------- ANALISI 2 --------

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------

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Coordinate polari

Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un

punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata di numeri. Un altro

sistema è quello delle coordinate polari. Un riferimento polare è individuato da:

1.un punto O detto polo o origine;2.una semiretta orientata x per O, detta asse polare;3.un'unità di misura per i segmenti.

Ad ogni coppia (ordinata) di numeri ),( θ ρ corrisponde uno ed un solo punto P del piano. Il ,

viceversa non è vero.

Alla coppia ),( θ ρ corrisponde il punto P:

a. la cui distanza da O, misurata con la prefissata unità di misura, è ρ : OP= ρ ;

b. che giace sulla semiretta di origine O, che forma con l'asse polare un angolo θ, orientato

nel verso antiorario e misurato in radianti. (vedi figura 1 e 2).

Viceversa un punto P può venire descritto come ( )π θ ρ k 2, + dove k è un intero positivo qualsiasi,

incluso lo zero.

In particolare le coordinate polari del polo possono essere date come ( )θ ,0 con θ arbitrario. Il

numero ρ strettamente positivo è detto raggio vettore di P, mentre l'angolo θ , che è

determinato a meno di multipli di 2π, è detto anomalia di P.

Il punto P ( )θ ρ ,− appartiene alla semiretta opposta alla semiretta di anomalia θ ovvero ( )θ ρ ,− e( )π θ ρ +, sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come( )π θ ρ k 2, ± o ( )( )π θ ρ 12, +±− k vedi esempio successivo.

Osservazioni

1. Tutti i punti del piano si ottengono prendendo il valore principale dell'anomalia, cioè facendovariare ϑ da zero incluso a π 2 escluso. Però la limitazione π ϑ 20 ≤≤ conduce a discontinuitàper i punti dell'asse polare: se un punto P si muove su un arco di curva che attraversi l'assepolare in un punto M, la sua anomalia tenderebbe a zero ovvero a π 2 a seconda che P siavvicini ad M da una parte o dall'altra. Per questo si preferisce definire l'anomalia a meno dimultipli di π 2 .

2. Il luogo dei punti che hanno un dato raggio vettore: a= ρ , è la circonferenza di centro O eraggio a .

3. Il luogo dei punti che hanno una data anomalia ( )0ϑ ϑ = è la semiretta per O che forma

l'angolo 0ϑ con l'asse polare, mentre la semiretta opposta è il luogo dei punti la cui

anomalia è π ϑ +0 .

Esempio

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Il punto P

4,1π

ha le seguenti rappresentazioni:

P

4,1π

P

− π

4

7,1

P

− π

4

5,1 P

−− π

4

3,1

π

4

5,1

− π

4

3,1

Queste rappresentazioni e tutte le altre si possono riassumere nelle due formule

± π

π k 2

4,1

±− π k 2

4

5,1 k = 0, 1, 2…

Cambiamento di variabile

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


Un riferimento cartesiano ortogonale ed un riferimento polare si dicono associati se:

1. l’origine dell’un coincide con il polo dell’altro;

2. il semiasse positivo dell’asse x coincide con il semiasse polare;

3. l’unità di misura per i segmenti è la stessa per i due riferimenti.

Nelle condizioni precedenti ogni punto P del piano, distinto da O, ha due coordinate polari ( )0, ρ e

due coordinate cartesiane ( ) y x, . Le formule di passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane

sono date da

θ ρ cos= x e θ ρ sin= y

Le formule inverse,che esprimono le coordinate polari in funzione delle coordinate cartesiane, sono

date da

22

y x += ρ

22cos

y x

x

+

=θ 22

sin y x

y

+

=θ x

y=θ tan

queste ultime individuano univocamente l’anomalia θ.

Esempi di curve in coordinate polari

La curva, la cui equazione in coordinate polari è ( )ϑ ρ f = o ( ) 0, =ϑ ρ F , consiste di tutti i punti

distinti ( )ϑ ρ , che soddisfano l’equazione. Sussistono i seguenti criteri di simmetria. Ecco alcuni

esempi di curve in coordinate polari,i cui grafici sono mostrati in figura.

1. Le curve le cui equazioni in coordinate polari sono:

( )ϑ ρ cos1+= a , ( )ϑ ρ cos1−= a

( )ϑ ρ sin1+= a , ( )ϑ ρ sin1−= a

Dove π ϑ 20 ≤≤ vengono dette cardioidi, in quanto il loro grafico ha la forma di cuore.

Le funzioni ( ) ( )ϑ ϑ cos1±= a f e ( ) ( )ϑ ϑ sin1±= ag sono rispettivamente simmetriche

rispetto all'asse x e all'asse y. Infatti risulta ( ) ( )ϑ ϑ f f =− e ( ) ( )ϑ ϑ π gg =−

2. Le equazioni

ϑ ρ 2cos22 a= , ϑ ρ 2cos22 a−=

ϑ ρ 2sin22 a= , ϑ ρ 2sin22 a−=

rappresentano curve a forma di eliche centrate nell'origine chiamate lemniscate.

Si osserva che le funzioni ( ) ϑ ϑ 2cos2

a f ±= sono simmetriche rispetto all'asse x e all'asse y.Infatti ( ) ( )ϑ ϑ π f f =− .

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Le funzioni ( ) ϑ ρ ϑ ρ 2sin, 22 aG ±= sono simmetriche rispetto all'origine;

infatti è ( ) ( )ϑ ρ ϑ ρ ,, GG =− .

3. Le equazioni

ϑ ρ a= 0≥a , ϑ ρ a= 0≤a

rappresentano spirali, note come spirali di Archimede, che si avvolgono intorno all'origine,

rispettivamente nel verso antiorario ( )0≥ϑ e nel verso orario ( )0≤ϑ

Osservazioni

i. L’equazione ( )ϑ f f = in coordinate polari ha nel piano xy lo stesso grafico della coppia di

equazioni parametri

( ) ϑ ϑ cos f x = , ( ) ϑ ϑ sin f y = .

Esempio la spirale ϑ ρ = ha equazioni parametriche

ϑ ϑ cos= x , ϑ ϑ sin= y .

ii. Per tracciare il grafico di una curva ( )ϑ f f = data in coordinate polari è opportuno calcolare

il valore di ρ per alcuni valori ϑ ;

trovare i punti in cui ρ e ( )ϑ f ′ sono uguali a zero;

studiare il segno di ( )ϑ f ′ ;

individuare le eventuali simmetrie.

Equazioni polari di vari tipi di rette e circonferenze

1. La retta parallela all’asse y (ovvero perpendicolare all’asse x) e passante per il punto dicoordinate ( )0,a ha equazione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


a x =

per esprimere questa equazione in coordinate polari sostituiamo θ ρ cos= x ;

ciò da

a=θ ρ cos ovveroθ

ρ cos

a=

2. La retta parallela all’asse x (ovvero perpendicolare all’asse y) e passante per il punto di

coordinate ( )b,0 ha equazione

b y =

per esprimere questa equazione in coordinate polari sostituiamo θ ρ sin= y ;

ciò da

b=θ ρ sin ovveroθ

ρ sin

b=

3. Per esprimere l’equazione di una retta passante per l’origine:

mx y =

in coordinate polari sostituiamo θ ρ cos= x e θ ρ sin= y ;

ciò da

θ ρ θ ρ cossin m= ovvero m=θ tan

da cui

0θ

marctan 0≥m

=θ ovvero 0θ θ = 0θ

π +marctan 0<m

Dove 0θ è l’angolo che la retta per l’origine forma con l’asse polare.

4. Sostituendo θ ρ cos= x e θ ρ sin= y nell’equazione nmx y += otteniamo l’equazione

generale di una retta in coordinate polari:

nm += θ ρ θ ρ cossin ovveroθ θ

ρ cossin m

n−

=

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5. Sostituendo θ ρ cos= x e θ ρ sin= y nelle equazioni delle seguenti circonferenze:

i ) ax y x 222=+ 0>a

ii ) ax y x 222−=+ “

iii ) ay y x 222=+ “

iv ) ay y x 222−=+ “

si ottengono le corrispondenti equazioni in coordinate polari:

i ) θ ρ cos2a= 0>a

ii ) θ ρ cos2a−= “

iii ) θ ρ sin2a= “

iv ) θ ρ sin2a−= “

Ovviamente l’equazione in coordinate polari della circonferenza 222 a y x =+ è

a= ρ 0>a

Osservazione

L’equazione ( )θ ρ f = in coordinate polari ha nel piano xy lo stesso grafico della curva di

equazioni parametriche

( ) θ θ cos f x = ( ) θ θ sin f y =

Per esempio la spirale 0= ρ ha equazioni parametriche

θ θ cos= x θ θ sin= y

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1

Numeri complessi

Si dice numero complesso z un’espressione della forma

y j x z +=

(detta forma algebrica del numero complesso z) dove x e y sono numeri reali chiamati

rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso e si indicano con:

zImy , zRe == x

j è il simbolo dell’unità immaginaria che soddisfa la condizione

( j )2

= 1

Il numero complesso

y j-xz =

è il coniugato di

y jx += z

Due numeri complessi

y jx e y jx 222111 +=+= z z

sono uguali se e solo se 1x = 2x e y1 = y2 ovvero se e solo se

Rez1 = Rez2 e Imz1 = Imz2

Pertanto un numero complesso z è uguale al suo complesso coniugato z se e solo se z è

un numero reale.

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2

Un numero complesso y j x z += è rappresentato nel piano XOY da un punto P di

coordinate (x,y) o da un vettore la cui origine si trova nel punto O(0,0), il cui estremo nel

punto P(x,y).

La lunghezza ρ del vettore (P-0) è chiamata modulo del numero complesso e si indicacon z :

22 z y x +== ρ

Da cui

.zIm ;zRe z y z x ≤=≤=

L’angolo θ che il vettore (P-0) forma con la direzione positiva dell’asse X è chiamato

argomento del numero complesso e si indica con θ = Arg z ; l’argomento di un numero

complesso è determinato in modo non univoco, cioè a meno di multipli interi di 2π :

Arg z = arg z + 2k π ,...2,1,0 ±±=k

dove arg z è il valore principale di Arg z definito dalle condizioni:

π π zarg ≤<−

tali che:

arg z =

0y0,xse

2

0y0,xse 2

0y0,xse arctan

0y0,xse arctan

0xse arctan

<=−

>=

<<+−

≥<+

>

π

π

π

π

x

y

x

y

x y

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3

valgono le sguenti condizioni

2222 yx

x

z

x z)cos(Arg ,

yx

y

z

y z)sin(Arg ,

x

y z)Argtan(

+

==

+

===

Due numeri complessi z1 e z2 sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e se i

loro argomenti sono uguali oppure differiscono per multipli interi di 2π :

2,...1,0,k 2k zArgzArg ,zz 2121 ±±=+== π

Siano dati due numeri complessi y jx e y jx 222111 +=+= z z

La somma dei due numeri complessi dati è il numero complesso

);y(y j)x(x 212121 +++=+ z z

La differenza dei due numeri complessi dati è il numero complesso

);y(y j)x-(x 212121 −+=− z z

il prodotto dei due numeri complessi dati è il numero complesso

);yxy(x j)yy-x(x 1221212121 ++= z z

da cui

2222 zz ==+= y x z z

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4

Si dice quoziente della divisione del numero complesso z1 per un numero complesso

z2 ≠ 0 un numero complesso z tale che l’equazione z1 = z1z sia soddisfatta; vale la

formula

2

2

21

22

21

2

1

z

z

z

z z

z

z

z

z==

In particolare è

2

z

z

z

z1==

z z

La parte reale Rez e quella immaginaria Imz del numero complesso z si esprimono

mediante i numeri complessi coniugati nel modo seguente:

Rez = ,2

z z +Imz = j

j

z z z z

22

−=

−

Non è difficile dimostrare che

2

1

2

121212121

z

z ,z ,

z

z z z z z z z z =

=+=+

Dimostriamo che 2121 z z z z =

Infatti è

2

2

2

1221121212121

2

21 ))(())(())(( z z z z z z z z z z z z z z z z ====

Poiché i moduli sono non negativi, il risultato segue prendendo le radici quadrate di ambo i

membri.

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5

Dimostriamo ora la disuguaglianza triangolare:

2121 z z z z +≤+

Abbiamo

( )2

2121

2

2

2

1

21

2

2

2

121

2

2

2

12121

2

2

2

1

2121221121212121

2

21

2

2zzRe2)(

)())(()()(

z z z z z z

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

+=++

=++≤++=+++

=+++=++=++=+

Il risultato precedente può essere esteso, per induzione, per dimostrare che

...... 11 nn z z z z ++≤++

Se nella disuguaglianza si sostituisce z1 con z1 - z2 si ottiene

2211 z z z z+−≤

da cui 2121 z z z z −≥−

Ogni numero complesso y j x z += 0)(z ≠ ammette la rappresentazione trigonometrica

zArg ,z dove ) jsin(cos z 21 ==+= θ ρ θ θ ρ

Supponiamo che i due numeri complessi z1 e z2 siano dati in forma trigonometrica:

) jsin(cos z ,) jsin(cos z 222111 θ θ ρ θ θ ρ +=+=

Allora

)]sin()cos([zi)z 21212121 θ θ θ θ ρ ρ +++= j

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6

Cioè moltiplicando due numeri complessi i loro moduli si moltiplicano e gli argomenti si

sommano:

;zArgArg)Arg( , 21212121+== z z z z z z z

)]sin()cos([z

z ii) 2121

2

1

2

1 θ θ θ θ ρ

ρ −+−= j

da cui

21

2

1

2

1

2

1 zArg-Argz

zArg ,

z

z z

z

z=

=

L’elevazione di un numero complesso

) jsincos( z θ θ ρ +=

Alla potenza n-esima è data dalla formula

])(n jsin)(n[cos zn θ θ ρ +=n

Cioè

2,...1,0,k k 2nArg Arg , ±±=+== π z z z z n

n

n

Segue dalla formula di Moivre

)(n jsin)(ncos) jsin(cos θ θ θ θ +=+n

da cui

)(n jsin-)(ncos) jsin-(cos) jsin(cos θ θ θ θ θ θ ==+− nn

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7

Se definiamoθ je come segue

θ θ θ jsincos += je

da quanto precede si deduce che ogni numero complesso 0z ≠ può essere scritto in forma

esponenziale

zArg e z dove === θ ρ ρ θ je z

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8

Radici n-esime

Sia z un numero complesso diverso da 0 :

zArg e z dove === θ ρ ρ θ je z

Allora le n soluzioni dell’equazione

z=n

w

Sono per definizione le radici n-esime del numero complesso z.

Se scriviamo w in forma esponenziale :

wArg e w dove === α α r rew

j

l’equazione precedente diventa

θ α ρ j jn ee =nr

da cui

2,...1,0,k n

2k e ±±=

+==

π θ

α ρ

nr

Dove si è tenuto presente che due numeri complessi sono uguali se e solo se i loro moduli

sono uguali )(rn ρ = e i loro argomenti differiscono per multipli interi di 2π

2,...).1,0,k 2( ±±==− π θ α k n

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9

Quindi tutte le radici n-esime di θ ρ je z = sono date da

2,...1,0,k w

2

k ±±==

+

n

k j

n e

π θ

ρ

Poiché l’equazione precedente, per k = m + n da lo stesso risultato di k = m, basta

prendere n valori consecutivi di k per ottenere le n differenti radici n-esime ; per

comodità si sceglie k = 0, 1,…, n-1 .

I punti corrispondenti ai valori di n z , costituiscono i vertici di un poligono regolare di n

lati inscritto in una circonferenza di raggio nr ρ = con centro nell’origine delle coordinate.

La radice n-esima di un numero reale a possiede anche n valori distinti, di cui neesistono due, uno o nessun valore reale a seconda della parità/disparità del numero n e

del segno di a.

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10

funzioni di una variabile complessa

Limiti e continuità

Indicata con jy x z += una variabile complessa, abbiamo visto che i suoi valori si

rappresentano con i punti P(x,y) in un piano dove sia stato fissato un sistema di assi

cartesiani ortogonali x,y (piano complesso). Sia dato su tale piano un aperto (limitato o

meno) ed esiste una legge, che faccia corrispondere ad ogni punto z di un numero

complesso w . Diremo allora che w è una funzione dalla variabile complessa z definita su

e scriveremo

)( z f w = Ω∈ z

Resta inteso che, almeno per ora, ad ogni Ω∈ z corrisponde uno ed un solo valore w ,

cioè che la funzione sia ad un sol valore o, come anche si dice, monodroma.

Successivamente parleremo anche di funzioni a più valori o polidrome.

È evidente che una funzione )( z f w = equivale ad una funzione complessa delle due

variabili reali x e y ; perciò in luogo di )( z f w = scriveremo anche ),( y x f w = .

Posto poi w = u + j v con u e v reali, la funzione )( z f w =

può identificarsi con la seguente coppia ordinata di funzioni reali delle due variabili x e y :

u=u(x,y) ; v=v(x,y)

dove u(x,y) = Re f(z) e v(x,y) = Im f(z).

Il concetto di limite per una funzione )( z f w = discende immediatamente dal considerare

w come una funzione delle due variabili reali x e y . Pertanto se z0 è un punto di

accumulazione di diremo che:

jB A L z f z z

+==→

)(lim0

quando, comunque si prefissi ε > 0, esiste in corrispondenza ad esso un numero

0)( >= ε δ δ tale che, per tutti i punti z di per i quali sia verificata la relazione

δ <−< 00 z z , risulti

.)( ε <− L z f

Per quanto riguarda il concetto di continuità, )( z f è continua nel punto z0 di quindi si ha:

);()(lim 00

z f z f z z

=→

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11

dire che )( z f è continua in significa che lo è in ogni punto di .

In altre parole, una funzione )( z f definita in un aperto è continua se per ogni Ω∈0 z e

per ogni numero ε > 0 si può trovare un numero 0),( 0 >= zε δ δ tale che per tutti i punti z

di che verificano la relazione δ <− 0 z z , vale la disuguaglianza

.)()( 0 ε <− z f z f

Non è difficile verificare che una funzione di una variabile complessa

),(),()( y xv j y xu z f += Ω∈ z

è continua in z0 = x 0 + jy 0 Ω∈ , se e solo se le funzioni u(x,y) e v(x,y) siano continue nel

punto (x 0 ,y 0 ).

Infine dati i limiti

A z f z z

=→

)(lim0

; B zg z z

=→

)(lim0

risulta

[ ] B A zg z f z z ±=±→ )()(lim0

AB zg z f z z

=→

)()(lim0

B

A

zg

z f

z z=

→ )(

)(lim

0

0≠ B

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12

Il piano complesso dotato di punto all'infinito (sfera complessa)

Sia f(z) una funzione definita in un dato aperto connesso Ω . Se Ω è illimitato

si presenta in modo naturale la questione di studiare il comportamento di f(z)quando il punto z, variando in Ω si allontana indefinitamente . Per un tale

studio consideriamo la sfera che ha centro nell'origine O e raggio 1 e diciamo N

il punto in cui essa interseca il semiasse positivo u. Se P è un punto qualsiasi

del piano ( x,y ), la retta per N e P incontra ulteriormente la sfera in uno ed un

solo punto P' diverso da N.

Viceversa , preso un punto P' della sfera diverso da N , la retta NP' incontra il

piano ( x,y ) in uno ed un solo punto P. Nasce così una corrispondenza biunivocafra i punti P de l piano ( x,y ) ed i punti P' della sfera , con un'unica eccezione : il

punto N della sfera non ha una corrispondente sul piano ( x,y ).

Ne deriva , pensando P come immagine di un numero complesso z , che la totalità

dei numeri complessi può anche essere rappresentata dai punti della sfera

predetta privata del punto N.

Allo scopo di eliminare quest'eccezione, possiamo osservare che ai punti P' della

sfera vicinissimi a N corrispondono punti P del piano molto lontani dall'origine ,cioè numeri complessi z di modulo grandissimo ; da quest'osservazione risulta

ovviamente l'opportunità di far corrispondere al punto N della sfera il valore ∞

della variabile complessa z.

Perciò d'ora in poi penseremo aggiunto al piano complesso un unico punto all'infinito

da pensarsi come immagine di ∞= z ; per questa sfera si usa il termine sfera

complessa.

In tale rappresentazione il numero∞=

z ha come immagine il punto N ed ogni calottasferica ( aperta ) contenente N è per definizione un intorno circolare di ∞= z

Passando al piano complesso , a tale calotta corrisponde ranerto_costituito dai punti

esterni da un cerchio, pertanto nel piano complesso un intorno circolare di ∞= z è

l'aperto costituito dai punti esterni ad un qualsiasi cerchio.

Questi intorni circolari di ∞= z , considerati nel piano complessi senza punto

all'infinito, sono campi non semplicemente connessi;considerati invece nel piano

complesso con punto all'infinito risultano essere semplicemente connessi( come gliintorni circolari di qualsiasi altro punto ). Ci si convince subito di ciò pensando alle

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13

corrispondenti immagini sulla sfera complessa.

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14

)2sin()2cos(sincos π π k y jk y y j y +++=+

jk z z ee π 2+=

)sin(cos y j yeeeeewx jy x jy x z

+====+

1= ze 1−=

ze

1 Funzione Esponenziale

La funzione esponenziale complessa è definita dall’equazione

da cui tenuto presente che:

segue che:

così che la funzione esponenziale z

e è periodica ed ha periodo 2π j; in altre parole ogni

valore che la funzione z

e può assumere è assunto nella striscia infinita -π < y ≤ π o in

qualsiasi altra striscia ottenibile da questa per traslazione parallela.

Da quanto precede segue che le soluzioni delle equazioni:

sono rispettivamente: j1)(2k ze j2k z π π +== ,....2,1,0 ±±=k

2 Funzioni trigonometriche

Le definizioni di seno e coseno sono estese al piano complesso nel modo seguente:

Essendo

segue che:

,...2,1,0 ±±=k

2cos

2sin

jz jz jz jz ee z

j

ee z

−−+

=−

=

x y j x yee j

zy jx y jx cossinhsincosh)(

2

1sin +=−=

+−−

x y y x y x z 222222 sinsinhcoshsinsinhcossin +=+=

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15

1sincos

22=+

z z

212121 sincoscossin)sin( z z z z z z ±=±

z z z 22 sincos2cos −= z z z cossin22sin =

π π k z jk jze zjz

=⇔=⇔=⇔= 2210sin 2

Dalla relazione precedente si evince che la funzione sin z non è limitata a meno che z non

sia reale. Analogamente si deduce che cos z non è limitata. Non è difficile dimostrare le

identità fondamentali:

(1)

(2)

(3)

Tutte le identità elementari della trigonometria valgono anche per le funzioni

trigonometriche di una variabile complessa e si deducono algebricamente dalle relazioni

(1), (2) e (3) precedenti.

Per esempio ponendo z z z == 21 nella (2) e (3) si ottengono rispettivamente le identità:

Si osservi che:

dove k = 0, ±1, ±2,….

212121 sinsincoscos)cos( z z z z z z m=±

2)12()12(210cos 2 π π +=⇔+=⇔−=⇔= k z jk jze z jz

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16

2sinh

z z ee z

−−

=

z jz jz z coscosh,coscosh ==

1sinhcosh22

=− z z

212121 sinhsinhcoshcosh)cosh( z z z z z z ±=±

212121 sinhcoshcoshsinh)sinh( z z z z z z ±=±

z z z z z z coshsinh22coshsinhcosh2cosh 22=+=

2

12coshsinh

2 −

=

z

z

jk zk jz jz z π π −=⇔=⇔=⇔= 0sin0sinh

jk z z; jk z z π π

=⇔=+=⇔= 0sinh2

)12(0cosh

3 Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche di una variabile complessa sono definite allo stesso modo come

per le variabili reali:

Si verifica facilmente che:

e che valgono le seguenti identità

In particolare è:

Da cui:

Si osservi che:

Da cui, tenendo presente che k= 0, ±1, ±2,…., si evince che:

2cosh

z z ee z

−+

=

z j jz jz z sinsinh,sinsinh =−=

2

12cosh

cosh2 +

=

z

z

jk zk jz jz z2

)12(2

)12(0cos0coshπ π

+−=⇔+=⇔=⇔=

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17

we z zw =⇔= Ln

uer =

4 Funzione logaritmo

Se z è un numero complesso diverso da zero, il logaritmo complesso di z è il numero

complesso w che soddisfa la relazione:

Sia w = u+jv e scriviamo z in forma trigonometrica:ϑ j

re z = dove ϑ=arg z ∈(-π; π] e

r =| z |

Allora:

Da se e solo se zr u lnln == segue che:

Pertanto la funzione

è una funzione ad infiniti valori. In altre parole:

supponiamo di partire da un punto z≠0 per il quale | z |=r e ϑ=arg z ∈(-π; π] , allora

Dopo aver compiuto nel verso positivo (antiorario) un giro completo intorno all’origine,

ritornando in z risulta | z |=r e ϑ=arg z +2π per cui

Dopo k giri intorno all’origine si ha:

,...2,1,02e ±±=+==⇔=⇔==+ k k ver eereee z u jvu j jvuw π ϑ ϑ

)2(||ln π ϑ k j zwe zw

++=⇔= ,...2,1,0 ±±=k

)2(||lnLn π ϑ k j z zw ++== ],(arg π π ϑ −∈= z

z z j z z lnarg||lnLn =+=

).2(arg||lnLn π ++= z j z z

).2(arg||lnLn π k z j z z ++=

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

Poiché gli infiniti valori di si ottengono compiendo giri successivi intorno all’origine si

dice che z = 0 è un punto di diramazione e che ognuna delle infinite funzioni (ad un solo

valore)

è un ramo di .

Il ramo corrispondente a z z lnLn = cioè

è detto ramo principale.

Esempio.

Sono valide le relazioni:

5 Funzione Potenza

Se z e w sono due numeri complessi qualsiasi con w ≠0, chiamiamo valore principale delle

potenze zw , il numero univocamente determinato dall’equazione:

zln

)2(||ln π ϑ k j zw ++= zarg=ϑ ,...2,1,0 ±±=k

zw Ln=

ϑ j z z z +== ||lnlnLn ],(arg π π ϑ −∈= z

( ) ( ) ( )

( ) π

π π π π

π π

π π

π π

j

k jk j

j j j j

k k jk j j j Ln

=−

+=++=−

=+=

±±=+=++=

1ln

221ln1ln

22||lnln

,...2,1,0)22

()22

(||ln

21

2

1

2121 LnLn)(LnLn)( z z z

z Lne z z z z Ln −=+=

w z z ew ln=

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

dove ln w è il valore principale di Ln w . Scegliendo altri valori di Ln w si ottengono altri

valori della potenza, che sono tutti contenuti nella formula

In particolare denota infiniti numeri reali:

la cui parte principale è 2 -

e

π

6 Funzione k zw =

Per semplicità limitiamo le nostre considerazioni alla funzione

zw = Scrivendo z in forma trigonometrica: ϑ j

er z = zr = zarg=ϑ si ottiene

2

ϑ jer w = π ϑ 20 <≤

Se a partire dal punto z si compie un giro completo in senso antiorario attorno all’origine

alla fine del giro si ottiene

( )wer er er w

j j j≠−===

++

222

)2(

1

ϑ ϑ π ϑ π

Se si compie un giro completo in senso antiorario attorno all’origine una seconda volta,

alla fine del secondo giro otteniamo i valore iniziale

( )wer er er w

j j j=−===

++

222

)4(2

2

ϑ ϑ π ϑ π

.

Pertanto il punto z = 0 è un punto di diramazione della funzione zw = e poiché dopo due

giri completi si ritrova il primo valore ( dopo di che il ciclo si ripete ), ne consegue che

zw = è una funzione a due valori e i rami corrispondenti sono

w z jk w z z eew Ln)2(ln==

+ π

j j

)22

()22

()2(ln

π π

π π

π k jk j j

jk j j j eee j+−+

+===

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

2

ϑ j

er w = π 20 <≤

che corrisponde al ramo principale e

)(2

π ϑ +

=j

er w π 20 <≤ oppure 2 j

er w

ϑ

−= π ϑ π 42 <≤ .

Se )( z f w = è una funzione a più valori (ovvero rappresenta più funzioni ) e si vuole

considerare una singola funzione ad un sol valore, generalmente si considera il ramo

principale corrispondente all’intervallo principale π ϑ 20 <≤ ( π π <≤− ). Se l’intervallo

principale è [0 ;2π) il risultato voluto si raggiunge erigendo una barriera ( detta retta di

diramazione )rappresentata dal semiasse positivo delle x . Se per si sceglie un

intervallo diverso, la retta di diramazione sarà qualche altra semiretta del piano con origine

il punto di diramazione.

Per alcune applicazioni ( come vedremo più avanti ) si considera la linea in figura.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

Derivazione Complessa

Sia )( z f w = una funzione ad un sol valore della variabile complessa z , definita in un

dominio D (aperto connesso) del piano complesso. Per definire il concetto di derivata di

una tale funzione utilizzeremo la stessa definizione che si dà per le funzioni reali di unavariabile reale, definite in intervalli.

