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- Appunti di Matematica 3 – Liceo Scientifico -

- La circonferenza -

40

La circonferenza

nel piano cartesiano

Abbiamo già studiato la circonferenza di raggio r e centro C come l’insieme di punti per i quali la

distanza da C è uguale a r : ora vogliamo studiare la circonferenza nel piano cartesiano.

Consideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ( )4;3C e il raggio 5=r : se indichiamo

con ( )yxP ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la distanza tra P e C è

uguale a 5.

Per scrivere l’equazione che rappresenta questa circonferenza basterà scrivere la proprietà di tutti i

suoi punti cioè 5=PC

Avremo ( ) ( ) 54322 =−+− yx

ed elevando al quadrato entrambi i membri avremo:

( ) ( ) 254322 =−+− yx



41

In generale l’equazione di una circonferenza C di centro ( )CC yxC ; e raggio r sarà quindi

( ) ( ) 222ryyxx CC =−+−

Sviluppando otteniamo

022022 2222222222 =−++−−+=−+−++− ryxyyxxyxryyyyxxxx CCCCCCCC

Si pone

−+=→=−+

−=→=−

−=→=−

cyxrcryx

byby

axax

CCCC

CC

CC

22222

22

22

Quindi abbiamo 022 =++++ cbyaxyx

−

−+

−=

−−

cba

r

baC

22

22

2;

2

Osservazioni

Abbiamo visto che l’equazione di una circonferenza è molto diversa da quella di una retta: è

un’equazione di 2 grado in cui i coefficienti di e sono uguali se sono diversi da 1 si può

dividere tutta l’equazione per il valore del coefficiente di e ) e in cui manca il termine

xy.Inoltre, per avere una circonferenza "reale”, dovrà essere

022

22

≥−

−+

− cba

( ricorda che cb

r −

−+

=22

22

a- )

Se r = 0 la circonferenza "degenera" in un solo punto.

Esempi

1) 122 =+ yx è l’equazione della circonferenza di centro )0,0(C e r = 1.

In generale 222 ryx =+ e l’equazione della circonferenza di centro )0,0(C e raggio r.

2) 0202422 2222 =+−+→=+−+ yxyxyxyx è l’equazione della circonferenza di

centro )2

1;1( −C e raggio

2

5

4

11 =+=r .

3) 0422 =++ yx non rappresenta una circonferenza reale perché ℜ∉−= 4r .

4) 022 =+++ byaxyx è l’equazione di una circonferenza passante per l’origine ( c = 0 ).



42

Problemi

1) Determina l’equazione della circonferenza avente centro C assegnato e passante per un

punto A assegnato.

E’ chiaro che basterà calcolare raggio = AC .

Esempio: determina l’equazione della circonferenza

avente centro ( )3;2C e passante per il punto ( )4;3A .

Abbiamo 2=CA .

Quindi l’equazione della circonferenza risulta:

( ) ( ) 23222 =−+− yx

2) Determina l’equazione della circonferenza C passante per tre punti A,B,C non allineati (

è come cercare l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ∆

ABC ).

Il centro della circonferenza si può trovare intersecando l’asse del segmento AB con l’asse del

segmento BC: così facendo, infatti, troviamo un punto che è equidistante da A,B,C e quindi è

il centro della circonferenza.

Per trovare il raggio basta calcolare la distanza del centro trovato da uno qualsiasi dei tre

punti.

Esempio: determina l’equazione della circonferenza passante per i punti

( ) ( ) ( )2;7,4;3,2;1 CBA .

• Determiniamo l’asse di AB: il punto medio ha coordinate ( )3;2 e l’inclinazione

dell’asse è 1−=m e quindi abbiamo

( ) 523 +−=→−−=− xyxy

• Determiniamo l’asse di BC: il punto medio ha coordinate ( )3;5 e l’inclinazione è

2=m e quindi abbiamo

( ) 72523 −=→−=− xyxy



43

Intersechiamo i due assi indicando con Ω il centro della circonferenza (non possiamo usare la

lettera C perché faremo confusione con il punto C assegnato).

==

→

−=+−=

Ω1

4.....

