponiamo di voler sviluppare la seguente moltiplicazione 3 1 3 12 2x y x y c h c h Se applichiamo la

proprietagrave distributiva come abbiamo visto nelle attivitagrave precedenti scriviamo

3 3 1 1 3 1 9 3 3 1 9 12 2 2 4 2 2 2 4 2x y x y x y x y x y x y x y c h c h

Abbiamo cosigrave svolto quattro moltiplicazione e una semplificazione di termini opposti Applicando in-vece lrsquoapposita regola che oltretutto notiamo dato che lrsquoaver ottenuto due monomi opposti non egrave un caso ma egrave tipico di tutti i prodotti di questo genere Potevamo quindi scrivere molto piugrave semplicemen-

te 3 1 3 1 3 1 9 12 2 2 2 2 4 2x y x y x y x y c h c h c h ottenendo lo stesso risultato ma con sole due molti-

plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4

3 Dato che i due fattori verificano la proprietagrave fondamentale

del prodotto notevole somma per la differenza della basi possiamo applicare la regola

222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax

Naturalmente dobbiamo stare attenti che entrambi i fattori in considerazione verifichino effettivamente la proprietagrave del prodotto notevole in questione Cosigrave per esempio non possiamo applicare la regola ai seguenti prodotti (2ax ndash y) (ax + y) Percheacute i due monomi componenti ciascun binomio non sono uguali o opposti 2ax

e ax sono simili ma non uguali

3 32 2m n m n c h c h Percheacute non abbiamo il prodotto di una somma per una differenza ma il prodotto

di due somme

4 7 4 72 2x z q xz q c h c h Ancora una volta i monomi componenti non sono uguali o opposti a coppie i

monomi 4 2x z e 4 2xz non sono neppure simili In tutti i casi precedenti dobbiamo effettuare la moltiplicazione applicando la proprietagrave distributiva Vogliamo sviluppare la seguente moltiplicazione (3ac + 5) (3ac + 5) Non abbiamo a che fare con un

prodotto notevole del tipo somma per la differenza perograve ci rendiamo conto che abbiamo a che fare con

il prodotto di due polinomi uguali quindi con un quadrato di binomio cioegrave con 3 52

ac b g La regola

da applicare a questo tipo di prodotti richiede il calcolo di tre quantitagrave i quadrati dei singoli monomi e

il loro doppio prodotto Scriviamo perciograve 3 5 3 2 3 5 52 2 2

ac ac ac b g b g b g b g Sviluppiamo i calcoli

3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g

Sviluppare il quadrato di binomio 2

2

3

2

yxm Applichiamo la regola precedentemente ricordata

xymyxmyxmyxmyxm 2224222

22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2

Osserviamo che abbiamo tenuto debito conto dei segni di ciascun monomio quindi anche del segno meno Naturalmente il quadrato di un monomio egrave in ogni caso positivo quindi la presenza del segno meno si ripercuote solo nel doppio prodotto che assume il segno negativo


258


Sviluppare il prodotto 4 23 4 2x yc h Ci accorgiamo che abbiamo a che fare con il prodotto notevole

che si chiama helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip applichiamo quindi lrsquoopportuna regola che consiste nel calcolare pri-ma il helliphelliphelliphellipdi ciascun monomio e poi il loro helliphelliphelliphelliphellip Ossia nel nostro caso

4 2 4 2 43 4 2 3 2 3 2x y x x c h c h c h b g b g = helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sviluppare 2

3

5

5

3

ba Abbiamo a che fare ancora una volta con un helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Applichia-

mo la regola 25

32

a otteniamo cosigrave il risultato voluto

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Semplificare la seguente espressione nel modo piugrave rapido

4 4 4 4 32

a b a b a b a b a b b g b g b g b g b g lrsquoinvito a usare il modo piugrave rapido equivale a svolgere il minor numero possibile di operazioni cioegrave a utilizzare le regole sui prodotti notevoli naturalmente se ve ne sono nella nostra espressione In effetti riconosciamo che il primo prodotto egrave un prodotto del tipo somma per differenza mentre a seguire ab-biamo un quadrato di binomio Applichiamo quindi le opportune regole ai primi due prodotti e svol-giamo normalmente lrsquoultima moltiplicazione

4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b a a b b a ab ab b

a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h

Passiamo adesso al raccoglimento dei termini simili 8 1 4 3 7 4 32 2 2 2b g ab a b ab a b Que-

sta egrave la semplificazione finale

Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1

232 2x x x x x x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti

notevoli evidenziati nelle precedenti attivitagrave riconosciamo il terzo come un prodotto somma per diffe-renza ma anche i primi due sono prodotti notevoli

FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x

I primi due prodotti rispondono alle seguenti regole

A B A AB B A B A B A AB B A B2 2 3 3 2 2 3 3 b g c h c h b g c h c h

Semplificare 3 9 6 3 9 6

3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

ax y a x axy y ax y a x axy y


b g c h b g c hb g c h b g c h

Apparentemente abbiamo a che fare solo con prodotti notevoli tutti di uno dei due tipi appena eviden-ziati In effetti un porsquo di attenzione ci mostra che cosigrave non egrave Solo il secondo e il quarto rientrano in es-si gli altri dovranno svolgersi nel modo consueto

27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3

a x a x y axy a x y axy y a x y


a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g

Semplificare effettuando il minor numero possibile di operazioni [(2x + 3y) + z] [(2x + 3y) ndash z]


259

Proprio il modo in cui sono messe le parentesi ci suggerisce di riscrivere lrsquoespressione nel seguente

modo 2 32 2x y z b g considerandola quindi come un prodotto notevole del tipo

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip adesso osserviamo che il primo prodotto egrave un prodotto notevole

del tipo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip quindi sviluppiamo 2 2 2x zc h =

helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip osserviamo che abbiamo ottenuto la semplificazione finale avendo effet-tuato soltanto hellip moltiplicazioni

Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Riconosciamo ancora due pro-

dotti notevoli il primo dei quali fornisce una helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip mentre laltro dagrave luogo a

Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sviluppare la moltiplicazione (5abc + 4bcd) (5abc ndash 4bcd) Osserviamo che siamo nellrsquoipotesi del prodotto notevole noto sotto il nome di helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip possiamo

perciograve applicare la regola adatta scrivendo cioegrave 5 4 5 4 5 42 2

abc bcd abc bcd abc bcd b g b g b g b g

helliphelliphelliphelliphelliphellip

Sviluppare il prodotto

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2

1 Anche stavolta abbiamo a che fare con

un prodotto notevole del tipo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Applichiamo quindi la

regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2

1 = helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Consideriamo i seguenti prodotti possiamo applicare a essi il prodotto notevole somma per la diffe-renza delle basi Vediamo (abx ndash aby ) (ab+ aby) Non possiamo percheacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (2pr + 5qs) (5qs+ 2pr) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

7 73 2 2 3ab a a ab c h c h Stavolta invece helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fase 3 Prova

Sviluppare le seguenti moltiplicazioni fra binomi applicando opportunamente laddove possibile la rego-

la (A + B) (A ndash B) = A2 ndash B

2

1 a) (2x + 5y) (2x ndash 5y) b) (3x ndash 4y) (4x + 3y) c) (a ndash 4m) (a + 4) 2 2 2 2a) 4 25 b) 12 7 12 c) 4 4 16x x xy y a am a m

2 a) (2ab + 3bc) (3bc ndash 2ab) b) (px + 3) (3 ndash px) c) (1 ndash 7x) (7x ndash 1) 2 2 2 2 2 2 2a) 9 4 b) 9 c) 49 14 1b c a b p x x x

3 a) b) c) a x b y ax b y ax z az x a a a a2 2 2 2 3 23 3 2 3 c h c h b g b g c h c h

3 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 5 4 3 2a) b) 9 3 3 c) 3 2 6a x a b xy ab x y b y a xz ax az xz a a a a

4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1

24 3 4 34 3amn amn a a p w p w FHG

IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9

4a m n amn a p p w p w w

5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2

t s t s ab ab h h FHG

IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1

34 1 1ax ax abm abm x xn nF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4

33 2 2 3 3 2 2 3 4 4 1 1 1 1x y x y x x x x x xn n n n F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x

Applicando laddove possibile una delle due seguenti regole mnemoniche sviluppare i seguenti prodotti

(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2

8 a) b) c) 34 3 4 3 2 1 1 2 3 am am ax by ay bx t tb g b g b g b g c h c h

2 2 2 2 2 2 6 3a) 9 24 16 b) c) 4 4 1a m am a xy abx aby b xy t t

9 a) (ndash5mn ndash 4) (5mn + 4) b) (6abc + 3bcd) (3abc + 6bcd) c) (am ndash n) (an + m) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a) 25 40 16 b) 18 45 18 c) m m mn a b c ab c d b c d a mn am an mn

10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2

ap xy a a an c h c h

2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1

25 5 4n na p ap xy x y a a a a a

13 a) 2 b) c) x x a b a b x x b g b g b g b g c h c h2 2 22 2 3 3

2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q

Riconoscere quali fra i seguenti prodotti possono risolversi mediante una delle due formule seguenti

quindi semplificare in ogni caso le espressioni


15 a) b) 4 1 16 4 1 7 49 72 2 2 2ax a x ax m n m mn n b g c h b g c h

3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n

16 a) b) 3 4 9 12 16 2 3 2 6 92 4 2 2 2b b b pq p q pq c h c h b g c h

6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q

17 a) b) 4 3 4 12 9 5 5 252 4 2 2 3 6 3t z t t z z y y y c h c h c h c h 6 4 3 9a) 16 36 27 b) 125t t z z y


261

18 a) b) xy xz x y x yz x z ab ac a b abc a c FHG

IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)

27 9 3 9 3x y x y z x yz x z a b a b c a bc a c a b c a bc

19 a) b) x y x xy y

a b c abc abc3 2 3 6 4

4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8

9 9 8x x y y a b c a b c abc

20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG

IKJ t z t z t z a a an n n c h c h 6 3 2 32 4

a) b) 19 9

nt z t z a

21 a) b) 3 1 9 3 1 2 2 42 4 2 6 12 6x x x a a a c h c h c h c h 6 2 18a) 27 6 1 b) 8x x a

22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n

23 a) b) x x x x y x x y yn n n n n n n n n2 4 21 2 22 2

c h c h c h e j

2 21 16 4 2 2a) 2 b) n n n nn n n n n n n n n nx x x x y x y x y x y y

24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

Vogliamo sviluppare la seguente espressione x y 23b g possiamo effettuare diverse operazioni O

scomponiamo il cubo nel seguente prodotto x y x y 2 22b g b g quindi sviluppiamo il primo quadrato

con la regola vista nelle attivitagrave precedenti x xy y x y2 24 4 2 c h b g Quindi effettuiamo la moltipli-

cazione x x y x y xy xy y x x y xy y3 2 2 2 2 3 3 2 2 32 4 8 4 8 6 12 8

Un procedimento piugrave sempli-

ce consiste nellrsquoapplicare la formula del cubo di binomio che puograve ottenersi in vari modi per esempio

usando il triangolo di Tartaglia A B A A B AB B2 2 3 b g3 2 3 3 Avremo pertanto

x y x x y x y y x x y x y y x x y xy y 2 3 2 3 2 2 6 3 4 8 6 12 83 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3b g b g b g b g c h

Naturalmente i risultati coincidono

Sviluppare la seguente quarta potenza di binomio 2 32 2 4a x axc h Stavolta dobbiamo usare il triango-

lo di Tartaglia riferendoci alla riga 1 4 6 4 1 Avremo perciograve

2 3 1 2 4 2 3 6 2 3 4 2 3 1 32 2 4 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4a x ax a x a x ax a x ax a x ax ax c h c h c h c h c h c h c h c h c h

Sviluppiamo i prodotti

8 4 2 6 3 4 2 2 4 2 3 6 4 8 8 4 7 5 6 6 5 7 4 816 12 8 6 4 9 8 27 81 16 96 216 216 81a x ax a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

osserviamo che poicheacute il binomio di partenza egrave omogeneo di grado 3 allora lo sviluppo egrave un polino-mio omogeneo di grado 3 4 = 12


262


Sviluppare il seguente prodotto notevole 3 22 3bx xc h esso egrave noto sotto il nome di helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

applichiamo la consueta regola scrivendo 3 2 3 3 3 22 3 2 3 2 2bx x bx bx x c h c h c h b g

helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Sviluppiamo e semplifichiamo ottenendo 27 6 93 6 2 4b x x b x helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip = helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Sviluppare 4

