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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II  

Dicembre 2008

Superfici materiali e non materiali in Fisica

A. Romanoantroman@unina.it

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Superficie materiale

La superficie S tra due mezzi contigui è materiale se le particelle dei due mezzi non possono attraversarla

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Esempi

• La superficie di separazione tra due dielettrici• La superficie tra olio ed acqua• Una lamina di sapone (bolla)

Una superficie materiale può essere geometricao costituita da materia e possedere proprietà meccaniche.

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Superficie non materiale

La superficie S di separazione tra due mezzi è nonmateriale se essa può essere attraversata dalle particelle dei due mezzi.

Le particelle dei due mezzi, contigue ad una superficie non materiale S, cambiano ad ogni

istante.

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Esempi di superfici non materiali

• Interfaccia solido-liquido• Interfaccia liquido-vapore• Interfaccia tra un cristallo e la miscela• Colata continua• Pareti di Bloch nei cristalli ferromagnetici e ferroelettrici• Onde ordinarie e d’urto

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Due possibili trattazioni delle superfici materiali e non materiali

• La superficie è sostituita da un sottile strato di transizione (strato limite)• La superficie è una superficie di discontinuità dotata di proprietà materiali

Primo approccio

0)1(,1)0(

0)()(')(''

yy

xyxyxy

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Se y(ε, x) è la soluzione del problema al contornoal variare di ε, accade che

)(),(lim 00

xyxy

dove y0(x) è la soluzione dell’equazione che si ottieneper ε = 0?

Quando il piccolo parametro moltiplica le derivate di ordine massimo il termine che lo contiene non può trascurarsi.

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La soluzione della precedente equazione ha l’andamento mostrato in figura

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1

δ

dove δ diminuisce al diminuire di ε (strato limite).

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Se si vuole riguardare la superficie di separazione tra due regioni contigue come un sottile strato, occorre che le equazioni che descrivono il sistema presentino le derivate di ordine massimo moltiplicateper un piccolo parametro.

Es. Equazione dei liquidi viscosi di Navier-Stokes

dove è il numero di Reynolds.

,1

vv R

p

1

ULR

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Goccia d’acqua in equilibrio in aria

Equazione di Eulero (in assenza di spinta archimedea e del peso)

Poiché p = p (ρ), la densità è costante è non vi può essere la goccia. Assumendo che

con α<<1, si ottiene lo strato limite e quindi la goccia.

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Secondo approccio

Si supponga che la superficie della goccia sia una superficie materiale in grado di esercitare una tensionetangenziale γ isotropa ed uniforme (proprietà meccaniche).La condizione di equilibrio diventa

),(2

intppR ext

dove il raggio R è incognito. Per una forma non sferica si ha

)( intppH ext

con H curvatura media (problma di Plateau).

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Si osservi che nel caso delle bolle di sapone la pressioneè nota sia all’interno che all’esterno della bolla ed R è la sola incognita del problema. Per una goccia d’acqua di condensazione la pressione interna è incognita ed occorre aggiungere una condizione termodinamica per ottenere il pareggiamento, ossia la continuità del potenziale di Gibbs attraverso S.

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Congelamento dell’acquaProblema unidimensionale

Energia per unità di volume: e = c θ;Vettore corrente di calore: h = Bilancio di energia

ddVcdt

d

V V

nh

dove V è un arbitrario volume fisso.

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• L’interfaccia è uno strato limite di transizione per il campo di temperatura

h k α, k>0, α<<1.

c

Condizioni al contorno.

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Il problema di Stephan

L’interfaccia è una superficie di discontinuità. Inoltre• h = k ;• e = c θ;

kc

n

kse

nel volume

sull’interfaccia

Condizioni al contorno: temperature agli estremi etemperatura di fusione θ = 0 sull’interfaccia.

Incognite: il campo di temperatura θ(x,t) e lo spessore di ghiaccio s(t).

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Formulazione generale

I sistemi con strato limite possono descriversi sostituendo lo strato limite con una superficie materiale o non materiale eventualmente dotata di proprietà meccaniche e termodinamiche.L’impiego di questo modello richiede la formulazionedelle leggi generali di bilancio per un sistema continuo con interfaccia.

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La legge generale di bilancio

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La legge generale di bilancio

Una legge generale di bilancio per il campo ψ trasportato con velocità v si scrive

c t

ddt

ddc

dt

d

)( Ψψ

dove c(t) è un volume fisso e

dsdc

tvΨΦnvΨΦ

)()(

)()()( tStct

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Difficoltà

•Calcolare la derivata temporale dell’integrale di superficie: (determinare esplicitamente σ(t) in termini della forma del volume c, della velocità normale dell’interfaccia e dello spostamento della curva di discontinuità Γ);• determinare l’equazione del bordo ∂σ(t) di σ(t);• assegnare ψσ e Φσ a partire dal problema fisico in esame.

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Cristalli

Equilibrio di un cristallo macroscopico nel suo liquido nel suo vapore in una miscela binaria contenente la fase liquida del cristallo.

La legge di GibbsLa legge di Wulff

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La legge di Gibbs

Fissato il poliedro cristallino regolare convesso rispettoad un suo punto interno, con N facce, la configurazione di equilibrio corrisponde al minimo dell’energia superficiale

i

N

ii

E

1

a volume costante

V

dV

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Cristalli La legge di Gibbs

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Minimizzando il funzionale si trovano infiniteconfigurazioni di equilibrio. Tra queste figurano quelle per cui

, ih

Ei

dove λ è una costante dipendente dal volume del cristalloe hi la distanza della faccia i-ma da un punto fisso internoal cristallo.

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Cristalli La legge di Wulff

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Ferromagnetismo

• Il volume di un cristallo ferromagnetico è l’unione di regioni

in cui la magnetizzazione è costante (domini di Weiss).• Ciascuna regione è separata da quelle contigue da sottili

strati (pareti di Bloch) in cui la magnetizzazione varia rapidamente.

Micromagnetismo: Le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferroelettrico si ottengono minimizzando l’energia totale di magnetizzazione del cristallo a volume costante.

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Esempio

In un cristallo uniassiale che occupa il volumedi un parallelepipedo retto, in assenza di campo magnetico esterno, si ha la seguentedistribuzione di domini

ll

d

l

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Micromagnetismo

Le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferroelettrico,

In assenza di campo magnetico esterno, si ottengono

minimizzando l’energia totale di magnetizzazione

dVeMV

),(0 mm

dove m è il versore di magnetizzazione. Per cristalli uniassiali

])()([2

1 23

1

220 i

iyx mmmMe