72

5

y

x

xy

xy

A questo punto determiniamo il raggio calcolando , per esempio, la distanza 10=ΩA e in

conclusione l’equazione della circonferenza risulta:

( ) ( ) 101422 =−+− yx

Naturalmente possiamo anche sviluppare i calcoli:

07281012168 2222 =+−−+→=+−++− yxyxyyxx

NOTA

Questo problema può essere risolto anche sostituendo le coordinate dei tre punti nell’equazione

generale x2+y

2+ax+by+c=0 e risolvendo il sistema.

=++++=++++=++++

→→→

0

0

0

),(

),(

),(

22

22

22

cbyaxyx

cbyaxyx

cbyaxyx

yxC

yxB

yxA

CCCC

BBBB

AAAA

CC

BB

AA

Le incognite sono a,b,c.

I calcoli sono in genere più faticosi e quindi è preferibile il primo metodo.



44

Retta e circonferenza

Una retta r può essere esterna, tangente o secante ad una circonferenza C .

La retta è esterna quando raggiorCd >),(

La retta è tangente quando raggiorCd =),(

La retta è secante quando raggiorCd <),(

Rette tangenti ad una circonferenza

1) Risolviamo il seguente problema: data la circonferenza C in figura e considerato il suo

punto )7;7(P determinare la retta t tangente in P alla circonferenza C .

Possiamo, nel fascio di rette passanti per P, individuare quella la cui distanza da C è uguale a 5

(raggio di C.), ma c’è un procedimento più veloce.

Basta infatti osservare che la retta t risulterà perpendicolare al raggio CP e quindi:



45

2) Risolviamo adesso il seguente problema: data la circonferenza C in figura e considerato il

punto P(5;0), determinare le rette t1 e t2 tangenti alla circonferenza uscenti da P.

C : x2+y

2=9

P(5,0)

Consideriamo la generica retta passante per P

Dobbiamo cercare le rette che hanno distanza 3 (raggio=3) dal centro di C (0,0) e quindi

Elevando al quadrato:

Quindi

1t : )5(4

3 −−= xy

2t : )5(4

3 −= xy



46

La condizione di tangenza

Questo problema poteva essere risolto anche in un altro modo.

Ricordiamo che se intersechiamo una retta con una circonferenza possiamo avere:

nessun punto di intersezione se r è esterna a C

1 solo punto di intersezione (o meglio due punti coincidenti) se r è tangente a C

2 punti di intersezione se r è secante a C

Algebricamente questo significa che risolvendo il sistema

r retta equazione

C nzacirconfere equazione

troveremo un’equazione di 2° grado il cui ∆ sarà:

0<∆ se r è esterna a C

0=∆ se r è tangente a C : questa viene detta “condizione di tangenza”

0>∆ se r è secante a C

Quindi il problema poteva essere risolto impostando il sistema tra la circonferenza e la generica

retta passante per P e poi imponendo che il discriminante dell’equazione che si ottiene dopo aver

sostituito sia nullo:

−==−+−+→=+−+→=+

)5(

092510)1(9)2510(9 222222222

xmy

mxmxmxxmxyx

0)925)(1(254

224 =−+−=∆mmm

Svolgendo i calcoli abbiamo:

4

3

16

9916092592525 222424 ±=→=→=→=+−+− mmmmmmm



47

Altri problemi sulla circonferenza

1) Determina la circonferenza avente centro C assegnato e tangente ad una retta t assegnata.

Per esempio: C(1;3) t: y=-x ( →x+y=0).

Basterà calcolare raggio = distanza (centro, tangente)

Nel nostro caso 222

4

2

31==

+=r

C : 8)3()1( 22 =−+− yx

2) Determina l’ equazione della circonferenza C tangente in un punto T ad una retta

assegnata t e passante per un punto P assegnato.

Per esempio: t: y=2x T(1;2) P(7;4)

Possiamo individuare il centro C della circonferenza intersecando l’ asse del segmento TP

con la retta per T perpendicolare a t

−−=−⋅⋅⋅⋅

−−=−

)1(2

12:.

