09 – INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PIANA

09 – INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PIANA PREREQUISITI - Logica delle proposizioni - Logica dei predicati, inferenza logica OBIETTIVI DIDATTICI - Saper ragionare in modo assiomatico - deduttivo acquisendo coerenza logica e rigore espositivo. - Distinguere le parti costituenti una teoria assiomatica deduttiva. - Conoscere gli assiomi fondamentali della geometria euclidea. - Conoscere gli enti fondamentali della geometria euclidea e le relazioni fra essi. - Saper rappresentare i punti con coordinate razionali sia sulla retta che nel piano cartesiano. - Saper calcolare la distanza euclidea sulla retta e sul piano. - Saper calcolare le coordinate del punto medio. PARAGRAFI ED ESERCIZI 1. DALLE REGOLE AI TEOREMI 2. PRIMI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA DEL PIANO 3. IL METODO DELLE COORDINATE Scheda di controllo dei prerequisiti Schede di controllo degli obiettivi didattici 1 DALLE REGOLE AI TEOREMI Quando acquistiamo un gioco di società, la prima operazione che si fa è quella di leggere le istruzioni e le regole. A tal proposito supponiamo di comprare un gioco: "Il Gioco del Gatto". Esso è composto da un cartellone contenente un circuito numerato su cui, gettando dei dadi, si spostano dei segnalini, uno per ciascun giocatore:

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Il libretto allegato al gioco inizia elencando il contenuto della scatola, costituito dagli strumenti che i giocatori utilizzeranno: 2 dadi, 5 segnalini, 1 clessidra, 1 cartellone, 1 libretto esplicativo. Quindi prosegue elencando le regole del gioco: 1. Si gioca con un numero di giocatori da 2 a 5 che si sistemano intorno al cartellone posizionando i

propri segnalini nella casella di partenza (Par). 2. A sorte inizia il primo giocatore lanciando i due dadi. 3. Se dal lancio dei dadi viene come somma 2 o 3 si passa la mano restando fermi. 4. Altrimenti si avanza di tanti passi, uguale alla somma dei due dadi, seguendo il percorso

numerato. 5. Dopo di che si guarda il simbolo corrispondente alla casella su cui si è fermi e ci si comporta

rispettando il seguente schema: Δ : 2 passi avanti e si passa la mano O: 1 passo indietro e si passa la mano : Si torna al punto di partenza, lanciando nuovamente i dadi. : Si paga un pegno scelto da chi in quel momento È in vantaggio, in un tempo stabilito, usando la clessidra. Si lanciano, quindi, ancora i dadi 6. Vince chi arriva per primo alla casella numero 35 in modo esatto (per es. se si è nella casella 28,

per vincere deve uscire 7), altrimenti sarà necessario retrocedere di un numero di passi pari alla differenza tra il risultato del dado e il numero di caselle che ti separano dall'arrivo. Si passa, quindi alla regola 5.

Dalle regole possiamo dedurre alcune, anche se non le sole, conseguenze, facilmente verificabili: T1. Se ad un certo punto del gioco un giocatore è fermo alla casella n°3, avrà incontrato almeno una volta il simbolo O. T2. Nessun giocatore potrà mai fermarsi alla casella n°2 o n°1. T3. Nessun giocatore potrà mai sostare nella casella n° 34. Possiamo indicare, infine, un altro effetto discendente da T2. C1. Il simbolo disegnato all'interno della casella n° 2 è inutile. È chiaro che se le regole precedenti venissero cambiate, il gioco risulterebbe completamente diverso e le affermazioni T1, T2, T3 e C1 non sarebbero più necessariamente verificate. I ragionamenti che portano a verificare T1, T2, T3 e C1 si dicono dimostrazioni, come ogni altro ragionamento che, utilizzando le regole iniziali o loro conseguenze precedentemente dimostrate e le regole di deduzione analizzate nel capitolo 8, porta a stabilire la verità di una proposizione, come ad esempio quella indicata con C1 nel caso del "Gioco del Gatto".

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OSSERVAZIONE Se la proposizione, detta anche enunciato, si presenta sotto forma di implicazione, in essa distinguiamo l'antecedente p, che viene chiamato ipotesi, e il conseguente q, detto tesi. L'enunciato e la dimostrazione che permette di stabilirne la verità formano, complessivamente, un teorema. Se esso si presenta sotto forma di implicazione, si indica simbolicamente con p q⇒ , che si legge "se p, allora q". È consuetudine indicare con il termine corollario quegli enunciati che risultano essere una immediata conseguenza di un precedente teorema, o un suo caso particolare di notevole interesse. È bene fare alcune considerazioni. Nell'esempio del "Gioco del gatto" le regole sono state precedute dall'elencazione di oggetti: i dadi, i segnalini, …. A questi oggetti è stato attribuito un nome, senza darne una definizione, cioè una frase che indichi le proprietà che caratterizzano tutti e soli gli oggetti con quel nome. Si è passati, quindi, ad elencare delle regole ed alcune affermazioni deducibili attraverso un certo ragionamento dalle regole stesse. Delle regole del gioco non è stata data alcuna dimostrazione, a differenza dei teoremi, che vengono dimostrati a partire dalle regole stesse o da teoremi precedenti. Per dimostrare una regola dovremmo avere altre regole da cui dedurla come teorema. È necessario quindi scegliere alcune regole da cui partire per dimostrare le affermazioni successive. Non sempre, scambiando l'ipotesi p di un teorema p q⇒ con la sua tesi q, l'enunciato che si ottiene, detto implicazione inversa, è vero. Nei casi in cui l'implicazione inversa è vera, essa si dice teorema inverso, il teorema si dice invertibile e le due proposizioni ,p q si dicono equivalenti. La dimostrazione viene divisa in due parti: nella prima si assume una delle due proposizioni come ipotesi e l'altra come tesi, nella seconda i ruoli si scambiano. Ricordiamo che, però, è vera sempre la contronominale di p q⇒ , ossia q p⇒ . Un teorema invertibile p q⇒ ed il suo teorema inverso q p⇒ possono essere riassunti in un unico teorema, indicato con p q⇔ , che si legge "p se e solo se q" o anche "condizione necessaria e sufficiente affinché p è q". Se il teorema p q⇒ non è invertibile, si dice che q è condizione necessaria, ma non sufficiente, per p. Se invece è vero solo il teorema inverso di p q⇒ , ossia q p⇒ , si dice che q è condizione sufficiente, ma non necessaria, per p. In alcuni casi l'equivalenza logica tra due proposizioni è dovuta al fatto che si attribuisce un nome ad un oggetto con determinate proprietà, ossia lo si definisce; in tal caso il simbolo ⇔ viene preceduto da quello " : " dei due punti, come nell'esempio (Figura piana) :⇔ (Insieme di punti del piano). 2 PRIMI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA DEL PIANO Anche nella geometria che ci accingiamo a studiare si inizierà con l'introdurre dei termini, cioè i nomi dei primi oggetti, che in questo caso chiameremo enti geometrici primitivi.

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Essendo i primi enti introdotti, non possono essere definiti; essi sono i punti, che indicheremo con le lettere maiuscole dell'alfabeto italiano A, B, H, K, ...; le rette, che indicheremo con lettere minuscole dell'alfabeto italiano a, r, s, v, ...; i piani, che indicheremo con lettere minuscole dell'alfabeto greco , , , ,α β γ δ … . I punti sono gli elementi della geometria della retta; i punti e le rette gli elementi della geometria del piano; punti, rette e piani gli elementi della geometria dello spazio. Le regole, in tale contesto, prendono il nome di assiomi, che vengono introdotti senza giustificare ciò che affermano, come chiarito nelle precedenti osservazioni. Iniziamo lo studio partendo dalla geometria del piano, presentando gli assiomi in gruppi. 2.1 ASSIOMI DI APPARTENENZA Il primo gruppo di assiomi riguarda il concetto di appartenenza. Assioma 1 Per ogni coppia di punti distinti A, B del piano, esiste una e una sola retta a cui essi appartengono. In tal caso si dice anche che r passa per i due punti A e B.

Questo assioma garantisce sia l'esistenza che l'unicità della retta passante per una coppia di punti; osserviamo che la retta non dipende dal loro ordine. Per indicare che una retta r passa per due punti A e B, scriviamo r{A,B}. Assioma 2 Su una retta vi sono almeno due punti distinti. Tale assioma garantisce che non esistono rette contenenti un solo punto o addirittura prive di punti. Assioma 3 Il piano α contiene almeno tre punti distinti che non appartengono alla stessa retta. Tre o più punti che appartengono alla stessa retta si dicono allineati.

α

A

B

C

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A partire da enti precedenti, introduciamo nuovi enti, attribuendo loro un nome e precisando tutte e sole le proprietà che li caratterizzano, ossia ne diamo la definizione. Diamo quindi le seguenti DEFINIZIONI (figura piana, figure coincidenti, figure distinte) (Figura piana) :⇔ (Insieme di punti del piano) In virtù degli assiomi introdotti la retta e il piano sono figure. (Figure coincidenti) :⇔ (Tutti i punti dell'una appartengono all'altra e viceversa) (Figure distinte) :⇔ (Figure non coincidenti) Una prima conseguenza degli assiomi sopra riportati è il seguente TEOREMA (proprietà delle rette distinte) Due rette s ed r distinte hanno al più un punto in comune. Ipotesi Tesi s ed r rette distinte ( ) ( { })P∪ =∅ ∨ ∪ =r s r s Dimostrazione Siano r ed s due rette distinte. Per l'assioma 2 ci sono almeno due punti distinti A e B su r.

r s

P

r s

Essi non possono appartenere entrambi alla retta s per l'assioma 1, che garantisce l'unicità di tale retta. Quindi r ed s possono avere in comune solo un punto oppure nessun punto. c.v.d. DEFINIZIONI (rette incidenti e parallele) (r ed s rette incidenti) :⇔ (r ed s hanno in comune solo un punto) (r ed s rette parallele) :⇔ (r ed s non hanno alcun punto in comune oppure coincidono). Osserviamo che due rette nel piano o sono incidenti o sono parallele. Soffermiamoci su ciò che abbiamo fatto finora.

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• Abbiamo introdotto degli enti primitivi, ossia oggetti di cui non abbiamo dato una definizione, non potendo riferirli ad enti precedentemente introdotti.

• Abbiamo elencato una serie di relazioni, attraverso gli assiomi, che legano tali enti fra loro. Anche gli assiomi non sono stati giustificati, in quanto hanno la stessa funzione delle regole di un gioco, quindi o si accettano o si cambia gioco!

• Abbiamo quindi enunciato un primo teorema, dimostrato a partire dagli assiomi. • Abbiamo dato delle definizioni, cioè introdotto nuovi enti geometrici, partendo da altri

precedentemente introdotti, caratterizzandoli in base a loro proprietà ed attribuendo ad essi dei nomi.

Il procedimento descritto è tipico delle teorie matematiche e quindi anche della geometria; teorie che si sviluppano in questo modo sono dette assiomatico-deduttive. 2.2 ASSIOMA DELLE PARALLELE Assioma 4 Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa, esiste una ed una sola retta passante per P e parallela ad r.

rr

PP

In virtù di tale assioma possiamo dimostrare che il parallelismo tra rette è una relazione di equivalenza, concetto introdotto nel capitolo 3. Per indicare che due rette r ed s sono parallele, scriviamo r s . TEOREMA (proprietà del parallelismo) Il parallelismo è una relazione di equivalenza nell'insieme delle rette del piano. Dimostrazione Dobbiamo provare le proprietà 1. riflessiva r r 2. simmetrica ⇒r s s r 3. transitiva ( )∧ ⇒r s s t r t

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Le proprietà riflessiva e simmetrica, come potete verificare, discendono direttamente dalla definizione di rette parallele. Dimostriamo la proprietà transitiva. Se r e t sono coincidenti, ovviamente sono parallele per definizione. Se r e t sono distinte, ragioniamo per assurdo, supponendo che r e t non siano parallele. In tal caso esse si incontrerebbero in un punto P. Per P passerebbero due rette distinte r e t entrambe parallele ad s, in contrasto con l'assioma delle parallele. Le rette r e t devono necessariamente essere parallele. c.v.d. Poiché abbiamo dimostrato che il parallelismo è una relazione di equivalenza nell'insieme A delle

rette del piano, possiamo introdurre l'insieme quoziente A

e dare la seguente

DEFINIZIONE (direzione) (Direzione) :⇔ (Una classe di equivalenza determinata dalla relazione di parallelismo in A )

2.3 ASSIOMI DI ORDINAMENTO Passiamo ad un altro gruppo di assiomi, grazie ai quali definiamo una relazione d'ordine fra i punti di una retta. Assioma 5 Data una retta r e presi su essa due punti distinti A e B, esiste sempre su r un terzo punto C che sta tra A e B.

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A BC

Per indicare che C sta tra A e B, scriviamo A C B . Questo assioma consente di dimostrare che tra due punti distinti di una retta ve ne sono infiniti. Infatti, applicandolo ripetutamente, tra due punti distinti A e B ne troviamo un terzo C, tra B e C un quarto punto D, tra D e C un quinto punto E, e così via. Assioma 6 Sia r una retta. Se A, B e C sono tre suoi punti distinti, allora ce n'è sempre uno, per esempio C, che sta tra A e B.

C

Inoltre su r è sempre possibile determinare due ordinamenti fra loro opposti rispetto ai quali 1. A precede C che precede B

oppure 2. B precede C che precede A

Per indicare che A precede B scriviamo A B . In tal caso si dice pure che B segue A, in simboli A B . Assioma 7 Sia r una retta e sia C un suo punto. Esistono allora due punti distinti A e B di r tali che C sta fra A e B.

Conseguenza immediata di tale assioma è che ogni punto di una retta è preceduto e seguito da infiniti punti. DEFINIZIONI (semiretta, segmento) Sia r una retta, su cui è fissato uno dei due orientamenti, P e Q due suoi punti.

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(Semiretta) :⇔ (L'insieme formato da P e dai punti di r che lo seguono o che lo precedono) Il punto P prende il nome di origine della semiretta. Un punto individua quindi su una retta due semirette che lo hanno come origine, dette opposte.

Una semiretta si indica, di solito, con una lettera latina minuscola. Un punto di una semiretta, distinto dalla sua origine, si dice interno ad essa. (Segmento) :⇔ (L'insieme formato dai punti P, Q e da quelli di r fra essi compresi) I punti P e Q si dicono estremi del segmento, quelli che stanno fra P e Q si dicono punti interni al segmento. Il segmento di estremi P e Q si indica col simbolo PQ. Quando un segmento è incluso in una retta, si dice pure che giace su di essa. (Segmento nullo) :⇔ (Segmento i cui estremi coincidono) (Segmenti consecutivi) :⇔ (Segmenti aventi in comune un estremo)

(Segmenti adiacenti) :⇔ (Segmenti consecutivi giacenti sulla stessa retta)

(Segmenti parelleli) :⇔ (Segmenti giacenti su rette parallele)

rs

A

B

C

D

r

A

B

C

D

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APPLICHIAMO ... Dimostrate che il parallelismo tra segmenti non soddisfa la seguente proprietà: "Dato un segmento ed un punto, allora esiste uno ed un solo segmento contenente il punto e parallelo al segmento dato".