42 23

1

ym Dobbiamo usare il triangolo di Tartaglia per determinare i corretti coeffi-

cienti che dello sviluppo che conterragrave helliphellip monomi

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g

vista la presenza di un segno meno nel monomio il polinomio sviluppo avragrave i segni alternati a partire dal segno helliphelliphellip Semplifichiamo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

Fase 3 Prova

Applicando laddove possibile la seguente regola mnemonica A B A A B AB B2 2 3 b g3 2 3 3 oppure

usando il triangolo di Tartaglia semplificare i seguenti prodotti

1 a) b) c) x a x a y z FHGIKJ2 2

2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3

mp mp ab c b g b g c h

3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5

x z x z x z b g b g b g

4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

5 a) b) c) 2 2 23 4 3 4 5ab c ab c ab c h c h b g

6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3

g h a x a x y y y yFHG

IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5

ab abc y y x x x c h c h b g c h

8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5

FHGIKJ az a b a b p p p c h c h c h c h

9 a) b) c) FHGIKJ

b ax y x y a b a a b b

2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h

10 a) b) c) a x x x x xn n n n n n 2 1 1 1 13 4

24c h c h c h c h c h

Per svolgere un Test finale di 10 quesiti collegati alla pagina

httpmathinterattivaaltervistaorgvolume_1_2htm


211

Richiamiamo le conoscenze

Uso delle parentesi come contenitori

Nelle matematiche le parentesi hanno una precisa funzione sono dei delimitatori dei contenitori Esse de-vono essere usate solo laddove egrave strettamente necessario anche se il loro uso inutile non viene considerato un errore Vediamo qualche esempio Esempio A

Se vediamo scritta lespressione (3 + 2) 5 come dobbiamo calcolarla Se ci atteniamo al fatto che le pa-rentesi sono un contenitore racchiudono cioegrave degli oggetti matematici che devono essere accomunati al loro interno cominceremo a lavorare proprio allinterno della parentesi effettuando la somma A questo punto come scriveremo (5) 5 oppure 5 5 Egrave ovvio che le due scritte hanno lo stesso significato quindi per un principio di economia egrave preferibile la seconda

Consideriamo la seguente espressione 3 2 4

7 3

In questo caso la parentesi egrave necessaria Certamente

no poicheacute il lavoro di raggruppamento degli addendi 3 e 2 egrave giagrave svolto dalla linea di frazione e quindi an-cora una volta la parentesi puograve essere omessa

Se con una calcolatrice vogliamo calcolare la seguente espressione 1

2 3 siamo costretti a usare le pa-

rentesi Diversamente premendo in successione i seguenti tasti 1 2 + 3 otterremmo il risultato dellrsquooperazione 05 + 3 cioegrave 35 mentre il valore corretto egrave 02

Nella seguente espressione (2 + 3) 5 la parentesi egrave necessaria Se la usiamo il risultato dellrsquooperazione saragrave 25 se non la usiamo saragrave invece 2 + 15 = 17 La parentesi egrave dunque necessaria


212

Verifiche

Lavoriamo insieme


51 2 4 5 2 3 7 1



3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

b g b g



tesi avremo 3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

5

51 8 5 5 6 1 1 8 8



Livello 1

1 a) (3 ndash 2) ndash (4 + 1) b) 5 3

24 2

( )( ) c) ( )

( )

( )2 3

2 3 4

3 2

10a) 4 2 b) 2418 c) 5 5 14

3

2 a) (2 + 7)2 (ndash5)3 (2)5 b) 34 1 5 3

2

c) [2 + (3 5) ndash 1] (2 + 1)

13 13a) 324000 3949 b) 3 5 3 5 c) 48 16

2 2

3 a) 54 7 2

(7) b)

3 5 11 2 5

4 2 4

c) 2 + [3 ndash (4 + 1)] ndash 2 + 1

5 5 7a) 1 1 b) 0 c) 1 1

7 7 8

4 a) 27 73 1 1 2 3

2 2

b)

23 1 21 2 3 2

24 3

b) 2 1 22+12





213





h

2






Definizione 2


Definizione 3




Definizione 4


Notazione 1




214

Definizione 5


Definizione 6



2

54





Definizione 7






li 1







215


2









216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






212

Verifiche

Lavoriamo insieme


51 2 4 5 2 3 7 1



3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

b g b g



tesi avremo 3 2

51 2 4 5 2 3 7 1

5

51 8 5 5 6 1 1 8 8



Livello 1

1 a) (3 ndash 2) ndash (4 + 1) b) 5 3

24 2

( )( ) c) ( )

( )

( )2 3

2 3 4

3 2

10a) 4 2 b) 2418 c) 5 5 14

3

2 a) (2 + 7)2 (ndash5)3 (2)5 b) 34 1 5 3

2

c) [2 + (3 5) ndash 1] (2 + 1)

13 13a) 324000 3949 b) 3 5 3 5 c) 48 16

2 2

3 a) 54 7 2

(7) b)

3 5 11 2 5

4 2 4

c) 2 + [3 ndash (4 + 1)] ndash 2 + 1

5 5 7a) 1 1 b) 0 c) 1 1

7 7 8

4 a) 27 73 1 1 2 3

2 2

b)

23 1 21 2 3 2

24 3

b) 2 1 22+12





213





h

2






Definizione 2


Definizione 3




Definizione 4


Notazione 1




214

Definizione 5


Definizione 6



2

54





Definizione 7






li 1







215


2









216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






213





h

2






Definizione 2


Definizione 3




Definizione 4


Notazione 1




214

Definizione 5


Definizione 6



2

54





Definizione 7






li 1







215


2









216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






214

Definizione 5


Definizione 6



2

54





Definizione 7






li 1







215


2









216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






215


2









216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






216

Verifiche

Lavoriamo insieme


413 2 2x y x y xy





Livello 1

1 a) b) 2

3

1

52 16

2

3

4


2 a) b) 5

8

1


3 a) b) 5

6

8

92 32 3 5 4 2 3 3 2 4 5w w b ab a b a b a b a [a) (3 3) b) (5 5 5)]

