11

SeminarioSeminario

Gestire il rischio e la vulnerabilitàGestire il rischio e la vulnerabilità

Cagliari, 22/23 giugno 2005Cagliari, 22/23 giugno 2005

Sistemi Complessi, probabilità dei beta e bolla speculativa

22

MERCATI FINANZIARI, PROBABILITA’ DEI MERCATI FINANZIARI, PROBABILITA’ DEI BETA E BOLLA SPECULATIVABETA E BOLLA SPECULATIVA

L’analisi qui condotta costituisce la L’analisi qui condotta costituisce la continuazione di precedenti seminari in cui si è continuazione di precedenti seminari in cui si è discusso:discusso:

Sono emerse nuove classi di fenomeni e nuove Sono emerse nuove classi di fenomeni e nuove grandezze.grandezze.

Di particolare rilievo sembrano essere le Di particolare rilievo sembrano essere le seguenti:seguenti:

• delle connessioni tra moto browniano, delle connessioni tra moto browniano, meccanica statistica e CAPM.meccanica statistica e CAPM.

• dell’equazione di stato dei mercati finanziari;dell’equazione di stato dei mercati finanziari;

b) il volume di contenimento del rischio del b) il volume di contenimento del rischio del mercatomercato

a)a) l’energia del mercato finanziariol’energia del mercato finanziario

c) la formula di previsione del prezzoc) la formula di previsione del prezzo

33

ALCUNE DELLE RELAZIONI NOTEVOLI TROVATE

Le relazioni notevoli trovate sono in sostanza le seguenti (mercato ed aspettative omogenee):

[1]

dove indica la tolleranza al rischio per l’investitore ad aspettative omogenee.

44

indice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte;

[2]

[3]

premio per il rischio totale;

l’indice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte moltiplicato per dà il premio per il rischio totale del titolo.

[4]

55

[5]

L’indice di Sharpe nelle stesse condizioni è pari al premio per il rischio totale del titolo diviso per .

[6]

Equazione di stato con K = capitalizzazione di borsa e .

[7]

Energia del sistema dove è il volume di contenimento del rischio

66

I MOVIMENTI DEI PREZZI

I movimenti dei prezzi di singoli titoli e/o di portafogli simulano un moto browniano ed originano processi di deriva che possono utilmente essere studiati.

Ci si propone di interpretare il grado di entropia del sistema indagando la sua struttura interna e ricercando i suoi macrostati più probabili.

In questa ricerca si è deciso di prendere in considerazione il comportamento degli operatori nella logica della CML e della SML (si applica il CAPM).

La teoria tradizionale suppone una distribuzione normale dei tassi di rendimento.

77

Al fine di condurre un’analisi secondo la statistica di Boltzmann, occorre conoscere:

Ciò significa che intendono acquisire un plusvalore di mercato (VAN). Ma ciò può accadere solo in presenza di extrarendimenti rispetto ai tassi attesi coerenti con il rischio.

Si suppone che gli operatori soddisfino le proprie funzioni di utilità pretendendo dai gestori di fondi dei benchmark di rendimenti coerenti con il rischio operativo e finanziario dei titoli.

b) quali titoli sono negoziati nel mercato

a) la forma, i caratteri ed i costituenti della CML e della SML

88

L’analisi verrà condotta sul portafoglio di mercato.

Le relazioni base per tale portafoglio sono:

[6]

[7]

[8a]

[8b]

99

All’interno del portafoglio di mercato accade

dove ogni

[13]

[9]

[10]

[11]

[12]

1010

Ad esempio, un titolo che ha = 0,70 può nel portafoglio essere espresso come

È importante sottolineare che ogni titolo J che si colloca lungo la SML può essere espresso come combinazione lineare tra D e M e perciò come un portafoglio.

