17. La propagazione nello spazio fibra- ottica -...

Comunicazioni Ottiche, Capitolo 17, Edizione Ottobre 2007 1

17. La propagazione nello spazio fibra-ottica 17.1 Fenomenologia della propagazione guidata La trasmissione di segnali in fibra ottica rappresenta uno dei successi tecnologici più importanti della seconda metà dello scorso secolo ed ha contribuito in modo determinante a cambiare il secolo stesso: Internet Protocol è anche frutto del successo trasmissivo delle fibre ottiche. Le fibre ottiche sono ricordate soprattutto per la loro bassa attenuazione, e questo è vero perché rappresentano ancora oggi un mezzo propagativo insuperato in termini di attenuazione. Ma la sola bassa attenuazione non dà ragione del vantaggio trasmissivo delle fibre ottiche che è anche legato al successo propagativo, cioè alla capacità di propagare un segnale in uno spazio confinato in modo perfetto: in condizioni normali di esercizio ( quando cioè non vengano applicati alla fibra ottica situazioni straordinarie di stress, capaci di modificarne la simmetria dell’indice) senza alcuna osservabile perdita. Quindi le fibre ottiche registrano un doppio successo, attenuativo e propagativo. Mentre è relativamente facile capire il successo attenuativo (esso dipende dalle proprietà del materiale trasmissivo) non è così intuibile da dove derivi il successo propagativo soprattutto se si confronta il segnale propagante in fibra ottica con il segnale propagante in spazio libero che, abbiamo visto registra una inevitabile diffrazione. Il successo propagativo delle fibre ottiche è legato ad un fatto semplice quanto difficile da intuire, al fatto che la luce in fibra ottica si organizza a formare un modo ed, una volta raggiunta questa “organizzazione”, il modo, per definizione, si conserva durante la propagazione. Vediamo con un esempio come succede questo. Supponiamo di affacciare semplicemente qualche metro di fibra ottica monomodo ad un fascio Gaussiano emesso da una sorgente coerente (un laser): noteremo che la maggior parte della luce verrà persa (pochi millimetri iniziali della fibra ottica verranno illuminati dalla luce che fuoriesce) ma una piccola frazione (ad esempio l’1%, di potenza Pa) verrà emessa dal secondo capo della fibra a formare un fascio che, proiettato su di uno schermo rivelerà le sue caratteristiche di piena coerenza spaziale e sarà in prima approssimazione ancora Gaussiano (fig. a). Supponiamo ora di collegare questo breve tratto di fibra a qualche Km di fibra dello stesso tipo (fig. b) lasciando inalterato l’esperimento. Quando affacceremo la parte terminale di questo secondo tratto di fibra


ottica allo schermo, noteremo una figura sostanzialmente uguale alla precedente (se riusciamo a fare la misura, la nuova potenza Pb sarà qualche frazione di dB minore rispetto a Pa). La stessa figura ma con intensità minore la otteremo se cambiamo la sorgente, ad esempio usiamo all’ingresso della fibra una sorgente incoerente (fig.c) come una lampada (opportunamente filtrata per riportarla ad una banda nell’intorno della lunghezza d’onda della sorgente coerente) e con intensità maggiore se cambiamo il metodo di inserzione della luce in fibra, ad esempio utilizziamo una lente di focalizzazione (fig. d). Cosa sta succedendo? Nell’esperimento a) la maggiore parte della luce non propaga, cioè non forma un modo di propagazione e quindi fuoriesce dalla fibra secondo le normali leggi della rifrazione e diffrazione. La luce che forma il singolo-modo propaga sino alla estremità e si presenta all’uscita con una forma modale sostanzialmente uguale ad un modo di Laguerre-Gauss (la fibra ottica è infatti cilindrica). Una volta che la luce ha formato il suo modo, esso non subisce più perdite per propagazione ma solo eventuali (esperimento b)) perdite per attenuazione (nel nostro caso se operiamo in terza finestra, questo significa solo 0,2 dB/Km). Per il resto la luce di uscita dopo qualche Km (o migliaia di Km) presenta le stesse identiche caratteristiche della luce che esce dopo qualche metro: è un modo di propagazione guidata e quindi mantiene se stesso durante qualsiasi lunghezza di propagazione. Nell’esperimento c) si dimostra che il singolo modo spaziale si forma anche con luce di coerenza temporale limitata ( cioè la sorgente termica filtrata) quindi il modo di fibra ottica non risente della incoerenza spaziale di ingresso: esso si presenta sostanzialmente identico al modo dei primi due esperimenti, ma ovviamente maggiormente attenuato (ad esempio, nell’accoppiamento solo uno 0,01% della luce di ingresso dà luogo al modo). Nell’ultimo esperimento si dimostra che se miglioro l’ingresso (ad esempio utilizzando una lente di focalizzazione) vario l’intensità della luce in uscita alla fibra ma non vario le caratteristiche del modo (cioè la sua forma e dimensione). La luce che entra nella fibra ottica monomodale si “auto-organizza” a formare un modo e ci accorgiamo che il modo è formato perché la luce emerge dalla fibra ottica con le stesse caratteristiche di coerenza spaziale dopo pochi metri o dopo pochi km di propagazione (o, se utilizzassi amplificatori, dopo migliaia di km): il modo si forma indipendentemente dalla “qualità” (coerente/incoerente), dalla “quantità” e dalla “modalità” (luce collimata/focalizzata o luce diretta/obliqua, ecc.) della luce di ingresso. Sottolineiamo che, fissata una certa lunghezza d’onda (o intorno vicino di lunghezze d’onda) il modo è luce che si “auto-organizza” in funzione delle sole caratteristiche ottiche/geometriche della fibra ottica: niente dall’esterno può intervenire a “disegnare” il modo di propagazione. Al massimo, quello che possiamo fare è migliorare


l’efficienza di accoppiamento fra la luce della sorgente e la luce guidata dalla fibra ottica. Il modo è caratterizzato da una specifica distribuzione di campo (per le fibre telecom, sostanzialmente una Laguerre-Gauss) e da un vettore d’onda di propagazione (che chiameremo ancora β) ed una volta auto-organizzata la luce “modale” propaga inalterata soggetta alle sole leggi della attenuazione. Il modo è una rigorosa autosoluzione matematica.


17.2 Propagazione in fibra ottica a gradiente d’indice con core parabolico infinitamente esteso: i modi di Laguerre-Gauss Abbiamo visto nell’ultimo paragrafo del capitolo precedente che uno spazio “strutturato” con la presenza di lenti poste ad una opportuna distanza è in grado di provvedere ad una “autosoluzione” di campo propagante. Questo spazio sembra quindi risolvere il problema fondamentale delle comunicazioni ottiche, cioè potere trasmettere una data potenza a distanza significativa senza che la luce subisca divergenza. Siccome l’autofunzione per definizione si “conserva” durante la propagazione, si è sicuri che le funzioni di Laguerre-Gauss presenti al trasmettitore si troveranno “invariate” al ricevitore (a meno, ovviamente delle attenuzioni portate dal mezzo trasmissivo, di cui non ci curiamo in questa trattazione). Sebbene la soluzione trovata sia matematicamente e fisicamente corretta , si sa che essa dal punto di vista tecnico presenta notevoli limitazioni di applicazione: è infatti quantomeno complesso predisporre dei “canali trasmissivi” equipaggiati con un grandissimo numero di lenti (la soluzione è stata anche sperimentata senza grande successo nei primi anni successivi alla scoperta del laser). Ci si chiede quindi: non è possibile immaginare uno “spazio” più pratico di quello precedente? La risposta è affermativa, come sappiamo, ed è lo spazio delle fibre ottiche. Vediamo il perché. Lo “spazio” della fibra ottica è uno spazio cilindrico caratterizzato dall’avere un “profilo” di indice di rifrazione variabile con continuità dall’asse alla periferia. In molti casi, per le tipiche fibre utilizzate nelle comunicazioni ottiche, questo “profilo” cessa, più o meno bruscamente, dopo una distanza radiale di qualche micron per rimanere pressoché costante sino al bordo della fibra-ottica. Altre volte, il profilo d’indice si estende per decine di micron di distanza dall’asse. In ogni caso, la zona più esterna in cui rimane pressoché costante viene convenzionalmente chiamata “cladding” mente la zona centrale della fibra in cui è presente una variazione di indice più accentuata è chiamata “core”. Nelle due figure seguenti sono ad esempio rappresentati due tipici “profili d’indice per fibre ottiche monomodali correntemente d’uso.


