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Registro delle lezioni di Topologia Differenziale (6 CFU)

Universita di Firenze - Facolta di Scienze MM.FF.NN.

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

A.A. 2010/2011 - Prof. Massimo Furi

Libri consigliati:

• Milnor J.W., Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of

Virginia, 1965.

• Guillemin V. – Pollak A., Differential Topology, Prentice-Hall Inc., 1974.

• Hirsch M.W., Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 33, Sprin-

ger Verlag, 1976.

1 - Martedı 12/10/10

Definizione. Una funzione f : U → R, definita su un aperto U di Rk, si dice di classe C0

se e continua. Per induzione, fissato un intero n ≥ 1, f si dice di classe Cn se e derivabile

in U e le sue derivate parziali sono di classe Cn−1. Infine, f e di classe C∞ (o liscia) se e

Cn, ∀n ∈ N.

Il seguente risultato e una conseguenza del Teorema di Lagrange.

Teorema. Se f e C1, allora e anche C0.

Dimostrazione (svolta a lezione).

Esercizio. Provare per induzione che se f e Cn allora e anche Cn−1.

Suggerimento. Indicare con pn la proposizione “Cn =⇒ Cn−1” e osservare che, per il

teorema precedente, p1 e vera.

Definizione. Un’applicazione f : U → Rs, definita su un aperto U di Rk, si dice di classe

Cr, r ∈ N ∪ ∞, se sono Cr le sue funzioni componenti: f1, f2, . . . , fs.

Notazione. Sia f : U → R un’applicazione C1 su un aperto U di Rk. La matrice jacobiana

di f in punto x ∈ U si indica col simbolo f ′(x).

Per il ben noto teorema del differenziale di una funzione composta, la matrice jacobiana in

un punto x della composizione gf di due applicazioni di classe C1 ha la stessa espressione

che nel caso delle funzioni di una sola variabile reale: (g f)′(x) = g′(f(x))f ′(x), dove il

prodotto delle due matrici g′(f(x)) e f ′(x) va inteso righe per colonne.

Si osservi che un’applicazione f : U → Rs, definita su un aperto U di Rk, e di classe Cn

(n ≥ 1) se e solo se e differenziabile e l’applicazione che ad ogni x ∈ U associa la matrice

f ′(x) e Cn−1 (cioe sono Cn−1 tutti i suoi elementi ∂fi/∂xj di f ′).

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Registro di Topologia Differenziale – c.l.m. in Matematica – a.a. 2010/2011 – M. Furi

Il seguente risultato segue facilmente dalla definizione induttiva di applicazione Cn e dalle

note formule che esprimono le derivate parziali prime della somma, del prodotto, del

quoziente e della composizione di due funzioni. Per semplicita ci limitiamo a dimostrarlo

nel caso particolare delle funzioni reali di variabile reale. Gli studenti sono invitati a

riflettere su come sia possibile estendere la dimostrazione al caso generale.

Teorema (di regolarita delle funzioni combinate). La somma, il prodotto, il quoziente e

la composizione di applicazioni Cr, quando (e dove) ha senso, e ancora un’applicazione di

classe Cr.

Dimostrazione (per le funzioni reali di variabile reale).

(Somma) Sia pn la proposizione “ f, g ∈ Cn =⇒ (f + g) ∈ Cn ”. Dal teorema della

derivata della somma si ha (f + g)′ = f ′ + g′, e questo implica immediatamente che p1e vera. Assumiamo vera pn−1 e dimostriamo che allora e vera anche pn. Supponiamo

quindi che f, g ∈ Cn (ovvero che f ′, g′ ∈ Cn−1) e mostriamo che (f + g) ∈ Cn (ossia che

(f + g)′ ∈ Cn−1). Poiche (f + g)′ = f ′ + g′, dall’ipotesi induttiva si ha (f + g)′ ∈ Cn−1,che per definizione significa (f + g) ∈ Cn.

(Prodotto) Analogamente alla dimostrazione precedente denotiamo con pn la proposizione

“ f, g ∈ Cn =⇒ fg ∈ Cn ”. Dal teorema della derivata del prodotto si ha (fg)′ = f ′g+g′f ,

e questo implica che p1 e vera. Assumiamo (per ipotesi induttiva) vera pn−1 e supponiamo

che f, g ∈ Cn. Vogliamo provare che il prodotto fg e di classe Cn, ovvero che la funzione

(fg)′, che coincide con f ′g + g′f , e di classe Cn−1. Questo segue facilmente dal lemma

precedente, dall’ipotesi induttiva, e da quanto gia provato per la somma.

(Quoziente) La dimostrazione e simile alle due precedenti ed e lasciata per esercizio allo

studente.

(Composizione) La dimostrazione e basata sulla formula della derivata di una funzione

composta: (g f)′(x) = g′(f(x))f ′(x). Questa ci dice che (g f)′ e prodotto e composi-

zione di funzioni di una classe inferiore di un’unita rispetto a quella di appartenenza di

f e g. Come per i casi precedenti, si puo procedere per induzione denotando con pn la

proposizione “ f, g ∈ Cn =⇒ g f ∈ Cn ”.

Esercizio. Sia f : (a, b) → R di classe Cr e tale che f ′(t) > 0, ∀t ∈ (a, b). Provare che

f−1 e di classe Cr.

Suggerimento. Utilizzare la nota formula

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y))

e applicare il principio di induzione (insieme al teorema precedente).

Definizione. Un’applicazione f : X → Y , da un sottoinsieme X ⊆ Rk in un sottoinsieme

Y di Rs, si dice di classe Cr se per ogni p ∈ X esiste g : U → Rs, di classe Cr su un intorno

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aperto U di p in Rk, per la quale si ha g(x) = f(x) per x ∈ U ∩X.

Facciamo notare che nella suddetta definizione e importante che l’estensione g sia a valori

nello spazio Rs, e non necessariamente nel codominio Y della f . Si osservi, infatti, che se

cosı non fosse, l’identita i : [0, 1]→ [0, 1] non risulterebbe C1.

Osservazione. Se f : X → Y e di classe Cr ed A e un sottoinsieme di X, allora anche la

restrizione di f ad A e di classe Cr.

Esercizio. Provare che la composizione di applicazioni Cr (tra arbitrari sottoinsiemi degli

spazi euclidei) e ancora Cr e che, dato X ⊆ Rk, l’identita i : X → X e C∞.

Gli studenti che in qualche corso di Algebra o di Logica hanno incontrato la nozione di

categoria sono invitati ad osservare che, in base al precedente esercizio, la famiglia i cui

oggetti sono i sottoinsiemi degli spazi euclidei e i cui morfismi sono le applicazioni di

classe Cr tra tali sottoinsiemi costituisce una categoria. Gli isomorfismi di tale categoria

si chiamano diffeomorfismi (di classe Cr). Chi trova oscuri questi discorsi non si deve

preoccupare: tra poco introdurremo la nozione di diffeomorfismo senza far uso della teoria

delle categorie.

Mediante la nozione di partizione dell’unita (di classe C∞) e possibile provare il seguente

risultato, che riportiamo senza dimostrazione.

Teorema. Un’applicazione f : X ⊆ Rk → Y ⊆ Rs e di classe Cr se e solo se ammette

un’estensione g : U → Rs di classe Cr su un aperto U contenente X.

Definizione. Un’applicazione di classe Cr, f : X → Y , si dice un diffeomorfismo (di classe

Cr) se esiste un’applicazione Cr, g : Y → X, per la quale si ha g f = 1X e f g = 1Y ,

dove 1X e 1Y denotano l’identita in X e in Y , rispettivamente.

In altre parole, un’applicazione f : X → Y e un diffeomorfismo di classe Cr se e di classe

Cr, e biiettiva, e la sua inversa e di classe Cr.

Esercizio. Sia f : U → V un diffeomorfismo tra due aperti di Rk. Provare che la matrice

jacobiana f ′(x) e invertibile qualunque sia x ∈ U .

Suggerimento. Applicare il teorema del differenziale di una funzione composta alle appli-

cazioni f−1 f e f f−1.

Esempio. L’applicazione x 7→ x3 e un omeomorfismo (di R su R), e di classe C∞, ma

non e un diffeomorfismo.

Osservazione. Se f : X → Y e un diffeomorfismo, allora la sua restrizione ad un

qualunque sottoinsieme A di X e un diffeomorfismo di A su f(A).

Teorema. Sia f : X → Rs un’applicazione di classe Cr su un sottoinsieme di Rk. Allora

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il suo grafico Gf =

(x, y) ∈ Rk×Rs : x ∈ X, y = f(x)

e Cr-diffeomorfo al suo dominio.


2 - Mercoledı 13/10/10

Esercizio (svolto a lezione). Sia f : U → Rs un diffeomorfismo tra un aperto U di Rk e

la sua immagine f(U) in Rs. Provare che il differenziale dfx : Rk → Rs e iniettivo per ogni

x ∈ U .

Esercizio. Dedurre, dall’esercizio precedente, che se due aperti, U di Rk e V di Rs, sono

diffeomorfi, allora k = s.

Definizione. Un’applicazione f : X → Rs, di classe Cr su un sottoinsieme X di Rk, si

dice un’immersione locale (di classe Cr), o un diffeomorfismo locale (di classe Cr), se per

ogni x ∈ X la restrizione di f ad un conveniente intorno U di x in X (cioe con la topologia

indotta) e un diffeomorfismo (di classe Cr) su f(U). Si dice che f e un’immersione se e

un diffeomorfismo tra X e la sua immagine f(X).

Si potrebbe dimostrare (ma non lo faccamo, per non togliere spazio ad altri argomenti)

che un’applicazione f : U → Rs, di classe Cr su un aperto U di Rk, e un’immersione locale

(di classe Cr) se e solo se dfx e 1− 1, ∀x ∈ U .

Un’immersione e ovviamente anche un’immersione locale, ma non vale il contrario. Ad

esempio l’applicazione ϕ : R → R2 definita da ϕ(t) = (cos t, sen t) e un’immersione locale

ma, non essendo invertibile, non e un’immersione.

Si osservi che le seguenti due proprieta sono necessarie affinche un’applicazione f : X → Rs

sia un’immersione (di classe Cr):

1) f e un’immersione locale (di classe Cr);

2) f e un omeomorfismo su f(X).

Esercizio. Provare che le suddette due condizioni sono anche sufficienti affinche un’ap-

plicazione sia un’immersione.

Suggerimento. Si osservi che f−1 : f(X) → X e di classe Cr se e solo se lo e localmente

(cioe, per ogni y ∈ f(X) esiste un intorno di y in f(X) in cui f−1 e Cr). La proprieta 2)

implica che f manda aperti di X in aperti di f(X). Quindi, fissato y ∈ f(X). . . bla bla.

Un’immersione locale, anche se invertibile, non e detto che sia un’immersione. Per convin-

cersene si consideri la seguente figura a forma di “sei”, immagine di una curva regolare γ

(cioe col vettore γ′(t) sempre non nullo) definita su un intervallo aperto (a, b). Si osservi che

l’applicazione γ e iniettiva (quindi invertibile) ed e un’immersione locale poiche, ∀t ∈ (a, b),

il differenziale dgt : R→ R2 e iniettivo (infatti, dato h ∈ R, dgt(h) e il vettore hγ′(t)). Det-

ta figura, chiamiamola X, non puo essere omeomorfa all’intervallo (a, b). Consideriamo

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infatti un punto p ∈ X tale che X\p sia ancora uno spazio connesso. Se esistesse un

omeomorfismo φ : X → (a, b), la sua restrizione a X\p sarebbe un omeomorfismo tra lo

spazio connesso X\p e lo spazio sconnesso (a, b)\φ(p), e cio e impossibile.

Una condizione che assicura che un’applicazione continua e iniettiva tra spazi metrici sia

un omeomorfismo (sull’immagine) e che il dominio sia compatto: in questo caso, infatti,

l’applicazione manda chiusi in chiusi. Ne segue che se f : U → Rs e un’immersione locale

definita su un aperto U di Rk (cioe se dfx e 1− 1 per ogni x ∈ U) e K e un sottoinsieme

compatto di U in cui f risulta iniettiva, allora la restrizione di f a K e un’immersione.

Ad esempio, una curva parametrica semplice e regolare γ : [a, b] → Rk e un’immersione.

In particolare, il sostegno C = γ([a, b]) di γ e diffeomorfo ad [a, b], e se σ : [c, d] → Rk e

un’altra parametrizzazione dell’arco C (cioe σ e una curva parametrica semplice e regolare

con sostegno C), allora il cambiamento di parametro σ−1 γ : [a, b]→ [c, d] e una biiezione

con derivata sempre positiva o sempre negativa.

Definizione (di varieta differenziabile m-dimensionale). Un sottoinsieme M di Rk si dice

una varieta differenziabile m-dimensionale (senza bordo) di classe Cr se ogni suo punto

ammette un intorno (in M) Cr-diffeomorfo ad un aperto di Rm.

Un diffeomorfismo (di classe Cr) da un aperto di una varieta (di classe Cr) su un aperto

di uno spazio euclideo si chiama carta (o sistema di coordinate). L’inversa di una carta e

una parametrizzazione (cioe un diffeomorfismo da un aperto di uno spazio euclideo su un

aperto di una varieta). Un atlante (di classe Cr) di una varieta e una collezione di carte

(di classe Cr) i cui domini coprono la varieta. Un atlante si dice massimale se contiene

tutte le possibili carte.

Esempio (discusso a lezione). La sfera unitaria S2 ⊆ R3 e localmente il grafico di un’ap-

plicazione C∞ da un aperto di R2 in R; quindi e una varieta differenziabile di classe C∞

e di dimensione 2 (ricordiamo che il grafico di un’applicazione Cr e Cr-diffeomorfo al

dominio).

Esercizio. Provare che la sfera unitaria di Rm+1 e una varieta differenziabile m-dimen-

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sionale di classe C∞.

3 - Martedı 19/10/10

Osservazione. Sia M una varieta differenziabile m-dimensionale e siano

ϕ : U → ϕ(U) e ψ : V → ψ(V )

due carte di classe Cr su M . Il cambiamento di carta

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V ),

essendo composizione di due diffeomorfismi, e un diffeomorfismo (tra aperti di Rm). Di

conseguenza, lo jacobiano di ψ ϕ−1 risulta diverso da zero in ogni punto di ϕ(U ∩ V ).

Primi esempi di varieta differenziabili:

– gli aperti di Rm sono varieta m-dimensionali di classe C∞;

– il grafico di un’applicazione f : U → Rs, di classe Cr su un aperto U di Rm, essendo

Cr-diffeomorfo al dominio, e una varieta m-dimensionale di classe Cr;

– gli aperti di una varieta differenziabile M sono varieta differenziabili della stessa

classe e della stessa dimensione di M ;

– le varieta affini in Rk sono varieta differenziabili di classe C∞ e dimensione uguale a

quella dello spazio di cui risultano traslate.

Riportiamo, senza dimostrazione, il seguente importantissimo risultato.

Teorema (della funzione implicita). Sia f : W → Rs un’applicazione di classe Cr su un

aperto W di Rk = Rm × Rs. Se in un punto p = (x0, y0) di f−1(0) lo jacobiano parziale

det∂f

∂y(p)

e diverso da zero, allora f−1(0), in un conveniente intorno U × V di p, e il grafico di

un’applicazione Cr da U in V . In particolare l’intorno f−1(0) ∩ (U × V ) di p in f−1(0) e

diffeomorfo all’aperto U di Rm.

Nel teorema della funzione implicita si e supposto che il minore (cioe la sottomatrice

quadrata) costituita dalle ultime s colonne della matrice jacobiana f ′(p) sia non degenere.

Le ultime s coordinate di Rk non sono certo privilegiate rispetto alle altre. Quindi, se al

posto dell’ipotesi

det∂f

∂y(p) 6= 0

si assume che il rango di f ′(p) sia uguale ad s, si puo ancora affermare che in un intorno

di p l’insieme di livello f−1(0) e diffeomorfo ad un aperto di Rm. Il risultato che segue e

un’immediata conseguenza di tale osservazione.

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Corollario. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe Cr su un aperto U di Rk. Se in ogni

punto p ∈ f−1(0) il rango della matrice jacobiana f ′(p) e uguale ad s (o, equivalentemente,

il differenziale dfp : Rk → Rs e suriettivo), allora f−1(0) e una varieta differenziabile

(eventualmente vuota) di classe Cr e dimensione k − s.

Definizione. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto U di Rk. Un

elemento x ∈ U si dice punto critico per f se il differenziale di f in x non e suriettivo

(ossia, se la matrice f ′(x) ha rango minore di s). Ogni x ∈ U non critico si dice punto

regolare.

Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto di Rk. Si osservi che se k < s,

allora ogni punto di U e critico; se f e a valori reali (ossia s = 1), allora i suoi punti

critici sono quelli in cui si annulla il gradiente; se k = s, allora x ∈ U e critico se e solo se

det(f ′(x)) = 0.

