1

ESPERIMENTI FATTORIALI

1. Disegni con 1 solo fattore 2. Disegni con piu’fattori 3. Disegni fattoriali del tipo 2k 4. Disegni fattoriali 3k 5. Disegni misti 6. Disegni fattoriali frazionari: aliasing

Terminologia - Chiamiamo fattori cio' di cui vogliamo esaminare gli effetti sulla risposta e livelli le

modalita' di interesse a cui si presentano i fattori.

- I livelli di un fattore possono essere qualitativi o quantitativi: ad esempio se ci sono 3 macchinari si dira' che il fattore macchinario si presenta a 3 diversi possibili livelli (qualitativi).

- Se si tratta di livelli che possono variare con continuita' in un dato intervallo si dicono quantitativi e possiamo denotarli con numeri reali, di solito x1, x2,.... (es. temperatura e pressione...)

- Una particolare combinazione di fattori, ciascuno a un dato livello, si dira' un trattamento.

2

Disegni con 1 solo fattore a più livelli

Livelli qualitativi

Trattamenti = assegnazione del fattore ai vari livelli

Supponiamo modello lineare omoscedastico

Yij = µ + τi + εij E(εij) = 0, Var(εij) = σ2

i = 1,...,v j = 1,...,ri

Stime O.L.S.: µˆ =y, τiˆ = yi −y,

rispettivamente Var(Y) = σ2/n Var (yi −y) = σ2/ri + σ2/v

Analisi della varianza per vedere se ci sono differenze significative tra i livelli del fattore cioè se qualche τi è significativamente diverso da 0. + Analisi dei residui per controllare l’adguatezza del modello + Test di omoschedasticita’ (stabilizzare la varianza con una trasformazione dei dati?)

3

PIANIFICAZIONE:

Supponendo tutte le unità omogenee, come effettuare la randomizzazione?

a) Assegnazione casuale delle etichette ai trattamenti

b) Assegnazione casuale dell’ordine delle prove

DISEGNO completamente randomizzato

I trattamenti devono essere possibilmente equireplicati r1 = r2 =…= rv (disegno

bilanciato)

Livelli quantitativi

x = livello quantitativo di un fattore, in generale in un intervallo [a,b]

MODELLO: Regressione polinomiale

Y ij = α0 + α1xi + α2xi2 +...+ αmxi

m + εij

Grado del polinomio? Il più basso possibile.

Esempio: Regressione lineare semplice.

Scelta dei valori di x: Quanti valori distinti? dipende dal grado. Almeno m+1 .

4

Disegni con piu’ fattori

Supponiamo d'ora in poi di avere k fattori di interesse, a piu' livelli.

Fattori A1,...,Ak, e q1,..,qk il numero dei loro rispettivi livelli.

ESPERIMENTO UNO-PER-VOLTA

Un modo di procedere consiste nel condurre serie di prove separate sui singoli

fattori. Ciascuna avrebbe lo scopo di esaminare l'effetto prodotto dal variare dei livelli di

un fattore, tenendo tutti gli altri a un valore costante.

E' poco efficiente, e pericoloso.

Un altro modo di procedere fa variare entrambi i fattori, cioe' ad es. usa tutte le diverse

combinazioni dei livelli di temperatura e di pressione.

5

ESPERIMENTO FATTORIALE

Il numero di tutti i trattamenti distinti e' q1×...×qk. Molto spesso q1 = ...= qk = q.

Se tutti i trattamenti vengono osservati si dice esperimento fattoriale completo q1×...×qk

(Es. Due fattori A1 e A2 rispettivamente a 3 livelli ciascuno: 3x3 o 32).

Un esperimento fattoriale fornisce informazione su come i fattori interagiscono tra loro:

questa informazione non e' ottenibile esaminando i fattori uno per volta.

EFFETTO PRINCIPALE DI UN FATTORE = il cambiamento della risposta media

dovuta al cambiamento del livello del fattore

INTERAZIONE TRA DUE FATTORI = ?

Problema molto importante: possono esistere fattori il cui effetto sulla variabile di

risposta Y viene amplificato se opportunamente combinato con qualche altro fattore.