Al fine di controllare specifiche caratteristiche propagative del segnale ottico guidato ( ed in particolare il parametro “dispersione” ) , i profili d’indice hanno subito negli ultimi anni una continua “ingegnerizzazione”, producendo una molteplicità di profili sia di core che di cladding. Nonostante questo , nonostante questa grande varietà di profili di indice, il fenomeno della propagazione in fibra ottica è sostanzialmente unitario ed il “modo” di propagazione risulta essere una funzione di campo “traverso” con un andamento riportabile in prima approssimazione ad una “Gaussiana”. La ragione di questo comportamento “uniforme” in fronte ad una varietà estremamente grande di profili d’indice (a cui si aggiunge la inevitabile variabilità che caratterizza ogni processo di produzione) è da ricercare nell’essenza stessa della propagazione guidata: la luce che propaga è quella che si “organizza” a formare un “modo” di propagazione ovvero quella distribuzione di campo ottico che, viste le condizioni al contorno ovvero il profilo d’indice, si conforma secondo una autosoluzione dell’equazione delle onde. Solo questa luce è quella che “appare” guidata, la rimanente luce che entra nella fibra ottica e non si conforma secondo un “modo”, subisce la naturale diffrazione ed esce dalla fibra ottica nelle prime decine o centinaia di micrometri di percorso. Siccome i profili d’indice condividono in prima approssimazione la stessa


forma (immaginiamoli ad esempio sviluppati in serie di Fourier) e le stesse dimensioni (per le fibre di tipo monomodali, di cui si sta parlando) non è così inverosimile che l’auto-organizzazione della luce appaia sia molto simile in prima approssimazione. Vediamo nel seguito qual è il “modo” più naturale con cui la luce si organizza in fibra ottica. Le fibre ottiche correntemente utilizzate nei sistemi di comunicazione ottica presentano un “profilo d’indice” che, anche ai valori più alto del salto di indice core-cladding (ad esempio la differenza fra il valore d’indice di core al centro della fibra e di cladding al bordo della fibra) rimane percentualmente molto piccolo, dell’ordine di qualche unità %. Due sono le ragioni che conducono a questo. In primo luogo, si vuole mantenere il più possibile bassa l’attenuazione della fibra ottica e per fare questo si cercherà di introdurre il meno possibile materiali “droganti” nella zona di core, comunque necessari per potere “disegnare” il profilo d’indice. Il materiale drogante più oggi utilizzato è il Germanio che però, se usato in grandi quantità, può produrre significative attenuazioni: da cui la preferenza per un basso salto d’indice. La seconda ragione risiede nel fatto che per le applicazioni telecom si desidera sostanzialmente solo una propagazione monomodale e per fare questo è necessario inibire la nascita dei modi superiori al secondo. Come vederemo nel seguito occorre a tal fine restare sotto un certo valore di sogli per il parametro caratteristico di fibra ottica “V”: in questa scelta, siccome V è sia proporzionale al diametro del core che alla radice del salto d’indice, si preferisce mantenere grande il più possibile la prima variabile rispetto alla seconda. Per queste fibre si può quindi applicare l’approssimazione vista al primo Capitolo che ha portato all’espressione dell’equazione delle onde in forma ridotta (equazione di Helmholtz) , cioè

!

"# << 2$#2 in uno spazio dell’ordine della lunghezza d’onda della luce. In altri termini si suppone che il salto d’indice sia o piccolo o comunque lentamente variabile. Questa ultima condizione potrebbe essere violata nelle fibre cosidette “step” in cui il core presenta una distribuzione d’indice costante che bruscamente varia in prossimità del cladding. Praticamente però, per ragioni tecnologiche, anche in queste fibre la variazione non è brusca come matematicamente appare. Per molte altre fibre invece l’approssimazione è valida perché esse presentano un profilo d’indice molto variabile. Complessivamente per le fibre ottiche utilizzate in telecomunicazioni si parla di propagazione in regime “weakly-guiding”. In questo regime, se consideriamo ancora una volta come


sistema di riferimento principale il sistema di riferimento cilindrico, possiamo cercare una soluzione di campo a variabili separate, come abbiamo fatto ai paragrafi precedenti ed in particolare al paragrafo 1.3. Una buona soluzione di campo propagante sarà cioè una soluzione di campo del tipo

!

" = R r( ) # e+ il$ # e%i&z in cui si è ipotizzato che la propagazione avvenga con costante di propagazione β essendo il campo ottico propagante “confinato” per definizione in una regione di pochi micron e quindi soggetto, per quanto visto sin dal primo Capitolo, alla “fase di Gouy”. Se applichiamo una soluzione di questo genere all’equazione di Helmholtz in coordinate cilindriche

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+1

r2

" 2

"# 2+" 2

"z2$

% &

'

( ) * + k

2* = 0

otteniamo, dopo avere sviluppato la parte in z e θ della soluzione, l’espressione della funzione radiale R(r)

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

2 #$ 2 #l2

r2

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0 R r( ) = 0

nello “spazio fibre ottiche “. Differentemente da quanto fatto sino ad ora (in cui ci muovevamo in uno spazio omogeneo dal punto di vista della costante dielettrica) per le fibre ottiche, considerata la loro composizione d’indice di rifrazione radiale-dipendente, è ora necessario precisare l’espressione di k2, essendo la velocità di propagazione della luce dipendente dall’indice di rifrazione. Consideriamo per il momento una fibra ottica che abbia un profilo d’indice che si estende indefinitamente dal centro della fibra ottica verso il bordo senza soluzione di continuità (una fibra ottica cioè praticamente senza cladding). Per non perdere di generalità assumiamo che il profilo d’indice sia del tipo

!

n2r( ) = n

0

21"# $ f (r)( )

dove n0 è il valore dell’indice sull’asse della fibra ottica e Δ un parametro legato al salto d’indice. Variando il parametro Δ e la funzione f(r) è


possibile esplorare una grandissima varietà di profili d’indice, come vedremo nel seguito. L’equazione delle onde in forma ridotta diventerà quindi

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2n0

21#$f (r)( ) #% 2 #

l2

r2

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1 R r( ) = 0

Questa è una equazione agli autovalori molto importante perché regge tutta la propagazione in fibra ottica. Le soluzioni di questa equazione saranno in generale funzione della specifica scelta del profilo d’indice f(r). In particolare se si assume per f(r) una funzione del tipo

!

f r( ) =r

a

"

# $ %

& '

(

al variare dell’esponente α, posso descrivere una grande varietà di profili d’indice, da quello “step” per n che tende all’infinito a quello “conico” per n che vale 1 (si veda figura): il parametro Δ è legato al valore dell’indice alla coordinata radiale “ a ”, in cui n vale n0(1-Δ) .