Se definiamo analogamente il parallelismo tra semirette, la proprietà precedente, ad esse riferita, risulta verificata? Assioma 8 Sia r una retta, P e Q due punti distinti ad essa non appartenenti. Rimangono individuati tre sottoinsiemi del piano 1 2,π π ed r, a due a due disgiunti, che verificano le seguenti proprietà:

• se P e Q appartengono a sottoinsiemi diversi, allora il segmento PQ incontra in un punto la retta r;

• se P e Q appartengono alla stesso sottoinsieme, allora il segmento PQ è incluso in esso.

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Nel primo caso si dice che i punti P e Q sono da parti opposte rispetto ad r, nel secondo che i due punti sono dalla stessa parte rispetto ad r. Questo assioma consente di dare la seguente DEFINIZIONE (semipiano) (Semipiano di origine r) :⇔ (Ciascuno degli insiemi 1π ∪r , 2π ∪r ) La retta r si dice origine del semipiano. 2.4 ASSIOMI DI CONGRUENZA Due figure si dicono congruenti se possono essere sovrapposte mediante un "movimento che non le deformi". Assioma 9 Tutte le rette sono congruenti. Tutte le semirette sono congruenti. Tutti i semipiani sono congruenti. Assioma 10 La relazione di congruenza fra figure è una relazione di equivalenza. Per indicare che due figure F ed F' sono congruenti, scriviamo F ≡ F'. Assioma 11 Dati un segmento PQ ed una semiretta r di origine P', allora esiste sempre un unico punto Q' di r tale che il segmento PQ sia congruente a P'Q'.

L'assioma 11 permette la costruzione di un segmento congruente a un segmento dato. 2.5 CONFRONTO TRA SEGMENTI Dati un segmento PQ, giacente su una retta r, ed uno RS, giacente su una retta s, possiamo stabilire

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se sono o meno congruenti nel seguente modo.

In base all'assioma 11, costruiamo sulla retta r un segmento R'S' congruente ad RS, prendendo R' coincidente con P ed S' appartenente alla semiretta di origine P e contenente Q. Se S' coincide con Q, allora RS è congruente a PQ, in quanto R'S' coincide con PQ e, poiché per l'assioma 11 R'S' è congruente ad RS, per la proprietà transitiva RS È congruente a PQ. La figura successiva mostra che l'estremo S' non coincide con Q. In tale caso si dice che i segmenti PQ ed RS sono non congruenti.

Nell'ipotesi di non congruenza, si possono, poi, verificare due casi: - S' è esterno al segmento PQ; in tal caso si dice che il segmento PQ è minore di RS oppure che RS è maggiore di PQ e si scrive: PQ < RS.

- è interno al segmento PQ; in tal caso si dice che il segmento PQ è maggiore di RS oppure che RS è minore di PQ e si scrive: PQ > RS. ESERCIZI GUIDATI 1. Siano PQ e RS due segmenti appartenenti alla stessa retta, tali che P coincide con R, Q ed S seguano entrambi P secondo un orientamento fissato ; definiamo una relazione d'ordine tra segmenti ≤ , che leggiamo minore o uguale, come segue

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(PQ ≤ RS) :⇔ (Q ∈ RS)

P R Q S

Dimostrate che questa relazione è d'ordine largo, ossia verifica le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La proprietà riflessiva è ovvia. Per l'antisimmetrica, notate che se PQ ≤ RS e RS ≤ PQ, allora PQ ⊆ RS e RS ⊆ PQ, quindi ..... . Per provare la transitività si sfruttino le proprietà dell'inclusione. 2. Siano PQ e RS due segmenti appartenenti alla stessa retta, tali che P coincide con R, Q ed S seguano entrambi P secondo un orientamento fissato; dimostrate che la relazione così definita (PQ < RS) :⇔ (Q è interno ad RS) è una relazione d'ordine stretto, ossia soddisfa le proprietà antiriflesssiva e transitiva. Inoltre verifica anche la proprietà PQ < RS e PQ ≡ P'Q', allora P'Q' < RS. La proprietà antiriflessiva è ovvia; per la transitiva, procedendo come nell'esercizio precedente, ottenete ..... . Infine, se PQ < RS, si ha che Q è interno a RS. Se PQ ≡ P'Q', costruendo P'Q' su PQ con P coincidente con P', si ha che anche Q coincide con Q', quindi ..... . 2.6 SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI Siano PQ ed RS due segmenti giacenti rispettivamente sulle rette r ed s.

P

Q

r

R Ss

DEFINIZIONI (somma di segmenti, multiplo, differenza di segmenti) Costruito sulla retta r il segmento R'S' congruente ad RS ed adiacente a PQ, in modo che R' coincida con Q.

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P

Q

r

R'

S'

R'S' RS

Il segmento PS' si definisce somma dei segmenti dati e si scrive PS' ≡ PQ + RS. Possiamo anche sommare più segmenti fra loro congruenti.

P Q Q' Q'' Q'''

In tal caso il segmento somma PS, in figura PQ''', si chiama multiplo secondo n di PQ e scriviamo PS ≡ nPQ. Nel caso in figura PQ'''≡4PQ. Viceversa il segmento PQ si chiama sottomultiplo secondo n del segmento somma PS e scriviamo

PQ 1n

≡ PS. Nel caso illustrato PQ 14

≡ PQ'''.

Supponiamo ora PQ ≤ RS.

P

Q

r

R

S

s

Costruiamo su s un segmento P'Q' congruente a PQ, con P' coincidente con R e Q' sulla semiretta di origine R contenente S. Poiché PQ ≤ RS, allora anche P'Q' ≤ RS, quindi Q' apparterrà ad RS. Il segmento Q'S si chiama differenza dei segmenti dati e scriviamo Q'S ≡ RS-PQ.

P

Q

r

R

S

s

Q'

P'

P'Q' PQ

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Assioma 12 Somme e differenze di segmenti congruenti sono congruenti. APPLICHIAMO ... Siano A, B, C e D quattro punti allineati tali che i segmenti AB e CD siano congruenti e non abbiano punti in comune. Dimostrate che il segmento AC è congruente a BD. 2.7 FIGURE CONCAVE E CONVESSE Per le figure del piano valgono le seguenti DEFINIZIONI (figure concave e convesse) (Figura convessa) :⇔ (Il segmento che unisce due qualsiasi punti della figura è interamente contenuto nella figura)

F

(Figura concava) :⇔ (Figura non convessa) Ad esempio, in virtù dell'assioma 8, i semipiani sono figure convesse. TEOREMA (intersezione di figure convesse) L'intersezione di figure convesse è una figura convessa. Siano 1α e 2α due semipiani.

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r

12

t

DEFINIZIONI (angolo convesso e concavo, angolo nullo, giro e piatto, angoli consecutivi e adiacenti) (Angolo convesso di vertice V) :⇔ (Intersezione di due semipiani aventi le rette origine incidenti nel punto V)

V

1

1

rt

Le semirette di origine V, giacenti sulle rette r e t in figura sono dette lati dell'angolo. Un punto P appartenente all'intersezione dei due semipiani ma non alle rette si dice interno all'angolo. Una semiretta s di origine V, vertice dell'angolo, formata solo da punti ad esso interni, si dice interna all'angolo.

V

1

1

r

s

t

(Angolo concavo) :⇔ (L'unione tra il complementare insiemistico di un angolo convesso e i lati di questo)

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V

In virtù del teorema precedente, un angolo convesso è una figura convessa e, di conseguenza, l'angolo concavo è una figura concava. Due semirette con la stessa origine determinano due angoli.