Oppure si potra' attenuare l'effetto negativo di alcuni fattori agendo su altri che

interagiscono con i primi e che sono piu' facili da controllare.

6

La teoria statistica fornisce:

1. Stime degli effetti principali e delle interazioni

2. ANOVA per vedere se gli effetti principali e/o le interazioni sono significative.

7

Disegni fattoriali 2k: k fattori ciascuno a 2 livelli Ogni fattore ha solo 2 modalita', es. presente o assente, alto e basso. Caso semplice ma

importante.

• Questi due livelli si denotano convenzionalmente con 0 e 1, meglio con -1 e +1.

• Ogni fattore indicato da una lettera maiuscola

• Ogni trattamento indicato con la sequenza delle lettere minuscole corrispondenti ai fattori che in quel trattamento sono a livello alto. Es la lettera a indica A alto, tutti gli altri bassi. Il trattamento che ha tutti i fattori a livello basso viene identificato dal simbolo (1).

Tavola 1 Esempio 2x2 = 22. 2 fattori A e B 2 livelli (A+, A- e B+, B-)

trattamento

A B

(1) -1 -1 a +1 -1 b -1 +1 ab +1 +1

8

Interazioni

1 osservazione della risposta Y per ogni combinazione dei livelli di A e B

Effetto su Y dell'aumento di A = +10 per B-

Effetto su Y dell'aumento di A = +10 per B+ Effetto su Y dell'aumento di B = -20 per A- Effetto su Y dell'aumento di B = -20 per A+

L'effetto del fattore A non dipende dal valore di B

L'effetto del fattore B non dipende dal valore di A

Nessuna interazione tra i fattori A e B

Y A- A+

B- 50 60

B+ 30 40

9

Interazioni

2.a)

Effetto su Y dell'aumento di A = +40 per B-

Effetto su Y dell'aumento di A = +20 per B+

Analogamente per l'effetto dell'aumento di B su Y

2.b) Effetto su Y dell'aumento di A = -30 per B-

Effetto su Y dell'aumento di A = +30 per B+

In entrambi i casi il comportamento della variabile di risposta dipende fortemente dalla

combinazione dei fattori.

Interazione presente tra i fattori A e B

Y A- A+

B- 30 70

B+ 20 40

Y A- A+

B- 60 30

B+ 40 70

10

Stime

Effetto di A: 21(Ya + Yab) –

21 (Yb + Y(1))

Effetto di B: 21(Yb + Yab) –

21 (Ya + Y(1))

Interazione AB: 21(Y(1) + Yab) –

21 (Yb + Ya)

11

E' possibile aggiungere al piano dell'esperimento una nuova colonna relativa ad AB, costruita ponendo + in corrispondenza dei trattamenti che contribuiscono positivamente al contrasto di AB e - per gli altri Tavola 2 la nuova colonna puo' essere ottenuta calcolando il prodotto tra i singoli

elementi delle colonne di A e B

Ogni colonna esprime i coefficienti con cui vanno moltiplicate le osservazioni per ottenere effetti principali e interazioni.

A B AB

trattamento

(1) -1 -1 +1

a +1 -1 -1

b -1 +1 -1

ab +1 +1 +1

12

ESEMPIO 2 2x2x2 tre fattori A, B e C.

Legenda: (−) livello basso (+) livello alto

Fattore A

(−) (+)

Fat

tore

C

(−)

(+)

Fatto

re B

(−)

(+)

y000

y110y010

y100

y001 y101

y011 y111

Il trattamento che ha il fattore A a livello alto e i restanti fattori a livello basso viene

indicato con 'a', quello che ha A e B a livello alto e C a livello basso viene indicato con

'ab', e cosi' via.

13

Tavola 3 Codifica dei trattamenti e ordinamento delle risposte per un fattoriale 23.