Se si sostituisce questo andamento del profilo d’indice nella equazione agli autovalori sopra riportata si ottiene una equazione differenziale del secondo ordine integrabile solo numericamente, ovvero non risolvibile in forma chiusa. Le soluzioni approssimate così trovate saranno comunque “autosoluzioni” dell’equazione, genereranno “autovalori” (cioè un particolare valore della parantesi tonda, da cui è possibile ricavare il valore appropriato della costante di propagazione β ) e quindi modi di propagazione di fibra ottica. Esiste una soluzione in forma chiusa di questa equazione? Sarebbe importante trovare questa autosoluzione” perché, per quanto detto prima, essa potrebbe essere una soluzione “prototipo” delle più specializzate soluzioni che ricaverei con una integrazione numerica della equazione differenziale di Helmholtz. Questa autosoluzione mi fornirebbe quindi una “guida” per studiare in modo analitico le proprietà propagative dei modi di fibra ottica e, probabilmente, operando su questa soluzione con teorie perturbative, potrei anche avere una visione da vicino di tutte le altre soluzioni. La risposta è affermativa: si accede ad una soluzione in forma chiusa della equazione agli autovalori precedente quando si consideri un esponente 2 nella espressione di f precedente, cioè un profilo del quadrato d’indice parabolico infinitamente esteso:

!

n2r( ) = n

0

21"#

r

a

$

% & '

( )

2$

% & &

'

( ) )


Questo profilo d’indice non è irrealistico come si possa pensare. Infatti l’andamento parabolico approssima bene molti profili d’indice nella zona di core (si vedano ad esempio alcuni profili d’indice riportati nelle figure precedenti) e quando la fibra ottica lavora in condizioni di buon confinamento del campo ottico nella zona di core, anche l’approssimazione “indefinita” non è irragionevole perché alla coordinata “a” il campo, come si vedrà, ha valori molto bassi: da quel valore di raggio in avanti è indifferente se il profilo d’indice continua a diminuire sino a raggiungere gli irrealistici valori “negativi” che l’equazione precedente comporta. D’altra parte, questo profilo d’indice ha un interessante legame con quanto visto al paragrafo precedente. Infatti, è risaputo che una lente può essere realizzata o modificando in senso radiale lo spessore del materiale ad indice costante o modificando in senso radiale l’indice di rifrazione del materiale a spessore costante (vedi figura).

Si ottengono così le lenti di tipo GRIN ovvero a GRadiente d’Indice caratterizzate da un parametro chiamato “pitch” Λ che indica la lunghezza del periodo della lente, equivalente (vedi figura) a 4f con lenti “bulk”. Se il profilo d’indice della lente GRIN è del tipo sopra indicato si può dimostrare [ Yeh ‘88] che il pitch vale


!

" =2#

$a

Una fibra ottica con profilo d’indice parabolico realizza quindi un “metamateriale” con proprietà di autofocalizzazione continua che ricorda molto il metamateriale a parametri concentrati visto al paragrafo precedente. Ci aspettiamo quindi che anche per questo “metamateriale” sia possibile trovare una soluzione stabile dell’equazione di campo, cioè un modo (vedi figura)

Introduciamo ora la funzione d’indice parabolica nell’espressione di Helmholtz ed otteniamo

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2n0

21#$

r

a

%

& ' (

) * 2%

& ' '

(

) * * #+

2 #l2

r2

%

& ' '

(

) * *

,

-

.

.

/

0

1 1 R r( ) = 0

Operiamo ora il cambio di variabile

!

x = "r2 ed introduciamo la nuova funzione di (x), F(x). Sarà allora

!

Rx

"

#

$ %

&

' ( = F x( )

e sostituendo queste espressioni nella equazione agli autovalori si ottiene

!

xF ' '(x) + F '(x) + "#k

0

2n0

2

4a2$ 2

x +k0

2n0

2 "% 2

4$"l2

4x

&

' ( (

)

* + + F(x) = 0

questa equazione differenziale è simile all’equazione

!

x"' '(x) + "'(x) + #x

4+2p + l +1

2#l2

4x

$

% &

'

( ) "(x) = 0


che ha come soluzioni le Funzioni di Laguerre di ordine p ed indice l

!

" lp (x) = x

l

2 # e$x

2 # Lp

l(x)

che avevamo già trovato al paragrafo 16.5 con la sola sostituzione del parametro n con il parametro p di identico valore e significato: si opera questa sostituzione per una sola ragione di formalismo perché la letteratura indica i modi di Laguerre in fibra ottica come modi LP. Per ottenere l’ultima equazione è stato posto:

!

" 2 =#k

0

2n0

2

a2

e

k0

2n0

2 $% 2 = 2"(2p +1+ l)

Introducendo, il parametro

!

r0

=1

"=

a

k0n0#

La soluzione cercata avrà quindi una distribuzione radiale di campo del tipo

!

R(r) = " lp r( ) = e#1

2

r

r0

$

% &

'

( )

2

*r

r0

$

% &

'

( )

l

* Lp

l r

r0

$

% &

'

( )

2+

, - -

.

/ 0 0

cioè sarà equivalente a quella trovata nello spazio discreto costituito da lenti: il modo rigoroso di propagazione in fibra ottica a gradiente d’indice parabolico è quindi ancora una funzione di Laguerre-Gauss. L’espressione completa del modo della fibra ottica sarà quindi

!

"lp = R r( ) # e+ il$ # e%i&z = e%1

2

r

r0

'

( )

*

+ ,

2

#r

r0

'

( )

*

+ ,

l

# Lp

l r

r0

'

( )

*

+ ,

2-

. / /

0

1 2 2 # e+il$ # e% i&z

Questo modo viene chiamato LP, cioè Linear Polarized, perché esso è scalare e presenta un campo solo in una direzione (che può essere una


generica coordinata azimutale anche se normalmente a questo modo viene assegnata una “polarizzazione” cartesiana, del tipo x o y). La posizione prima fatta, permette di esprimere β in funzione degli altri parametri della fibra. Si ricava immediatamente che (relazione di dispersione)

!

" 2 = k0

2n0

2 #2

r0

22p +1+ l( )

ovvero

!

" = k0

2n0

2 #2

r0

22p +1+ l( ) =k

0n01#

2

k0

2n0

2r0

22p +1+ l( ) $ k0n0 1#

2

k0

2n0

2r0

22p +1+ l( )

%

& '

(

) *

" = k0n01#

+

k0n0a2p + l +1( )

%

& '

(

) *

Si osserva innanzitutto che ora β è un parametro indipendente dalla distanza di propagazione e funzione solo dei parametri geometrico-ottici della fibra ottica: siamo in presenza di autosoluzioni proprie di propagazione e quindi di modi e β è una costante di propagazione del modo di indice (l,p). quindi la propagazione dei modi avverrà con un vettore d’onda sempre più corto (con lunghezza che diminuisce all’aumentare degli indici di modo) del vettore d’onda pertinente al valore centrale dell’indice di rifrazione della fibra: per continuità con quanto visto al capitolo 1 e 2, siamo ancora in presenza di un effetto di contrazione del vettore d’onda di propagazione di tipo “Gouy”. L’espressione del β così ottenuta è infatti del tutto simile a quella ottenuta nel metaspazio con lenti discrete che era

!