4 a) b) 10

71

1




2 2 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3

3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 4

a) 4 6 5 b) 5 4 3 c) 3 4 2 5

d) 3 e) 3 1 e) 4 1






y + xy2 + y3]




z + xy2 + xz

2 + y2z + yz





217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






217







2

1

2

1




5 5 2752 2 2


mo 1 1 20 35 55








Regola 1



1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax



4 4 4 3 3 4 3 3x x x a a x a a x a ax

ossia sempli-

ficando ancora 2 2 2 21 1 1 1(2 3 4 )

16 12 12 9x ax ax a x a ax



1

16

1 2222 axaxax


2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 3 ( 4 ) 2 3 ( 4 )

16 16 16 9 9 9x x x a x ax a x a a a ax


218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






218

4 2 2 3 2 2 4 31 3 1 2 1 4



4 2 2 3 4 3 4 2 2 3 4 31 3 2 1 1 4 1 27 32 1 1 4


4 3 2 2 3 41 1 5 4 1

8 4 144 9 3x ax a x a x a





1

4

1

3

1

4

1 22 axaxaxax

formato da


8

5

144

1

4

1

3

4



219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






219

Verifiche


2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22





Livello 1

1 1 1a) b)2 c)

2 2xy x y ab c a a

2 2 21 1a) b)2 2 c)

4 2x y xy ab c a a

2 3 2 23a) 2 b) 1 c)

4mn m n p p t a b c

2 3 4 3 3 2 2 2 23 3 3a) 2 b) c)


3 2 3 2 3 21 4 1 3a) 2 3 b) c)


2 2 3 2 5 4 3 2 2 2 3 31 1a) 2 3 b) c) 2


4 3 2 2 2 2 2 23 4 5 1a) 4 2 4 b) 2 c) 2


4 4 4 2 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 3 23 3 2 1 8a) 8 16 4 b) 3 c)


5 2 2 23 8 4a) 2 3 b)4 2 1 c)


3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 23 1a) 6 2 2 b)8 4 4 c)


6 2 3 2 4 2 3 2 21 1 1 1 3 4 2 3a) b)


2 3 3 2 2 4 4 2 3 3 4 6 2 4 5 3 4 5 3 3 4 4 31 1 1 3 3 4 8 4a) b)








220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






220



13 2 2 2 21 1a) 3 9 3 b) 1 1


3 3 2 2 2 3 3 21 1 1a) 6 18 27 b) 1



Lavoriamo insieme


4 2 2 2 2 1 1

4 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2


a b b a b a b b a b




⊲ ⊲



Livello 2

15 2 2a) 3 5 3 5 3 5 b) 1 1 1a x a x a x xy xy xy

4 2 2 4 3 3 2 2a) 27 120 125 b) 1a a x x x y x y xy

16 2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2

a) b)2 2 2 2 2 2 2 2 4


21 1a) 6 b)

2 4xy abx

17 1

2

1

3

1

4

1

6

1

9 22 2 4 2 3 3 2 4

2 3


FHG

IKJ FHG

IKJ FHGIKJ 3 61

27t z

18 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 3 2 29 3

8 4b p a b m p

19 1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

6

1

2

1

3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

21 1

9 36bc c

20 1

2

3

2

2

3

1

4

1

51

2

3

20

7

10 5

14

3FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJh c h

hch c

hh

1

3 8

c


2a) 2 b) m z ax bx



221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






221







2 3 210 42 10f fw w w


2 2 4 3ny y y


2 2 3 24 4 4 4m ms ms s s



2 372 70ux u



35 1

2

2

31

1

44 3

1

2

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ( ) (5 )

41 7 5

6 4 2dx d x

36 7

42

4

9

2

3

3

54

2

93

3

2

2

3

1

453 4 4 3 3 4 4 3z u u z z u u zF

HGIKJ F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ

4 4 3173 11

18 90u u z

37

ututututuutt4

1

36

1)34(

24

1

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1 22362224 [0]

38

unmvnmunmvnm7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1

7

1

5

4

3

1 23232323 3 32 2

21 21m u m v

39 1

22

1

22

1

22

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

4 2 2 212

2g g x g y g z








222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






222













223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






223

Prodotti notevoli






Definizione 10













224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h






224

Esempio 15





IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3

8

273

23 3 2 3 3 3

32 2 3 9b g









4

3

4

32

4

3

16

9

8

3


IKJ FHG


retta 16

9

8

32 2a ab b

1

22

1

444




442 2 4 8a x axy y












225

Esempio 18
















Regola 6



226

Verifiche








2 + 2x3 + 2x

5



4 5 16 40 25 64 160 100 80 200 125 64 80 100 1252 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x x

b g c h





Livello 1






2 2 2 2 4 2 2 5 3 2a) b)9 6 c)25 5 5 1m y n z t t y y p p p



5 3 4 4 3 3 4 4 3 5 5 41 1 1 1 2 2a) b) 4

2 3 2 3 3 3p t p t p t p t h k h k

8 6 7 7 6 8 10 5 4 5 51 1 1 4 2 8a) b) 4

9 3 4 9 3 3p t p t p t h h k h k k

6 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 2 3a) b)

2 3 2 3 2 3 3 2a b ab ab a b x y x y

4 2 3 3 4 2 2 45 5 65a) b)

12 18 36a b a b x x y y


227

7 5 2 3 2 5 2 3 23 4 3 4 4 4a) b)


2 6 4 10 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 216 9 16 4 4a) b)


8 2 2 2 22 3 2 3 5 5 5 5a) b)


2 217 17a) b)0

18 16h k hkmn

9 4 44 5 4 5 3 7 3 7a) b)

3 4 3 4 25 2 25 2ef jw ef jw z n z n

2 2 2 2 2 4 4 816 25 49 21 21 9a) b)

9 16 4 50 50 625e f j w cn cnz nz z

10 2 2 4 2 2 41 1 1 1 7 8 7 8a) b)

2 3 2 3 8 7 8 7mp m p mp m p z a z b

2 4 4 8 21 1 64 49a) b)




Livello 1

11 2 22 2 3a) 3 b) c) 2 3abc def a b ax


12 2 2 2

2 3 37 5 1 2 4 5a) b) c)

2 4 3 3 3 2s s a b m n

6 5 4 2 2 6 2 325 35 49 1 4 4 16 20 25a) b) c)