Simboli per le combinazioni dei trattamenti

Livelli dei fattori

A B C

Risposte

(1) - - - y1 a + - - y2 b - + - y3 ab + + - y4 c - - + y5 ac + - + y6 bc - + + y7 abc + + + y8

Stime

Effetto di A: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1)1(

4

1

4

1 ++−=+++−+++ cbabccbabcacaba

Effetto di B: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1)1(

4

1

4

1 +−+=+++−+++ cbaaccaabcbcabb

14

Effetto di C: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1)1(

4

1

4

1 −++=+++−+++ cbaabbaabcbcacc

Sempre utilizzando delle espressioni solamente simboliche, si ha:

Interazione AB: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1

4

1)1(

4

1 +−−=+++−+++ cbabcacbaabcabc

Interazione BC: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1

4

1(1)

4

1 +−+=+++−+++ cbaaccabbabcbca

Interazione AC: ( ) ( ) ( )( )( )1114

1

4

1(1)

4

1 −−+=+++−+++ cbabccabaabcacb

L'interazione ABC e' definita come differenza media tra gli effetti dell'interazione AB al

variare di C

{[abc - bc] - [ac - c]} - {[ ab - b] - [a - (1)]} ABC = -----------------------------------

4 Nel caso in cui vi siano delle replicazioni, in numero uguale per ogni trattamento, la prima

operazione da compiere è sommare i valori delle risposte ottenute nelle r replicazioni con uno stesso trattamento e procedere poi come se tale totale fosse la risposta “unica” per quel trattamento; cambiano i divisori, che saranno tutti moltiplicati per r.

15

Piani fattoriali completi della serie 3n

Se da un lato può sembrare che considerare due soli livelli per ciascun fattore sia troppo riduttivo, dall’altro il numero delle prove necessarie per l’analisi completa del piano può diventare improponibile quando il numero dei livelli per ciascun fattore è superiore a tre, soprattutto se il numero dei fattori coinvolti nell’esperimento è piuttosto elevato. Quindi è consigliabile, soprattutto quando le conoscenze sul fenomeno oggetto di studio sono nulle o scarse, pianificare esperimenti in cui i fattori vengono analizzati per due o tre livelli, Dopo una prima analisi che non ha richiesto grossi sforzi né dal punto di vista economico né dal punto di vista statistico (ricerca di modelli sofisticati, tecniche di analisi particolari,…) se sono rimaste ancora delle zone d’ombra sull’esperimento, si possono pianificare ulteriori prove, investendo anche qualcosa di più.

Conviene procedere per passi conoscitivi successivi, dei quali il primo è senza dubbio l’utilizzo dei piani fattoriali della serie 2n. Nel caso in cui si voglia aumentare il livello conoscitivo sull’esperimento o si sospetti la presenza di termini nel modello tali da spiegare eventuali curvature nella risposta, e quindi tali da rendere inadeguata l’approssimazione lineare per la valutazione sia degli effetti singoli che delle interazioni, vengono di regola impiegati i piani della serie 3n. Il piano più semplice appartenente a questa classe è quello nel quale sono presenti due fattori, piano 32, del quali ci serviremo

16

per introdurre notazioni tipiche della più ampia classe dei piani fattoriali della serie 3n. Anche in questo caso si usa rappresentare i fattori con le lettere dell’alfabeto maiuscole, mentre per i livelli, equispaziati, sono utilizzate le tre cifre 0, 1 e 2 oppure le corrispondenti lettere minuscole con le stesse cifre come pedice; per esempio a0, a1 e a2 possono essere utilizzate per indicare i tre livelli del fattore. Una notazione alternativa denota i tre livelli con -1, 0, +1.

Le combinazioni di livelli dei fattori, ovvero i trattamenti, che si possono presentare per un piano fattoriale 32 sono quelle in Tavola 4. Tavola 4 Tabella rappresentante i 9 trattamenti corrispondenti a tutte le possibili

combinazioni di due fattori A e B ciascuno a tre livelli denotati con le cifre 0, 1 e 2.

Livello del fattore B Livello del fattore A 0 1 2

0 a0b0 a0b1 a0b2 1 a1b0 a1b1 a1b2 2 a2b0 a2b1 a2b2

17

A volte i trattamenti vengono rappresentati solo mediante i pedici, in cui gli elementi della coppia, sempre riferendoci ad un piano fattoriale 32, rappresentano nell’ordine i livelli dei fattori (vedi Tavola 5). Tavola 5 Tabella rappresentante i nove trattamenti corrispondenti a tutte le possibili

combinazioni di due fattori A e B ciascuno a tre livelli denotati con le cifre 0, 1 e 2.

