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Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto. Studio della loro risposta ad un’onda quadra

Filtri elettrici ideali: sono quadrupoli che trasmettono un segnale di ingresso in un certo intervallo di frequenze ovvero esiste una banda di pulsazionitale che la funzione di trasferimento:|A()| = 1 per 1 < < 2

|A()| = 0 altrove con 1 e 2 pulsazioni di taglio o critiche del filtro in corrispondenza dellequali si ha una discontinuità di A(). Per esempio, questo è il caso del filtro passa-banda.I 2 tipi fondamentali di filtri ideali sono:1) Filtro passa-basso ideale 2) Filtro passa-alto ideale

1

2

1

1

1 = 02 è la frequenza di taglio superiore

1 è la frequenza di taglio inferiore 2 =

2

Esperienza n. 11 Filtri passa-basso e passa-alto

Un filtro non dissipativo (che nella banda passante [1, 2] ha attenuazione nulla, cioè |A()| = 1) è un esempio di filtro ideale. Non ‘dissipativo’ vuol dire che è costituito solo da elementi reattivi (C, L).

1) Filtro passa-basso ideale 2) Filtro passa-alto idealeZ1 = jL e Z2 = 1/(jC) LC Z1 = 1/(jC) e Z2 =

jLA =j

A = j j

<< 0 A1 >>0 A0 << 0 A0 >> 0

A1 I circuiti LC e CL sono risonanti (frequenza di risonanza 0)

A() = Vu/Vi = Z2/(Z1+Z2) = 1/(1+Z1/Z2) A() è un numero reale

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L = 10 HC = 1 nF

•FFiltro passa-basso LC 2) Filtro passa-alto CLZ1 = jL e Z2 = 1/(jC) LC Z1 = 1/(jC) e Z2 = jLA =j

A = j j

<< 0 A1 >>0 A0 << 0 A0 >> 0 A1 I circuiti LC e CL sono risonanti (frequenza di risonanza 0)

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Nella realtà si possono costruire includendo elementi passivi (R ) filtri realiche approssimano il comportamento di filtri ideali.

A() = Vu/Vi = 1/(1+Z1/Z2)

Se Z1/Z2

0 0 A() 1 passa-basso A() 0 passa-alto

Esempi di filtri passa-basso:

Z1 = RZ2 = 1/(jC)

Z1/Z2 = jRC

Per 0 Z1/Z2 = jRC 0 A() 1

Z1 = jLZ2 = R

Z1/Z2 = jLC

Per 0 Z1/Z2 = jLC 0

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A() = 1/[1 + Z1/Z2] = 1/[1+ jRC] = (1-jRC)/[1+ (RC)2] |A| = 1/[1+ (RC)2]1/2 tan = - RCPoiché |A| ha un andamento diverso dal caso del filtro ideale ed essendograduale il passaggio da |A| = 1 a |A| = 0 è necessario definire la pulsazione

di taglio come il valore tale che |A(t)| = 1/2 = 1/[1+(RCt)2]1/2 t =1/RC = 1/ dove = RC è la costante di tempo del circuito

Quindi:|A| = 1/[1+(/t)2]1/2 tan = - t


Filtro passa-basso RC: 1 = 0 e 2 0 con 2 pulsazione critica o di taglio superiore

Se0|A|1VuVi

0°|A|0Vu0-90°

Se

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Filtro passa-basso:

|A| = 1/2

Il filtro passa-basso attenua le alte frequenze (>>t)

0

Andamento teorico

Filtro ideale

Meglio in scala semi-log!

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Filtro passa-alto CR: 1 0 pulsazione critica o di taglio inferiore e 2 = A() = 1/[1+ Z1/Z2] = 1/[1+ 1/(jRC)] = 1/[1-j/(RC)] = [1+j/(RC)]/[1+1/(RC)2] |A| = 1/ [1+ 1/(RC)2]1/2 tan = 1/(RC)Anche in questo caso, t =1/RC |A| = 1/ [1+ (t/)2]1/2 tan = (t/)

