1 Corso di Sistemi e Modelli Prof. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo A.A. 2014-2015...
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1
Corso di Sistemi e ModelliProf. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo
A.A. 2014-2015
Introduzione al corso
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LEZIONI Mercoledi 14.30-16.30 aula Ke Giovedi 10.30-12.30 aula Be Venerdi 10.30-12.30 aula Le
ESERCITAZIONI Tutor Venerdi 12.30-14.30 aula Ve
ORARIO RICEVIMENTO durante il corso: Mercoledi ore 16.30 poi su appuntamento tramite mail
Orario
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3
Alcune informazioni
• Corso con due canali: Canale 1 : prof. Gianluigi Pillonetto - Mauro Bisiacco Canale 2 : prof. Gianna Maria Toffolo - Claudio Cobelli
• Svolgimento lezioni: 45min lezione + 15min pausa + 45min lezione
• Comunicazioni tramite forum del corso https://elearning.dei.unipd.it/ E’ necessario iscriversi!!!
• Modalità d’esame: prova scritta identica per entrambi i corsi gli studenti che hanno superato lo scritto possono-su richiesta-sostenere una
prova orale integrativa, su TUTTO il programma, nello stesso appello dello scritto
2 appelli nella sessione 26 gennaio – 28 febbraio 20151 appello nella sessione 15 giugno - 25 luglio 20151 appello nella sessione 24 agosto - 23 settembre 2015
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Alcune regole…
• Il compito scritto ha validità un anno, ovvero il voto deve essere registrato entro un anno dalla data della prova
• La consegna di un compito scritto annulla la validità di un eventuale voto positivo conseguito dallo studente in un appello precedente, ma non l’iscrizione ad un appello e la presenza in aula se poi lo studente si ritira
• La registrazione dell’esame è un atto ufficiale che richiede la presenza dello studente. Vengono ammesse deleghe solo in caso di gravi e provati motivi
• Nelle comunicazioni via e-mail, utilizzare il proprio indirizzo istituzionale [email protected] (messaggi anonimi NON saranno presi in considerazione)
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5
Testi di riferimento:
• Mauro Bisiacco, Gianluigi Pillonetto: Sistemi e Modelli, Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna 2015
• Claudio Cobelli, Ewart Carson: Introduzione alla Modellistica in Fisiologia e Medicina, Patron, Bologna, 2012
Slides sul sito del corso
Testi
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66
Testi per consultazione:
• L Benvenuti, A De Santis, L Farina: Sistemi Dinamici, Mc Graw Hill, 2009
• JA Gubner: Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge Univ Press, 2006
• E Fornasini, G Marchesini: Teoria dei Sistemi, Libreria Progetto, Padova
• K Astrom, R Murray : Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. Disponibile online: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/
• G Picci: Metodi Statistici per l’Identificazione di Sistemi Lineari, 2011. Disponibile online : http://www.dei.unipd.it/~picci/IdentAnalisiDati.html
Testi
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7
Prerequisiti
• Fisica Generale 1 e Fisica Generale 2 Equazioni che regolano la dinamica di sistemi meccanici ed elettrici
• Segnali e Sistemi Trasformate di Fourier, Laplace e Zeta; Funzioni di trasferimento, a tempo
continuo e discreto
• Algebra Lineare e Geometria Autovettori/autovalori, Matrici definite positive e loro diagonalizzazione
• Analisi dei dati Variabili aleatorie gaussiane, calcolo di media e varianza di variabili aleatorie
gaussiane condizionate, regressione lineare
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SistemaGruppo o insieme di elementi riuniti da qualche interazione regolare o da una mutua dipendenza per realizzare un determinato fine (Shannon)
“il tutto è maggiore della somma delle
singole parti” (Aristotele)
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9
Modello
MODELLO = OGGETTO, COMPORTAMENTO CHE SI COPIA
Esempio: - modello in pittura; modello di virtù
Proprietà: - completo; perfezione ideale
MODELLO = SCHEMA TEORICO, STRUTTURA ASTRATTA, LUOGO DI SIMULAZIONE
Esempio: - modello di un edificio; modello dell’atomo
Proprietà: - immagine impoverita del “reale”; astrazione, vengono riprodotti solo aspetti “rilevanti” dal punto di vista adottato
“più ricco e complesso”
“più povero e schematico”
Linguaggio comune:
Linguaggio scientifico:
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Tipi di modelli
• Modelli mentali (rappresentazione di un fenomeno)
• Modelli verbali (descrizione a parole di un fenomeno)
• Modelli fisici (iconici; leggi della similitudine; leggi dell’analogia)
• Modelli concettuali diagrammi, schemi (pianta città- flow chart)
• Modelli matematici…..