Livello del fattore B Livello del

fattore A

0 1 2

0 00 01 02 1 10 11 12 2 20 21 22

Entrambe le notazioni proposte possono essere facilmente estese al caso in cui

siano presenti nell’esperimento più di due fattori. La presenza di tre livelli permette di individuare separatamente le componenti

lineari e quadratiche degli effetti dei fattori singoli (AL, AQ, BL, BQ) e le relative interazioni, ognuna con un grado di libertà; le connotazioni indicate, che hanno

18

strettamente senso nel caso di fattori quantitativi, vengono a volte mantenute anche in ambito qualitativo.

Tavola 6

Trattamenti Risposte

Effetti

Stima degli effetti totali

Divisori

00 Y1 Totale Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+ Y6+Y7+Y8+Y9 9r

10 Y2 AL Y3+ Y6+ Y9− Y1 − Y4 − Y7 6r

20 Y3 AQ Y1−2×Y2+Y3+ Y4−2×Y5+Y6+ Y7−2×Y8+Y9 18r

01 Y4 BL Y7+Y8+Y9− (Y1+Y2+Y3) 6r

11 Y5 ALBL Y9− Y7− (Y3− Y1) 4r

21 Y6 AQBL Y7−2×Y8+Y9− (Y1−2×Y2+Y3) 12r

02 Y7 BQ Y1+Y2+Y3−2×(Y3+Y4+Y5)+ Y7+Y8+Y9 18r

12 Y8 ALBQ Y3− Y1 −2×(Y6− Y4) +Y9− Y7 12r

22 Y9 AQBQ Y1−2×Y2+Y3−2×(Y4−2×Y5+Y6)+ Y7−2×Y8+Y9 36r

19

L’estensione ai piani fattoriali 33 Dei 27 gradi di libertà, uno viene usato per la stima della media, due gradi di

libertà sono usati per ogni effetto singolo (uno spendibile per la componente lineare e l’altro per la componente quadratica), quattro gradi di libertà per ogni interazione doppia (uno per la componente lineare nei due fattori coinvolti, due per le due componenti miste e l’altro per la componente quadratica in entrambi i fattori) e gli ultimi otto per l’interazione tripla (e quindi la sua somma di quadrati volendo potrebbe essere scomposta in otto componenti).

Inutile dire che i principali prodotti software per l 'analisi di dati sperimentali

dispongono di routine di calcolo degli effetti, e dei termini per l'analisi della varianza, per i piani fattoriali, oltre che per altri tipi di frequente applicazione.

20

Piani fattoriali misti, in particolare 2 q×3p

Col termine piani fattoriali misti si indicano piani fattoriali completi in cui i vari fattori compaiono a due o più numeri di livelli diversi; un caso frequente è quello in cui accanto a fattori di tipo quantitativo caratterizzati da effetti non lineari - e che pertanto richiedono almeno tre livelli – ne sono presenti altri per i quali due livelli sono sufficienti. Se il numero dei primi è p, e quello dei secondi è q, la struttura del piano risulta del tipo 2q × 3p; in particolare, nella figura 3 viene fornita una visualizzazione grafica di un piano fattoriale misto 22 × 31.

Figura 3

y011y010

y100

Fattore C

Fat

tore

A

Fatto

re By000 y001

y012

y112

y102

y110 y111

y002

y101

21

Piani fattoriali frazionari

Se si vuole verificare l’influenza di due o più fattori, qualitativi o quantitativi, che agiscono contemporaneamente sulla risposta (quantitativa) di un esperimento, uno degli strumenti più efficaci sono i piani fattoriali completi; essi sono stati sviluppati per consentire in modo sistematico la stima degli effetti dei singoli fattori e degli effetti dovuti all’azione congiunta dei fattori presenti nell’esperimento, anche con numeri di livelli diversi fra loro.

