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Math Type

L’origine delle analogie in fisica

Enzo Tonti

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cosa è una analogia ?

15 : 3 = 60 : 12questa è una proporzione

i numeri del membro di sinistrasono diversi da quelli di destrama il rapporto di sinistra è uguale al rapporto di destra.

Questo è il più semplice esempio di analogia.

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cosa è una analogia ?

“L’analogia è l’invarianza di una relazione o di un enunciatoper cambiamento degli elementi coinvolti.”

Rosen J, Fundamental Manifestation of Symmetry in PhysicsFoundation of Physics Vol. 20, No. 3, 1990, p. 285. ...

il ruolo delle analogie

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Le analogie svolgono un ruolo fondamentale sia nella ricerca scientifica che nell’apprendimento

in quanto permettono di trasferire senza difficoltànozioni che ci sono familiari in un campoal campo che stiamo studiando.

Le analogie sono come delle “strade” nella mente:

una volta che siamo riusciti a mettere le nuove nozioni

su queste strade il pensiero scorre velocemente

ripercorrendo tratti che ci sono familiari.

analogie e formalismi

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Osservando le onde del mare,le vibrazioni di una corda,le vibrazioni dell’aria,quelle del campo elettromagnetico,vi scorgiamo un comportamento analogo.Questo ci porta a concepire un formalismo,quello della teoria delle ondedescritto dall’equazione differenziale di d’Alembertche è di tipo “iperbolico”.

I formalismi sono possibili perché c’è un comportamento analogoin fenomeni diversi.

analogie in fisica

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In fisica le analogie tra due diversi campisi manifestano solitamentenel fatto che le equazioni che compaiono nei due campisiano uguali o, al più, similinonostante che le variabili corrispondentisiano profondamente diversesia nella loro natura matematica(scalari, vettori, tensori, ecc)sia nel loro contenuto fisico.

perché vi sono le analogie in fisica?

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Richard Feynman si pone la domanda:

“ Why are the equations from different phenomena so similar?… Is it possible that … the thing which is common to all phenomena is the space, the framework into whichthe physics is put? ”

Da questa domanda e da questa laconica risposta si evince che la ragione delle analogie in fisica non è affatto chiara, anche se è ragionevole che lo spazio svolga un ruolo essenziale.

perché vi sono analogie in fisica?

il nostro punto di partenza.

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Le equazioni, in fisica, esprimono delle relazioni tra le GRANDEZZE FISICHE.Tutta la descrizione matematica della fisica è resa possibiledall’esistenza delle GRANDEZZE FISICHE.Non sarà allora che esaminando direttamente le GRANDEZZE FISICHEsi possa scoprire la ragione delle analogie?

Ecco il nostro punto di partenza: le

GRANDEZZE FISICHE.

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Le grandezze fisiche si dividono in due grandi categorie:

costanti e variabili

Noi ci occuperemo delle variabili.

GRANDEZZE

parametri di sistema,costanti universali,costanti materiali,

coefficienti,moduli,fattori,ecc.

COSTANTI e PARAMETRI

potenziali,variabili statiche,

variabili dinamiche,variabili energetiche,variabili cinematiche,

variabili elettromagnetiche,ecc.

VARIABILI

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I flussi, di qualunque grandezza fisica, quali: • un flusso di energia,• un flusso di massa,• un flusso di entropia,• un flusso di quantità di moto,• un flusso elettrico,• un flusso magnetico,• un flusso di carica,• un flusso di neutroni in un reattore nucleare,• un flusso di probabilità in meccanica quantistica,• ecc.

sono sempre riferiti ad una superficie.

il processo di creazione delle variabili fisiche: i flussi

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l contenuti, di qualunque variabile fisica, quali: • il contenuto di energia,• il contenuto di massa,• il contenuto di entropia,• il contenuto di quantità di moto,• il contenuto di carica,• il contenuto di probabilità in meccanica quantistica,• il contenuto di neutroni in un reattore nucleare,• ecc.

sono sempre riferiti ad un volume.

il processo di creazione delle variabili fisiche: i contenuti

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le circolazionie di un vettore lungo una linea, quali: • la circolazione della forza,• la circolazione della velocità nei fluidi,• la “forza elettromotrice”• la “forza magnetomotrice”• l’allungamento di un segmento nella meccanica dei solidi deformabili• ecc.

sono sempre riferite ad una linea.

il processo di creazione delle variabili fisiche: le circolazioni

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• il potenziale elettrico,• il potenziale gravitazionale,• il potenziale della velocità nei fluidi,• il potenziale scalare magnetico• il potenziale termico ovvero la temperatura• lo spostamento nella meccanica dei solidi deformabili• ecc.

sono sempre riferiti ad un punto.

il processo di creazione delle variabili fisiche: i potenziali

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Si vede allora che le variabili fisiche “globali”sono associate ai quattro elementi spaziali:

quindi le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali

punti P (potenziali)

linee L (circolazioni)

superfici S (flussi)

volumi V (contenuti)

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A rimarcare questa associazione sta il fattoche noi formiamo le densità dividendo le variabili“globali” per l’estensione dell’elemento spazialee, successivamente, passando al limitefacendo tendere a zero l’estensione dell’elemento spaziale.

le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali

Nascono così: la circolazione per unità di lunghezza, il flusso per unità di area, il contenuto per unità di volume.

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Risposta:Per liberarci della geometria che è “attaccata” alle variabili “globali”ed ottenere in tal modo delle funzioni del punto.

la creazione delle densità …

Domanda:Per quale motivo noi formiamo le densità puntuali di linea, di superficie, di volume ?

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Domanda: Per quale motivo vogliamo le funzioni di punto ?

…per la formulazione differenziale

Conclusione: Ecco la ragione che ci spinge a formare le densità !… rendere possibile la formulazione differenziale.

Risposta:perché queste rendono possibile la formazione delle derivatetotali o parziali e quindi l’uso delle equazioni differenziali.

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Senonché:nel momento stesso in cui ci siamo liberati della geometriaper “soddisfare le brame” della formulazione differenziale,abbiamo nascosto l’informazione fondamentale e cioè che le variabili fisiche nascono associate agli elementi spaziali.

cosa abbiamo perduto?

Come vedremo, è proprio l’associazione agli elementi spazialiche rende possibile la spiegazione delle analogie in fisica !

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Def: chiameremo variabili GLOBALItutte le variabili che non sono densità.

definiamo le variabili globali

orientazionedegli elementi spaziali

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Gli elementi spaziali si possono orientare

Gli elementi spaziali si possono dotare di orientazione.

Vi sono due tipi di orientazione di un elemento spaziale:

1. orientazione interna

2. orientazione esterna.

orientazione interna

surface S

volume V

line L

point PP

L

S

V

Gli elementi spaziali si possono orientare

volume V

surface S

line L

point P

S

P

L

V

orientazione esterna

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le variabili fisiche si possono dividere in tre classi:

Variabili disorgente

Variabili diconfigurazione

Variabilienergetiche

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le tre classi di variabili

forza

momento

quantità di moto

momento angolare

tensore degli sforzi

pressione

impulso

massa

carica elettrica

spostamento elettrico

densità di corrente

ecc.

vettore raggio

angoli di Eulero

velocità

velocità angolare

tensore di deformazione

velocità di deformazione

temperatura

potenziale elettrico

induzione magnetica

dilatazione cubica

velocità di dilatazione cubica

ecc.

Variabili diconfigurazione

Variabili disorgente

Variabili energetiche

lavoro

energia potenziale

energia cinetica

entalpia

energia libera

funzione di Gibbs

azione

ecc.

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… e qui c’è una piacevole sorpresa:

Si constata che le variabili di

configurazione

sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione

interna.

Si constata che le variabili di

sorgente

sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione

esterna.

P

L

S

V

L

S

P

V

si constata che le variabili di configurazione sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione interna mentre quelle di sorgente sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione esterna

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evidenziamo gli elementi spaziali

Nella formulazione differenziale i punti sono protagonistiin quanto si utilizzano funzioni di punto. Per poter utilizzarela matematica occorre associare ai punti dei numeri, lecoordinate. Nascono così i sistemi di coordinate.

Usando le funzioni di dominio occorre descrivere gli elementi spaziali, non solo i punti. Lo strumento più naturale è costituito dai complessi di celle.

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I complessi di celle

ora entrano in campo i complessi di celle

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il complesso primale: orientazione interna

Dotiamo ogni elementoche compone il complessodi una orientazione interna.

Dividiamo la regione di piano o di spazioin cellette, ad esempioin triangoli, rettangoli,tetraedri, esaedri.Otteniamo un complesso di celle

2D 3D

il complesso duale: orientazione esterna

Per ogni triangolo consideriamoil circocentro: congiungendoi circocentri di due triangoliadiacenti costruiamo un complesso duale: il complesso di Voronoi.

2D 3D

Ne viene che ogni elementodel complesso dualeè automaticamente dotatodi orientazione esternaindotta da quella internadel corrispondenteelemento primale.

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P

L

S

V

complesso primaleorientazione interna

complesso dualeorientazione esterna

L~

V~

S~

P~

classificazione degli elementi spaziali

punto

linea

superficie

volume

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volume

superficie

linea

punto

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classificazione delle variabili fisiche: elettrostatica

V = voltage

V

= electricalpotential

P

L

S

V

L~

V~

S~

P~ = electric

flux

QQ = electric

charge

source variablesdual cell complexouter orientation

configuration variablesprimal cell complex

inner orientation

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T = temperatureT

configuration variablesprimal cell complex

inner orientation

source variablesdual cell complexouter orientation

P

L

S

V

L~

V~

S~

P~

classificazione delle variabili fisiche: conduzione termica

SS = heat production

P = temperaturedifference

P

Q = heat

Q

Equazione fondamentale

Variabili di configurazione

Complesso primale

Variabili di sorgente

Complesso duale

p q

kq R

T

R

p

TR

S

V

L

Ptemperatura

gradiente

temperatura

Sorgente termica

Densità di flusso

Fourier

2k T p Poisson

Conduzione termica stazionaria

q

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Equazione fondamentale

Variabili di configurazione

Complesso primale

Variabili di sorgente

Complesso duale

D

D E

E

DS

V

L

Ppotenziale

elettrico

intensità campo

elettrico

densità di carica

Spostamento elettrico

2 Poisson

elettrostatica

E

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conclusione:

Le variabili fisiche globalisono naturalmente riferite agli elementi spaziali, Punti, Linee, Superfici, Volumi.

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Da questa associazione nasce il fatto che le relazioni trale grandezze fisiche di due teorie siano le stesse.

Questo spiega l’esistenza delle analogie in fisica.

fine