Se0

Se |A|1VuVi

0°

|A|0 Vu090°

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Filtro passa-alto:

|A| = 1/2

Il filtro passa-alto attenua le basse frequenze (<<t)

filtro ideale

Andamento teorico

Scala semi-log

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Strumentazione: oscilloscopio, generatore di forme d’onda (utilizzato con onde sinusoidali e nella seconda parte dell’esperienza con onde quadre), 2 sonde, basetta, componenti R,CComponenti dei circuiti da realizzare:•C = 22 nF (±10%) •R = 1 k(±1%) Misure da effettuare:Visualizzare il segnale di ingresso e di uscita (ai capi di C per il passa-bassoe di R per il passa-alto) sui canali A e BSi mantenga la tensione di alimentazione al valore picco-picco = 4 V (Rint = 50)Si verifichi che l’andamento qualitativo del segnale di uscita sia quello attesoprima di cominciare a prendere le misure Il valore atteso della pulsazione critica o di taglio èt = 1/(RC) = 45454.5 rad/sec, = RC = 22scorrispondente alla frequenza t = 1/(2RC) = 7.23 kHz. L’errore è determinato dalle tolleranze di R e C:

)()()( 22

22

CC

RR

ttt

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Tabella dei dati (in rosso sono indicate le quantità da misurare, in verde da calcolare):

Vi

(V)

f.s. (V)

T (s)

f.s.(s)

(Hz)

(rad/s)

Vo

(V)f.s. (V)

A=Vo/Vi

V/V0

t (s)

f.s. (s)

(deg)

Si calcolino gli errori su : |A| e

)(||

)(||

|)(| 2

2

2

2

ii

uu

VV

AV

V

AA

)()()(

)( 22

2

2

TT

TT

Si effettui un test del 2 per |A|e calcolando la probabilità chei dati siano compatibili con lepredizioni relative alle rispostedei circuiti

Intervallo di frequenze in cui effettuare le misure: ~100 Hz – ~5 MHz

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Misura della frequenza critica: •è la frequenza (in realtà potrebbe essere un piccolo intervallo di frequenze) in cui |A| = 1/2 e = -45° per il passa-basso e = 45° per il passa-alto•Per il passa-basso: una stima più precisa si ottiene mediante un fit lineare di tannella regione /t ~[1/5, 5] ponendo y = tane x =y = A x + B e quindi il valore misurato è t = -1/A con relativo errore del fite B~0Si osservi che dalla misura di t si possono ottenere C supponendo R nota e R supponendo C nota

Diagrammi di Bode: si fattorizza la funzione di trasferimento e se ne considerano i fattori al numeratore e denominatore, quelli costanti, quelli corrispondenti a poli (1+j/p)-1, quelli corrispondenti a zeri in origine (j)L e quelli corrispondenti a zeri (1+j/z) Si rappresenta il guadagno logaritmico G = 20 log10|A| (in decibel) in funzione di u=log10quindi l’intervallo unitario dell’asse delle u corrisponde a una decade in Si rappresenta anche la fase.

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Diagrammi di Bode:Per il passa-basso: A = 1/[1+ jt] t è un polo

Per il passa-alto A = j/t /[1+ j/t] la funzione di trasferimento presenta un polo in t, uno zero in origine (L=1) e un termine costante 1/t

Analoghe rappresentazioni si ottengono per lo sfasamento = arg(funzione di trasferimento) vs log10

polo

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Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra

Abbiamo verificato che se un segnale sinusoidale è applicato in ingresso aduna rete formata da elementi lineari il segnale in uscita in regime stazionarioè sinusoidale l’azione del circuito è definita da A0 = ampiezza segnale inuscita/ampiezza segnale in ingresso e dallo sfasamento tra di essi.Gli altri segnali (scalino, impulso rettangolare, onda quadra, rampa,esponenziale) non conservano la loro forma attraverso una rete lineare.

Si studino la risposta del passa-basso e del passa-alto ad un segnale in ingresso del tipo onda quadra: si osservi l’eventuale distorsione della forma d’onda in uscita rispetto a quella in ingresso e si osservino le variazioni delladistorsione con la frequenza. Si considerino i 3 intervalli di frequenze tali che <<t = 1/(2RC) = 7.23 kHz frequenza di taglio inferiore t

>>t

Si effettuino le stesse osservazioni aggiungendo un offset continuo al segnale in ingresso (usare la manopola offset del generatore di forme d’onda e spostare su DC l’apposito tasto dell’oscilloscopio per ciascun canale)Si trascrivano le proprie osservazioni che verranno approfondite alla luce delle prossime lezioni.