)4(33:

xytaTperperp

xyasseTP

2

5

2

1

153

+−=

+−=

xy

xy

)0;5(C

Naturalmente r = =

C : 20)5( 22 =+− yx

(*) Questo problema si può risolvere anche considerando l’equazione generale

e imponendo il passaggio per T, per P e la condizione di

tangenza a t (si ottiene un sistema di 3 equazioni nelle incognite a,b,c ).



48

3) Determina l’equazione della circonferenza C tangente ad una retta t assegnata e passante

per due punti A e B assegnati.

Per esempio t: 1+−= xy e A(0;5) B(-2;5).

Se la circonferenza deve passare per A e B il suo centro

dovrà appartenere all’asse del segmento AB che risulta la

retta di equazione 1−=x .

Quindi possiamo dire che il centro dovrà essere del tipo

( )yC ;1−

Ma perché la circonferenza sia tangente alla retta t la distanza di C da t dovrà essere uguale

al raggio CA ( o CB ).

Dopo aver scritto l’equazione della tangente in forma

implicita 01 =−+ yx , possiamo impostare questa

uguaglianza:

( )

( ).....2610

2

2

26102

251

2

11

),(

2

2

22

+−=−

+−=−

→−+=−+−

=

yyy

yyy

yy

CAtCd

Svolgendo i calcoli si ottiene l’equazione:

4804816 2,1

2 ±=→=+− yyy



49

In conclusione abbiamo due centri ( ) ( )12;1,4;1 21 −− CC e quindi due circonferenze che

risultano tangenti a t e passanti per A e B.

Nota: questo problema poteva anche essere in modo “algebrico” nel seguente modo:

consideriamo l’equazione generale di una circonferenza 022 =++++ cbyaxyx e imponiamo il

passaggio per i punti A e B e la condizione di tangenza.

=++−−−=∆=++−+

=++

→→⋅⋅→⋅⋅

0)1(8)2(

052254

0525

tan.(*) 2 cbba

cba

cb

genzacond

Bperpassaggio

Aperpassaggio

(*)

+−==++++

1

022

xy

cbyaxyx

=+++−−+→=+−++−+

..........

01)2(20)1()1( 222 cbxbaxcxbaxxx

Risolvendo il sistema otteniamo due terne di soluzioni ( )cba ,, cioè due circonferenze che

soddisfano le condizioni richieste.

In particolare in questo caso abbiamo

( ) ( )4;115;8;2 1 −→− C e ( ) ( )12;195;24;2 2 −→− C .



50

Circonferenza e fascio di rette

Esempio 1

a) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : kxy += intersecano la circonferenza

C : 922 =+ yx .

23=k

23−=k

Si tratta di un fascio di rette parallele aventi 1=m .

Per determinare le rette del fascio che intersecano la circonferenza basterà determinare le rette

del fascio che sono tangenti alla circonferenza , cioè le rette del fascio che hanno distanza dal

centro (0;0) uguale al raggio della circonferenza cioè uguale a 3.

Per prima cosa dobbiamo scrivere l’equazione delle rette del fascio in forma implicita:

F : 0=+− kyx

Calcoliamo la distanza tra la generica retta del fascio e il centro della circonferenza ( )0;0C e

poniamo questa distanza uguale a 3:

2332

±=→= kk

Quindi quando 2323 ≤≤− k le rette del fascio intersecano C.



51

b) Determina per quali valori di k le rette del fascio precedente intersecano la semicirconferenza ∩

AB situata nel 1° e 2° quadrante ( 0≥y ) e in quanti punti.

23=k

In questo caso occorre determinare il valore di k delle rette del fascio passanti per A e B.

Ak )3;0(A 330 −=→+= kk

Bk )0;3(−B 330 =→+−= kk

Quindi:

per 33 <≤− k le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in 1 solo punto;

per 233 ≤≤ k le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in 2 punti

(il punto di tangenza viene contato due volte).

Nota: il problema poteva essere proposto anche come soluzione del sistema

≥=+

+=

0

922

y

yx

kxy

1 soluzione per 33 <≤− k

2 soluzioni per 233 ≤≤ k



52

Esempio 2

a) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : 08 =−+ kkyx intersecano la

circonferenza C : 04422 =−−+ yxyx .