16 4 4 9 9 9 9 3 4s s s a ab b m n m n


2 2 4 2 6 3a) 4 4 b) 10 25 c) 49 42 9a ab b a a p p

14 a) b) c) 1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

34 5 4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h b g

2 2 2 3 2 21 1 1 1 1a) b) c) 16 20 20 25

16 6 9 4 9a ab b x a a b ab b



16 2 2 22 2 2 3a) b) 1 c) 1x y x y a a z z z


17 a) b) a b c a b c b g b g2 2


18 a) b) 2 3 4 2 3 42 2





228

20 a) b) 1

2

2

3

3

4

4

5

1

2

2

3

3

4

4

5

2 2

e f g h e f g h FHG

IKJ FHG

IKJ

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 4 4 16 9 6 16a)

4 3 4 5 9 15 16 5 251 2 3 4 4 16 9 6 16

b) 4 3 4 5 9 15 16 5 25





Livello 1


6 3 3 3 2 2 3a) 125d 27 b) 9 12 8f a b a b c c


3 2 2 3 9 3 3 9a) 8 24 36 27 b) 64a a b ab b h m h m


3 3 3 4 4 2 3a) b) 98 343 98 8a b c m n m m n n

24 a) b) 2 3 4 6 92

33

4


HGIKJ FHG

IKJb g c h

3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 6 3 2 3 4 2 98 8a) 8 12 12 18 18 27 b) 27



6 4 2 2 4 6 3 2 2 6a) 2 2 b) 4 8x x y x y y x x y y


3 3 2 2 3 3 9 3a) 4 2 b) a x a bx y b y y x



28 a) b) 3

2

1

4

9

2

3

8

1


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 9 2 6 3 3 8 6 4 5 4 5 4 3 8 3 6 1027 9 1a) b) 8 4 4 2 2 2


29 a) b) 3 2 9 6 41

21

1

4

1


HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 3 3 6 3 31 1a) 8 27 b) 2

8 2m n m n a b ab

30 a) b) 5

22

25


HGIKJ FHG

IKJ c h c h

2 6 4 6 4 4 3 4 12 11 8 5 6 5 3 32 3 10 37125 25 25a) 8 b)



229

Lavoriamo insieme






Livello 2

31 2 3 2 2 23 5a) 2 3 b) 3 4 c) ) e) f) 2


32 4 3 3 6 2 3 3 54 5 7 3 5a) b) 8 c) ) e) 2 f)




2

4

3

3

2

4

3

3 2222 babababa



2222

2

4

3

3



4

4

9

32222 baba


4

816

9

69

4

)4(24

9



36

548108

36

97214442436

36

)972144(42436

36

)816(9)69(4

242424

24242424

babababababa

babababababababa


2 3 3 4

6

2 3 3 4

6

6 2 12 3

6

6 2 12 3

6

18 5

6

6

6

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b



36

548108

36

53018108 2242224 bbaabbabaa



230



Livello 2


F

HGIKJ

FHG

IKJ

F

HGIKJ

F

HGIKJ4

3 2

5 4

3 2

5

2 3

5

1

3

2 3

5

1

3

2 2 2 2119 121 39 4 12 9 1a) b)

400 200 400 25 25 25 9x xy y x xy y

35 a) b) 7 1

2

4 5

6

7 1

2

4 5

6

4 2

5 7

4 2

5 7


FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

2 2 4 2 2104 83 7 1 16 16 4a) b)

9 18 36 49 25 25 25a b ab x x xy y


8 2 8 2

1

2 3

1

3 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 1 5 1a) b)


37 a) b) 2

3

3

4 2

22

2x z x z mn p

p

F

HGIKJ

F

HGIKJ

2 2 2 2 2 4 3 2121 55 25 1 1 1a) b)


38 a) b) a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

3 5

4

1

5 2

FHG

IKJ

FHG

IKJ

4 2 2 4 4 2 2 2 4 225 115 529 1 1 1 1 1 1a) b)

144 72 144 4 2 5 4 5 25a a b b a a b a b b

39 2 2 2 2

23 4 3 4a) b) 3 3 2

3 2 3 2


4 2 2 2 21a) 9 b) 5 4 2

36a b a b abc c

40

10

73

3

2

56


900 900m n m n

41 2

2 24 3 2 8a) b) 3 3

8 6 3 24


2 2 2 2 8 4 2 2 4 41 9a) b) 81 18


42 2 27 14 7 3 4 3 4 6 84 1 4 1 16 1

a) 1 1 b) 2 2 2 c) 3 5 3 5 9 25


42 21 2 12 6 8 16256 32 1a) 2 1 b) 2 4 c)

81 225 625a a y xy d d s s


4 2 2 4 4 4 4a) 256 288 81 b) m m n n a n p




231






51

22222222

5

3

4

1

4

1

5

2

8

3

5

2

8

3

5

2mppmmppmmppmmppm

2 3 3 2 4 2 21 71 3 2 34

10 400 20 5 8m p m p m p m p mp

52

33332

33

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2


9 3x y x y

53

13

7

1713

7

1713

7

1713

7

17


4 4 4 2 4 614 98

221 169x y z x y z

54 22

22

4

3

3

2

4

3

3

2

2

5

5

2

nmnmnm 4 2 2 476 3 1519

2025 2 256m m n n

55

23232

232

23

7

1

7

1

7

1

4

3

7

2

4

1vzvzvzvz 4 2 3 62 5 1

49 14 2v v z z

56 2 3 3 2 132 2



58 3 4 3 4 9 16 242 2 2 2 2





62

3

2

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

4

1

2

1 22222

22 axaxxaxaaxxa

3 3 2 21 2 1 4

4 3 3 3a x a x ax

63 2

286

2

24343

8

3

81

16

9

4

8

3

9

4

3

2

9

4

3

2

utsutsts 8 2 6 28 2

27 3t u s u

64 2 3 1 3 2 3 2 13 1 5 22 2 2



66

4444442222

16

1

9

1

16

1

9

1

16

1

9

1

4

1

3

1

4

1

3

1nmnmnmnmnm 4 41

36m n



232

68

4233242242332422

8

1

4

1

2

1

2

1

4

1

16

1

8

1

4

1

4

1

2


6 3 3 6 4 53 3 1

8 64 8m x m x m x


2 2 2 32 2 2a m n amn n


3 2 2 236 17z xyz x y z



73

2

3

3

5

2

3

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

13

2

2

3

13

2

2

3

1

7

13

2

1

7

13

2

8

9

2 2 2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 3 2 3 2 4 2



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

LNM

OQP

8 4 12 416 1

81 2401a b a b

74

2 2 2 2

2 4 8

1 1 1 1 2 281 256 2 2 4 3 3

4 4 3 3 3 3

1 1 1289 4096

12 12 9


w y w y y z z

4 81y






Livello 3





233

78 a) b) 1

2

1

32

1

2

1

31

2

3

3

23 3 2 2 2 2x x x x xy x y xy x y F

HGIKJ FHG

IKJ F

HGIKJ FHG

IKJ

6 3 2 4 3 2 2 3 41 1 1 13 5a) 2 b)

