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06/06/2002 1 Mappa La scoperta delle onde solitarie L’equazione di Korteweg-de Vries Il modello di Zabusky-Kruskal e la definizione di Solitone Esempi di soluzioni solitoniche Presenza di Solitoni nei Plasmi
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Mappa
La scoperta delle onde solitarieL’equazione di Korteweg-de VriesIl modello di Zabusky-Kruskal e la definizione di SolitoneEsempi di soluzioni solitonichePresenza di Solitoni nei Plasmi
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Il lavoro di J.Scott Russel
Nel 1834 lo scienziato Scott Russel stava cavalcando
lungo il canale che congiungeva Edinburgo a Glasgow…una barca trainata da una coppia di puledri si fermò improvvisamente vicino a lui.
Con sorpresa notò il comportamento anomalo dell’onda generata dalla barca; la massa d’acqua messa in moto ed accumulatasi in stato di violenta agitazione di fronte alla prua del battello continuò infatti la sua corsa.
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Il lavoro di J.Scott Russel
Ecco come documentò la sua osservazione alla British Association nel 1844:
“[…]when the boat suddenly stopped-not so the mass of water in the channel wich it had put in motion; […]it assumed the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, wich continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed, preserving its original figure…”
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Il lavoro di J.Scott Russel
Russel allestì dunque alcuni esperimenti, gettando in un piccolo canale d’acqua alcuni pesi,ed osservando le caratteristiche delle onde generate.
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Il lavoro di J.Scott Russel
Alla fine riuscì a ricavare empiricamente la legge che lega la velocità all’altezza dell’onda:
)(2 ahgc Dove g è l’accelerazione di gravità, a l’altezza dell’onda ed h il livello dell’acqua indisturbata.
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Il lavoro di J.Scott Russel
Possiamo quindi, alla luce delle osservazioni fatte da Russel e di quanto visto fin ora, dare una definizione rigorosa di onda solitaria.
Def: la soluzione di una eq. differenziale alle derivate parziali la cui dipendenza da x e t sia del tipo f(x,t)=f(x-vt); con la proprietà che i limiti di f a più e meno infinito siano nulli.
E’ evidente dalla def. che il profilo di un’onda solitaria non varia nel tempo.
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Nel 1895 Korteweg e De Vries, riprendendo in parte un lavoro di Rayleigh e Boussinesq, riuscirono a ricavare dalla teoria dei liquidi incomprimibli e non viscosi, una equazione differenziale che governava il moto di una onda lunga debolmente non lineare:
)3
1
3
2(
2
33
3
xxxh
g
t
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L’equazione di Korteweg-De Vries
0)1(3
3
x
u
x
uu
t
u
Prima di vedere la soluzione esatta dell’equazione KdV, procediamo ad una analisi qualitativa.
Cerchiamo prima le soluzioni per onde di piccola ampiezza, cioè linearizziamo l’equazione KdV riscritta nella forma standard:
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L’equazione di Korteweg-De Vries
03
3
x
u
x
u
t
u
Prima di vedere la soluzione esatta dell’equazione KdV, procediamo ad una analisi qualitativa.
Cerchiamo prima le soluzioni per onde di piccola ampiezza, cioè linearizziamo l’equazione KdV riscritta nella forma standard:
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Sostituendo la soluzione di onda piana otteniamo la legge di dispersione
Da cui derivano facilmente:
3kk
La velocità di gruppo
231 kk
cg
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Sostituendo la soluzione di onda piana otteniamo la legge di dispersione
Da cui derivano facilmente:
3kk
La velocità di fase
21 kk
c f
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Dunque il termine e dunque è quello
responsabile della dispersione del pacchetto ondoso.
Consideriamo invece solo il termine non-lineare:
3
3
x
u
0)1(
x
uu
t
u
2k
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Utilizzando il metodo delle caratteristiche si può risolvere la precedente equazione, ottenendo:
Da ciò si vede che la velocità caratteristica di propagazione è (1+u).
Dunque la parte alta del fronte d’onda viaggia ad una velocità superiore a quella bassa.
])1([ tuxfu
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L’equazione di Korteweg-De Vries
Questo causa progressivamente una discontinuità, fino al formarsi di una Shock Wave.
06/06/2002 Soluzione della KdV a t=0 e v=1 15
L’equazione di Korteweg-De Vries
Anticipando un risultato possiamo dire che nella KdV il contributo dei due termini tende a bilanciarsi, stabilizzando la soluzione. I profili ottenuti tramite integrazioni successive sono infatti della forma [Sech(x-vt)]^2
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La scoperta dei solitoni
Esaminando il modello di fononi in un reticolo anarmonico di Fermi,Pasta e Ulam, Zabusky e Kruskal (1965) furono portati a lavorare sulla KdV sfruttando la potenza di calcolo dei nuovi camputer. Imposte le opportune condizioni al contorno…
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La scoperta dei solitoni
…ecco quello che videro:
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La scoperta dei solitoni
Sì osservò la formazione di otto profili sotto forma di impulsi localizzati, del tipo Sech(x)^2, cioè simili alle soluzioni della KdV. Dopo la fase di stabilizzazione l’unica interazione tra loro era la comparsa di uno sfasamento. L’interazione era inoltre chiaramente non lineare.
Più erano grandi le ampiezze, maggiori le velocità dei profili.
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La scoperta dei solitoni
A queste onde Z. e K. Dettero il nome di Solitoni.
Cioè onde solitarie che però preservano la loro forma dopo l’interazione, come se fosse ripristinato il principio di sovrapposizione. Pertanto l’energia può propagarsi in pacchetti ben localizzati, senza venir dispersa per processi di interazione non lineari.
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La scoperta dei solitoni
Riassumendo si definisce Solitone la soluzione di una equazione differenziale non-lineare che:
• Rappresenta un’onda di forma permanente
•Può interagire fortemente con altri solitoni mantenendo inalterata la sua forma, come se fosse ancora valido il principio di sovrapposizione
• E’ localizzata, decadendo o diventando costante ad infinito
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L’equazione di Schroedinger non lineare
Ecco un altro importante esempio di equazione che ammette soluzioni di tipo solitonico; la cosiddetta NSE:
In questo caso si hanno come soluzioni oltre a quelle del tipo f(x-vt), anche
02
2
2
uukx
u
t
ui
))((),( 2 Seche
c
atxf
vi
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L’equazione di Schroedinger non lineare
La cosa interessante è che simulazioni numeriche hanno mostrato anche per questo secondo tipo di soluzione tutte le proprietà delle soluzioni solitoniche. Queste soluzioni sono dette “Envelope Solitons”.
Profilo della parte reale della NSE
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L’equazione di Sine-Gordon
Questa eq. ha la stessa forma di quella delle onde, ma con un termine aggiuntivo che la rende non omogenea:
Le soluzioni sono:
0)(2
2
2
2
uSinx
u
t
u
))]1
([exp(4)(),(2v
vtxArctgvtxutxu
06/06/2002 Profilo del Kink 24
L’equazione di Sine-Gordon
Le due soluzioni prendono il nome di Kink e Anti-Kink.
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L’equazione di Sine-Gordon
Oltre a queste due soluzioni, dobbiamo aspettarcene altre che descrivano le interazioni kink-kink o kink-antikink. In particolare l’interazione Kink-antiKink da origine ad uno stato legato chiamato Breather, il cui centro di massa è fermo.
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La teoria delle particelle elementari
Da quanto visto prima riguardo le molteplici soluzioni della SG e la loro interazione, emerge una analogia stringente tra i solitoni e le particelle elementari.
In particolare c’è chi sta indagando su una possibile correlazione tra una soluzione solitonica di qualche teoria di campo non-lineare e le proprietà delle particelle elementari.
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Recenti applicazioni nei plasmi
I Plasmi freddi possono essere confinati da contenitori metallici o dielettrici con grande facilità.
Lo spettro delle loro onde include dei modi chiamati “Surface Waves”; esse si sviluppano nella zona di confine tra plasma e superficie, e le loro caratteristiche sono strettamente legate alla forma delle pareti.
La loro caratteristica è l’attenuazione esponenziale dell’energia con l’allontanarsi dal bordo, cioè praticamente sono onde di interfaccia.
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Recenti applicazioni nei plasmi
Le Onde di Superficie rappresentano il “mezzo di comunicazione” tra il plasma e l’esterno,e ci possono fornire molte informazioni come la densità elettronica o la frequenza di collisione. Sono utilizzate in Ottica e nelle comunicazioni a fibra ottica per:
Misura dello spessore e costante dielettrica di film metallici
Analisi di fenomeni di scattering di luce ed elettroni col mezzo esterno
Misura delle caratteristiche di assorbimento dei nuovi materiali…
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Recenti applicazioni nei plasmi
Si è visto che inviando nel plasma una perturbazione ondosa, detta Pump wave, le Onde di Superficie assumono caratteristiche solitoniche.
Studi di V.Vladimirov e N.Tsytovich hanno mostrato la presenza,alla superficie di separazione del plasma, di pacchetti del tipo:
])13
4([
4
3 2 uvtxSechu
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Recenti applicazioni nei plasmi
La precedente equazione ricorda molto da vicino la soluzione della KdV, nonostante il termine addizionale ne vari la larghezza al centro.
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Recenti applicazioni nei plasmi
Lavori recentissimi di S.Burman e Roy Chowdhury mostrano invece la presenza di solitoni in plasmi di elettroni-positroni. In particolare utilizzando un procedimento matematico piuttosto pesante, essi hanno dedotto una espressione per la legge di dispersione del plasma da cui far discendere un’equazione analoga alla NSE vista in precedenza.
02
)(2
2
2
uux
uv
x
uv
t
ui g
g
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Fine