Studiando il fascio si trova che si tratta di un fascio di rette passanti per P(0;8) e che le

generatrici sono le rette : 8

00

=→∞==→=

yk

xk

Determiniamo i valori di k corrispondenti alle rette tangenti: applicando la formula della

distanza dal centro C(2;2) della circonferenza e ponendola uguale a 22 (raggio) otteniamo i

valori 11 =k e 7

12 −=k .

Quindi quando 17

1 ≤≤− k le rette del fascio intersecano la circonferenza (in due punti).



53

b) Determina per quali valori di k le rette del fascio precedente intersecano la semicirconferenza ∩

AB situata nel 1° e 2° quadrante ( 0≥y ) e in quanti punti.

Sostituendo le coordinate di A(0;0) troviamo il valore 0=Ak della retta per A e sostituendo

quelle di B(4;0) troviamo il valore 2

1=Bk della retta del fascio passante per B.

Quindi:

per 12

10

7

1 ≤≤∪≤≤− kk le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in 2 punti;

per 2

10 << k le rette del fascio intersecano la semicirconferenza in 1 punto.



54

ESERCIZI

1) Disegna le circonferenze aventi le seguenti equazioni:

a) 422 =+ yx d)

b) e)

c) f)

2) Determina l’equazione della circonferenza sapendo che:

a) ha centro C(1;1) e passa per P(3;2); ]5)1()1[( 22 =−+− yx

b) passa per (0;0) , A(4;2) B(2;2) ; [ 10)1()3( 22 =++− yx ]

c) passa per (0;0) A(-2;4) B(6;0) ; ( ) ( ) ]2542[22 =−+− yx

d) passa per A(1;-1) B(1;3) C(-3;3) ; ( ) ( )[ ]81122 =−++ yx

e) passante per O( 0;0) e A(4;0) e avente il centro appartenente alla retta di equazione

12

1 += xy ; ( ) ( ) ]822[22 =−+− yx

f) ha centro C(0;0) ed è tangente alla retta t: y=-x+3;

=+2

922 yx

g) è tangente alla retta t: xy −= nel punto T(0;0) e passa per A(0;2) ;

h) è tangente alla retta t: 12 −= xy nel punto T(1;1) e passa per A(1;-1)



55

3) Determina la tangente alla circonferenza C: nel suo punto T(0;2).

]22[ +−= xy

4) Data la circonferenza C: determina la retta tangente nel suo punto T(3;4) e le

tangenti uscenti dal punto )4

25;0( −P .

02543:[ =−+ yxt 4

25

4

3:2,1 −±= xyt ]

5) Data la circonferenza C: determina le rette tangenti ad essa uscenti

da (0;0). xy =[ ; ]7

1xy −=

6) Determina la retta tangente in (0;0) alla circonferenza di equazione ( ) ( ) 254322 =−+− yx .

]4

3[ xy −=

7) Data C : 422 =+ yx determina per quali valori di k le rette del fascio F : kxy += intersecano

la circonferenza.

]2222[ ≤≤− k

8) Data C : 922 =+ yx determina per quali valori di k le rette del fascio F: 05 =+−+ kyyx

intersecano la circonferenza.

]3

1

3

7[ ≥∪−≤ kk

9) Data la circonferenza di equazione C : 0124622 =−−−+ yxyx determina per quali valori di

k le rette del fascio:

a)

b)


10) Data la circonferenza C: 04422 =−−+ yxyx , determina per quali valori di k le rette del

fascio F : kxy += intersecano:

a) l’intera circonferenza ; ]44[ ≤≤− k

b) la parte di circonferenza che si trova nel 3° e 4° quadrante )0( ≤y ( specificando il numero

delle intersezioni).