I piani fattoriali completi permettono di:

• stimare gli effetti singoli di ogni fattore in modo indipendente l’uno dall’altro,

• determinare la dipendenza dell’effetto di ciascun fattore dai livelli degli altri (stima delle interazioni),

• determinare la stima degli effetti col massimo della precisione, • stimare l’errore sperimentale (repliche);

però c’è una controindicazione dovuta al fatto che all’aumentare del numero dei fattori

controllati, cresce il numero dei parametri incogniti del modello., se il numero dei fattori

22

è grande, il numero delle prove richieste può diventare proibitivo. Ma già quando il numero di fattori supera le poche unità, il numero delle prove può risultare esorbitante rispetto alle risorse disponibili; inoltre, insieme al numero dei fattori, cresce anche a dismisura il numero delle interazioni di ordine superiore, la cui stima spesso riveste scarso interesse pratico. Ad esempio nel caso di un piano fattoriale con n fattori, il modello completo prevede n effetti singoli,

2

n interazioni tra coppie di fattori (interazioni

doppie o effetti del secondo ordine),

3

n interazioni tra terne di fattori (interazioni triple o

effetti del terzo ordine) e, in generale, ( ) !!

!

kkn

n

k

n

−=

interazioni tra combinazioni di k fattori

(interazioni k-esima o effetti del k-esimo ordine) per un totale, se tutti i fattori hanno lo stesso numero p di livelli, di pn−1 effetti. Quindi il numero di prove sperimentali da effettuare, se si vogliono stimare in modo indipendente tutti i parametri più la media, deve essere almeno uguale a pn (a parte eventuali replicazioni). Ad esempio un piano fattoriale con 4 fattori ciascuno a tre livelli prevederebbe 34 = 81 prove sperimentali con una replicazione sola dell’esperimento, il numero delle prove salirebbe a 162! In generale se si hanno n fattori ciascuno a ki livelli e si vogliono effettuare r replicazioni, il numero delle prove sperimentali è pari a r× k1× k2 ×…kn. Se si vogliono contenere costi e tempi di esecuzione di un esperimento, occorre quindi tenere sotto controllo o il numero dei fattori da introdurre nell’esperimento o il numero dei livelli dei fattori che si considerano o il numero delle prove utilizzando dei piani

23

fattoriali incompleti. L’impiego di piani fattoriali frazionari , consistenti in una frazione soltanto del corrispondente piano fattoriale completo, viene giustificato dalle precedenti e da altre considerazioni ancora. A volte si deve prendere in esame a livello esplorativo un numero elevato di fattori, pur sapendo che in realtà solo alcuni si dimostreranno realmente influenti; un piano fortemente frazionato permette di selezionare rapidamente i fattori che contano maggiormente, per sottoporli ad indagini più approfondite secondo le necessità. In presenza di n fattori ciascuno a due livelli, una frazione ½ prevede l'esecuzione di 2n−1 prove con altrettanti trattamenti diversi, ed in generale una frazione di ordine 1/2p consta di 2n−p prove.

Tale riduzione nelle dimensioni dell’esperimento, e quindi nel suo costo, non è però indolore; viene pagata con la perdita totale di informazione su uno o più effetti - generalmente interazioni di ordine elevato - costituenti l'identità fondamentale (Defining Contrasts) mediante la quale viene selezionata la frazione del piano completo, ed inoltre con la confusione delle stime di ognuno dei restanti effetti con uno o più alias, oltre evidentemente alla perdita di

24

precisione generalizzata dovuta al minor numero di prove rispetto al piano completo. E’ quindi importante prestare la massima attenzione su quali combinazioni di trattamenti rinunciare, in modo da evidenziare quali sono le interazioni trascurate in ogni frazione di un piano completo e quali sono le conseguenze nel caso in cui le interazioni trascurate dovessero essere significative a nostra insaputa. Vediamo cosa succede per un piano fattoriale 2n, considerando per primo il caso più semplice con due fattori. Supponendo che non vi siano interazioni tra i due fattori A e B, il confronto utilizzato per stimare la loro interazione AB dovrebbe fornire un valore pari a zero, a parte la variabilità casuale. Puo’ essere assegnata a un altro fattore C

25

Tavola 7 Piano per tre fattori con quattro osservazioni: è una frazione ½ di un piano 23.

Risposte

Confronti utilizzati per la stima

trattamenti

A B C (=AB) y1 - - + c y2 + - - a y3 - + - b y4 + + + abc

Piano 1 (C = AB): c a b abc

Piano 2 (C = AB): (1) ac bc ab

Entrambi i piani costituiscono delle frazioni ½ ed insieme esauriscono il piano completo di 3 fattori a due livelli.