Definizione. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto U di Rk. Un

elemento y ∈ Rs si dice un valore critico per f se e immagine di un punto critico. Gli

elementi di Rs che non sono critici si chiamano valori regolari.

In altre parole, y ∈ Rs e un valore regolare se e solo se f−1(y) non contiene punti critici

(di conseguenza, se y ∈ Rs non sta nell’immagine di f , allora e un valore regolare).

Si osservi che, per comodita di linguaggio, si fa distinzione tra gli elementi del dominio e

quelli del codominio, chiamando punti i primi e valori i secondi.

Facciamo notare che, in base alle due precedenti definizioni, il corollario del teorema della

funzione implicita puo essere riformulato nel modo seguente.

Teorema (di regolarita delle soluzioni negli aperti). Sia f : U → Rs un’applicazione di

classe Cr su un aperto U di Rk e sia y ∈ Rs. Se tra le soluzioni dell’equazione f(x) = y

non ci sono punti critici per f (o, equivalentemente, se y ∈ Rs e un valore regolare per

f), allora f−1(y) e una varieta differenziabile (eventualmente vuota) di dimensione k − se classe Cr.

Una varieta differenziabile definita come nel suddetto teorema si dice una varieta di livello

regolare (y e il livello, ed e un valore regolare). Non tutte le varieta differenziabili sono

varieta di livello regolare. Una condizione necessaria, come vedremo in seguito, e che la

varieta sia orientabile. Tuttavia, si potrebbe dimostrare che ogni varieta differenziabile in

Rk e localmente una varieta di livello regolare.

A titolo di esempio, deduciamo dal teorema di regolarita delle soluzioni che la sfera

Sm−1 = x ∈ Rm : 〈x , x〉 = 1,

dove 〈· , ·〉 denota il prodotto scalare in Rm, e una varieta differenziabile di classe C∞ e

dimensionem−1. Osserviamo infatti che Sm−1 = f−1(1), dove f : Rm → R e l’applicazione

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C∞ definita da f(x) = 〈x , x〉. Inoltre, se p ∈ Rm, si ha dfp(v) = 2〈p , v〉, e questo prova

che il differenziale dfp e suriettivo se e solo se p ∈ Rm \0. Quindi f ha un unico punto

critico, 0 ∈ Rm, che non appartiene all’insieme di livello f−1(1).

Sempre a titolo di esempio, mostriamo come l’insieme delle “posizioni” (detto spazio del-

le configurazioni) di un’asta rigida in R2 (di lunghezza assegnata l > 0) possa essere

pensato come una varieta di livello tridimensionale in R4. Ogni configurazione dell’asta

in R2 e univocamente individuata dalla posizione dei suoi estremi. Quindi, ad ogni sua

configurazione corrisponde (ossia, si puo associare) un punto p = (p1, p2) ∈ R2 × R2, e

tale corrispondenza e iniettiva. Possiamo dunque identificare lo spazio delle configurazioni

dell’asta con linsieme

M =

(p1, p2) ∈ R2 × R2 : ‖p2 − p1‖2 = l2.

In altre parole M = g−1(l2), dove g : R2 × R2 → R e l’applicazione definita da

g(p1, p2) = ‖p2 − p1‖2.

Si lascia allo studente il compito di verificare che l’insieme dei punti critici di g coincide

con la diagonale di R2 × R2. Ossia con le coppie (p1, p2) tali che p1 = p2. Quindi l2 e un

valore critico se e solo se l’asta ha lunghezza nulla. Poiche l > 0, l’insieme di livello M e

una varieta differenziabile di classe C∞. La sua dimensione e 4− 1 = 3, e per tale motivo

si dice che un’asta nel piano ha tre gradi di liberta.

Con lo stesso metodo non e difficile verificare che le configurazioni di un’asta rigida in R3

costituiscono una varieta di dimensione 5 in R6. In modo analogo, ma con piu calcoli,

si potrebbe provare che lo spazio delle configurazioni di un corpo rigido e una varieta di

dimensione 6 in R9 (per provarlo occorre tener conto che la configurazione di un corpo

rigido e individuata dai vertici di un triangolo solidale con il corpo).

Si invita lo studente a verificare che le configurazioni di un pendolo piano si identificano

con una circonferenza in R2, di un pendolo sferico con una superficie sferica in R3, di un

pendolo doppio con un toro in R4.


Lemma di Sard (1942). Sia f : U → Rs un’applicazione Cn su un aperto U di Rk.

Se n > max0, k − s, allora l’insieme dei valori critici per f ha misura nulla secondo

Lebesgue.

Il risultato che segue, ottenuto da A. B. Brown nel 1935, puo essere facilmente dedotto dal

Lemma di Sard (si osservi, infatti, che gli insiemi di misura nulla hanno interno vuoto).

Lemma di Brown. Se f : U → Rs soddisfa le ipotesi del Lemma di Sard, allora l’insieme

dei valori regolari per f e denso in Rs.

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Una conseguenza del Lemma di Brown e la non esistenza di curve di Peano di classe C1.

Ricordiamo, infatti, che una curva di Peano e un’applicazione continua α : [a, b]→ Rs, con

s > 1, la cui immagine e dotata di punti interni. Se α e C1, allora ogni suo punto e critico

e, di conseguenza, l’immagine di α, essendo di misura nulla, non puo avere punti interni.

Definizione. Un’applicazione continua tra due spazi metrici, f : X → Y , si dice propria

se la retroimmagine di ogni compatto di Y e un compatto di X.

Osservazione. Se f : X → Y e un omeomorfismo (tra spazi metrici), allora e un’appli-

cazione propria.

Osservazione. Se f : X → Y e un’applicazione continua (tra spazi metrici) e X e

compatto, allora f e propria.

Esercizio. Mostrare che se f : X → Y e propria, allora manda chiusi in chiusi.

Suggerimento. Fissato un chiuso C ⊆ X, si consideri una successione yn in f(C),

convergente ad un y ∈ Y . Occorre provare che y ∈ f(C). Si osservi ora che l’insieme

K = yn : n ∈ N ∪ y e un compatto. Quindi... bla bla.

Si potrebbe provare che un’applicazione tra spazi metrici e propria se e solo se manda

chiusi in chiusi e la retroimmagine di ogni punto e un compatto.

Esercizio. Sia X un sottoinsieme chiuso e non limitato di Rk e sia f : X → Rs un’appli-

cazione continua. Provare che f e propria se e solo se

limx∈X, ‖x‖→∞

‖f(x)‖ = +∞.

Suggerimento. Poiche f e continua ed X e chiuso, la retroimmagine di ogni chiuso di Rs

e un chiuso di Rk (e non soltanto di X). Rimane da provare che la condizione sul limite

equivale ad affermare che la retroimmagine di ogni limitato e un limitato.

Esercizio (svolto a lezione). Dedurre dall’esercizio precedente che se P : C → C e un

polinomio non costante, allora e un’applicazione propria.

Suggerimento. Se Pn e un polinomio di grado n > 0, per z 6= 0 si ha

|Pn(z)| = |z|n∣∣∣∣an +

R(z)

zn

∣∣∣∣ ,con an 6= 0 e R(z)/zn → 0 per |z| → ∞.

5 - Giovedı 21/10/10

Esercizio. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto di Rk. Provare che

l’insieme dei punti regolari per f e un aperto in U (e quindi anche in Rk).

Suggerimento. Sia p ∈ U un punto regolare per f . Allora la matrice jacobiana f ′(p)

ammette una sottomatrice s×s con determinante diverso da zero. Dato che il determinante

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di una matrice quadrata dipende con continuita dagli elementi della matrice, esiste un

intorno di p. . . bla bla.

Esercizio. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto di Rk. Dedurre,

dall’osservazione precedente, che se f e propria, allora l’insieme dei valori regolari per f e

un aperto di Rs.

Suggerimento. L’insieme C dei punti critici per f e un chiuso (relativo) di U . Di

conseguenza, essendo f propria, l’insieme f(C) dei valori critici. . . bla bla.

Il seguente importantissimo risultato, che riportiamo senza dimostrazione, mostra, in un

senso da precisare, che se in un punto la linearizzata di un’applicazione non lineare e

invertibile, allora in un intorno del punto lo e anche la non lineare.

Teorema (della funzione inversa locale). Sia f : U → Rk un’applicazione di classe Cr su

un aperto U di Rk e sia p ∈ U . Se il differenziale dfp : Rk → Rk di f in p e un isomorfismo,

allora la restrizione di f ad un conveniente intorno di p e un diffeomorfismo di classe Cr

su un intorno di f(p).

Teorema. Sia f : Rk → Rk un’applicazione di classe C1. Se y ∈ Rk e un valore regolare

per f , allora f−1(y) e un insieme discreto. Di conseguenza, se f e propria, f−1(y) e un

insieme finito.

Dimostrazione. Per il teorema della funzione inversa locale ogni punto di f−1(y) e isolato

(cioe, dato x ∈ f−1(y), esiste un intorno V di x in Rk tale che V ∩ f−1(y) = x). La

topologia indotta da Rk su f−1(y) e dunque discreta (i.e. ogni sottoinsieme di f−1(y) e

un aperto). Avendo supposto f propria, f−1(y) e uno spazio compatto; ma un compatto

con topologia discreta non puo avere infiniti punti.

Notazione. Sia f : Rk → Rk un’applicazione propria di classe C1 e sia C l’insieme dei

punti critici per f . Con #f−1 : Rk \ f(C)→ Z si denota l’applicazione che ad ogni valore

regolare y di f associa la cardinalita dell’insieme (finito) f−1(y).

Teorema (di continuita dell’applicazione #f−1). Sia f : Rk → Rk un’applicazione propria

di classe C1 e sia C l’insieme dei punti critici di f . L’applicazione #f−1 : Rk \ f(C)→ Zche ad ogni valore regolare y di f associa la cardinalita di f−1(y) e localmente costante.


Esercizio. Provare che i punti critici di un polinomio a coefficienti complessi P : C → C(visto come un’applicazione da R2 in se) sono le radici del polinomio derivato P ′. Dedurre

da cio che l’insieme dei valori regolari di un polinomio e connesso e non vuoto.

Suggerimento. Mostrare che dato z ∈ C, risulta dPz(w) = P ′(z)w, e dedurre da cio che

l’applicazione lineare dPz : C→ C e suriettiva se e solo se P ′(z) 6= 0.

Teorema (fondamentale dell’algebra). L’applicazione P : C→ C definita da un polinomio

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non costante a coefficienti complessi e suriettiva.


6 - Martedı 26/10/10

Definizione. Sia X un sottoinsieme di Rk e sia p ∈ X. Un vettore v ∈ Rk si dice un

versore tangente ad X in p se esiste una successione pn in X \p tale che pn → p e

(pn − p)/‖pn − p‖ → v.

Osserviamo che, per la compattezza della sfera unitaria di Rk, se pn e una successione

in X \p che converge a p, allora (pn − p)‖pn − p‖

ammette almeno una sottosuccessione convergente. Pertanto l’insieme dei versori tangenti

ad X in p e non vuoto se e solo se p e un punto di accumulazione per X.

Definizione. Nel caso in cui p sia un punto di accumulazione per X, il cono tangente (di

Bouligand) ad X in p e l’insieme CpX dei vettori del tipo λv, dove λ ≥ 0 e v e un versore

tangente ad X in p. Se p e un punto isolato, si pone CpX = 0.

Definizione. Sia X un sottoinsieme di Rk e sia p ∈ X. Lo spazio tangente ad X in p e

lo spazio vettoriale TpX generato da CpX.

Ovviamente, se p e interno ad X ⊆ Rk, allora CpX = Rk e, di conseguenza, TpX = Rk.

Esercizio. Mostrare che il concetto di cono tangente e locale e invariante per traslazioni;

ossia:

• CpX = Cp(X ∩ U), per ogni intorno U di p;

• CpX = Cp+v(X + v), per ogni v ∈ Rk.

Esercizio (caratterizzazione del cono tangente). Siano X un insieme di Rk e p un punto

di X. Provare che un vettore v ∈ Rk appartiene al cono tangente ad X in p se e solo se

esistono due successioni, αn in [0,+∞) e pn in X, tali che pn → p e αn(pn − p)→ v.

Esercizio. Dall’esercizio precedente dedurre che CpX e contenuto nella chiusura Aδ di

ogni insieme Aδ =λ(x− p) : λ ≥ 0, x ∈ X, ‖x− p‖ < δ

, δ > 0.

Esercizio. Siano X, p e Aδ (δ > 0) come nei due precedenti esercizi. Provare che

CpX =⋂δ>0

Aδ.

Esercizio. Dall’esercizio precedente dedurre che CpX e chiuso.

Esercizio. Provare che se X e convesso e p ∈ X, allora CpX coincide con la chiusura

dell’insieme λ(x− p) : λ ≥ 0, x ∈ X.

11 gennaio 2011 11


Lemma (del rapporto incrementale). Sia f : U → Rs un’applicazione definita su un aperto

U di Rk e differenziabile in un punto p ∈ U . Se pn e una successione in U \p tale che

pn → p e (pn − p)/‖pn − p‖ → v, allora (f(pn)− f(p))/‖pn − p‖ → dfp(v).

Dimostrazione. Sia pn in U \p tale che pn → p e (pn − p)/‖pn − p‖ → v. Poiche f e

differenziabile in p, risulta

f(pn)− f(p) = dfp(pn − p) + o(‖pn − p‖) .

Per la linearita di dfp si ha

f(pn)− f(p)

‖pn − p‖= dfp

(pn − p‖pn − p‖

)+o(‖pn − p‖)‖pn − p‖

,

e la tesi segue passando al limite per n→∞.

Si osservi che il lemma del rapporto incrementale estende il noto teorema della derivata

direzionale, il quale afferma che se f e differenziabile in p, allora e derivabile in p lungo

ogni direzione v ∈ Sk−1 e

dfp(v) = limt→0

f(p+ tv)− f(p)

t.

Lemma (di coerenza). Sia f : U → Rs un’applicazione definita su un aperto U di Rk.

Supponiamo che X ⊆ U e Y ⊆ Rs siano due insiemi tali che f(X) ⊆ Y . Se f e differen-

ziabile in p ∈ X, allora dfp manda il cono tangente ad X in p nel cono tangente ad Y in

f(p). Di conseguenza dfp, essendo lineare, manda TpX in Tf(p)Y .

Dimostrazione. Fissiamo v ∈ CpX. Per la linearita di dfp si puo supporre che v sia

un versore tangente. Esiste allora una successione pn in U \p tale che pn → p e

(pn − p)/‖pn − p‖ → v. Dal lemma del rapporto incrementale si ottiene

dfp(v) = limn→∞

f(pn)− f(p)

‖pn − p‖.

Occorre provare che il suddetto limite appartiene a Cf(p)Y . Se dfp(v) = 0 ∈ Rk, la tesi e

verificata. Supponiamo quindi dfp(v) 6= 0. Ne segue che f(pn) 6= f(p) definitivamente (cioe

per n sufficientemente grande), altrimenti il suddetto limite, la cui esistenza e garantita dal

lemma del rapporto incrementale, sarebbe nullo. Si ricorda, infatti, che se una successione

converge, allora tutte le sue sottosuccessioni hanno lo stesso limite (compresa la successione

stessa). Notiamo inoltre che f(pn)→ f(p), poiche f e differenziabile in p, e quindi anche

continua in tal punto. Di conseguenza

dfp(v) = limn→∞

‖f(pn)− f(p)‖‖pn − p‖

f(pn)− f(p)

‖f(pn)− f(p)‖= ‖dfp(v)‖w,

11 gennaio 2011 12


dove

w = limn→∞

f(pn)− f(p)

‖f(pn)− f(p)‖e un versore tangente ad Y in f(p), ammesso che quest’ultimo limite esista. Rimane da

provare l’esistenza di detto limite. Dall’ipotesi dfp(v) 6= 0 segue infatti

limn→∞

f(pn)− f(p)

‖f(pn)− f(p)‖= lim

n→∞

‖pn − p‖‖f(pn)− f(p)‖

limn→∞

f(pn)− f(p)

‖pn − p‖=

1

‖dfp(v)‖dfp(v),

e cio completa la dimostrazione.

Lemma (di indipendenza). Siano f, g : U → Rs, dove U e un aperto di Rk. Supponiamo

che f e g coincidano in un sottoinsieme X di U . Se f e g sono differenziabili in un punto

p ∈ X, allora dfp e dgp coincidono in CpX. Di conseguenza dfp e dgp coincidono anche

in TpX.

Dimostrazione. L’applicazione h := f − g manda X in Y = 0. Quindi, se v ∈ CpX, per

il lemma di coerenza risulta dhp(v) ∈ C0Y = 0. Pertanto dfp(v) = dgp(v).

Definizione. Sia f : X → Y un’applicazione C1 da un sottoinsieme X di Rk in un

sottoinsieme Y di Rs. Il differenziale di f in un punto p ∈ X,

dfp : TpX → Tf(p)Y,

e la restrizione a TpX, come dominio, e a Tf(p)Y , come codominio, del differenziale di una

qualunque estensione C1 di f ad un intorno di p in Rk.

Per giustificare la definizione appena data si osservi che se g : U → Rs e un’estensione

(locale) di f ad un intorno U di p in Rk, per il lemma di coerenza, dgp manda CpX in

Cf(p)Y e quindi, essendo un’applicazione lineare, manda lo spazio generato da CpX nello

spazio generato da Cf(p)Y . In altre parole dgp induce un’applicazione lineare

dfp : TpX → Tf(p)Y.

Il lemma di indipendenza, inoltre, afferma che la restrizione di dgp a TpX dipende esclu-

sivamente da f , e non dalla particolare estensione scelta.


Le seguenti proprieta del differenziale sono una facile conseguenza delle analoghe, e ben

note, proprieta delle applicazioni definite sugli aperti degli spazi euclidei.

Osservazione (proprieta funtoriali del differenziale). Siano f : X → Y e g : Y → Z due

applicazioni di classe C1 tra sottoinsiemi di spazi euclidei. Allora, fissato un punto p ∈ Xe posto q = f(p), risulta:

1) d(g f)p = dgq dfp,

11 gennaio 2011 13


2) d(1X)p = 1TpX ,

dove 1X e 1TpX denotano l’identita in X e in TpX, rispettivamente.

Teorema (fondamentale dei diffeomorfismi). Sia f : X → Y un diffeomorfismo di classe

C1 tra un sottoinsieme X di Rk e un sottoinsieme Y di Rs. Allora, fissato p ∈ X,

dfp : TpX → Tf(p)Y e un isomorfismo che fa corrispondere CpX a Cf(p)Y .


Esempio. L’insieme

X =

(x, y) ∈ R2 : y = |x|,

costituito dal grafico della funzione valore assoluto, non puo essere diffeomorfo ad R (seb-

bene sia omeomorfo). In (0, 0), infatti, lo spazio tangente ad X e bidimensionale, mentre

Tx(R) ha dimensione uno qualunque sia x ∈ R.

Il risultato che segue e una immediata conseguenza del teorema fondamentale dei diffeo-

morfismi.

Teorema (di regolarita delle varieta differenziabili). Se M ⊆ Rk e una varieta differenzia-

bile m-dimensionale, allora, ∀p ∈ M , si ha TpM = CpM e dimTpM = m. In particolare

dimM ≤ k.


Definizione. Un punto p ∈ X si dice regolare per X se CpX = TpX, in caso contrario si

dice singolare o di confine. L’insieme dei punti singolari per X si chiama il confine di X

e si denota con δX.

Teorema (di invarianza del confine). Se f : X → Y e un diffeomorfismo, allora la restri-

zione di f a δX e un diffeomorfismo tra δX e δY . Di conseguenza, ∀n ∈ N, δnX e δnY

sono diffeomorfi.


Esercizio. Dedurre, dal teorema di invarianza del confine, che il quadrato [0, 1] × [0, 1]

non e diffeomorfo al disco chiuso

D2 =

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1.

Esercizio. Dedurre, dal teorema di invarianza del confine, che un quadrilatero non puo

essere diffeomorfo ad un triangolo.

Esercizio. Provare che due angoli, uno minore dell’angolo piatto e uno maggiore, non

possono essere diffeomorfi.

Suggerimento. Se esistesse un diffeomorfismo tra i due angoli, allora, per il teorema di

invarianza del confine, i due vertici si dovrebbero corrispondere. Cio e impossibile perche

11 gennaio 2011 14


in un vertice il cono tangente e convesso, mentre nell’altro vertice. . . bla bla.

8 - Giovedı 28/10/10

Osservazione. Sia ϕ : U →M una parametrizzazione (locale) di una varieta differenzia-

bile M ⊆ Rk. Allora lo spazio tangente ad M in un punto ϕ(u) coincide con l’immagine

di dϕu.

Osservazione. Sia f : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto U di Rk. Se f

e costante su un sottoinsieme X di U e p ∈ X, allora TpX ⊆ Ker dfp. Pertanto, se TpX e

Ker dfp hanno la stessa dimensione, risulta TpX = Ker dfp.

La suddetta osservazione e utile nel caso si debba calcolare lo spazio tangente in un punto

ad una varieta di livello regolare. Precisamente, sia f : U → Rs un’applicazione C1 su

un aperto U di Rk e supponiamo che y ∈ Rs sia un valore regolare per f (cio significa,

ricordiamo, che per ogni p ∈ f−1(y) il differenziale dfp : Rk → Rs e suriettivo). Allora,

come abbiamo gia visto, dal teorema della funzione implicita si deduce che f−1(y) e una

varieta differenziabile di dimensione k − s. Pertanto, dato p ∈ f−1(y), anche Tp(f−1(y))

ha dimensione k−s; cioe la stessa di Ker dfp, visto che dfp e suriettivo. Questo ci permette

di dedurre l’uguaglianza Tp(f−1(y)) = Ker dfp.

Esempio. Consideriamo la sfera Sm−1 = x ∈ Rm : ‖x‖2 = 1. Risulta Sm−1 = f−1(0),

dove f(x) = 〈x , x〉 − 1. Fissato un punto p ∈ Sm−1, si ha dfp(v) = 2〈p , v〉. Pertanto dfp e

non nullo, e quindi anche suriettivo (dato che e a valori in R). Da cio segue

TpSm−1 = Ker dfp =

v ∈ Rm : 2〈p , v〉 = 0

;

ossia TpSm−1 e lo spazio ortogonale a p.

Dato X ⊆ Rk, sia γ una curva parametrica di classe C1 in X, ossia un’applicazione C1

a valori in X definita in un intervallo non banale J ⊆ R. Osserviamo che, fissato τ ∈ J ,

la matrice jacobiana γ′(τ) e un vettore colonna i cui elementi sono le derivate in τ delle

k funzioni reali γ1, γ2, . . . , γk che compongono γ. Percio γ′(τ) e un vettore di Rk, detto

vettore tangente a γ nel punto γ(τ). Ovviamente si ha

γ′(τ) = limt→τ

γ(t)− γ(τ)

t− τ.

Ricordiamo inoltre che (per definizione di matrice jacobiana) γ′(τ) e la matrice che rap-

presenta il differenziale dγτ mediante le basi canoniche di R e Rk. Quindi dγτ (s) si puo

scrivere come il prodotto righe per colonne γ′(τ)[s], dove [s] e la matrice 1× 1 che ha per

unico elemento s ∈ R. Ne segue che dγτ (s) coincide col prodotto sγ′(τ) dello scalare s

per il vettore γ′(τ) e che γ′(τ) = dγτ (1). Di conseguenza, poiche dγτ manda TτJ = R in

Tγ(τ)X, γ′(τ) appartiene allo spazio tangente Tγ(τ)X.

11 gennaio 2011 15


In generale, se X ⊆ Rk e un insieme arbitrario e p ∈ X, non tutti gli elementi di TpX

sono vettori tangenti a curve parametriche in X passanti per p. Ad esempio se X e il

sottoinsieme 0 ∪ 1/n : n ∈ N di R e p = 0, con le curve in X passanti per p si ottiene

un solo vettore (quale?) sebbene TpX coincida con R.

Si invitano gli studenti a provare che se M e una varieta differenziabile in Rk e p ∈ M ,

allora ogni vettore di TpM e tangente ad una opportuna curva parametrica in M (si osservi

prima che tale proprieta e verificata per gli aperti di Rm). In un certo senso, ogni vettore

di TpM e la velocita ad un certo istante τ di un punto che si muove in M e passa per p al

tempo τ .

Per esempio, consideriamo un’asta rigida in R2 di lunghezza l > 0. Abbiamo visto che le

sue configurazioni si possono pensare come coppie di punti p1 e p2 di R2 che verificano la

condizione ‖p2 − p1‖2 = l2. Denotiamo con M = g−1(l2) la verieta tridimensionale delle

configurazioni dell’asta, dove g : R2 × R2 → R e definita da g(p1, p2) = 〈p2 − p1 , p2 − p1〉.Supponiamo che l’asta sia in movimento. Dato che ad ogni sua configurazione corrisponde

un punto di M , il suo moto si puo interpretare come una curva parametrica t 7→ γ(t) =

(p1(t), p2(t)) ∈ M , che assumiamo sia di classe C1. In base a quanto precedentemente

osservato, fissato un istante τ ∈ J , γ′(τ) = (p′1(τ), p′2(τ)) e un vettore tangente ad M nel

punto γ(τ). I vettori p′1(τ) e p′2(τ) sono le velocita all’istante τ degli estremi dell’asta.

Quindi, ogni vettore tangente ad M si puo interpretare come una coppia di velocita, ma,

ovviamente, non e vero il contrario, altrimenti lo spazio tangente avrebbe dimensione

quattro. Cerchiamo dunque di capire come si interpretano i vettori tangenti ad M in un

generico punto p = (p1, p2). Dato che g−1(l2) e una varieta di livello regolare, il sottospazio

TpM di R2×R2 coincide col nucleo del differenziale dgp : R2×R2 → R. Denotando quindi

con p = (p1, p2) un generico vettore di TpM , risulta dgp(p) = 0, cioe 2〈p2−p1 , p2− p1〉 = 0.

Pertanto, interpretando p1 e p2 come velocita (o anche come spostamenti virtuali), le loro

proiezioni ortogonali lungo l’asta devono coincidere. Abbiamo scoperto una cosa evidente:

l’asta, essendo rigida, non deve ne allungarsi ne accorciarsi.

Vediamo ora un altro modo per interpretare (quasi tutti) i vettori tangenti ad M in una

generica configurazione (p1, p2) dell’asta. Se p1 6= p2, allora i vettori p1 e p2 non possono

essere paralleli, altrimenti avrebbero differenti proiezioni lungo l’asta. Quindi, le due rette

passanti per p1 e p2 e perpendicolari, rispettivamente, a p1 e p2 si intersecano in un punto

di R2, detto centro istantaneo di rotazione, il cui significato fisico e evidente: il moto

nel piano di un’asta (o, piu in generale, di una piastra) istante per istante (se non e

una traslazione) e la rotazione attorno ad un punto. Un vettore tangente, quindi, si puo

interpretare come una coppia: un punto di R2 e una velocita angolare. Fanno eccezione

le traslazioni istantanee (cioe quando p1 = p2). In tal caso si puo pensare che il centro

istantaneo di rotazione sia il punto all’infinito (nel piano proiettivo) individuato da una

qualunque retta perpendicolare al moto. La velocita angolare dell’asta, tuttavia, in questo

11 gennaio 2011 16


caso e nulla. Quindi la coppia costituita dal punto all’infinito e dalla velocita angolare

non puo rappresentare tutte le possibili traslazioni istantanee. Si puo tuttavia rimediare

all’inconveniente. Allo scopo si invitano gli studenti a sostituire la velocita angolare con

un altro concetto in modo che questo, facendo coppia col centro istantaneo di rotazione

(eventualmente all’infinito), permetta di individuare tutti i possibili moti istantanei (cioe

tutti i possibili vettori tangenti ad un generico punto di M).

Il caso di un corpo rigido in R3 e piu complicato: il suo moto, istante per istante (tranne

il caso di una traslazione), e un’elica attorno ad un asse istantaneo di rotazione. Nel caso

di una traslazione si puo pensare che l’asse sia all’infinito (nello spazio proiettivo): e la

retta che si ottiene intersecando un qualunque piano ortogonale al moto con l’insieme dei

punti all’infinito.

9 - Martedı 02/11/10

Teorema (condizione necessaria del prim’ordine per i punti di minimo). Sia f : X → Runa funzione di classe C1 su un sottoinsieme X di Rk. Supponiamo che p ∈ X sia un

punto di minimo locale per f in X. Allora dfp(v) ≥ 0, ∀v ∈ CpX.

Dimostrazione. Poiche le nozioni di punto di minimo locale e di cono tangente sono locali,

senza perdere in generalita si puo supporre f(X) ⊆ [f(p),+∞). Quindi, per il lemma di

coerenza, si ha

dfp(v) ∈ Cf(p)[f(p),+∞) = [0,+∞), ∀v ∈ CpX,

e il risultato e provato.

Osservazione. Sia f : X → R (X ⊆ Rk) di classe C1 e sia p ∈ X un punto di massimo

locale per f in X. Allora p e di minimo locale per la funzione −f . Pertanto, in base alla

condizione necessaria per i punti di minimo, risulta dfp(v) ≤ 0, ∀v ∈ CpX.

Corollario. Sia f : X → R una funzione di classe C1 su un sottoinsieme X di Rk e sia

p ∈ X un punto estremante per f in X (cioe di minimo o di massimo locale per f in X).

Allora, per ogni v ∈ CpX tale che −v ∈ CpX, si ha dfp(v) = 0. Di conseguenza, se p e

interno ad X o, piu in generale, e un punto regolare per X (i.e. CpX = TpX), allora il

differenziale dfp : TpX → R e nullo.

Supponiamo ora di avere una funzione reale f di classe C1 su un aperto U di Rk e di

voler determinare gli eventuali punti estremanti per la sua restrizione ad un assegnato

sottoinsieme X di U . Si tratta di un problema di massimi e minimi condizionati, detti

anche vincolati, e l’insieme X, spesso una varieta differenziabile, costituisce il vincolo del

problema. In questo caso la funzione f non e semplicemente definita su X, ma su un aperto

che lo contiene (come in pratica spesso accade). Dato che f e C1, il suo gradiente, ∇f(x),

e ben definito in ogni punto x ∈ U (ricordiamo che il gradiente di f in un punto x ∈ Ue l’unico vettore w che permette di rappresentare la forma lineare dfx : Rk → R mediante

11 gennaio 2011 17


il prodotto scalare; ossia w verifica la condizione dfx(v) = 〈w , v〉, ∀v ∈ Rk). Supponiamo

ora che p ∈ X sia un punto regolare per il vincolo X (come accade quando X e una

varieta differenziabile) e che sia estremante per la restrizione di f ad X. Allora, in base al

precedente corollario (e alla definizione di differenziale per le funzioni C1 che operano tra

insiemi arbitrari), si puo affermare che la restrizione di dfp : Rk → R al sottospazio TpX

di Rk e nulla. Da cio segue dfp(v) = 〈∇f(p) , v〉 = 0, ∀v ∈ TpX. Vale pertanto il seguente

risultato.

Teorema di Fermat (per gli estremi vincolati). Siano X un sottoinsieme di Rk ed f una

funzione reale di classe C1 su un aperto U contenente X. Se p ∈ X e un punto regolare

per l’insieme X (cioe CpX = TpX) ed e estremante per f in X (ossia e un punto di

massimo o di minimo locale per la restrizione di f ad X), allora il gradiente ∇f(p) di f

in p e ortogonale a TpX.

Il risultato che segue, basato sul Teorema di Fermat, fornisce un metodo pratico per

determinare i possibili punti di massimo e minimo condizionati, quando il vincolo e una

varieta di livello regolare.

Teorema (metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei massimi e minimi

vincolati). Sia g : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto U di Rk. Supponiamo

che g non abbia punti critici in M = g−1(0). Se f : U → R e una funzione reale di classe

C1 su U e p ∈M e un punto estremante per f in M , allora esiste µ ∈ Rs con la proprieta

che nel punto (p, µ) ∈ U×Rs si annulla il gradiente della funzione F : U×Rs → R definita

da F (x, λ) = f(x)− 〈λ , g(x)〉.

Dimostrazione. Osserviamo che le prime k equazioni che si ottengono uguagliando a ze-

ro le derivate parziali della funzione F (x, λ) equivalgono ad affermare che il gradiente di

f in p e combinazione lineare dei gradienti in p delle funzioni g1, g2, . . . , gs componen-

ti la g, mentre le ultime s ci dicono che p sta nel vincolo g−1(0). Poiche la condizione

p ∈ g−1(0) e vera per ipotesi, e sufficiente provare che ∇f(p) e combinazione lineare dei

vettori ∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gs(p). Dato che p e un punto estremante, in base al Teorema

di Fermat (per gli estremi vincolati), ∇f(p) appartiene allo spazio Tp(M)⊥ ortogonale a

Tp(M), che ha ovviamente dimensione s, visto che dimTp(M) = dimM = k− s. Essendo

le funzioni gi costanti su M , anche gli s vettori ∇gi(p) appartengono a Tp(M)⊥. Il risul-

tato segue quindi se si mostra che tali vettori sono linearmente indipendenti: in questo

caso, essendo esattamente s, generano tutto lo spazio Tp(M)⊥. Per provare cio basta os-

servare che ∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gs(p) sono le s righe della matrice jacobiana, valutata in

p, dell’applicazione g, e tale matrice, avendo per ipotesi rango s, ha le righe linearmente

indipendenti.

