13.1.9 Il calcolo dei portali iperstatici ESERCIZI SVOLTI · 3. Calcolo delle sollecitazioni di...

113 Le strutture a telaio 13.1 I canali statici delle forze

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Studiare il portale simmetrico e simmetricamente caricato riportato in figura a, incernierato alla base dei piedritti, gra-vato sulla traversa di un carico uniformemente ripartito q = 9 kN/m e di un carico concentrato P = 20 kN applicato inmezzeria del traverso.

1

Il portale è una volta iperstatico come risulta dalla relazione:

3 ⋅ i + 2 ⋅ c + 1 ⋅ a > 3 ⋅ n

3 × 0 + 2 × 2 + 1 × 0 > 3 ⋅ n

4 > 3 g = 4 − 3 = 1

Indicando con I1 e I2 i momenti d’inerzia rispettivamente del traverso e dei piedritti, si assume un rapporto:

da cui: I1 = 3 ⋅ I2

Essendo il portale doppiamente simmetrico per geometria e carico, può essere calcolato con l’equazione dei tre momenti appli-cata alla trave continua su quattro appoggi in A, B, C, D di figura b.

1. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nei nodi B e C [fig. a e fig. c]

Per lo schema strutturale si ha:MA = MD = 0

inoltre, considerando la simmetria strutturale e di carico risulta MB = MC, per cui è sufficiente scrivere una volta l’equazione deitre momenti:

2 ⋅ MB ⋅ hI2

+ l3 ⋅ I2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ MB ⋅ l3 ⋅ I2

= − 6 ⋅ B*1I2

+ B*23 ⋅ I2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 ⋅ MB ⋅ hI2

+ lI1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ MB ⋅ lI1

= − 6 ⋅ B*1I2

+ B*2I1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

I1

I2

= 3

13.1.9 Il calcolo dei portali iperstatici

ESERCIZ I SVOLT IESERCIZ I SVOLT I

a


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0Essendo la campata AB scarica risulta B*1 = 0, mentre:

Sostituendo si ottiene:

Moltiplicando ambo i membri per I2 e risolvendo si ha:

MB = MC = − 98,00 kN m

2 ⋅ MB ⋅ 6,00I2

+ 14,003 ⋅ I2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ MB ⋅14,003 ⋅ I2

= − 6 × 12743 ⋅ I2

B*2 = 116

⋅ P ⋅ l2 + q ⋅ l3

24= 1

16× 20,00 ×14,002 + 9,00 ×14,003

24= 1274 kN m2


c

b

d

2. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio [fig. a e fig. b]

Piedritto AB

MB = MA + VdA ⋅ h

VsB = Vd

A = − 16,33 kN

Traversa BC

VdE = Vs

E − P = 10,00 − 20,00 = − 10,00 kN

Piedritto CD

Per la doppia simmetria si ha:

VsC = − 73,00 kN

VdC = + 16,33 kN

VsD = + 16,33 kN

Per la simmetria lo sforzo di taglio si annulla nella sezione di mezzeria della traversa.

3. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente lungo i piedritti e la traversa [fig. a e fig. c]

Piedritti

Non sono caricati perpendicolarmente al loro asse, per cui il momento flettente varia linearmente con un valore nullo in corri-spondenza delle cerniere A e D e un valore massimo in B e C uguale a quello che si verifica negli stessi punti, pensati come ap-partenenti alla traversa.