Sia z un punto fissato in D e y j x z ∆+∆=∆ un incremento di z tale che z z ∆+ stia

ancora in D . Consideriamo il rapporto incrementale:

( ) ( ) ( ) ( )( ) y j x

y xv y y x xv j y xu y y x xu

z

z f z z f

∆+∆

−∆+∆++−∆+∆+=

∆

−∆+ ,,,,)()(

ed il suo limite per 0→∆ z oppure per ( ) ( )0,0, →∆∆ y x .

Se tale limite esiste (indipendentemente dal modo in cui 0→∆ z ), diremo che f è

derivabile nel punto z ed assumeremo il valore di tale limite, che sarà indicato con )(' z f ,

come la derivata di f nel punto z . È ovvio che

0

000

00

)()(

lim

)()(

lim)('0 z z

z f z f

z

z f z z f

z f z z z −

−

=∆

−∆+

= →→∆ .

Osserviamo subito che ogni funzione derivabile in un punto z è ivi continua. Infatti da

z z

z f z z f z f z z f ∆

∆

−∆+=−∆+

)()()()(

segue che

00)(')()(lim0

=⋅=−∆+→∆

z f z f z z f z

Supponiamo che f sia derivabile in D (cioè in tutti i punti di D ); allora ad ogni D z ∈ resta

associato il valore della derivata )(' z f e questa è ovviamente una nuova funzione (ad un

sol valore) definita in D .

Per la derivata sono usate anche le notazioni:

)( z Df , )(' z f ,dz

df

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

Le derivate di ordine superiore si definiscono ovviamente nello stesso modo, per esempio

è

z

z f z z f z f

z ∆

−∆+=

→∆

)(')('lim)(''

0.

Sottolineiamo il fatto che l’esistenza del limite

z

z f z z f

z ∆

−∆+

→∆

)()(lim

0

non dipende dal modo con cui 0→∆ z , pertanto se risulta:

z

z f z z f

z

z f z z f

y x

y x ∆

−∆+≠

∆

−∆+

=∆

→∆

→∆

=∆

)()(lim

)()(lim

00

00

allora si deve concludere che f non è derivabile in z .

Esempi.

Sia n z z f =)( dove n è un intero positivo; allora:1)(' −

=nnz z f C∈∀ z .

Infatti risulta

123221 ......)()( −−−−−

+++++=−

−=

−

− nnnnnnn

a za zaaz za z

a z

a z

a f z f

da cui, passando al limite per a z → , si ottiene

1)(' −=

nnaa f .C a /∈∀

Sia 22)( y x z z f +== e .000 jy x z += Essendo

)]()[()()(

)()(002

0

2

0

2

0

2

0

22

0

0 y y j x x y y x x

y x y x

z z

z f z f −−−

−+−

+−+=

−

−

segue che

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23

2

0

2

0

0

0

0 )()(lim

0

0 y x

y j

z z

z f z f

y y x x

+

−=−

−

→

=

00 ≠ z

2

0

2

0

0

0

0 )()(lim

0

0

y x

x

z z

z f z f

x x

y y +

=−

−

→

=

00 ≠ z

Poiché i limiti precedenti sono diversi, per quanto osservato in precedenza, si evince che

la funzione z z f =)( non è derivabile in .0−/C

Infine, osservato che nel caso in cui è 00 = z , risulta

x

x

z

z f

x x y 0

00

lim)(

lim→

→

=

=

possiamo concludere che la funzione z z f =)( non è derivabile in .C /

Analogamente si dimostra che la funzione z z f =)( non è derivabile in .C /

Procedendo come nel caso delle funzioni reali si dimostra che nei punti in cui f e g sono

entrambi derivabili risulta:

a) '')'( g f g f +=+ ;

b) '')'( fgg f fg += ;

c) 2 ''g

fgg f g f

−=

′

ovviamente la c) vale solo nei punti in cui è g (z )≠0.

Se f è derivabile in a e g è derivabile in f(a), allora h(z)=g[f(z)] è derivabile in a e risulta:

)()(' adz

dw

dw

dgah = dove w = f(z).

Inoltre si dimostra che:

z zdz

d cossin = ; senz z

dz

d −=cos ; z z ee

dz

d =

e così via.

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UNIVERSITA’ POLITECNICA DELLE MARCHE

FACOLTA’ di INGEGNERIA

DIPARTIMENTO di SCIENZE MATEMATICHE

ANALISI II – CALCOLO DIFFERENZIALE

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


Università Politecnica delle Marche – Facoltà Ingegneria – Dipartimento Scienze Matematiche

DERIVATE PARZIALI

1. DEFINIZIONE

Le derivate parziali prime di una funzione rispetto alle variabili x e y sono le funzioni

e date da

),( y x f

),(1 y x f D ),(2 y x f D

),(1 y x f D =h

y x f yh x f

h

),(),(lim

0

−+→

),(2 y x f D =k

y x f k y x f

k

),(),(lim

0

−+→

a condizione che tali limiti esistano.

Si osservi che è proprio la derivata prima di considerata come funzione solo di x,interpretando y come un parametro costante.

),(1 y x f D ),( y x f

In modo analogo la funzione è la derivata prima di considerata come funzionesolo di y, cioè con x tenuto fisso.

),(2 y x f D ),( y x f

Gli indici “1” e “2” usati per la notazione delle derivate parziali specificano la “prima” variabile e la“seconda” variabile di f .

La derivata parziale misura la rapidità di variazione di rispetto a x nel punto (a,b),mentre y è mantenuto fisso uguale a b. In termini grafici la superficie z = interseca il pianoverticale y = b lungo una curva. Se prendiamo come assi coordinati del piano y = b la rettaorizzontale e la retta verticale passanti per il punto (0, b, 0), allora l’equazione della curva è z =

e la sua pendenza in x = a è . (vedi figura 1)

),(1 ba f D ),( y x f

),( y x f

),( b x f ),(1 ba f D

Analogamente rappresenta la rapidità di variazione di f rispetto a y in y = b nel punto(a,b) mentre x è mantenuto costante uguale ad a. La superficie z = interseca il piano

verticale x = a lungo una curva z = la cui pendenza in y = b è . (vedi figura 1)

),(2 ba f D

),( y x f

),( ya f ),(2 ba f D

Figura 1

1

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Notazioni delle derivate parziali prime

Per indicare le derivate parziali prime di z = si possono usare varie notazioni:),( y x f

x

z

∂

∂=

∂

∂= f ),( y x f x ( x, y) = ),(1 y x f D

y

z

∂

∂=

y∂

∂),( y x f = f y ( x, y) = ),(2 y x f D

Il simbolo “ x z ∂∂ ” si legge “derivata parziale di z rispetto a x. ”

I valori delle derivate parziali in un punto particolare (a, b) sono indicati in modo simile:

),( ba x

z

∂

∂=

),(

),(ba

y x f x

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂= f x (a, b) = ),(1 ba f D

),( ba y

z

∂

∂=

),(

),(ba

y x f y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂= f y (a, b) = ),(2 ba f D

Tutte le regole standard di derivazione delle somme, prodotti, reciproci e quozienti di funzioni diuna variabile continuano a valere per le derivate parziali.

Esempio 1.1

Se: y x y x y x z sin)ln( 22223 +++=

Allora :

y x y x

x y x

x

z sin2

23

2222 +

++=

∂

∂

y x y x

y y x y

z

cos2

22

223

+++=∂

∂

2

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Esempio 1.2

Determinare ∂z/∂x e ∂z/∂y dove .)sin( 34 xy x z = Svolgimento:

).cos(30)sin()cos(3

)()sin()][sin()]sin([

);sin(4)cos()()sin()][sin()]sin([

3253324

433434

33334433434

xy y x xy xy xy x

x y

xy xy y

x xy x y y

z

xy x xy y x x x

xy xy x

x xy x x x

z

=⋅+

=∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

+=∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

Esempio 1.3Supponiamo che un punto Q si muova lungo l’intersezione della sfera con il

piano x = 2. A che velocità sta variando z rispetto a y quando il punto si trova nella posizione

P(2,1,2)?

9zyx 222 =++

Figura 2

Svolgimento:

Dato che la coordinata z del punto P(2,1,2) è positiva, questo punto giace sulla semisfera superiore:22 yx1z −−= ,

e dunque per ogni valore fissato di x, la rapidità di variazione di z rispetto a y sulla semisferasuperiore è:

.yx9

y])yx9[(

yy

z22

2/122

−−−=−−

∂

∂=

∂

∂

In particolare, se x = 2 (vedi figura 2), allora dall’equazione appena trovata segue che la rapidità divariazione di z rispetto a y nel punto P è:

.2/1y

z

)1,2(

−=∂

∂

Il successivo esempio mostra che l’esistenza delle derivate parziali non implica la continuità.

3

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Esempio 1.4

La funzione

( )( ) ( )

( ) (⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0,0

0,0,,

22

y x

y x y x

xy

y x f

)

)

è discontinua in , ma ha derivate parziali in( 0,0 ( )0,0 ; queste derivate sono ( ) 00,0 = x f e

. La discontinuità è nota; i valori delle derivate parziali nel punto si ottengono

utilizzando la definizione ed osservando che

( ) 00,0 = y f ( 0,0 )

( ) ( ) ( ) ( ) 00,0,0,00,00, =−=− y

f y f x

f x f

4

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



2. DERIVATE PARZIALI DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO

Dal momento che le derivate parziali xf ∂∂ e yf ∂∂ sono funzioni delle variabili x e y, ognuna diesse può avere derivate parziali. Ciò dà origine a quattro possibili derivate parziali seconde di f ,che sono così definite:

• derivate parziali seconde pure, rispetto a x o a y,

);,(),(

);,(),(

222

2

112

2

y x f D y x f y

z

y y

z

y x f D y x f x

z

x x

z

yy

xx

==∂

∂

∂

∂=

∂

∂

==∂

∂

∂

∂=

∂

∂

• derivate parziali seconde miste, rispetto a x e y,

);,(),(

);,(),(

12

2

21

2

y x f D y x f x

z

y y x

z

y x f D y x f y

z

x y x

z

xy

yx

==∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

==∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

Si osservi che indica che si deve derivare prima rispetto ad y oppure rispetto alla

seconda variabile e dopo rispetto a x oppure rispetto alla prima variabile. indica l’ordine

di derivazione opposto.

f D f yx 21=

f D f xy 12=

Analogamente, se , allora:),,( z y x f w =

),,(),,( 2212

3

z y x f D z y x f y

w

y x y x

w yyx ==

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

Esempio 2.1

Tenuto conto dell’esempio 1.1 si ha:

;cos2)(

46

;cos2)(

46

2222

2

2222

2

y x y x

xy y x f

y x

z

y x y x

xy y x f

x y

z

yx

xy

++

−==∂∂

∂

++

−==∂∂

∂

Nell’esempio precedente si constata che le due derivate parziali miste rispetto alle stesse variabili,ma in ordine diverso, sono uguali. Questo risultato non è fortuito, ma si verifica tutte le volte che lederivate parziali implicate sono continue. Il teorema seguente enuncia in modo preciso questa

importante proprietà, più precisamente fornisce una condizione sufficiente per l’uguaglianza dellederivate parziali miste.

5

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



TEOREMA 2.1

Sia f un campo scalare tale che le derivate parziali f D f D f D f D 211221 ,,,

esistono in un aperto Ω del piano xy. Se (a, b) è un punto di Ω in cui e sono continue

allora

f D12 f D21

( ) ( )ba f Dba f D ,, 2112 = .

L’esempio che segue mostra che se una funzione ( ) y x f , a valori reali ha le due derivate parzialimiste

y

f

x f D

∂

∂

∂

∂=12 e

x

f

y f D

∂

∂

∂

∂=21

queste non sono necessariamente uguali.

Esempio 2.2 Per la funzione

( )22

22

, y x

y x xy y x f

+

−= ( ) ( )0,0, ≠ y x e ( ) 00,0 = f

risulta e . Infatti è( ) 10,021 = f D ( ) 10,012 −= f D

( )( ) ( )

h

f Dh f D f D

h

0,00,lim0,0 22

021

−=

→

essendo( ) hh f D =0,2 e ( ) 00,02 = f D

segue che ; analogamente si ha( ) 10,021 = f D ( ) 10,012 −= f D .

Nell’esempio ora considerato, per il teorema precedente, entrambe le derivate parziali miste e

non sono continue nell’origine.

f D12

f D21

Si osservi che:

222

2

22

22

1

)(

4),(

y x

xy xy

y x

y x y y x f D

++

+

−= )0,0(),( ≠ y x

0)0,0(1 = f D )0,0(),( = y x

Scambiando x con y in –D1 f(x,y) si ottiene:

))(

4(),(

222

2

22

22

2 y x

yx xy

y x

x y x y x f D

++

+

−−=

))(

4),( 222

2

22

22

2 y x

yx xy

y x

y x x y x f D +−+

−= )0,0(),( ≠ y x

6

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



0)0,0(2 = f D )0,0(),( = y x

1lim

)0,0(),0(

lim)0,0(0

11

012 −=−=

−

=→

→ k

k

k

f Dk f D

f Dh

h

1lim)0,0()0,(

lim)0,0(

0

22

021 ==

−=

→

→ h

h

k

f Dh f D f D

h

h

Per derivazioni successive, possiamo ottenere derivate parziali terze oppure derivate parziali diordine superiore. Alcune possibilità sono:

;,2

2

3

2

2

3

3

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

x y

f

y x y

f

x

f

x x

f

.,2

3

22

4

2

2

2

3

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

x y

f

y x y

f

x

f

y x y

f

Derivate parziali di ordine superiore al primo possono essere denotate in modo più compatto tramite

la notazione con pedice. Ad esempio:

( ) ( ) .2

y x x f f y x

f

y x y

f =

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

Solitamente le parentesi si omettono e si scrive semplicemente:

.2

xy f x y

f =

∂∂

∂

Notare che nella notazione “∂” la sequenza delle differenziazioni è ottenuta leggendo da destraverso sinistra, mentre nella notazione con pedice essa è da sinistra verso destra. Ulteriori esempisono:

.,,22

4

2

3

2

2

x y

f f

y x

f f

x

f f xxyy yyx xx ∂∂

∂=

∂∂

∂=

∂

∂=

7

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



4. DEFINIZIONE

In ogni punto dove le derivate parziali prime della funzione esistono, il vettore

gradiente è definito mediante la relazione

),( y x ),( y x f

),( y x f ∇

),( y x f ∇ = grad ),(),( 1 y x f y x f = i ( ) y x f ,2+ j

Ricordiamo che i e j indicano i vettori unitari della base standard che collegano l’originerispettivamente con i punti (1,0) e (0,1). Il simbolo ∇ chiamato del o nabla, è un operatore

differenziale vettoriale:

=∇ i x∂

∂+ j

y∂

∂

Possiamo applicare questo operatore a una funzione scrivendo l’operatore alla sinistra della

funzione. Il risultato è il gradiente della funzione

),( y x f

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=∇ ),(),( y x f

y x y x f ji ( ) ( ) ji y x f y x f ,, 21 +

4.1 PROPRIETA’ DEL GRADIENTE

Siano f e g campi scalari differenziabili in un aperto connesso D, allora:

22112211 )()1 f f f d f d ∇+∇=+∇ α α

f g g f fg ∇+∇=∇ )()2

f f n f nn ∇=∇ −1)()()3

2)()4

g

g f f g

g

f ∇−∇=∇ 0≠ g

9

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



1. DIFFERENZIABILITA’ DI FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Ricordiamo che una funzione f di una variabile è detta differenziabile i se esiste la sua derivata

in o, in altre parole, se il limite0 x

0 x

( )( ) ( )

x

x f x x f x f

Δ

−Δ+= 00

0 lim' (1)

esiste. Una funzione f che è differenziabile in un punto gode di due importanti proprietà:0 x

i) è continua in ;( ) x f 0 x

ii) la curva ha una retta tangente non verticale in .( ) x f y = 0 x

Il nostro obiettivo primario in questo paragrafo è di estendere la nozione di differenziabilità a

funzioni di due variabili in modo che quando ( ) y x f , sia differenziabile in ( )00 , y x risulti:

i) continua in ;( y x f , )

)( )00 , y x

ii) la superficie abbia un piano tangente non verticale in( y x f z ,= ( )00 , y x (vedi figura 1; la

definizione di piano tangente sarà data in seguito).

Sarebbe ragionevole supporre che una funzione f di due variabili dovrebbe poter esseredifferenziabile in se è ivi continua e se le due derivate parziali e( 00 , y x ) ( )00 , y x f x ( )00 , y x f y

esistono. Sfortunatamente, queste condizioni non sono sufficienti per la differenziabilità, in quantoci sono funzioni che in un dato punto sono continue e che hanno derivate parziali ma non sonodifferenziabili.Per pervenire ad una definizione appropriata di differenziabilità per funzioni di due variabili, sarà diaiuto riesaminare il concetto di differenziabilità per funzioni di una variabile. Assumendo, per ilmomento, che f sia una funzione di una variabile differenziabile in 0 x x = , la (1) può essere riscritta

come:

( ) x

f x f

x Δ

Δ=

→Δ 00 lim'

(2)

o, ugualmente, come:

10

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) 0'lim 00

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Δ

Δ→Δ

x f x

f

x

(3)

dove

( ) ( )00 x f x x f f −Δ+=Δ

Se adesso definiamo ε come

( )0' x f x

f −

Δ

Δ=ε

(4)allora da questa formula segue che

( ) x x x f f Δε+Δ=Δ 0'(5)

dove ε è funzione di . Utilizzando la (4), il limite nella (3) può essere riscritto come: xΔ

0lim0

=ε→Δ x

(6)Le formule (5) e (6) conducono alla seguente definizione alternativa di differenziabilità per funzionidi una variabile.

DEFINIZIONE 1.1

Una funzione f di una variabile è detta differenziabile in se esiste un numero tale che0 x ( )0' x f yΔ

ovvero possa essere scritto nella forma f Δ

Δ ( ) x x x f f Δε+Δ= 0'

(7)dove ε è una funzione di xΔ tale che per 0→ε 0→Δ x .

Questa definizione di differenziabilità fornisce le basi per estendere la nozione di differenziabilità afunzioni di due o più variabili. Una interpretazione geometrica di quanto detto nella (7) è fornitadalla figura seguente:

Figura 3

11

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Il termine rappresenta la variazione in altezza di un punto che si muove lungo il grafico di f

quando l’ascissa x varia da a ; il termine

f Δ

0 x x x Δ+0 ( ) x x f Δ0' rappresenta la variazione in altezza

di un punto che si muove lungo la retta tangente nel punto ( )( )00 , x f x quando l’ascissa x varia da

a ; infine, il termine rappresenta la differenza tra0 x x x Δ+0 ε xΔ Δ f ed . È evidente

dalla figura che . Tuttavia, la (7) asserisce anche che

( ) x x f Δ0'

ε 0→Δ x 0→ε per come si evincedalla (6). Se f è una funzione di x e y allora il simbolo

0→Δ xΔ f , chiamato incremento di f , denota il

cambio di valore di che risulta quando( y x f , ) ( ) y x, varia da una posizione iniziale ad una

nuova posizione ( ; di conseguenza:

( 00 , y x )) x y x x Δ+Δ+ 00 ,

Δ f ( ) ( )0000 ,, y x f y y x x f −Δ+Δ+=

(8)

(vedi figura 3). Se si usa una variabile dipendente ( ) y x f z ,= , allora potremo scrivere z piuttostoche f .

ΔΔ

Figura 4

Con riferimento alla definizione 1.1, possiamo adesso definire la differenziabilità per funzioni indue variabili.

DEFINIZIONE 1.2

Una funzione f in due variabili è detta differenziabile in ( )00 , y x se ed( )00 , y x f x ( )00 , y x f y

esistono e f può essere scritto nella forma:Δ

( ) ( ) y x y y x f x y x f f y x Δ+Δ+Δ+Δ=Δ 210000 ,, ε ε (9)

dove ed sono funzioni di e tali che1ε 2ε xΔ yΔ 01 →ε e 02 →ε per ( ) ( 0,0, →Δ )Δ y x .

Una funzione è detta differenziabile su una regione R del piano xy se è differenziabile in ogni

punto di R. Una funzione che è differenziabile sull’intero piano xy è detta ovunque differenziabileo semplicemente differenziabile. Non è difficile verificare che la definizione precedente èequivalente alla seguente:

12

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



DEFINIZIONE 1.3

Si dice che la funzione è differenziabile nel punto se),( y x f ),( ba

0),(),(),(),(lim22)0,0(),(

=+

⋅−⋅−−++→ k h

ba f k ba f hba f k bha f y x

k h(9’)

Non è difficile dimostrare che la (9) implica la (9’) dove a = , b = , h = e k =0 x 0 y xΔ 0 yΔ

Se nella (9’) poniamo

),(),(),(),(),(

22 k hwk h

ba f k ba f hba f k bha f y x

=+

⋅−⋅−−++

dalla definizione precedente si evince:Se una funzione è differenziabile nel punto interno al suo dominio allora),( y x f ),( ba

22),(),(),(),(),( k hk hwba f k ba f hba f k bha f y x ++⋅+⋅=−++ (9’’)

dove

(2222),( k hok hk hw +⋅=+ per ;)0,0(),( →k h

Per dimostrare che la (9’) implica la (9), si osservi che

k hk k h

k k hwh

k h

hk hwk hk hw 212222

22 ),(),(),( ε ε +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=+

dove

222

221 ),(),(

k h

k k hwe

k h

hk hw

+=

+= ε ε

sono due funzioni di h e k che tendono a zero per .)0,0(),( →k h

OSSERVAZIONE.Prima di procedere oltre, è bene notare che per funzioni di una variabile i termini “è differenziabile”e “ha una derivata” sono sinonimi. Tuttavia, per funzioni in due variabili, la differenziabilitàrichiede più della semplice esistenza delle derivate parziali e della continuità. Per esempio la

funzione xy y x f =),( nel punto (0,0) è continua, ha derivate parziali ( ) ( ) 00,00,0 == y x f f ,

tuttavia non è differenziabile in (0,0). Infatti è

13

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



2222

)0,0()0,0()0,0(),(

k h

hk

k h

k f h f f k h f y x

+=

+

−−−

e il

22)0,0(),(lim

k hhk

k h +→

non esiste.

2. RELAZIONI TRA DIFFERENZIABILITA’ E CONTINUITA’

In precedenza, ci eravamo posti due obiettivi per la nostra definizione di differenziabilità.Volevamo che una funzione differenziabile in ( )00 , y x fosse anche continua in , e volevamo

che il suo grafico avesse un piano tangente non verticale in

( 00 , y x )

( )00 , y x . Il prossimo teorema mostrache l’ipotesi di continuità è soddisfatta; l’esistenza di un piano tangente non verticale saràdimostrata più avanti.

TEOREMA 2.1

Se f è differenziabile in ( , allora f è continua in)00 , y x ( )00 , y x .

Dimostrazione.Dobbiamo dimostrare che

( ) ( )00),(),(

,,lim00

y x f y x f y x y x

=→

il quale, ponendo x x x Δ+= 0 ed y y y Δ+= 0 , equivale a:

( ) ( )0000)0,0(),(

,,lim y x f y y x x f y x

=Δ+Δ+→ΔΔ

ovvero a

( ) ( ) 0lim,,lim )0,0(),(0000)0,0(),( =Δ=−Δ+Δ+ →ΔΔ→ΔΔ f y x f y y x x f y x y x

Essendo f per ipotesi differenziabile in ( )00 , y x , dalla (9) segue che:

y x y y x f x y x f f y x y x y x

Δε+Δε+Δ+Δ=Δ→ΔΔ→ΔΔ

210000)0,0(),()0,0(),(

),(),(limlim

da cui l’asserto.

Il prossimo teorema, la cui dimostrazione è omessa, fornisce delle semplici condizioni sotto cui unafunzione in due variabili è differenziabile in un punto.

14

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



TEOREMA 2.2

Se f ha derivate parziali prime in ogni punto di una regione circolare centrata in ( , e se

queste derivate parziali sono continue in

)00 , y x

( )00 , y x , allora f è differenziabile in ( ) 00 , y x .

3. DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE

Se y è una funzione differenziabile di una variabile x ed x è una funzione differenziabile di unavariabile t , allora la regole di derivazione di funzioni composte afferma che:

dt

dx

dx

dy

dt

dy= .

Adesso estenderemo questa regola di derivazione a funzioni di due variabili.Supponiamo che z sia una funzione di due variabili x ed y, diciamo

( ) y x f z ,= (10)

e supponiamo che x ed y siano rispettivamente funzioni di una sola variabile t :

( )t x x = , ( )t y y = .

Sostituendo queste funzioni nella (10), otteniamo la relazione

( ) ( )( )t yt x f z ,=

che esprime z come una funzione della sola variabile t . Sussiste il seguente

TEOREMA 3.1 (derivazione di funzioni composte).

Se e sono derivabili in t, e se( )t x x = ( )t y y = ( ) y x f z ,= è differenziabile nel punto ( ) ( )( )t yt x , ,

allora è derivabile in t, e( ) ( )( t yt x f z ,= )

dt dy

y z

dt dx

x z

dt dz

∂∂+∂∂= .

(11)

Nel caso particolare in cui ed y è una funzione derivabile della variabile x, la formula(11) conduce al risultato:

( y x F z ,= )

dx

dy

y

F

x

F

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

dx

dz

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

Si osservi che altre notazioni possibili sono

15

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) ( ).''

;

;

t y f t x f dt

df

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

df

dt

dy f

dt

dx f

dt

dz

y x

y x

+=

∂

∂+

∂

∂=

+=

ma è possibile costruire anche altre svariate scritture.

Nel teorema 3.1 le variabili x e y sono ognuna funzione di singola variabile t . Adesso consideriamoil caso in cui x e y sono funzioni di due variabili. Poniamo

( ) y x f z ,=

(12)e supponiamo che x ed y siano funzioni di u e v, diciamo

( ),,vu x x = ( ).,vu y y =

Sostituendo queste funzioni di u e v nella (12), otteniamo la relazione

( ) ( )( )vu yvu x f z ,,,=

che esprime z come una funzione delle due variabili u e v. In questo caso sussiste il

TEOREMA 3.2 (regola di derivazione a catena).

Se e hanno derivate parziali prime nel punto( vu x x ,= ) )( vu y y ,= ( )vu, , e se ( ) y x f z ,= e

differenziabile nel punto ( ) ( )( )vu yvu x ,,, , allora ( ) ( )( )vu yvu x f z ,,,= ha derivate parziali prime in

date da:( vu, )

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂e .

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

16

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



4. DIFFERENZIALI TOTALI

4.1 PIANI TANGENTI

Ricordiamo che C è una curva parametrica liscia nello spazio tridimensionale allora la retta tangente

a C nel punto è la retta che attraversa lungo il vettore unitario tangente a C in (figura 4).Il concetto di piano tangente è basato su questa definizione. Il seguente teorema stabilisce lecondizioni che assicurano l’esistenza di un piano tangente e fornisce il metodo per trovare le sueequazioni.

0 P 0 P 0 P

Figura 5

TEOREMA 4.1.1

Sia un punto sulla superficie( 0000 ,, z y x P ) ( ) y x f z ,= . Se ( ) y x f , è differenziabile in ( )00 , y x ,

allora la superficie ha un piano tangente in di equazione0 P

( )( ) ( )( ) ( ) 0,, 0000000 =−−−+− z z y y y x f x x y x f y x (13)

Dimostrazione.

Per provare l’esistenza del piano tangente in , dobbiamo dimostrare che tutte la curve lisce sulla

superficie che passano per hanno rette tangenti giacenti sullo stesso piano.

Lo faremo mostrando che curve hanno un vettore tangente unitario in normale al vettore

0 P

( y x f z ,= ) 0 P

0 P

( ) ( ) 1,,,, 0000 −= y x f y x f n y x (14)

Queste rette saranno sicuramente tutte tangenti in alle suddette curve e giacenti sul piano che

passa per e adn normale. Inoltre, dalla (14) segue che l’equazione normale al punto di questo

piano è la (13). Premesso ciò, completiamo la dimostrazione. Sia C una curva liscia giacente sullasuperficie passante per

0 P

0 P

( y x f z ,= ) ( )0000 ,, z y x P . Si assuma, inoltre, che C abbia equazioni

parametriche

( ) s x x = ; ( ) s y y = ; ( ) s z z = ;

17

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



dove s è il parametro lunghezza d’arco e ( )0000 ,, z y x P è il punto su C che corrisponde al valore

. Quindi, , , e0 s s = ( )00 s x x = ( )00 s y y = ( )00 s z z = . Siccome C giace sulla superficie ( ) y x f z ,= ,

ogni punto deve soddisfare questa equazione per ogni s, quindi( ) ( ) ( )( s z s y s x ,, )( ) ( )( ) s y s x f z ,=

per ogni s.Se deriviamo entrambi i membri di questa equazione e applichiamo il teorema derivazione funzionicomposte con s al posto di t , otteniamo

;ds

dy

y

f

ds

dx

x

f

ds

dz

∂

∂+

∂

∂=

oppure

0=−∂∂+∂∂ dsdz

dsdy

y f

dsdx

x f

La parte sinistra di questa equazione può essere riscritta come un prodotto scalare:

0,,1,, =⋅−∂

∂

∂

∂

ds

dz

ds

dy

ds

dx

y

f

x

f

oppure

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0',','1,,,, =⋅− s z s y s x y x f y x f y x

In particolare, se abbiamo0 s s =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0',','1,,,, 0000000 =⋅− s z s y s x y x f y x f y x (15)

Ma il secondo vettore nel prodotto è il vettore unitario tangente a C nel punto , quindi

dalla (15) il vettore unitario tangente a C in è perpendicolare al vettore

( )0000 ,, z y x P

0 P

( ) ( ) 1,,,, 0000 −= y x f y x f n y x

che completa la dimostrazione.Se è differenziabile in ( , allora il vettore( y x f , ) )00 , y x

( ) ( ) 1,,,, 0000 −= y x f y x f n y x (16)

è detto vettore normale alla superficie ( ) y x f z ,= in ( )0000 ,, z y x P , e la retta passante per

parallela a n è detta retta normale alla superficie in (figura 5). Le equazioni parametriche della

retta normale sono:

0 P

0 P

18

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( )

( )

;

;,

;,

0

000

000

t z z

y x f y y

y x f x x

y

x

−=

+=

+=

Figura 6

Esempio 4.1.1 Trovare l’equazione del piano tangente e della retta normale alla superficie nel punto

.

y x z 2=

( )4,1,2 Soluzione.

Dato che , segue che( ) y x y x f 2, =

( ) xy y x f x 2, = e ( ) 2, x y x f y = .

Quindi per e ,2= x 1= y

( ) 41,2 = x f e ( ) 41,2 = y f

quindi, il vettore normale alla superficie in ( )4,1,2 è

n = i +( )1,2 x f ( )1,2 y f j – k = 4i + 4 j – k

Perciò, il piano tangente ha equazione

( ) ( ) ( ) 041424 =−−−+− z y x o 844 =−+ z y x

e la retta normale ha equazioni

t x 42 += , t y 41+= , t z −= 4 .

19

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



ATTENZIONE. Nel paragrafo precedente abbiamo posto due condizioni per la definizione di differenziabilità di unafunzione di due variabili nel punto( y x f , ) ( ) f y x −00 , deve essere continua in ( e la

superficie non deve avere tangenti verticali in

)

)00 , y x

( y x f z ,= ( )00 , y x . Il teorema 2.1 afferma che la

differenziabilità implica la continuità e ora il teorema 4.1.1 mostra che la differenziabilità implical’esistenza di un piano tangente non verticale. Il piano tangente dato dalla (13) è non verticale

perché la terza componente del vettore normale n nella (14) è diversa da 0.

5. DIFFERENZIALI

Ricordiamo che se ( ) x f y = è una funzione di una variabile, allora il differenziale

( )dx x f dy 0'=

rappresenta la variazione di y lungo la retta tangente in ( )00 , y x prodotta da una variazione dx della

variabile x e

( ) ( )00 x f x x f y −Δ+=Δ

rappresenta la variazione in y lungo la curva ( ) x f y = prodotta da una variazione xΔ della

variabile x. Analogamente, se è una funzione di due variabili, definiremo dz come la

variazione in z lungo il piano tangente in

( y x f z ,= )

( )000 ,, z y x alla superficie ( y x f z , )= prodotta dallevariazioni dx e dy rispettivamente delle variabili x e y. In questo caso

( ) ( )0000 ,, y x f y y x x f z −Δ+Δ+=Δ

rappresenta la variazione in z lungo la superficie dovuta alle variazioni xΔ e rispettivamentedelle variabili x e y.

yΔ

Per ricavare una formula per dz , sia un punto fissato sulla superficie . Se f

è differenziabile in ( allora la superficie ha un piano tangente in dato dall’equazione

( 0000 ,, z y x P ) ))

( y x f z ,=

00 , y x 0 P

( )( ) ( )( ) ( ) 0,, 0000000 =−−−+− z z y y y x f x x y x f y x

o

( ) ( )dy y x f dx y x f z z y x 00000 ,, ++= (17)

Dalla (17) segue che il piano tangente ha altezza quando0 z 0 x x = , 0 y y = ed ha altezza

( ) ( )dy y x f dx y x f z y x 00000 ,, ++ (18)

quando , . Quindi, la variazione dz nell’altezza del piano tangente, siccome

varia da a

dx x x += 0 dy y y += 0

( y x, ) ( )00 , y x ( )dy ydx x ++ 00 , , è ottenuta sottraendo all’espressione (18). Risulta0 z

20

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) ( )dy y x f dx y x f dz y x 0000 ,, +=

Questa quantità è chiamata differenziale totale di z in ( )00 , y x . Spesso e sono omessi, cioè0 x 0 y

( ) ( )dy y x f dx y x f dz y x ,, += (19)

Di solito, in questa formula, dx e dy sono viste come variabili e x e y come costanti. La (19) puòessere anche scritta usando df al posto di dz . Se ( ) y x f z ,= è differenziabile nel punto ( , alloral’incremento può essere scritto come

) y x, z Δ

( ) ( ) y x y y x f x y x f z y x Δε+Δε+Δ+Δ=Δ 21,, (20)

dove , , per 01 →ε 02 →ε ( ) ( )0,0, →ΔΔ y x . Nel caso in cui dx x =Δ e dy y =Δ , dalla (19) e dalla

(20) segue che

y xdz z Δε+Δε+=Δ 21 .

Geometricamente, questa approssimazione ci dice che la variazione di z lungo il la superficie e lavariazione di z lungo il piano tangente sono approssimativamente uguali per edx x =Δ dy y =Δ

piccoli.

Esempio 5.1

Sia . Trovare dz .23

4 y x z = Soluzione.

Essendo , segue che( ) 234, y x y x f =

( ) 2212, y x y x f x = e ( ) y x y x f y38, =

quindi

ydy xdx y xdz 322 812 +=

Esempio 5.2

Sia ( ) 22, y x y x f += .

Usa un differenziale totale per approssimare la variazione di ( ) y x f , per ( che varia dal

punto al punto .

))

y x,

( 4,3 ( )98.3,04.3

Soluzione.

Approssimeremo (variazione di f ) con f Δ

21

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) ( ) dy y x

ydx

y x

xdy y x f dx y x f df y x 2222

,,+

++

=+=

Siccome , , ,3=

x 4=

y 04.0=

dx 02.0−=

dy otteniamo

( ) ( )

( ) ( ) 008.002.05

404.0

5

3

02.0169

404.0

169

3

=−=

−+

++

=≈Δ df f

Si osservi (usare una calcolatrice) che il vero valore di f Δ con cinque cifre decimali dopo lavirgola è

( ) ( ) 00819.04398.304.3 2222 ≈+−+=Δ z

Esempio 5.3

Il raggio di cilindro circolare è misurato con un errore del 2% circa, e l’altezza è misurata con

un errore del 4% circa. Approssimare la massima percentuale di errore possibile nel volume

V calcolato da queste misurazioni.

Soluzione.

Siano r , h, V il raggio, l’altezza e il volume del cilindro e siano r Δ , hΔ , gli errori di questequantità. Dai dati forniti risulta che

V Δ

02.0≤Δ

r

r e 04.0≤

Δ

h

h

Vogliamo trovare il massimo valore possibile diV

V Δ. Siccome il volume del cilindro è

segue dalla (19) chehr V ⋅⋅π= 2

dhr dr hr dh

h

V dr

r

V dV ⋅⋅π+⋅⋅⋅π⋅=

∂

∂+

∂

∂= 22

Se scegliamo e possiamo usare l’approssimazioner dr Δ= hdh Δ=

dV V ≈Δ eV

dV

V

V ≈

Δ

ma

h

dh

r

dr

hr

dhr dr r h

V

V +=

⋅⋅π⋅⋅π+⋅⋅⋅π⋅=Δ 2

22

2

22

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



quindi dalla disuguaglianza triangolare

( ) ( ) 08.004.002.0222 =+≤+≤+=h

dh

r

dr

h

dh

r

dr

V

dV

perciò, la percentuale massima di errore in V è circa 8%.

23

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



5. DERIVATE DIREZIONALI

Le derivate parziali prime e forniscono la rapidità di variazione di in

misurata rispettivamente nella direzione positiva dell’asse x e in quella dell’asse y. Se vogliamoconoscere quanto rapidamente varia in quando il punto si muove nel dominio di f in qualche altra direzione, abbiamo bisogno del concetto, più generale, di derivata direzionale.Possiamo sempre specificare la direzione considerata mediante un vettore non nullo di lunghezzaqualsiasi, tuttavia è più conveniente usare un vettore unitario.

),( ba f x ),( ba f y ),( y x f ),( ba

),( y x f ),( ba ),( y x

DEFINIZIONE 5.1

Sia un vettore unitario, ossia . La derivata direzionale di innella direzione di u è la rapidità di variazione di rispetto alla distanza misurata nel

punto lungo una retta di direzioneu nel piano xy. Questa derivata direzionale è data da

jiu 21 uu += 122

21 =+ uu ),( y x f

),( ba ),( y x f

),( ba

h

ba f hubhua f ba f D

ohu

),(),(lim),( 21 −++

=+→

Se poniamo allora la derivata direzionale è data anche da),()( 21 tubtua f t g ++=

)0('),( g ba f Du =

se la derivata al secondo membro esiste.

Il vettore unitario u determina una retta L passante per nel dominio di f . Il piano verticalecontenente L interseca il grafico di f lungo una curva C la cui tangente T in ha la

pendenza D

),( ba

)),(,,( ba f ba

u ),( ba f .

24

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Si osservi che le derivate direzionali in direzioni parallele agli assi coordinati sono date direttamentedalle derivate parziali prime:

Di ,),(),( ba f ba f x= D j ),(),( ba f ba f y=

D-i ),(),( ba f ba f x−= e D- j ),(),( ba f ba f y−= .

Il teorema seguente mostra come il gradiente di una funzione differenziabile permetta di calcolarequalunque derivata direzionale.

TEOREMA 5.2 (derivata direzionale e gradiente)

Se f è differenziabile in e),( ba jiu 21 uu += è un vettore unitario, allora la derivata direzionale di f in nella direzione diu è data da),( ba

Du ),( ba f = u ( )ba f ,∇⋅

Dimostrazione.

Per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha

Du ),( ba f 0

21 ),(=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=t

tubtua f dt

d ),(),( 2211 ba f uba f u +=

Se f è una funzione differenziabile, la formula della derivata direzionale

( ) ( ) ( ) 21 ,,, u y x f u y x f y x f D y xu +=

può essere espressa come un prodotto scalare scrivendo

( ) ( ) ( ) ) ( ) ji ji 21,,, uu y x f y x f y x f D y xu +⋅+=

dove il primo vettore nel prodotto è il gradiente di f mentre il secondo è u. Pertanto la formula precedente per la derivata direzionale può essere riscritta nella seguente forma compatta.

( ) ( ) u⋅∇= y x f y x f Du ,,

In altre parole, se f è una funzione differenziabile il prodotto scalare tra il gradiente di f e un vettoreunitario u fornisce la derivata direzionale, nella direzione di u.Già sappiamo che l’esistenza delle derivate parziali di una funzione in un punto non implica cheessa sia continua nel punto e ancora meno che sia differenziabile. La stessa cosa può dirsi riguardoalle derivate direzionali. L’esempio che segue mostra che una funzione può avere derivatadirezionale in ogni direzione in un punto dato e ugualmente non essere continua in quel punto.

25

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Esempio 5.1

Trovare il gradiente di nel punto( ) y x y x f 23, = ( )2,1 e usarlo per calcolare la derivata

direzionale di f nel medesimo punto nella direzione del vettore ji 43 +=v .

Svolgimento.

Da

( ) ( ) ( ) ji ji236,,, x xy y x f y x f y x f y x +=+=∇

si evince che di f in è( )2,1

( ) ji 3122,1 +=∇ f

Poiché il vettore unitario nella direzione di v è

( ) ji jiv

vu

5

4

5

343

5

1+=+==

segue che

( ) ( )

5

482,12,1 =⋅∇= u f f Du

Esempio 5.2

Siano

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=24

2

0

),(

y x

y x y x f e

)0,0(),(

)0,0(),(

≠

=

y x

y x

jiu 21ˆ uu +=

Allora

Du )0,0( f =( ) 2

21

22

41

22

22

13

0

21

0

1lim

)0,0(),(lim

u

u

uuhh

uuh

hh

f huhu f

hh=

+=

−+→+→

02 ≠u

Se allora e02 =u iu =ˆ

Di 0)0,0()0,0( =∂

∂= f

x f

Quindi la funzione data ha nel punto (0,0) derivata direzionale in ogni direzione ma (come giàvisto) non è continua in (0,0). Si osservi che in questo caso è 0)0,0( =∇ f e quindi risulta

26

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



)0,0( f ∇ ≠⋅u Du f (0,0).6. PROPRIETA’ DEL GRADIENTE

La lunghezza e la direzione del vettore gradiente f ∇ forniscono importanti informazioniriguardanti la funzione f .

TEOREMA 6.1

Sia f una funzione di due variabili e differenziabile in ( )00 , y x .

a) Se , allora tutte le derivate direzionali di f in( ) 0, 00 =∇ y x f ( )00 , y x sono nulle;

b) Se , allora tra tutte le possibili derivate direzionali di f in ( , quella

nella direzione del è quella con il valore più grande. Il valore di questa derivata

è

( ) 0, 00 ≠∇ y x f ))

00 , y x

( 00 , y x f ∇

( ) 00 , y x f ∇ ;

c) Se , allora tra tutte le possibili derivate direzionali di f in ( , quella

nella direzione opposta al è quella con il valore più piccolo. Il valore di questa

derivata è

( ) 0, 00 ≠∇ y x f ))

00 , y x

( 00 , y x f ∇

( ) 00 , y x f ∇− .

Dimostrazione.

a) se , allora per ogni scelta diu abbiamo( ) 0, 00 =∇ y x f

( ) ( ) 00,, 0000 =⋅=⋅∇= uu y x f y x f Du ;

b) e c) si assuma ( ) 0, 00 ≠∇ y x f e sia θ l’angolo tra ( )00 , y x f ∇ e un vettore unitario

arbitrario u. Dalla definizione

( ) ( ) ( ) θ∇=⋅∇= cos,,, 000000 uu y x f y x f y x f Du

da cui se 1=u

( ) ( ) θ∇= cos,, 0000 y x f y x f Du

Così, il massimo valore di ( )00 , y x f Du è ( ) 00 , y x f ∇ . Questo accade quando 1cos =θ , o

quando u ha la stessa direzione di ( )00 , y x f ∇ (cioè θ =0). Il minimo valore di ( )00 , y x f Du

è ( ) 00 , y x f ∇ che si ottiene quando 1cos −=θ , cioè quando u e sono in

direzioni opposte (cioè θ =π ).

( 00 , y x f ∇ )

27

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Esempio 6.1

Per la funzione , trovare il minimo valore della derivata direzionale in( ) ye x y x f 2, = ( )0,2− , e

fornire un vettore unitario nella direzione in cui si ha il massimo valore.

Soluzione.

Siccome

( ) ( ) ( ) ji ji y y

y x e x xe y x f y x f y x f 200 2,,, +=+=∇

Il gradiente di f in è( )0,2−

( ) ji 440,2 +−=−∇ f

Dal teorema 6.1, il valore massimo della derivata direzionale è

( ) ( ) 2432440,2 22 ==+−=−∇ f

Un vettore unitario in questa direzione è

( )( )

( ) ji ji 2

1

2

144

24

1

0,2

0,2+−=+−=

−∇

−∇

f

f

7. UNA INTERPRETAZIONE DI DuT(x, y)

Supponiamo che un osservatore si stia muovendo sul piano xy e che in ogni punto del piano il

valore della temperatura sia dato da . Inoltre supponiamo che nell’istante in cui l’osservatore

passa per ( si stia muovendo nella direzione del vettore w con velocità v di modulo k.

),( y x

( y xT , ))00 , y x

Se poniamo

w

w

u = e uv ˆk = allora

i) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇=

distanzadiunitàu,, 0000u

T diunità y xT y xT D

fornisce la rapidità di variazione della temperatura percepita dall’osservatore, misurata in unità di T per unità di distanza sul piano xy;

28

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



ii)

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇=⋅∇=

tempodiunità

Tdiunità

distanzadiunità

Tdiunità

tempodiunità

distanzadiunitàu,v,, 000000v y xT k y xT y xT D

fornisce la rapidità di variazione della temperatura percepita dall’osservatore, misurata in unità di T

per unità di tempo.

Osservazione

Se f è di classe C (2) allora la derivata direzionale seconda è data da:

( ) ( ) yy xy yx xx y x f f f f f f D f D f D D 21221121uuuu uuuuuuuuu +++=+=⋅∇=

Da cui

( ) yy xy xx f f f f D D2

2212

1uu uuu2u ++= .

Sia z = f ( x, y,) un campo scalare differenziabile in un aperto Ω del piano xy. Indichiamo con C lacurva di livello f ( x, y,) = c. Sia ( )ooo y x P ,≡ un punto di C e supponiamo che C sia descritta

parametricamente dall’equazione vettoriale di classe C (1) :

( ) ( ) ( ) jirr t yt xt +== t ∈ [a, b]

e che dove a<

t ( ) 00

P t =ro <

b. Procedendo come nel caso delle funzioni di tre variabili (vedi

parag. 8) si evince che:in ogni punto di una curva di livello C il vettore f ∇ è normale a C ; in particolare in t = t o , risulta

( )[ ]⋅∇ 0t f r ( ) 00 =t 'r .

la curva di livello che passa per P 0 ha in P 0 vettore tangente perpendicolare al vettore ( )0 P f ∇ . Sia

C una curva liscia di equazioni . Se( )t rr = ( )t T denota il vettore unitario tangente a C in ( )t r allora

il prodotto scalare è per definizione la derivata direzionale di f nella direzione di C e

spesso si indica con

( )[ ] Tr ˆ⋅∇ t f

s f ∂∂ . Il valore di

T⋅∇=∂

∂ f

s

f

dipende dalla rappresentazione parametrica scelta per C . Infatti il verso di percorrenza e quindi ilverso di dipende dalla scelta della rappresentazione parametrica. Se C è una curva di livelloallora la derivata di f lungo C è nulla ed è massima lungo la direzione normale a C .

T

TEOREMA 6.2 (del valormedio)

29

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Se una funzione di classe( y x f z ,= ) ( )Ω)1(C dove Ω è un aperto, allora

( ) ( ) ( ) ( )k bha f k k bha f hba f k bha f θ θ θ θ ++∂+++∂+=++ ,,,, 21

dove( )

. Sono gli estremi di un segmento contenuto in Ω. (

k bhaeba ++ ,,)

Dimostrazione.Incominciamo ad osservare che le equazioni parametriche

tha x += thb y += [ ]1,0∈t

descrivono il segmento di estremi e( ba, ) ( )., k bha ++

Pertanto se scegliamo h e k tali che allora il segmento suddetto sta nel disco con centroin (a,b), di raggio r e contenuto in Ω.

222 r k h <+

Sia . Essendo f differenziabile inΩ

, il teorema di derivazione dellefunzioni composte ci dice che g è derivabile e che( ) ( ) [ 1,0, ∈++= t tk btha f t g ]

( ) ( ) ( )tk btha f k tk btha f ht g ++∂+++∂= ,,' 21 [ ]1,0∈t

Da cui, per il teorema del valor medio per le funzioni di una variabile, si ottiene

( ) ( ) ( )θ '01 g g g =− per qualche ( )1,0∈θ

ovvero

( ) ( ) ( )θ '01 g g g += .

Essendo

( ) ( ) ( ) ( )ba f g k bha f g ,0,1 =++=

segue che

( ) ( ) ( ) ( )k bha f k k bha f hba f k bha f θ θ θ θ ++∂+++∂+=++ ,,,, 21

Ovvero l’asserto.

COROLLARIO

Nelle ipotesi del teorema precedente:se in tutti di un segmento δ contenuto in Ω, allora f è costante su δ. Infatti, se( ) 0, =∇ y x f ( )ba, è

un estremo del segmento δ e è un generico punto di δ, dal teorema precedente (tenuto

presente che le derivate parziali sono uguali a zero su δ) segue che

( k bha ++ , )( ) ( ba f k bha f ,, =+ )+ .

TEOREMA 6.3

30

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Sia f una funzione differenziabile in un aperto connesso Ω. Se in Ω risulta allora f è

costante in Ω. Inoltre se due campi scalari f e g, differenziabili in Ω , hanno lo stesso gradiente

allora f e g differiscono per una costante arbitraria.

0=∇ f

Quindi nelle ipotesi suddette

g f ∇=∇ se solo se f-g=k

dove k è una costante arbitraria.

Da quanto precede:

se in un disco D di centro e raggio r allora f è costante in D.0=∇ f ( ba, ) Infatti, se scegliamo h e k tali che allora il punto222 r k h <+ ( )k bha ++ , denota un punto ( ) y x,

del disco D e poiché le derivate parziali sono uguali a zero in D e quindi sul segmento di estremi

e ( si evince che:( )ba, ) y x,

( ) ( )ba f y x f ,, = ( ) D y x ∈∀ ,

9.1 FORMULE DI TAYLOR DELL’ORDINE 2

Se è di classe in un intorno di un punto( y x f , ) )2(C ( )ba, allora esiste un numero θ con 0 < θ < 1tale che, per h e k sufficientemente piccoli in valore assoluto, risulta

( ) ( ) ( ) ( )+++=++ ba f k ba f hba f k bha f y x ,,,,

( ) ( ) ( )[ ]k bha f k k bha f k hk bha f h yy xy xx θ θ θ θ θ θ ++⋅+++⋅⋅⋅++++ ,,2,21 22

infatti posto ( ) ( )tk btha f t g ++= , [ ]1,0∈t per la formula di Taylor di ordine n=2

( ) ( ) ( )( )!2

'''0

θ θ

g t g g t g ++= dove 0 < θ < 1.

Da cui tenuto presente che:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )tk btha f k tk btha f k htk btha f h

tk btha f k htk btha f k tk btha f k htk btha f ht g tk btha f k tk btha f ht g

yy xy xx

xy yy yx xx

y x

++++++++=

=+++++++++++= )+++++=

,,2,

,,,,'',,'

22

22

si evince l’asserto.

31

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Quindi, come per le funzioni di una e due variabili, una funzione di tre variabili è continua in un punto se è differenziabile in quel punto.

Esempio 8.1.1

Supporre che

z y xw 23= , , ,2t x = 3t y = 4t z =

Usare il teorema di derivazione funzioni composte per trovare dt dw .

Soluzione.

Dal teorema della “derivazione delle funzioni composte”,

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1531221314

3232322

1643223

43223

t t t t t t t

t y xt yz xt z y x

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

=++=

=++=

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

NOTA BENE.La differenza più significativa tra funzioni di 2 e di 3 variabili è geometrica. Per una funzione di 2variabili l’equazione ( y x f z , )= può essere rappresentata come una superficie in uno spazio

tridimensionale. Sebbene, per funzioni di tre variabili, rappresentate con un grafico ( ) z y x f w ,,= è

impossibile, perché sono richieste 4 dimensioni (una per ogni variabile), questo non è un problema,significa semplicemente che dobbiamo fare affidamento più sulla formula analitica che sullageometrica.

9. DERIVATE DIREZIONALI

Per definire una derivata direzionale in un punto ( )000 ,, z y x per una funzione f di tre variabili,

useremo un vettore unitario 321 ,, uuu=u per designare le direzioni, e sia l la retta passante per

e parallela ad u. Questa retta può essere parametrizzata come( 000 ,, z y x )

10 su x x += , 20 su y y += , 30 su z z += ,

dove s è il parametro di lunghezza d’arco riferito al punto ( )0000 ,, z y x P = e direzione positiva nella

direzione di u. All’incrementare di s, il punto ( ) z y x P ,,0 = si muove nella direzione di u lungo l ,

ed il valore di ( ) z y x f w ,,= varia con s. Come per funzioni di 2 variabili, definiamo

il tasso istantaneo di variazione di w rispetto a s in( 000 ,, z y x f Du ) ( )000 ,, z y x . Procedendo come

nel paragrafo precedente si arriva alla seguente definizione.

33

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



DEFINIZIONE 9.1

Se f è differenziabile in ( )000 ,, z y x e se 321 ,, uuu=u è un vettore unitario, allora la derivata di f in ( nella direzione di u è definita da)000 ,, z y x

( ) ( ) ( ) ( ) 300020001000000 ,,,,,,,, u z y x f u z y x f u z y x f z y x f D z y xu ++=

(1)La definizione di gradiente di una funzione di tre variabili è

( ) ( ) ( ) ( ) 300020001000 ,,,,,,,, u z y x f u z y x f u z y x f z y x f z y x ++=∇

(2)

che è identica alla definizione precedente eccetto per il terzo addendo. Segue dalla (1) e dalla (2)che

( ) ( ) u,,,, ⋅∇= z y x f z y x f Du

analoga alla definizione già vista. Considerando ciò si dimostra la seguente estensione del teorema6.1.

TEOREMA 9.2

Sia f una funzione di tre variabili differenziabile in ( )000 ,, z y x .

a) Se ( ) 0,, 000 =∇ z y x f , allora tutte le derivate direzionali di f in ( )000 ,, z y x sono nulle;

b) Se ( ) 0,, 000 ≠∇ z y x f , allora tra tutte le possibili derivate direzionali di f in

quella nella direzione del è quella con il valore più grande. Il valore di

questa derivata è

( )000 ,, z y x ,

( 000 ,, z y x f ∇ )

( ) 000 ,, z y x f ∇ ;

c) Se ( ) 0,, 000 ≠∇ z y x f , allora tra tutte le possibili derivate direzionali di f in

quella nella direzione opposta al

( )000 ,, z y x ,

( )000 ,, z y x f ∇ è quella con il valore più piccolo. Il valore

di questa derivata è ( ) 000 ,, z y x f ∇− .

Esempio 9.1

Trovare la derivata direzionale di nel punto nella direzione

del vettore , e trovare il massimo tasso di incremento di f in P.

( ) z yz y x z y x f +−= 32,, ( 0,2,1 − P )k ji 22 −+=v

Soluzione.

Siccome

( ) xy z y x f x 2,, = , ( ) 32,, z x z y x f y −= , ( ) y z z y x f z 231,, −=

segue che

34

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) ( ) ( )

( ) k ji

k ji

++−=−∇

+−+−+=∇

40,2,1

132,, 232

f

yz z x xy z y x f

Un vettore unitario nella direzione di v è

( ) k jik jiv

vu

3

2

3

1

3

222

9

1−+=−+==

da cui

( ) ( ) -3u =⋅−∇=− 0,2,10,2,1 f f Du

il massimo tasso di incremento di f è

( ) ( ) 231140,2,1 222 =++−=−∇ f .

Esempio 9.2

Sia f(x,y,z) = ln r dove k z j yi xr ++= . Allora 222 z y xr ++= e

f(x,y,z) = ( )222ln2

1 z y x ++ .

Essendo

222 z y x

x

x

f

++=

∂

∂

222 z y x

y

y

f

++=

∂

∂

222 z y x

z

z

f

++=

∂

∂

segue che

( )r

r

z y x

z y xr =

++

++=∇

222ln

k ji

Il nostro nuovo obiettivo è quello di stabilire una relazione geometrica tra le superfici di livello e

il gradiente di una funzione f di tre variabili.A questo proposito sia u = f ( x, y, z ) un campo scalare differenziabile in un aperto Ω dello spaziotridimensionale. Indichiamo con S la superficie di livello f ( x, y, z ) = c. Sia un punto

di S e C una curva regolare che sta su S e che passa per P

( oooo z y x P ,, )

o. Supponiamo che C sia decritta parametricamente dalla equazione vettoriale

( ) ( ) ( ) ( )k jirr t z t yt xt ++== t ∈ [a, b]

e che dove a< t ( ) 00 P t =r o < b. Ovviamente è

= f [ x(t ), y(t ), z (t )] = c t ∈ [a, b] .( )[ t f r ]

35

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Se poniamo g (t ) = ( )[ ]t f r t ∈ [a, b]

la regola di derivazione delle funzioni composte ci fornisce

( ) ( )[ ]⋅∇= t f t g r' ( )t 'r t ∈ [a, b] .

Poichè g è costante su [a, b], abbiamo ( ) 0' =t g su [a, b]. In particolare per t = t o , risulta

( )[ ]⋅∇ 0t f r ( ) 0' 0 =t r

In altre parole il vettore f ∇ in P 0 è perpendicolare al vettore ( )0' t r . Quindi le curve che stanno sulla

superficie S e passano per P 0 hanno in P 0 vettore tangente perpendicolare al vettore . Questivettori tangenti determinano un piano e ( )0 P f ∇( )0 P f ∇ è normale a questo piano. Questo piano è detto

piano tangente in P 0 alla superficie di livello S e consiste di tutti i punti P dello spazio soddisfacentil’equazione

( ) ( ) 000 =∇− ⋅ P f P P

Ovvero

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000000 =−+−+− z z P f y y P f x x P f z y x .

Esempio 9.3

Trovare l’equazione del piano tangente all’ellissoide nel punto ( )184 222 =++ z y x 1,2,1 − .

Soluzione.

Ponendo , allora l’equazione data ha la forma , che puòessere vista come l’equazione di una superficie di livello per F .

( ) 222 4,, z y x z y x F ++= ( ) 18,, = z y x F

Quindi, il vettore ( 1,2,1 )−∇ F è normale all’ellissoide nel punto ( )1,2,1 − .Per trovare questo vettore scriviamo

( )

( ) k ji

k jik ji

21621,2,1

282,,

−+=−∇

++=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

F

z y x z

F

y

F

x

F z y x F

Usando questa normale e il punto , otteniamo l’equazione del piano tangente( 1,2,1 − )

( ) ( ) ( ) 01221612 =+−−+− z y x

o

188 =−+ z y x .

36

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



10. DIFFERENZIALE TOTALE

Se , allora definiamo l’incremento( z y x f w ,,= ) wΔ come

( ) ( ) z y x f z z y yw x f w ,,,, −Δ+Δ+Δ+=Δ

e definiamo differenziale totale comedw

( ) ( ) ( )dz z y x f dy z y x f dx z y x f dw z y x ,,,,,, ++=

dove , , , dx, dy e dz rappresentano le variazioni dei valori di x, y e z . xΔ yΔ z Δ

L’incremento rappresenta la variazione del valore diwΔ ( ) z y x f w ,,= quando x, y e z varianorispettivamente di una quantità , e xΔ yΔ z Δ .

Tuttavia, per funzioni di tre variabili, il differenziale totale non ha un’interpretazionegeometrica naturale. dw

Se poniamo

xdx Δ= , ydy Δ= , z dz Δ=

e se e differenziabile in , allora segue dalla definizione 8.1.1 che( z y x f w ,,= ) )( z y x ,,

z y xdww Δε+Δε+Δε+=Δ 321

(3)

dove , ,01 →ε 02 →ε 03 →ε per ( ) ( )0,0,0,, →ΔΔΔ z y x . Quindi, quando , e xΔ yΔ z Δ sono

piccoli, dalla (3) segue che

dww ≅Δ

Esempio 10.1

La lunghezza, la larghezza e l’altezza di un parallelepipedo sono state misurate con un errore

del 5% circa. Trovare un limite superiore della percentuale massima di errore possibile che

risulta se queste quantità sono usate per calcolare la diagonale del parallelepipedo.

Soluzione.

Siano x, y, z e D rispettivamente la vera lunghezza, larghezza, altezza e diagonale del parallelepipedo; e siano xΔ , , e yΔ z Δ DΔ gli errori di queste quantità. Sappiamo che

05.0≤Δ

x

x, 05.0≤

Δ

y

y, 05.0≤

Δ

z

z

Vogliamo stimared

d Δ. Siccome la diagonale D è collegata alla lunghezza, larghezza e altezza da

222 z y x D ++=

37

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



segue che

dz z y x

z dy

z y x

ydx

z y x

x

dz z

Ddy

y

Ddx

x

DdD

222222222 +++

+++

++=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Se scegliamo , , , allora possiamo approssimaredx x =Δ dy y =Δ dz z =Δ DdD D D ≈Δ . Ma,

dz z y x

z dy

z y x

ydx

z y x

x

D

dD222222222 ++

+++

+++

=

o

z

dz

z y x

z

y

dy

z y x

y

x

dx

z y x

x

D

dD222

2

222

2

222

2

+++

+++

++=

Quindi,

( ) ( ) ( )

05.0

05.005.005.0222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

222

2

=

=++

+++

+++

≤

+++

+++

++≤

+++

+++

++=

z y x

z

z y x

y

z y x

x

z dz

z y x z

ydy

z y x y

xdx

z y x x

z

dz

z y x

z

y

dy

z y x

y

x

dx

z y x

x

D

dD

Perciò la massima percentuale di errore di D è di circa il 5%.

38

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



11. FUNZIONI IMPLICITE

TEOREMA 11.1 (di Dini in R3)

Sia A un aperto di R3 e sia F una funzione di classe C 1(A). Se in ( ) A,, 0000 ∈= z y x P risulta

( ) 0P0 = F e ( ) 0P0 ≠∇ F

allora esiste un intorno di nel quale l’insieme degli zeri di F è il grafico di una funzione.0 P

In particolare se ( ) 0P0 ≠∇ F ( ) 0P0 ≠⇒ z F , allora esistono un intorno U di ed un intorno V

di tali che

( 00 , y x )

0 z

( ) ( ) V,!U, ∈=∃∈∀ y x f z y x per cui risulta ( )( ) 0,,, = y x f y x F

Inoltre ( )UC1∈ f e

z

y

z

x

F

F

y

f

F

F

x

f

−=∂

∂−=∂

∂,

Dimostrazione.

Per fissare le idee supponiamo , pertanto, per il teorema della permanenza del segno

esiste un intorno R di :

( ) 0P0 > z F

0 P

AVWR ⊂×= dove [ ] [ ] [ h z h z y y x x ]+−=+−×+−= 000000 ,Ve,,W δ δ δ δ

nel quale risulta ( ) .0,, > z y x F z

Allora per ogni ( fissato in W, l’applicazione) y x,

( ) [ ]h z h z z y x F z +−=∈→ 00 ,zV,,

è strettamente crescente in V, in particolare è strettamente crescente l’applicazione

( ) ( ) [ ]h z h z z g z y x F z +−=∈=→ 0000 ,zV,, .

Essendo , da quanto precede, segue che è( ) 00 = z g

( ) 00 <− h z g e ( ) 00 >+ h z g ovvero( ) 0,, 000 <− h z y x F e ( ) 0,, 000 >+ h z y x F .

Tenuto presente che le funzioni ( )h z y x F −0,, e ( )h z y x F +0,, sono continue in W e diverse da

zero in , da quanto precede e dal teorema della permanenza del segno segue che esiste un

intorno U di : U

( 00 , y x )( )00 , y x [ ] [ ] W,, 0000 ⊂+−×+−= k yk yk xk x nel quale risulta

( 0,, 0 ) <− h z y x F e ( ) 0,, 0 >+ h z y x F .

39

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Ne consegue che in corrispondenza di ( ) y x, fissato in , la funzioneWU ⊂ ( ) ( )u y x F u ,,=ϕ è

continua e strettamente crescente in [ ]h z h z +−= 00 ,V , inoltre agli estremi dell’intervallo V

assume valor idi segno opposto:

( ) ( ) ( ) ( )0,,e0,,

0000>+=+<−=− h z y x F h z h z y x F h z ϕ

pertanto per il teorema di Bolzano

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,,,,,zchetaleV,! ===∈=∃ y x f y x F z y x F y x f z .

In altre parole l’insieme degli zeri della restrizione di F all’intorno U×V è il grafico di una funzione.( ) y x f z ,=

Per dimostrare che la funzione , precedentemente definita, è continua in U, si osservi che( y x f , )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .0,,,,,,U,eU, 111111 ==⇒∈∈ y x f y x F y x f y x F y x y x

Tenuto presente che per il teorema del valor medio esiste *P = ( )( )η ζ η ζ ,,, f interno al segmento di

estremi P e( )( ) y x f y x ,,,= ( )( )11111 ,,,P y x f y x= tale che

( ) ( ) ( *PPP 1 F F F ⟨∇=− , ⟩− 1PP

si deduce che

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,,*P*P*P 1111 =−+−+− y x f y x f F y y F x x F z y x .

Da cui essendo (giustificare!)

( ) ( ) 1111 ,, y y F Min

F Max x x

F Min

F Max y x f y x f

z

y

z

x −+−≤−

si deduce che è continua in e quindi in U.( y x f , ) )( 11 , y x

Infine, preso P ( )( )11 ,,, y x f y x= , da *P F ⟨∇ , ⟩− 1PP =0 si ottiene

( ) ( )

( )*P

*P,,

1

111

z

x

F

F

x x

y x f y x f −=

−

−

da cui osservato che

111 P*PPP →⇒→⇒→ x x

e che le funzioni e sono continue,si evince che x F z F

( ) ( ) ( )

( )1

1

1

111

P

P,,lim

1 z

x

x x F

F

x x

y x f y x f −=

−

−→

ovvero( ) ( )111 P,

z

x

F

F y x

x

f −=

∂

∂.

40

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Analogamente si dimostra che

( ) ( )111 P, z

y

F

F y x

y

f −=

∂

∂.

Si osservi che le derivate parziali di f , ammessa l’esistenza, si deducono applicando il teorema diderivazione composta all’equazione ( )( 0,,, ) = y x f y x F , ovvero dalle relazioni

0=∂

∂+

f F F z x e 0=

∂

∂+

y

f F F z y .

Inoltre si osservi chea) se , allora esistono un intorno U di( ) ( ) 00P 00 ≠⇒≠∇ P F F y ( )00 , z x ed un intorno V di

tali che0 y

( ) ( ) V,!U, ∈=∃∈∀ z x f y z x per cui risulta ( )( ) 0,,, = z z x f x F

f è di classe C1(U) e le derivate parziali di f , ammessa l’esistenza, si deducono applicando ilteorema di derivazione composta all’equazione ( )( ) 0,,, = z z x f x F , ovvero dalle relazioni

0=∂

∂+

x

f F F y x e 0=

∂

∂+

z

f F F y z

b) se , allora esistono un intorno U di( ) ( ) 00P 00 ≠⇒≠∇ P F F x ( )00 , z y ed un intorno V di

tali che

0 x

( ) ( ) V,!U, ∈=∃∈∀ z y f x z y per cui risulta ( )( ) 0,,, = z y z y f F

f è di classe C1(U) e le derivate parziali di f , ammessa l’esistenza, si deducono applicando ilteorema di derivazione composta all’equazione ( )( ) 0,,, = z y z y f F , ovvero dalle relazioni

0=∂

∂+

y

f F F x y e 0=

∂

∂+

z

f F F x z .

Si osservi che se F è di classe C2(U) allora f è di classe C2(U) inoltre risulta

( )( ) ( )[ ] x x z z x z x z z x

z

F F F F F F F F x

f 22

32

2

21

+−−=∂

∂

( )( ) ( )[ ] y y z z y z y z z y

z

F F F F F F F F y

f 22

32

2

21

+−−=∂

∂.

Analogamente si dimostra il seguente

TEOREMA 11.2 (di Dini in R2)

41

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Sia A un aperto di R2

e sia F una funzione di classe C 1(A). Se in ( ) A,P 000 ∈= y x risulta

( ) 0P0 = F e ( ) 0P0 ≠∇ F

allora esiste un intorno di nel quale l’insieme degli zeri di F è il grafico di una funzione.0 P

In particolare se ( ) 0P0 ≠∇ F ( ) 0P0 ≠⇒ y F , allora esistono un intorno U di ed un intorno V di

tali che

0 x

0 y

( ) V!U ∈=∃∈∀ x f y x per cui risulta ( )( ) 0, = x f x F .

Inoltre C ∈ f 1(U) e

( )( )( )P

P

y

x

F

F x f −=′ dove ( )( ).,P x f x=

La derivata di f , si deduce applicando il teorema di derivazione composta all’equazione, ovvero dalla relazione( )( ) 0, = x f x F

( ) ( ) ( ) 0PP =′+ x f F F y x .

Se ( ) 0P0 ≠∇ F ( ) 0P0 ≠⇒ x F , allora esistono un intorno U di ed un intorno V di tali che0 y 0 x

( ) V!U ∈=∃∈∀ y f x y per cui risulta ( )( ) 0, = y x f F .

Inoltre C∈ f 1(U) e la derivata di f , ammessa l’esistenza, si deduce applicando il teorema di

derivazione composta all’equazione ( )( ) 0, = x f x F , ovvero alla relazione

( ) ( ) ( ) 0PP =+′ y x F y f F .

Un’applicazione importante del teorema di Dini per le funzioni implicite, è quella relativa allaricerca di condizioni sufficienti affinché un sistema di equazioni qualsiasi definisca (in un intorno diun punto che lo soddisfa) alcune incognite che in esso compaiono in funzione delle altre. Per fissarele idee consideriamo il caso più semplice cioè quello di un sistema della forma

( )( )⎩

⎨⎧

=

=

0,,

0,,

z y xG

z y x F

TEOREMA 11.3

Siano A un aperto di R3 , F e G due funzioni di classe C

1(A). Se in ( ) A.,P 0000 ∈= z y x risulta

( ) ( ) 0P,0P 00 == G F

e

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

0,

,,

,

,,

,

,PP ≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇∧∇

y x

G F

x z

G F

z y

G F G F

Allora esiste un intorno di nel quale l’insieme degli zeri comuni di F e G è la traiettoria

descritta da una curva regolare. In particolare se la condizione

0P( ) ( ) 0PP 00 ≠∇∧∇ F F implica

42

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 0PPGP

PP

,

,0

0z0

00≠−==

∂

∂ y z z y

y

z yG F G F

G

F F

z y

G F

allora esiste una curva regolare α ( ) ( ) ( )( ) x z x y x x ,,= , definita in un intorno di tale che0 x

( ) ( )( 0,, ) = x z x y x F e ( ) ( )( ) 0,, = x z x y xG .

Dimostrazione.Osservato che

)( ) ( ) 0P0P 00 ≠⇒≠− z y z z y F G F G F oppure ( ) 0P0 ≠ z G ,

è lecito supporre ( ) 0P0 ≠ z F .

Essendo e( ) 0P0 = F ( ) 0P0 ≠ z F , per il teorema di Dini, esiste un intorno di 0P

AVU ⊂× dove [ ] [ ]δ δ δ δ +−×+−= 0000 ,,U y y x x e [ ]h z h z +−= 00 ,V

tali che

( ) ( ) V,!U, ∈=∃∈∀ y x f z y x per cui risulta ( )( ) 0,,, = y x f y x F .

Inoltre F è di classe C1(U) ed in particolare è

( )( )

( )0

000 P

P,

z

y

F

F y x

y

f −=

∂

∂

Sia ( ) ( )( ) ( ) U,,,,, ∈∀= y x y x f y xG y x g .Essendo

( ) ( )( ) ( ) 0P,,,, 0000000 === G y x f y xG y x g

( )( )

( )( ) 0PP

1, 0

000 ≠−−= y z z y

z

y G F G F F

y x g

segue che la funzione ( ) y x g , soddisfa le ipotesi del teorema di Dini, pertanto esiste un intorno U’

di : U’( )00 , y x [ ] [ U,',' 0000 ⊂]+−×+−= k yk y x x δ δ tale che per ogni [ ]',' 00 δ δ +−∈ x x x esiste

un unico valore di ( ) [ k yk y x y y ]+−∈= 00 , per il quale, posto ( ) ( )( ) x y x f x z ,= , risulta

( )( ) ( ) ( )( ) 0,,, == x z x y xG x y x g .

Inoltre y è di classe C1. Quindi nei punti della curva regolare

α ( ) ( ) ( )( ) [ ]k xk x x x z x y x x +−∈= 00 ,,,

risulta( ) ( )( ) 0,, = x z x y x F e ( ) ( )( ) 0,, = x z x y xG .

Ovviamente il vettore

43

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



( ) ( )( )( )

( )( )

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇∧∇

y x

G F

x z

G F

z y

G F G F

,

,,

,

,,

,

,PP

è tangente ad α in P( ) x ( ) ( )( ).,, x z x y x= Pertanto

( )( )

( )( )

( )( ) y x

G F z z

x z

G F y y

x y

G F x x

,

,

,

,

,

,000

∂

∂ −=

∂

∂ −=

∂

∂ −

è l’equazione della retta tangente alla curva α ( ) x in ( ) ( )( ) ( )0000000 ,,,,P z y x x z x y x == ;

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) 0,

,

,

,

,

,000 =−

∂

∂+−

∂

∂+−

∂

∂ z z

y x

G F y y

x z

G F x x

z y

G F

è l’equazione del piano normale alla curva α ( ) x in ( ) ( )( ) ( )0000000

,,,,P z y x x z x y x == cioè del

piano normale alla retta tangente ad α in( ) x 0P .

Si osservi che la derivata e , ammessa l’esistenza, si deducono applicando il teorema diderivazione delle funzioni composte alle equazioni

( ) x y′ ( ) x z ′

( ) ( )( ) 0,, = x z x y x F e ( ) ( )( ) 0,, = x z x y xG

ovvero risolvendo il sistema

0=′+′+ z F y F F z y x

.0=′+′+ z G y F G z y x

Inoltre si osservi che:a) se la condizione ( ) ( ) 0PP 00 ≠∇∧∇ G F implica

( )( )

( ) 0,

,≠−=

∂

∂ z x x z G F G F

x z

G F

allora esiste una curva regolare β ( ) ( ) ( )( ) y z y y x y ,,= , definita in un intorno di , tale che0 y

( ) ( )( ) 0,, = y z y y x F e ( ) ( )( ) .0,, = y z y y xG

b) se la condizione ( ) ( ) 0PP 00 ≠∇∧∇ G F implica

( )( )

( ) 0,

,≠−=

∂

∂ x y y x G F G F

y x

G F

allora esiste una curva regolare γ ( ) ( ) ( )( ) z z y z x z ,,= , definita in un intorno di , tale che0 z

( ) ( )( ) 0,, = z z y z x F e ( ) ( )( ) .0,, = z z y z xG

44

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



TEOREMA 11.4 (delle funzioni implicite): un caso particolare

Consideriamo il sistema (di due equazioni e quattro incognite)

⎩⎨⎧

=

=

0),,,(

0),,,(

vu y xG

vu y x F (1)

Dove le funzioni F e G sono definite in un aperto Ω CIR 4 che include il punto per il

quale

),,,( 0000 vu y x

F = 0 e G = 0.),,,( 0000 vu y x ),,,( 0000 vu y x

Se F e G sono di classe C

(1)

in un intorno del punto e se nel punto risulta ),,,( 0000 vu y x),,,( 0000 vu y x

0),(

),(≠

∂

∂

y x

G F (2)

allora nel suddetto intorno esiste un intorno di nel quale il sistema (1) può essere

risolto rispetto ad x e y.

),,,( 0000 vu y x

Le funzioni e soluzioni del sistema (1), in un opportuno intorno di

sono di classe C),( vu x x = ),( vu y y =

),( 00 vu(1) e risulta (vedi osservazione seguente)

),(

),(),(

),(

y x

G F

yu

G F

u

x

∂

∂∂

∂

−=∂

∂

),(

),(),(

),(

y x

G F

u x

G F

u

y

∂

∂∂

∂

−=∂

∂

(3)

),(),(

),(

),(

y xG F

yv

G F

v

x

∂∂

∂

∂

−=∂

∂

),(),(

),(

),(

y xG F

v x

G F

v

y

∂∂

∂

∂

−=∂

∂

Osservazione Nelle espressioni precedenti il denominatore è lo jacobiano di F e G rispetto alle variabilidipendenti x e y; il numeratore è lo jacobiano che si ottiene da quello del denominatore sostituendola variabile indipendente che si deriva con la variabile rispetto alla quale si sta derivando.

Derivando il sistema (1) rispetto ad u e v, supponendo ),( vu x x = e ),( vu y y = , si evince

),( ),(),( ),(),( ),(vu y x

y xG F

vuG F

∂∂∂∂=∂∂ da cui ),( ),(),( ),(),( ),( y xG F

vuG F

vu y x

∂∂∂∂=∂∂ (4)

45

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Se si suppone che il sistema (1) sia risolvibile rispetto ad u e v in funzione di x e y allora

),(

),(

),(

),(

),(

),(

vu

G F

y x

G F

y x

vu

∂

∂

∂

∂=

∂

∂. (*)

In particolare se il sistema

⎩⎨⎧

=

=

),(

),(

vu y y

vu x xovvero

⎩⎨⎧

=−=

=−=

0),(),,,(

0),(),,,(

vu y yvu y xG

vu x xvu y x F

è risolvibile rispetto ad u e v in funzione di x e y, allora tenuto presente che

110

01

),(

),(==

∂

∂

y x

G F e

),(

),(

),(

),(

vu

y x

vu

G F

∂

∂=

∂

∂

dalla (*) si evince

),(

),(1

),(

),(

vu

y x y x

vu

∂

∂=

∂

∂quindi 1

),(

),(

),(

),(=

∂

∂

∂

∂

vu

y x

y x

vu

Osservazione

Derivando il sistema (1) rispetto ad u e v (variabili indipendenti) si ha:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

u

G

u

y

y

G

u

x

x

G

u

F

u

y

y

F

u

x

x

F

⇒⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

y

G

x

G

y

F

x

F

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

u

G

u

F

u

y

u

x

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

v

G

v

y

y

G

v

x

x

G

v

F

v

y

y

F

v

x

x

F

⇒ ⎟⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

y

G

x

G

y

F

x

F

⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−

=⎟⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

v

G

v

F

v

y

v

x

da cui

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

y

G

x

G

y

F

x

F

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

v

G

u

G

v

F

u

F

v

y

v

x

u

y

u

x

L’equazione matriciale precedente, passando ai determinanti, definisce la (4).

46

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



Si osservi che le (3) si ottengono risolvendo i sistemi precedenti con la regola di Kramer.

12. TRASFORMAZIONI INVERTIBILI DA IN2ℜ 2ℜ

Siano e( ) yG z = ( ) x F y = due applicazioni da in dove2ℜ 2ℜ ( )21 , z z z = , econ

( )21 , y y y =( 21 , x x x = )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2122

2111

,

,

y y g z

y y g z e

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2122

2111

,

,

x x f y

x x f y.

Supponiamo che ( ) ( ) G Dom y y F Dom x x ∈⇒∈ 2121 ,, e che F e G siano di classe . Allora

ovvero

)1(C

( )[ x F G z = ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

21221122

21221111

,,,

,,,

x x f x x f g z

x x f x x f g z

e il teorema di derivazione delle funzioni composte fornisce le relazioni

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

x

y

y

g

x

y

y

g

x

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂;

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

x

y

y

g

x

y

y

g

x

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂;

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

x

y

y

g

x

y

y

g

x

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂;

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

x

y

y

g

x

y

y

g

x

z

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂.

Le relazioni precedenti sono equivalenti all’equazione matriciale

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

x

y

x

y

x

y

x

y

y

g

y

g

y

g

y

g

x

z

x

z

x

z

x

z

da cui, tenuto presente che è ( ) 1211 , z y y g = e ( ) 2212 , z y y g = , si ottiene

( )( )

( )( )

( )( )21

21

21

21

21

21

,

,

,

,

,

,

x x

y y

y y

z z

x x

z z

∂

∂

∂

∂=

∂

∂.

Se F è invertibile e G l’inversa di F allora ( )[ ] x x F G z == cioè

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

22

11

x z

x z

47

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------



allora

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

1001

2

2

1

2

2

1

1

1

x

z

x

z x

z

x

z

e ( )( )

1,,

21

21 =∂∂

x x

z z

In questo caso risulta

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )21

21

21

21

21

21

21

21

,

,

,

,

,

,

,

,1

x x

y y

y y

x x

x x

y y

y y

z z

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

da cui( )( ) ( )

( )21

2121

21

,

,1

,

,

x x

y y y y

x x

∂

∂=

∂

∂.

Si dimostra che il non annullarsi del determinante

( )( )21

21

,

,

x x

y y

∂

∂

è condizione necessaria e sufficiente per garantire l’invertibilità del sistema

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2122

2111

,

,

x x f y

x x f y

48

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

REGOLE PER CALCOLARE GLI INTEGRALI DOPPI

Ci sono due principali forme del dominio di integrazione.

1. Il dominio di integrazione D è limitato sulla sinistra e sulla destra da due linee rette a x = e

b x = ( )ba < , e sotto e sopra da curve continue ( ) x y 1ϕ = e ( ) x y 2ϕ = ( ) ( )[ ] x x 21 ϕ ϕ ≤ , ciascunadelle quali è intersecata da una linea retta verticale solo in un punto (fig. 1).

Per tale dominio, l’integrale doppio può essere calcolato con la formula:

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ = D

x

x

b

a

dy y x f dxdxdy y x f

)(

)(

2

1

,,

ϕ

ϕ

.

In questo caso, la prima cosa da fare è calcolare l’integrale ( )( )

∫ x

x

dy y x f 2

1 )(

,

ϕ

ϕ

, nel quale x è considerata

come costante.

2. Il dominio di integrazione D è limitato sotto e sopra dalle linee rette c y = e d y = (c < d), e

sulla sinistra e sulla destra da curve continue ( ) y x 1ψ = e ( ) y x 2ψ = ( ) ( )( ) y y 21 ψ ψ ≤ , ciascuna

delle quali è intersecata da una linea retta orizzontale in un solo punto (fig. 2).

Per un tale dominio, l’integrale doppio è calcolato con la formula:

( ) ( )( )

( )

∫∫ ∫ ∫ = D

y

y

d

c

dx y x f dydxdy y x f 2

1

,,

ψ

ψ

Viene calcolato per prima l’integrale ( )( )

( )

∫ y

y

dx y x f 2

1

,

ψ

ψ

nel quale y è considerata come costante.

Le espressioni nel membro di destra delle formula precedenti sono chiamate integrali iterati.

In un caso più generale, il dominio di integrazione può essere ridotto ai casi più generali in base alla

scelta della suddivisione del dominio.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

ESEMPIO 1

Calcolare ∫∫ D

ydxdy x ln , se il dominio D è il rettangolo 40 ≤≤ x , e y ≤≤1 .

Soluzione

∫∫ D

ydxdy x ln = [ ] ( )∫ ∫ =+−⋅=−⋅

=

4

0 1

1

4

0

2

.818ln2

ln

ee

ee y y y x

ydy xdx

ESEMPIO 2

Calcolare ( )∫∫ + D

dxdy y x 22 sincos , se il dominio D è il quadrato 40 π ≤≤ x , 40 π ≤≤ y .

Soluzione

( )∫∫ + D

dxdy y x22

sincos = ( )∫ ∫ ∫ =

−+=+

4

0

4

0

4

0

2

4

0

222sin

4

1

2cossincos

π π π π

dx y y

x ydy y xdx

∫ =

−+

+=

−+

+=

−+=

4

0

24

0

2.

1644

1

82

1

484

1

82sin

2

1

84

1

8cos

4

π π π π π π π π π π π

x x xdx x

ESEMPIO 3

Calcolare I = ( )∫ ∫ −2

1

2

2

x

x

dy y xdx

Soluzione

I = ∫ ∫ =

−−=

+−−=

−

2

1

2

1

354

2

1

22432.9.0

2

1

10

1

2

1

2

12

2

12

2

12

2

x x xdx x x x xdx y xy

x

x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


4

ESEMPIO 4

Calcolare ( ) ,∫∫ − D

dxdy y x se il dominio D è limitato dalle curve 22 x y −= , 12 −= x y .

Soluzione

Costruiamo il dominio D. La prima curva è una parabola, con vertice nel punto (0;2), simmetrica

rispetto all’asse y. La seconda curva è una linea retta. Risolvendo parallelamente le equazioni2

2 x y −= e 12 −= x y , troviamo le coordinate dei punti d’intersezione: A (-3; -7), B (1, 1) (fig. 3).

Il dominio di integrazione è del primo tipo:

( )∫∫ − D

dxdy y x =

( )∫ ∫ ∫ ∫ −

−

− − −

−

−

=

+−++−−+−−=

−=−=

1

3

2

12

1

3

1

3

22423

2

12

2

2 2

2

1222

2

1222

2

1 x

x

x

x

dx x x x x x x x xdx y xydy y xdx

∫ − −

⋅=

−++−−=

−++−−=

1

3

1

3

2345234

15

44

2

3

2

1

3

2

4

1

10

1

2

32

2

1 x x x x xdx x x x x

ESEMPIO 5

Calcolare ∫∫ + D

dxdy y x )2( , se il dominio D è limitato dalle linee rette y = x, y = 2x, x = 2, x = 3.

Soluzione

[ ]∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅===−−+=+=+=+ D

x

x

x

xxdx xdx x x x xdx y xydy y xdxdxdy y x

3

2

2 3

2

3

2

3

2

3

2

322222224

3

19

3

44)42()2()2(

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

ESEMPIO 6

Cambiare l’ordine di integrazione nell’integrale ( )∫ ∫ −

−

−−

1

1

1

1

2

2

,

x

x

dy y x f dx

Soluzione

Il dominio di integrazione è limitato dalle curve x = -1, x = 1, y = 22 1,1 x y x −=−− (fig. 4).

Cambiamo l’ordine di integrazione e rappresentiamo il dominio dato in due sottodomini (del

secondo tipo): 1 D , limitato sulla sinistra e sulla destra dai rami della parabola y x −±= 1

)10( ≤≤ y e 2 D limitato dagli archi di circonferenza2

1 y x −±= ( )01 ≤≤− y .

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −

−

−− −

−

−−

−

−−

+=1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

2

2

2

2

),(),(),(

x

x

y

y

y

y

dx y x f dydx y x f dydy y x f dx .

CAMBIAMENTO DI VARIABILI NEGLI INTEGRALI DOPPI

Integrali doppi in coordinate polari. La trasformazione degli integrali doppi da coordinate

rettangolari x,y a coordinate polari ϑ ρ , connesse dalle relazioni ϑ ρ cos= x , ϑ ρ sin= y , può

essere eseguita tramite la formula:

∫∫ ∫∫ = D D

d d f dxdy y x f ϑ ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ )sin,cos(),( .