[ 1 intersezione per 04 ≤<− k e 2 intersezioni coincidenti per ]4−=k



56

11) Data la circonferenza C : 02422 =+−+ yxyx , determina per quali valori di k le rette del

fascio

F : 0)6(4 =−++− yxky


]3

22[ −≤≤− k

12) Risolvere il seguente sistema:

≥≥

=++=−+

0

0

02

01622

y

x

kyx

yx

[ 1 soluzione per 48 −≤<− k ; 2 soluzioni per ]854 −≤≤− k

13)

a) Determina l’equazione della circonferenza C tangente in )2;1(T alla retta xyt 2: = e

passante per il punto )4;7(A . Disegnala ed indica con C il suo centro.

b) Determina le tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(15;0) e indicati con 1T e 2T i

punti di tangenza, determina l’area del quadrilatero 21CTPT .

c) Nel fascio di rette di equazione kxy += 2 determina per quali valori di k le rette del

fascio intersecano C.

[C: 051022 =+−+ xyx ; )15(2

1:2,1 −±= xyt ; area ( 21CTPT ) = 40 ; 020 ≤≤− k ]

14) a) Determina l’equazione della circonferenza C tangente in (0;0) alla retta xyt4

3: = e

avente il centro C appartenente alla retta 1−−= xy .

b) Determina i punti P appartenenti a t tali che 25)( =∆

OPCarea .

[C: 08622 =+−+ yxyx )6;8(1P )6;8(2 −−P ]

15) Determina l’equazione della circonferenza circoscritta e della circonferenza inscritta al

triangolo di vertici O(0;0) , A(4;0) e B(0;3).

[ 03422 =−−+ yxyx ; 012222 =+−−+ yxyx ]



57

16) Determina l’equazione della circonferenza tangente alla retta t: y=-1 e passante per i punti

A (1;1) e B (1;7).

17) Determina l’equazione della circonferenza tangente alla retta t: 1−= xy e passante per i

punti A (-2;1) e B (0;3).

18) Determina l’equazione della circonferenza tangente all’asse x e passante per i punti A (1;2) e

B (3;4).

19) a) Determina l’equazione della circonferenza C passante per A(0;2) B(2;0) e O(0;0).

b)Determina per quali valori di k le rette del fascio F: y=x+k intersecano C.

c)Determina per quali valori di k le rette del fascio F intersecano la parte di C con y ≥ 0.

Specificare in quanti punti.

[C : 02222 =−−+ yxyx ; 22 ≤≤− k ; 1 intersezione per 02 <<− k , 2 intersezioni per

220 −=∪≤≤ kk ]

20) a) Determina l’equazione della circonferenza C passante per A(-1; 3) e B(1; -1) e il cui centro

appartiene alla retta di equazione 012 =+− yx .

b) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : 0)3(3 =−+−− xkyx intersecano

la circonferenza e per quali valori ( e in quanti punti) intersecano la C con 0≥y .

[C: 04222 =−−+ yyx ; 2

13 −≤≤− k ; 2 intersezioni per 13 −≤≤− k ]

21) Determina l’equazione della circonferenza tangente agli assi coordinati e passante per

)2;1( −A . [ 025101022 =++−+ yxyx ; 012222 =++−+ yxyx ]

22) a) Determina l’equazione della circonferenza avente centro C( 2; 1) e tangente alla retta

2: += xyt .

b) Determina per quali valori di k le rette del fascio F : kxy += staccano sulla

circonferenza una corda di lunghezza 2.

[ C: 014822 22 =+−−+ yxyx ; 712,1 ±−=k ]



58

APPROFONDIMENTO

Fasci di circonferenze

Supponiamo di avere due circonferenze

C1 : 0111

22 =++++ cybxayx C 2 : 0222

22 =++++ cybxayx

Se consideriamo l’equazione

0)( 222

22

111

22 =+++++++++ cybxayxcybxayxk

cioè 0)()()1()1( 212121

22 =+++++++++ ckcybkbxakaykxk

è chiaro che sarà, al variare di k , con 1−≠k , ancora una circonferenza (reale quando

022 ≥−+ cyx cc ).Si parla quindi di fascio di circonferenze generato da C 1 e C 2 . Per 0=k si

ottiene C 2 , mentre per ∞=k si ottiene C 1 (ragionamento analogo a quello svolto per i fasci di

rette). Naturalmente a seconda di C 1 e C 2 si otterranno vari tipi di fasci.