V

A

a

B b

La regione di piano indicata con α è una figura convessa, perciò si chiama angolo convesso; l'altra, indicata con β , è una figura concava, quindi si chiama angolo concavo. Per indicare un angolo di lati a, b e vertice V, si usa uno dei simboli ˆ ˆ, ,ab AVB V , dove A è un punto di a e B un punto di b, oppure esso si indica con α . Poiché queste scritture indicano uno stesso angolo, si scrive ˆab AVBα = = , usando il simbolo '=' e non il simbolo '≡ ', che lega tra loro oggetti congruenti, non necessariamente coincidenti. Nelle precedenti definizioni non rientrano i tre seguenti casi particolari. (Angolo nullo) :⇔ (L'insieme dei punti di due semirette a e b coincidenti) Le due semirette, essendo coincidenti, hanno la stessa origine, che si assume come vertice dell'angolo nullo.

Va b

(Angolo giro) :⇔ (Il complementare insiemistico di un angolo nullo unito ai due lati di questo)

Va b

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(Angolo piatto) :⇔ (Un semipiano sulla cui retta origine sia stato fissato un punto come vertice dell'angolo)

Va b

Per brevità indicheremo un angolo piatto con π . I tre angoli ora definiti sono figure convesse, tuttavia parlando di angolo convesso intenderemo riferirci solo a quello definito come intersezione di piani con rette origine incidenti. (Angoli consecutivi) :⇔ (Angoli aventi in comune solo il vertice ed un lato)

V

a

b

c

(Angoli adiacenti) :⇔ (Angoli consecutivi i cui lati non comuni sono uno sul prolungamento dell'altro)

Va

b

c

Assioma 13 Sia ab un angolo di vertice V e lati a e b. Considerati un punto V' ed una semiretta a' avente V' come origine, allora esiste un'altra semiretta b' avente V' come origine tale che ab è congruente ad ' 'a b .

a

b'

a'

V'

ab a'b'

Se fissiamo uno dei due semipiani determinati dalla retta contenente a', la semiretta b' è individuata in modo unico.

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APPLICHIAMO ... 1. Perché tutti gli angoli piatti sono tra loro congruenti? 2. L'angolo piatto è un angolo convesso? 2.8 CONFRONTO TRA ANGOLI Siano ab e a b′ ′ due angoli qualsiasi entrambi convessi o concavi.

V V'

ab

a'

b'

Costruiamo l'angolo ac congruente a a b′ ′ con le semirette a e b appartenenti allo stesso semipiano di origine la retta contenente a.

V V'

ab

a'

b'

V

ab

c

ac a'b' Nella costruzione qui presentata si vede che l'altra semiretta c non coincide con b. In tale caso si dice che gli angoli sono non congruenti. In caso contrario diciamo che ab e a b′ ′ sono congruenti. Qualora ab e a b′ ′ siano non congruenti, si possono verificare due casi.

V

V

a

a

b

b

V

V

a

a

b

c

c

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1. La semiretta c è esterna all'angolo ab ; si dice che l'angolo ab è minore di a b′ ′ oppure che a b′ ′ è maggiore di ab e si scrive ab a b′ ′< .

2. La semiretta c è interna all'angolo ab ; si dice che l'angolo ab è maggiore di a b′ ′ oppure chea b′ ′ è minore di ab e si scrive ab a b′ ′> .

2.9 SOMMA DI ANGOLI Consideriamo due angoli ab e a b′ ′ .

V V'

ab

a'

b'

Costruiamo un angolo bc congruente a a b′ ′ in modo che ab e bc siano consecutivi. L'angolo ac si chiama somma tra ab ea b′ ′ e scriviamo ac ab a b′ ′= + .

V V'

ab

a'

b'c

bc a'b'

Possiamo anche sommare più angoli congruenti ad ab .

Va

b

cd

e

L'angolo somma, in figura ae , si chiama multiplo secondo n di ab e scriviamo ae nab≡ . Nell'esempio in figura 4ae ab≡ . Viceversa l'angolo ab si chiama sottomultiplo secondo n dell'angolo somma ae e scriviamo

1ab aen

≡ .

Nel nostro esempio

14

ab ae≡ .

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2.10 DIFFERENZA TRA ANGOLI Consideriamo due angoli ab e a b′ ′ tali che ab a b′ ′≥ .

V V'

ab

a'

b'

Possiamo costruire un angolo ac congruente ad a b′ ′ , tale che la semiretta c sia contenuta nell'angolo ab . L'angolo cb si chiama differenza tra gli angoli dati e scriviamo cb ab a b′ ′≡ − .

V V'

ab

a'

b'

V

ab

c

ac a'b' Assioma 14 Somme e differenze di angoli congruenti sono congruenti. DEFINIZIONI (angoli supplementari, angoli opposti al vertice) (Angoli supplementari) :⇔ (Angoli la cui somma è congruente ad un angolo piatto) Gli angoli ab e cd in figura sono supplementari

a'

b' c'

d'

b

c

d

a

ab a'b'

cd c'd'

^ ^

^ ^

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Siano r ed s due rette incidenti in V. Esse individuano quattro angoli.

r

s

(Angoli opposti al vertice):⇔ (I lati dell'uno sono semirette opposte ai lati dell'altro) In figura sono coppie di angoli opposti al vertice ,α β e ,γ δ . APPLICHIAMO ... Dimostrate che angoli adiacenti sono supplementari. Il viceversa è sempre vero? TEOREMA (sugli angoli supplementari) Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.

aab b

a'a'

b'b'

cc

dd

c'

c'

d'

d'

≡ ∧ ∧ ⇒ ≡

Con riferimento alla figura Ipotesi Tesi ab a b′ ′≡ cd c d′ ′≡ ab cd π+ ≡ a b c d π′ ′ ′ ′+ ≡ Dimostrazione Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti, ab cd a b c d′ ′ ′ ′+ ≡ + . Dall'assioma 14 segue che, sottraendo gli angoli congruenti ab e a b′ ′ a entrambe le somme, otteniamo angoli ancora congruenti. Pertanto cd c d′ ′≡ . c.v.d. APPLICHIAMO... Dimostrate la congruenza degli angoli opposti al vertice.

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2.11 ASSIOMI DI CONTINUITÀ· Assioma 15 Ogni segmento è divisibile in modo unico in un numero qualsiasi di parti fra loro congruenti.

O U P DEFINIZIONE (punto medio) Siano PQ un segmento ed M un suo punto. (M punto medio di PQ:⇔ (PM è congruente a MQ) Assioma 16 Ogni angolo è divisibile in modo unico in un numero qualsiasi di parti fra loro congruenti.

Va

ub

Siano ab un angolo e c una semiretta con origine nel vertice dell'angolo e ad esso interna. DEFINIZIONE (bisettrice) (c bisettrice di ab ) :⇔ (L'angolo ac è congruente all'angolo cb )

a

b

c

OSSERVAZIONI Questi ultimi due assiomi assicurano il primo l'esistenza e l'unicità del punto medio di un segmento, il secondo della bisettrice di un angolo. Infatti, in entrambi i casi, basta considerare una suddivisione in due parti congruenti rispettivamente di un segmento e di un angolo. L'angolo giro è il doppio dell'angolo piatto, possiamo perciò indicarlo con 2π . ESERCIZI GUIDATI Siano M' ed M'' i punti medi rispettivamente dei segmenti AB e CD giacenti su una stessa retta r.

