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2. Introduzione alla probabilità

Definizioni preliminari:

• Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio

• Spazio degli eventi elementari : è l’insieme di tutti i possibili esiti

• Evento casuale: è un sottoinsieme A di ( A )

Un evento casuale può essere

• impossibile A =

• certo A =

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Variabili aleatorie

Ogni evento w può essere associato in modo biunivoco a un numero attraverso una particolare legge. Tale corrispondenza viene detta variabile aleatoria (v.a.) X(w).

Una variabile aleatoria X(w) (o più semplicemente X) può essere:

• discreta se assume solo un insieme finito o numerabile di valori X N

• continua altrimenti X R

Nel seguito indicheremo con X le v.a. e con x i valori che esse possono assumere.

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La funzione di distribuzione (cumulativa) FX(x) di una v.a. discreta X esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x:

FX(x) = Pr (X x) Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete

1/41/23/4

1

FX(x)

x1 20 3-1

1/21/4

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Valore atteso o media x

x xPr(x)μE[X]

Varianza

x

2x

2x

2 Pr(x))μ-(xσ]E(X))-E[(XVar[X]

E[X]

1

x

Pr(x)

Var[X]=0

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Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete

wi Pr(wi) xi xi

CC 1/ 4 0 1/ 4CT 1/ 4

TC 1/ 4TT 1/ 4 2 1/ 4

1/21

E[X] = 0 ·1/4 + 1 ·1/2 + 2 ·1/4 = 1

Var[X] = (0-1)2 ·1/4 + (1-1) 2 ·1/2 + (2-1) 2 ·1/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2

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Variabili aleatorie continue

L’insieme degli eventi di una v.a. continua è un insieme continuo R.

Le v.a. continue sono caratterizzate mediante la funzione densità di probabilità (x).

(x1)dx = Pr(x[x1, x1+dx])

-1Π(x)dx

x1 x1+dx

(x)

x

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La funzione di distribuzione (cumulativa) FX(x) esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x:

x

-X Π(x)dxx)Pr(X(x)F

Chiaramente la funzione FX(x) è una funzione monotona non decrescente e FX(+)=1.

Valore atteso o media

dxΠ(x)xμE[X] x

Varianza

dx)μ-Π(x)(xσ]E(X))-E[(XVar[X] 2

x2

x2

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Variabile aleatoria normale o gaussiana

Var[X]=2

x

(x)

2

2

μ)(x

e2πσ1

Π(x)

E[x]=

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3. Processi Stocastici

Un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a.

Notazione:

X : insieme di possibili valori

tT : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo)

(t) : funzione di probabilità o di densità di probabilità all’istante di tempo t

(X, (t)) tT

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Una realizzazione di un processo stocastico (X, (t)) tT è una particolare evoluzione x(t) per tT.

Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,…

X={0,1} dove x0=0 : esce testa e x1=1 : esce croce.

tempo xi (xi)

0 1/2 1 1/2 0 1/2

1 1/2

: : :

0

1

(X, (0))

(X, (1))

t xi

0 0

1 0

2 1

3 0

: :

possibile realizzazione

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I processi stocastici vengono classificati come segue:

a stati continui (X è un insieme continuo, ad es. X=R)

a stati discreti (X è un insieme discreto, ad es. X={x1,x2,…,xn})

a stati finiti se n < +

a stati infiniti se n = +

sono anche detti catene

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Esiste anche un’altra classificazione dei processi stocastici

a tempo continuo (T è un insieme continuo, ad es. T=R+{0})

a tempo discreto (T è un insieme discreto, ad es. T=N)

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Processi stocastici stazionari nella media

Per ogni istante di tempo tT (X, (t)) è una v.a. con media x(t).

Un p.s. è stazionario nella media se

t T x(t) =

Stazionarietà in senso stretto

Stazionarietà nella media

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Processi stocastici ergodici

finale

finale

t

0finalet

n

0tn

x(t)dtt

1limμ

x(t)n1

limμ

ˆ

ˆ processi a tempo discreto

processi a tempo continuo

Tale p.s. è ergodico se:

1) il limite esiste

2) tale limite non dipende dalla particolare realizzazione

3)

μ̂

μμˆ

Si consideri un p.s. stazionario e sia la media di ogni v.a. (X, (t)), t T. Per ogni possibile realizzazione posso calcolare

μ

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Lo studio di un p.s. ergodico può pertanto essere effettuato sulla base di una sola realizzazione.

Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,…

X={0,1} dove x0=0 : testa e x1=1 : croce.

x(0) = 1/2 x(1) = 1/2 … 1/2μμ ˆ

Esempio: si lancia una moneta all’istante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0.

Ho solo 2 possibili realizzazioni. Il limite esiste ma dipende dalla realizzazione.

μ̂

ergodico

non ergodico

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4. p(x) non dipende dall’istante di tempo t, cioè x N e t R

Pr{che si verifichino x eventi in [0,1]} =

Prob{che si verifichino x eventi in [t,t+1]}.

p(x)

x0 1 2 3 4

< 1

p(x)

x0 1 2 3 4

> 1