26

Si osservi che la differenza delle medie delle risposte ottenute con i due piani rappresenta la stima dell’interazione tripla ABC.

Esaminiamo ora il caso dei piani con 4, 5, 6 e 7 fattori con 8 osservazioni

disponibili. Nel caso di 3 fattori ciascuno a due livelli con 8 osservazioni i confronti indipendenti sono quelli indicati nella Tavola 11 (con la lettera I è stato indicato il confronto che serve per stimare la media: infatti i segni sono tutti positivi e quindi è la somma di tutte le osservazioni disponibili).

27

Tavola 8 Piano per tre fattori con 8 osservazioni. I segni + e - nella tabellina indicano i coefficienti (della combinazione lineare che costituisce il confronto da utilizzare per stimare l’effetto (totale) del fattore corrispondente.

Risposte

Confronti utilizzati per la stima trattamenti

A B C AB AC BC ABC media y1 − − − + + + − + (1) y2 + − − − − + + + a y3 − + − − + − + + b y4 + + − + − − − + ab y5 − − + + − − + + c y6 + − + − + − − + ac y7 − + + − − + − + bc y8 + + + + + + + + abc

28

Tavola 9 Piano per quattro fattori con 8 osservazioni.

Fattori

Risposte A B C D trattamenti y1 - - - - (1) y2 + - - - ad y3 - + - + bd y4 + + - - ab y5 - - + - cd y6 + - + - ac y7 - + + - bc y8 + + + + abcd

Il piano così ottenuto è una frazione ½ di un piano fattoriale 24 Si

osservino i seguenti particolari:

29

1. gli effetti delle interazioni triple ABD, ACD e BCD sono confusi

con gli effetti dei fattori, nell’ordine, rispettivamente C, B e A e gli effetti delle interazioni doppie sono confusi tra loro (AB con CD, AC con BD e AD con BC)

2. se tutte le interazioni triple e tutte le interazioni del fattore D con i

fattori A, B e C e con le loro interazioni doppie AB, AC e BC sono nulle o possono ritenersi di entità trascurabile, il piano suddetto fornisce una stima imparziale degli effetti dei fattori A, B, C e D e delle interazioni doppie AB, AC e BC

3. eguagliando D a ABC si ottiene un piano simile e le combinazioni dei

trattamenti in questo caso sono: d a b abd c acd bcd abc

Queste combinazioni rappresentano l’altra metà del piano fattoriale completo

30

Tavola 10 Piano per cinque fattori con 8 osservazioni.

Risposte

Confronti per la

stima

trattamenti

A B C E D I y1 − − − + − + e y2 + − − + + + ade y3 − + − − + + bd y4 + + − − − + ab y5 − − + − + + cd y6 + − + − − + ac y7 − + + + − + bce y8 + + + + + + abcde

Questo piano fattoriale rappresenta ¼ di un piano fattoriale 25

31

In pratica con un insieme di 8 osservazioni relative a 8 combinazioni di trattamenti si può:

� Stimare gli effetti di 3 fattori e di tutte le loro interazioni di ogni

ordine (piano fattoriale completo) � Stimare gli effetti di 4 fattori e le interazioni doppie tra 3 fattori; tutte

le altre interazioni doppie, triple e la quadrupla sono assunte nulle o trascurabili

� Stimare gli effetti di 5 fattori e 1 interazione di un fattore con ciascuno degli altri due; tutte le altre interazioni sono assunte nulle o trascurabili

� Stimare gli effetti di 6 fattori e 1 interazione doppia; tutte le altre interazioni sono assunte nulle o trascurabili

� Stimare gli effetti di 7 fattori; tutte le interazioni, di ogni ordine, sono assunte nulle o trascurabili

32

In definitiva, se la costruzione di un piano fattoriale completo non presenta particolari difficoltà, non altrettanto può dirsi quella di un piano fattoriale frazionario, specie quando vi sono numerosi fattori ed il frazionamento è elevato; si può in tal caso ricorrere sia ad estese raccolte di piani disponibili per ogni tipologia di pratico impiego, sia ad algoritmi di generazione di frazioni incorporati in diffusi prodotti software commerciali.