Potenziale: r

ZeE p

2−=

Aspetti importanti da conoscere con sicurezza:

- numeri quantici e livelli energetici

- funzione d’onda e distribuzione spaziale

- eccitazione e transizioni (termiche e radiative)

Atomi idrogenoidi:

sono la base per capire la fisica degli atomia molti elettroni, delle molecole e dello stato solido

sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sonopermessi tutti i valori di L, in modulo e direzione

Potenziale: rZe

E p

2−=

Costanti del moto:- energia totale E=Ecin+Ep

- momento angolare (modulo)-direzione del momento angolare

rpL ⊥=Lr

Atomi idrogenoidi:descrizione classica

2

2

2

2

222222

2con

222222

mr

LE

Em

p

mr

rpm

pm

pm

pm

pE

L

Lrtrtr

cin

=

+=+=+==

atomo H: momento angolare massimo

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

distanza dal nucleo (angstrom)

ener

gia

(eV

)

energia totale E

energia coulombiana Ep

potenziale centrifugo EL

potenziale effettivo Ep+EL

ao

rZe

Ep

2−=

2

2

2mr

LEL =

Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel motoclassico di un elettrone con orbita circolare

di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å)

Orbitaclassica

atomo H: momento angolare qualunque

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

distanza dal nucleo (angstrom)

ener

gia

(eV

)

energia totale Eafelio

energia coulombiana Ep

potenziale centrifugo EL

potenziale effettivo Ep+EL

perielio

Orbitaclassica

Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel motoclassico di un elettrone con orbita ellittica di semiasse

maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å)

Atomo di idrogeno: moto di un elettrone consemiasse maggiore dell’ellisse pari al

raggio di Bohr (0,53 Å)

orbita elettrone

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

-1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80x (angstrom)

y (a

ng

stro

m)

nucleo

orbita con Linferiore al massimo

orbita con Lmassimo

afelio perielio

pper

p

paf

Orbitaclassica

Numeri quantici:

sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondentiai valori interi dei numeri quantici

n≥1 ; 0 ≤ l < n ; -l ≤ ml ≤ l ; ms = ± 1/2

- n → energia totale En= - ERZ2/n2

- l → momento angolare L2 = l(l+1) 2

- ml → componente di L lungo z Lz= ml

- ms → componente dello spin lungo z Sz= ms

Potenziale: r

ZeE p

2−=Atomi idrogenoidi:

descrizione quantistica

h

hh

n

1

234

lml

rappresentazione n,l,ml ,ms>

Livelli energetici: diagramma di Grotrian

E (eV)

-13.6

-1.5-3.4

-0.85

0s

1p

2d

0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2

(2)

(6)(2)

(6)(2) (10)

(6)(2) (10)

-1/2 +1/2ms

),,(),,(22

),,(2

2

22ϕϑψϕϑψϕϑψ rEr

rZe

mr

Lm

prH r =

−+=

),()(

),()(),,( ϕϑϕϑϕθψ ll ml

ml Y

rru

YrRr ==

),()1(),( 22 ϕϑϕϑ ll ml

ml YllYL h+=

Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger

dOdrrr 22),,( ϕϑψ

probabilità di trovare l’elettronenell’elemento di volumeintorno al punto (x,y,z)

dOdrr 2 r

z

y

x

θ

ϕ

Oggi il valore medio di si può misurare direttamente, ad es. con un Microscopio a Forza Atomica (AFM)

2),,( ϕϑψ r

interpretazione fisica della “funzione d’onda

|u(r)|2 dr

probabilità di trovare l’elettrone auna distanza fra r e r+dr

( ) )(2)(

22

2ruEE

m

dr

rudeff −=

hEeff = EL + Ep

coefficiente di proporzionalità

curvatura della funzione d’onda funzione d’onda

)(2

)1()(2

2

2

2

2

22ruE

rZe

mr

ll

dr

rudm

−−

+=

hh

termine cinetico termini di energia “di posizione”

Funzione d’onda radiale

ao è il “raggio di Bohr”

dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiononell’equazione di Schrödinger

Le dimensioni atomiche

nao/Z determina la rapidità della cadutaesponenziale della funzione d’onda dopo il flesso

conviene introdurrela “distanza ridottaρ”, tale che:

ρZ

nar o

2=

2/10 )( ρ−= Creru

m1053,04

10222

2−⋅===

cm

c

me

ha

eeo

απ

h

Eeff =Ep

- i punti di inversione delmoto classico sono punti diflesso della funzioned’onda perché E-Eeff=0

- dopo il flesso, la curvaturadella funzione d’ondacambia segno e la funzionetende a zeroasintoticamente

- il massimo della funzioned’onda si verifica a unadistanza dal nucleo pari alraggio di Bohr ao

Atomo di idrogeno:n=1

Funzione d'onda n=1

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,00 1 2 3 4 5 6

r (angstrom)