0,70

0,70 ∙ 1 = 0,70

con = 0 e 1 risulta

1111

In generale

con dipendente dai caratteri dell’investimento.

e cioè >1 borrowing

< 1 lending

= 1 investimento solo in M

[15]

Perciò si ha che

con = 1

= 0

[14]

1212

Immaginiamo applicato il principio del two-fund separation: in luogo di considerare investimenti in singoli titoli o portafogli, considereremo il corrispondente investimento sulla CML e sulla SML, dato il profilo di rischio prescelto Fissato il beta (profilo di rischio), si decide l’investimento sulla SML. Tutti i titoli sono equivalenti in termini di trade off rischio rendimento.

Immaginiamo l’investimento alla stregua di una combinazione lineare di D e M.

E’ come investire in un fondo comune d’investimento guardando le quote del fondo e non i titoli sottostanti.

1313

La statistica di Boltzmann potrebbe aiutare nell’interpretazione del grado di stabilità del mercato (elemento significativo per i giudizi di efficienza).

Ogni titolo diversificato interno al portafoglio di mercato è caratterizzato da una funzione di energia e partecipa al processo di contenimento del rischio.

Individuata l’energia di base del mercato studiato, si procede all’analisi della suddivisione dello stesso in livelli di energia.

Il numero dei titoli non è rilevante.Attraverso il processo di diversificazione i titoli hanno dato vita all’equazione di stato del mercato.

1414

Nella pratica di gestione del risparmio i livelli energetici possono corrispondere a benchmark elaborati dai gestori dei fondi.

Il modello si attiva attraverso la costruzione dei vari livelli di energia da parte dei gestori dei fondi con mix appropriati di titoli capaci di interpretare i desideri dei risparmiatori. Sulla base di informazioni pubbliche e private i gestori ricercano un rendimento coerente col profilo di rischio e auspicabilmente un extrarendimento.

Che cosa ignora il gestore di fondi?a) Il grado di preferenza dei risparmiatori verso i fondi con un dato beta: si sa che a ogni beta corrisponde un dato profilo di rischio, ma non si conosce la proporzione con cui i risparmiatori si indirizzeranno verso quei beta.

1515

b) come il sistema riesca nel suo insieme a percepire i possibili livelli di energia costruibili e perciò quale copertura di popolazione ciascuno di essi possa ricevere. Si tratta cioè di costruire una distribuzione dei titoli in funzione del grado di energia.

Per quanto il portafoglio di mercato esprima le proporzioni di ciascun titolo date dal rapporto tra valore di mercato del titolo e capitalizzazione di borsa può rivelarsi utile chiarire il posizionamento più probabile di quel portafoglio in termini di livelli di energia

1616

Nel caso specifico il contenitore è quello del rischio di mercato dato da .

Il raggiungimento dell’energia di sistema implica che gli operatori, con le loro negoziazioni, riempiranno dapprima i livelli di energia più bassi.

Si deve riflettere in merito ai processi di arbitraggio che dunque, saturato un livello di energia, porterebbero all’occupazione di un livello successivo.

Dal punto di vista del mercato ogni risparmiatore tenderà a scegliere coerenti con il proprio livello di rischio e con le prospettive di extrarendimento.

1717

La proiezione verso livelli energetici molto alti potrebbe costituire un elemento, talora sorprendente, del comportamento di alcuni risparmiatori, ma dovrebbe essere suffragato dall’aspettativa di ingenti rendimenti.

Mano a mano che detto processo si svolge, si attiva il meccanismo dei prezzi, prende forma e contenuto, da una parte, la capitalizzazione, dall’altra l’occupazione di strati energetici più alti.

Il fenomeno finanziario si compone, quindi, delle scelte dei soggetti più prudenti evolvendo via via verso quelle compiute da soggetti più propensi a correre dei rischi in relazione all’energia di cui i titoli nei quali si investe sono portatori.

1818

La statistica di Boltzmann, al termine del processo, deve consentire di verificare quali macrostati hanno suscitato maggiore osservazione e interesse da parte degli operatori, cosa dimostrata dalla molteplicità dei microstati che in ciascun macrostato hanno avuto manifestazione.

Si presume che i macrostati più frequentati siano i più probabili, per cui tutti i macrostati possono essere ordinati dai più probabili ai meno probabili.

1919

Dovendo chiarire la nuova informazione, essa può dirsi definita dalla conoscenza della frequenza con cui gli operatori si collocheranno negli intervalli energetici.