"Funzione diLaguerre nelmetaspaziocon lenti

= k # 2n + l +1( )1

zr

Nel nostro caso si ottiene

!

" = k0n01#

$

k0n0a2p + l +1( )

%

& '

(

) * = k0n0 # 2p + l +1( )

$

a

ed il termine 1/zr è esprimibile in funzione dei parametri di fibra ricordando che


!

1

zr

="

#w0

2=

"

#a2

dove si è assegnato al posto del valore di “waist” all’origine del fascio Gaussiano w0 il valore del parametro a della fibra ottica. Anticipando ora l’introduzione di un parametro caratteristico della propagazione guidata, il parametro V, si può esprimere l’espressione precedente come

!

1

zr=

"

#a2=2a $

a2V

=$

aper V = 2

cioè si ottiene lo stesso valore di β ottenuto nella propagazione nel metaspazio artificiale visto al paragrafo 2.5 pur di porre V=2: come vedremo nei prossimi paragrafi, questa posizione è quella tipica di funzionamento di questo tipo di fibre ottiche in condizione monomodale. Occorre essere cauti nello sviluppare il parallelismo fra il metaspazio formato da lenti discrete e le fibre ottiche a gradiente d’indice parabolico perché nel primo caso (così come in un metaspazio costruito con lenti GRIN discrete) il fascio ottico “pulsava” al passaggio da una lente ad un'altra seguendo le leggi della propagazione dei fasci Gaussiani. Nel caso delle fibre ottiche invece il fascio ottico rimane di sezione costante in tutta la fibra: siamo in presenza di un vero modo caratterizzato da un solo valore di b e non, come nel caso precedente, da un valore di b che pure pulsa in funzione della posizione in cui si valuta. Seguendo una suggestione sviluppata da [Siegman ‘86] nelle fibre a gradiente d’indice è come se la naturale diffrazione prodotta dal confinamento del campo venisse esattamente compensata, tratto infinitesimo dopo tratto infinitesimo, dall’effetto focalizzante del gradiente d’indice continuo. Le fibre ottiche a gradiente d’indice parabolico e la soluzione di campo sopra illustrata sono state per la prima volta proposte da [Kurtz ‘69] e la soluzione modale che utilizza le Funzioni di Laguerre era già stata indicata da [Gobau ‘61]. Gli stessi Autori sottolineano nel medesimo articolo, l’importanza di utilizzare funzioni ortogonali ed integrabili come le Funzioni di Laguerre che permettono di essere utilizzate come base rappresentativa di qualsiasi soluzione, in presenza di qualsiasi distribuzione d’indice.


17.3 Propagazione in fibra ottica a gradiente d’indice con core parabolico finito e presenza di cladding. La soluzione al problema della propagazione in fibra ottica trovata al Paragrafo precedente, pur essendo fisicamente ragionevole, non permette di accedere agli importanti aspetti propagativi che si manifestano in seguito alla presenza del “cladding”. Vediamo ora come evolve la soluzione precedente quando si supponga l’esistenza di un cladding a formare il profilo d’indice della fibra, che diventa ora più realistico, come illustrato in figura. Si abbia cioè ancora un profilo d’indice parabolico sino ad un certo raggio e poi un indice costante a formare il cladding. Sia cioè

!

n0

21"#

r

a

$

% & '

( )

2$

% & &

'

( ) ) per 0 * r * a

n2(r) =

n2r( ) = n

0

21"#( ) per r > a

Cerchiamo ancora una volta una soluzione del tipo

!

" = R r( ) # e+ il$ # e%i&z Questa soluzione, una volta introdotta nell’equazione delle onde in forma ridotta produrrà due equazioni già incontrate: per il core la stessa equazione vista al paragrafo precedente, cioè


!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2n0

21#$

r

a

%

& ' (

) * 2%

& ' '

(

) * * #+

2 #l2

r2

%

& ' '

(

) * *

,

-

.

.

/

0

1 1 R r( ) = 0 equazione per il core

e per il cladding la stessa equazione vista in propagazione libera (in quanto si suppone che il cladding si estenda per uno spazio “infinito” verso l’esterno della fibra ottica: praticamente questa condizione appare giustificata perchè, come vedremo nel seguito, il campo di cladding ha una reale estensione solo per frazioni della dimensione tecnologica del cladding che tipicamente è 125 micron nelle fibre ottiche standard per telecomunicazioni) al paragrafo 1.3 dove ora si consideri un indice di rifrazione diverso da uno, ad esempio quello che corrisponde a r=a, distanza radiale alla quale supponiamo cominci il cladding della fibra ottica, cioè

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2n0

21#$( ) #% 2 #

l2

r2

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1 R r( ) = 0 equazione per il cladding

Separatamente considerate, conosciamo già la autosoluzioni di queste equazioni: per la prima le Funzioni di Laguerre-Gauss, per la seconda le famiglie di funzioni di Bessel come visto al Paragrafo 1.3. Di quest’ultime, siccome non desideriamo una soluzione infinitamente estesa in direzione radiale e siccome siamo interessati solo a valori di campo di cladding, in cui la coordinata r=0 non viene quindi considerata, ci rivolgeremo in particolare a considerare le funzioni di Bessel del terzo tipo modificato ovvero le autosoluzioni Bessel di tipo K che ci assicurano un decadimento di campo veloce nella zona di cladding. La soluzione in fibra ottica, per essere un modo, dovrà però essere unica e continua: unica, cioè avere lo stesso vettore di propagazione β e lo stesso indice azimutale l sia per la zona di core che per la zona di cladding e continua, cioè il campo non può subire alcuna discontinuità al passaggio fra la zona di core e di cladding (pena la distruzione del modo stesso). La unicità è tradotta dalle espressioni

!

"core = "cladding = "

lcore = lcladding = l

e la continuità della soluzione dalla uguaglianza delle funzioni R e derivata prima di R al bordo core-cladding ( cioè alla coordinata r = a)


!

Rcore (a) = Rcladding (a)

R'core (a) = R'cladding (a)

Queste due espressioni pongono un problema matematico alle soluzioni precedentemente trovate. Infatti mentre le funzioni di Bessel hanno argomento κr variabile con continuità all’interfaccia di coordinata r = a, e quindi la funzione e la sua derivata sono aggiustabili secondo il parametro κ (e quindi in ultima analisi variando la costante di propagazione β essendo

!

" 2 = k 2 #$ 2 = k0

2n0

21#%( ) #$ 2 ) cioè posso ottenere

!

Rcladding (a)"Kl (#a) valore modulabile con continuità in funzione di $ 2 le Funzioni di Laguerre hanno argomento costante e pari a

!

k0n0a " , cioè

!

Rcore (a) = Lp

l(k

0n0a " ) valore costante

il che rende troppo rigido il problema e di fatto ne impedisce la soluzione generale. Per trovare una soluzione debbo quindi ricorrere a soluzioni tipo Laguerre ma più generali in modo che presentino uno spettro continuo di valori, come la famiglia di funzioni di tipo Bessel. Queste funzioni esistono e sono una classe di funzioni di cui i polinomi di Laguerre rappresentano il caso particolare per il quale il parametro p (cioè l’ordine del Polinomio di Laguerre) è un intero positivo. Esse sono le Funzioni Ipergeometriche Confluenti o funzioni di Kummer M, definite come [Arfken ‘01]

!