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insieme di relazioni matematiche che descrivono i legami tra le grandezze del sistema reale, quindi una rappresentazione della realtà con un certo grado di approssimazione
Modelli Matematici
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Sistemi e modelli dinamici
Evolvono nel tempoSono causali, cioè le uscite al tempo t dipendono dalla storia passata degli ingressiSono tipicamente modellizzati tramite equazioni differenziali
)),(),(()(
0)0( )),(),((/)(
ttutxhty
xxttutxfdttdx
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Metodologie modellistiche
MODELLO
SISTEMA
SCOPO
PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
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SISTEMA X
Quesito Qx
Perché un modello?
???
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SCOPI DESCRIVERE es.Legge di Ohm V = R x I
INTERPRETARE se si misurano in due dispositivi un diverso legame I-V , si deduce che i valori di R sono diversi
PREDIRE come sarà V se applico un ingresso I sinusoidale?
MODELLO M
Quesiti QM
Risposte RMRisposte RX
SISTEMA X
Quesiti Qx
Definizione operativa di modello
1
4 3
2
M è un modello di X, per un osservatore, se esso può utilizzare M per rispondere a domande su X
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White box/Gray box• Descrivono il funzionamento interno del
sistema sulla base di principi fondamentali della scienza (fisica, biologia, chimica ecc) e di ipotesi sulla struttura del sistema (livello di approssimazione dettato da conoscenze a priori e natura delle ipotesi)
• Danno informazione sui meccanismi interni del sistema
• Si parla di scatola bianca (trasparente) se struttura e parametri del modello sono noti
• Si parla di scatola grigia se i parametri non
sono noti-devono essere identificati dai dati
Classi di modelli: Modelli di Sistema
Parametri p=[k01, k12, k21, V1]T
11
22121212
1212121011
/)()(
0)0( )()()(
0)0( )()()()()(
Vtqty
qtqktqktq
qtutqktqkktq
eliminazionek01
k12
k21
y = concentrazione del farmaco
Ingresso farmaco
1
plasma
2
tessuti
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Metodologie modellistiche
MODELLO
SISTEMA
STRUTTURA STIMA PARAMETRICA
Conoscenze a priori
Assunzioni
DATI
PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
Modelli di Sistema
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ingresso-uscita, black box• Descrivono la relazione
ingresso-uscita del sistema senza nessuna (minime) ipotesi sulla struttura
• Non danno informazione sui meccanismi interni del sistema
• Utili se non ci sono conoscenze sul sistema e comunque se interessa solo il comportamento ingresso-uscita, da inferire a partire dai dati sperimentali
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
5
10
15
TEMPO
CO
NC
EN
TR
AZ
ION
E
y t p A eit
i
i( , )
1
2
Classi di modelli: Modelli di Dati
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Metodologie modellistiche
MODELLO
SISTEMA
RELAZIONE INGRESSO-USCITA
STIMA PARAMETRICA
DATI
Modelli di Dati
PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
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20
Identificazione
PROGETTO DELL’ESPERIMENTO
SISTEMA
STRUTTURADEL MODELLO
STIMA PARAMETRICA
INGRESSO USCITA
CONOSCENZE A PRIORIASSUNZIONI
ESPERIMENTO
MODELLO
• Spesso (gray box/black box) è necessario stimare il valore dei parametri del modello dai dati
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21
PROGETTO DELL’ESPERIMENTO
SISTEMA
STRUTTURADEL MODELLO
STIMA PARAMETRICA
VALIDAZIONE
INGRESSO USCITA
CONOSCENZE A PRIORIASSUNZIONI
ANALISI DEI DATI
IDENTIFICAZIONE
ESPERIMENTO
MODELLO FINALE
Validazione
• Il modello e' adeguato per lo scopo per cui e' stato costruito?
• Qual’è il suo dominio di validità?