Per illustrare il metodo di Lagrange, supponiamo, ad esempio, k = 3 ed s = 2. Ossia

supponiamo che si debbano trovare i punti estremanti di una funzione f(x, y, z) con le

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condizioni g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0, che definiscono il vincolo. Assumiamo che le

funzioni f , g1 e g2 siano di classe C1 (su un aperto di R3) e che la matrice jacobiana di

g = (g1, g2) abbia rango 2 in ogni punto (x, y, z) che verifica le suddette condizioni. La

funzione di Lagrange in questo caso ha 3 + 2 variabili ed e cosı definita:

F (x, y, z, λ1, λ2) = f(x, y, z)− λ1g1(x, y, z)− λ2g2(x, y, z).

Le due variabili λ1 e λ2 si chiamano moltiplicatori di Lagrange. Per trovare gli eventuali

punti estremanti per la restrizione di f al vincolo, basta uguagliare a zero le cinque derivate

parziali della F e risolvere il sistema (di cinque equazioni in cinque incognite) cosı ottenuto.

Se (p, µ) = (x0, y0, z0, µ1, µ2) e una soluzione del sistema, le prime tre equazioni ci dicono

che ∇f(p) = µ1∇g1(p) + µ2∇g2(p), e cio equivale ad affermare che ∇f(p) ∈ Tp(M)⊥,

mentre le rimanenti due implicano p ∈ g−1(0).

Osserviamo che, col metodo di Lagrange, per risolvere un problema di massimi e minimi

condizionati si opera come se si dovessero cercare dei massimi e minimi liberi. Pagando

tuttavia un prezzo: da una funzione di k variabili si passa ad una di k + s variabili.

E bene ricordarsi che, come per il Teorema di Fermat, il metodo di Lagrange da soltanto

una condizione necessaria affinche un punto sia estremante. In altre parole, quello che

possiamo affermare e che se in un punto p del vincolo M il gradiente di f non e combi-

nazione lineare dei gradienti delle funzioni gi che definiscono il vincolo, allora p non puo

essere estremante. Fisicamente questo significa che se si interpreta f come il potenziale di

una forza (conservativa), allora il vettore ∇f(p) rappresenta la forza che agisce sul punto

(materiale) p vincolato alla varieta g−1(0), e se la sua componente parallela al vincolo non

e nulla (ossia se ∇f(p) non e ortogonale a Tp(M)), allora p non puo stare in equilibrio.

La seguente condizione sufficiente per i punti di minimo e una conseguenza della condizione

necessaria (per i punti di massimo).

Teorema (condizione sufficiente del prim’ordine per i punti di minimo). Sia f : X → Runa funzione di classe C1 su un sottoinsieme X di Rk e sia p un punto di X. Se dfp(v) > 0,

∀v ∈ CpX \0, allora p e un punto di minimo locale (stretto) per f .

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che p non sia di minimo locale (stretto) per f in

X. Allora p e un punto di accumulazione per l’insieme

A =x ∈ X : f(x) ≤ f(p)

.

Esiste quindi un vettore non nullo v ∈ CpA ⊆ CpX. Chiaramente p e un punto di massimo

(assoluto) per f in A. Di conseguenza, per la condizione necessaria del prim’ordine, si ha

dfp(v) ≤ 0, che e in contrasto con l’ipotesi essendo v un vettore non nullo di CpX.

11 gennaio 2011 19


10 - Mercoledı 03/11/10

Definizione. Sia f : U → R una funzione reale di classe Cn su un aperto U di Rk. Il

differenziale n-esimo dnfp di f in un punto p ∈ U e il prodotto di n! per il polinomio

omogeneo di grado n (eventualmente nullo) della formula di Taylor di ordine n di f in p.

In base alla suddetta definizione, la formula di Taylor di f in p (col resto nella forma di

Peano) si scrive nel seguente modo:

f(p+ h) = f(p) +dfp(h)

1!+d2fp(h)

2!+ · · ·+ dnfp(h)

n!+ o(‖h‖n).

Non e difficile provare (basandosi sulla formula di Taylor per funzioni reali di variabile

reale) che, dato h ∈ Rk, il valore dnfp(h) non e altro che la derivata n-esima nel punto t = 0

della funzione (reale di variabile reale) ϕ(t) = f(p + th). Pertanto, esiste un altro modo

(equivalente al precedente) per definire il differenziale n-esimo: data f : U → R di classe

Cn su un aperto U di Rk, il differenziale n-esimo di f e l’applicazione dnf : U × Rk → Rche ad ogni vettore applicato (p, h) ∈ U ×Rk (con punto di applicazione p e vettore libero

h) associa la derivata n-esima (denotata dnfp(h) o dnf(p, h)) nel punto t = 0 della funzione

ϕ(t) = f(p + th). Non e difficile verificare che se con ∆f si denota l’applicazione che ad

ogni (p, h) ∈ U × Rk associa l’incremento subito dalla f nel passare dal punto p al punto

p + h, allora, fissato il punto di applicazione p ∈ U , per ogni h nell’insieme −p + U (cioe

per h ∈ Rk tale che p+ h ∈ U) risulta

∆fp(h) =dfp(h)

1!+d2fp(h)

2!+ · · ·+ dnfp(h)

n!+ ‖h‖nε(h),

dove h 7→ ε(h) e una funzione reale, continua e nulla per h = 0.

Teorema (condizione necessaria del second’ordine per i punti di minimo). Siano X un

sottoinsieme di Rk, U un aperto contenente X ed f : U → R una funzione di classe C2.

Supponiamo che p ∈ X sia un punto di minimo locale per f in X e che dfp(v) = 0,

∀v ∈ Rk. Allora d2fp(v) ≥ 0, ∀v ∈ CpX. Ossia, denotata con H la matrice hessiana di f

in p, risulta 〈Hv , v〉 ≥ 0, ∀v ∈ CpX.

Dimostrazione. Fissiamo un vettore v ∈ CpX e proviamo che d2fp(v) ≥ 0. Poiche d2fp e

una funzione omogenea di grado 2, non e restrittivo supporre ‖v‖ = 1. Esiste allora una

successione pn in X \p tale che pn → p e (pn−p)/‖pn−p‖ → v. Essendo p e un punto

di minimo locale per f in X, si puo assumere f(pn) ≥ f(p). Dalla formula di Taylor del

second’ordine di f in p si ottiene

0 ≤ f(pn)− f(p) = dfp(pn − p) +1

2d2fp(pn − p) + o(‖pn − p‖2).

Pertanto, tenendo conto che dfp = 0, risulta

0 ≤ 1

2d2fp(pn − p) + o(‖pn − p‖2),

11 gennaio 2011 20


Dato che d2fp una funzione omogenea di secondo grado, dividendo entrambi i membri per

‖pn − p‖2, si ottiene

0 ≤ 1

2d2fp

(pn − p‖pn − p‖

)+o(‖pn − p‖2)‖pn − p‖2

,

e passando al limite per n→∞ si ha infine d2fp(v) ≥ 0.

Il seguente risultato e un’immediata conseguenza della condizione necessaria del second’or-

dine per i punti di massimo. La dimostrazione viene omessa perche e simile a quella

riguardante la condizione sufficiente del prim’ordine (per i punti di minimo).

Teorema (condizione sufficiente del second’ordine per i punti di minimo). Siano X un

sottoinsieme di Rk, U un aperto contenente X ed f : U → R una funzione di classe C2.

Supponiamo che per p ∈ X si abbia dfp(v) = 0, ∀v ∈ Rk e d2fp(v) > 0, ∀v ∈ CpX \0.Allora p e un punto di minimo locale (stretto) per f in X.

Il risultato che segue e una facile conseguenza delle due condizioni del second’ordine per i

punti di minimo (quella sufficiente e quella necessaria).

Teorema (condizione sufficiente per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange). Sia M

una varieta differenziabile m-dimensionale definita da un’equazione del tipo g(x) = 0,

dove g : U → Rs e di classe C2 su un aperto U di Rk e 0 e un valore regolare per g. Data

f : U → R di classe C2, supponiamo che la coppia (p, µ) ∈ U×Rs annulli il gradiente della

funzione F : U×Rs → R definita da F (x, λ) = f(x)−〈λ , g(x)〉. Consideriamo la funzione

ϕ : U → R data da ϕ(x) = f(x)− 〈µ , g(x)〉. Allora, se la forma quadratica definita dalla

restrizione di d2ϕp allo spazio tangente TpM e definita positiva, p e un punto di minimo

locale per f in M , se e definita negativa e un punto di massimo, se e indefinita non e ne

di massimo ne di minimo.

Dimostrazione. Ovviamente il punto p appartiene ad M , perche uguagliando a zero le

ultime s derivate di F si ottengono le equazioni

g1(x) = 0, g2(x) = 0, . . . , gs(x) = 0,

che definiscono M . Osserviamo ora che le due funzioni ϕ ed f coincidono in M , e pertanto

i punti estremanti per la loro restrizione ad M sono gli stessi. Il vantaggio nel sostituire f

con ϕ e dovuto al fatto che il gradiente di quest’ultima e nullo in p (si prova uguagliando a

zero le prime k derivate parziali di F ), e quindi entrambe le condizioni del second’ordine,

la necessaria e la sufficiente, sono applicabili in tal punto. Chiarito cio, il resto e facile

conseguenza delle suddette condizioni. La sufficiente si applica se la forma quadratica e

definita (positiva o negativa) e la necessaria se la forma quadratica e indefinita.

Il seguente risultato, di cui omettiamo la dimostrazione e che riportiamo per completezza,

e un’estensione della condizione sufficiente del second’ordine (per i punti di minimo).

11 gennaio 2011 21


Teorema (condizione sufficiente di tipo misto per i punti di minimo). Siano X un sot-

toinsieme di Rk, U un aperto contenente X ed f : U → R una funzione reale di classe

C2. Supponiamo che p ∈ X sia un punto di minimo locale per la restrizione ad X del

differenziale dfp : Rk → R (ossia, dfp(x − p) ≥ 0 per ogni x in un conveniente intorno di

p in X). Se d2fp(v) > 0, ∀v ∈ (Ker dfp ∩CpX) \0, allora p e un punto di minimo locale

(stretto) per f in X.

Si fa notare che quando il differenziale dfp : Rk → R e nullo, la suddetta condizione suffi-

ciente di tipo misto si riduce a quella del second’ordine (pag. 21). Infatti, in tal caso, p e

banalmente un punto di minimo per dfp e (Ker dfp ∩ CpX) \0 = CpX \0.

Esempio. Consideriamo la funzione f : Q→ R definita nel quadrato Q = [0, 1]× [0, 1] di

R2 da f(x, y) = sen y − cosx+ cos y. La formula di MacLaurin del second’ordine di f e

f(x, y) = y +x2

2− y2

2+ o(ρ2),

dove ρ =√x2 + y2. Quindi, posto p = (0, 0), si ha dfp(x, y) = y e d2fp(x, y) = x2 − y2.

Pertanto la condizione sufficiente di tipo misto ci assicura che p e un punto di minimo locale

per f in Q. Infatti p e un punto di minimo in Q per il differenziale primo (rappresentato

dalla forma lineare y) e il differenziale secondo (rappresentato dalla forma quadratica

x2 − y2) e positivo lungo i vettori della semiretta Ker dfp ∩ CpX generata da v = (1, 0).

11 - Giovedı 04/11/10

Definizione. Dato uno spazio vettoriale (reale) E e dato un funzionale lineare non nullo

y∗ ∈ E∗, l’insieme x ∈ E : y∗(x) ≥ 0 si dice un semispazio (chiuso) di E.

Definizione. Il semispazio standard di Rm e l’insieme Hm = x ∈ Rm : xm ≥ 0costituito dai punti di Rm la cui ultima coordinata e non negativa (ossia, dai punti in cui

il funzionale πm, che ad ogni x di Rm associa l’ultima coordinata xm, e non negativo).

Definizione. Un sottoinsieme X di Rk si dice una varieta (differenziabile) con bordo, o

una ∂-varieta, di classe Cr e dimensione m, se e localmente Cr-modellato su Hm; ossia se

e localmente Cr-diffeomorfo agli aperti di Hm.

Definizione. Il confine δX di una varieta con bordo X si chiama bordo di X e si denota

col simbolo ∂X.

Il termine “bordo” e il simbolo “∂” sono riservati esclusivamente alle varieta con bordo,

mentre il confine e un concetto generale che ha senso per ogni sottoinsieme di Rk.

Esempi banali di varieta con bordo:

1) Hm e una varieta con bordo (di classe C∞ e dimensione m);

2) ogni aperto U di una varieta con bordo X e una varieta con ∂U = U ∩ ∂X;

11 gennaio 2011 22


3) ogni varieta X senza bordo e una varieta con bordo e ∂X = ∅.4) l’intervallo [0, 1] e una varieta unidimensionale con ∂[0, 1] = 0, 1.

Esempio di varieta con bordo (dedotto dalla definizione):

D2 =

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1.

Un diffeomorfismo (di classe Cr) da un aperto di una varieta con bordo (di classe Cr) su

un aperto di un semispazio standard di uno spazio euclideo si chiama carta (o sistema

di coordinate). L’applicazione inversa di una carta si chiama parametrizzazione (di un

aperto della varieta: il dominio della carta). Un atlante (di classe Cr) di una varieta e

una collezione di carte (di classe Cr) i cui domini coprono la varieta. Un atlante si dice

massimale se contiene tutte le possibili carte.

Osservazione (sulla regolarita delle varieta differenziabili con bordo). Se X ⊆ Rk e una

varieta con bordo di dimensione m, allora, ∀p ∈ X, si ha dimTpX = m. Inoltre, se p e un

punto del bordo di X, allora CpX e un semispazio di TpX.

Definizione. Sia X una varieta m-dimensionale con bordo e sia p ∈ ∂X. Un vettore

v ∈ TpX si dice diretto (o che punta) verso l’interno se appartiene a CpX. Si dice

diretto verso l’esterno se −v ∈ CpX. Si dice che punta strettamente verso l’interno (risp.

verso l’esterno) se e diretto verso l’interno (risp. l’esterno) ma non e tangente al bordo.

Osserviamo che i vettori tangenti al bordo sono quelli diretti sia verso l’interno che verso

l’esterno.

Osservazione. Per il teorema di invarianza del confine, se ϕ : U → Hm e una carta di una

varieta con bordo X, si ha ϕ(U ∩ ∂X) = ϕ(U) ∩ ∂Hm. Pertanto, essendo ∂Hm ∼= Rm−1,∂X e una varieta senza bordo di dimensione m− 1, ovviamente della stessa classe di X.

Esercizio. Provare che il quadrato [0, 1]2 ⊆ R2 non e una varieta con bordo (questo

implica che la categoria delle varieta con bordo di classe Cr non e chiusa rispetto al

prodotto). Mostrare che se si rimuovono i quattro vertici del quadrato, quello che resta e

una varieta con bordo di classe C∞ (ovviamente non compatta).

Esercizio. Data una varieta X con bordo, provare che il suo interno, X \ ∂X, e un aperto

di X ed e una varieta senza bordo.

Definizione. Un sottoinsieme X di Rk si dice una varieta con spigoli di classe Cr e

dimensione m, se e localmente Cr-modellato sul cono standard

Km = x ∈ Rm : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xm ≥ 0

di Rm, ossia se ogni punto di X ammette un intorno Cr-diffeomorfo ad un aperto di Km.

Osservazione. La categoria delle varieta con spigoli e chiusa rispetto al prodotto.

11 gennaio 2011 23


Osservazione. Ogni varieta con bordo e una varieta con spigoli.

12 - Martedı 09/11/10

Esercizio. Estendere le nozioni di punto critico, punto regolare, valore critico e valore

regolare al caso di applicazioni tra varieta differenziabili.

Il risultato che segue, valido per applicazioni tra varieta differenziabili, e un’immediata

conseguenza del Lemma di Sard (pag. 8). Ricordiamo infatti che le varieta differenziabili

sono localmente diffeomorfe agli aperti degli spazi euclidei.

Lemma di Sard–Brown (per applicazioni tra varieta). Sia f : M → N un’applicazione

Cr tra varieta di classe Cr. Se r > max0, dimM − dimN, allora l’insieme dei valori

regolari per f e denso in N .

Si fa notare che se f : M → N e un’applicazione C1 tra varieta differenziabili, analoga-

mente a quanto si e visto per il caso in cui M e un aperto di Rk ed N = Rs, l’insieme C

dei punti critici di f e un chiuso (relativo ad M). Di conseguenza, se f e propria, l’insieme

N \ f(C) dei valori regolari e un aperto di N , e quindi e anche una varieta differenziabile.

Esercizio. Enunciare il teorema della funzione inversa locale per applicazioni tra varieta

differenzianili.

Esercizio. Sia ϕ : M → N un diffeomorfismo (di classe C1) tra varieta differenziabili.

Data una varieta differenziabile Z, supponiamo che f : M → Z e g : N → Z si corrispon-

dano tramite ϕ (cioe f = g ϕ). Provare che i punti critici (e i punti regolari) di f e di g

si corrispondono tramite ϕ. Dedurre da cio che le due applicazioni hanno gli stessi valori

critici (e valori regolari).

Esercizio. Sia M una varieta m-dimensionale senza bordo. Provare che ogni punto di M

ammette un intorno diffeomorfo ad Rm.

Suggerimento. Mostrare prima che ogni punto di M ammette un intorno diffeomorfo ad

una palla aperta.

Esercizio. Sia X una varieta m-dimensionale con bordo. Provare che ogni punto di ∂X

ammette un intorno diffeomorfo ad Hm.

Suggerimento. Mostrare prima che ogni punto di ∂X ammette un intorno diffeomorfo

all’insieme Bm ∩Hm, dove Bm denota la palla unitaria aperta di Rm.

Lemma (del taglio). Sia M una varieta m-dimensionale senza bordo di classe Cr e

sia f : M → R un’applicazione Cr. Se 0 e un valore regolare per f , allora l’insieme

X = x ∈ M : f(x) ≥ 0 e una varieta m-dimensionale di classe Cr con ∂X = f−1(0).

Inoltre, se p ∈ ∂X, si ha CpX = v ∈ TpM : dfp(v) ≥ 0.

Dimostrazione. Sia p ∈M . Se f(p) > 0, allora esiste un intorno U di p in M diffeomorfo

11 gennaio 2011 24


ad un aperto V di Rm. Non e restrittivo assumere che U sia contenuto in X e che V

sia contenuto nell’interno di Hm. Supponiamo ora f(p) = 0 e consideriamo una carta

ϕ definita su un intorno W di p in M . Poiche il differenziale dϕp : TpM → Rm e un

isomorfismo, il sottospazio E = dϕp(Ker dfp) di Rm ha dimensione m− 1 (ricordiamo che

p e un punto regolare per f e, di conseguenza, dim Ker dfp = m − 1). Esiste quindi un

operatore lineare L : Rm → Rm−1 la cui restrizione ad E e un isomorfismo. Consideriamo

l’applicazione ψ : W → Rm−1 × R definita da ψ(x) = (L(ϕ(x)), f(x)). Mostriamo che la

restrizione di ψ ad un conveniente intorno di p e una carta di M . In base al teorema

della funzione inversa locale e sufficiente provare che dψp : TpM → Rm e un isomorfismo o,

equivalentemente, che dψp e 1−1 (ricordiamo dψp opera tra spazi della stessa dimensione).

Si ha dψp(v) = (L(dϕp(v)), dfp(v)). Quindi

(L(dϕp(v)), dfp(v)) = (0, 0) ∈ Rm−1 × R =⇒ v ∈ Ker dfp =⇒ dϕp(v) ∈ E.

Poiche la restrizione di L ad E e 1−1, la condizione L(dϕp(v)) = 0 implica dϕp(v) = 0 che,

a sua volta, implica v = 0 (ricordiamo che dϕp un isomorfismo). Dunque, la restrizione

di ψ ad un conveniente intorno Ω di p e un diffeomorfismo su un intorno ψ(Ω) di ψ(p).

Si osservi che la restrizione di ψ a Ω ∩X ha per immagine ψ(Ω) ∩Hm. Quindi l’intorno

Ω ∩X di p in X e diffeomorfo all’aperto ψ(Ω) ∩Hm di Hm.

Rimane da provare che CpX = v ∈ TpM : dfp(v) ≥ 0. E questo segue immediatamente

dal fatto che, essendo ψ : Ω ∩X → ψ(Ω) ∩Hm un diffeomorfismo, dψp = (L dϕp, dfp) e

un isomorfismo che fa corrispondere i coni tangenti (in p ad X e in ψ(p) ad Hm).

Si osservi che il lemma del taglio si applica immediatamente al seguente esempio:

D2 =

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1.

Esercizio. Verificare, in funzione di c ∈ R, quando e possibile applicare il lemma del

taglio al seguente sottoinsieme di S2:

Xc =

(x, y, z) ∈ S2 : z ≥ c.

L’esempio che segue mostra che nel lemma del taglio l’ipotesi che 0 sia un valore regolare

per f non puo essere rimossa.

Esempio. Con le notazioni del lemma del taglio, se M = R ed f : R → R e la funzione

f(x) = x2, si ha

X = x ∈M : f(x) ≥ 0 = R.

Quindi X e una varieta con bordo, ma ∂X, che e vuoto, non coincide f−1(0) = 0. Si

osservi che 0 non e un valore regolare per f .

11 gennaio 2011 25


Il seguente esempio mostra che le ipotesi del lemma del taglio non sono necessarie affinche

valga per la tesi.

Esempio. Con le notazioni del lemma del taglio, se M = R ed f : R → R e la funzione

f(x) = x3, si ha

X = x ∈M : f(x) ≥ 0 = [0,+∞).

Pertanto, sebbene 0 non sia un valore regolare per f , l’insieme X e una varieta con bordo

e ∂X = f−1(0).

13 - Mercoledı 10/11/10

Corollario (della condizione necessaria del prim’ordine per i punti di minimo). Sia

f : M → R di classe C1 su una varieta differenziabile e sia p un punto estremante (per

f). Allora p e un punto critico.

Con riferimento al suddetto corollario si osservi che, in base alla definizione di punto

estremante, esiste un intorno U di p in M con la proprieta che f(p) non e interno ad

f(U). Il risultato che segue afferma che anche se f non e a valori reali (purche sia C1),

quando cio accade, p e necessariamente un punto critico. Pertanto tale risultato, la cui

dimostrazione e basata sul teorema della funzione inversa locale, generalizza il precedente

corollario.

Teorema. Se f : M → N e un’applicazione C1 tra varieta differenziabili e p e un punto

regolare per f , allora f(p) e interno ad f(U), qualunque sia l’intorno U di p in M .


Esempio. In base al teorema precedente, un’applicazione f : S2 → R2 di classe C1 ha

necessariamente infiniti punti critici. Infatti, o e costante, e allora tutti i punti sono critici,

oppure la sua immagine ha infiniti punti di frontiera (tutti appartenenti all’immagine)

ciascuno dei quali proviene (soltanto) da punti critici.

Lemma (del nucleo emergente). Sia L : E → F un’applicazione lineare tra spazi vettoriali.

Supponiamo che la restrizione di L ad un sottospazio proprio E0 di E sia suriettiva. Allora

il nucleo di L non e (interamente) contenuto in E0.

Dimostrazione. Sia x1 un punto di E\E0. Poiche la restrizione di L ad E0 e suriettiva,

esiste un x0 ∈ E0 tale che Lx0 = Lx1. Pertanto il punto x = x1 − x0 sta nel nucleo di L

ma non sta in E0 (altrimenti ci starebbe anche x1 = x+ x0).

Il risultato che segue e un’immediata conseguenza del teorema di regolarita delle soluzioni

negli aperti.

Teorema (di regolarita delle soluzioni per varieta senza bordo). Sia f : M → N un’appli-

cazione Cr tra due varieta di classe Cr e sia q ∈ N un valore regolare per f . Allora f−1(q)

11 gennaio 2011 26


e una varieta senza bordo di classe Cr e dimensione m−n, dove m ed n sono le dimensioni

di M ed N , rispettivamente. Inoltre, dato p ∈ f−1(q), si ha Tpf−1(q) = Ker dfp.

14 - Giovedı 11/11/10

Osservazione (utile per comprendere meglio le ipotesi e la dimostrazione del teorema che

segue). Siano M ed N due varieta differenziabili senza bordo di classe Cr e dimensione m

ed n, rispettivamente, e sia M0 una sottovarieta di M di dimensione k < m. Supponiamo

che q ∈ N sia un valore regolare per la restrizione ad M0 di una f : M → N di classe Cr.

Allora (per il teorema di regolarita delle soluzioni per le varieta senza bordo) f−1(q)∩M0

e una varieta senza bordo di dimensione k − n. Inoltre, fissato p ∈ f−1(q) ∩M0, esiste

un intorno di p in M fatto di punti regolari per f (si osservi che p, essendo regolare per

la restrizione di f a M0, e regolare anche per f). Pertanto, f−1(q), in tale intorno, e

una varieta m − n dimensionale il cui spazio tangente Tpf−1(q) = Ker dfp (in base al

precedente lemma) non e contenuto in TpM0. Nelle suddette ipotesi, cioe quando q e un

valore regolare per la restrizione di f ad M0, si usa dire che f−1(q) incontra (o interseca)

trasversalmente M0.

Teorema (di regolarita delle soluzioni per varieta con bordo). Sia f : X → N un’ap-

plicazione Cr tra una varieta m-dimensionale con bordo di classe Cr ed una varieta

n-dimensionale senza bordo di classe Cr. Supponiamo che q ∈ N sia un valore rego-

lare sia per f sia per la restrizione di f a ∂X. Allora f−1(q) e una varieta con bordo di

classe Cr e dimensione m− n. Inoltre ∂f−1(q) = ∂X ∩ f−1(q).

Dimostrazione. Fissiamo p ∈ f−1(q). Si hanno due possibilita: p /∈ ∂X o p ∈ ∂X.

Nel primo coso p ammette un intorno diffeomorfo ad un aperto limitato di Rm−n, che,

a sua volta, risulta diffeomorfo ad aperto di Hm−n. Infatti, per il teorema di regolarita

delle soluzioni per varieta senza bordo, l’insieme f−1(q) \ ∂X e una varieta senza bordo

di classe Cr e dimensione m − n (ricordiamo che X \ ∂X e una varieta senza bordo).

Supponiamo quindi p ∈ ∂X. Poiche la proprieta che dobbiamo dimostrare e invariante

per diffeomorfismi, ed e locale, si puo assumere X = Hm (infatti p ammette un intorno

in X diffeomorfo ad Hm) ed N = Rn (dato che esiste un intorno di q in N diffeomorfo ad

Rn). Inoltre, l’applicazione f , essendo Cr su Hm, ammette un’estensione locale g di classe

Cr su un intorno aperto di p in Rm. Non e restrittivo supporre che tale aperto coincida con

tutto Rm. Per ipotesi p e un punto regolare per la restrizione di f a ∂Hm = Rm−1×0.Quindi p risulta regolare anche per la restrizione di g, dato che g = f in ∂Hm. Ne segue

che p e un punto regolare anche per g : Rm → N . Poiche l’insieme dei punti regolari e un

aperto, p ammette un intorno (in Rm) composto soltanto da punti regolari per g. Si puo

anche assumere che in tale intorno ogni punto di ∂Hm sia regolare per la restrizione di g

a ∂Hm. Ovviamente si puo supporre che detto intorno coincida con Rm (ricordiamo di

nuovo che ogni palla aperta di Rm e diffeomorfa ad Rm).

11 gennaio 2011 27


Ricapitolando: g e un’applicazione da Rm in Rn di classe Cr priva di punti critici, ogni

punto di ∂Hm e regolare per la restrizione di g a ∂Hm, f−1(q) = g−1(q) ∩Hm.

Per il teorema di regolarita delle soluzioni per varieta senza bordo, l’insieme di livello

g−1(q) e una varieta senza bordo di dimensione m− n (e classe Cr). Osserviamo che

f−1(q) =x ∈ g−1(q) : πm(x) ≥ 0

,

dove πm : Rm → R e l’applicazione “ultima coordinata”. La tesi segue dal lemma del

taglio, purche il punto p sia regolare per la restrizione di πm a g−1(q). In tal caso, infatti,

0 ∈ R risulta essere un valore regolare per la restrizione di πm ad un conveniente intorno

di p in g−1(q). Occorre quindi provare che il differenziale di πm in p (che, osserviamo,

coincide con πm) ristretto allo spazio Tpg−1(q) = Ker dgp e suriettivo, ovvero non nullo

(dato che il suo codominio e R). Ossia occorre provare che Ker dgp non e contenuto in

Kerπm = Rm−1×0. Cio e vero, in base al lemma del nucleo emergente (pag. 26), perche

per ipotesi la restrizione di dgp a Tp∂Hm = Rm−1×0 e suriettiva.

Si fa notare che nel teorema di regolarita delle soluzioni per varieta con bordo, l’ipotesi

che q sia un valore regolare per f implica che q e regolare anche per la restrizione di f alla

varieta senza bordo X \ ∂X. Di conseguenza f−1(q) \ ∂X e una varieta senza bordo. Da

cio segue che gli eventuali punti di confine di f−1(q) stanno necessariamente nel bordo di

X. L’ipotesi che il valore q sia regolare anche per la restrizione di f a ∂X assicura che

ogni punto di ∂X ∩ f−1(q) e effettivamente di confine per f−1(q).

Esercizio. Siano X = D2 =

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, N = R, q = 0 ed f : D2 → R

definita da f(x, y) = y−x2. Mostrare che sono verificate le ipotesi del teorema di regolarita

delle soluzioni per varieta con bordo.


(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 ≤ 1, N = R ed f : D3 → R tale

che f(x, y, z) = z. Stabilire per quali valori q ∈ R sono verificate le ipotesi del teorema di

regolarita delle soluzioni per varieta con bordo.


(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, N = R2 ed f : D3 → R2

definita da f(x, y, z) = (x, y). Stabilire per quali valori q = (x0, y0) ∈ R2 sono verificate le

ipotesi del teorema di regolarita delle soluzioni per varieta con bordo.

L’esempio che segue mostra che nel teorema di regolarita delle soluzioni per varieta con

bordo l’ipotesi che q sia un valore regolare per la restrizione di f al bordo di X non puo

essere rimossa.

Esempio. Con le notazioni del teorema di regolarita delle soluzioni per varieta con bordo,

siano X = H2, N = R, q = 0 ed f : H2 → R la funzione f(x, y) = y − x2. In questo

caso f−1(0) e la parabola di equazione y = x2, che e una varieta unidimensionale senza

bordo. Poiche tale parabola interseca il bordo di H2, non vale l’uguaglianza ∂f−1(0) =

11 gennaio 2011 28


∂H2 ∩ f−1(0). Quindi 0 ∈ R, pur essendo un valore regolare per f , in base al suddetto

teorema non puo esserlo per la restrizione di f al bordo di H2 (verificarlo per esercizio).

Definizione. Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice un retratto di X se

esiste un’applicazione continua r : X → A, detta retrazione, tale che r(x) = x per ogni

x ∈ A.

Osserviamo che se A e un retratto di X, allora coincide con l’insieme dei punti fissi

dell’applicazione p : X → X (detta proiezione) ottenuta componendo la retrazione con

l’inclusione di A in X. Pertanto, se X e uno spazio di Hausdorff, allora A e necessariamente

chiuso in X.

Osservazione. I punti di uno spazio X sono retratti di X.

Osservazione. Se X e uno spazio compatto, o connesso, allora lo e anche ogni suo

retratto.

Osservazione. Se A ⊆ X e un retratto di X, allora e anche retratto di ogni sottoinsieme

B di X contenente A.

15 - Martedı 16/11/10

Definizione. Si dice che uno spazio topologico X ha la proprieta del punto fisso se ogni

applicazione continua di X in se ammette almeno un punto fisso.

Si osservi che la proprieta del punto fisso e topologica. Vale a dire che se due spazi sono

omeomorfi e uno ha la proprieta del punto fisso, anche l’altro ce l’ha.

Esercizio. Dedurre dal teorema di esistenza degli zeri che l’intervallo [0, 1] ha la proprieta

del punto fisso.

Esercizio. Provare che la sfera unitaria Sm di Rm+1 non ha la proprieta del punto fisso.

Esercizio. Provare che i retratti ereditano la proprieta del punto fisso. Mostrare cioe che

se uno spazio topologico X ha la proprieta del punto fisso, allora ogni suo retratto ha la

stessa proprieta.

La dimostrazione del seguente importante risultato si trova in appendice nel Milnor (To-

pology from the differentiable viewpoint).

Teorema (di classificazione delle varieta unidimensionali). Ogni varieta connessa, unidi-

mensionale, di classe Cr, e Cr-diffeomorfa ad uno dei seguenti quattro modelli: S1 se e

compatta senza bordo; [0, 1] se e compatta con bordo; (0, 1) se e non compatta senza bordo;

[0, 1) se e non compatta con bordo.

Lemma di non esistenza della retrazione (dimostrazione di Hirsch). Sia X una

11 gennaio 2011 29


varieta compatta, con bordo, di classe C∞. Allora ∂X non e un retratto C∞ di X.

Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che esista una retrazione r : X → ∂X di classe

C∞. Per il Lemma di Sard–Brown, r ammette un valore regolare q ∈ ∂X. Osserviamo che

q e regolare anche per la restrizione di r a ∂X. Quindi, per il teorema di regolarita delle

soluzioni per le varieta con bordo, l’insieme compatto r−1(q) e una ∂-varieta di dimensione

1 il cui bordo coincide con r−1(q) ∩ ∂X = q. Sia Γ la componente connessa di r−1(q)

contenente il punto q. Poiche le componenti connesse degli spazi topologici sono insiemi

chiusi, Γ e una varieta unidimensionale, compatta, connessa. Dunque, per il teorema

di classificazione delle varieta unidimensionali, Γ e diffeomorfa all’intervallo [0, 1] e, di

conseguenza, il suo bordo e costituito da due punti, necessariamente appartenenti a ∂X.

Un punto e q. E l’altro?

Lemma. Ogni applicazione di classe C∞ dal disco unitario

Dk =x ∈ Rk : ‖x‖ ≤ 1

in se ammette almeno un punto fisso.

Dimostrazione. La traccia della dimostrazione e semplice (i dettagli un po’ meno): si

basa sul fatto che non puo esistere una retrazione C∞ da Dk su ∂Dk = Sk−1. Infatti,

se esistesse una f : Dk → Dk priva di punti fissi, dato un arbitrario x ∈ Dk sarebbe ben

definita la retta passante per x e f(x). Tale retta incontrerebbe Sk−1 in due punti distinti,

uno (ed uno solo) dei quali, r(x), piu vicino a x che a f(x). Risulterebbe quindi ben

definita un’applicazione r : Dk → ∂Dk con la proprieta r(x) = x, ∀x ∈ ∂Dk. Ricordiamo

che il lemma di non esistenza della retrazione (pag. 29) esclude che l’applicazione r possa

essere di classe C∞.

Inoltriamoci ora nei dettagli: occorre provare che se esistesse una f : Dk → Dk priva di

punti fissi e di classe C∞, allora anche l’applicazione r associata risulterebbe di classe C∞.

Supponiamo quindi che una tale f esista. Per ogni x ∈ Dk definiamo il versore

u(x) =x− f(x)

‖x− f(x)‖.

Notiamo che l’applicazione x 7→ u(x) e di classe C∞, perche di tale classe risultano sia f

sia la restrizione della norma a Rk \0. Consideriamo la retta parametrica t 7→ x+ tu(x),

passante per x e per f(x). Tale retta incontra Sk−1 in due punti distinti, corrispondenti ai

valori del parametro t che risolvono l’equazione ‖x+ tu(x)‖2 = 1. Sviluppando il quadrato

si ottiene la seguente equazione di secondo grado in t:

t2 + 2t〈x, u(x)〉+ ‖x‖2 − 1 = 0.

La soluzione che ci interessa e quella maggiore o uguale a zero. Cioe

t(x) = −〈x, u(x)〉+√〈x, u(x)〉2 + 1− ‖x‖2 .

11 gennaio 2011 30


Dei due punti di intersezione della retta parametrica t 7→ x + tu(x) con la sfera unitaria,

quello che sta dalla parte di x e r(x) = x+ t(x)u(x). Gli studenti sono invitati a verificare

che t(x) = 0 (cioe r(x) = x) quando x ∈ Sk−1 e che la l’applicazione r : Dk → Sk−1 e

di classe C∞ (perche la funzione dentro la radice della precedente formula non puo mai

annullarsi). Fatti i dovuti controlli, si contraddice lemma di non esistenza della retrazione.

Pertanto, non puo esistere un’applicazione f : Dk → Dk di classe C∞ priva di punti fissi.

16 - Mercoledı 17/11/10

Riportiamo, senza dimostrazione, il seguente importante risultato.

Teorema di approssimazione di Weierstrass. Sia f : K → R una funzione continua

su un compatto di Rk. Allora, fissato ε > 0, esiste un polinomio reale di k variabili reali,

P : Rk → R, per il quale si ha |P (x)− f(x)| < ε per ogni x ∈ K.

Corollario. Sia f : K → Rs continua su un compatto K ⊆ Rk. Allora, fissato ε > 0,

esiste un’applicazione g : Rk → Rs di classe C∞ tale che ‖g(x)−f(x)‖ < ε per ogni x ∈ K.

Teorema di Brouwer (versione classica). Il disco unitario di uno spazio euclideo ha la

proprieta del punto fisso.


Applicazioni del Teorema di Brouwer alla risolubilita di alcuni sistemi non lineari di k

equazioni in k incognite:

– Risolubilita dei sistemi della forma Lx = h(x), dove L : Rk → Rk e un isomorfismo

e h : Rk → Rk e continua, con immagine limitata;

– Risolubilita dei sistemi della forma Lx = h(x), dove L : Rk → Rk e un isomorfismo

e h : Rk → Rk e continua e tale

lim‖x‖→∞

‖h(x)‖‖x‖

= 0 ;

– Risolubilita dei sistemi della forma Lx = h(x), dove L : Rk → Rk e un’applicazione

lineare soddisfacente la condizione m‖x‖ ≤ ‖Lx‖, m > 0, e h : Rk → Rk e continua

e tale che

lim‖x‖→∞

‖h(x)‖‖x‖

< m .

17 - Giovedı 18/11/10

Principio di continuazione in dimensione finita. Siano L : Rk → Rk un’applicazione

lineare, U un aperto limitato di Rk ed h : U × [0, 1] → Rk un’applicazione continua. Sup-

poniamo che:

1) h(x, 0) = 0, ∀x ∈ U ;

11 gennaio 2011 31


2) 0 ∈ U ;

3) Lx 6= h(x, λ), ∀(x, λ) ∈ ∂U × [0, 1].

Allora l’equazione Lx = h(x, 1) ammette almeno una soluzione.


Il risultato che segue e un’immediata conseguenza del suddetto principio di continuazione.

Corollario. Siano L : Rk → Rk un’applicazione lineare ed f : Rk → Rk un’applicazione

continua. Se l’insieme

S = x ∈ Rk : Lx = λf(x) per almeno un λ ∈ [0, 1]

e limitato, allora l’equazione Lx = f(x) ammette almeno una soluzione.

Esercizio. Provare che il seguente sistema di due equazioni in due incognite ammette

almeno una soluzione: x+ y + x3 + cosxy = 0

x− 2y + senxy + 1 = 0

Suggerimento. Scrivere il sistema nella forma Lx = f(x), dove L : R2 → R2 e lineare ed

f : R2 → R2 non lineare. Considerare il sistema dipendente da un parametro Lx = λf(x)

e applicare il corollario del principio di continuazione.

18 - Martedı 23/11/10

Esercizio. Sia C un sottoinsieme chiuso di Rk. Provare che, fissato x ∈ Rk, l’insieme dei

punti di C piu vicini ad x, ossia r(x) =y ∈ C : ‖x− y‖ = dist(x,C)

, e non vuoto.

Esercizio. Provare che l’applicazione multivoca r : Rk ( C definita nell’esercizio prece-

dente ha il grafico chiuso. Cioe, l’insieme

Gr =

(x, y) ∈ Rk × C : y ∈ r(x)

e un sottoinsieme chiuso di Rk × C (quindi anche di Rk × Rk).

Suggerimento. Usare la continuita della funzione x 7→ dist(x,C).

Esercizio. Sia Q un convesso chiuso di Rk. Provare che, fissato x ∈ Rk, l’insieme dei

punti di Q piu vicini ad x (con la norma euclidea) e un singoletto. Pertanto, l’applicazione

multivoca r precedentemente definita puo essere pensata come un’ordinaria applicazione

r : Rk → Q. Si osservi che la restrizione di r a Q coincide con l’identita.

Suggerimento. Usare la seguente proprieta della norma euclidea (stretta convessita):

‖x‖ = ‖y‖ = 1 =⇒ ‖x + y‖ = 2 (se e) solo se x = y (cioe se due punti distinti

appartengono alla sfera unitaria, il punto di mezzo e interno al disco unitario).

11 gennaio 2011 32


Esercizio. Sia f : X → Y un’applicazione tra spazi metrici. Provare che f e continua

se (e solo se) ha il grafico chiuso e manda compatti in relativamente compatti. Dedurre

da cio che l’applicazione r : Rk → Q definita nel precedente esercizio e continua (quindi, e

una retrazione).

Il risultato che segue e una conseguenza del precedente esercizio.

Teorema. I convessi chiusi di Rk sono retratti di tutto lo spazio. Pertanto, se sono anche

limitati, sono retratti di qualche disco.

Da suddetto risultato si deduce la versione generale del Teorema di Brouwer (ricordarsi

che i retratti ereditano la proprieta del punto fisso, e che in uno spazio di dimensione finita

tutte le norme sono equivalenti).

Teorema di punto fisso Brouwer (versione generale). I convessi chiusi e limitati degli

spazi normati di dimensione finita hanno la proprieta del punto fisso.

L’esempio che segue mostra che negli spazi di Banach di dimensione infinita possono

esistere convessi chiusi e limitati che non godono della proprieta de punto fisso.

Esempio di Kakutani. Sia D il disco unitario di `2 e sia f : D → D cosı definita:

f(x) = (√

1− ‖x‖2, ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ),

dove x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ). Mostriamo che f non ammette punti fissi. Supponiamo

infatti, per assurdo, che esista un x ∈ D tale che f(x) = x. Poiche, come e immediato

verificare, ‖f(x)‖ = 1 per ogni x ∈ D, risulta ‖x‖ = 1. Di conseguenza,

f(x) = (0, ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ),

e quindi

(ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ) = (0, ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ).

Se ne deduce ξ1 = 0, ξ2 = 0, . . . , ξn = 0, . . . E cio e assurdo, visto che ‖x‖ = 1.

Un altro esempio di convesso, chiuso e limitato che non gode della proprieta del punto

fisso e costituito dal sottoinsieme

Q =x ∈ C[0, 1] : x(0) = 0; x(1) = 1; 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]

dello spazio di Banach C[0, 1]. Si osservi infatti che l’applicazione lipschitziana f : Q→ Q

definita da f(x)(t) = tx(t) e priva di punti fissi (f e addirittura la restrizione a Q di

un’applicazione lineare). Per inciso, si osservi che Q e interamente costituito da vettori di

norma uno, e questo mostra che C[0, 1] non e uno spazio strettamente convesso.

Lemma (di approssimazione). Sia K un sottoinsieme compatto di uno spazio normato

E. Fissato ε > 0, esiste un’applicazione continua iε : K → E con le seguenti proprieta:

11 gennaio 2011 33


1) l’immagine iε(K) di iε e contenuta in un convesso generato da un numero finito di

punti di K;

2) ‖iε(x)− x‖ < ε, ∀x ∈ K.


19 - Mercoledı 24/11/10

Teorema di Schauder (versione classica). I convessi compatti degli spazi normati hanno

la proprieta del punto fisso.

Il Teorema di Schauder nella versione classica e una conseguenza del risultato che segue.

Teorema di Schauder (versione generale). Sia Q ⊆ E un convesso di uno spazio nor-

mato e sia f : Q → E un’applicazione continua. Se l’immagine di f e contenuta in un

sottoinsieme compatto di Q, allora f ammette almeno un punto fisso.


Definizione. Un’applicazione tra due spazi metrici si dice completamente continua se e

continua e manda insiemi limitati in insiemi relativamente compatti, si dice compatta se

la sua immagine e relativamente compatta.

Si osservi che, in base alla suddetta definizione, le applicazioni compatte sono anche com-

pletamente continue. Il contrario non e vero; infatti ogni applicazione continua f : X → Rs

definita su un sottoinsieme chiuso di Rk e completamente continua, ma non e detto sia

compatta, a meno che non abbia immagine limitata.

Si fa presente che per quanto riguarda gli operatori lineari tra spazi normati, la termi-

nologia, per motivi di tradizione, non rientra nel suddetto schema: un operatore lineare

completamente continuo e in uso chiamarlo compatto. Tuttavia non c’e pericolo di far

confusione, perche l’unica applicazione lineare tra due spazi normati che (in base alla

suddetta definizione) puo dirsi realmente compatta e l’applicazione nulla, dato che la sua

immagine deve essere un sottospazio compatto (e quindi limitato) del codominio. Volendo,

la discordanza tra la terminologia in uso e la suddetta definizione si puo giustificare osser-

vando che gli operatori lineari sono completamente determinati dalla loro restrizione alla

palla unitaria, e un’applicazione lineare e completamente continua se e solo se e compatta

la sua restrizione a tale palla. Analogamente, si ricorda che un operatore lineare tra spazi

normati si dice limitato se e limitata l’immagine della palla unitaria, e non se lo e tutta

l’immagine (solo l’operatore nullo puo vantare quest’ultima proprieta).

Teorema (di Ascoli-Arzela riformulato). Un sottoinsieme A di C([a, b],Rn) e relativa-

mente compatto se e solo se e limitato e costituito da funzioni equicontinue.

Osservazione. Sia A un sottoinsieme di C([a, b],Rn) costituito da funzioni derivabili. Se

11 gennaio 2011 34


esiste una costante che maggiora in valore assoluto le derivate di tutte le funzioni di A,

allora A e costituito da funzioni equilipschitziane, e quindi anche equicontinue.

Il risultato che segue e un’immediata conseguenza della versione generale del Teorema di

Schauder.

Teorema di Schauder (versione piu comune). Se un’applicazione completamente conti-

nua manda un convesso, chiuso e limitato di uno spazio di Banach in se, allora ammette

almeno un punto fisso.

20 - Giovedı 25/11/10

Teorema. Data una funzione continua f : [a, b] × Rn → Rn e dato (t0, x0) ∈ [a, b] × Rn,

l’operatore integrale (di Volterra) F : C([a, b],Rn)→ C([a, b],Rn) definito da

F (x)(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s)) ds

e un’applicazione completamente continua.


Con riferimento al suddetto teorema, si osservi che se la funzione f e limitata, allora, per

il Teorema di Schauder, l’operatore F (associato ad f) ammette almeno un punto fisso.

Infatti F manda tutto lo spazio in un insieme limitato, e quindi esiste una palla chiusa

che viene trasformata in se.

Osservazione. I punti fissi del suddetto operatore integrale, ovvero le funzioni x(t) che

verificano l’equazione integrale (di Volterra)

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s)) ds ,

sono le soluzioni globali (cioe definite in tutto [a, b]) del seguente problema di Cauchy:x′(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

Il risultato che segue e basato su quanto appena osservato.

Lemma. Se f : [a, b] × Rn → Rn e continua e limitata, e x0 ∈ Rn, allora esiste una

soluzione globale dell’equazione differenziale vettoriale x′(t) = f(t, x(t)) che verifica la

condizione iniziale x(t0) = x0.


Il risultato che segue e una facile conseguenza del suddetto lemma.

11 gennaio 2011 35


Teorema (di esistenza di Peano). Sia f : U → Rn un’applicazione continua in un aperto

U di R × Rn. Allora, fissato un punto (t0, x0) ∈ U , esiste una funzione x : J → Rn, di

classe C1 in un intervallo aperto J contenente t0, che verifica le seguenti condizioni:

1) x′(t) = f(t, x(t)), ∀ t ∈ J ;

2) x(t0) = x0.


21 - Mercoledı 01/12/10

Principio di continuazione di Leray-Schauder. Siano L : E → F un isomorfismo

tra spazi di Banach, U un aperto limitato di E ed h : U × [0, 1] → F un’applicazione

completamente continua. Supponiamo che:

1) h(x, 0) = 0, ∀x ∈ U ;

2) 0 ∈ U ;

3) Lx 6= h(x, λ), ∀(x, λ) ∈ ∂U × [0, 1].

Allora l’equazione Lx = h(x, 1) ammette almeno una soluzione.


Applicazione del principio di continuazione di Leray-Schauder all’esistenza di soluzioni del

seguente problema al contorno: u′′(t) = 1 + u(t)3

u(0) = 0

u(1) = 0

Esercizio. Provare, mediante il principio di continuazione di Leray-Schauder, che il

seguente problema al contorno ammette almeno una soluzione:u′′(t) = f(t, u(t))

u(a) = 0

u(b) = 0

dove f : [a, b]×R→ R e una funzione continua tale che sf(t, s) > 0 per |s| sufficientemente

grande.

Cenni sui problemi al contorno del tipox′(t)−A(t)x(t) = y(t)

Bx = z

dove A e una matrice n×n di funzioni reali e continue in un intervallo [a, b], y : [a, b]→ Rn e

una funzione continua assegnata, B : C1([a, b],Rn)→ Rn e un operatore lineare e continuo,

z e un vettore di Rn e x (la funzione incognita) appartiene a C1([a, b],Rn).

