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2. Introduzione alla probabilità
Definizioni preliminari:
• Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio
• Spazio degli eventi elementari : è l’insieme di tutti i possibili esiti
• Evento casuale: è un sottoinsieme A di ( A )
Un evento casuale può essere
• impossibile A =
• certo A =
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Variabili aleatorie
Ogni evento w può essere associato in modo biunivoco a un numero attraverso una particolare legge. Tale corrispondenza viene detta variabile aleatoria (v.a.) X(w).
Una variabile aleatoria X(w) (o più semplicemente X) può essere:
• discreta se assume solo un insieme finito o numerabile di valori X N
• continua altrimenti X R
Nel seguito indicheremo con X le v.a. e con x i valori che esse possono assumere.
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La funzione di distribuzione (cumulativa) FX(x) di una v.a. discreta X esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x:
FX(x) = Pr (X x) Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete
1/41/23/4
1
FX(x)
x1 20 3-1
1/21/4
5
Valore atteso o media x
x xPr(x)μE[X]
Varianza
x
2x
2x
2 Pr(x))μ-(xσ]E(X))-E[(XVar[X]
E[X]
1
x
Pr(x)
Var[X]=0
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Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete
wi Pr(wi) xi xi
CC 1/ 4 0 1/ 4CT 1/ 4
TC 1/ 4TT 1/ 4 2 1/ 4
1/21
E[X] = 0 ·1/4 + 1 ·1/2 + 2 ·1/4 = 1
Var[X] = (0-1)2 ·1/4 + (1-1) 2 ·1/2 + (2-1) 2 ·1/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2
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Variabili aleatorie continue
L’insieme degli eventi di una v.a. continua è un insieme continuo R.
Le v.a. continue sono caratterizzate mediante la funzione densità di probabilità (x).
(x1)dx = Pr(x[x1, x1+dx])
-1Π(x)dx
x1 x1+dx
(x)
x
8
La funzione di distribuzione (cumulativa) FX(x) esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x:
x
-X Π(x)dxx)Pr(X(x)F
Chiaramente la funzione FX(x) è una funzione monotona non decrescente e FX(+)=1.
Valore atteso o media
dxΠ(x)xμE[X] x
Varianza
dx)μ-Π(x)(xσ]E(X))-E[(XVar[X] 2
x2
x2
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Variabile aleatoria normale o gaussiana
Var[X]=2
x
(x)
2
2
2σ
μ)(x
e2πσ1
Π(x)
E[x]=
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3. Processi Stocastici
Un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a.
Notazione:
X : insieme di possibili valori
tT : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo)
(t) : funzione di probabilità o di densità di probabilità all’istante di tempo t
(X, (t)) tT
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Una realizzazione di un processo stocastico (X, (t)) tT è una particolare evoluzione x(t) per tT.
Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,…
X={0,1} dove x0=0 : esce testa e x1=1 : esce croce.
tempo xi (xi)
0 1/2 1 1/2 0 1/2
1 1/2
: : :
0
1
(X, (0))
(X, (1))
t xi
0 0
1 0
2 1
3 0
: :
possibile realizzazione
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I processi stocastici vengono classificati come segue:
a stati continui (X è un insieme continuo, ad es. X=R)
a stati discreti (X è un insieme discreto, ad es. X={x1,x2,…,xn})
a stati finiti se n < +
a stati infiniti se n = +
sono anche detti catene
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Esiste anche un’altra classificazione dei processi stocastici
a tempo continuo (T è un insieme continuo, ad es. T=R+{0})
a tempo discreto (T è un insieme discreto, ad es. T=N)
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Processi stocastici stazionari nella media
Per ogni istante di tempo tT (X, (t)) è una v.a. con media x(t).
Un p.s. è stazionario nella media se
t T x(t) =
Stazionarietà in senso stretto
Stazionarietà nella media
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Processi stocastici ergodici
finale
finale
t
0finalet
n
0tn
x(t)dtt
1limμ
x(t)n1
limμ
ˆ
ˆ processi a tempo discreto
processi a tempo continuo
Tale p.s. è ergodico se:
1) il limite esiste
2) tale limite non dipende dalla particolare realizzazione
3)
μ̂
μμˆ
Si consideri un p.s. stazionario e sia la media di ogni v.a. (X, (t)), t T. Per ogni possibile realizzazione posso calcolare
μ
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Lo studio di un p.s. ergodico può pertanto essere effettuato sulla base di una sola realizzazione.
Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,…
X={0,1} dove x0=0 : testa e x1=1 : croce.
x(0) = 1/2 x(1) = 1/2 … 1/2μμ ˆ
Esempio: si lancia una moneta all’istante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0.
Ho solo 2 possibili realizzazioni. Il limite esiste ma dipende dalla realizzazione.
μ̂
ergodico
non ergodico
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4. p(x) non dipende dall’istante di tempo t, cioè x N e t R
Pr{che si verifichino x eventi in [0,1]} =
Prob{che si verifichino x eventi in [t,t+1]}.
p(x)
x0 1 2 3 4
< 1
p(x)
x0 1 2 3 4
> 1