Potenziale e livelli energetici

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV)

punto di flesso

punto di inversione

n=1

Eeff =Ep

- i punti di inversione del motoclassico sono punti di flessodella funzione d’onda perchéE-Eeff=0

- il numero di “nodi” dellafunzione d’onda aumenta con n

- dopo l’ultimo flesso, la funzioned’onda tende a zeroasintoticamente

- ci sono n massimi dellafunzione d’onda checorrispondono a diversi“anelli” di maggiore probabilità

Funzioni d'onda l = 0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,00 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

Potenziale e livelli energetici

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

r (angstrom)

Ene

rgia

(eV

)punti di flesso

punti di inversione

n=1

n=3n=2

n=1 n=3

n=2

Atomo di idrogeno:l=0, n=1, 2, 3

- gli n massimi della funzioned’onda corrispondono a diversi“anelli” di maggiore probabilità

- non si tratta di “orbite” diverse:la funzione d’onda ècontemporaneamente diversada zero in zone a diversadistanza dal nucleo

Atomo di idrogeno:distribuzione spazialedella funzione d’onda

l=0, n=1, 2, 3

n=1

+

n=2, l=0

+-

n=3, l=0

+

+

-

n=2, l=0 n=2, l=1

Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenzialen=2, l=0 e 1

Potenziale e livelli energetici

-30,0

-20,0

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV)

n=2

EL per l=1

Eeff per l=1

flessi di l=1flesso di l=0

n=1

n=3

Eeff =EL+ Ep

- i punti di inversione delmoto classico sono punti diflesso della funzioned’onda perché E-Eeff=0

- il numero di “nodi” dellaparte radiale della funzioned’onda diminuisce con l, aparità di n

-35.0

-30.0

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV)

F u n z i o n i d ' o n d a n = 2 ; l = 0 , 1

-10 .0

-5 .0

0 .0

5 .0

10 .0 0 2 4 6 8 1 0 1 2

r ( a n g s t r o m )

punti di inversionen=1

n=3n=2

l=1

l=0

punti di flesso

Funzione d’ondaradiale n=2, l=0, 1

r = ρ nao/Z, quindi nao/Zdetermina la rapidità della cadutaesponenziale della funzioned’onda dopo l’ultimo flesso

il flesso• si “allontana” al crescere di n•si “avvicina” al crescere di Z

2/10 e2)(01 ρ−=== rCruln

2/20 e)2(

221

)(02 ρρ −−=== rCruln

2/21 e

621

)(12 ρρ −=== rCruln

l’andamento per rà 0 vacome rl+1

(quello di R(r) va come rl)

Espressione di u(r)per n=1, 2

Andamento vicinoall’origine della

funzione d’onda radiale

Funzioni d'onda n= 1 l =0; n =2; l = 0,1

-10,0

-5,0

0,0

5,0

10,0

0 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

- al crescere di n, lafunzione d’onda si spostaverso l’esterno

- l’andamento per rà 0va come rl

n=2l=1

n=1l=0

n=2, l=0

integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1 l = 0; n =2 l = 0,1

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,20 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

n=2, l=0

n=1l=0

n=2l=1

integrale del quadrato delle funzioni d'onda n=1 l = 0; n =2 l = 0,1

0,00

0,05

0,10

0,15

0,200 0,5 1 1,5 2

r (angstrom)

Andamento vicinoall’origine della funzioned’onda radiale n=1, 2, 3

- al crescere di n, lafunzione d’onda si spostaverso l’esterno

- l’andamento per rà 0va come rl

integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

Funzioni d'onda n =3; l = 0,1,2

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,00 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

n=3l=1

n=3l=2

n=3, l=0

n=3, l=2

n=3, l=0

n=1 l=0

n=2l=1 n=3, l=1

n=2l=0

integrale del quadrato delle funzioni d'onda n =1, 2, 3 e tutti i valori di l

0,00

0,05

0,10

0,15

0 1 2 3 4

r (angstrom)

Dipendenza angolare:“orbitale” 1s

Z

oarCeYr

ruYrRr /0

0100

010100 ),()(

),()(),,( −=== ϕϑϕϑϕϑψ

1s

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4z (angstrom)

fun

zio

ne

d'o

nd

a

“orbitale” atomico 2p0

2pz

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x (angstrom)

fun

zio

ne

d'o

nd

a

Z

X

andamento infunzione di x a z>0

andamento infunzione di x a z<0

2pz

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8z (angstrom)

funz

ione

d'o

nda

andamento in funzione di zper x = 0, y = 0

ϑϕϑϕϑϕϑψ cos)/2(),()(

),()(),,( 2/01

210121210

oaro earCY

rru

YrRr −−===

“orbitale” atomico 2p+

)sen(cossen)/2(

sen)/2(),()(),,(2/

2/1121211

ϕϕϑ

ϑϕϑϕϑψ ϕ

iearC

eearCYrRr

o

o

aro

iaro

+−=

−==−

−

parte realeparte

immaginaria

+

_+

_