Traversa

Il momento flettente massimo positivo si verifica nella sezione di mezzeria e vale:

Il momento flettente si annulla in due sezioni della traversa, simmetriche rispetto alle estremità B e C, che vengono così indivi-duate:

e risolvendo si ottiene:

y1 ≈ 1,48 m y2 ≈ 14,74 m (scartata)

4,50 ⋅ y 2 − 73,00 ⋅ y + 98,00 = 0

− 98,00 + 73,00 ⋅ y − 9,00 ⋅ y 2

2= 0

MY = MB + VBd ⋅ y − q ⋅y 2

2= 0

= − 98,00 + 73,00 × 7,00 − 9,00 × 7,00 × 3,50 = 192,50 kN mM l2

= MB + VBd ⋅ l

2− q ⋅ l

2⋅ l

4

VEs = VB

d − q ⋅ l2

= 73,00 − 9 ×14,002

=10,00 kN

VBd = MC − MB

l+ q ⋅ l

2+ P

2= − 98,00 + 98,00

14,00+ 9 ×14,00

2+ 20

2= 73,00 kN

MC = MB + VBd ⋅ l − q ⋅ l 2

2− P⋅ l

2

VAd = MB − MA

h= − 98,00

6,00≈ − 16,33 kN


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4. Calcolo delle componenti delle reazioni vincolari

S Px = 0HA + HD = 0

ossia:

HA = − HD

HA = − VdA = − (− 16,33) = 16,33 kN

HD = − 16,33 kN

S Py = 0RA + RD − q ⋅ l − P = 0RA + RD = 9,00 × 14,00 + 20,00 = 146,00 kN

e per la simmetria:

che risulta ovviamente uguale al taglio all’estremo della traversa.

5. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo normale [fig. a e fig. d]

Piedritti

NA = NB = ND = NC = − 73,00 kN

Traversa

NB = NC = − HA = − 16,33 kN

RA = RD = 146,002

= 73,00 kN

0Il portale è staticamente indeterminato in quanto:

3 ⋅ i + 2 ⋅ c + 1 ⋅ a > 3 ⋅ n

3 × 2 + 2 × 0 + 1 × 0 > 3 × 1

6 > 3 g = 6 − 3 = 3

e quindi è tre volte iperstatico.

Considerando i vincoli di estremità, il portale è impossibilitatoa spostarsi orizzontalmente, per cui può essere calcolato ap-

plicando l’equazione dei tre momenti, pur non essendo lastruttura simmetricamente caricata.Il portale può essere quindi assimilato a una trave continuacon due campate ed estremi incastrati [fig. b].In base a un calcolo di larga massima e pensando di realizzareil portale in cemento armato, le sezioni sono così risultate:■ traverso: 40 × 80 cm2

■ piedritti: 40 × 60 cm2


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Studiare il regime statico del portale zoppo di figura a incastrato alle estremità e gravato dei carichi ripartiti q1 = 12 kN/mnormale al traverso e q2 = 3 kN/m perpendicolare al piedritto.

2

b

a

b


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per cui i relativi momenti d’inerzia, prescindendo dall’arma-tura metallica, hanno i seguenti valori:■ traverso:

■ piedritti:

I2 = 112

⋅ b ⋅ h3 = 112

× 0,40 × 0,603 ≈ 0,0072 m4

I1 = 112

⋅ b ⋅ h3 = 112

× 0,40 × 0,803 ≈ 0,01707 m4

1. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nei nodiA, B, C [fig. a e fig. d]

2 ⋅ M A ⋅ hI2

+ MB ⋅ hI2

= − 6 ⋅ A*2I2

M A ⋅ hI2

+ 2 ⋅ MB ⋅ hI2

+ lI1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ MC ⋅ lI1

= − 6 ⋅ B*1I2

+ B*2I1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

MB ⋅ lI1

+ 2 ⋅ MC ⋅ lI1

= − 6 ⋅ C*1I1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

c

e

d

Le reazioni fittizie valgono:

e inoltre:

Sostituendo i valori ottenuti si ha:

Risolvendo il sistema si ottiene:

MC ≈ − 318,01 kN mMB ≈ − 131,98 kN mMA ≈ + 47,61 kN m

2. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio [fig. a e fig. c]