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Supponiamo che AB > CD. Dimostrate che 1. Se AB e CD non hanno punti in comune allora M'M'' > M'B + CM''.

rA B C DM' M''

2. Se AB e CD hanno solo un punto in comune, ossia B coincide con C, allora M'M''≡M'B + CM''.

rA BM' DM''=C

3. Se AB e CD hanno il segmento CB in comune allora M'M''< M'B + CM'' e M'M'' >M'B - CM''.

rA BM' DM''C

4. Se AB e CD hanno un estremo coincidente e ogni altro punto di CD è interno ad AB allora M'M'' ≡M'B - CM''.

rA BM' DM''C = 5. Se ogni punto di CD È interno ad AB allora M'M'' < M'B - CM''.

rA BM' DM''C 1. Abbiamo che M'M'' ≡ M'B + BC + CM'' e quindi M'M'' < ..... . 2. ..... . 3. I caso: M' C B M''.

rA BM' DM''C

Abbiamo che M'M''≡ ...... e poiché C è interno a M'B, quindi M'C < M'B, segue che ....... . D'altro canto abbiamo anche M'M'' ≡ M'D - M''D ≡ M'D - CM'' e, poiché B è interno a M'D, quindi M'D > M'B, si ha ....... . II caso: C M' M'' B D.

rA BM' DM''C Poiché M' è interno a CM'' segue che M'M'' < CM'' e quindi ....... . III caso: C coincide con M'.

rA BM' DM''C= ............ . 4. Abbiamo che M'M'' ≡ DM' - D M'' ≡ ...... .

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5. Poiché M'M'' ≡ CM' - CM'' e C è interno ad AM', ossia CM' < AM', segue che M'M'' ≡ CM' - CM'' < .......... . APPLICHIAMO ... 1. Sia M il punto medio del segmento PQ. Sulla semiretta di origine M e non contenente Q, si prenda un punto A esterno al segmento PQ in modo che AP ≡ PM. Dimostrate che P è punto medio di AM. Cosa possiamo dire del segmento AQ? 2. Siano ab e 3cd ab≡ due angoli consecutivi. Individuate la bisettrice dell'angolo somma e dite rispetto a quale numero esso è multiplo di ab . OSSERVAZIONI Se il segmento PQ è somma di m segmenti congruenti ad un sottomultiplo secondo n di un

segmento AB, scriviamo ABPQ mn

≡ oppure mPQ ABn

≡ . Possiamo dire anche che mn

è il

rapporto tra PQ ed AB e scrivere PQ mAB n

= .

A B P Q

PQ 7 AB 7 AB 4 4

≡ ≡ Se l'angolo ab è somma di m angoli congruenti ad un sottomultiplo secondo n di un altro angolo

cd scriviamo cdab mn

≡ oppure

mab cdn

≡ . Si può dire anche che mn

è il rapporto tra ab e cd e

scrivere

ab mncd

= .

V'

ab

V

c dab 5 cd 5 cd 2 2

ESERCIZIO GUIDATO

Siano AB e BC due segmenti adiacenti, tali che AB 54

≡ BC. Se AU 15

≡ AB, qual è il rapporto tra

AU e BC e quale quello tra AU e il segmento somma AC ≡ AB + BC?

Consideriamo due segmenti adiacenti AB e BC, tali che AB 54

≡ BC.

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A B C

Sia AU 15

≡ AB.

A B CU

I rapporti richiesti sono AU 1BC 4

= e AU 1AC 9

= .

APPLICHIAMO ...

1. Siano AB e CD due segmenti tali che AB 37

≡ CD; sia AU 23

≡ AB. Qual è il rapporto tra AU e

CD e quale quello tra AU e CD - AB ?

2. Siano ab e cd due angoli supplementari tali che

23

ab cd≡ . Quale frazione dell'angolo piatto e

quale dell'angolo giro è ognuno di essi? DEFINIZIONI (angolo retto, acuto, ottuso, angoli complementari) (Angolo retto) :⇔ (Angolo metà dell'angolo piatto)

Va b

c

La semiretta c in figura è la bisettrice dell'angolo piatto. Indicheremo un angolo retto con 2π .

Se due semirette aventi la stessa origine o due rette incidenti formano angoli retti, scriviamo ⊥a c e diciamo che sono perpendicolari. L'assioma 16, garantendo l'esistenza e l'unicità della bisettrice di un angolo, in particolare quello piatto, ci consente di affermare che, data una retta r e un punto P appartenente ad essa, esiste sempre ed È unica la retta p perpendicolare ad r, passante per P. In seguito dimostreremo che tale proprietà sussiste anche quando il punto P è esterno ad r. (Angolo acuto) :⇔ (Angolo minore di un angolo retto)

a

bV

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(Angolo ottuso) :⇔ (Angolo maggiore di un angolo retto, ma minore di un angolo piatto)

a

bV

(Angoli complementari) :⇔ (Angoli la cui somma è congruente ad un angolo retto)

c

d

ab

ab + cd π2

Si faccia attenzione che in questa definizione il termine complementare non si deve intendere in senso insiemistico. Per meglio comprendere i successivi assiomi, precisiamo che per grandezze geometriche intendiamo quegli enti geometrici, come segmenti o angoli, che possono essere confrontati e sommati. Grandezze geometriche dello stesso tipo (segmenti, angoli, ecc.) si dicono omogenee. Assioma 17 (di Eudosso - Archimede) Considerate due grandezze geometriche omogenee, non congruenti, è sempre possibile trovare un multiplo della minore che supera la maggiore. In figura abbiamo che : PQ < RS e 3PQ > RS.

P Q

Q

R

R

S

SP Assioma 18 Se due grandezze omogenee sono congruenti, lo sono anche le due grandezze sottomultiple rispetto ad uno stesso naturale n.

P PQ Q

R RS S

1n

1n

PQ

RS

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APPLICHIAMO ... 1. Due angoli ottusi possono essere complementari o supplementari? 2. Dimostrate che angoli complementari dello stesso angolo sono congruenti. 3. Disegnate una figura in cui si applica l'assioma 17 ad angoli. 4. Perché tutti gli angoli retti sono congruenti ? TEOREMA (sulle bisettrici di angoli opposti al vertice) Le bisettrici di due angoli opposti al vertice sono una sul prolungamento dell'altra, ossia formano un angolo piatto.

r

s

b

V

Con riferimento alla figura, si ha Ipotesi Tesi a bisettrice di α ab π≡ b bisettrice di β α e β opposti al vertice Dimostrazione Siano r ed s le due rette su cui giacciono i lati degli angoli α e β opposti al vertice.

r

sV

Indichiamo con a la bisettrice di α e con b quella di β .

r

sV

a

b

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Poiché α β≡ in quanto opposti al vertice,

r

sV

a

b

/2

/2

per l'assioma 18, abbiamo 1 12 2α β≡ .

Indicato con δ uno dei due angoli adiacenti a β , risulta β δ π+ ≡ .

r

sV

Pertanto, per l'assioma 14, 1 12 2β β δ π+ + ≡ .

r

sV

b

Poiché 1 12 2α β≡ , si ha 1 1

2 2α β δ π+ + ≡ , ossia ab π≡ .

r

sV

a

b

/2

/2

r

sV

a

b

/2

/2

c.v.d.

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APPLICHIAMO ... Dimostrate che, se a e b sono bisettrici di due angoli adiacenti, allora a è perpendicolare a b. Gli ultimi due assiomi consentono di introdurre il concetto di misura di grandezze geometriche. A tal fine, fissiamo una grandezza che chiamiamo unità di misura e valutiamo il rapporto fra la grandezza da misurare e l'unità di misura. Tale rapporto si chiama misura della grandezza ed è sempre un numero non negativo. Se, ad esempio il segmento AB è somma di m segmenti congruenti ad un sottomultiplo secondo n

dell'unità di misura OU, si ha OUAB mn

≡ , da cui la misura di AB rispetto ad OU è data dal

rapporto AB mOU n

= .

I segmenti possono essere misurati in centimetri, metri o altra unità. Espressioni del tipo "Il segmento AB è lungo 4cm" o più brevemente " 4AB cm= " stanno ad indicare che il segmento unità

di misura OU di un centimetro è tale che 4ABOU

= , oppure 4AB OU≡ .