2 2 9 6 6x x x x x x y x y xy y





81 22 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1a) b)


6 3 3 6 22 1 1 1a) 2 b)


82 2

2222

222

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

6

1

9

1

4

1

3

1

2

1

xyyxyxxyyxyx 3 31

54x y

83 2 3 4 6 9 12 22


84 2

2 2 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1


4 6733

729a m


86

422324222

2222

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1xaxaxaaxxaaxxaaxxa

5 3 4 5 4 4 3 61 2 1 2

3 9 9 27a x a x a x a x

87 2

22

2223222

9

2

3

2

3

14

baababbabba 6 2 4 4 81294 18

81 6561a b a b b

88 2 3 4 3 4 3 4 6 4 2 12 2



90 222 2 2


2 2 2 2 2a) 32 48 b) 16 144a bc abc x x y



92 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 32 2 2 2




94 4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3

4

4

5

2

3

3


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

26 9

5 8xz yz z


234


96 3 3 32








3n + 4x2n b) 0]






235























b g



236


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ





22

5

a bFHG


2 5 21

210 2

1

210 2

1

25 2

1

2

1

22 5 2 4 2 3

22 2

32

4 5


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


32 5 161

210 8

1

410 4

1

810

1

16

1

32

32 40 20 55

8

1

32

10 8 6 2 4 3 2 4 5

10 8 6 2 4 3 2 4 5

a a b a b a b a b b

a a b a b a b a b b

FHGIKJ FHG

IKJ


Esempio 25




237



2 2 2 2


Esempio 27


71 53124

2

18

2

124

2

18

262 9 60 2 81 3600 240 4 81 37632 2 2

( )


38164

)120()25100(

4

19

4

125

2

19

2

125

2

19

2

1255372

2222

I protagonisti









238

Verifiche

Lavoriamo insieme


52

2

1

bax


5 4 3 2

2 0 2 1 2 2 2 31 2 3 4

1 0

2 4 2 55 6

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1( ) ( )

2 2


N ax b N ax b


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

ց ւ

ց ւ ց ւ

ցւ ցւ ց ւ



Abbiamo quindi

5 5 4 4 2 3 3 4 2 2 6

8 10 5 5 4 2 4 3 4 3 2 6 2 8 10

1 1 1 11 1 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )

32 16 8 4

1 1 5 5 5 55 ( ) 1 1 ( )

2 32 16 4 2 2





Livello 1

1 3 33 2 3a) 1 4 b) 3 c) 3x x x a

3 2 6 5 4 3 9 6 3a) 64 48 12 1 b) 9 27 27 c) 9 27 27x x x x x x x a a a

2 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 3 3a) 2 b) 4 2 c) 2a x ab bc v u


3 3

3 32 2 21 2a) b) c) 3 1

2 3m n qz q z y

3 2 2 4 6 3 6 4 5 5 4 6 3 3 2 21 1 2 8a) 3 3 b) c) 27 27 9 1



239

Livello 2

4 4

4 22a) 2 b) 1

3x y a

4 3 2 2 3 4 8 6 4 416 32 8 8a) 8 24 32 16 b) 1

81 27 3 3x x y x y xy y a a a a

5 4 4

3 3 21 3a) 3 b)

3 4n m b c

12 9 3 6 6 3 9 12 4 3 2 2 4 6 84 1 81 27 27a) 81 36 6 b) 3


6 6

54 1a) 3 1 b)

2p m

20 16 12 8 4 6 5 4 215 15 3 1a) 243 405 270 90 15 1 b) 3

4 16 8 64p p p p p m m m m m

7 6

62 21a) b) 1

2s s x

12 11 10 9 8 7 6 12 10 8 6 4 21 3 15 5 15a) 6 15 20 15 6 b) 3 1

64 16 16 2 4s s s s s s s x x x x x x

Lavoriamo insieme






3x

7 ndash 27ax5z

3) = ndash6a

3x

7 ndash 54ax5z



Livello 2


9 a) b) 1

2

1

3

1

2

1

32 23 3

43 3

44 3 4 4 3 4

x y x y m n m nFHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

12 6 6 12 12 3 4 91 1 2a) b) 64 16

18 3 81x x y y m n m n


15 5 11 7 7 9 13 6 9 8 5 10a) 2 80 160 b) 20 160 64a x a x a x a x a x a x


5 5 3 3 8 8 6 6 4 4a) 12 16 b) 2 48 32a b a b a b a b a b


10 8 2 6 4 7 5 3a) 486 540 30 b) 216 24x x z x z x z x z


240

13 a) b) 2 26 6 4 4 5 4 4 5




12 6 4 8 4 8 2 4a) 2 12 2 b) 20 160 64q q r r a z a z

15 a) b) 2 21

2

2

3

1

2

2

32 7 2 7

6 6


IKJc h c h

14 10 2 6 4 2 6 5 3 3 51 40 64a) 2 168 1120 896 b)















28 3 5 2 5 5 102 2


29 7 1 3 2 3 2 2 7 29 4 62





33 )(6

1

3

2

2

1

2

122

abbbabababa

21

6a

34

hkhhgkhgkhg3

2

3

4

3

2

2

5

3

2

2

5

3

2

2

52

210

3gh k

35

mwmwmwmmwwmw2

1

2

3

2

1

2

1

4

1

2

13

22 2 29 9

4 4mw m w

36

632432632432

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2

16

1

6

1

9

4

4

1

3

2ttqqtqttqqtq 4 32

9q t

37

vaxvaxvaxvax3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1 22 8 4

3 9 3av v vx


241

38

1669

4

43

2

21

21

222mmm

mmm

4 23 1 81

64 2 27m m m




23 2 20mn m n


26 6a de e

43 2

2 3 2 3 2 3 2 3 7 29(14 44 7 )

2 3 4 5 15 2 6 2 15


22 3ap m p

44 2

1 2 2(4 3 )

12 3 2 4 5 3 2 4 5 5 2 5 3 2 4 5 5 3


21 1

3 2aq b


46 2 21

2

1

2

1

43 3

3 3


IKJb g b g 3 2 2 347 51 435 439

8 16 32 64t t z tz z




N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n







242



378

377 377

1000000000001

2000000

9999980000001




57 a) (102578 + 11)2 b) (10128 + 1)3 c) (102345 + 1)4 [a) 9 b) 8 c) 16]












243




68 (m + n) (p + q) = mp + mq + np + nq
















244





3 + 2x2 + 3x + 4



425

115

46

92

9775








245



465

464

8

58

58

56

8

7

7

0

8

0

1 2 7



310

299

13

23

23

13

13

1

1

0

13

0

11 10 1





246

Verifiche


12 D = 13 E = 14 F = 15



[a) [432030]5 b) [2134A]12 c) [2140100]5] 6 a) [11111111]4 []13 b) [9876]10 []8 c) [1122]4 []2

[a) [9C35]13 b) [23224]8 c) [1011010]2] 7 a) [13579]13 []8 b) [100001]9 []8 c) [ABCDE]16 []15

[a) [106401]8 b) [163252]8 c) [DD790]15]












247



















248




Attivitagrave






249






2 B) 2y2 C) 2x

2 + 2y2 D) 4xy E) 2y





A) x (x + 3) B) 3

2

x x C)

3

2






aa


A) 2

2

2 1a a

a

B)

2

2 1a

a

C) 22

12a

a D)

4

2

1a

a




2 + 4 C) 4x2 + 9y






250


1 a b a bn n












3 3a b a b







53

11

2 3 FHGIKJ FHG

IKJ [6]


1234567890






251











A) ndashx4 + 2x

3 + 4x2 + 10x + 1 B) ndashx

4 ndash 2x3 + 4x


3 ndash 4x2 + 10x + 1

D) ndashx4 ndash 2x


4 + 2x3 ndash 4x

2 + 10x + 1








252



Fase 1 Osserva




2

3

1

2

3 Rag-


112

5

2

2

3

Naturalmente


3

4

10

9

3

13

10

20415

Fase 2 Completa






3

22

4

1

5

23

3

7


Fase 3 Prova






253



3 a) b) 3

22

2


a) b) 32 5

am a m x y xy

4 a) b) 4

5

1

3

3

43 2

3

22

7


2 2 21 8 5 15a) 3 b)

20 3 2 4ax a x a mn m n


1

2

3

5

4

3

234

8 9 133

3 5 6abx ab ax bx

6 22222

3

1

3

1

3

4

5


3 3 5x y xy xy x y

7 2223

7

4

5

3

3


45 21

a a a


1

4

3

3

4

4

125

13

6abc


5

5

6

5

3

5

1 323 3 21 3

2 5ab ab


4

2

1

9

2

3

52 22

2 2 2 27 1 34

6 3 9a b a b ab


Fase 1 Osserva






4 3 2 3 2 1 3 2 12 4 8 3 2 3 2

12 11 2

2 2

2 2


a ab a b b

b g b g b g




254



2 1 2 2 1 2 3 2

2 2 2 2 3 22 2



Semplificare

1

2

112

3

12

3

11

2

1yxyxyxyx


2

1

32

1

32 1

1

32

1

3

1

21

21

21 1

1

21

1

6

1

2

1

32

1

32

1

6

1

3

1

32 2

1

21

2 2

2 2




FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

FHG

IKJ FHG

IKJ

( )


6

1

6

1

2

1

3

1

31 1

1

3

1

3

1

21 2 2 1 2 1 2 1

3 2 2 6

6

6 2 2 3

61

5

6

5

61

2 2

2 2

FHGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

x xy x y y

xy x y xy x y

( ) ( )















1

3

213

4

112

2

11

2

1

4

1



255

1

2

1

4

1bbaa helliphellip


Fase 3 Prova




2 a) b) c) 2 3 41

22 4 6 4

1

2

2


HGIKJb g b g

2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 38a) 6 2 8 b) 2 3 c) 2 4




4 a) b) c) 1

22 4 6 8

3

43 1

1


2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 2 3 9 8 63 9 3 1 1a) 2 3 4 b) c)





4 2 2 4 6 7 4 4 3 3 7a) 16 8 b) 25 1 c) 4 16 4a a b b x a a b a b b






4 3 2 2 4 3 2a) 5 7 3 b) 4 c) z z z z z z z z z

10 a) b) c) 1

21 2 4 6

2

31

4

3

2

31 1 12 2 3 2a a b x x x p p pFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ b g c h c h

2 3 2 5 4 38 8a) 2 4 6 b) 1 c) 1


11 a) b) 3

5

2


HGIKJ b g b g b g

2 2 2 2 2 29 3 8 3 4 2a) 2 b) 3 2



256

12 a) b) 31

3

3


HGIKJ FHG

IKJ b g b g

2 2 2 2 2 29 1 1 1a) 3 3 b) 2 2 5 3



2 2 2 4 2a) 3 2 b) 2 2a ac b bc c a a a

14 a) b) 4

51

1

22 1 12 3 3 2a a a x x x x x F

HGIKJ FHG

IKJ c h c h

3 2 6 5 4 3 22 11 5a) 2 b) 2 3 2 2 1

5 10 2a a a x x x x x x

15 a) b) FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

2

3

1

3

1

2

1

2

2

3

3

2

3

4

4

3

5

43 2 2 2 2c c c x x x x

5 4 3 2 4 3 22 1 5 1 3 7 25 7 15a) b)

3 3 6 6 8 6 18 6 8c c c c x x x x






21

2

3

1

6

13

6

12

3

11

3

11

2

1axxxaxaxa 21 13

76 6

a a

22

2

11

6

17

3

12

2

31

6

11

2

1

3

21

2

1

3


a

23

4

3

4

3

5

1

4

1

3

1

3

1

2

1211

5

2

4


110 5 3

a y ay x

24

2

3

2

1320

9

11

3

2

2

11

3

2

3

1

4

1

3


3 4 12n n




28

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

1 2222 aaaaaaaa 23

2a

29 6

5)1(

3

4)1(

6

43

2

12

3

12 yxxy

xyx

yxyxyx

25 1 11

3 6 6x y



257








plicazioni

Sviluppare

byaxbyax

7

2

4

3

7

2

4



222222

49

4

16

9

7

2

4

3

7

2

4

3

7

2

4

3ybxabyaxbyaxbyax




di due somme





ac b g La regola




3 5 9 30 252 2 2ac a c ac b g


2

3

2



22

2

3

4

9

4

3

22

3

2

3

2



258





Sviluppare 2

3

5

5

3


mo la regola 25

32



4 4 4 4 32


4 4 2 4 4 4 3 3

16 16 8 4 3

16 16 8 4 3

2 2 2 22

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2


a b a ab b a ab b

a b a ab b a ab b

b g b gc h



Semplificare 1

21

1

4

1

21

1

21

1

4

1

21

1

23

1


IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ Fra i prodotti


FHGIKJ FHG

IKJ

LNMM

OQPP FHGIKJ

1

21

1

21

1

29

1

81

1

81

1

49

1

411

3 3 23 3 2 2x x x x x x x




3 9 6 3 9 6

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





27 18 3 9 6 27

27 18 3 9 6 27

27 27 27 27 18 9 18 9 3 6 3 6 1 1 1 1

54 18 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 2 2 2 3

3 3 2 3



a x a x y axy y

a x axy y

FH

IK

b g b g b g b g



259






Semplificare1

31

1

9

1

31

1

31

1

9

1

312 4 2 2 4 2z z z z z zF

HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG



Sviluppiamo 1

3

1

32

32

3

z zFHGIKJ FHG

IKJ

LNMM







pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2



regola adatta

pmmppmmp 2222

3

4

2

1

3

4

2




Fase 3 Prova



2





4 a) b) c) 3 1 3 21

21 1

1


IKJ FHG

IKJ b g b g c h c h

2 2 2 2 7 4 3 21a) 9 3 2 b) 1 c) 16 12 12 9


5 a) b) c) 12 13 12 13 5 4 5 43

51

3

513 2 3 2 2 33 2


IKJ FHG

IKJc h c h b g b g

6 4 2 2 17 9 89 3 3a) 144 169 b) 16 25 c) 1

25 5 5t s a b h h h


260

6 a) b) c) 1

21

1

21 4

1

3

1


HGIKJ FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h

2 2 2 2 2 21 1a) 1 b) 16 c) 1

4 9na x a b m x

7 a) b) c) 2 3 2 33

2

4

3

2

3

4


HGIKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

4 6 8 4 2 2 2 226 16a) 64 81 b) c)

9 9n nx y x x x x


(A + B)2 = A

2 + 2AB + B

2 (A ndash B)

2 = A

2 ndash 2AB + B

2




10 a) b) c) 32

3

5

44

4

713 123

22

22 2

v x a m p qFHG

IKJ FHG

IKJ c h

6 3 2 4 2 2 6 4 3 24 5 25 32 16a) b) 16 c) 169 312 144

9 3 16 7 49v v x x a m a m p q p q

11 a) b) c) 31

44 3 2 72

22 2 2

x x x a bFHG

IKJ c h c h

6 4 2 4 2 2 3 61a) 2 16 b) 9 12 4 c) 14 49

16x x x x x a ab b

12 a) b) c) FHG

IKJ

4

5

7

212

22 2 2


2 4 2 2 2 4 3 2 216 28 49a) b) 2 c) 2 1



2

4 2 4 2 2 4 12 6a) 8 16 b) 2 c) 8 16x x a a b b x x

14 a) b) c) a a x x p q p q2 2 2 2 32

32

2 2 23 3

1

2

1

3 FHG

IKJ FHG

IKJ c h c h c h c h

8 4 12 9 3 4 2 4 81 1 1a) 18 81 b) c) 2

3 18 36a a x x x p p q q





3 3 2 2 3 3a) 64 32 8 1 b) 343a x a x ax m n


6 3 3 2 2a) 27 64 b) 4 6 27b p q p q



261


IKJ FHG

IKJb g c h2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

3

4

9

2

3

3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 28 4 2 4 2a) b)


19 a) b) x y x xy y


4 22 2

2 2 2FHGIKJ FHG

IKJ c h b g

3 2 3 3 3 3 2 2 21 1 1a) b) 6 8


20 a) b) 2

3

4

6

2

31 12 2 4 2 2FHG

IKJ FHG


a) b) 19 9

nt z t z a


22 a) b) a a a m n m m n n2 4 2 4 2 4 4 2 45 5 53

4

2

3

16

9

1

2

4

9 F

HGIKJ FHG

IKJc h c h

6 4 2 8 2 8 4 2 63 4 32 8a) 10 20 25 b)

8 3 27 27a a a m n m m n n


c h c h c h e j


24 a) b) 1 2 1 2 41

2

1

3

1

4

1

6

1

9 FHG

IKJ FHG

IKJb g b g

11a) 9 b)

216


Fase 1 Osserva

















262





Sviluppare 4

42 23

1



FHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ

1

32 1

1

34

1

362 4

42

42

3

m y m m b g b g b g


Fase 3 Prova




2

33 3

3

b g b g

2 a) b) c) 4 2 4 2 13 3 2 3 3


3 a) b) c) 2 5 2 5 2 53 4 5


4 a) b) c) 1

23

1

23

1

232

32

42

5

x x xFHG

IKJ FHG

IKJ FHG

IKJ


6 a) b) c) 1

2

2

33 3 2 23 2

33 2 2

3


IKJ b g b g b g c h

7 a) b) c) FHG

IKJ

4

3

3

22 2 1 12

33 3

42

5


8 a) b) c) 1

2

1

31 12

33 3 3 3

42 4 2

5


9 a) b) c) FHGIKJ


2 3

32 2 2 2

52 4 2 2

4

c h c h c h c h





2. Il calcolo simbolico

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Transcript of 2. Il calcolo simbolico