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La risposta di passa-alto e passa-basso ad un’onda quadra può essere meglio capita se si considerano segnali di ingresso a scalino e a impulso.Passa-alto Passa-basso

Vi = E

Vu = E e-t/(RC)

Se il condensatore C è inizialmente scarico, poiché la tensione ai suoi capi non può cambiare istantaneamente, quando l’ingresso sale al valore E improvvisamente, l’uscita cambia in modo discontinuo dello stesso valore. Per t l’uscita deve essere nulla perché C non lascia passare una corrente continua. Per l’impulso, dopo la decrescita esponenziale, l’uscita diminuisce istantaneamente della stessa quantità dell’ingresso perché la tensione sulla capacità non può variare istantaneamente. Quindi la tensione in uscita diviene negativa e tende esponenzialmente a zero. Le aree al di sopra e al di sotto dell’asse sono uguali.

scalino

EE

impulsoVi = E

Vu = E(1-e-t/(RC))

Anche per il passa-basso, la risposta allo scalino è un esponenziale con costante di tempo RC. Poiché la tensione non varia istantaneamente su C, Vu parte da zero e tende al valore di regime E. Durante l’impulso, si accumula carica su C che non può sparireistantaneamente, quindi Vu decresce esponenzialmente.

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Risposta del passa-alto ad un’onda quadraUn’onda quadra assume un valore costante nel tempo T1 ed un diverso valore costante nel tempo T2. E’ un segnale periodico di periodo T1+T2 (talvolta se T1T2 è chiamata onda rettangolare)Caratteristiche della risposta del passa-alto:1. il valore medio del segnale di uscita è nullo(il segnale in uscita avrà la stessa area nellaregione positiva e in quella negativa delletensioni). L’uguaglianza delle aree è dovuta al fatto che ingresso ed uscitasono separati da un condensatore è quindi, indipendentemente dal livello ditensione continua dell’ingresso, il livello medio di tensione continua dell’uscita deve essere nullo.2. Se l’ingresso cambia in modo discontinuo di un certo valore, l’uscita presenta una discontinuità dello stesso valore e segno perché la tensione sul condensatore non può variare istantaneamente.3. Durante ogni intervallo di tempo in cui l’ingresso si mantiene costante,l’uscita va esponenzialmente a zero. Inoltre il termine di offset continuoin ingresso non viene trasmesso in uscita. Questa è una conseguenza dellapresenza del condensatore che blocca la continua (ZC = 1/(jC) ovveroil condensatore equivale a un circuito aperto per 0)

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Risposta del passa-alto ad onda quadra

La forma d’onda d’uscita riproduce quella in ingresso se RC/T1 e RC/T2 >>1 ma in caso l’ingresso presentiun livello di continua esso scompare in uscita

Peaking: se RC/T1 e RC/T2 <<1 l’uscita è costituita da picchi positivi e negativi e l’ampiezza picco-picco è 2 volte l’ampiezza picco-picco del segnale in ingresso. Per RC<<T il circuito si comporta come differenziatore. La caduta di tensione si localizza prevalentemente su C e Vu =Ri = RCdVi/dt. La derivata di un’onda quadra è nulla ovunque tranne che nei punti di discontinuità, dove l’uscita dovrebbe presentare picchi infiniti. Essi non lo sono nella realtà perché in corrispondenza delle discontinuità la caduta di tensione su R nonè trascurabile rispetto a quella su C.

E

2E

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1. Esperienza n. 11 Risposta dei filtri passa-alto e passa-basso ad un segnale onda quadra

Risposta del passa-basso ad un’onda quadraCaratteristiche della risposta del passa-basso:1. la distorsione del segnale di ingresso è minimizzata se RC<<T1,T2

2. Se l’onda quadra in ingresso ha valor medio diverso da zero occorre sommare tale tensione continua anche al segnale in uscita.3. Se RC >> T1,T2 il circuito si comporta come un integratore: la tensioneai capi di C è molto piccola rispetto a quella ai capi di R e la corrente èpraticamente determinata solo dalla resistenza i Vi/R e Vu = VC q/C = idt/C = Vidt /(RC) l’uscita è proporzionale all’integraledell’ingresso.Per l’onda quadra, l’integrale di una costante è una funzione linearein accordo con quanto si osserva per RC >> T

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Livello medio nullo sia perl’ingresso che per l’uscita.

Se in ingresso si aggiunge un livello di offset continuo questo viene trasmessoinalterato in uscita e si sommaal segnale alternato.

Per RC>>T i tratti costanti dell’ondaquadra vengono ‘integrati’ e diventanoin uscita termini lineari

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