11 gennaio 2011 36


22 - Giovedı 02/12/10

Lemma. Condizione necessaria e sufficiente affinche il problemax′(t)−A(t)x(t) = y(t)

Bx = z

abbia soluzione per ogni (y, z) ∈ C([a, b],Rn) × Rn e che il problema omogeneo associato

abbia soltanto la soluzione nulla.


Il risultato che segue e una conseguenza del principio di continuazione di Leray-Schauder.

Teorema. Consideriamo il seguente problema dipendente da un parametro λ ∈ [0, 1]:x′(t)−A(t)x(t) = λf(t, x(t))

Bx = λz

dove A e una matrice n × n di funzioni continue da [a, b] in R, f : [a, b] × Rn → Rn e

continua, z e un punto di Rn e B : C1([a, b],Rn)→ Rn e un operatore lineare e continuo.

Se l’insieme delle soluzioni x(·) del suddetto problema che corrispondono a un qualunque

valore λ ∈ [0, 1] del parametro e limitato in C([a, b],Rn), allora il problema ammette

almeno una soluzione per λ = 1.


Applicazione del precedente teorema all’esistenza di soluzioni del seguente problema al

contorno: u′′(t) = 1 + senu(t)

u(0) = 0∫ 10 u(t)dt = 0

23 - Martedı 07/12/10

Ricordiamo che se f : M → N e un’applicazione propria, di classe C∞, tra varieta dif-

ferenziabili (senza bordo) della stessa dimensione e y ∈ N e un valore regolare per f ,

allora f−1(y) e un insieme compatto e discreto, pertanto finito. Ricordiamo inoltre che,

denotato con C l’insieme dei punti critici di f , l’applicazione #f−1 : N \ f(C)→ Z che ad

ogni valore regolare y di N associa la cardinalita di f−1(y) e localmente costante.

Notazione. Sia f : M → N un’applicazione propria, di classe C∞, tra varieta differenzia-

bili (senza bordo) della stessa dimensione. Se y ∈ N e un valore regolare per f , col simbolo

deg2(f, y) si denota il numero #f−1(y) modulo 2. Risulta quindi deg2(f, y) uguale a zero

o ad uno, a seconda che #f−1(y) sia pari o dispari.

11 gennaio 2011 37


Siano X e Y due spazi topologici. Ricordiamo che un’omotopia da X in Y e un’applica-

zione continua H : X × [0, 1]→ Y .

Data un’omotopia H da X in Y e fissato λ ∈ [0, 1], Hλ : X → Y denota l’applicazione

parziale x 7→ H(x, λ). In un certo senso, un’omotopia da X in Y puo essere pensata

come una famiglia Hλ di applicazioni da X in Y che dipendono “con continuita” da un

parametro λ ∈ [0, 1].

Due applicazioni f, g : X → Y si dicono omotope se esiste un’omotopia H che le congiunge,

cioe tale che H0 = f e H1 = g. Non e difficile provare che, nell’insieme delle applicazio-

ni continue da X in Y , la relazione di essere omotope e di equivalenza (verificarlo per

esercizio). Uno spazio topologico X si dice contrattile se l’identita (in X) e omotopa ad

un’applicazione costante.

Esercizio. Provare che se f, g : X → E sono due applicazioni continue da uno spazio

topologico in uno spazio normato, allora sono omotope.

Esercizio. Provare che gli spazi normati (o, piu in generale, i convessi degli spazi normati)

sono contrattili.

Esercizio. Provare che gli spazi contrattili sono connessi per archi.

Ricordiamo che abbiamo definito il concetto di applicazione di classe Cr tra arbitrari

insiemi contenuti negli spazi euclidei. Di conseguenza, tra tali insiemi, e ben definito

anche il concetto di omotopia di classe Cr. Infatti se X ⊆ Rk, allora X × [0, 1] ⊆ Rk+1.

Lemma di omotopia (per il grado modulo 2). Siano f, g : M → N due applicazioni

C∞-omotope (ossia omotope, con omotopia di classe C∞) tra varieta senza bordo della

stessa dimensione, e sia M compatta. Se y ∈ N e un valore regolare per entrambe le

applicazioni, allora deg2(f, y) = deg2(g, y).


Osservazione. Nel lemma di omotopia, l’ipotesi che M sia una varieta compatta puo

essere sostituita con la seguente condizione (strettamente piu debole): “esiste un’omotopia

propria e di classe C∞ tra f e g” (in tal caso f e g sono necessariamente due applicazioni

proprie).

Esercizio (svolto a lezione). Sia f : X → Y un’applicazione continua tra spazi metri-

ci. Provare che f e propria se e solo se ogni successione xn in X tale che f(xn) e

convergente ammette una sottosuccessione convergente.

24 - Giovedı 09/12/10

Ricordiamo che un’applicazione continua tra spazi metrici si dice compatta se la sua im-

magine e contenuta in un insieme compatto. Ovviamente, ogni applicazione compatta e

11 gennaio 2011 38


completamente continua (cioe compatta sugli insiemi limitati).

Esercizio (svolto a lezione). Siano f e g due applicazioni da uno spazio metrico X in uno

spazio normato E. Provare che se una delle due applicazioni e propria e l’altra e compatta,

allora la loro somma e propria.

Suggerimento. Usare l’esercizio precedente.

Ricordiamo che se M e una varieta m-dimensionale senza bordo, allora ogni suo punto

ammette un intorno diffeomorfo ad Rm.

Lemma di locale costanza (per il grado modulo 2). Sia f : M → N un’applicazione

propria, di classe C∞, tra due varieta m-dimensionali, senza bordo. Allora, dato un aperto

V di N diffeomorfo ad Rm e dati due arbitrari valori regolari y1, y2 ∈ V , si ha

deg2(f, y1) = deg2(f, y2).

Dimostrazione. Dato un diffeomorfismo ϕ : V → Rm, poniamo M1 = f−1(V ) e consideria-

mo l’applicazione f1 : M1 → Rm definita da f1(x) = ϕ(f(x)). Chiaramente z ∈ Rm e un

valore regolare per f1 se e solo se ϕ−1(z) e un valore regolare per f . Inoltre, f1 e propria

e si ha f−11 (z) = f−1(ϕ−1(z)), ∀z ∈ Rm. E sufficiente quindi provare che se z1 e z2 sono

due valori regolari per f1, risulta #f−11 (z1) = #f−11 (z2) modulo 2. Cio segue dal lemma

di omotopia, tenendo conto che l’applicazione H : M1 × [0, 1]→ Rm, definita da

H(x, λ) = f1(x)− (λz1 + (1− λ)z2),

e propria (essendo somma di due applicazioni, una propria e l’altra compatta).

Osservazione. Il precedente lemma permette di estendere la definizione di grado modulo

due anche ai valori y non regolari per f . Basta infatti definire

deg2(f, y) = deg2(f, z),

dove z e un qualunque valore regolare per f in un intorno di y diffeomorfo ad Rm. E

chiaro che, con questa definizione, il grado modulo due e una funzione localmente costante

del punto y ∈ N , ed e quindi costante sulle componenti connesse di N . Di conseguenza,

se N e connessa, potremo semplicemente scrivere deg2(f) al posto di deg2(f, y), dove y e

un qualunque valore di N .

Proprieta fondamentali del grado modulo due (per applicazioni proprie):

– (Normalizzazione) deg2(1M ) = 1, ∀y ∈M (dove 1M e l’identita in M);

– (Esistenza) se deg2(f, y) 6= 0, allora l’equazione f(x) = y ammette

almeno una soluzione;

– (Omotopia) se f e omotopa a g con omotopia C∞ e propria, allora

deg2(f, y) = deg2(g, y).

11 gennaio 2011 39


Esercizio. Provare che i retratti degli spazi contrattili sono contrattili.

Teorema. In una varieta compatta senza bordo (di dimensione maggiore di zero), l’iden-

tita non e C∞-omotopa ad una costante.


Dal precedente teorema segue che non esiste una retrazione r : Dm+1 → Sm di classe C∞.

Infatti, se cosı fosse, l’applicazione H : Sm × [0, 1] → Sm, definita da H(x, λ) = r(λx),

sarebbe un’omotopia C∞ tra un’applicazione costante e l’identita.

Osservazione. Come conseguenza della teoria del grado modulo due si ottiene una nuova

dimostrazione del Teorema di Brouwer.

25 - Martedı 14/12/10

Definizione. Un’orientazione di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e una

delle due classi di equivalenza di basi ordinate, dove due basi si dicono equivalenti se la

matrice che fa passare dall’una all’altra ha determinante positivo. Uno spazio vettoriale

(reale di dimensione finita) si dice orientato se e stata scelta una sua orientazione. Una

base (ordinata) di uno spazio orientato si dice positivamente orientata se appartiene alla

classe di equivalenza che definisce l’orientazione; in caso contrario si dice negativamente

orientata.

Esercizio. Provare che uno spazio vettoriale di dimensione finita ha esattamente due

orientazioni.

Suggerimento. Sia α una base ordinata di uno spazio vettoriale reale E, e siano β e γ due

basi ordinate di E, entrambe non equivalenti ad α. Occorre provare che β e γ sono tra

loro equivalenti.

Definizione. L’orientazione indotta dalla base canonica di Rk si chiama orientazione

canonica (o standard) di Rk.

Osservazione. Gli isomorfismi tra spazi orientati si dividono in due classi: quelli che

preservano l’orientazione (se mandano basi positivamente orientate in basi positivamen-

te orientate) e quelli che la invertono (se mandano basi positivamente orientate in basi

negativamente orientate).

Definizione. Il segno di un isomorfismo L tra spazi orientati, denotato con sgn(L), e 1

se L preserva l’orientazione ed e −1 se l’inverte.

Osservazione. Il segno di una composizione di isomorfismi tra spazi orientati e il prodotto

dei segni.

Osservazione. Se L : E → F e un isomorfismo tra spazi orientati, scegliendo in E ed in

F due basi positivamente orientate, il segno di L coincide col segno del suo determinate

11 gennaio 2011 40


(rispetto alle basi scelte).

Osservazione. Sia E uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano E1 ed E2 due

sottospazi di E tali che E1 ⊕ E2 = E. L’orientazione di due dei tre spazi E1, E2 ed E

induce univocamente un’orientazione nel terzo (e importante l’ordine tra E1 ed E2).

Osservazione. Il segno di un automorfismo di uno spazio di dimensione finita e ben defini-

to indipendentemente dell’orientazione dello spazio (cosı com’e ben definito il determinante

di un endomorfismo).

Definizione. Sia M una varieta differenziabile m-dimensionale. Un’orientazione di M

e un’applicazione “continua” che ad ogni x ∈ M assegna un’orientazione ω(x) di TxM .

Dove “continua” significa che per ogni x ∈ M esiste una carta ϕ : V → Rm intorno ad

x con la proprieta che per ogni y ∈ V il differenziale dϕy : TyM → Rm fa corrispondere

l’orientazione ω(y) all’orientazione canonica di Rm (ossia, manda basi positivamente orien-

tate di TyM in basi equivalenti alla base canonica di Rm). Una varieta si dice orientata

se e stata scelta una sua orientazione. Si dice orientabile se ammette un’orientazione.

Cenni sulla possibilita di orientare una varieta di codimensione uno (in Rk) mediante un

campo continuo di direzioni (cioe di vettori di norma uno) normali alla varieta.

Osservazione. Sia g : U → Rs un’applicazione di classe C1 su un aperto di Rk e sia

0 ∈ Rs un valore regolare per g. Allora, fissato p ∈ g−1(0), la restrizione allo spazio

Tp(M)⊥ dell’applicazione lineare e suriettiva dgp : Rk → Rs e un isomorfismo tra Tp(M)⊥

e Rs (ricordiamo che Tp(M) = Ker dgp). Tenendo conto che Rs e uno spazio orientato,

tale isomorfismo induce un’orientazione su Tp(M)⊥, ed essendo Tp(M)⊥ ⊕ Tp(M) = Rk,induce un’orientazione anche su Tp(M). Dunque, per l’arbitrarieta di p, l’applicazione g

induce un’orientazione sulla varieta di livello regolare g−1(0). In particolare, una varieta

non orientabile non puo essere una sottovarieta di livello regolare di Rk.

Definizione. L’orientazione di Sm =x ∈ Rm+1 : ‖x‖ = 1

indotta dalla normale

esterna si dice canonica.

Cenni sulla non orientabilita del nastro di Mobius.

Ricordiamo che un aperto di una varieta differenziabile e ancora una varieta differenziabile,

ed e evidente che un’orientazione di una varieta induce un’orientazione in ogni suo aperto.

Di conseguenza, se una varieta contiene un aperto non orientabile, allora la varieta stessa

non puo essere orientabile. E il caso dello spazio proiettivo bidimensionale e della bottiglia

di Klein: contengono un aperto diffeomorfo al nastro di Mobius.

Osservazione. Una varieta orientabile ammette almeno due orientazioni. Infatti se ω

e un’orientazione di una varieta M , l’orientazione opposta di ω, cioe quell’applicazione

ω− che ad ogni x ∈ M assegna l’orientazione ω−(x) di TxM opposta a ω(x), e ancora

11 gennaio 2011 41


un’orientazione di M .

Esercizio. SiaM una varieta orientabile e siano α e β due orientazioni di M . Mostrare che

l’insieme dei punti di M in cui le due orientazioni coincidono, cioe x ∈M : α(x) = β(x),e un aperto.

Esercizio. Provare che una varieta orientabile, se e connessa, ammette esattamente due

orientazioni.

Suggerimento. Sia ω un’orientazione di una varieta M e sia ω− la sua opposta. Data

un’orientazione α di M , si considerino gli insiemi

A = x ∈M : α(x) = ω(x) e A− = x ∈M : α(x) = ω−(x).

Esiste un altro modo, equivalente a quello appena introdotto, per definire il concetto di

orientazione di una varieta M . Sia A un atlante di M (non necessariamente massimale).

Diremo che A e orientato se i cambiamenti di carta di A hanno jacobiano positivo. Intro-

duciamo la seguente relazione di equivalenza nell’insieme degli atlanti orientati di M : due

atlanti orientati sono equivalenti se la loro unione e un atlante orientato. Definiamo orien-

tazione di M una classe di equivalenza di atlanti orientati e diremo che M e orientabile

se ammette atlanti orientati. E immediato verificare che, dato un atlante orientato A di

M e fissato un qualunque punto x ∈M , si puo assegnare a TxM l’orientazione indotta da

una qualunque carta ϕ ∈ A definita in un intorno di x: quella che rende positivo il segno

dell’isomorfismo dϕx : TxM → Rm. Poiche in A i cambiamenti di carta hanno jacobia-

no positivo, la suddetta orientazione e indipendente dalla carta scelta. In conclusione, ad

ogni orientazione di M basata sugli atlanti, corrisponde in modo biunivoco un’orientazione

basata sugli spazi tangenti.

26 - Mercoledı 15/12/10

Definizione (di grado di Brouwer per i valori regolari). Sia f : M → N un’applicazione

propria, di classe C∞, tra varieta orientate, senza bordo, della stessa dimensione. Se y ∈ Ne un valore regolare per f , il grado di Brouwer di f in y e il seguente intero:

deg(f, y) =∑

x∈f−1(y)

sgn dfx,

dove sgn dfx = ±1 a seconda che l’isomorfismo dfx : TxM → TyN preservi o inverta

l’orientazione.

Lemma di omotopia (per il grado di Brouwer). Siano f, g : M → N due applicazioni

tra varieta orientate, senza bordo, della stessa dimensione. Se esiste un’omotopia propria,

di classe C∞, tra f e g, e y ∈ N e un valore regolare per entrambe le applicazioni, allora

deg(f, y) = deg(g, y).

Dimostrazione (traccia esposta a lezione).

11 gennaio 2011 42


La dimostrazione del seguente lemma e simile a quella dell’analogo risultato per il grado

modulo 2. I dettagli sono lasciati agli studenti (per esercizio).

Lemma di locale costanza (per il grado di Brouwer). Sia f : M → N un’applicazione

propria, di classe C∞, tra varieta orientate, senza bordo, della stessa dimensione. Allora,

dato un aperto V di N diffeomorfo ad Rm, risulta

deg(f, y1) = deg(f, y2),

qualunque siano i valori regolari y1, y2 ∈ V .

Osservazione. Il suddetto lemma permette di estendere la definizione di grado di Brou-

wer, deg(f, y), anche ai valori y non regolari per f . In questo caso basta infatti definire

deg(f, y) = deg(f, z),

dove z e un valore regolare per f appartenente ad un intorno di y diffeomorfo ad Rm. E

chiaro che, con questa definizione, il grado di Brouwer e una funzione localmente costante

del punto y ∈ N , ed e quindi costante sulle componenti connesse di N . Di conseguenza,

se N e connessa, potremo semplicemente scrivere deg(f) al posto di deg(f, y), dove y e un

qualunque valore di N .

Osservazione. Se M e una varieta compatta, connessa, senza bordo ed orientabile

(come, ad esempio, Sm), allora il grado di un’applicazione f : M → M e ben definito

indipendentemente dall’orientazione di M .

Cenni sulla possibilita di estendere la nozione di grado alle applicazioni continue (appros-

simandole con applicazioni C∞).

Proprieta fondamentali del grado di Brouwer (per applicazioni proprie tra varieta

orientate della stessa dimensione):

– (Normalizzazione) deg(1M , y) = 1, ∀y ∈M (dove 1M e l’identita in M);

– (Esistenza) se deg(f, y) 6= 0, allora l’equazione f(x) = y ammette almeno una

soluzione;

– (Omotopia) se f e C∞-omotopa a g con omotopia propria, allora

deg(f, y) = deg(g, y);

– (Prodotto) data f : M → N e data g : N → Z, con N e Z varieta connesse, risulta

deg(g f) = deg(g) deg(f).

Teorema. Il grado topologico di un polinomio non costante P : C → C coincide col suo

grado algebrico.


Nuova dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra (come corollario del preceden-

te teorema).

11 gennaio 2011 43


27 - Giovedı 16/12/10

Sia M una varieta differenziabile compatta, connessa e senza bordo. Dalla proprieta di

omotopia del grado di Brouwer segue immediatamente che se f, g : M → M sono due

applicazioni omotope, allora deg(f) = deg(g). Il risultato che segue, che riportiamo senza

dimostrazione, mostra che nel caso in cui M sia una sfera e vera l’implicazione inversa.

Teorema di Hopf. Due applicazioni da Sm in se hanno lo stesso grado se e solo se sono

omotope.

Esercizio. Mediante la teoria del grado di Brouwer provare che il sistemax− 2 sin(x+ x2 − y2) = 0

2x+ y + 1− cos(xy) = 0

ha almeno una soluzione non banale (cioe diversa da (0, 0)).

Suggerimento. Mostrare che l’applicazione H : R2 × [0, 1]→ R2, definita da

H(x, y;λ) =(x− λ2 sin(x+ x2 − y2), 2x+ y + λ(1− cos(xy))

),

e un’omotopia propria. Dedurre da cio che il grado dell’applicazione (x, y) 7→ H(x, y; 1) e

1, mentre dovrebbe essere −1 se non avesse soluzioni diverse dalla banale.

Esercizio. Mediante la teoria del grado di Brouwer provare che il sistemax2 − y2 + 2 cos(x+ x2 + y3) = 0

2xy + 1/(1 + x2) + sin(y + x2) = 0

ammette almeno una soluzione.

Suggerimento. Mostrare prima che l’applicazione f : R2 → R2, definita da

f(x, y) = (x2 − y2, 2xy),

e propria ed ha grado 2, poi. . . bla bla.

Definizione. Sia i ∈ 1, 2, . . . ,m+ 1. L’applicazione ri : Sm → Sm definita da

(x1, x2, . . . , xi, . . . , xm+1) 7→ (x1, x2, . . . ,−xi, . . . , xm+1).

si chiama riflessione i-esima di Sm.

Esercizio. Osservare che ri : Sm → Sm e un diffeomorfismo di Sm in se e provare che

deg(ri) = −1.

Suggerimento. Fissare un arbitrario j 6= i e osservare che il vettore y = ej della base

canonica di Rm+1 e un punto fisso per ri, e quindi il differenziale di ri in tal punto e un

endomorfismo di Ty(Sm).

11 gennaio 2011 44


Osservazione. L’applicazione antipodale di a : Sm → Sm e la composizione di m + 1

riflessioni. Quindi, in base al precedente teorema, il suo grado e (−1)m+1. In particolare,

se m e pari, l’identita non e omotopa all’applicazione antipodale.

Teorema (sulla pettinabilita delle sfere). La sfera Sm ammette un campo vettoriale

tangente (continuo), privo di zeri, se e solo se m e dispari.

28 - Martedı 21/12/10

Definizione. Sia X uno spazio topologico. Lo spazio C(X) = X×[−1, 1], con la topologia

prodotto, si chiama cilindro di X.

Definizione. La sospensione S(X) di uno spazio topologico X e il quoziente (topologico)

del cilindro C(X) con la relazione di equivalenza le uniche classi non banali sono la classe

nord, costituita dalle coppie del tipo (x, 1), e la classe sud, le cui coppie hanno seconda

componente −1.

Dato uno spazio topologico X, l’applicazione x 7→ (x, 0) identifica X col cosiddetto

equatore di S(X), cioe col sottoinsieme di S(X) costituito dalle coppie del tipo (x, 0).

Data un’applicazione (continua) f : X → Y tra due spazi topologici, questa induce un’ap-

plicazione C(f) : C(X)→ C(Y ) definita da (x, t)→ (f(x), t). Poiche C(f) manda le classi

nord e sud di C(X) nelle omologhe classi di C(Y ), questa a sua volta induce un’applica-

zione S(f) : S(X)→ S(Y ), che risulta continua in base alle note proprieta della topologia

quoziente.

Esercizio. Provare che, dato n ∈ Z, l’applicazione fn da S1 = z ∈ C : |z| = 1 in se,

definita da z 7→ zn, ha grado n.

Esercizio. Sia X uno spazio topologico. Ispirandosi ad alcune note nozioni di geografia,

definire i seguenti punti e sottoinsiemi (chiusi) di S(X): polo nord, polo sud, paralleli,

meridiani, equatore.

Esercizio. Provare che la sospensione di Sm−1 ⊆ Rm e omeomorfa a Sm ⊆ Rm+1.

Suggerimento. Considerare la funzione g : Sm−1 × [−1, 1]→ Sm definita da

g(x, t) = (√

1− t2 x, t)

ed osservare che l’applicazione g : S(Sm−1) → Sm indotta da g sul quoziente S(Sm−1) di

Sm−1 × [−1, 1] e un omeomorfismo (si tenga conto che S(Sm−1) e uno spazio compatto).

Il risultato che segue mostra che, per ogni n ∈ Z, esiste un’applicazione da Sm in se di

grado n.

Teorema. Data f : Sm−1 → Sm−1, risulta deg(f) = deg(S(f)).

11 gennaio 2011 45


29 - Mercoledı 22/12/10

Siano E ed F due spazi di Banach e sia f : R × E → F un’applicazione continua tale

che f(λ, 0) = 0 per ogni λ ∈ R (piu in generale si puo supporre che f sia definita in

un sottoinsieme aperto di R × E e che sia nulla in ogni punto (λ, 0) di tale aperto). Le

soluzioni dell’equazione

f(λ, x) = 0

della forma (λ, 0) vengono dette banali, mentre le altre (quelle del tipo (λ, x) con x 6= 0) si

dicono non banali. Un punto λ0 ∈ R si dice di biforcazione (per l’equazione f(λ, x) = 0) se

ogni intorno di (λ0, 0) contiene almeno una soluzione non banale (ossia, se (λ0, 0) e punto

di accumulazione per l’insieme delle soluzioni non banali).

Osserviamo che se f e del tipo

f(λ, x) = Lx− λx,

dove L : E → E e un operatore lineare, allora gli autovalori di L sono punti di biforcazione

per l’equazione f(λ, x) = 0.

La seguente facile conseguenza del teorema della funzione implicita e una condizione

necessaria affinche un punto λ0 sia di biforcazione.

Teorema (condizione necessaria per la biforcazione). Sia f : R×Rk → Rk un’applicazione

di classe C1 tale che f(λ, 0) = 0 per ogni λ ∈ R. Consideriamo la funzione ϕ : R → Rdefinita da

ϕ(λ) = det∂f

∂x(λ, 0).

Se λ0 ∈ R e un punto di biforcazione per f(λ, x) = 0, allora ϕ(λ0) = 0.

La funzione f : R× Rk → Rk, definita da f(λ, x) = (λ2 + ‖x‖2)x, mostra che la suddetta

condizione necessaria per la biforcazione non e sufficiente. Si osservi infatti che in questo

caso ϕ(λ) = λ2 e tutte le soluzioni dell’equazione f(λ, x) = 0 sono banali.

Nella prossima lezione proveremo, mediante la teoria del grado di Brouwer, la seguente

condizione sufficiente per la biforcazione.

Teorema (condizione sufficiente per la biforcazione). Siano f e ϕ come nel preceden-

te teorema. Se ϕ cambia segno in un punto λ0, allora tale punto e di biforcazione per

l’equazione f(λ, x) = 0.

Il seguente risultato e un’immediata conseguenza dei due precedenti teoremi.

Corollario. Supponiamo che f : R× Rk → Rk sia della forma f(λ, x) = g(x)− λx, dove

g e C1 e tale che g(0) = 0. Allora ogni punto di biforcazione (per l’equazione f(λ, x) = 0)

e un autovalore della matrice jacobiana g′(0) e ogni autovalore di molteplicita (algebrica)

dispari per g′(0) e un punto di biforcazione.

11 gennaio 2011 46


Esempio. Il sistema x− λ sin(x+ x2 − y2) = 0

2x+ y + 1− cosxy = 0

ha un punto di biforcazione in λ = 1. Per provarlo consideriamo il seguente problema

linearizzato (nell’origine di R2): x− λx = 0

2x+ y = 0

e osserviamo che la funzione

ϕ(λ) = det

(1− λ 0

2 1

)

ha un salto di segno per λ = 1.

30 - Martedı 11/01/11

Siano U un aperto di Rk, f : U → Rk un’applicazione continua ed y ∈ Rk. La terna

(f, U, y) si dice ammissibile (per il grado di Brouwer negli spazi euclidei) se U e limitato

(o, piu in generale, se f e propria su U) e y /∈ f(∂U).

Definizione. Il grado di Brouwer (negli spazi euclidei) di una terna ammissibile (f, U, y)

e il grado in y della restrizione fV : f−1(V ) → V di f , dove V e un qualunque intorno

aperto di y che non interseca l’immagine f(∂U) della frontiera di U . In simboli:

deg(f, U, y) := deg(fV , y) .

Con riferimento alla suddetta definizione, si fa notare che f−1(V ) e un sottoinsieme aperto

di U (dato che f−1(V )∩ ∂U = ∅) e che la restrizione fV di f (vista come applicazione tra

f−1(V ) e V ) e propria. Il grado in y di fV (cioe il numero deg(fV , y)) e quindi ben definito

(ricordarsi che gli aperti degli spazi euclidei sono varieta differenziabili). Non e difficile

provare che tale numero non dipende dall’intorno V di y (purche questo non intersechi

f(∂U).

Non e difficile provare che il grado di Brouwer (negli spazi euclidei) gode della proprieta

di invarianza per omotopia. Vale infatti il seguente risultato:

Teorema. Siano U un aperto di Rk, H : U × [0, 1]→ Rk un’applicazione propria ed y un

punto di Rk. Se H(x, λ) 6= y per ogni (x, λ) ∈ ∂U × [0, 1], allora deg(H(·, λ), U, y) non

dipende da λ ∈ [0, 1].

Dimostrazione della condizione sufficiente per la biforcazione.

11 gennaio 2011 47


Cenni sul prodotto di due varieta orientate.

Orientazione di S1 × S1 ⊆ R2 × R2 (indotta dall’orientazione canonica di S1 ⊆ R2).

Definizione. Siano γ1, γ2 : S1 → R3 due applicazioni continue. Si dice che γ1 e γ2 sono

separate da un piano α ⊆ R3 se uno dei due semispazi aperti delimitati da α contiene

l’immagine di γ1 e l’altro contiene l’immagine di γ2.

Definizione. Siano γ1, γ2 : S1 → R3 due applicazioni continue con immagini disgiunte.

Si dice che γ1 e γ2 sono allacciate se non si possono allontanare, ossia se non esistono due

omotopie, H1 : S1 × [0, 1]→ R3 e H2 : S1 × [0, 1]→ R3, con le seguenti proprieta:

1) H1(t1, λ) 6= H2(t2, λ) per ogni (t1, t2, λ) ∈ S1 × S1 × [0, 1];

2) H1(·, 0) = γ1 e H2(·, 0) = γ2;

3) esiste un piano che separa H1(·, 1) da H2(·, 1).

Definizione. Siano γ1, γ2 : S1 → R3 due applicazioni continue con immagini disgiunte.

Il grado dell’applicazione da S1 × S1 in S2, definita da

(t1, t2) 7→γ2(t2)− γ1(t1)‖γ2(t2)− γ1(t1)‖

,

si dice indice di allacciamento di (γ1, γ2) e si denota ind(γ1, γ2).

Teorema. Siano γ1, γ2 : S1 → R3 due applicazioni continue con immagini disgiunte.

Se l’indice di allacciamento di (γ1, γ2) e diverso da zero, allora γ1 e γ2 non si possono

allontanare.

Cenni sulla possibilita di definire l’indice di allacciamento nel caso di f : M → Rk e

g : N → Rk, dove M ed N sono varieta senza bordo, orientate, connesse, compatte e tali

che dim(M) + dim(N) = k − 1, Im(f) ∩ Im(g) = ∅ (un caso interessante si ha quando

k = 2, M = S1 ed N e un punto).

Definizione. Sia X un sottoinsieme di Rk. Il fibrato tangente ad X e il seguente

sottoinsieme di Rk × Rk:

TX =

(x, y) ∈ Rk × Rk : x ∈ X, y ∈ TxX.

La restrizione π : TX → X della proiezione di Rk×Rk sul primo fattore si dice proiezione

canonica del fibrato tangente ad X. Si osservi che π e di classe C∞, essendo la restrizione

di un’applicazione lineare.

Fissato x ∈ X, l’insieme π−1(x) = x × TxX ∼= TxX si dice la fibra su x.

Esempio. Se U e un aperto di Rk, il suo fibrato tangente e il prodotto cartesiano TU =

U × Rk. In questo caso il fibrato si dice banale.

11 gennaio 2011 48


In generale, il fibrato tangente ad insiemeX si dice banale quando e diffeomorfo al prodotto

cartesiano di X per uno spazio vettoriale. Vedremo che il fibrato tangente ad una varieta

differenziabile e localmente banale (nel senso che ammette un ricoprimento aperto di fibrati

banali).

Definizione. Sia f : X → Y un’applicazione Cr (r ≥ 1) tra sottoinsiemi di spazi euclidei.

L’applicazione tangente, Tf : TX → TY , indotta da f e cosı definita:

Tf(x, y) = (f(x), dfx(y)).

Osservazione. Se f : X → Y e di classe Cr (r ≥ 1), Tf e di classe Cr−1.

Osservazione. L’applicazione tangente gode delle seguenti proprieta funtoriali:

T (f g) = Tf Tg, T (1X) = 1TX .

Il seguente risultato e un’immediata conseguenza delle suddette proprieta funtoriali.

Teorema. Se f : X → Y e un diffeomorfismo di classe Cr (r ≥ 1), Tf : TX → TY e un

diffeomorfismo di classe Cr−1 (con la convenzione che un diffeomorfismo di classe C0 e

un omeomorfismo).

Esercizio. Mostrare che se U e un aperto di X ⊆ Rk, allora TU coincide con π−1(U),

essendo π : TX → X la proiezione canonica (in particolare, TU e un aperto di TX).

Il seguente risultato e una facile conseguenza del suddetto esercizio e del precedente

teorema sul diffeomorfismo indotto.

Teorema. Se M ⊆ Rk e una varieta differenziabile di classe Cr (r ≥ 1) e dimensione m,

allora TM e una varieta di classe Cr−1 e dimensione 2m.

Dimostrazione (traccia). Se ϕ : U → V e una carta da un aperto U di M su un aperto V

di Rm, Tϕ : TU → TV = V × Rm e una carta da un aperto TU di TM su un aperto TV

di Rm × Rm.

Ad esempio, calcoliamo il fibrato tangente alla sfera

S2 =

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1.

Ricordando che un vettore q appartiene allo spazio tangente in un punto q ad una varieta

di livello regolare f−1(0) se e solo se dfq(q) = 0, otteniamo

TS2 = (x, y, z, x, y, z) ∈ R3 × R3 : x2 + y2 + z2 = 1, xx+ yy + zz = 0.

In maniera analoga si puo calcolare il fibrato tangente ad

Sk−1 =q ∈ Rk : 〈q , q〉 = 1

.

11 gennaio 2011 49


In questo caso si ha

TSk−1 =

(q, q) ∈ Rk × Rk : 〈q , q〉 = 1, 〈q , q〉 = 0.

Esercizio. Sia X ⊆ Rk una varieta differenziabile con bordo di classe Cr (r ≥ 1) e

dimensione m. Provare che TX e una varieta con bordo di classe Cr−1 e dimensione 2m.

Mostrare inoltre che ∂(TX) = π−1(∂X).

11 gennaio 2011 50

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