M(A,B,x) =1+A

Bx +

A(A +1)x2

B(B +1)2!+A(A +1)(A + 2)x

3

B(B +1)(B + 2)3!+ ...

che risultano limitate per l’argomento x finito purchè il parametro B sia

!

B " 0,#1,#2,... Con l’ausilio dei simboli di Pochammer, definiti come

!

1 per n = 0

A( )n

=

A A +1( ) A + 2( ) " ...." A + n #1( ) per n =1,2,3,...

la funzione di Kummer diventa anche


!

M(A,B,x) =A( )

n

B( )nn= 0

"

# $xn

n!

Se in questa funzione si pone A= - p e B= l+1 (usando gli stessi simboli utilizzati per i Polinomi di Laguerre) e questi sono interi

!

A = "p = 0,"1,"2,...

B = l +1=1,2,3,...

la funzione di Kummer rimane limitata anche per l’argomento che tende all’infinito (come per le funzioni di Laguerre) e si ottiene il Polinomio Generalizzato di Laguerre che è legato alle funzioni di Kummer dalla relazione

!

M("p,l +1,x) =p!

l +1( )p

Lp

l(x)

Il vantaggio della funzione di Kummer è che essa in gnerale non richiede che p sia intero, ma questo parametro può assumere un valore continuo: se contemporaneamente si pongono i valori interi e positivi per B (cioè si impongono le condizioni usuali per il parametro azimutale l ) si generano delle funzioni di core variabili con continuità (vedi figura) che possono


quindi raccordarsi con le funzioni di cladding: possiamo in questo modo risolvere il sistema di equazioni richiesto dal problema.

Abbiamo visto al paragrafo precedente che p era legato alle condizioni di propagazione dalla relazione di dispersione, cioè

!

" 2 = k 2 #2

r0

22p +1+ l( )

e quindi


!

p = "l +1( )2

+ k0

2n0

21"#( ) "$ 2

da cui la soluzione di core diventerà del tipo

!

Rcore (a)"M #p,l +1,k0n0a $( ) valore modulabile con continuità in funzione di % 2

cioè, come nel caso delle soluzioni di Bessel per il cladding, variando il parametro β sarò in grado di “raccordare” la soluzione di campo di core e di cladding, generando una forma di campo modale unica per la propagazione in fibra ottica.


17.4 Il vettore d’onda di propagazione β e gli altri parametri importanti della propagazione guidata Si è visto al paragrafo precedente come che le due espressioni di Rcore e Rcladding risultano entrambe modulabili in funzione del parametro di propagazione β la cui centralità era stata già sottolineata al Capitolo 1 in corrispondenza dell’introduzione della fase di Gouy. Il problema di trovare il modo di propagazione diventa ora chiaro: − β viene identificato a partire dalla soluzione del sistema che raccorda perfettamente il campo di core ed il campo di cladding: il raccordo avviene modulando due funzioni che sono entrambe autosoluzioni della equazione di Helmholtz in coordinate cilindriche negli spazi separati di core e di cladding ; - d’altra parte, β è il vettore di propagazione ottenuto in seguito alla nascita di un vettore d’onda traverso nel modo di propagazione, vettore d’onda che nasce in conseguenza della variabilità trasversa presentata dalla funzione che descrive il modo: esso è sensibile alla variazioni di questa funzione e se le condizioni propagative o geometrico-ottiche della fibra ottica variano, β riporterà traccia di queste variazioni; - ed ancora β rappresenta il vettore d’onda unico di propagazione del modo di fibra ottica che si trova ad essere ridotto rispetto al parametro k perché il modo essendo costretto nello spazio del core della fibra ottica esperimenta l’anomalia di fase di Gouy. L’unicità del β per il modo di propagazione in fibra ottica pone un problema interpretativo che può essere colto utilizzando il diagramma di dispersione introdotto al Capitolo 1. La fibra ottica presenta almeno due regioni ad indice di rifrazione diverso, una di core che nel caso di profilo d’indice rappresentato dalla funzione f precedentemente introdotta avrà un valore massimo al centro della fibra pari a n0 e che chiameremo ncore, ed una di cladding che, sempre nel caso in esame al paragrafo precedente, avrà un indice alla coordinata radiale a pari a

!

ncladding = n01"# $ n

01"1

2#

%

& '

(

) * ,

che chiameremo ncladding. Nel diagramma di dispersione disegneremo allora le due rette di velocità c/ncore e c/ncladding che rappresentano la velocità di propagazione della luce nei due mezzi.


Fissata una certa pulsazione ω, ad essa verrebbero a corrispondere così due diversi valori di vettore d’onda di propagazione kcore e kcladding. Questo contraddice però quanto prima affermato sulla unicità della soluzione e non può essere palesamente possibile perché comporterebbe una diversa velocità di fase per la luce che propaga nelle zone di cladding rispetto alla luce che propaga nelle zone di core. D’altra parte sappiamo che il modo propagaherà secondo un vettore β comune fra la zona di cladding e la zona di core e, da quanto detto al paragrafo 1.4 sappiamo che β può essere solo più piccolo di modulo del vettore k da cui è proiezione. Stando così le cose sembra che solo una soluzione propagativa sia possibile: quella per cui il β della luce di core coincida con il k della luce di cladding. Chiamiamo questa possibile soluzione del problema soluzione al cut-off del modo di propagazione della fibra ottica perché rappresenta la soluzione estrema della propagazione. Sarà quindi:

!

"cut#off = kcladding


Se a questo punto β diminuisse ancora di valore, il modo non sarebbe più confinato e diventerebbe una normale soluzione tipo onda-piana di propagazione libera della struttura. Ricordiamo (paragrafo 1.4) come β sia ottenuto a partire dall’applicazione di un operatore Laplaciano alla funzione di campo considerata e quindi tanto più β tende a diventare pari a kcladding tanto più il modo di propagazione tende a diventare una funzione del tipo onda-piana che propaga liberamente nella zona di cladding.

E’ possibile avere soluzioni più confinate, cioè soluzioni in cui il valore di β sia più vicino al valore di kcore e quindi avere un modo di propagazione che si sviluppi prevalentemente nel core? Per fare questo il valore di β dovrebbe diminuire ma questo viola l’assunto secondo il quale β riferito al cladding può essere solo una componente di kcladding: l’unica possibilità di realizzare questa condizione è che la luce di cladding sia luce di tipo evanescente, per la quale abbiamo visto che β è effettivamente maggiore di k. Quindi per i modi guidati possiamo ragionevolmente scrivere che

!

kcladding < " < kcore


e nel diagramma di dispersione la zona di propagazione guidata sarà rappresentata dal semispazio compreso fra le due rette di velocità della luce di cladding e di core (vedi figura).

Ricordiamo che, siccome il salto d’indice supposto per fibra ottica è molto piccolo (siamo in regime di propagazione debole) , questa zona è molto piccola (non rappresentata in scala nelle figure allegate) . Fissato una certa pulsazione ω della luce ed un certo modo di propagazione ad essa corrisponderà un solo possibile valore di β e quindi un punto di una curva caratteristica che intercetta il valore della pulsazione per produrre il valore di β. In generale, il valore di β parte dal cut-off (cioè la curva caratteristica parte dalla retta c/ncladding) ed all’aumentare della frequenza tende asintoticamente alla retta c/ncore. Per il modo fondamentale di propagazione, che secondo alcune approssimazioni può non presenta cut-off, la curva caratteristica può partire anche dal valore asintotico c/ncladding. Come si vedrà nel seguito, all’aumentare della pulsazione ω, nuovi modi di propagazione vengono eccitati e quindi in corrispondenza di un unico valore di pulsazione , più curve caratteristiche vengono intercettate a produrre diversi valori di β,


uno per ogni modo: questo regime si chiama regime multimodale. (vedi figura) .