Se il dominio di integrazione D è limitato da due raggi ,ϑ = β ϑ = ( ), β < che partono

dall’origine, e due curve )(1 ϑ ρ ρ = e )(2 ϑ ρ ρ = , dove )(1 ϑ ρ e )(2 ϑ ρ sono funzioni a valore

singolo per β ϑ ≤≤ e )()( 21 ϑ ρ ϑ ρ ≤ , allora l’integrale doppio può essere calcolato con la

formula:

∫ ∫ ∫∫ = β

α

ϑ ρ

ϑ ρ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ϑ ρ ρ ϑ ρ )(

)(

2

1

),(),( d F d d d F D

,

dove )sin,cos(),( ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ f F = , l’integrale ∫ )(

)(

2

1

),(

ϑ ρ

ϑ ρ

ρ ρ ϑ ρ d F nel quale ϑ è considerata costante

essendo il primo a essere calcolato.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


7

dA

P

R

v + dv

v

u + du

uQ

x

y

Per esprimere l’elemento d’area dA = dxdv in termini dell’elemento d’area dudv del piano uv si

procede come segue.

Per ogni valore di u fissato, ad esempio u = c, le equazioni:

x = x(u,v) y = y(u,v)

definiscono una curva parametrica (con v come parametro) nel piano xy. Questa curva è chiamatau-curva corrispondente al valore u = c. Analogamente per v fissato le equazioni definiscono una

curva parametrica (con parametro u) chiamata v-curva. Consideriamo l’elemento d’aria infinitesimo

delimitato dalle u-curve corrispondenti ai valori vicini u e u + du e dalle v-curve corrispondenti ai

valori vicini v e v + dv.

Si dimostra che una regione rettangolare di area dudv nel piano uv è trasformata in un

parallelogramma curvilineo la cui area è approssimativamente zero.

( )( ) dudvvu

y xdxdydA ,

,

∂

∂== (1)

L’errore di questa approssimazione diventa trascurabile in confronto a dA quando du e dv tendono a

zero.

Si dimostra che la (1) resta valida anche se la trasformazione non è iniettiva o se il determinante siannulla sull’insieme di misura nulla.

Esercizio

Utilizzare un cambiamento di variabili appropriato per determinare l’area del disco ellittico E dato

da

12

2

2

2

≤+b

y

a

x

Soluzione

A seguito della trasformazione x = au, t = bv, il disco ellittico E è l’immagine del disco circolare D

dato da 122 ≤+ vu . Supponendo a>0 e b>0, abbiamo

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

x

y

a

x

y

a b

( )

( ) b

adudv

vu

y xdxdy

0

0

,

,=

∂

∂= abdudvdudv =

Pertanto l’area di E è data da

×== ∫∫ ∫∫ ababdudvdxdy D E

1 (area di D) abπ =

Negli esempi che seguono è data la frontiera del dominio D e l’integrale doppio

∫∫ = Ddxdy y x f I ),(

è espresso mediante la formula di riduzione in coordinate polari.

ESEMPIO 7

D è l’area della circonferenza 2 x + 2

y = 2a

I = ∫ π

ϑ 2

0

d ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ d f

a

)sin,cos(0

∫

ESEMPIO 8

D è l’area della corona circolare specificata dalle circonferenze:

2 x + 2

y = 2a e 2

x + 2 y = 2

b dove ba pp0

I = ∫ π

ϑ 2

0

d ∫ b

a

d f ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ )sin,cos(

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

x

y

2a 4a

x

y

x

y

2rr

ESEMPIO 9

D è l’area della circonferenza di equazione 2 x + 2

y = ax4

I = ∫ −

2

2

π

π

ϑ d

∫

ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ cos4

0

)sin,cos(

a

d f

ESEMPIO 10

D è l’area del cerchio di equazione 2 x + 2

y = y x 22 +

I = ∫ −

43

4

π

π

ϑ d ∫ + )sin(cos2

0

)sin,cos(

ϑ ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ d f

La condizione che l’angolo ϑ ε

−

4

3,

4

π π deriva

dal fatto che la retta di equazione y = -x è tangente al

cerchio nel punto ( )0,0

ESEMPIO 11

D è l’area esterna alla circonferenza 1γ ed interna alla circonferenza 2γ

rispettivamente di equazioni:

1γ :222

r y x =+ e :2γ rx y x 222 =+

Risolvendo il sistema fra le due equazioni precedenti si trovano i punti

comuni alle due circonferenze:

3

2,

2

r r e

− 3

2,

2

r r

da cui si evince che33

π ϑ

π ≤≤− pertanto:

I = ∫ −

3

3

π

π

ϑ d ∫ ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ cos2

)sin,cos(

r

r

d f

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

x

y

1

x

y

a

a

x

y

ab

ESEMPIO 12

D è l’area del dominio situato nel primo quadrante limitato dalla retta e dalla circonferenza

Rispettivamente di equazioni: a y x =+ e 222 a y x =+ a f 0

I = ∫ 2

0

π

ϑ d ∫ +

a

a

d f

)cos(sin

)sin,cos(

ϑ ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ

ESEMPIO 13

D è l’area del dominio limitato dalla parabola 2 x y = e dalla retta 1= y

I = I1+I 2 +I 3

I 1 = ∫ 4

0

π

ϑ d ∫ )(

0

)sin,cos(

ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ g

d f

I 2 = ∫ 4

3

4

π

π

ϑ d ∫ ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ sin

1

0

)sin,cos( d f

I 3 = ∫ π

π

ϑ

43

d ∫ )(

0

)sin,cos(

ϑ

ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ g

d f con g ( )ϑ =ϑ

ϑ

cos

tan= tanϑ secϑ

ESEMPIO 14

D è l’area del dominio limitato dall’ellisse e dalla circonferenza di equazioni:

12

2

2

2

=+b y

a x 0≥ y e 222 b y x =+ 0≥ y

Ora, se indichiamo con D 1 il dominio limitato

dall’ellisse e con D 2 il dominio limitato dalla

circonferenza, allora il nostro scopo è quello di calcolare il nostro integrale come differenza di due

integrali:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

I = ∫∫ D

dxdy y x f ),( = ∫∫ 1 D

- ∫∫ 2 D

Per calcolare l’integrale esteso al dominio D 1 relativo all’ellisse, operiamo prima la seguente

sostituzione: au x = , bv y = da cui abdxdy = dudv

con questa l’ellisse si trasforma in un cerchio di raggio 1 con equazione:

122 =+ vu con 0≥v

Pertanto :

I = ∫ ∫ ∫ ∫ −

1

0 000

)sin,cos()sin,cos(

b

d f d d ba f d ab ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ

π π

ESEMPIO 15

Utilizzando le coordinate polari, calcolare ∫∫ + D

dxdy y x22

, se il dominio D è il primo quadrante

della circonferenza .222

a y x ≤+

Soluzione

Ponendo ϑ ρ cos= x , ϑ ρ sin= y :

∫∫ + D

dxdy y x22

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ====+=2

0 0

2

0

2

0

33

0

322222

633

1sincos

π π π π

ϑ ϑ ρ ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ a

a

D

ad

ad d d d d .

ESEMPIO 16

Calcolare dxdy y x D

∫∫ + )ln(22 , se il dominio D è il disco tra le circonferenze 222

e y x =+ e

422e y x =+ .

Soluzione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

CALCOLO DI AREE DI FIGURE PIANE

L’area di una figura piana limitata dal dominio D può essere trovata con la formula:

∫∫ =

D

dxdyS .

Se il dominio D è specificato dalle disuguaglianze b xa ≤≤ , )()( 21 x y x ϕ ϕ ≤≤ , allora

∫ ∫ =)(

)(

2

1

.

x

x

b

a

dydxS

ϕ

ϕ

Se il dominio D in coordinate polari è specificato dalle disuguaglianze β ϑ ≤≤ ,

)()( ϑ β ϑ ϕ f ≤≤ , allora

∫∫ ∫ ∫ == D

f

d d d d S

)(

)(

ϑ

ϑ ϕ

β

α ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ .

ESEMPIO 18

Calcolare l’area della figura limitata dalle curve2

4 y y x −= , 6=+ y x .

Soluzione

Risolvendo il sistema di equazioni 24 y y x −= e 6=+ y x , troviamo le coordinate dei punti di

intersezione delle curve date (disegnare il grafico). Come risultato si ha A(4;2), B(3;3), e, di

conseguenza,

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ =

−+−=−+−====

−

−

−

−

3

2

3

2

3

2

3

2

2324

6

4

66

16

2

5

3

1)65(

2

2

y y ydy y ydy xdxdydxdySy y

y

y y

y D

(unità di superficie)

ESEMPIO 19

Calcolare l’area della figura limitata dalle circonferenze 1= ρ , ϑ ρ cos)32(= (al di fuori della

circonferenza 1= ρ ) (fig. 8).

Soluzione

Troviamo le coordinate del punto A; abbiamo ,cos)32(1 ϑ = ,23cos =ϑ 6π ϑ = (quindi

A(1; 6π )).

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−+=

−=

===

D

d d d d d d d S

ϑ π π π ϑ π

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ cos)32(

1

6

0

6

0

2

2

0

cos)32(

1

2

6

0

12cos3

2

3

21cos

3

4

2

122

[ ]∫ −=

−=−=−=

6

0

6

0 )33(18

1

63sin

3

12sin

3

1)12cos2(

3

1π

π π

π π ϑ ϑ ϑ ϑ d (unità di superficie).

ESEMPIO 20

Trovare l’area limitata dalla lemniscala xya y x2222

2)( =+ .

Soluzione

Ponendo ϑ ρ cos= x , ϑ ρ sin= y , trasformiamo l’equazione della curva in coordinate polari. Il

risultato è ϑ ϑ ϑ ρ 2sincossin2222

aa == . E’ evidente che il cambiamento nell’angolo polare ϑ

da 0 a 4π è associato con il quarto di area desiderata:

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−===== D

aa

aad ad d d d d S

4

0

2sin

0

4

0

24

0

22

4

0

2sin

0

2.|2cos2sin2244

π ϑ π π

π ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ

ESEMPIO 21

Trovare l’area della figura limitata dalle curve axy y x =+ 33 (l’area della curva)(fig. 9).

Soluzione

Trasformiamo l’equazione data in coordinate polari: ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ρ cossin)cos(sin2333

a=+ , cioè

).cos(sincossin33 ϑ ϑ ϑ ϑ ρ += a L’asse di simmetria della curva è il raggio 4π ϑ = , pertanto:

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

=+

=+

=== D

a

d ad ad d d d S

4

0

)cos(sincossin

0

4

0

236

422

4

0

233

222

33

)tan1(cos

costan

)cos(sin

cossin22

π ϑ ϑ ϑ ϑ π π

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ

∫ ∫ =

+−=

+

+=

+=

4

0

24

0

4

0

3

2

23

32

23

22

.6)tan1(3)tan1(

)tan1(

3)tan1(

)(tantan3

3

π π π

ϑ ϑ

ϑ

ϑ

ϑ ϑ aad ad a

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

CALCOLO DEL VOLUME DI UN CORPO

Il volume di un corpo cilindrico limitato sopra da una superficie continua ),,( y x f z = sotto dal

piano z=0 e di lato da una superficie cilindrica retta incidente un dominio D del piano xOy , può

essere calcolato tramite la formula

.),( dxdy y x f V D

∫∫ =

ESEMPIO 22

Trovare il volume di un corpo limitato dalle superfici ,12

x y += x z 3= , ,5= y 0= z e posto nel

primo quadrante.

Soluzione

Il corpo è limitato in alto dal piano x z 3= , lateralmente dal cilindro parabolico 21 x y += e dal

piano 5= y . Pertanto è un corpo cilindrico. Il dominio D è limitato dalla parabola 21 x y += e dalle

linee rette 5= y e 0= x . Così si ha:

[ ]∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−=−=⋅=== +

+ D

x

x

x xdx x xdx y xdy xdx xdxdyV

2

0

2

0

2

0

42

2

0

35

1

5

1

124

123)4(3333 2

2

(unità di volume).

ESEMPIO 23

Calcolare il volume di un corpo limitato dalle superfici 221 y x z −−= , x y = , 3 x y = , 0= z e

posto nel primo quadrante.

Soluzione

Il corpo dato è limitato sopra dal paraboloide22

1 y x z −−= . Il dominio di integrazione è un settore

circolare limitato da un arco della circonferenza 122 =+ y x , il quale è la linea di intersezione del

paraboloide con il piano 0= z , e le linee rette x y = e 3 x y = . Di conseguenza,

∫∫ −−= D

dxdy y xV )1(22

Poiché il dominio di integrazione è una parte della circonferenza e l’integrando dipende da22

y x + ,

è utile passare alle coordinate polari. In queste coordinate, l’equazione della circonferenza

122 =+ y x assume la forma 1= ρ , l’integrando è uguale a

21 ρ − , e gli estremi di integrazione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


16

possono essere determinati dalle equazioni delle linee rette: 1tan 11 == ϑ k , cioè 41 π ϑ = ;

3tan 22 == ϑ k , cioè 32 π ϑ = . Così abbiamo:

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ==

−=−=−=

D

d d d d d d V

3

4

3

4

3

4

1

0

42

1

0

32

484

1

4

1

2

1)()1(

π

π

π

π

π

π

π ϑ ϑ ρ ρ ρ ρ ρ ϑ ϑ ρ ρ ρ (unità di volume).

ESEMPIO 24

Trovare il volume del corpo limitato dalle superfici 222a y x =+ , .222

a z x =+

Soluzione

Consideriamo l’ottava parte del corpo dato (fig. 10):

∫∫ ∫ ∫ =−=−=−

D

a xa

dydx xadxdy xaV 0 0

2222

22

8

1

3

0

32

0

22

3

2

3

1)( a x xadx xa

aa

=

−=−= ∫

Quindi, 3163

aV = .

APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI DOPPI

Se una lamina occupa il dominio D del piano xOy e ha una superficie di densità variabile

),( y xγ γ = , allora la massa M della lamina è espressa dall’integrale doppio

∫∫ = D

dxdy y x M .),(γ

Il momenti statici della lamina rispetto agli assi Ox e Oy possono essere trovati tramite le formule

∫∫ = D

xdxdy y x y M ,),(γ ∫∫ =

D

ydxdy y x x M .),(γ

Nel caso della omogeneità della lamina γ è costante.

Le coordinate del centro di gravità della lamina possono essere trovate con le formule

, M

M x

y=

M

M y x= ,

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

dove M è la massa della lamina e x M , y M sono i suoi momenti statici rispetto agli assi coordinati.

Nel caso di omogeneità della lamina, le formule assumono la forma

,S

xdxdy

xD

∫∫ = ,S

ydxdy

yD

∫∫ =

dove S è l’area del dominio D.

I momenti di inerzia della lamina rispetto agli assi Ox e Oy sono calcolati tramite le formule

∫∫ = D

x dxdy y x y I ,),(2γ ∫∫ =

D

y dxdy y x x I ),(2γ ,

e il momento di inerzia rispetto all’origine tramite la formula

y

D

x I I dxdy y x y x I +=+= ∫∫ ),()( 220 γ .

Ponendo 1),( = y xγ in queste formule, possiamo ottenere le formule per calcolare i momenti

geometrici di inerzia di una figura piana.

ESEMPIO 25

Trovare le coordinate del centro di gravità della figura limitata dalle curve 442 += x y ,

422 +−= x y (fig. 14).

Soluzione

Poiché la figura è simmetrica rispetto all’asse x, si ha .0= y Rimane da trovare x .

Troviamo l’area della figura data:

∫∫ ∫ ∫ ∫ −

−

=

−−

−===

D

y

y

dy y y

dxdydxdyS

2

0

2)4(

4)4(

2

0

222

2 4

4

2

422

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

∫ =

−=

−=

2

0

2

0

32

812

16

4

332 y ydy

y.

Segue che:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −

−

=

+−=

−−−=⋅==

2

0

2)4(

4)4(

2

0

2

0

422222

2

2 16

3

2

338

1)4(16

1)4(4

1

8

128

1

8

1y

y D

dy y ydy y y xdxdy xdxdy x

.5

2

80

3

23

8

12

0

53

=

+−=

y y y

ESEMPIO 26

Trovare le coordinate del centro di gravità della figura limitata dall’ellisse 1925

22

=+y x

e da una sua

corda 135 =+

y x

.

Soluzione

Troviamo l’area del segmento:

∫∫ ∫ ∫ ∫ −

−

−=

+−−===

D

x

x

dx x xdydxdxdyS

225)53(

)51(3

5

0

2

5

0

).2(4

15

5

3325

5

3π

Abbiamo poi:

∫∫ ∫ ∫ ∫ −

−

=

−−−

−=

−==

D

x

x

dx x

x x xdy xdx xdxdyS

x

5

0

25)53(

)51(3

5

0

2

2

51325

5

3

)2(15

4

)2(15

41

π π

)2(3

1025

2

7525

)2(15

4

52

3)25(

3

2

2

1

5

3

)2(15

45

0

32232

−=

+−

−=

+−−⋅⋅−

−=

π π π

x x x ;

∫∫ ∫ ∫ ∫

−

−=

−−−⋅−=−==

D

x

xdx

x x ydydx ydxdyS y

225)53(

)51(3

5

0

2

2

5

0519)25(25

9

2

1

)2(15

4

)2(15

41

π π

.2

2

3

125

2

125

)2(125

12

3

1

2

5

)2(125

12)5(

25)2(15

2925

0

325

0

2

−=

−

−=

−

−==−

⋅−

⋅⋅= ∫ π π π π

x x

dx x x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

y

x

θ

ESEMPIO 27

Calcolare il momento di inerzia rispetto all’origine della figura limitata dalle curve 1=+b

y

a

x,

0= x , 0= y .

Soluzione

Il momento d’inerzia rispetto all’origine è

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − −

=

−+−=

+=+=+=

D

a xaab a a xaab

dx xaa

b xa x

a

bdx y y xdy y xdxdxdy y x I

0

))((

0 0 0

3

3

32

))((

0

322222

0 )(3

1)(

3

1)()(

.12

)()(

4

1

3

1

43

1 22

0

4

3

343 baab

xaa

b x

a

bbx

a

+=

−⋅⋅−−

ESEMPIO 28

Calcolare il momento d’inerzia della figura limitata dalla cardioide )cos1( ϑ ρ += a ,

rispetto all’asse x.

Soluzione

Passando alle coordinate polari nella formula ∫∫ = D

x dxdy y I 2 , otteniamo:

∫∫ ∫ ∫ ∫ +

+ ==== D

a

a x d d d d d I

π ϑ π

ϑ ϑ ρ ϑ ρ ρ ϑ ϑ ϑ ρ ϑρ ρ 2

0

)cos1(

0

2

0

)cos1(0

423222 |41sinsinsin

∫ ∫ =++++=+=π π

π ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ 2

0

2

0

443224424.

32

21)coscos4cos6cos41(sin

4

1)cos1(sin

4

1ad ad a

ESEMPIO 29

Sia

A= (x, y) : x²+y²≤1; x²+y²≥1

T= ( ρ ,ϑ ) :ϑ ϑ cossin

1

+ ≤ ρ ≤1; 0≤ϑ ≤π /2

Calcolare :

1) ∫∫ A

xdxdy

Soluzione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

y

x

( )

( ) ( ) 6

1

tan1

1

cos

11

3

1

cossin

cos1

3

1

cossin

11cos

3

1coscos

2

0322

2

03

2

0

3

2

0

1

cossin

1

2

=

+−=

+−=

=

+−===

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ +

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ρ ρ ϑ ϑ θϑ ρ ρ ρ

π π

π π

ϑ ϑ

d d

d d d d d xdxdyT A

2) ∫∫ A

dxdy y2

Soluzione

( )

( ) ( ) 12

1

16cot1

1

3

1

4

1

16cot1

1

sin

1

4

1

2

2cos1

4

1

cossin

11sin

4

1sinsin

2

0

3

2

0

42

2

0

2

0

2

0

42

2

1

cossin

1

32222

−=

+−+=

+−

−=

=

+−===

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ +

π

ϑ

π ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ρ ρ ϑ ϑ ϑ ρ ϑρ ρ

π π π

π π

ϑ ϑ

gd

gd

d d d d d dxdy yT A

3) ∫∫ A

dxdy x2

Soluzione

12

1

16

2 −=∫∫ π

A

dxdy x

ESEMPIO 30

Sia A= (x, y) : x²+y²-4≤0; x²+y²-4x≥0, y≥

T= ( ρ ,ϑ ) : 2cosϑ ≤ ρ ≤4cosϑ , 0≤ϑ ≤π /2

Calcolare : ∫∫ A

dxdy x

y2

Soluzione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

y

x

A2

x

y

1

1

A

( )

π

π

ϑ

ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ρ ρ ϑ

ϑ

ϑ

π π

π π π ϑ

ϑ

6

7

26

14

2

4cos1

12

56

2sin12

56

cossin3

56cos864

cos

sin

3

1

cos

sin

2

0

2

0

2

2

0

2

0

222

0

32cos4

cos2

222

=

=

−

==

==−==

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

d d

d d d d dxdy x

y

T

ESEMPIO 31

Sia A = (x, y) : x²+ y²-4y≤0; x≥0

T = ( ρ ,ϑ ) : 0≤ ρ ≤4sinϑ , 0≤ϑ ≤π /2

Calcolare : ∫∫ A

xdxdy

Soluzione

( )∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ =

====

T A

d d d d xdxdy2

0

2

0

2

0

43

sin4

0

22

3

16

4

sin

3

64sin64cos

3

1coscos

π π

π ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ρ ϑ ϑ ρ ϑρ

ESEMPIO 32

Calcolare

dove:

Vediamo che:

∫∫ + A y x

dxdy22

( ) ,1:, ≥+= y x y x A 122 ≤+ y x 1

cossin

1≤≤

+ ρ

θ θ 20

π θ ≤≤

θ θ θ

π θ θ θ

θ ρ

π π

d d d d y x

dxdy

T A∫ ∫∫ ∫ ∫∫ +

−=

+−==

+

2

0

2

022 cossin

12cossin

11

12

tan22

tan

1

2cos

1

2sin

2cos

2cos

2sin2

1

cossin

1

2222 −−

⋅−=

−+

=+ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

1

u

/4

x

y

4

1

2

Quindi sostituendo:

∫ −−

1

0

2 12t t

dt =

( )∫ −−

1

0

221t

dt =

21

21ln

2

1

2

1

+−

−−⋅⋅

t

t

1

0

=

−

+−⋅

12

21ln

22

1

ESEMPIO 33

Calcolare

dove:

Ponendo x = µ e y = υ /2, si ha:

ESEMPIO 34

Calcolare

∫∫ ∫ ∫ +

−+=

−−+=

−−

⋅⋅+=+ A

t t

dt d

y x

dxdy1

0

2

2

022

22 12

12ln

2

1

2122

21

2tan2

2tan

1

2cos

1

2

12

2

π π θ

θ θ θ

π π

∫∫ D

dxdy x

y

( ) ,044,22 ≤−+= x y x y x D x y

2

1≥

2

1cossin2cos16

2

1tan

4

1 2

4

2

4

2 ==⋅⋅=

∫ ∫

π

π

π

π

θ θ θ θ θ θ d d

θ ρ υ θ ρ µ sincos* == e

∫∫ A

dy ydx

( )( )

( )

≥≤+==∂

∂ µ υ µ υ µ υ µ δ

υ µ ee

y x4|,

2

1

,

, 22

*tan4

1

2

1

2

4

2

cos4

0

=== ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ π

π

θ

ρ ρ θ θ υ µ µ

υ d d d d dxdy

x

y

S D

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


23

x

y

32

2

x

y

3

B

2

1

x

y

2

2

2B

dove

Se A1 denota la restrizione di A al primo quadrante, risulta:

dove:

B 1 = ( )

≥≥≤+ 0;0;1

49:,

22

y x y x

y x

( ) 0;0;4:,22

2 ≥≥≤+= y x y x y x B

Per il calcolo dell’integrale su 1 B poniamo x = 3µ e y = 2 υ; avremo:

u

µ

Quindi:

( )

≥≥+≤+= 0;4;1

49

:,22

22

y y x y x

y x A

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ −==

211

222 B B A A

dy ydxdy ydxdy ydxdy ydx

( )( )

( ) 4cos4sin12

12,

,2

20

2

0

1

0

2

111

=−==

==∂

∂=

∫ ∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

π

π

θ ρ ρ θ θ

µ υ υ υ µ υ

d d

d d d d y x

y xdy ydx

T T B

( )3

8cos

3

8sin 2

0

2

0

2

0

2

2

=−== ∫ ∫ ∫∫ π

π

θ ρ ρ θ θ d d dy ydx

B

3

8

3

168 =−=∫∫

A

dy ydx

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


24

ϑ cos3592 =− t

3

ESEMPIO 35

∫∫ 1

2

A

dxdy x = ∫∫ −1

2

E

dxdy x ∫∫ 1

2

C

dxdy x = Ponendo x = 2u ; y = v allora

∫∫ ∫∫ −1 1

228T C

dxdy xdudvu = 7 ∫∫ 1

2

C

dxdy x = ∫ 2

0

2cos4

7π

ϑ ϑ d = π 16

7 ∫∫ ⇒

A

dxdy x2

= π 4

7

∫∫ 1 A

ydxdy = ∫ 1

2 sinT

d d ϑ ρ ϑ ρ = ∫ 2

03

1π

( )ϑ

ϑ ρ ϑ ϑ d

−

+

⋅8

sincos4

636sin

23

22=

=( ) 3

8

cos59

sin636

3

1232

2

0

−−

⋅∫ ϑ ϑ

ϑ π

d =( ) 3

8

cos59

sin72

2

02

32

−−

∫ π

ϑ ϑ

ϑ d =

=( )

ϑ ϑ

ϑ π

d 232

2

0 cos59

sin72

−∫ =

( )∫

−

1

02

3259

72

t

dt

e ponendo t = cos 2π = 0 ⇒ 1cos

02cos

=

=

ϑ

π

Essendo

( )∫

− 23

259 t

dt =

5

3 ϑ ϑ

ϑ d ∫ 3cos27

cos=

= ϑ tan59

1=

59

1 t

3

5

259

3

t −=

2599 t

t

−

segue che

( )ϑ

ϑ

ϑ π

d 232

2

0 cos59

sin72

−∫ =

1

02598

t

t

−= 4

Quindi

∫∫ A

ydxdy = 2 ∫∫ 1 A

ydxdy = 2

−

3

84 =

3

8

ϑ sin35 =t

ϑ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


25

1 2

1

C1 A1 E1

1

2

21

ESEMPIO 36

Calcolare ∫∫ A

dxdy x2A = ( )

≤+≥+ 14

;1:,2

222

y x

y x y x

∫∫ A

dxdy x2

= 4 ∫∫ 1

2

A

dxdy x dove A1 è la restrizione di A al primo quadrante

∫∫ 1

2

A

dxdy x = ∫ 2

0

2cos

π

ϑ ( )

∫ ϑ ρ

ϑ ρ ρ 1

3 d d = ( )ϑ ρ 2 =ϑ ϑ 22 sincos

4

+=

=4

1∫

2

0

2cos

π

ϑ ( )( ) ϑ ϑ ρ d 14 − =

4

1

( )∫ −+

2

0

222

2

16sin4cos

cos16π

π

ϑ ϑ

ϑ =

= 2 ( )∫ −

+

2

0222 16tan41

1

cos

2π

π ϑ

ϑ ϑ d

= e ponendo t =ϑ tan2

= 2( )∫

+∞

−+0

22 161

π

t

dt

Dal seguente

∫ +dt

t 21

1=

( )∫ +

++ 222

1

2

1 t

t t

t

t =

( )∫ +

−++

+dt

t

t

t

t 22

2

21

112

1=

=( )∫ ∫

+−

++

+dt

t dt

t t

t 2222

1

12

1

12

1

segue che

( )∫ +∞

+0

221 t

dt =

+∞

++ 0

2arctan

2

1

12

1t

t

t =

4

π

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


26

Quindi

4 ∫∫ 1

2

A

dxdy x = 4

−

162

π π = π

4

7

ESERCIZIO (Un integrale molto importante)

Mostrare che

dxex

∫ +∞

∞−

− 2

= π

SOLUZIONE:

L’integrale improprio converge e il suo valore (ovviamente) non dipende da quale simbolo si usa

per la variabile d’integrazione. Pertanto possiamo esprimere il quadrato dell’integrale come

prodotto di due integrali identici, ma con le loro variabili d’integrazione indicate in modo diverso.

Possiamo poi interpretare questo prodotto come un integrale doppio e integrarlo in coordinate

polari:

2

2

∫

+∞

∞−

− dxe x = ∫ +∞

∞−

−dxe

x2

∫ +∞

∞−

−dye

y2

=( )

∫∫ ℜ

+−

2

22 dA y xe =

= ρ ρ ϑ ρ π

d ed

R

R

∫ ∫ −

∞→ 0

2

0

2

lim = R

R

e0

2

2

1lim2

− −

∞→

ρ π = π

Dove si è tenuto presente che in coordinate polari, tutti i punti del piano si ottengono prendendo il

valore principale dell’anomalia, cioè facendo variare ϑ da 0 ( oppure - π ) incluso, a 2π

(oppureπ ) escluso, e facendo variare ρ tra 0 e + ∞ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


27

INTEGRALI TRIPLI

Supponiamo che la funzione ),,( z y x f sia definita nel dominio T chiuso e limitato. Suddividiamo il

dominio T arbitrariamente in n sottodomini nT T T ,...2,1 con diametrind d d ,..., 21 e volumi

nV V V ∆∆∆ ,..,, 21 . Prendiamo arbitrariamente un punto ),,( k k k k P ζ η ξ in ciascun sottodominio emoltiplichiamo il valore della funzione nel punto

k P con il volume del sottodominio.

La somma integrale per la funzione ),,( z y x f sul dominio T è la somma della forma

∑=

∆n

k

k k k k V f 1

.),,( ζ η ξ

L’integrale triplo della funzione ),,( z y x f sul dominio T è il limite della somma integrale sotto la

condizione che il più grande diametro dei sottodomini tende a zero:

∑∫∫∫ =

→∆=

n

k

k k k k

T d

V f dV z y x f k 1

0max.),,(lim),,( ζ η ξ

Per una funzione continua in un dominio T questo limite esiste e non dipende dal modo in cui è

suddiviso il dominio T nei sottodomini o sulla scelta dei punti k P (teorema dell’esistenza di un

integrale triplo).

Se ),,( z y x f >0 nel dominio T, allora l’integrale triplo ∫∫∫ T

dV z y x f ),,( è la massa del corpo che

riempie il dominio T e possiede una densità variabile ),,( z y x f =γ (interpretazione fisica

dell’integrale triplo).

Le principali proprietà degli integrali tripli sono simili a quelle degli integrali doppi.

In coordinate cartesiane l’integrale triplo è usualmente scritto come

∫∫∫ T

dxdydz z y x f ),,( .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


28

Integrali tripli in coordinate cartesiane

Come gli integrali doppi, anche gli integrali tripli si riducono ad integrali ordinari mediante formule

di riduzione. Per gli integrali tripli in coordinate cartesiane esistono una formula d’integrazione per

strati e una per fili.

a) La formula d’integrazione per strati è:

( ) ( )( )

dydx z y x f dzdzdydx z y x f zC

b

aC

∫∫ ∫ ∫∫∫ = ,,,,

Questa formula si applica quando il solido

viene segato mediante piani z = coste quando ogni z = k seghi C secondo un dominio piano Z C .

b) La formula d’integrazione per fili è:

( ) ( )( )

( )

dz z y x f dydxdzdydx z y x f

y x

y x DC

∫ ∫∫ ∫∫∫ =,

,

,,,,

β

α

Questa formula si applica quando il solido viene segato mediante

rette parallele all’asse Z e C è normale rispetto a queste parallele.

A volte il solido C si presta all’applicazione delle due formule

indifferentemente.

Nei casi non si può applicare né l’una né l’altra si spezza opportunamente il campo C.

ESEMPIO 37

Calcolare il momento d’interzia relativo all’asse z del cono rotondo di raggio di base a e altezza h

Supponiamo che il vertice del cono coincida con l’origine degli assi.

Ricaviamoci l’equazione della superficie conica:

siccome è una superficie di rotazione, ricaviamo prima l’equazione del meridiano (in questo caso

una retta sul piano xz):

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


29

xa

h z =

Avvalendoci di un artificio noto dalla Geometria, al posti di x sostituiamo22

y x + e quadriamo.

Si ottiene:

( )22

2

22

y xa

h z += equazione del cono.

Il momento d’inerzia rispetto all’asse z è dato da:

( ) dzdydx y x M ∫∫∫ += 22

Calcoliamo per fili:

( ) ( ) dydx y xa

hh y xdzdydx y x M

C

h

y xa

hC

+−+=+= ∫∫ ∫ ∫∫

+

222222

22

Il campo C è una circonferenza di raggio a . Passiamo ora alle coordinate polari:

ϕ ρ cos= x

ϕ ρ sen y =

Si ha allora:

had a

hhd d d

a

hh M

a

C

4

0

3

2

0

2

10

1π ρ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ

π

=

−=

−= ∫ ∫ ∫∫ .

ESEMPIO 38

Calcolare l’integrale triplo dove1

2

22

+

+=

z

y x f ed il solido è individuato da

222 y x z += ;

( )222

4 y x z += ; h z ≤≤0 .

Calcoliamo l’integrale per strati. Passando in coordinate cilindriche avremo:

ρ ρ θ ρ θ ρ π

d d z

dzd d

z

dz I

z

z

hh

C Z

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ +=

+=

2

1

3

0

2

0

2

0

3

211

Per la sezione generica Z C è:

ρ = z ,22

4

1 z= ρ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


30

Fatta questa considerazione l’integrale diventa:

∫ +=

h

dz z

z I

0

2

4

132

15π

quindi la soluzione è:

+−= harctghh I

3

3

1

32

15π .

ESEMPIO 39

Determinare il volume del solido delimitato dalle superfici di equazioni:

=−+

=++

022

2222

yr y x

r z y x

≥

≥

≥

0

0

0

z

y

x

Calcoliamo il volume, risolvendo l’integrale triplo per “fili”:

∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ −−

−−===C

y xr

C

dydx y xr dzdydxdzdydxV

222

0

222

Il dominio C è il semicerchio base del cilindro (v. figura). Passando in coordinate polari:

θ ρ

θ ρ

sen y

x

=

= cos

si avrà:ù

−=+

−=−=−= ∫ ∫ ∫∫ 3

2

2391

23

3332

0

sin

0

2222 π π ρ ρ ρ ϕ θ ρ ρ ρ

π ϕ

r r r d r d d d r V

r

C

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


31

ESEMPIO 40

Calcolare:

( )∫∫∫ +++C

dzdydx z y x 4321log

Dove il dominio C è dato da:

≤≤

≤≤

≤≤

≡

c z

b y

a x

C

0

0

0

Il dominio d’integrazione è un parallelepipedo, quindi potremmo

utilizzare indifferentemente sia la formula d’integrazione per strati

sia quela per fili.

Utilizziamo quella per fili:

( ) ( )∫∫∫ ∫ ∫ ∫ +++=+++=C

c a b

dy z y xdxdzdzdydx z y x I 0 0 0

4321log4321log

Per risolvere l’integrale poniamo:

t z y x =+++ 4321

per cui:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +++

++++

+++==

c a zb x

z x

c a

dx z x

zb xbdzdt t dxdz I

0 0

4321

421 0 0421

4321log3

3

1log

3

1

Per procedere oltre conviene porre:

z x

zb xu

421

4321

++

+++=

Sostituendo:

( ) zbu x 4112

3−−−= ; dubdx

2

3=

l’integrale diventa:

∫ ∫ ∫ ++

+++

+

++ +++++++

++++++

++++

−=

c za

zba

z

zb

c

dz zazbzabb za

zbbzaza z

zaz za

abbdubudzb

0

421

4321

41

431 0

2

2

2

2

1681263821

163128241log

168821

6

2

3

2

3log

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


32

Per il resto non ci dovrebbe essere nessuna difficoltà nel proseguire alla risoluzione dell’integrale.

ESEMPIO 41

Calcolare l’integrale:

I = dzdydx yC

∫∫∫ 2

dove C è il volume della parte di cilindro rotondo di equazione 222r y x =+

con2

r yr ≤≤− e h z ≤≤0 .

Integriamo per strati e si ha:

dydx ydz I C

h

∫∫ ∫ =

2

0

dove C è la proiezione del solido sul piano x,y.

L’integrale dydx yC

∫∫ 2

si può calcolare in coordinate polari spezzando opportunamente il dominio.

Si ha:

44232

48

338

32

3r r d d sendydx y

C C

−+== ∫∫ ∫∫

π

θ ρ θ ρ

L’integrale proposto vale:

hr I 4

32

3

6

1

−=

ESEMPIO 42

Calcolare dzdydx x D

∫∫∫ esteso al primo ottante e delimitato dai piano 0= z e 2= z e dalle superfici

cilindriche:

=−+

=+

02

122

22

y y x

y x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


33

La superficie cilindrica 0222 =−+ y y x si proietta sul piano xy nella circonferenza di centro

( )1,0C e raggio 1, mentre la 122 =+ y x si proietta nella circonferenza con centro nell’origine e

raggio unitario.

Eseguiamo l’integrazione per fili:

∫ ∫∫ ∫∫∫ ==2

0

dzdydx xdzdydx x I C D

dove C è la sezione del cilindroide con il piano . xy Sviluppando i calcoli si ottiene:

12

5= I .

ESEMPIO 43

Calcolare ∫∫∫ D

dzdydx x esteso ad una regione D del primo ottante definita dalle equazioni:

≤

+≤≤

=

1

022

2

y

y x z

x y

Conviene eseguire l’integrazione “per fili”. Si pensi di inscrivere il solido in un cilindroide avente

generatrici parallele all’asse z e limitato superiormente dalla22

y x z += e inferiormente dalla

0= z .

Cioè:

Fig. a)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


34

∫ ∫∫ ∫∫∫ +

===

22

0

y x

C D

dzdydx xdzdydx x I

dove C è la sezione normale del cilindroide, come si può vedere nella fig. b).

Fig. b)

Sviluppando i calcoli:

( )24

523

0

22

22

=+=+== ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ +

dydx x ydydx xdydx y x xdzdydx x I C C

x

C C

y

.

ESEMPIO 44

Determinare le coordinate del baricentro del segmento sferico ad una base di altezza 5=h , limitato

dalla superficie sferica 64

222

=++ z y x e avente come asse di simmetria l’asse z.

Nel caso in esame è 0==GG y x .

Incominciamo a calcolare l’integrale che va a numeratore nell’espressione di G z :

∫∫ ∫ ∫∫∫ −

== dydxdz zdzdydx z I

r

hr

1

L’integrale doppio ∫∫ dydx rappresenta l’area di una sezione generica della sfera con un piano

= z cost, e cioè:

( ) ( )22264 z zr dydx −=−=∫∫ π π

Quindi:

( ) π π 4

302564

8

3

2

1 =−= ∫ dz z z I

L’integrale 2 I che sta a denominatore nell’espressione diG z rappresenta il volume del segmento

sferico, quindi:

( ) π π 3

47564

8

3

2

2 =−= ∫ dz z I

In definitiva:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


35

76

363

475

3

4

3025

2

1 =⋅==π

π I

I zG .

ESEMPIO 45

Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse di un tronco di cono avente le seguenti dimensioni:

altezza h = 2 cm

raggio maggiore a = 3 cm

raggio minore b = 2 cm

Il momento d’inerzia è dato da:

∫ = dzdydx z I 2

Integrando per strati otteniamo:

(1) ∫ ∫ ∫

==h

C Z

dydx zdzdzdydx z I 0

22

ove Z C è una sezione del tronco di cono col piano z = cost.

Ma nell’integrale (1) possiamo spostare la z nella prima parte, ottenendo:

(2) ∫ ∫ h

C Z

dydxdz z0

2

La seconda parte della (2) non è che l’area del cerchio Z C . Supponiamo di tagliare il cono con un

piano passante per z ottenendo un trapezio OCBG in cui GB = b, OC = a, FE = ρ (raggio di Z

C ).

Abbassiamo per B la perpendicolare a OC: avremo due triangoli rettangoli simili BDE e BAC dai

quali si ricava:

AB

AC

BD

DE = ; ma è

=

−=

−=

−=

h AB

ba AC

zh BD

b DE ρ

quindi:

h

ba

zh

b −=

−

− ρ

da cui ricaviamo:

zh

baa

−−= ρ

Dunque, essendo l’area di Z C uguale a2 ρ π , sarà pure:

2

−−= z

h

baaC Z π

e, sostituendo nella (2) otterremo:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


36

( ) ( ) 323322

2

05

1

2

1

3hbahbaahadz z z

h

baa I

h

−+−−=⋅

−−= ∫ π π

π π .

Ponendo in luogo di a, b, h i loro valori, otterremo:

35,44= I .

ESEMPIO 46

Trovare il momento d’inerzia rispetto a yz del solido delimitato dalle disuguaglianze:

≤≤

−≥

≤+

a z

xa y

a y x

0

22

Si sa dalla Meccanica che il momento d’inerzia rispetto a yz è dato da:

Fig. 1

dzdydx xV

∫∫∫ =Ι 2

essendo V il solido individuato dalle disuguaglianze.

E’ comodo eseguire l’integrale triplo per strati; una generica sezione con un piano parallelo a xy è

quella indicata in figura.

L’integrale si calcola nel modo seguente:

( )∫ ∫∫ ∫∫∫ ==Ιa

zC V

dydx xdzdzdydx x0

22

Calcoliamo separatamente l’integrale doppio, questo si calcola facilmente in coordinate polari.

Le formule di passaggio sono:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


37

=

=

ϑ

ϑ ρ

sen y

x cos

Fig. 2

Sostituendo si ha:

===== ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ =

+=

=

=

ρ ϑ ρ ϑ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ρ ϑ ρ ρ

ϑ ϑ ρ

π ϑ

ϑ

d d d d d d dydx x I

a

sen

aC C C

cos

232

0

23222coscoscos

( )∫ ∫

=

=

=

= +−=

2

0

4

242

0

24

cos4cos

4cos

π ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ d sen

ad a .

Calcoliamo separatamente i due integrali:

16cos

44

cos42

0

242

0

24

1

π ϑ ϑ ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

ad

ad

a I === ∫ ∫

=

=

=

=

.

( ) ( )ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

d sen

ad

sen

a I ∫ ∫

=

=

=

= +=

+=

2

0

4

242

0

4

24

2cos

cos

4cos4

cos.

Ricordando che:

2

12coscos

2 −=

ϑ ϑ

Sostituendo e contemporaneamente sviluppando il denominatore, si ha:

( )ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

d sensen

ad

sensen

a I ∫ ∫

=

=

=

=++

−=

++

−

⋅=

2

0

2

42

0

222

4

22221

12cos

8cos2cos

12cos

42

Ricordando che:

ϑ

ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ

2

2

21

12cos,

1

22

tg

tg

tg

tgsen

+

−=

+=

sostituendo si ottiene:

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ π ϑ

ϑ

π ϑ

ϑ

d tgtgtgtg

tgtgad

tg

tg

tg

tg

tg

tg

a I ∫ ∫

=

=

=

=++++

−−=

++

++

−+

−

=2

0

234

2442

0

2

2

2

2

2

4

21464

22

8

1

22

1

21

11

1

8.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


38

Poniamo:

t tg =ϑ .

Sarà di conseguenza:

dt t d t arctg 21

1

, +== ϑ ϑ .Sostituendo si ottiene:

( ) ( )dt

t t t t

t adt

t t t t t

t t a I ∫ ∫

∞∞

++++

−=

+⋅++++

−−=

0

234

24

0

2234

244

21464

2

811464

22

8.

Scomponiamo il denominatore in modo da poter risolvere l’integrale con la regola di Hermitte:

( )423411464 +=++++ t t t t t

( )∫ ∞

+

−=

0

4

24

21

2

8dt

t

t a I .

Consideriamo solo l’integrale a meno di8

4a

:

( ) ( )( )1lg

11

2'

3

2

4

2

2 +++

++=

+

−= ∫ t D

t

C t Bt Adt

t

t I

Derivando ambo i membri:

( ) ( ) 11

33322

1

24

22

4

2

++

+

−−−+++=

+

−

t

D

t

C t Bt A Bt Bt At A

t

t .

Eliminando i denominatori si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DC B D B At A Dt t Dt DC B B B At t At +−++−+−+=++−+−++−=− 332231332223322

Per il principio d’identità dei polinomi deve essere:

=+−

=+−

−=−

=

03

0322

23

0

DC B

D B A

A D

D

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


40

48

43

12161216

55

0

55442 aaaa

dzaa

dzdydx x

a

V

−=−=

−==Ι ∫ ∫∫∫

π π π

Il momento d’inerzia richiesto vale :

( )

48

435 −

=Ιπ a

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


41

Integrali tripli in coordinate cilindriche

Si dimostra che nel passaggio da integrali tripli in coordinate cartesiane a coordinate curvilinee in

genere sussiste la relazione:

dwdvduwvu

z y xwvu f dzdydx z y x f

T T

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∂

∂=

),,(

),,(),,(),,(

in cui è stato posto:

w

z

w

y

w

xv

z

v

y

v

xu

z

u

y

u

x

wvu

z y x

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∂

∂

),,(

),,(

Le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate cilindriche sono:

Il termine Jacobiano vale:

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ρ =−=

∂

∂

100

0cos

0cos

),,(

),,(sen

sen

z

z y x

La formula di trasformazione da utilizzare è:

dzd d z f dzdydx z y x f

T T

ϑ ρ ρ ϑ ρ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ),,(),,(

In coordinate cilindriche si opera come in coordinate cartesiane osservando che il solido deve essere

normale rispetto al riferimento cilindrico. Anche in coordinate cilindriche sussistono formule

analoghe a quella per strati e per fili delle coordinate cartesiane:

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ =),(

),(

),,(),,(ϑ ρ

ϑ ρ α

ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ B

D

T

z f d d dzd d z f

=

=

=

z z

sen y

x

ϑ ρ

ϑ ρ cos

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


42

ESEMPIO 47


∫∫∫ =T

dzdydx xyz I

Dove T è il volume compreso tra il cilindro di equazione y2+z

2-2cz = 0 e il piano 1

2=+

c

z

h

xcon

x≥0.

Facendo il seguente cambiamento di variabili:

=

==

θ ρ

θ ρ

sen z

y

x x

cos

e integrando per fili si ha:

∫∫ ∫ −

= D

c

senhh

dx xd d sen I 2

0

cos3

θ ρ

θ ρ θ θ ρ

Dove D è la proiezione del solido sul piano y,z descritta da 0≤θ≤π ,0 ≤ρ≤2csenθ.Procedendo,si ha:

15)

41(cos

2

42

2

223

2ch

c

sen

c

send d sen

h I

T

=+−= ∫∫ θ ρ θ ρ

θ ρ θ θ ρ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


43

ESEMPIO 48


∫∫∫ +=

T

dzdydx y x

z I

22

Dove T è il volume compreso tra la sfera x2

+ y2

+ z2

= a2

e i coni z2

= x2+ y

2, z

2= 4(x

2+y

2) con

z≥0.

Conviene spezzare il campo in due parti e integrare per fili. Passando in coordinate cilindriche si

ottiene:

75

51222532

0

5

0

222

22

2

0

2

5

222

22

−=+== ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+

+

+

+

adz zd d dz zd d dzd d I T

a

y

y

a

a

y

y

π ρ θ ρ θ θ ρ π ρ

ρ

π ρ

ρ

ESEMPIO 49


∫∫∫ =T

dzdydxsenx yz I

Dove T è il volume del cono x2

= y2

+ z2

con 0≤x≤h , y≥0 , z≥0.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


44

Con il cambiamento seguente:

=

=

=

θ ρ

θ ρ

sen z

y

x x

cos

si ottiene:

dxd d senxsen I T

θ ρ θ θ ρ cos3

∫∫∫ =

Integriamo per fili:

∫ ∫∫ =h

D

dxsenxd d sen I ρ

θ ρ θ θ ρ cos3

Dove D è la proiezione del solido sul piano z,y che viene descritta con 0 ≤ θ ≤ ,2

π 0 ≤ ρ ≤ h.

Procedendo,si ha:

+−−++−== ∫ ∫ ∫ 6cosh66cosh3cosh

42

1cos

234

32

0 0

senhhhsenhhh

dxsenxd d sen I hh

ρ

π

ρ ρ θ θ θ

ESEMPIO 50


dzdydx y x I T

)(22 += ∫∫∫

dove T è il volume compreso tra il paraboloide z = 1 – (x2

+ y2) e il cono (z – 1)

2= x

2+ y

2, con

h ≥ z ≥ 0 .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


45

Passando in coordinate cilindriche si ha:

dzd d I θ ρ ρ ∫ = 3

e integrando per strati:

π π ρ ρ θ π

15

14

4

)1(

4

)1(2

1

0

1

10

2

0

423 −=

−−

−== ∫ ∫ ∫ ∫

−

−

dz z z

d d dz I z

z

h

.

ESEMPIO 51

In una sfera di centro C(0;0;0) e raggio R viene scavato un foro cilindrico rotondo di asse x e

raggio a.

Trovare il volume della parte di sfera rimanente.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


46

Si può trovare il volume V del cilindro più il volume delle due calottine integrando per fili e

facendo il seguente cambiamento di variabili:

=

=

=

θ ρ

θ ρ

sen z

y

x x

cos

Quindi si ha:

322)(

3

4)22(

)22(

2

0 0

a Rdxd d dxd d V R

RT

a

−=== ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ −

−−

π ρ ρ θ θ ρ ρ ρ

ρ

π

.

ESEMPIO 52


∫∫∫ +=

T z

dz I

2

dove T è il cilindro di equazione: x2

+ y2

– 2ay = 0 con 0 ≤ z ≤ h .


2log2

22 0

2

0

2

0

2 had d

z

dz

z

dz I

h sena

T ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ =

+=

+=

π θ

π ρ ρ θ .

ESEMPIO 53


dzdydx x

yz I

T ∫∫∫ =

dove T è il volume compreso fra il cilindro x2

+ y2

= 4, il paraboloide z = x2

+ y2

+ 2 e il primo

x – y = 0 limitatamente al 1° ottante.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


47

Passando in coordinate cilindriche e integrando per fili si ha:

θ ρ θ ρ ρ θ θ ρ ρ ρ

d d tgdz ztgd d I D D

22)2(

2

122

0

+== ∫∫ ∫ ∫∫ +

dove D è la proiezione del solido sul piano x , y , che viene descritta con

40

π θ ≤≤ , 20 ≤≤ ρ .

Quindi:

2

2log

3

104)2(

2

1 224

0

2

0

=+= ∫ ∫ ρ ρ ρ θ θ

π

d d tg I .

ESEMPIO 54


dzdydx z x I T

∫∫∫ += )(

dove T è il volume compreso tra i coni di equazione y2

= x2

+ z2

, (y – 4a)2

= x2

+ z2

con

x ≥ 0 , z ≥ 0.

Col seguente cambiamento di variabili:

=

=

=

θ ρ

θ ρ

sen z

x

y y

cos

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


48

avremo:

dyd d sen I T

θ ρ θ θ ρ )(cos2 += ∫∫∫

Integrando per fili:

dyd d sen I a

D∫ ∫∫

+

+=4

)(cos2

ρ

ρ

θ ρ θ θ ρ

dove D è la proiezione del solido sul piano x , z che viene descritta con 60 π θ ≤≤ , 0 ≤ ρ ≤ 2° .

procedendo nei calcoli:

42

3

64)(cos4

2

0

2

ad d sena I a

o

=+= ∫ ∫ ρ ρ θ θ θ

π

.

ESEMPIO 55


dzdydx z I T

∫∫∫ =

dove T è il volume compreso tra la sfera x2

+ y2

+ z2

= 4a2

e i piani z = 0 , z = a.


dzd d z I T

θ ρ ρ ∫∫∫ =

Ovvero integrando per strati:

4

0

2

0

224

0 4

7ad d dz z I

a za

π ρ ρ θ π

∫ ∫ ∫ −

== .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


49

ESEMPIO 56

Mediante l’uso degli integrali tripli calcolare il volume del solido compreso tra il cilindro di

equazione x2

+ y2

= 4 tra i piani z = 0 e z = 3 e il cono di equazione 4 z2

= 9(x2

+ y2) .

Calcolando l’integrale per strati avremo:

dydxdzV zc

S ∫ ∫∫ =3

0

e passando in coordinate cilindriche:

∫ ∫ ∫ ==3

0

2

0

2

3

2

8π

π ρ ρ z

d dzV S

D’altra parte come verificare si può tener presente che

VS = Vcilindro – Vcono = 12 π – 4 π = 8 π .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


50

Integrali tripli in coordinate polari

Le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari nello spazio sono:

=

=

=

ϑ ρ

ϕ ϑ ρ

ϕ ϑ ρ

cos

cos

z

sensen y

sen x

Il determinante Jacobiano è:

Tenendo presente la formula di passaggio da coordinate cartesiane a curvilinee,nel caso in esame si

deduce:

.),,(),,(2 ϑ ϕ ρ ϑ ϑ ϑ ϕ ρ d d d senF dzdydx z y x f

T T ∫∫∫ ∫∫∫ =

.cos

)cos()coscoscos(cos

coscoscos

0cos

coscos

),,(

),,(

23222

22222222

ϑ ρ ϑ ρ ϑ ϑ ρ

ϕ ϑ ρ ϕ ϑ ρ ϑ ρ ϕ ϑ ϑ ρ ϕ ϑ ϑ ρ ϑ

ϑ ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ ρ

ϕ ϑ ρ ϕ ϑ ρϑρ ϕ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


51

ESEMPIO 57

Trovare le coordinate del baricentro del solido limitato dal cono rotondo di semiapertura 6π e dalla

calotta sferica con centro nel vertice del cono e raggio 2.

Siccome l’asse z è asse di simmetria è: xG=0,yG=0,mentre:

∫∫∫

∫∫∫ =

T

T

d d d sen

d d d sen zG

θ ϕ ρ θ ρ

θ ϕ ρ θ ρ θ ρ

2

2cos

dove T è il volume della calotta.Calcoliamo separatamente i due integrali:

π ρ ρ θ θ θ ϕ θ ϕ ρ θ θ ρ π

π

==° ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ 2

0

6

0

2

0

33coscos1 d d send d d d sen

T

).3

38

3

16(2

2

0

6

0

2

0

22 −==° ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ π ρ ρ θ θ ϕ θ ϕ ρ θ ρ π

π

d d send d d d senT

Quindi sostituendo in zG si ottiene:

3816

3

−=G z .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


52

ESEMPIO 58


∫∫∫ T

dzdydx y

dove T è il volume compreso tra la semisfera x2+y

2+z

2= a

2, z≥0 e i piani y = 0 , y = x tgα,

limitatamente al 1° ottante.

Passando alle coordinate polari si ha:

)1(cos16

43223

2

0 0 0

+−=== ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ α π

ρ ρ ϕ ϕ θ θ ϕ ρ θ ϕ θ ρ

π

α ad d send send d d sensen I

a

T

.

ESEMPIO 59


dzdydx y x I T

)(22 += ∫∫∫

dove T è il volume compreso tra le sfere di equazioni x2

+ y2

+ z2

= 4a2

, x2

+ y2

+ z2

- 2az = 0, con

z≥0.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


54

ESEMPIO 61

In una sfera di raggio R viene ricavata una cavità avente forma di cono rotondo di vertice O, asse

z e semiapertura t.

Trovare il volume della parte di sfera rimanente.

Conviene rappresentare uno spaccato del solido con il piano yz.

Essendo il solido in questione a simmetria sferica,conviene introdurre le coordinate polari nellospazio:

L’integrale di volume diventa:

.cos3

4sinsin

3222

0 0

t Rd d d d d d dzdydxV t

t

R

T T

π ρ ρ θ θ ϕ θ ϕ ρ θ ρ π π

==== ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ −

ESEMPIO 62

Determinare il volume del solido racchiuso dalla superficie:

14

4

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

Con un opportuno artificio si possono rendere le cose molto facili.Basta effettuare un cambio di

variabili:

,

=

=

=

wc z

bv y

au x

w

abc J

2=

L’equazione della superficie diventa:

u2

+ v2

+ w2

= 1

e il solido si trasforma in una sfera di raggio 1. L’integrale di volume diventa:

=

=

=

θ ρ

θ ϕ ρ

θ ϕ ρ

cos

sinsin

sincos

z

y

x

.2 ∫∫∫ ∫∫∫ =

T T w

dwdvduabcdzdydx

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


55

Passando alle coordinate polari dello spazio:

=

=

=

θ ρ

ϕ θ ρ

ϕ θ ρ

cos

sinsin

cossin

w

v

u

si ha:

abcd d d abc

w

dwdvduabcV

T

π ρ ρ ρ θ θ

θ ϕ

π π

5

8

cos

sin

22

2

0 0

1

0

=== ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

Nella sostituzione w z = non si tiene conto che z può anche assumere valori negativi,per cui

l’integrale θ θ

θ π

d ∫ 0 cos

sinassumerebbe valori immaginari per θ=π.

Per ovviare a questo inconveniente basterà calcolare l’integrale fra 0 e2

π e moltiplicare per 2 il

risultato ottenuto. Avremo:

θ θ

θ θ

θ

θ π

π

d d ∫ ∫ =2

00 cos

sin2

cos

sin.

ESEMPIO 63

Determinare il volume del solido compreso tra le superfici di equazioni:

Il solido è racchiuso tra 2 coni aventi vertice nell’origine degli assi e da una sfera con centronell’origine;sarà meglio dare una sezione della figura col piano yz.

≥

=++

+=

+=

0

)(3

)(3

1

2222

222

222

z

r z y x

y x z

y x z

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


56

Conviene passare alle coordinate polari dello spazio:

=

=

=

θ ρ

ϕ θ ρ

ϕ θ ρ

cos

sinsin

cossin

z

y

x

Si ottiene quindi:

)13(3

1sinsin

3222

0

3

6

0

−==== ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ r d d d d d d dzdydxV r

T T

π ρ ρ θ θ ϕ θ ϕ ρ θ ρ π

π

π

ESEMPIO 64

Calcolare il volume del solido limitato dalle superfici di equazioni:

=

+=

0

22

z

y x z,

=

=2

2

y x

x y

Si tratta dell’intersezione tra due cilindri parabolici con le generatrici parallele all’asse z ,

limitata dal piano z = 0 e dal paraboloide rotondo z = 22 y x + .