Col termine lunghezza indichiamo la misura di un segmento. Una unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale o semplicemente grado, inteso come la 360-sima parte dell'angolo giro. Sottomultipli del grado sono i primi, 60-sima parte di un grado, ed i secondi, 60-sima parte di un primo. Col termine ampiezza indichiamo la misura di un angolo. Come conseguenza degli assiomi precedenti, il concetto di congruenza tra grandezze risulta collegato a quello di uguaglianza tra misure. Infatti, fissata un’unità di misura, grandezze congruenti fra loro hanno uguale misura. Il viceversa, però, non è sempre vero, ossia non tutte le grandezze aventi uguale misura sono necessariamente congruenti. Il concetto di congruenza è, perciò, più forte di quello di uguaglianza tra misure come messo in evidenza dal successivo ESEMPIO Sia F la figura, chiamata spezzata, ottenuta dall'unione di due segmenti consecutivi AB e BC, con

ˆABC angolo ottuso.

A

B C

F

Sia inoltre F' la figura unione dei segmenti A'B' e B'C', con ˆA B C′ ′ ′ angolo acuto, A B AB′ ′ ≡ e B C BC′ ′ ≡ .

A

B C

F '

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Le due figure non sono congruenti, mentre hanno stessa lunghezza, essendo data dalla somma delle lunghezze dei segmenti che le formano. Pertanto le due figure hanno uguali misure, pur non essendo congruenti. È bene notare che l'uguaglianza delle misure di due segmenti o di due angoli implica sempre la loro congruenza. Oltre ai numeri naturali, ai numeri interi e a quelli razionali, studiati nei primi capitoli di questo volume, ve ne sono altri, chiamati irrazionali, caratterizzati da rappresentazione decimale illimitata, ma non periodica. Ad esempio è irrazionale il numero 3,141592654π = … e il numero

2 1,414213562= …. L'unione dell'insieme dei numeri irrazionali con quello dei numeri razionali è un nuovo insieme numerico, detto insieme dei numeri reali ed indicato con R. Questa premessa permette di enunciare il prossimo Assioma 19 Ad ogni punto di una retta r è possibile associare uno e un solo numero reale e, viceversa, ad ogni numero reale è possibile associare uno ed un solo punto di r.

0,4 -2

x 4 5

5,042

P rR-

Questo assioma consente la costruzione di un modello di piano euclideo, il piano cartesiano, che collega due rami della matematica che possono sembrare indipendenti: la geometria e l'algebra. 3 IL METODO DELLE COORDINATE 3.1 SISTEMA DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA Grazie all'assioma 19 possiamo rappresentare graficamente l'insieme dei numeri reali su una retta, fissando un punto O, che chiamiamo origine, ed un segmento OU come unità di misura.

O U Tra i due possibili versi di percorrenza, scegliamo quello in cui l'origine O precede il punto U, ottenendo una retta orientata, come evidenziato nel disegno dalla freccia.

O U Il punto origine, l'unità di misura ed il verso costituiscono un sistema di riferimento sulla retta.

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Come già visto nei primi capitoli, al punto O associamo il numero 0, ad U il numero 1.

O U

0 1 Per far corrispondere un numero razionale ad un punto, si opera mediante la costruzione di segmenti congruenti a sottomultipli di OU o a loro multipli, come illustrato nel seguente ESEMPIO

Fissato su un retta un sistema di riferimento, vogliamo riportare su essa le frazioni 34

e 74

.

Dividiamo il segmento OU in quattro parti uguali, ottenendo il sottomultiplo congruente ad 14

OU.

Riportiamolo 3 volte, partendo da O, nel verso scelto ; in tal modo resta individuato il punto

associato a 34

.

O U0 1

AA'2 3 4 ......-1-2-3-4....

+ 34

+ 74

Riportandolo 7 volte, partendo da O nel verso scelto, si determina il punto associato a 74

.

Procedendo come nell'esempio, associamo ad ogni numero razionale positivo un punto della semiretta di origine O e contenente U.

O U0 1

AA'2 3 4 ......-1-2-3-4....

+ + +23

53 3

7

Ad ogni numero razionale negativo resta associato un punto della semiretta opposta, operando in modo analogo, ma riportando il sottomultiplo di OU nell'altro verso.

O U0 1

AA'2 3 4 ......-1

-2-3-4....

- 96

-13 6-17

6 Anche ai numeri irrazionali è possibile associare un punto della retta. Possiamo dare quindi la seguente DEFINIZIONE (ascissa) (Coordinata ascissa o semplicemente ascissa di un punto P) :⇔ (Il numero reale associato a P rispetto all'unità di misura fissata) Per indicare che il punto P ha ascissa x scriviamo P(x).

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Da quanto detto si desume che, nel caso in cui P segue l'origine, la sua ascissa x è uguale alla lunghezza di OP ed è 0x > , mentre, se P precede l'origine, x è uguale all'opposto della lunghezza di OP e si ha 0x < . Pertanto, come a ogni numero reale si può associare un punto, ad ogni punto P di una retta su cui è stato fissato un sistema di riferimento è possibile associare un'ascissa, data dalla lunghezza di OP rispetto all'unità fissata, se P segue O, data dall'opposto di tale lunghezza, se P precede O. Questo procedimento, che consente di associare ad ogni numero reale un punto della retta e viceversa, si chiama metodo delle coordinate. APPLICHIAMO ... Rappresentate sulla retta i seguenti numeri.

2 4 5 7 62 , , 3 , , 3 , , ,3 3 3 3 3

− − − − − .

Per rappresentare graficamente più frazioni su una retta, è bene considerare il segmento unitario OU formato da un numero di quadratini pari al minimo comune multiplo dei loro denominatori. ESEMPIO Rappresentiamo le frazioni. 3 1 4 3, , ,4 6 3 2

− −

Il M.C.M. tra i denominatori è 12, quindi abbiamo

O U0 1

43+3

4+16-3

2-

112

OU= (12:4) 3 = 9

(12:6) 1 = 2

(quadratini)

(quadratini)

APPLICHIAMO ... 1. Rappresentate i seguenti numeri.

4 5 5 3 7 7 4 7, , , , , , ,3 2 6 2 6 2 3 3

− − − −

2. Dopo aver rappresentato ciascuna coppia di numeri su di una retta, confrontateli stabilendo quale è il minore.

5 1 3 6, ; ,6 2 4 5

− − −

6 7 5 6, ,5 3

;6 5

− −

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4 5 4 7, ; ,9 9 5 5

− −

7 7 5 5, ; ,6 2 3 6

− −

1 1 3 4, ; ,4 2 4 5

− −

Sussiste il seguente

TEOREMA (sulla lunghezza di un segmento)

Siano P e Q due punti di una retta su cui È fissato un sistema di riferimento, 1x e 2x le rispettive ascisse. La lunghezza del segmento PQ è

1 2| |PQ x x= − .

DEFINIZIONE (distanza)

Siano P e Q due punti di una retta.

(Distanza tra P e Q) :⇔ (Lunghezza del segmento PQ)

Indichiamo la distanza tra P e Q con d(P,Q) o con PQ .

Se P, Q ed R sono tre punti del piano, risulta

• d(P,Q)$\geq$0, con d(P,Q) = 0 se e solo se P coincide con Q;• d(P,Q) = d(Q,P) ( proprietà simmetrica ); • d(P,Q)$\leq$d(P,R) + d(R,Q), con d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q) se e solo se i tre punti sono allineati

ed R ∈ PQ; ( proprietà triangolare ).

DEFINIZIONI (segmento orientato, misura algebrica)

Siano 1 1( )P x e 2 2( )P x due punti di una retta su cui È fissato un sistema di riferimento.