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22
TIPI DI MODELLI
• Modelli Statici/Dinamici
• Modelli Deterministici/Stocastici
• Modelli Tempo-Invarianti/Varianti
• Modelli a Parametri Concentrati/Distribuiti
• Modelli Lineari / Non Lineari
• Modelli a Tempo Continuo / Discreto
Osservazione: Tutte le combinazioni sono possibili, ad es.:- Modelli dinamici, deterministici, a parametri concentrati, a tempo continuo;- Modelli dinamici, stocastici, tempo-varianti, a parametri distribuiti, non lineari, a tempo continuo.
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Ricapitolando : i modelli matematici….
• Descrivono in modo non ambiguo gli aspetti essenziali del sistema
• Includono semplificazioni
• Sono riproducibili
• Soddisfano uno scopo
• Permettono (spesso) un’analisi quantitativa del sistema
• Sono accessibili, quindi è possibile modificare e testare il modello
• Sono universali: utilizzati in tutte le aree della scienza e dell’ingegneria
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…ma: le regole d’oroNon esiste il modello, tutti i modelli sono approssimazioni della realtà … Pertanto è necessario: • definire il dominio di validità di un modello e non forzarne l’uso al di fuori• confrontare le predizioni del modello con dati indipendenti da quelli usati per
l’identificazione• progettare il modello in modo “aperto” in modo da potervi includere nuove
conoscenze• progettare il modello in modo “trasparente” in modo da poter consentire
facilmente la sua falsificazione• restare critici e flessibili : avere sempre un modello più semplice ed uno più complesso di quello proposto
In pratica tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili (G.Box)
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Programma del corso
• Modelizzazione di sistemi dinamici tramite equazioni matematiche
• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici regolati da equazioni differenziali
• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione
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Modellizzazione
• Esempi di sistemi dinamici in vari ambiti (ingegneria, biologia, economia, metereologia, ecc)
• Definizioni di classi di modelli matematici per sistemi dinamici
![Page 27: 1 Corso di Sistemi e Modelli Prof. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo A.A. 2014-2015 Introduzione al corso.](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022070313/5542eb74497959361e8ddb24/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Analisi - 1
Sistemi Lineari Autonomi a Tempo Continuo • Soluzione con esponenziale di matrice • Forma di Jordan • Analisi modale• Traiettorie e punti di equilibrio• Stabilità: metodo di Lyapunov
Sistemi NON Lineari • Linearizzazione • Estensione del metodo di Lyapunov
)()(
)0( )()(/)(
tCxty
xoxtAxtdttdx
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2828
Analisi-2
Sistemi non autonomi lineari •Evoluzione libera e forzata•Funzioni di trasferimento •Punti di equilibrio
Sistemi a tempo discreto •Analisi modale•Funzione di trasferimento (ZT)
Modelli compartimentali•Definizioni•Proprietà fondamentali
)()()(
)0( )()()(/)(
tDutCxty
xoxtButAxtdttdx
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)0( )()()1(
kDukCxky
xoxkBukAxkx
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IdentificazioneIdentificabilità a priori
Stimatori: definizioni e proprietà
Stima parametrica•Stima ai minimi quadrati•Stima a massima verosimiglianza
Validazione
L’esperimento è sufficientemente informativo, ovvero consente di identificare in modo univoco i parametri del modello ?
Il modello (struttura & valore/precisione dei parametri) è adeguato allo scopo ?
Sulla base dei dati sperimentali disponibili, quali sono i valori dei parametri e qual è la confidenza che possiamo associare a tali parametri?
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30
Deconvoluzione
SISTEMA
u(t)
t
d)(u)t(g)t(y Risp impulsiva g(t) nota
Misura?????
Dato un sistema, descritto dalla sua risposta impulsiva (nota) determinare l’ingresso (incognito) che ha prodotto una certa uscita (misurata)
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31
Programma del corso
• Modellizzazione di sistemi dinamici tramite modelli matematici (prof. G.Toffolo)
• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali e alle differenze (prof. G. Toffolo)
• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione (prof. C.Cobelli)
• Esercitazioni in orario di lezione + Tutoraggio extra orario di lezione
slides
M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli
C. Cobelli, E. Carson: Introduzione alla Modellistica…. + slides
M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli