1

Introduzione allaRegressione Lineare

e allaCorrelazione

2

Supponiamo di avere misurato la statura di 10 bambini di età compresa tra 6 e 12 anni e di riportare i dati su una tabella:

soggetto età statura (anni) (centimetri)

X Y1 6 1152 6 1203 7 1224 8 1305 8 1286 9 1347 10 1368 10 1409 11 147

10 12 151

esempio 1

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diagrammi di dispersionediagrammi di dispersione

• un diagramma di dispersione è una rappresentazione grafica in cui si rappresentano i valori di due variabili

• i valori della variabile indipen-dente (X) vengono rappresentati sull’asse orizzontale (asse delle ascisse)

• i valori della variabile dipendente (Y) vengono rappresentati sull’asse verticale (asse delle ordinate)

• ciascuna coppia di valori (X,Y) viene rappresentata sul grafico con un punto

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110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

5 6 7 8 9 10 11 12 13

Età (anni)

Altezza (cm)

esempio 1(2)

Riportando i valori su un diagramma di dispersione otterremo il seguente grafico:

5

y = 5,5879x + 83,685R2 = 0,9735

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

5 6 7 8 9 10 11 12 13

Età (anni)

Altezza (cm)

esempio 1(3)

Si evidenzia una netta tendenza, tale per cui al crescere dell’età, si registra un aumento dell’altezza:

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esempio 2

Fonte: www.venganza.org

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tipi di relazionitipi di relazioni

8

• il coefficiente di correlazione (li-neare) misura l’intensità della rela-zione (lineare) tra due variabili X e Y;

• i valori che esso assume sono compresi tra –1 e +1;

• quando vale +1 significa perfetta correlazione positiva: i valori della Y si dispongono esattamente su una retta con pendenza positiva;

• quando vale –1 significa perfetta correlazione negativa: i valori della Y si dispongono esattamente su una retta con pendenza negativa

coefficiente di correlazionecoefficiente di correlazione

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da un punto di vista matematico, il coefficiente di correlazione (Bravais-Pearson) è definito come

coefficiente di correlazionecoefficiente di correlazione

YX

XY

ssr

cov=

in cui:

è la covarianza tra X e Y;

è la deviazione standard di X

è la deviazione standard di Y

XYcov

Xs

Ys

10

• la covarianza esprime l’intensità con cui due variabili “variano insieme”

• matematicamente si esprime con

covarianzacovarianza

€

covXY =X − X ( ) Y −Y ( )∑

Nin cui:

è la media di X;

è la media di Y;

è la numerosità del campione

XYN

11

• la covarianza si può calcolare più comodamente con la formula semplificata:

covarianzacovarianza

€

covXY =XY −

X Y∑∑N

∑N

in cui:

è la somma dei prodotti XY;

è la somma dei valori di X;

è la somma dei valori di Y

€

XY∑

€

X∑∑Y

12

Dalla tabella dell’esempio 1 ricaviamo i seguenti valori:

esempio 1(3)

11723=∑XY

87=∑X

1323=∑Y

Con questi possiamo calcolare la covarianza:

87 132311723

10cov 21.2910XY

⋅−= =

13

Ora calcoliamo le deviazioni standard:

esempio 1(4)

87=∑X

1323=∑Y

7952 =∑X

( )287

79510 2,057

10xs−

= =

1762552=∑Y

( )21323

17625510 11,65

10ys−

= =

14

A questo punto possiamo calcolare il coefficiente di correlazione:

esempio 1(5)

cov

21.290.973

2.05 11.65

XY

X Y

rs s

= =

= =⋅

abbiamo ottenuto un’alta correlazione positiva.

15

10 soggetti di età superiore ai 60 anni sono stati sottoposti ad un test di abilità motorie con i seguenti risultati:

esempio 2

soggetto età abilità (anni) motorie

X Y1 60 40

2 65 253 72 164 80 185 67 356 75 147 77 108 79 159 81 1210 77 18

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Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie.

esempio 2

soggetto età abilità (anni) motorie

X Y1 60 40

2 65 253 72 164 80 185 67 356 75 147 77 108 79 159 81 1210 77 18

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esempio 2

733=∑X 541832 =∑X

203=∑Y 50192 =∑Y

14325=∑ YX

prima calcoliamo le somme:

poi, da questi valori possiamo ricavare le deviazioni standard e la covarianza:

10,7=Xs 99,9=Ys66,61cov −=XY

infine otteniamo la correlazione:

87,0cov

−==YX

XY

ssr

18

esempio 2

Riportando i valori su un diagramma di dispersione otteniamo:

19

Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella.

esercizio

soggetto X Y1 1 7

2 3 43 5 134 7 165 9 106 11 227 13 8

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esercizio

49=∑X 4552 =∑X

80=∑Y 11382 =∑Y

632=∑ YX

prima calcoliamo le somme:

poi, le deviazioni standard e la covarianza:

32,4=Xs 11,6=Ys12cov =XY

infine otteniamo la correlazione:

45,0cov

==YX

XY

ssr

21

ATTENZIONE ATTENZIONE

Il coefficiente r misura l’intensità della relazione lineare;

se r è basso (vicino a zero) vuol dire che non c’è relazione lineare ma potrebbe esserci una relazione di altro genere.

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esempio 3

In questo caso, anche se r = -0,2, risulta evidente che esista una relazione tra le due variabili.