(Segmento orientato) :⇔ (Segmento di cui è precisato l'ordine degli estremi)

Con il simbolo 1 2PP

indichiamo il segmento orientato di primo estremo 1P e secondo estremo 2P . Esso viene rappresentato con una freccia che va dal primo al secondo estremo.

Due segmenti congruenti paralleli che hanno lo stesso orientamento si dicono equipollenti; in talcaso scriviamo AB A B′ ′≡

.

A

B

B'AB A'B'

A'

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(Misura algebrica del segmento orientato 1 2PP

) :⇔ (Il numero 2 1x x− ) Osserviamo che il valore assoluto della misura algebrica di 1 2PP

è uguale a 1 2( , )d P P . La misura algebrica è indicata con ( )1 2m PP

.

OSSERVAZIONE Si dimostra che ( )1 2 2 1,m P P x x= −

. Pertanto in generale si ha ( ) ( ) 0m PQ m QP+ =

.

ESERCIZI GUIDATI Dati A(-2), B(-4), C(8) e D(-4), determinate: 1. ( )m AC

e ( )m CA

Risulta: ( ) 8 ( 2) 8 2 10m AC = − − = + =

e ( )m CA =…

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,m BD m DA m DC m CA m AB m BC m CA+ − + +

( ) ( ) [ 4 ( 4)] [ 2 ( 4)] 2m BD m DA+ = − − − + − − − = +

.

( ) ( )m DC m CA− =…

.

( ) ( ) ( )m AB m BC m CA+ + =…

.

TEOREMA (sull'ascissa del punto medio di un segmento)

Il punto medio M del segmento di estremi 1( )P x e 2( )Q x ha ascissa 1 2

2Mx xx +

= .

Dimostrazione Supponiamo che O P Q .

O P Qx x 2xM

M

Per definizione di punto medio PM MQ≡ , pertanto OM OP OQ OM− ≡ − . Sommando ad ambo i membri il segmento OM si ha OM OP OM OQ OM OM− + ≡ − + da cui 2OM OP OQ− ≡ . Sommando OP ad ambo i membri otteniamo 2OM OP OP OQ OP− + ≡ + , ossia 2OM OQ OP≡ + .

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Pertanto 1 ( )2

OM OQ OP≡ + e quindi 1 2

2Mx xx +

= .

Analogamente si procede nei casi in cui P e Q non seguono O. c.v.d. APPLICHIAMO ... Considerate le seguenti coppie di punti, calcolate la distanza fra essi, determinate l'ascissa del punto medio e datene una rappresentazione grafica su una retta.

1. 1 4 3( 3) ; (2) (5; )2 5

;3

A B A B A B − − −

2. ; ; ;7 4 3(2) ( 4) (6)2 5 10

A B A B A B − −

3. ;3 2 2 7 1 ; ( 1)4 5 5 10

;7

A B A B A B − − − −

3.2 IL PIANO CARTESIANO In questo paragrafo vogliamo estendere il metodo delle coordinate al piano. A tal fine si fissano due rette incidenti, indicando con O il loro punto comune.

O

Dopo averle orientate, fissiamo su di esse due sistemi di ascisse aventi come origine il punto O. Le due rette con i rispettivi sistemi di ascisse si dicono assi cartesiani e sono denominate asse x e asse y.

O

U'

Ux

y

Consideriamo, ora, un qualsiasi punto P del piano. Tracciamo per P le rette parallele agli assi sino ad incontrarli nei punti xP e yP .

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Siano x ed y i numeri associati rispettivamente ai punti xP e yP nei rispettivi riferimenti. In questo modo è possibile far corrispondere a P un'unica coppia di numeri ( , )x y . Viceversa, ad ogni coppia di numeri reali ( , )x y corrisponde un solo punto P del piano.

O

U'

Ux

y

PP

Px

y

I numeri x ed y, detti rispettivamente ascissa e ordinata di P, si dicono coordinate cartesiane o semplicemente coordinate di P. L'asse x e l'asse y con i relativi sistemi di ascisse costituiscono un riferimento cartesiano affine.

Ox

y

P

1

1

x

y

Se gli assi sono perpendicolari, il sistema di riferimento cartesiano si dice ortogonale. Inoltre se i segmenti unità di misura OU ed OU' dei due assi sono fra loro congruenti, esso si dice monometrico. Un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico si dice semplicemente riferimento cartesiano. Generalmente, l'asse orizzontale è l'asse delle x o delle ascisse, quello verticale è l'asse delle y o delle ordinate. I due assi dividono il piano in quattro regioni, ciascuna delle quali è detta chiamata quadrante.

Ox

y

asse delle ascisse

asse delle ordinate

IQUADRANTE

IIQUADRANTE

IIIQUADRANTE

IVQUADRANTE

In definitiva, ad ogni punto del piano restano associati due numeri reali (ascissa ed ordinata) che costituiscono le coordinate del punto. In figura è mostrato il punto di ascissa 3 e ordinata 1.

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Scriviamo, brevemente P(3,1).

Ox

y

+3

+1P

Un punto del II quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva. In figura il punto Q ha coordinate -2 e 3.

Ox

y

Q +3

-2

Un punto del III quadrante ha ascissa e ordinata negative. In figura il punto R ha ascissa 12

− e

ordinata -2.

Ox

y

R -2

12

-

Un punto del IV quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa. In figura il punto S ha ascissa 72

ed ordinata -1.

Intro

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O x

y

-1

72

S

Se un punto appartiene a un asse, una delle sue coordinate è nulla. In figura il punto T appartiene all'asse delle x, ha ascissa 3 ed ordinata 0.

Ox

y

+3

T

L'aggettivo "cartesiano" deriva dal cognome del matematico e filosofo francese Renè Descartes (in italiano Cartesio), che, insieme a Pierre de Fermat, nel secolo XVII trattò la geometria introducendo le coordinate dei punti. APPLICHIAMO ... 1. In un sistema di riferimento cartesiano rappresentare i seguenti punti

2 5 3 3 1 1 7 5( 2,1) 2, , (0, 2) ,0 (0,0) ; , 4, 0,3 2 2 4 2 2 2 3

A B C D E F G H I − − − − − − − −

2. Quali sono le coordinate dell'origine? 3. Quali sono le coordinate dei due punti che distano 2 unità dall'origine e che si trovano sull'asse delle ordinate? 4. Rappresentate nel piano i seguenti punti

A(-2, 2) ; B(1, 2) ; C(4, 2) ; 5 , 22

D

; E(-3, 4) ; F(-3, 2) ; 53,2

G −

; H(-3,5).

TEOREMA (sulla distanza tra due punti nel piano) Siano 1 1( , )P x y e 2 2( , )Q x y due punti del piano.

La distanza tra P e Q è data da 2 21 2 1 2( ) ( )x x y y− + − .

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x

y

O

P

Q

x x

y

y

1

1

2

2

Dimostrazione Consideriamo il triangolo rettangolo PQQ', dove Q' È il punto di intersezione delle rette per P e per Q parallele agli assi. Risulta

1 2| |PQ x x′ = − e 1 2| |QQ y y′ = −

x

y

O

P

Q

x x x

y

y

1

1

2

2

M

M

My

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PQQ' si ha

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) ( )PQ x x y y x x y y= − + − = − + −

c.v.d. TEOREMA (sulle coordinate del punto medio di un segmento nel piano) Il punto medio M del segmento di estremi 1 1( , )P x y e 2 2( , )Q x y ha coordinate

1 2 1 2,2 2M M

x x y yx y+ += = .

x

y

O

P

Q

x x x

y

y

1

1

2

2

M

M

My

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APPLICHIAMO ... Considerate le seguenti coppie di punti, calcolate la distanza fra essi, determinate l'ascissa del punto medio e datene una rappresentazione grafica nel piano.