Esempio 1: C1 e C 2 secanti

Consideriamo per esempio le circonferenze in figura e studiamo il fascio da esse generato.

C1 : 0222 =−+ xyx )0;1(1C 11 =r

C 2 : 0122 =−+ yx )0;0(2C 12 =r

F : )1( −≠k

Qualunque sia il valore assegnato a k )1( −≠k , si otterrà una circonferenza anch’essa passante

per A e B: infatti sia sostituendo le coordinate di A che di B si otterrà 000 =+⋅k .

(*) Osserviamo che, per qualunque valore di k, con k ≠ -1, si ottengono circonferenze reali.

Infatti:

012)1()1( 22 =−−+++ kxykxk → 01

1

1

222 =+

−+

−+k

xk

kyx

)0;1

(+k

kC

2

2

2

2

)1(

1

1

1

)1( +++=

++

+=

k

kk

kk

kr 0

)1(

12

2

>+

++k

kk 1−≠∀k

01)2( 2222 =−++−+ yxxyxk



59

Esempio 2: C1 e C 2 tangenti

Consideriamo le circonferenze in figura, tangenti in (0;0) con l’asse y ( tangente comune t).

C1 : : C1 (1;0) r1=1

C 2 : C1(-1;0) r2=1

Consideriamo il fascio generato da C 1 e C 2 : F : 02)2( 2222 =+++−+ xyxxyxk

0)1(2)1()1( 22 =−++++ kxykxk

2

1

1

+−=

k

kr

Si osserva che intersecando una qualunque circonferenza del fascio con la retta t : x=0 si ottiene

solo, come soluzione (0;0) e quindi tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in (0;0) all’asse

y. Il fascio generato da due circonferenze tangenti in T ad una retta t è costituito da circonferenze

tangenti in T a t ( che si ottiene per 1−=k ).

Esempio 3 : C1 e C 2 concentriche

Consideriamo le circonferenze in figura:

C1 : x2 + y

2 – 2x =0

C 2 : x2 + y

2 – 2x – 3 =0 )0;1(2C 22 =r

F : 032)2( 2222 =−−++−+ xyxxyxk

Sviluppando : 03)1(2)1()1( 22 =−+−+++ kxykxk → ( 1−≠k ) : 01

32

22 =+

−−+k

xyx

Osserviamo che C(1 ; 0) cioè che tutte le circonferenze hanno lo stesso centro di C 1 e C 2 e

Quindi avremo circonferenze reali solo se

1401

4 −>∪−≤⇔≥++

kkk

k ( 1−≠k )

1

4

1

31

++=

++=

k

k

kr



60

Esempio 4: C1 e C 2 non aventi punti in comune e non concentriche

Consideriamo le circonferenze in figura:

C1 : x2 + y

2 – 2x =0 )0;1(1C 11 =r

C 2 : x2 + y

2 +4x + 4 =0 )0;2(2 −C 02 =r

Consideriamo

F : 044)2( 2222 =++++−+ xyxxyxk

Sviluppando : 04)2(2)1()1( 22 =+−++++ kxykxk

Dividendo per 1+k ( 1−≠k ) : 01

4

1

)2(222 =+

++−++

kx

k

kyx

)0;1

2(

+−

k

kC

1

4

)1(

)2(2

2

+−

+−=

kk

kr

Quindi ho circonferenze reali solo se 01

4

)1(

)2(2

2

≥+

−+−

kk

k cioè, sviluppando i calcoli, quando

80 ≥∪≤ kk con 1−≠k

Nota: abbiamo considerato i fasci di circonferenze ottenuti “combinando” le equazioni di due

circonferenze. Ma cosa si ottiene “combinando” l’equazione di una circonferenza con

l’equazione di una retta?

F : 0)( 222111

22 =+++++++ cybxacybxayxk

0)()( 212121

22 =+++++++ ckcybkbxkakykx

Se 0≠k (e verifica la condizione di realtà per il raggio), ottengo quindi un fascio di

circonferenze ed è semplice dimostrare che:

• se r e C sono secanti si ottiene un fascio di circonferenze secanti (passanti per i punti

di intersezione tra r e C);

• se r e C sono tangenti si ottiene un fascio di circonferenze tangenti nel punto di

tangenza tra r e C (r è la tangente comune);

• se r e C non hanno punti in comune si ottiene un fascio di circonferenze che non

intersecano né r né C e il cui centro appartiene alla retta passante per il centro C di C e

perpendicolare alla retta r.