Il parametro β trova spesso una rappresentazione normalizzata ai parametri asintotici kcore e kcladding , in cui in ascissa sono riportate le pulsazioni ω. L’asse delle ordinate può essere etichettato anche come asse degli indici di rifrazione: in questo modo emerge anche un altro significato spesso associato al parametro β: esso rappresenta il prodotto fra il vettore d’onda nel vuoto della luce e l’indice di rifrazione efficace (cioè effettivo) visto dal modo di propagazione, quest’ultimo essendo indicato come neff

!

" = k0neff

In molti testi, specialmente di ottica integrata, il parametro neff viene utilizzato correntemente al posto del parametro β.


Se consideriamo il diagramma vettoriale che rappresenta la relazione fra i parametri β, κ, e γ, al movimento del punto sulla curva caratteristica corrisponde una modulazione del triangolo vettoriale, secondo quanto illustrato in figura. In particolare al cut-off risulterà:

!

" minimo tendente a kcladding

# massimo

$ tendente a zero

mentre in piena propagazione

!

" massimo tendente a kcore

# tendente a zero

$ massimo

La variazione complementare dei parametri di propagazione κ e γ in funzione dello stato di propagazione (utili per studiare la qualità della propagazione) suggerisce l’introduzione di un nuovo parametro che etichetti in modo univoco lo stato di propagazione e che dipenda solo dalle condizioni geometriche/ottiche della fibra ottica, ovvero dalla dimensione radiale a della zona di core (questa dimensione è da intendersi in senso matematico più che fisico, nel senso di dimensione equivalente là dove non sia con chiarezza individuata la dimensione


fisica) e la radice quadrata della differenza fra i quadrati dell’indice di rifrazione di core e di cladding (pure da intendersi in modo matematico). Questo nuovo parametro è la somma di funzioni semplici dei parametri precedenti. Esso è conosciuto come V, parametro di fibra ottica, e si definisce come

!

V2 = "a( )

2

+ #a( )2

ovvero, ricordando le relazioni fra κ, γ ed i vettori d’onda di core e di cladding

!

V2 = a2 kcore

2 "# 2( ) + a2 # 2 " kcore2( ) = a2k

0

2ncore2 " ncladding

2( ) da cui

!

V =2"

#a ncore

2$ ncladding

2

nel caso si consideri il profilo d’indice a gradiente utilizzato nei paragrafi precedenti per il quale

!

n2(r) = n

0

21"#

r

a

$

% & '

( )

2$

% & &

'

( ) )

per r = a, dove comincia il cladding, l’indice di rifrazione vale

!

ncladding = n01"# $ n

01"1

2#

%

& '

(

) *

e quindi

!

ncore2 " ncladding

2( ) = ncore " ncladding( ) ncore + ncladding( ) # n0" n

0+ n

0

1

2$

%

& '

(

) * 2n0 = n

0

2 $

dove, in considerazione del fatto che si sta lavorando in approssimazione di guida debole , si è supposto che l’indice di core coincida con il valore massimo, cioè n0 e questo coincida con il valore di indice di rifrazione medio. Da questa espressione ricavo V come

!

V = k0a ncore

2" ncladding

2= k

0n0a #


Una volta identificata una fibra ottica, e quindi i suoi parametri a e salto d’indice Δ, il parametro V rimane solo funzione della pulsazione ω: esso può quindi sostituire ω nei diagrammi di dispersione “personalizzati” della fibra ottica in esame: per questo motivo esso è conosciuto anche come frequenza normalizzata ed il diagramma di dispersione β−ω diventa spesso neff -V oppure β-V (vedi figura).


Nel diagramma di dispersione classico, si osserva che, fissata una certa struttura geometrica di fibra ottica l’unica variabile indipendente che ha il progettista per intervenire sulla propagazione guidata è la pulsazione della luce ω ovvero la sua frequenza ν o lunghezza d’onda λ: imponendo sul diagramma di dispersione la pulsazione, la fibra ottica mi restituisce il valore di β (o i valori di β se sono in propagazione multimodale) appropriato per permettere la propagazione di un modo ovvero della autosoluzione che mi garantisce la simmetria di traslazione nella struttura in esame. β gioca quindi il ruolo di autovalore del modo eccitato. Abbiamo in questo modo conferma della descrizione fenomenologica svolta al Paragrafo 1, dove si evidenziava il fatto che il modo era luce che si auto-organizzava indipendentemente dalle modalità di ingresso che possono solo variare l’efficienza dell’eccitazione modale ma non il valore del β. Se nel diagramma di dispersione aumentiamo la frequenza della luce, ovvero compiamo una escursione nella ordinata ω, attiviamo via via la nascita di nuove autosoluzioni di propagazione, ovvero di modi. Vi saranno quindi delle pulsazioni al di sopra delle quali inizierà la propagazione del modo in esame: chiamiamo questi valori pulsazioni di cut-off ωcut-off alle quali sono associate le frequenze νcut-off e per quanto definito precedentemente il valore Vcut-off di cut-off. In particolare, al cut-off del modo in esame, siccome il parametro γ tende a zero, V vale

!

Vcut"off #$a


questa relazione è molto importante perché come abbiamo visto κa entra ad argomento delle funzioni che descrivono i modi nella zona di core: direttamente nelle funzioni di Bessel ed indirettamente (come vedremo meglio nel seguito) nelle funzioni di Laguerre e di Kummer) . Studiando queste funzioni sarà quindi possibile avere una indicazione delle frequenze (ν) o frequenze normalizzate (V) alle quali i vari modo si accendono (studio della equazione caratteristica). Sempre rimanendo nel diagramma di dispersione, se continuiamo ad aumentare la frequenza della luce spingiamo le curve caratteristiche dei modi a tendere asintoticamente verso la retta c/ncore: siamo in piena propagazione. In queste condizioni, siccome il parametro κ tende a zero, V vale

!

Vfull" prop # $a ancora una volta siccome il parametro γa entra ad argomento delle funzioni di Bessel di tipo K (od in alcune trattazioni di tipo H) che descrivono i modi nella zona di cladding, studiando le radici di queste funzioni abbiamo una indicazione delle frequenze che è necessario raggiungere per garantire un pieno regime di propagazione della luce in fibra ottica.


Abbiamo visto nelle figure di dispersione precedenti come l’insieme dei punti che, imposta una certa pulsazione ω identifica un corrispettivo vettore β, descriva una curva caratteristica. Appare quindi naturale esprimere la funzione β(ω) secondo uno sviluppo in serie attorno alla frequenza imposta

!

" = "0

+d"

d#$# +

d2"

d# 2$# 2

+ ...

dove i termini dello sviluppo , frequentemente utilizzati nella teoria della propagazione assumono un nome particolare:

!

d"

d#

$

% &

'

( ) "0

= vg = velocità di gruppo

che rappresenta la velocità con cui l’informazione (e quindi l’energia) si trasmette e

!

d2"

d# 2

$

% &

'

( ) #0

= "2

= parametro di dispersione

che rappresenta come varia il ritardo di propagazione specifico (cioè l’inverso della velocità di gruppo) in funzione della pulsazione ω. Quindi la complessiva espressione di β diventa:

!

" = "0

+1

vg#$ + "

2#$ 2

+ ...

Questa espressione mostra chiaramente (vedi figura) che se la curva caratteristica non è una retta (che, come vedremo, è il caso più frequente nella pratica della propagazione guidata dove la curva caratteristica oscilla fra l’asintoto o il valore di c/ncladding e l’asintoto c/ncore) e se il segnale propagante non è perfettamente monocromatico (pure questo è il caso frequente per i segnali di comunicazioni ottiche) la propagazione guidata presenterà un comportamento dispersivo cromatico in quanto il tempo specifico di propagazione delle diverse componenti spettrali del segnale sarà diverso per ogni componente. Si avrà infatti che

!

" =d#

d$=1

vg+ 2#

2%$


Accanto a questa dispersione cromatica naturale o dispersione di guida d’onda sarà pure presente la dispersione modale se la fibra ottica non lavora in regime monomodale (ed ogni modo sarà caratterizzato dalla sua specifica dispersione cromatica). Come si vedrà, la dispersione produce una penalizzazione importante al sistema di comunicazione ottica e per questo motivo è importante ricavare dallo studio della propagazione: - i valori di pulsazione (o di parametro di fibra V) a cui si accendono i vari modi; - la funzione β(ω) del modo fondamentale di propagazione nelle diverse condizioni di propagazione.


17.5 Studio della equazione caratteristica della fibra ottica a gradiente d’indice con core parabolico e presenza di cladding. Procediamo ora con la soluzione del sistema che stabilisce le condizioni di continuità cui debbono soddisfare le distribuzioni di campo di core e di cladding per formare un modo. La soluzione di questo sistema darà luogo alla equazione caratteristica che contiene la relazione di dispersione utile per capire a che frequenze si accendono i vari modi e quale comportamento propagativo hanno in funzione della frequenza. Si ha

!

R'core (a)

Rcore (a)=R'cladding (a)

Rcladding (a)

Ricordiamo innanzitutto l’espressione del campo di core a partire dalla Funzione di Kummer come riportato ai paragrafi precedenti in cui è stato posto l’argomento x uguale a quello delle funzioni di Laguerre corrispondenti e quindi

!

Rlp r( ) = e"1

2

r

r0

#

$ %

&

' (

2

)r

r0

#

$ %

&

' (

l

) M "p,l +1,r

r0

#

$ %

&

' (

2*

+ , ,

-

. / /

sappiamo che ora p non è più solo un intero ma è un numero reale qualsiasi. Per convenienza conviene esprimere p in funzione di un parametro b ricavato dalla relazione di dispersione, porre cioè

!

b = 2 2p + l +1( ) = r0

2" 2 da cui

!

"p = "b

4+l +1

2

#

$ %

&

' (

e quindi

!

R r( ) = Ccore

" e#1

2

r

r0

$

% &

'

( )

2

"r

r0

$

% &

'

( )

l

" M #b

4+l +1

2, l +1,

r

r0

$

% &

'

( )

2$

%

& &

'

(

) )

dove Ccore è una opportuna costante di normalizzazione.


Da cui eseguendo le derivate della funzione R(r) e valutando la funzione alla coordinata radiale a (interfaccia fra la zona di core e di cladding) otteniamo

!

R'core

Rcore

=l

a"a

r0

2+2a

r0

2

"b

4+l +1

2

l +1#

M "b

4+l + 3

2, l + 2,

a

r0

$

% &

'

( )

2$

%

& &

'

(

) )

M "b

4+l +1

2, l +1,

a

r0

$

% &

'

( )

2$

%

& &

'

(

) )

Passiamo ora a valutare l’espressione di campo di cladding utilizzando i risultati del paragrafo 1.3. Consideriamo in particolare la soluzione espressa mediante la funzione di Hankel modificata o funzione Bessel K. (che , ricordiamo, prevede argomenti immaginari) Si ha:

!

R r( ) = Ccladding "Kl #r( ) in quanto l’argomento equivalente a κa nella zona di cladding è – per le proprietà di chisura del triangolo pitagorico che relaziona i vettori d’onda della fibra ottica - il γa (che sappiamo essere immaginario per permettere di ottenere delle soluzioni di campo evanescente) ed applicando le proprietà di derivata delle funzioni di Bessel [Arfken ‘01] ottengo

!

R'cladding r( )Rcladding r( )

= "#K 'l #r( )Kl #r( )

= "#Kl"1 #r( )Kl #r( )

"l

r

che valuto alla coordinata radiale a

!

R'cladding r( )Rcladding r( )

= "#Kl"1 #a( )Kl #a( )

"l

a

Siamo ora pronti per ottenere l’equazione caratteristica della propagazione con core a gradiente d’indice parabolico e presenza di cladding. Essa si ottiene a partire dalle equazioni di continuità riportare al paragrafo 17.3 e dalle quali ottengo

!

R'core (a)


Rcladding (a)


e sostituendo le espressioni precedentemente ricavate

!

l

a"a

r0

2+2a

r0

2

"b

4+l +1

2

l +1#

M "b

4+l + 3

2, l + 2,

a

r0

$

% &

'

( )

2$

%

& &

'

(

) )

M "b

4+l +1

2, l +1,

a

r0

$

% &

'

( )

2$

%

& &

'

(

) )

= "*K

l"1 *a( )K

l*a( )

"l

a

Lo studio di questa equazione è complesso (e si può fare compiutemente solo per via numerica) e conviene affrontarlo in situazioni limite, come quella ad esempio di cut-off. Al cut-off il parametro di fibra ottica V verrà posto pari a Vc. E’ d’altra parte:

!

a

r0

"

# $

%

& '

2

=a2

a

k0n0(

= ak0n0( =V

che possiamo quindi sostituire ad argomento della funzione di Kummer nella espressione precedente in quanto stiamo considerando il caso r=a. E’ ancora

!

b = 2 2p + l +1( ) = r0

2" 2 e siccome al cut-off abbiamo visto al paragrafo precedente che possiamo ragionevolmente porre

!

V "#a risulta:

!

bc

= r0

2" 2 = r0

2 Vc

2

a2

=Vc

L’equazione caratteristica si può semplificare ulteriormente in considerazione del fatto che, sempre al cut-off il parametro γa tende a zero. Si può d’altra parte dimostrare [Arfken ‘01] che

!

lim" #0

"aK

l$1 "a( )K

l"a( )

= 0

per cui, portando a zero l’espressione a destra dell’uguale, ottengo che


!

M "Vc

4+l + 3

2, l + 2,V

c

#

$ %

&

' (

M "Vc

4+l +1

2, l +1,V

c

#

$ %

&

' (

) "Vc

4+l +1

2

#

$ %

&

' ( +

l

Vc

"1

2

#

$ %

&

' ( l +1( ) = 0

Le radici di questa equazione nella sola funzione di Kummer individua i valori di cut-off del parametro di fibra ottica per i modi di etichetta l,p’ dove il parametro non-intero p’ (diverso dal parametro p che veniva “imposto” dalla soluzione modale cercata) è definito dalla relazione

!

p'=b

4"l +1

2

#

$ %

&

' ( =

Vc

4"l +1

2

#

$ %

&

' (

da cui l’espressione per il parametro Vc al cut-off nella finite core fc sarà:

!

Vc fca = 2 2p'+l +1( ) e quindi l’equazione caratteristica assume la forma semplificata

!