1. 1 2 1(2, 3) ( 2,1) ,3 2, , 3 (0,0)2 3 2

A B A B A B − − − − −

2. 1 1 3 3 1 10, , (2,0) ,0 1, ,03 2 4 4 4 4

A B A B A B − − − − −

3. 5 5 5 4 1 1 1 10, , (2,0) 0, , ,2 2 2 5 4 4 4 4

A B A B A B − − − − − −

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RIEPILOGO ASSIOMI Assioma 1 Per ogni coppia di punti distinti A, B del piano, esiste una e una sola retta a cui essi appartengono. Assioma 2 Su una retta vi sono almeno due punti distinti. Assioma 3 Il piano $\alpha$ contiene almeno tre punti distinti che non appartengono alla stessa retta. Assioma 4 Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa, esiste una ed una sola retta passante per P e parallela ad r. Assioma 5 Data una retta r e presi su essa due punti distinti A e B, esiste sempre su r un terzo punto C che sta tra A e B. Assioma 6 Sia r una retta e siano A, B e C tre suoi punti distinti. Allora ce n'È sempre uno, per esempio C, che sta tra A e B. Inoltre su r È sempre possibile determinare due ordinamenti fra loro opposti rispetto ai quali: A precede C che precede B oppure B precede C che precede A. Assioma 7 Sia r una retta e sia C un suo punto. Esistono allora due punti distinti A e B di r tali che C sta fra A e B. Assioma 8 Sia r una retta e P, Q due punti distinti non appartenenti ad r. Allora rimangono individuati tre sottoinsiemi del piano a due a due disgiunti $\pi_1,\;\pi_2$ ed r che verificano le seguenti proprietà • se P e Q appartengono a sottoinsiemi diversi, allora il segmento PQ incontra in un punto la retta

r • se P e Q appartengono alla stesso sottoinsieme, allora il segmento PQ È incluso in esso. Assioma 9 Tutte le rette sono congruenti. Tutte le semirette sono congruenti. Tutti i semipiani sono congruenti. Assioma 10 La relazione di congruenza fra figure È una relazione di equivalenza. Assioma 11 Dati un qualsiasi segmento PQ, una semiretta r di origine P' allora esiste sempre uno e un solo punto Q' di r, tale che il segmento PQ sia congruente a P'Q'. Assioma 12 Somme e differenze di segmenti congruenti sono congruenti.

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Assioma 13 Sia ab un angolo di vertice V e lati a e b. Considerati un punto V' ed una semiretta a' avente V' come origine, allora esiste un'altra semiretta b' avente V' come origine tale che ab è congruente ad a b′ ′ e scriviamo ab a b′ ′≡ . Assioma 14 Somme e differenze di angoli congruenti sono congruenti. Assioma 15 Ogni segmento è divisibile in modo unico in un numero qualsiasi di parti fra loro congruenti. Assioma 16 Ogni angolo è divisibile in modo unico in un numero qualsiasi di parti fra loro congruenti. Assioma 17 (di Eudosso - Archimede) Considerate due grandezze geometriche omogenee, non congruenti, sarà sempre possibile trovare un multiplo della minore che supera la maggiore. Assioma 18 Se due grandezze omogenee sono congruenti, sono tali anche le due grandezze sottomultiple rispetto ad uno stesso numero n. Assioma 19 Ad ogni punto di una retta r È possibile associare uno e un solo numero reale e, viceversa, a ogni numero reale È possibile associare uno e un solo punto di r. DEFINIZIONI • (Figura piana) :⇔ (Insieme di punti del piano) • (Figure coincidenti) :⇔ (Tutti i punti dell'una appartengono all'altra e viceversa) • (Figure distinte) :⇔ (Figure non coincidenti) • (r ed s rette incidenti) :⇔ (r ed s hanno in comune solo un punto) • (r ed s rette parallele) :⇔ (r ed s non hanno alcun punto in comune oppure coincidono) • (Direzione) :⇔ (Una classe di equivalenza determinata dalla relazione di parallelismo in A) • (Semiretta) :⇔ ( L'insieme dei punti di r che seguono o che precedono P, incluso P ) • (Segmento) :⇔ (L'insieme dei punti di r che stanno fra P e Q, inclusi P e Q) • (Segmento nullo) :⇔ (Segmento i cui estremi coincidono) • (Segmenti consecutivi) :⇔ (Segmenti aventi in comune un estremo) • (Segmenti adiacenti) :⇔ (Segmenti consecutivi giacenti sulla stessa retta) • (Segmenti parelleli) :⇔ (Segmenti giacenti su rette parallele) • (Semipiano) :⇔ (L'insieme dei punti di 1π ∪r o di 2π ∪r ) • (Figura convessa) :⇔ (Il segmento che unisce due qualsiasi punti della figura è interamente

contenuto nella figura) • (Figura concava) :⇔ (Figura che non È convessa) • (Angolo convesso) :⇔ (Intersezione di due semipiani aventi le rette origine incidenti) • (Lati di un angolo) :⇔ (Le semirette giacenti sulle rette origine, aventi origine nel loro punto

d'intersezione e incluse nei semipiani considerati)

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• (Angolo concavo) :⇔ (L'unione tra il complementare insiemistico di un angolo convesso e i lati di questo)

• (Angolo nullo) :⇔ (L'insieme dei punti di due semirette a e b coincidenti) • (Angolo giro) :⇔ (Il complementare insiemistico di un angolo nullo unito ai due lati di questo) • (Angolo piatto) :⇔ (Intersezione di due semipiani coincidenti, sulla cui retta origine sia stato

fissato un punto come vertice dell'angolo) • (Angoli consecutivi) :⇔ (Angoli aventi in comune solo il vertice ed un lato) • (Angoli adiacenti) :⇔ (Angoli consecutivi i cui lati non comuni sono uno sul prolungamento

dell'altro) • (Angoli supplementari) :⇔ (Angoli la cui somma È congruente a π ) • (Angoli opposti al vertice) :⇔ (I lati dell'uno sono semirette opposte ai lati dell'altro) • (M punto medio di PQ) :⇔ (PM è congruente a MQ) • (c bisettrice) :⇔ (L'angolo ac è congruente all'angolo cb ) • (Angolo retto) :⇔ (Angolo metà di π ) • (Angolo acuto) :⇔ (Angolo minore di un angolo retto)

• (Angolo ottuso) :⇔ (Angolo maggiore di 2π , ma minore di π )

• (Angoli complementari) :⇔ (Angoli la cui somma è congruente ad un angolo retto) • (Ascissa di un punto P) :⇔ (Il numero reale associato a P rispetto all'unità di misura fissata) • (Distanza tra P e Q) :⇔ (Misura del segmento PQ) • (Segmento orientato) :⇔ (Segmento di cui è precisato l'ordine degli estremi) • (Misura algebrica di 1 2PP

) :⇔ (Il numero 2 1x x− ) TEOREMI • Due rette s ed r distinte hanno al più un punto in comune. • Il parallelismo è una relazione di equivalenza nell'insieme delle rette del piano. • L'intersezione di figure convesse è una figura convessa. • Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti. • Le bisettrici di due angoli opposti al vertice sono una sul prolungamento dell'altra, ossia formano

un angolo piatto. • La distanza tra 1( )P x e 2( )Q x è data da 1 2| |PQ x x= − .

• Il punto medio M del segmento di estremi 1( )P x e 2( )Q x ha ascissa 1 2

2Mx xx +

= .

• La distanza tra 1 1( , )P x y e 2 2( , )Q x y è 2 21 2 1 2( ) ( )PQ x x y y= − + − .

• Il punto medio M del segmento di estremi 1 1( , )P x y e 2 2( , )Q x y ha coordinate

1 2 1 2,2 2M M

x x y yx y+ += = .

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09 – INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PIANA

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