Mentre con il CAPM si stabilisce quali sono le classi di rischio e quale è il rendimento minimo coerente per ogni livello di rischio, ora si perviene alla conoscenza della distribuzione dei titoli entro ideali classi energetiche.

Per quanto gli operatori possano scegliere titoli compresi in un intervallo non si era in grado di identificare sulla S.M.L. i punti maggiormente popolati. Con l’applicazione della statistica in oggetto il mondo dei riceve una misura di probabilità.

2020

Il tentativo è quello di esprimere, dato il portafoglio di mercato il più probabile e più frequentato dagli investitori. Ciò si stima analizzando i livelli energetici come sopra descritto.

Sul piano operativo, data l’energia unitaria di qualunque mercato, che dallo studio macroscopico risulta pari a 3, si possono seguire i due procedimenti sotto descritti: 1. si distribuisce il solo valore 3 proporzionalmente alle

sole frazioni di investimento che compongono il mercato.

In generale:

[16]

[17]

2121

Tutti i titoli della capitalizzazione sono incasellati in comparti di energia ε la cui applicazione mette in evidenza i cluster dei titoli.

I titoli della capitalizzazione vengono così ordinati per livelli energetici che sotto molti aspetti somigliano a dei portafogli con un beta medio risultante.

Il più rilevante vantaggio dell’impostazione descritta consiste nell’aiutare il gestore a ragionare, nel costruire i portafogli in termini di livelli di energia. Dopo l’analisi egli può introdurre nel portafoglio ogni titolo che è utile ai fini del raggruppamento dei prescelti livelli di energia. Non si dimentichi che tutti i titoli della SML pur essendo distinguibili sono tutti equivalenti in termini di trade off rischio/rendimento.

2222

Un gestore potrebbe in questo modo organizzare un fondo.

Nel medesimo macrostato passando a un livello successivo di energia, si individua un altro cluster caratterizzato da un’energia semiforte per il quale è possibile calcolare il beta.

Si procede analogamente per i successivi livelli energetici occupati dai titoli restanti.

Ad esempio, dato il macrostato iniziale, nasce un portafoglio a energia debole costituito dai titoli che occupano il primo strato energetico il cui beta totale è dato da

[23]

2323

num_macro = 2W = 45 10num_micro = 55

Ni = 8.1818 1.6364 0.1818 0 0 0macrostato = 8 2 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0

% Numero di particelle N=10;% Unità energetica basee0=1;% Livelli energeticie=e0*[1 2 3 7 9 10];% Energia massima del microstatoen=12*e0;% Numero di livelli energeticiq=length(e);

Primo esempio

2424

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Energy

Ave

rage

Pop

ulat

ion

2525

% Numero di particelleN=10;

% Unità energetica basee0=1;

% Livelli energeticie=e0*[1 2 3 7 9 10];

% Energia massima del microstatoen=18*e0;

Secondo esempio

2626

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

Energy

Ave

rage

Pop

ulat

ion

2727

num_macro = 8W =

45 840 3150 2520 210 360

90 10

num_micro = 7225

Ni = 4.4844 3.2886 2.1633 0.0623 0.0014 0

macrostato = 2 8 0 0 0 0 3 6 1 0 0 0 4 4 2 0 0 0 5 2 3 0 0 0 6 0 4 0 0 0 7 2 0 1 0 0 8 0 1 1 0 0 9 0 0 0 1 0

Terzo esempio

2828

% Numero di particelleN=10;

% Unità energetica basee0=1;

% Livelli energeticie=e0*[0 2 3 7 9];

% Energia massima del microstatoen=12*e0;

num_macro = 5W =

210 2520 210 720 90

2929

num_micro = 3750

Ni = 5.4560 2.5440 1.7840 0.1920 0.0240

>> macrostatomacrostato =

4 6 0 0 0 5 3 2 0 0 6 0 4 0 0 7 1 1 1 0 8 0 1 0 1

3030

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

Energy

Ave

rage

Pop

ulat

ion

3131

L’obiettivo di un gestore è certo quello di sviluppare il consenso dei risparmiatori.

In questa operazione potrebbe essere agevolato dall’interpretazione statistica appena trattata che gli fornirebbe alcune preziose informazioni:

1. individuazione del macrostato a molteplicità più elevata e perciò più probabile su cui orientare la costruzione dei portafogli;

2. determinazione della propensione dei risparmiatori a collocarsi su dati livelli di energia (costruzione della funzione di distribuzione coinvolgente tutti i livelli).

3232

Un rilevante vantaggio dell’impostazione descritta consiste nell’aiutare il gestore a ragionare, nel costruire i portafogli, in termini di livelli di energia. In sostanza i livelli di energia diventano il risultato notevole cui intende pervenire. Questi livelli sviluppano un’informazione aggiuntiva rispetto ai Beta. Anche se una volta condotta l’analisi il gestore perdesse la consapevolezza dei singoli titoli entrati in ciascun livello di energia egli può pur sempre introdurre nei nuovi portafogli ogni titolo che sia utile ai fini del raggiungimento dei livelli di energia del macrostato prescelto (può farlo in quanto si conosce il grado di energia afferente a ciascun titolo del portafoglio di mercato). Non si dimentichi che tutti i titoli della SML pur essendo distinguibili sono tutti equivalenti in termini di trade off rischio/rendimento.

3333

Elaborazioni realizzate sulla bolla Elaborazioni realizzate sulla bolla speculativaspeculativa

Il 10 marzo 2000, l’indice Il 10 marzo 2000, l’indice Nasdaq Nasdaq raggiunse il prezzo di raggiunse il prezzo di chiusura di 5.048,62. A marzo del 1997 lo stesso indice chiusura di 5.048,62. A marzo del 1997 lo stesso indice chiudeva a 1322,72, mentre a marzo del 2001 registrava chiudeva a 1322,72, mentre a marzo del 2001 registrava il valore di 2052,78. L’inaspettato innalzamento e il valore di 2052,78. L’inaspettato innalzamento e ribasso nel prezzo dei titoli tecnologici ha persuaso molti ribasso nel prezzo dei titoli tecnologici ha persuaso molti studiosi ed esperti del settore a descrivere l’evento come studiosi ed esperti del settore a descrivere l’evento come una “bolla speculativa“.una “bolla speculativa“.

3434

Prezzo di chiusura Nasdaq su base giornaliera

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

3/10

/199

7

5/10

/199

7

7/10

/199

7

9/10

/199

7

11/1

0/19

97

1/10

/199

8

3/10

/199

8

5/10

/199

8

7/10

/199

8

9/10

/199

8

11/1

0/19

98

1/10

/199

9

3/10

/199

9

5/10

/199

9

7/10

/199

9

9/10

/199

9

11/1

0/19

99

1/10

/200

0

3/10

/200

0

5/10

/200

0

7/10

/200

0

9/10

/200

0

11/1

0/20

00

1/10

/200

1

3535

ObiettiviObiettivi Al fine d’interpretare tale processo si sono messi a confronto, Al fine d’interpretare tale processo si sono messi a confronto,

adottando lo stesso procedimento riportato nell’ultimo adottando lo stesso procedimento riportato nell’ultimo bollettino Aiaf, i prezzi del Nasdaq ed i reciproci del tasso bollettino Aiaf, i prezzi del Nasdaq ed i reciproci del tasso ufficiale di sconto su base giornaliera.ufficiale di sconto su base giornaliera.

Si è tentato inoltre di analizzare la bolla speculativa in Si è tentato inoltre di analizzare la bolla speculativa in analogia con le trasformazioni suggerite dal modello analogia con le trasformazioni suggerite dal modello precedentemente esposto precedentemente esposto

3636

Elaborazioni realizzateElaborazioni realizzate

• La distribuzione considerata per l’analisi empirica va La distribuzione considerata per l’analisi empirica va dal 10 marzo 1997 al 10 marzo 2000, per un totale di dal 10 marzo 1997 al 10 marzo 2000, per un totale di 759 osservazioni giornaliere.759 osservazioni giornaliere.

• I tassi di sconto rI tassi di sconto rss sono scaricati dal sito sono scaricati dal sito http://http://

research.stlouisfed.orgresearch.stlouisfed.org/fred2//fred2/

3737

4.550

4.600

4.650

4.700

4.750

4.800

4.850

4.900

4.950

29/02/2000 01/03/2000 02/03/2000 03/03/2000 04/03/2000 05/03/2000 06/03/2000 07/03/2000

Prezzo di chiusura

Reciproco del Discount Rate(su base giornaliera)

3838

-4.500

-4.000

-3.500

-3.000

-2.500

-2.000

-1.500

-1.000

-500

0

500

10/0

3/19

97

10/0

5/19

97

10/0

7/19

97

10/0

9/19

97

10/1

1/19

97

10/0

1/19

98

10/0

3/19

98

10/0

5/19

98

10/0

7/19

98

10/0

9/19

98

10/1

1/19

98

10/0

1/19

99

10/0

3/19

99

10/0

5/19

99

10/0

7/19

99

10/0

9/19

99

10/1

1/19

99

10/0

1/20

00

10/0

3/20

00

Differenza tra il Prezzo di Chiusura e il Reciproco del Discount Rate (su base giornaliera)

3939

Risultati ottenutiRisultati ottenuti

Si constata come Si constata come in prossimità del 2 - 3 marzoin prossimità del 2 - 3 marzo del 2000 i del 2000 i due valori tendano ad uniformarsi, la qualcosa due valori tendano ad uniformarsi, la qualcosa suggerisce che la bolla speculativa stia raggiungendo il suggerisce che la bolla speculativa stia raggiungendo il culmine.culmine.

A questo punto dell’analisi si è deciso di calcolare i tassi A questo punto dell’analisi si è deciso di calcolare i tassi di rendimento giornalieri per i periodi 10 marzo ’97 – 10 di rendimento giornalieri per i periodi 10 marzo ’97 – 10 marzo ’98; 10 marzo ’98 – 10 marzo ’99; 10 marzo ’99 – marzo ’98; 10 marzo ’98 – 10 marzo ’99; 10 marzo ’99 – 10 marzo 2000 al fine di disporre di dati previsivi di 10 marzo 2000 al fine di disporre di dati previsivi di rendimento. Tali dati sono stati quindi annualizzati rendimento. Tali dati sono stati quindi annualizzati moltiplicandoli per 252 (giorni di apertura delle borse).moltiplicandoli per 252 (giorni di apertura delle borse).

4040

DataData Prezzo Prezzo StoricoStorico

Tasso di Tasso di rendimento rendimento effettivo di periodoeffettivo di periodo

Prezzo Prezzo teoricoteorico

Tasso di Tasso di rendimento rendimento teorico di teorico di periodoperiodo

Reciproci Reciproci del tasso del tasso ufficiale di ufficiale di scontosconto

Rapporto di Rapporto di densitàdensità

10 Marzo 199710 Marzo 1997 1322,721322,72

10 Marzo 199810 Marzo 1998 1748,501748,50 0,3220,322 1674,5641674,564 0,2660,266 50405040 0,02070,0207

10 Marzo 199910 Marzo 1999 2406,002406,00 0,3760,376 2306,2852306,285 0,3190,319 50405040 0,03840,0384

10 Marzo 200010 Marzo 2000 5048,605048,60 1,11,1 4210,5194210,519 0,750,75 56005600 0,10080,1008

La sintesi dei risultati ottenuti è contenuta nella seguente tabella

4141

Si è deciso di interpretare il grado di pressione esercitato sul mercato pari a e nel contempo il volume di contenimento del rischio su base unitaria di capitalizzazione dato da ottenendo i seguenti risultati.Si è poi interpretata la densità con il rapporto

PressionePressione VolumeVolume DensitàDensità

0,2160,216 9,269,26 0,02070,0207

0,2690,269 7,4357,435 0,03840,0384

0,7050,705 2,8372,837 0,10080,1008

4242

Il parametro di tolleranza al rischio è stato desunto applicando la relazione [6] esprimente l’equazione di stato del mercato finanziario.

I valori ottenuti sono contenuti nella seguente tabella

4343

Si constata come al crescere della bolla speculativa si incrementi fortemente la pressione esercitata sul mercato e nel contempo si riscontri una forte diminuzione del volume di contenimento del rischio generato dalla stessa pressione crescente e presumibilmente dalle aspettative di extrarendimenti degli investitori.

Da tale contesto emerge che la crescita vertiginosa del Nasdaq è interpretabile attraverso due componenti del prezzo contenute nella relazione seguente:

4444

La prima componente è rappresentata dal mero aggiornamento del prezzo sulla base del tasso privo di rischio.

La seconda componente mostra che il prezzo è funzione anche di , pari a due volte

il reciproco del volume di contenimento unitario del rischio

4545

Comportamento dei rendimenti su base annuale

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1998 1999 2000

Rendimenti Deviazioni standard

4646

Comportamento dei rendimenti su base giornaliera

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1998 1999 2000

Rendimenti Deviazioni standard

4747

L’esempio proposto fondato sui dati del Nasdaq ha consentito di mettere in luce una metodologia, che dovrà essere ulteriormente testata.

Questa mostra che il processo della bolla speculativa prende piede quando su un mercato finanziario o all’interno di un’indice il volume di contenimento del rischio tende gradualmente ad abbassarsi.

A causa di ciò in particolari condizioni di densità del mercato ( crescente) si genera dentro quel mercato o nell’indice una trasformazione che innalza l’energia del sistema in modo abnorme.

Il prezzo dell’indice evolve proiettandosi verso il livello corrispondente al valore attuale del rendimento del titolo privo di rischio.

Non di rado avviene anche lo sconfinamento generato dalla prospettiva di extra rendimenti di soggetti lenders e borrowers che operano con criteri speculativi.

Un’idea del comportamento dell’indice Nasdaq e delle modalità con cui interpretarlo si ha dai seguenti percorsi dei prezzi variamente immaginati: costruzione di distribuzioni log-normali dell’indice; simulazione attraverso la funzione logistica

4848

DataPrezzo di chiusura

Funzione logistica

Funzione di Markowitz

3/10/1997 1322,72 0,2624444 0,2624444

3/11/1997 1316,76 0,193995917 0,262872977

3/12/1997 1304,13 0,156707703 0,263302005

3/13/1997 1293,28 0,132442995 0,263731483

3/14/1997 1292,97 0,115156253 0,264161411

3/17/1997 1279,43 0,102120898 0,264591788

3/18/1997 1269,34 0,091895237 0,265022614

3/19/1997 1249,29 0,083635271 0,265453889

3/20/1997 1259,26 0,076810103 0,265885612

3/21/1997 1254,07 0,071067315 0,266317784

3/24/1997 1242,64 0,06616292 0,266750402

3/25/1997 1248,06 0,061922188 0,267183468

3/26/1997 1269,08 0,058216443 0,267616981

3/27/1997 1249,51 0,054948683 0,268050941

3/31/1997 1221,7 0,052044302 0,268485346

4/1/1997 1216,93 0,049444928 0,268920198

4/2/1997 1201 0,04710419 0,269355495

4/3/1997 1213,76 0,044984767 0,269791236

4/4/1997 1236,73 0,043056259 0,270227423

4949

AppendiceAppendice

5050

Funzione di utilità degli investitori Nasdaq nel periodo 10 Marzo 1997 10 Marzo 1998

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x

y

Mm R~2

5151

Funzione di utilità degli investitori Nasdaq nel periodo 10 Marzo 1998 10 Marzo 1999

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x

y

Mm R~2

5252

Funzione di utilità degli investitori Nasdaq nel periodo 10 Marzo 1999 10 Marzo 2000

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x

y

Mm R~2

5353

E’ interessante notare che l’ampiezza delle funzioni di utilità espressa in funzione del parametro cambia al variare del parametro stesso ed in particolare cresce nel passaggio dal 1998 al 1999 e decresce dal 1999 al 2000.