M 1" p', l + 2,Vc( )M "p', l +1,Vc( )

# "p'( ) +l

Vc

"1

2

$

% &

'

( ) l +1( ) = 0

Vediamo per confronto quale sarebbe stata l’equazione caratteristica della fibra a gradiente d’indice senza cladding. In quel caso (vedi paragrafo 2) si era fatta la sola posizione

!

k0

2n0

2 "# 2 = 2$k

0n0

a(2p +1+ l)

per cui, sapendo che al cut-off

!

" 2 = k0

2n0

2 #$ 2 avremmo ottenuto

!

" 2 = 2#k

0n0

a(2p +1+ l)

ovvero

!

Vc

2= a

2" 2 = 2a #k0n0(2p +1+ l)

da cui l’espressione per il parametro Vc al cut-off nella infinite core approximation ica sarà:

!

Vc ico = 2 2p + l +1( )


Come si osserva le due equazioni sembrano le stesse: la differenza sostanziale risiede nel fatto che nella espressione di Vc nel caso fc il parametro p non è intero ma differisce dal parametro p ica di una quantità Δp che (Hashimoto 77) sintetizza tutto l’effetto dell’aggiunta del cladding:

!

p'= p + "p in effetti se si valuta numericamente l’espressione caratteristica per le fibre fc si osserva che i valori di Vc sono molto simili a quelli della fibra ica tranne che per i primi modi, dove le due diverse approssimazioni divergono sostanzialmente. Per valori di Vc oltre il 20 l’errore commesso nella valutazione del cut-off nelle due approssimazioni è inferiore a qualche percento [Lukowski 77].


17.6 Propagazione in fibra ottica a salto d’indice nella approssimazione di core costante e presenza di cladding. La soluzione al problema della propagazione in fibra ottica vista ai paragrafi precedenti in cui è stata utilizzata per descrivere il profilo d’indice di rifrazione la funzione

!

n0

21"#

r

a

$

% & '

( )

2$

% & &

'

( ) ) per 0 * r * a

n2(r) =

n0

21"#( ) per r > a

descrive sostanzialmente tutte le fibre ottiche utilizzate nelle telecomunicazioni in quanto il profilo va da una fibra a profilo triangolare sino alla fibra a profilo quadrato ovvero di tipo “step”. Siccome quest’ultimo tipo di fibre è stato per lungo tempo il tipo di fibra più utilizzato (grazie alla sua semplicità realizzativa) si è accumulata una notevole letteratura attorno alla soluzione di questo specifico profilo d’indice. Nella realtà, le fibre oggi utilizzate dopo lo sviluppo dei sistemi amplificati e WDM, in cui occorre porre una particolare attenzione non solo al parametro attenuativo ma anche ai parametri dispersivo e non-lineare, anche se di tipo nominalmente “step” hanno profili che si discostano sensibilmente dallo step teorico e quindi sono meglio interpretabili a livello teorico dalla teoria svolta ai paragrafi precedenti. Inoltre, come è stato già affermato nei paragrafi precedenti, le fibre di tipo teoricamente step pongono un problema nell’applicare la approssimazione che ha portato all’impiego della equazione delle onde in


forma ridotta, in quanto se il salto d’indice fosse troppo brusco (se avvenisse cioè in una frazione di lunghezza d’onda) non si potrebbe applicare l’approssimazione utilizzata al Capitolo 1

!

"1#"

2

x1# x

2

1

"

$

% &

'

( ) <<

2*

+

$

% &

'

( ) n

2

Fatte queste precisazioni, è indubbio che la soluzione step sia molto attraente da un punto di vista teorico perché, come vedremo, offre una semplice soluzione in forma chiusa al problema della propagazione in fibra ottica che offre una equazione caratteristica molto semplice. Se infatti la fibra ha un core con un indice costante ed è circondata da un cladding esteso con un indice pure costante (e ovviamente minore del primo), il problema della propagazione è semplicemente riportato al problema di cercare una soluzione in uno spazio cilindrico omogeneo, problema che avevamo già affrontato al capitolo 1. Saremo cioè in presenza di una soluzione del tipo

!

" = Bessel function r( ) # e+ il$ # e%i&z In questa espressione, tutte le considerazioni svolte ai paragrafi precedenti per la funzione di θ e z, rimangono invariate. Per quello che riguarda la funzione R(r) essa sarà una autofunzione “raccordata” fra due diverse autofunzioni R che debbono risolvere separatamente le due Bessel differential equation del tipo

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2ncore

2 #$ 2 #l2

r2

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0 R r( ) = 0 nella zona di core

!

" 2

"r2+1

r

"

"r+ k

0

2ncladding2 #$ 2 #

l2

r2

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0 R r( ) = 0 nella zona di cladding

Anche in questo caso la unicità e continuità della soluzione è tradotta dalle espressioni

!

"core = "cladding = "

lcore = lcladding = l

e


!

Rcore (a) = Rcladding (a)

R'core (a) = R'cladding (a)

Conosciamo già le soluzioni delle equazioni precedenti in quanto sono state valutate nel caso di propagazione libera in uno spazio cilindrico: sono entrambe delle Bessel function, che per ragioni di tipo fisico ( già spiegato al primo Capitolo) saranno del primo tipo, cioè Jl ,per il core e di tipo Hankel modificato o Kl per il cladding. In questa approssimazione, la soluzione matematica è facilitata perché entrambe le funzioni sono modulabili con continuità al variare dell’argomento che nel caso del core sarà

!

"r mentre nel caso del cladding sarà

!

"r. Si avrà cioè

!

R'core (a)


Rcladding (a)

da cui otteniamo immediatamente l’equazione caratteristica come

!

"aJl'("a)

Jl("a)

=#aK

l'(#a)

Kl(#a)

usiamo adesso le proprietà delle derivate delle funzioni di Bessel per riportare l’equazione caratteristica ad una espressione che contenga solo le primitive. Utilizzando le identità

!

"aJlm"aJ'

l= ±"aJ

l±1

e

#aKlm #aK '

l= ±#aK

l±1

l’equazione caratteristica assume le due forme equivalenti

!

"aJl±1("a)

Jl("a)

=±#aK

l±1(#a)

Kl(#a)

ovvero moltiplicando una forma per l’altra

!

"a2Jl#1("a)Jl+1("a)

Jl

2("a)

=#$a2K

l#1($a)Kl+1($a)

Kl

2($a)

(le soluzioni di questa equazione valgono sia per l positivo che per l negativo in quanto il parametro azimutale entra solo nella forma quadratica nella Bessel differential equation).


Ancora una volta può essere interessante studiare questa equazione caratteristica per vedere il comportamento al cut-off. Applicando il limite visto al paragrafo precedente per la funzione Bessel K

!

lim" #0

"aK

l$1 "a( )K

l"a( )

= 0

si ottiene che il membro a destra dell’equazione caratteristica tende a zero per cui

!

"a2Jl#1("a)Jl+1("a)

Jl2("a)

$ 0 al cut # off

l’equazione caratteristica valutata al cut-off sarà quindi del tipo

!

Jl"1 #a( ) = 0 per #a $ 0 e per l = 0,1,2,... per tutti i valori di l con la riserva che la soluzione

!

"a = 0 è accettabile solo per l = 0. Questa equazione è chiamata anche equazione agli autovalori dei modi LP. Come si vede, le approssimazioni condotte al cut-off permettono di semplificare notevolmente l’equazione caratteristica nel caso delle fibre step-index e di ottenere una semplice equazione agli autovalori (così viene anche chiamata l’espressione precedente ricordando che il valore di k è un “autovalore” della Bessel Differential Equation).

17. La propagazione nello spazio fibra- ottica -...

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