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Capitolo 4Capitolo 4

La variabilità di una distribuzioneIntervalli di variabilitàBox-plotIndici basati sullo scostamento dalla mediaConfronti di variabilità Standardizzazione

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La variabilitàLa variabilità

La variabilità di una distribuzione esprime la tendenza delle unità di un collettivo ad assumere diverse modalità della variabile

Un indice di variabilità deve soddisfare almeno due requisiti:

deve assumere il valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale modalitàdella variabileDeve aumentare all’aumentare della “diversità” tra le modalità assunte dalle varie unità.

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Osservazione

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Osservazione

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Intervalli di variabilitàIntervalli di variabilità

Il campo di variazioneDati n valori e ordinati in senso crescente,

si considera la differenza tra il più grande e il più piccolo valore:

nxxx ≤≤≤ L21

1xxR n −=

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La differenza interquartilica

Dati n valori consideriamo la differenza tra il terzo e il primo quartile:

13 QQW −=

Oss: rappresenta il campo di variazione per il 50% delle unità più vicine alla mediana.

Intervalli di variabilitàIntervalli di variabilità

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Box-plotBox-plot

Un modo per rappresentare graficamente la variabilità di una distribuzione è dato dal box-plot.

Il box-plot è un grafico caratterizzato da tre elementi:una linea o punto, che indicano la posizione

della media della distribuzione;Un rettangolo (box) la cui altezza indica la variabilità dei valori “prossimi” alla media;Due segmenti che partono dal rettangolo e i cui estremi sono determinati in base ai valori estremi della distribuzione.

Ad esempio, come media si può prendere la mediana, come altezza del box la distanza interquartile e come estremi dei segmenti il valore minimo e massimo osservati.

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Max = 10Min = 1Q3=5Q1=3Valore mediano:Me=40

2

4

6

8

10

12125101222453083frequenza

10987654321N° atti aggressivi

Box-plot: esempioBox-plot: esempio

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Esempio

RangeRange

interquartile

Medianahttp://www.istat.it/servizi/studenti/valoredati/Cap4/Cap4_5_2.htm

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http://www.istat.it/servizi/studenti/valoredati/Cap4/Cap4_5_2.htm

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La varianzaLa varianzaUn indice basato sugli scostamenti dalla media aritmetica è la varianza.

La varianza di valori di una variabile con media aritmetica è:

n nx,...,x,x 21 X x

( )∑=

−=n

ii xx

n 1

22 1σ

Il numeratore è detto devianza: ( )∑=

−n

ii xx

1

2

Calcolo semplificato della varianza

( )∑=

−=n

ii xx

n 1

222 1σ

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( )∑=

−=n

ii xx

n 1

22 1σ

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La deviazione standardLa deviazione standard

Osservazione: la varianza non possiede la stessa unità di misura dei valori della distribuzione (èespressa nel quadrato dell’unità di misura della variabile).Si può utilizzare quindi come indice di variabilità la deviazione standard o scarto quadratico medioche è espresso nella stessa unità di misura della variabile:

2σσ =

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EsempioEsempio

Numero di imprese (migliaia) nel 1991 in cinque regioni italiane: 268, 106, 76, 238, 88

2155,x =

( )

766557

215551 5

1

22

,

,xi

i

=

=−= ∑=

σ

9880766557 ,, ==σ

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Altri indici di variabilitàAltri indici di variabilità

Lo scostamento semplice medio dalla media aritmetica:

Lo scostamento semplice medio dalla mediana:

∑=

−=n

iix xx

nS

1

1

∑=

−=n

ieiM Mx

nS

e1

1

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100/3=33

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Il coefficiente di variazioneIl coefficiente di variazione

Osservazione: la varianza e la deviazione standard sono indici che risentono dell’unità di misura e dell’ordine di grandezza dei dati. Pertanto il confronto della variabilità tra due distribuzioni risulta compromesso per:

Per confrontare la variabilità di due distribuzioni per la variabile con può essere utilizzato il coefficiente di variazione:

0>x

100x

CVσ

=

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Un esempio di confronto della variabilitàUn esempio di confronto della variabilità

9 industrie con dispositivo anti-inquinante di tipo A e 9 di tipo B.

254022283023436235B

667786545452448069AQuantità di pulviscoloTipo

6764,xA =2234,xB =

6513,A =σ0212,B =σ

%CVA 21=%CVB 35=

Si può concludere che è la distribuzione B ad essere più variabile della distribuzione A.

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La standardizzazioneLa standardizzazione

La standardizzazione è una particolare trasformazione lineare che applicata ai dati originali riconduce qualsiasi variabile con media e deviazione standard a una nuova variabile con media nulla e varianza unitaria.Ogni osservazione viene trasformata in un nuovo valore:

Xx σ

σxx

y ii

−=

ix

La distribuzione risultante ha media nulla e varianza unitaria.