Questo solido si proietta sul piano xy nella regione limitata dalle due parabole 2 x y = e 2

y x =

(vedi figura).Calcoliamo l’ integrale triplo per “fili” :

∫∫∫ ∫∫ ∫ +

===T

y x

dzdydxdzdydxV

22

0

Risolviamo l’ integrale doppio per verticali :

( )35

6

3

1

3

11

02

1

0

64222 =

−−+=+= ∫ ∫ ∫ dx x x x x x xdy y xdxV

x

x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


58

ESEMPIO 66

Calcolare l’ integrale:

( ) dzdydx y xT

∫∫∫ + 22

dove T è il campo delimitato da:

=

=++

a y

a z y x2222

4

Passiamo in coordinate polari:

==

=

θ ρ ϕ θ ρ

ϕ θ ρ

cossinsin

cossin

z y

x

L’ integrale proposto diventa:

( )5

22222

35

27sincos

ad d d dzdydx y x

T T

==+ ∫∫∫ ∫∫∫ θ ϕ ρ θ ρ ϕ ρ

ESEMPIO 67

Calcolare il volume del solido compreso nel primo ottante fra i cilindri:

Il volume richiesto è:

=+

−=

1

1

22

2

y x

y z

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


59

( )∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ −

−===

21

0

21

y

dydx ydzdydxdzdydxV

Conviene passare alle coordinate polari:

( ) ( ) π θ ρ ρ θ ρ ∫∫ ∫∫ =−=−=16

3sin11

222d d dydx yV

ESEMPIO 68

Trovare il momento d’ inerzia, rispetto all’asse z, del solido compreso tra le sfere di raggi a e b

(a < b), con centro nell’ origine, considerando la parte al di sopra del piano xy.

Il momento d’ inerzia è dato da:

( )∫∫∫ +=T

dzdydx y x I 22

Trattandosi di un solido delimitato da superficie sferiche, ci conviene operare in coordinate polari,

ponendo:

=

=

=

θ ρ

θ ϕ ρ

θ ϕ ρ

cos

cossin

sincos

z

Y

x

, θ ϕ ρ θ ρ d d d J sin2=

La funzione integrando si modifica in:

( ) θ ρ ϕ θ ϕ θ ρ 222222222sinsinsincossin =+=+ y x

e, quindi:

∫∫∫ ==T

d d d L15

8sin

34 π θ ϕ ρ θ ρ

Ipotizziamo che il dominio di integrazione T è specificato dalle disuguaglianze 21 x x x ≤≤ ,

),()( 21 x y y x y ≤≤ ),(),( 21 y x z z y x z ≤≤ , dove ),(),,(),(),( 2121 y x z y x z x y x y sono funzioni

continue. Allora l’integrale triplo della funzione ),,( z y x f estesa al dominio T può essere calcolato

con la formula

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =T

y x z

y x z

x y

x y

x

x

dz z y x f dydxdxdydz z y x f

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

.),,(),,(

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


60

Se, nel calcolo di un integrale triplo, è necessario passare dalle variabili x,y,z alle nuove variabili

u,v,w connesse con x,y,z dalle relazioni ),,( wvu x x = , ),,(),,,( wvu z zwvu y y == , dove le funzioni

),,( wvu x x = , ),,(),,,( wvu z zwvu y y == , continue insieme alle loro derivate prime parziali,

stabiliscono una corrispondenza biunivoca, continua in entrambe le direzioni, tra i punti del

dominio T dello spazio Oxyz e i punti dello stesso dominio T ′ dello spazio Ouvw , e il Jacobiano J

del dominio T non si annulla

0≠

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

w

z

v

z

u

zw

y

v

y

u

yw

x

v

x

u

x

J ,

allora si usa la formula [ ] .),,(),,,(),,,(),,( dudvdw J wvu zwvu ywvu x f dxdydz z y x f T T

⋅= ∫∫∫ ∫∫∫

In particolare, passando dalle coordinate cartesiane x,y,z alle coordinate cilindriche z,,ϕ ρ

(Fig.15), connesse con x,y,z dalle relazioni

),,20,0(,sin,cos +∞≤≤−∞≤≤+∞≤≤=== z z z y x π ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ

la trasformazione jacobiana ρ B J = , e la formula di trasformazione di un integrale triplo in

coordinate cilindriche ha la forma

∫∫∫ T

dxdydz z y x f ),,( = ∫∫∫ T

dzd d z f .),sin,cos( ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ

Passando dalle coordinate cartesiane x,y,z alle coordinate sferiche ϑ ϕ ρ ,, (Fig.16), connesse conx,y,z dalle relazioni

),0,20,0(cos,sinsin,cossin π ϑ π ϕ ρ ϑ ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ ρ ≤≤≤≤+∞≤≤=== z y x

La trasformazione jacobiana ϑ ρ sin2= J , e la formula di trasformazione di un integrale triplo in

coordinate sferiche ha la forma

∫∫∫ T

dxdydz z y x f ),,( = ∫∫∫ T

d d d f ϑ ϕ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ ρ sin)cos,sinsin,cossin(2

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


61

ESEMPIO 69

Calcolare ,∫∫∫ =T

zdxdydz I dove il dominio T è specificato dalle disuguaglianze

.10,2,21022

y x z x y x x −−≤≤≤≤≤≤

Soluzione

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−−=−−===

−−−−

x

x

x

x

y x x

x

y x x

x

dx y yx ydy y xdxdy zdx zdzdydx I

2 21

0

2

3222

21

0

1

0

21

0

2

21

0

221

03

1

2

1)1(

2

1

2

122

22

∫ ∫ =

⋅−=

−=

−=++−−−=

21

0

21

0

21

0

4233333.

192

7

16

1

6

5

8

1

2

1

6

5

2

1

2

1

3

10

2

1)

3

1

3

822(

2

1 x xdx x xdx x x x x x x

ESEMPIO 70

Calcolare ∫∫∫ =T

dxdydz x I 2

, se T è la sfera .2222

R z y x ≤++

Soluzione

Passiamo alle coordinate sferiche. Nel dominio T le coordinate ϑ ϕ ρ ,, varia come segue:

π ϑ π ϕ ρ ≤≤≤≤≤≤ 0,20,0 R . Di conseguenza,

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

+⋅

===T

R

d Rd d d d d d I

π π π π

ϕ ϕ ϑ ϑ ρ ρ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ ϕ ρ ϕ ϑ ρ 0

2

0 0 0

2

0

3

5

423234 2sin21sin

25cossincossin

∫ =−=π

π ϑ ϑ

π

0

52

5

.15

4)(cos)1(cos

5

Rd

R

ESEMPIO 71

Calcolare ,22

∫∫∫ +T

dxdydz y x z se il dominio T è limitato dal cilindro x y x 222 =+ e dai piani

a z z y === ,0,0 .

Soluzione

Passiamo alle coordinate cilindriche. In queste coordinate l’equazione del cilindro assume la forma

,cos2sincos2222 ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ =+ o ,cos2)sin(cos

222 ϕ ρ ϕ ϕ ρ =+ cioè ϕ ρ cos2= .

Di conseguenza nel dominio T le coordinate z,,ϕ ρ variano come segue:

.0,20,cos20 a z ≤≤≤≤≤≤ π ϕ ϕ ρ Pertanto

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


62

∫ =

−=⋅−=

2

0

2

2

0

3222.

9

8sin

3

1sin

3

4)(sin)sin1(

3

4π π

ϕ ϕ ϕ ϕ aad a

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ====⋅=+ϕ π ϕ π π

ϕ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ρ cos2

0 0

2

0

cos2

0

2

0

32222

2

0

22cos

3

4

2

1a

T T

d ad d a zdzd d dzd d zdxdydz y x z

ESEMPIO 72

Calcolare ,)(22

∫∫∫ +T

dxdydz y x se il dominio T è la metà superiore della sfera .2222

r z y x ≤++

Soluzione

Usiamo le coordinate sferiche; le nuove variabili variano nel seguente modo:

20,20,0 π ϑ π ϕ ρ ≤≤≤≤≤≤ r . Pertanto si ha:

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ =−===+T

r r

T

d d d d d d d d dxdydz y x0

2

0

2

0 0

2

0

24343422)(cos)1(cos2sinsin)(

π π π

ϑ ϑ ρ ρ π ϕ ϑ ϑ ρ ρ ϑ ϕ ρ ϑ ρ

∫ =

−=

r

r d 0

5

2

0

34.

15

4coscos

3

12 π ϑ ϑ ρ ρ π

π

APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI TRIPLI

Il volume di un corpo occupante il dominio T è determinato dalla formula

∫∫∫ =T

dxdydzV .

Se la densità del corpo è una quantità variabile, cioè ),,,( z y xγ γ = allora la massa del corpo,

occupante il dominio T, è determinata dalla formula

∫∫∫ =T

dxdydz z y x M .),,(γ

Le coordinate del centro di gravità del corpo sono specificate dalle formule

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ===T T T

zdxdydz M

z ydxdydz M

y xdxdydz M

x .1

,1

,1

γ γ γ

Per 1=γ , abbiamo

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


63

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ===T T T

zdxdydzV

z ydxdydzV

y xdxdydzV

x1

,1

,1

( z y x ,, sono le coordinate del centro di gravità).

I momenti di inerzia (geometrici) rispetto agli assi coordinati sono uguali, rispettivamente, a

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ +=+=+=T T T

z y x dxdydz y x I dxdydz x z I dxdydz z y I .)(,)(,)(222222

ESEMPIO 73

Calcolare il volume del corpo limitato dalle superfici

h z y xhz =+= ,22 (Fig.17).

Soluzione

Il corpo dato è limitato sotto dal paraboloide ,)(22

h y x z += e sopra dal piano h z = , e si proietta

sul cerchio222

h y x ≤+ del piano xOy .

Usiamo le coordinate cilindriche tramite le quali l’equazione del paraboloide assume la forma

h z2 ρ = . Il volume del corpo è uguale a

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−=

−====

T T

h h hh

h

d h

hd h

hd dzd d dzd d dxdydzV 0

2

0 0

2

0 0

4222

0422

π π

ρ

π

ϕ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ

.242

32

0

33h

d hh π

ϕ π

∫ =

−=

ESEMPIO 74

Trovare le coordinate del centro di gravità del corpo prismatico limitato dai piani

.32,3,1,0,0 =+==== z x y y z x

Soluzione

Troviamo il volume del corpo in questione:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


64

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−=−=

−===

−

T

x

x xdx xdy x

dxdzdydxdxdydzV

3

0

3

1

3

0

3

0

2

2)3(

0

3

1

3

0

.2

9

2

13)3(

2

3

Allora abbiamo:

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−=−=

−===

−

T

x

x xdx x xdy x

xdxdzdy xdx xdxdydz x ;13

1

2

3

9

2)3(

9

2

2

3

9

2

9

2

9

23

0

3

0

32

3

0

3

1

2)3(

0

3

1

3

0

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

−=−=−===

−

T

x x

xdx xdy x ydxdz ydydx ydxdydz y

3

1

3

1

3

0

23

0

3

0

2)3(

0

3

0

;22

39

4)3(

9

4)3(

9

1

9

2

9

2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ −

=

−−=−===

2)3(

0

3

0

33

1

3

0

23

0

3

0

.21

3)3(

181

8)3(

92

92

92

x

T

xdydx x zdzdydx zdxdydz z

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


1

Funzioni a valori vettoriali

Definizione 1. Un’ applicazione definita su un insieme di numeri reali il cui codominio è un

insieme di nℜ è per definizione una funzione a valori vettoriali.

Se F denota una funzione a valori vettoriali allora ( )t F è un vettore che ha n componenti e si scrive

( ) ( ) ( ) ( )( )t f t f t f t f n,...,, 21= .

Così ogni funzione F a valori vettoriali dà origine a n funzioni n f f f ,...,, 21 a valori reali i cui

valori

nel punto t sono le componenti di ( )t F .

Nel seguito il dominio di F sarà un intervallo che può essere anche infinito.

Definizione 2. Sia F una funzione a valori vettoriali definita su un intervallo I. Si dice che F è

continua in I a∈ e si scrive

( ) ( )aF t F at

=→

lim ovvero ( ) ( ) 0lim =−→

aF t F at

se per ogni 0>ε è possibile trovare un numero positivo ( )a,ε δ δ = tale che

( ) ( ) ε <− aF t F ogni qualvolta che I t ∈ e δ <− at

dove denota la norma euclidea in nℜ :

22

1 ... nuuu ++= ( )nuuu ,...,1=

Pertanto

( ) ( )aF t F at

=→

lim se e solo se ( ) ( ) 0lim =−→

aF t F at

Non è difficile dimostrare che

( ) ( )aF t F at

=→

lim se e solo se ( ) ( )a f t f ii

at

=→

lim ni ,...,1=

Si dice che F è continua in I quando F è continua in ogni punto di I. Da quanto precede: una

funzione a valori vettoriali è continua se e solo se è continua ogni sua componente.

Analogamente: una funzione a valori vettoriali F è derivabile o integrabile su un intervallo I se ogni

componente di F ha la corrispondente proprietà sullo stesso intervallo.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

Se F è derivabile per t = a allora

( )( ) ( )

at

aF t F aF

at −

−=′

→lim se e solo se

( ) ( )( ) 0lim =′−

−

−

→aF

at

aF t F

at

e

( ) ( )( ) 0lim =′−

−

−

→aF

at

aF t F

at se e solo se

( ) ( )( )a f

at

a f t f i

i

at ′=

−

−

→lim ni ,...,2,1=

Ovviamente

( ) ( )( )

( ) ( )h

aF haF aF

at

aF t F

hat

−+=′=

−

−

→→ 0limlim

Definizione 3. Un’ applicazione F a valori vettoriali definita e continua in un intervallo chiuso e

limitato [a,b] è per definizione una curva o un arco di curva.

L’immagine di una curva è detta sostegno di F oppure la traiettoria descritta da F da F(a) a F(b); le

equazioni

( )t f x 11 = , ( )t f x 22 = , ( )t f xnn = [ ]bat ,∈

sono dette le equazioni parametriche della curva.

Ovviamente lungo una curva γ sono possibili due orientazioni. L’equazione della curva ( )t F F =

determina una delle due possibili orientazioni: quella corrispondente alla direzione lungo la quale il

parametro è crescente.In altre parole l’equazione ( )t F F = [ ]bat ,∈ induce sulla curva l’orientazione dal punto ( )aF al

punto ( )bF .

Se F ha derivata F ′ continua in ( )ba, e se 0)(' ≠t F in ( )ba, allora la curva è detta liscia o

regolare.

Una curva F si dice regolare a tratti se esiste una suddivisione finita di [a,b]:

bt t t t a n =<<<<= ....210

tale che F risulti regolare in ogni intervallo aperto

( ) ( ) ( )nn

t t t t t t ,,...,,,, 12110 −

Se risulta ( ) ( )bF aF = la curva si dice chiusa;

Se risulta ( ) ( )21 t F t F ≠ per ogni ( )bat t ,, 21 ∈ con 21 t t ≠ allora la curva si dice semplice.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

Curve piane. Una funzione F a valori vettoriali, definita e continua su un intervallo [ ]ba, il cui

condominio è un insieme di2ℜ è per definizione una curva piana. Se

( ) ( ) ( )( )t f t f t F 21 ,= [ ]bat ,∈

allora le equazioni

( )t f x 1= , ( )t f y 2= [ ]bat ,∈

sono dette equazioni parametriche della curva e la variabile t è detta parametro della curva.

Generalmente le equazioni parametriche di una curva piana vengono indicate con

( )t x x = , ( )t y y = [ ]bat ,∈

e la corrispondente funzione vettoriale con il vettore

r = r(t) = x(t)i + y(t) j [ ]bat ,∈

detto vettore posizione in quanto:

il grafico di una curva γ può essere pensato come la traiettoria descritta da un punto materiale in

movimento la cui posizione all’istante t è individuata dal vettore r ( )t . Nell’ intervallo di tempo da t

a t t ∆+ la particella si muove dalla posizione r ( )t alla posizione r ( )t t ∆+ e

( )

( )

( )t

t t

t

t

∆

−∆+=

∆

∆ rrr

è la sua velocità media. Se quando 0→∆t la velocità media ammette limite allora si dice che r ( )t

è differenziabile e tale limite è detto velocità (istantanea) della particella al tempo t . Il vettore

velocità è indicato con v ( )t . La direzione di questo vettore velocità è tangente alla curva γ nel

punto r ( )t e punta nella direzione del moto. Il modulo (la norma euclidea) del vettore velocità:

( ) ( )tv=t v , è chiamato velocità scalare. Il vettore che si ottiene derivando il vettore velocità è

detto vettore accelerazione e si indica con ( )t a :

( )( )

dt

t d t

va =

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

Se )( xt t = è la funzione inversa della funzione ( )t x x = , nel suddetto intorno risulta

[ ] )()( x f xt y y ==

Da cui usando il teorema di derivazione composta, si ottiene

'

'

x

y

dt dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy===

/

1

In altre parole, la traiettoria descritta dalla curva α, (nel suddetto intorno di c), è il grafico di una

funzione di classe C 1

.

Se poi la curva è di classe C 2

risulta

32

2

)(

1'

''''''

''

'

x

x y x y

x x

y

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd −=

=

=

2. Cicloide

La curva F = F(t) di equazioni parametriche

)cos1()),sin(( t a yt t a x −=−= [ ] 0,2,0 >∈ at π

è per definizione un arco di cicloide. Essendo

( ) 02

sin2 ≠=′t

at F in ( )π 2,0

segue che F è una curva regolare in ( )π 2,0 .

Da

( ) ( ) 0cos1 >−=′ t at x in ( )π 2,0

segue che la funzione ( )t x x = è invertibile in ( )π 2,0 . Se ( ) xt t = [ ]a x π 2,0∈ è la corrispondente

inversa, allora la traiettoria descritta da F è il grafico della funzione

]2,0[)(cos1()]([)( a x xt a xt yt y y π ∈−===

la cui derivata è

( ))2,0(

cos1

sin

)(a x

t

t

t x

t y

dx

dt

dt

dy

dx

dyπ ∈

−=

′

′==

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


6

Agli estremi dell’intervallo [ ]aπ 2,0 risulta

−−

→→

−−

→→

→≅−⇒→−∞=−

=

→⇒→+∞=−

=

−

++

02

)cos(12cos1

sinlimlim

0)sin(2cos1

sinlimlim

2

22

00

t t t t

t dxdy

t t t

t

dx

dy

xa x

x x

π

π

π π

Per rappresentare graficamente la funzione ( ) x f x = si osservi che risulta

( N.B. aa xt a xt π π π π π π 2:2:;0:0: →⇔→→⇔→ )

( ) 0>′ x y in ( )π a,0 ; ( ) 0<′ x y in ( )π π aa 2,

E

0)cos1(

11

)( 222

2

<−

−=−

=

=

t a x x

x y x y

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd ''

''''''

in ( )aπ 2,0 .

Pertanto il grafico dell’arco di cicloide è

πa 2πa

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


7

2. Asteroide

La curva φ di equazioni parametriche

[ ]π 2,0sin,cos 33 ∈== t t a yt a x

dove 0>a , è per definizione un asteroide.

Essendo ( ) ( ) ( )0,20 a== π ϕ ϕ la curva è chiusa; essendo ( )a,02

=

π ϕ segue che φ descrive la

corrispondente traiettoria nel verso antiorario.

Da

( ) π π π π

ϕ 2,2

3,,

2,00cossin3 ===′ t t t at

segue che φ è una curva regolare a tratti: φ è regolare negli intervalli

π π π π π

π π 2,

2

3,

2

3,,,

2,

2,0

.

Osservato che

( )

<−=′

2,00cossin3 2 π

int t at x

segue che la funzione t a x3

cos= è invertibile in

2,0

π .

Sia ( ) xt t = la funzione inversa di t a x3

cos= , definita ovviamente in [ ]a,0 ,

allora

[ ] [ ]a x xt a x y y ,0)(sin)( 3 ∈==

è la funzione il cui grafico coincide con la traiettoria descritta da ϕ quando t varia da 0 a 2

π .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

Essendo

∈−=

′

′==

2,0tan

π t t

x

y

dx

dt

dt

dy

dx

dy

segue che ( ) x y y = è decrescente in ( )a,0 .

Inoltre da

0sincos3

1)( 432

2

>=−=

=

t t a x x y x y

dxdt

dxdy

dt d

dx yd

'

''''''

segue che la funzione è convessa.

Infine da

( )

( ) 0tanlimlim

tanlimlim

0

2

0

=−=′

−∞=−=′

+−

−+

→→

→→

t x y

t x y

t a x

t x π

si evince che il grafico della funzione ( ) x y in [ ]a,0 ovvero della curva ( )t ϕ in

2,0

π è quello in

figura

Per dedurre l’equazione cartesiana della curva si osservi che da

t a

yt

a

xsincos

3

1

3

1

=

=

Segue323232 a y x =+

da cui si evince che la curva è simmetrica rispetto agli cartesiani. Pertanto il suo grafico è

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

Curve sghembe. Una funzione F a valori vettoriali, definita e continua su un intervallo [ ]ba, il cui

codominio è un insieme dello spazio tridimensionale3ℜ è per definizione una curva sghemba. Se

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]bat t f t f t f t F ,,, 321 ∈=

allora le equazioni

[ ]bat t f zt f yt f x ,)(,)(,)( 321 ∈===

sono dette equazioni parametriche della curva e la variabile t è detta parametro della curva.

Generalmente le equazioni parametriche di una curva sghemba vengono indicate con

[ ]bat t z zt y yt x x ,)(,)(,)( ∈===

e la corrispondente funzione vettoriale con il vettore

[ ]bat t zt yt xt ,)()()()( ∈++== k jirr

detto vettore posizione.

Curve equivalenti e cambiamento di parametro

Sia γ una curva specificata dalla funzione vettoriale

( ) [ ]bat t F F ,∈= .

Sia t = u (r) una funzione a valori reali definita su un intervallo [ ]d c, con derivata u′ sempre

diversa da zero e tale che il codominio di u sia [ ]ba, . In altre parole:

[ ] [ ] ( )τ τ ut d cbat =∈∃∈∀ :,!,

Allora la funzione vettoriale definita dall’equazione

( ) ( )[ ] [ ]d cuF G ,∈= τ τ τ

ha lo stesso grafico di F. Due funzioni vettoriali F e G che si trovano tra loro in questa relazione si

dicono equivalenti. Si dice altresì che la funzione ( )τ ut = definisce un cambiamento di parametro.

Si osservi che:

1. se ( )τ u′ è sempre positiva su [ ]d c, allora F e G percorrono γ nella stessa direzione;

2.

se ( )τ u′ è sempre negativa su [ ]d c, allora F e G percorrono γ in direzioni opposte.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

In altre parole il cambiamento di parametro ( )τ ut = conserva l’orientamento nel primo caso

( )( )0>′ τ u , e lo inverte nel secondo caso ( )( )0<′ τ u .

Poiché lungo una curva sono possibili due orientazioni ne consegue che qualunque

parametrizzazione di una curva determina una delle due possibili orientazioni:quella corrispondente

alla direzione lungo la quale il parametro è crescente.

Esempio. L’equazione cartesiana del segmento di estremi (a, b) e (c, d) :

( ) [ ]d cccd

abbt ,∈−

−

−−= τ τ

costituisce un esempio di cambiamento di parametro che inverte i verso della curvaγ .

Infatti quando τ varia da c a d ( )d c →:τ il parametro t varia da b ad a ( )ab →:τ .

Lunghezza d'arco ( ascissa curvilinea )

Sia γ una curva specificata dall’equazione vettoriale

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]bat t zt yt xt ,∈++== k jirr

Se ( )t r ha derivata ( )t v continua e non nulla in [ ]ba, , ovvero se la curva γ è liscia ( regolare )

allora la lunghezza della curva γ è data da

[ ] ( ) ( )∫∫ ==b

a

b

a

dt t dt t L vvγ

ovvero

( ) ( ) ( ) ( )∫ ++=b

a

dt z y x L222

&&&γ

In particolare la lunghezza di una curva piana di equazione ( ) x f y = dove f è una funzione di classe

[ ]( )baC ,1 , è data da

( )[ ]∫ ′+b

a

dx x f 2

1

Infatti usando x come parametro, risulta

( ) ( ) [ ]ba x x f x x ,∈+= jir

Se ( )t s indica la lunghezza di quella parte di γ che corrisponde ai valori del parametro in [ ]t a, ,

dove bt a ≤≤ , allora la funzione

( ) ( )∫=t

a

d vt s τ τ detta lunghezza d’arco o ascissa curvilinea, è derivabile e

( ) ( ) ( ) ( ) dt z y xdt dt

d dt t vds

222 ′+′+′===r

è detto elemento di lunghezza d’arco.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

Ne consegue che:

[ ] ∫=γ

γ ds L

Osservazione

Sia ( ) [ ]bat t F F ,∈= una curva regolare a tratti e sia

bt t t a n =<<<= ...10

una partizione di [ ]ba, tale che la restrizione di F su [ ] nit t ii ,...,1,1 =− , sia un arco di curva

regolare. Indichiamo con γ la traiettoria descritta da α su [ ]ba, e con iγ quella corrispondente

all’intervallo [ ] nit t ii ,...,1,1 =− .

Allora

∑ ∫∫=

=n

ii

dsds1 γ γ

poiché l'integrale (come sarà dimostrato nel paragrafo successivo)

nids

i

,...,2,1=∫γ

è indipendente dalla rappresentazione parametrica che descrive iγ ne consegue che per il calcolo

degli integrali precedenti possiamo considerare per ogni iγ la rappresentazione parametrica più

conveniente.

Un modo naturale di parametrizzare una curva liscia γ è quello di considerare come parametro la

lunghezza d’arco s misurata da qualche punto particolare di γ detto punto iniziale. Più

precisamente: supponiamo che una curva regolare sia specificata in funzione di un parametro

arbitrario t dall’equazione ( ) [ ]bat t ,∈= rr . Supponiamo inoltre che la lunghezza d’arco abbia

come punto iniziale ( ) [ ]bat t P ,000 ∈= r . Allora se la lunghezza misurata lungo la curva γ da 0P al

punto generico ( )τ r=P , data da

( ) ( ) τ τ τ τ

d vd d d t ss

t

t

t

t ∫∫ ===

00

r

può essere calcolata esplicitamente e se l’equazione ( )t ss = può essere risolta esplicitamente

rispetto a t, ( )st t = , allora la curva può essere riparametrizzata mediante la lunghezza d’arco

sostituendo ( )st t = nella parametrizzazione originale ottenendo

( )[ ] ( )sst ** rrr ==

dove s varia in un intervallo di lunghezza L essendo L la lunghezza della curva considerata.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


12

Più precisamente [ ]21, L Ls∈ dove

( ) ( ) τ τ τ τ d v Ld v L

t

t

t

a

∫∫ ==

0

0

21

In particolare se il punto iniziale coincide con il primo estremo dell’intervallo in cui varia t cioè se èat =0 allora [ ] Ls ,0∈ . Da

( ) ( )∫==t

t

d vt ss

0

τ τ

segue che qualunque sia il parametro risulta

( )t vdt

ds=

pertanto se il parametro è la lunghezza d’arco s, risulta ( ) 1=sv .

In altre parole:

una curva ( ) ( )[ ]st s rrr == ** parametrizzata in funzione della lunghezza d'arco s è percorsa con

velocità unitaria. Infatti

( ) ( )1

1*1*==⇒==

t vdt

d

ds

d

t vdt

d

ds

dt

dt

d

ds

d rrrrr

Esempi.

Calcolare la lunghezza dell’arco delle seguenti curve:

1. arco di circonferenza:

( ) ( ) ϑ ≤≤== t t a yt a x 0sin,cos

2. arco di cicloide:

( )( ) ( )( ) π 20cos1,sin ≤≤−=−= t t a yt t a x

3. primo anello dell'elica circolare:

( ) ( ) π 20,sin,cos ≤≤=== t bt zt a yt a x

4. dell'asteroide

( ) ( ) π 20,sin,cos 33 ≤≤== t t a yt a x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

Abbiamo

i )

ϑ ϑ ϑ

ad a L == ∫0

da cui: la lunghezza s di un arco di circonferenza di raggio ρ con angolo al centro ϑ è dato

da ρϑ =s

ii )

adt t

adt t

a L 82

sin22

sin2

2

0

2

0

=

=

= ∫ ∫

π π

dove si è tenuto conto del fatto che π ≤≤2

0t

quando π 20 ≤≤ t .

iii )

222

0

22 2 badt ba L +=+= ∫ π π

iv ) essendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )t t t t a

t t at t y xds

22222

2222222

sincoscossin9

sincos3cossin3

+=

=+=′+′=

segue

( ) ( ) a

a

dt t t a L 62

3

4cossin3

2

0=

== ∫

π

Per calcolare la lunghezza di una curva γ specificata dall’equazione polare ( ) 21, ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ρ ≤≤=

osservato che le equazioni parametriche della curva γ rispetto al parametro sono:

( ) ( ) ( ) ( ) 21sincos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ρ ≤≤== y x

derivando le equazioni precedenti rispetto a ϑ , si ottiene:

( ) ( )

( ) ( ) ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ρ ϑ

ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ρ ϑ

cossin

sincos

+′=

−′=

d

dy

d

dx

da cui

( )22

22

ρ ρ

ϑ ϑ

′+=

+

d

dy

d

dxdove ( )ϑ ρ ρ = e ( )ϑ ρ ρ ′=′

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

Quindi

( )∫ ′+=π

ϑ ρ ρ 2

0

22d L .