Piedritto AB

Traversa BC

Lo sforzo di taglio si annulla nella sezione X a distanza x dal nodo B:

x = VBd

q2

= 84,3712,00

≈ 7,03 m

VX = VBd − q2 ⋅ x = 0

VCs = VB

d − q1 ⋅ l = 84,37 − 12,00 × 16,00 = −107,63 kN

VBd = MC − MB

l+ q1 ⋅ l

2= − 318,01+131,98

16,00+ 12,00 ×16,00

2= 84,37 kN

MC = MB + VBd ⋅ l − q1 ⋅ l 2

2

VBs = VA

d − q 2 ⋅h = − 15,16 − 3,00 × 7,00 = − 36,16 kN

VAd = MB − MA

h+ q2 ⋅h

2= − 131,98 − 47,61

7,00+ 3,00 × 7,00

2= − 15,16 kN

MB = MA + VAd ⋅ h − q2 ⋅ h2

2

2 ⋅MA ⋅972,22 + MB ⋅972,22 = − 6 × 5 954,86

MA ⋅972,22 + 2 ⋅ MB ⋅ (972,22 + 937,32) + MC ⋅937,32 = − 6 ×MB ⋅937,32 + 2 ⋅M C ⋅937,32 = − 6 ×119 976,57

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ (5954,86 +119 976,57)

lI1

= 16,000,01707

≈ 937,32/m3

hI2

= 7,000,0072

≈ 972,22/m3

B*2I1

= C*1I1

=

q1 ⋅ l 3

240,01707

=

12,00 ×16,003

240,01707

≈ 119 976,57 kN/m2

A*2I2

= B*1I2

=

q2 ⋅ h3

240,0072

=

3,00 × 7,003

240,0072

≈ 5954,86 kN/m2


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3. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nel piedritto e nella traversa [fig. a e fig. d]

Piedritto

Viene calcolato in varie sezioni per altezze corrispondenti a

Traversa

Il momento flettente si annulla nelle due sezioni Y1 e Y2 che vengono così determinate:

e risolvendo risulta:y1 ≈ 1,79 m y2 ≈ 12,27 m

4. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo normale [figg. a, e]

PiedrittiNA = NB = − Vd

B = − 84,37 kN

TraversaNB = NC = Vs

B = − 36,16 kN

5. Calcolo delle componenti delle reazioni vincolari

S Px = 0HA + HC + q 2 ⋅ h = 0HA + HC + 3,00 × 7,00 = 0HA + HC = − 21,00 kNHA = − Vd

A = − (− 15,16) = + 15,16 kNHC = Vs

B = − 36,16 kN

Verifica

15,16 − 36,16 = − 21,00 kN

S Py = 0RA + RC − q 1 ⋅ l = 0RA + RC = 12,00 × 16,00 = 192,00 kNRA = Vd

B = 84,37 kNRB = − Vs

C = − (− 107,63) = + 107,63 kN

Verifica

84,37 + 107,63 = 192,00 kN

6,00 ⋅ y 2 − 84,37 ⋅ y +131,98 = 0

− 131,98 + 84,37 ⋅ y −12,00 ⋅ y 2

2= 0

MY = MB + VBd ⋅ y − q1 ⋅ y 2

2= 0

= + 164,61 kN mM X = MB + VBd ⋅x − q1 ⋅ x 2

2= −131,98+ 84,37× 7,03−12,00 × 7,032

2=

47,61−15,16 × 5,25 − 3,00 × 5,25 × 2,63 = − 73,40 kN mM32

h= MA + VA

d ⋅ 34

⋅ h − q2 ⋅ 34

⋅h ⋅ 12

⋅ 34

⋅h =

− 23,83 kN mMh2

= MA + VAd ⋅ h

2− q2 ⋅ h

2⋅ h

4= 47,61−15,16 × 3,50 − 3,00 × 3,50 ×1,75 =

+ 16,49 kN mM h4

= MA + VAd ⋅ h

4− q2 ⋅ h

4⋅ h

8= 47,61−15,16 ×1,75 − 3,00 ×1,75 × 0,875 =

14

⋅ h,12

⋅ h,34

⋅ h:


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