61

Problemi svolti

1) Come si può scrivere l’equazione di un fascio di circonferenze passanti per A( 0; 4) e B( 0; 0)?

Possiamo combinare una circonferenza per A e B , per esempio quella di diametro AB:

C : 044)2( 2222 =−+→=−+ yyxyx

con la retta per A e B che in questo caso è l’asse y cioè la retta di equazione 0=x .

In conclusione una possibile equazione del fascio risulta

F : 0422 =+−+ kxyyx

Osservazioni

Il centro della circonferenza del fascio è )2;2

(k

C − cioè appartiene all’asse di AB (y = 2).

Nota: potevamo risolvere questo problema anche considerando l’equazione generica di una

circonferenza 022 =++++ cbyaxyx e imponendo il passaggio per A e B

=−=→=++

0

40416

c

bcb

L’equazione del fascio sarà: 04:22 =−++ yaxyxFC dove il parametro è a ed è praticamente

uguale a quella che avevamo ricavato precedentemente.



62

2) Come si può scrivere l’equazione di un fascio di circonferenze tangenti in T( 0; 0) alla retta

xyt −=: ?

Possiamo combinare l’equazione di una

circonferenza tangente in T alla retta t con

l’equazione di t .

Per semplificare i calcoli possiamo scegliere

come circonferenza tangente la

circonferenza (degenere) di raggio nullo e

centro T( 0; 0) 022 =+→ yx

Abbiamo quindi

0)(22 =+++ yxkyx

3) Come si può scrivere l’equazione di un fascio di circonferenze aventi centro C(1;2)?

In questo caso possiamo semplicemente usare l’equazione

dove r sarà il parametro.

oppure considerare l’equazione generale della circonferenza 022 =++++ cbyaxyx e porre

da cui abbiamo che l’equazione del fascio risulta

04222 =−−−+ cyxyx

Calcoliamo il raggio

Avremo circonferenze reali quando



63

ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE

1) a) Determina l’equazione della circonferenza C avente centro C(3,-1) e tangente alla retta t:

3x+y+2 =0. Disegnala e determina le coordinate del punto T di tangenza.

[ 02622 =+−+ yxyx ; )2;0( −T ]

b) Nel fascio di rette F: y = kx +−3

1 determina per quali valori di k le rette intersecano

la circonferenza C. [3

10

3

10 ≤≤− k ]

2) a) Determina l’equazione della circonferenza C tangente in T(0,1) alla retta t : 1+−= xy e

passante per ( 1;4− ). Disegnala ed indica con C il suo centro.

[ 032422 =−+++ yxyx ]

b) Determina le equazioni delle tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(-2,-5) e, detti

1T e 2T i punti di tangenza, determina l’area del quadrilatero 21PTTT .

[ 3−= xy ; 7−−= xy ; 12)( 21 =Α PTTT ]

3) a) Determina l’equazione della circonferenza C passante per i punti A (6, -5) B(-1, 2)

C(6,1). Disegnala ed indica con Ω il suo centro.

[ 0174422 =−+−+ yxyx ]

b) Dopo aver studiato il fascio di rette di equazione

F : 2x – y +9 + k (y + 1)= 0

determina per quali valori di k le rette del fascio intersecano la circonferenza.

[2

5

3

5 ≥∪−≤ kk ]

4) Dato il fascio di circonferenze di equazione

0)3(12222 =−+++−−+ yxkyxyx

a) studialo e disegna le generatrici;

[fascio circonferenze secanti in A(1;2) e B(2;1) ℜ∈∀k ]

b) determina il valore di k per il quale si ottiene la circonferenza di centro (2;2) e disegnala;

[ 2−=k ]

c) determina per quali valori di k si ottengono circonferenze di raggio 5 e disegnale.

[ 41 −=k 22 =k ]

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