Esempio

Calcolare la lunghezza della cardioide ( ) π ϑ ϑ ρ 20,sin1 ≤≤+= a

Essendo ϑ ρ cosa=′ , abbiamo

∫∫−

+=+=

2

2

2

0

sin122sin22

π

π

π

ϑ ϑ ϑ ϑ d ad a L

da cui, essendo

∫∫−−

+=+

2

2

2

2

sin122sin22

π

π

π

π

ϑ ϑ ϑ ϑ d ad

Segue che è L = 8a.

Esempio

Riparametrizzare l’arco di cicloide γ

( ) ( ) π 20cos1sin ≤≤−=−= t t a yt t a x

rispetto al parametro d’arco s con punto iniziale ( )0,0 .

A tale scopo calcoliamo

( ) ( ) ∫∫ ===t t

d ad vt ss00

2sin2 τ τ τ τ

da cui

2cos44

t aas −= da cui

a

st

41

2cos −=

Ora riscriviamo l’equazione precedente rispetto a t.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

Osservato che π 20 ≤≤ t implica π ≤≤ 20 t , abbiamo

−=

a

sar t

41cos2 ovviamente π ≤

−≤

a

sar

41cos0

Si osservi che da as 80 ≤≤ segue che 14

11 ≤−≤−as .

Essendo2

2

41

2cos

2

cos1

−==

−

a

st t

da quando precede, si evince

i ) 14

1212

cos2cos 2 −

−=−=

a

st t .

ii )

−

−−=

−==

a

s

a

st t t t t

41

4112

2cos

2cos12

2cos

2sin2sin

21221

2

quindi

asa

sa

a

sa y

a

s

a

sa

a

sar a x

804

11214

121

41

4112

41cos2

22

212

≤≤

−−=

+

−−=

−

−−−

−=

Oppure da:

( )

−==

a

sar st t

41cos2

segue che

14

124

114

1

41cossin

41coscos

41cos2coscos

41

4112

41

41coscos12

41coscos

41cossin2

41cos2sinsin

222

22

2

2

−

−=

−−−

−=

=

−−

−=

−=

−

−−=

−

−−=

=

−

−=

−=

a

s

a

s

a

s

a

sar

a

sar

a

sar t

a

s

a

s

a

s

a

sar

a

sar

a

sar

a

sar t

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

Integrali curvilinei per campi scalari

Sia ( )t F F = una curva regolare definita in [ ]ba, e sia f un campo scalare definito e limitato in un

aperto Ω dello spazio tridimensionale che contiene il grafico γ di F.

L’integrale curvilineo di f lungo γ è definito dalla uguaglianza

( )[ ] ( )( )dt t F t F f ds f b

a

′= ∫∫γ

ogni qualvolta che l’integrale indicato a destra esiste, per esempio se f è continua su γ .

Sia ( ) [ ]d cGG ,∈= τ τ una curva equivalente ad F , allora

( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )∫∫ ′=′

b

a

d

c

dt t F t f d GG f τ τ τ

ovvero: l’integrale curvilineo di un campo scalare lungo γ è invariante rispetto alla

rappresentazione parametrica che descrive γ (e quindi rispetto al verso di percorrenza).

Per dimostrare ciò, incominciamo ad osservare che se ( )τ ut = è un cambiamento di parametro tale

che ( ) ( )[ ]t uF G =τ

Allora

( )[ ] ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )( )

( )

∫ ∫−

−

′′=′

b

a

bu

au

d uuF uF f dt t F t F f

1

1

τ τ τ τ

Per giustificare l’ultima uguaglianza precedente si osservi che:

i. se ( ) 0<′ r u allora ( ) ( ) ( ) ( )r ur ucbud au 111 ,, −===′−−

e

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )τ τ τ τ τ uuF uuF G ′′−=′′=′

ii. se ( ) 0>′ r u allora ( ) ( ) ( ) ( )r ur ud bucau 111 ,, ==′=− e

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )τ τ τ τ τ uuF uuF G ′=′′=′

Osservazione

Sia ( ) [ ]bat t F F ,∈= una curva regolare a tratti e sia

bt t t a n =<<<= ...10

una partizione di [ ]ba, tale che la restrizione di F su [ ] nit t ii ,...,1,1 =−

, sia un arco di curva

regolare.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

Indichiamo con γ la traiettoria descritta da F su [ ]ba, e con iγ quella corrispondente all’intervallo

[ ]iit t ,1−

. Allora

∑ ∫∫=

=

n

ii

ds f ds f 1 γ γ

poiché

∫ =

i

nids f γ

,...,2,1

è indipendente dalla rappresentazione parametrica che descrive iγ ne consegue che per il calcolo

degli integrali precedenti possiamo considerare per ogni iγ la rappresentazione parametrica più

conveniente.

1. Calcolare ( )ds y x∫ −

γ

, dove γ è un tratto di linea tra ( )0,0 A e ( )3,4 B .

Svolgimento. L’equazione della retta AB è ( ) x y 43= . Troviamo 43=′ y e

conseguentemente

( )2

5

32

5

16

5

16

91

4

34

0

2

4

0

4

0

===+

−=− ∫∫∫ xdx xdx x xds y x

γ

Se pensiamo una curva γ (piana e sghemba) come a un filo di un materiale di densità

lineare variabile ( ) z y x f ,, dove ( ) z y x f ,, è una massa per unità di lunghezza

nel punto ( ) z y x ,, di γ allora:

la massa totale M del filo è data dall'integrale curvilineo o di linea( )∫=

γ

ds z y x f M ,,

Il baricentro del filo è definito come il punto le cui coordinate ( ) z y x ,, sono definite

dalle equazioni

( ) ( ) ( )ds z y x f z z M ds z y x f y y M ds z y x f x x M ∫∫∫ ===

γ γ γ

,,;,,;,,

Il momento di inerzia del filo rispetto ad un asse r è

( ) ( )∫=

γ

γ ds z y x f r pd I ,,,2

Dove ( )r Pd , è la distanza del punto ( ) γ ∈≡ z y xP ,, dall'asse r .

In particolare i momenti d'inerzia rispetto agli assi coordinati sono definiti dalle relazioni

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ds z y x f y x I ds z y x f z x I ds z y x f z y I z y x ∫∫∫ +=+=+=

γ γ γ

,,;,,;,, 222222 .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

Un filo di densità costante è detto omogeneo, in questo caso il baricentro si dice anche centroide;

in questo caso risulta

∫ ∫ ∫===

γ γ γ

dx z L

zdx y ydx x L

x1

;;1

dove ∫=

γ

dx L .

2. Trovare la massa M dell’arco di curva ( )103,2, 32≤≤=== t t zt yt x , la cui densità

lineare varia per y2=γ .

Svolgimento. Abbiamo

∫ ∫

∫ ∫

++

+=++=

=′+′+′==

1

0

2

1

0

2

242

1

0

222

2

1

4

3

2

1

2

11

2

t d t dt t t t

dt z y xt ds y M γ

da cui ponendo vt =+ 2

12 si ottiene

∫ ∫ +=++

1

0

23

21

2242

2

11 dvbvdt t t t dove

4

32=b

Essendo ( vedi figura )

==+∫ ∫ ϑ ϑ ϑ

d bb

dubv2

22

coscos

=

++= ϑ

ϑ ϑ

ϑ tan

cos

1lntan

cos

1

2

2b

ϑ

ϑ tan

22

bv

bv

=

+

+++

+=

b

vbv

b

v

b

bvb22222

ln2

ϑ cos22bvb +=

segue che

( )

++−=

+++

+=++∫ 3

332ln133

3

2

16

3

2ln

222

11

23

21

1

0

2222242 vbv

b

vbvbdt t t t

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

3. Trovare le coordinate del centro di gravità dell’arco del cicloide

π ≤≤−=−= t t t yt t x 0cos,sin

Svolgimento. Le coordinate del centro di gravità dell’arco omogeneo della curva γ possonoessere calcolate con la formula

∫∫ ==

γ γ

ds ys

yds xs

x1

,1

dove s è la lunghezza dell’arco. Abbiamo

( )∫ ∫∫ 4=−==+−=′+′=

π π π π

0 0 0

22

0

22

2cos4

2sinsincos1

t dt

t dt t t dt y xs .

Poi

( )

3

8

3

44

2

1

2sin

3

4

2sin4

2cos2

2

1

sin2

sin2

sin2

1

2sin2sin

4

1

4

1

0

3

0 0

=

+=

++−=

=

−=−== ∫ ∫ ∫

π

γ

π π

t t t t

dt t t t

t dt t

t t ds x x

( )

3

4

2cos

2cos

3

1

2cos2

2

1

cos2

sin2

sin21

2sin2cos1

41

41

0

3

0 0

=

−+−=

=

−=−== ∫ ∫∫

π

π π

γ

t t t

dt t t t dt t t ds y y

4 . Trovare le coordinate ( ) y x, del baricentro dell’arco della circonferenza 222 a y x =+ posto

nel primo quadrante, cioè della curva λ di equazioni parametriche

20sin,cos π ≤≤== t t a yt a x

Svolgimento. Poiché la curva γ della quale vogliamo trovare il baricentro ha un asse di

simmetria (la bisettrice del 1° quadrante) risulta

∫==

γ

ds x L

x y1

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

Essendo

∫∫

∫∫

==

===

=+=

2

0

22

2

0

22

cos

2

π

γ

π

γ

π

adt t ads x

adt ads L

dt adt y xds

segue che

a x yπ

2==

Quindi il baricentro di un quarto di circonferenza si trova sull’asse di simmetria e la sua

distanza dal centro della circonferenza èπ

a22

5. Calcolare il momento di Inerzia di una circonferenza di raggio a rispetto ad un diametro

fisso.

Svolgimento. Supponendo il diametro fisso sull’asse x risulta:

∫ ∫ ====

π π

π π

2

0

3

3

2

2

0

22 22

sin aa

dt at ads y I x

6. Trovare le coordinate ( ) y x, del baricentro di un arco di circonferenza di raggio a e angolo

al centro θ 2 .

Svolgimento. Fissiamo il riferimento in modo che l’asse x coincida con l’asse di simmetria

dell’arco della circonferenza considerata. Allora 0= y e

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ

θ

γ

sin

2

sin2

sin2cos2cos

2

0

22

a

a

a x

adt t adt at ads x x L

==

==== ∫ ∫∫−

Cosi il baricentro si trova sull’asse di simmetria, alla distanzaθ

θ sinadal centro della

circonferenza.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

7. Calcolare il baricentro dell'arco (asteroide)

20sin,cos 33 π

≤≤== t t a yt a x

Svolgimento. Risulta y x = e

∫ ∫ ===

2

0

2

0

3

5

2

cossin3cos

11

π π

adt t t at a Lds x L x

Infatti

( ) ( ) ( )( ) t t at t t t a

t t at t a y xds

22222222

2222222

cossin9sincoscossin9

sincos3cossin3

=+=

=+=+=

e at adt t t ads L2

3sin

2

13cossin3

2

0

2

2

0

==== ∫ ∫π

γ

π

8. Sia γ la curva di equazioni parametriche

[ ]0,0,sin,cos t t t zt t yt t x ∈===

Calcolare i ) [ ]γ L ; ii ) z .

Svolgimento.

Essendo 1,cossin,sincos=+==

zt t t yt t t x&&&

Abbiamo ( ) 222222 t z y xds +=++= &&& .

Allora procedendo come nell’esempio 2 si ottiene

i ) [ ]

00

0

22

0

2

22

2ln

2

2

22

t t

t t t t dt t L

+

+−

+=+= ∫γ

22 t + θ θ

θ d dt t 2cos

2tan2=

θ cos22 2

0t +=

ii ) ( )[ ]222

3

12

232

0

0

20

−+=+= ∫ t dt t t L z

t

.

θ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


23

9. Un filo omogeneo è disposto lungo l’arco di cicloide

( ) ( ) [ ] 02,0cos1,sin >∈−=−= at t a yt t a x π

Determinare il momento d’inerzia rispetto all’asse x e le coordinate ( ) y x, del baricentro.

(Si supponga la densità lineare uguale a 1).

i. ( )∫ ∫ +−==

γ

π 2

0

22222 cos1 dt y xt ads y I x

Essendo2

sin4 2222 t a y x =+ e tenuto conto che

2sin

2sin

t t = con [ ]π 2,0∈t , si ha

( )

3

2

0

32

2

23

2

0

2

0

22323

15

256

1516

2sin

2cos18

2sin

2sin8

2sincos12

aa

dt t t

a

dt t t

adt t

t a I x

∫

∫ ∫

==

−=

=

=−=

π

π π

ii. E' a x π = ;

( )

==

+−=

−=

==−==

∫

∫ ∫∫

aaat t

adt t t

a

dt t t

adt t

at ads y y L

3

48

3

48

2cos

3

2

2cos24

2sin

2cos14

2sin

2sin4

2sin2cos1

32

0

2

0

3222

2

0

2

0

22

π π

π π

γ

da cui a y3

4= . Quindi

aaG

3

4,π .

10. Calcolare la massa m, le coordinate ( ) z y x ,, del baricentro G, i momenti d'inerzia rispetto

agli assi coordinati di un singolo anello di una molla avente la forma di un'elica di equazione

[ ]π 2,0,sin,cos ∈=== t bt zt a yt a x

se la densità nel punto ( ) z y x ,, della molla è 222 z y x ++ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


24

Svolgimento.

E'

( ) ( ) ( )∫ ∫

++=++=++=

γ

π π

π 2

0

3

222222222222

3

22 babadt bat bads z y xm

( ) ( )

( )222

22

0

22222

2

0

22222222

43

6coscos

cos1

ba

abdt t t bt a

m

baa

dt bat bat mads z y x x

m x

π

π

γ

π

+=+

+=

=++=++=

∫

∫ ∫

( ) ( )∫ ∫ −=++

=++=

γ

π

π 2

0

22222

222 sinsin1

xdt t t bt am

baads z y x y

m y

N.B. Se ( ) ( ) ∫∫−

=⇒=+

2

20

T

T

T

x f T x f .

( ) ( ) ( )∫ ∫

+

+=+

+=++=

γ

π

π

π π 2

0

222

232322

22222

43

231

ba

babdt t bt a

m

babds z y x z

m z

( )( ) ( )( )

( )∫

∫ ∫

+++=

=+++=+++=

π

γ

π

2

0

4422222222422

2

0

2222222222222

sinsin

sin

dt t bt bat t bat aba

dt t bat bt abads z y x z y I x

( ) ( )∫∫

∫∫

====

−==

π π

π π

π π π π

π π

2

0

5543

2

0

2

2

0

22

2

0

2

5

322

5

1

3

82

3

1

23

4sinsin

dt t dt t

dt t t dt t

+

+++=

+

−++=

54322422

54322422

5

32

24

5

32

24

π π

π π

π π

π π

bbaaba I

bbaaba I

y

x

( )( ) ( )∫ ∫

++==++=+++=

γ

π

π π 2

0

232222222222222222

3

82 babaamadt t babaads z y x y x I

z

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


25

11. Un filo disposto lungo la circonferenza 222 a y x =+ . Se la densità lineare nel punto ( ) y x,

è y x + , determinare la massa M e il momento d'inerzia rispetto ad un diametro.

Svolgimento. Essendo le equazioni parametriche della circonferenza C

[ ]π 2,0sin,cos ∈== t t a yt a x

si ha

i ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ =+=++=+=

γ

π π 2

0

2

0

222 sincossincos dt t t adt y xt at ads y x M

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ −++−+−++=

2

0 2

23 2

23

2222 sincossincossincossincos

π π

π

π

π

π

π

dt t t adt t t adt t t adt t t a

Da cui 28a M = .

ii ) L’equazione di un generico diametro è 0=− mx y . Pertanto se P è un punto di γ :

( )t at aP sin,cos e denota il diametro si ha

( ) ( ) ( )t H m

at t mt mt

m

a

m

t mat ar Pd

2

2222

2

22

2

2

1cossin2cossin

11

cossin,

+=−+

+=

+

−=

Posto ( ) ( )t t mt mt t H cossin2cossin 222−+=

segue che

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

+−==+

+=

=++

=+=

∫ ∫

∫ ∫2

0

2

23

2

4

2

0

2

22

cossin...cossin1

cossin

1

,

π π

π

γ

π

dt t t t H dt t t t H m

a

dt at t at H

m

ads y xr Pd I r

Essendo ( ) ( )∫ =+

−+= t B

t mt t m

t dt t t H

3

cos

3

2

3

sinsin

3

sincos

332

3

( ) ( )t At mt mt t dt t t H =−−+−=∫3323

sin3

23

cos3

coscossin

segue che

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) 22

2

4

2

23

230

2

2

02

4

4141

1

amm

a

t Bt At Bt At Bt At Bt Am

a I

r

=++

=

=+++−−+++

=π

π

π

π π

π

Quindi il momento richiesto non dipende dal diametro.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


26

Integrale di linea

Supponiamo che le funzioni P( x, y) e Q( x, y) siano continue sui punti dell’arco AB della curva liscia

C specificata dall'equazione ( ) b xa x y ≤≤= ϕ .

Consideriamo la somma integrale

( ) ( )[ ]∑=

∆+∆

n

k

k k k k k k yQ xP1

,, η ξ η ξ

Dove k x∆ e k y∆ sono le proiezioni dell’arco elementare sugli assi.

L’integrale di linea del secondo tipo

( ) ( )dy y xQdx y xP ,, + sull’arco orientato AB è il limite della somma integrale sotto la condizione

che il 0max→∆

k x e il 0max→∆

k y .

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∑=→∆

→∆

∆+∆=+

AB

n

k

k k k k k k

y x

yQ xPdy y xQdx y xP

k

k 10max0max

,,lim,, η ξ η ξ

Proprietà principali dell’integrale di linea del secondo tipo

1° Un integrale di linea del secondo tipo cambia segno cambiando la direzione d’integrazione:

∫ ∫ +−=+

BA AB

dyQdxPdyQdxP

2° ∫ ∫ ∫+=+

AB AB AB

dyQdxPdyQdxP

Le altre proprietà sono analoghe a quelle dell’integrale del primo tipo.

Un integrale di linea del secondo tipo può essere calcolato con la formula

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫ ∫ ′+=+

C

b

a

dx x xQ x x xPdy y xQdx y xP ϕ ϕ ϕ ,,,,

Se la curva C è specificata dalle equazioni parametriche x = x(t) ,y = y(t) dove ,bt a ≤≤ allora

abbiamo

∫ ∫ ′+′=+

C

b

a

dt t yt yt xQt xt yt xPdy y xQdx y xP )()](),([)()](),([),(),(

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


27

Una formula analoga è vera anche per il calcolo di un integrale di linea del secondo tipo lungo C: se

la curva è specificata dalle equazioni )(),(,)( t z zt y yt x x === dove ,bt a ≤≤ allora

∫ =++

C

dz z y x Rdy z y xQdx z y xP ),,(),,(),,(

= dt t zt zt yt x Rt yt zt yt xQt xt zt yt xP

b

a

)()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([ ′+′+′∫

Quanto segue costituisce una interpretazione meccanica dell’integrale precedente.

Sia C una curva liscia dello spazio tridimensionale descritta dall’equazione vettoriale

[ ]bat t zt yt xt ,ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ∈++== k jirr (1)

Se riparametrizziamo la curva C in funzione della lunghezza dell’arco s, allora da

)]([)( st s rrr ==

si evince poiché t = t(s) è l'inversa di s = s(t) , segue che )(1

1

t dt

ds

ds

dt

ν ==

)(

)(

)(

1

t

t

t dt

d

ds

dt

ds

d

ds

d

r

rrrr===

ν

da cui il vettore tangente della curva )(srr = è un vettore unitario che si indica con )(ˆ sT :

ds

d s

rT =)(ˆ (2)

Premesso ciò, supponiamo che

k jiFrF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,()( 321 z y xF z y xF z y xF z y x ++==

sia un campo vettoriale continuo in un aperto Ω che contiene C.

Il lavoro W fatto dalla forza F durante lo spostamento di un corpo lungo C , nella direzione del

moto, è dato da

∫∫ ⋅=⋅=

C C

d dsW rFTF ˆ

Si osservi che TF ˆ⋅ dipende dall’orientazione di T e quindi dalla parametrizzazione di C.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


28

Essendo

k jir ˆˆˆ dzdydxd ++=

segue

∫ ∫ ++=⋅

C C

dz z y xF dy z y xF dx z y xF d ),,(),,(),,( 321rF (3)

Questo integrale (che è un integrale di linea della componente tangente di F lungo C) dipende

dell’orientazione di C, nel senso che se )()( τ ssrr == et descrivono C nel verso opposto, allora

∫ ∫ ⋅−=⋅

C C

d d sFrF

Se C è una curva chiusa, l’integrale di linea della componente tangente F lungo C è chiamato

circuitazione di F lungo C. Il fatto che la curva sia chiusa è indicato spesso da un piccolo cerchio

scritto sopra il segno d’integrale: l’espressione

∫ ⋅

C

d sF

denota quindi la circuitazione di F lungo la curva chiusa C.

Per il calcolo di questi integrali, per indagare che la curva chiusa è percorsa nel senso antiorario

scriveremo ∫+

C

.

Oppure ∫ ∫− +

−=

C C

per indicare che il percorso della curva è quello orario.

Nel caso di un arco liscio di equazione

x=x(t), y=y(t) ,bt a ≤≤

è

∫ =++

C

dz z y xF dy z y xF dx z y xF ),,(),,(),,( 321

[ ] [ ] [ ]∫

++=

b

a

dt dt

dzt zt yt x

dt

dyt zt yt x

dt

dxt zt yt x )(,)(,)()(,)(,)()(,)(,)( 321 FFF

Se C è una curva liscia a pezzi: nC C C ∪∪= .....1 l’integrale precedente è la somma degli integrali

di linea sui vari archi lisci niC i ,......,1= che costituiscono C:

∫C

= ∑i=1

n

∫Ci

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


29

1. Calcolare xdx ydy y xC

22−∫ se 2 / 0sin,cos π ≤≤== t t yt x

Svolgimento. Essendo dt t

t dydt

t

t dx

sin2

cos,

cos2

sin=−=

abbiamo ∫∫ =

+=−

2 /

0

22

4cos2

sincossin

sin2

cossincos

π π

dt t

t t t

t

t t t dx x ydy y x

c

Domini Connessi

Definizione 1. Un dominio D è connesso se per ogni coppia di punti A e B di tale dominio D, esiste

una curva regolare a tratti, avente come estremi i punti A e B, interamente contenuta in D.

Definizione 2. Nel piano,un dominio connesso D è detto semplicemente connesso se l’interno di

ogni curva chiusa, e regolare a tratti, appartenente a tale dominio D giace in D; in altre parole, se

comunque si prenda una curva chiusa e regolare a tratti, questa è la frontiera di un insieme limitato

contenuto in D.

Definizione3. Nello spazio tridimensionale un dominio D semplicemente connesso è caratterizzato

dalle seguenti condizioni:

i ) Qualunque curva chiusa e regolare a tratti di D è la frontiera di una superficie che giace

interamente in D.

ii ) Se C 1 e C

2 sono due curve di D aventi gli stessi estremi allora, C 2 (oppure C

1 ) può essere

deformata in modo continuo in C 1 (oppure C

2 ), rimanendo in D durante il processo di

deformazione.

Nel piano, un dominio semplice connesso D non può avere buchi, nemmeno buchi costituiti da un

solo punto. Ad esempio, il dominio della funzione22

1

y x +non è semplicemente connesso poiché

l’origine non gli appartiene. (L’origine è un”buco”di quel dominio.) Nello spazio tridimensionale,

un dominio semplicemente connesso può avere dei buchi. L’insieme di tutti i punti di 3ℜ esclusa

l’origine è semplicemente connesso, come pure lo è l’esterno di una palla. Ma l’insieme di tutti i

punti di3

ℜ soddisfacenti 022f y x + non è semplicemente connesso. E neppure lo è l’interno di

una ciambella chiamato in geometria toro.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


30

Funzione Potenziale e Campi Conservativi

Sia

k jiFF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,( 321 z y xF z y xF z y xF z y x ++==

un campo vettoriale di classe )()1(ΩC dove denota un aperto connesso (dominio).

Definizione. Se per qualche funzione ),,( z y xΦ=Φ definita in , risulta Φ∇=F allora si dice che

F è un campo vettoriale conservativo in e la funzione Φ è detta potenziale scalare di F.

Si osservi che F è conservativo in un dominio Ω se e solo

Ω∈∀Φ∇= ),,(),,(),,( z y x z y x z y xF

il potenzialeΦ non può avere neanche un punto singolare in .

Sia c una costante arbitraria, osservato che

i ) [ ] Φ∇=+Φ∇ c

ii ) [ ] 0),,(),,( =Ψ−Φ∇ z y x z y x per ogni Ω∈),,( z y x (aperto connesso) implica

Ω=Ψ−Φ suc z y x z y x ),,(),,( ;

si evince quanto segue:

due funzioni potenziali di un campo vettoriale conservativo definito su un aperto connesso

differiscono per una costante.

In altre parole le funzioni potenziali non sono determinate in modo univoco: si può sempre

aggiungere una costante.

Una condizione necessaria che deve essere soddisfatta affinché un campo vettoriale in3

ℜ (oppure

in2

ℜ ) sia conservativo è che sia irrotazionale. In altre parole:

se 0==×∇Φ∇= FrotFF allora

Per dimostrarlo si osservi che l’equazione Φ∇=F ovvero

k jik ji ˆˆˆˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( 121 z y x

z y xF z y xF z y xF ∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂=++

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


31

implica le tre equazioni scalari

321 ;; F z

F y

F x

=∂

Φ∂=

∂

Φ∂=

∂

Φ∂

da cui, dovendo essere uguali le derivate parziali miste di Φ in quanto F è di classe)1(

C , si ottiene

0

0

0

22

12

22

31

22

23

=∂∂

Φ∂−

∂∂

Φ∂=

∂

∂−

∂

∂

=∂∂

Φ∂−

∂∂

Φ∂=

∂

∂−

∂

∂

=∂∂

Φ∂−

∂∂

Φ∂=

∂

∂−

∂

∂

x y y x y

F

x

F

z x x z x

F

z

F

y z z y z

F

y

F

In seguito dimostreremo che la condizione precedente è anche sufficiente nel caso in cui F è

definito in un aperto semplicemente connesso.

Particolari domini semplicemente connessi sono i domini stellati rispetto ad un punto:

un dominio si dice stellato rispetto ad un suo punto P0 se per ogni punto P del dominio, il segmento

di estremi P e P0 sta tutto nel dominio.

In questo sussiste il teorema successivo.

Per non confondere le coordinate (x,y,z) del punto P con gli assi coordinati indichiamo questi con

(u,v,w). Premesso ciò ricordiamo che l'equazione vettoriale di estremi P0 (x0,y0,z0) e P (x,y,z) è

k jir ˆˆˆ)()( 00 wvuPPt Pt ++=−+=

dove

)(),(),( 00000 z zw y yt y x xt xu −+−+=−+= ν

In particolare se P0 coincide con l'origine risulta

[ ] ( )11,0ˆˆˆ)0()( ∈++=−= t tztytxPt t k jir

da cui le equazioni parametriche del segmento i cui estremi sono l'origine e P(x,y,z) sono

[ ] ( )21,0,, ∈=== t tzwtyvtxu

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


32

Teorema. Se F è un campo conservativo irrotazionale liscio in un dominio stellato rispetto

ad un punto Ω∈0P allora Φ∇=F per qualche funzione potenziale Φ definita in , ovvero F

è conservativo.

Dimostrazione.

Senza perdere di generalità possiamo supporre che P0 sia l'origine.

Consideriamo la funzione ( ) z y x ,,=Φ definita dall'uguaglianza seguente

Ω∈⋅==Φ ∫ ),,()(),,( z y xdt

dr F z y x

C

dove C è il segmento di estremi l'origine e P, le cui equazioni parametriche sono date dalla (2).

Pertanto

( ) [ ] ( )∫ ++=Φ

1

0

321 3),,(),,(),,(,, dt wvu zF wvu yF wvu xF z y x

Dimostriamo che

( )4),,,(),,,(),,,( 321 z y xF z

z y xF y

z y xF x

=∂

Φ∂=

∂

Φ∂=

∂

Φ∂

A tale scopo deriviamo la (3) rispetto ad x ottenendo:

( )∫

∫

∫

===

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

=+∂

∂++

∂

∂++

∂

∂+=

∂

Φ∂

1

0

1

1

011

1

0

3211

1

0

3211

,,),,()],,([

)]([

)(

z y xF tztytxtF dt zvutF dt

d

dt zu

F y

u

F x

u

F t F

dt zu

F y

u

F x

u

F F

x

Analogamente si ha

( ) ( ) z y xF z

e z y xF y

,,,, 32 =∂

Φ∂=

∂

Φ∂

il che completa la dimostrazione.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


33

Esempi:

1. Il campo vettoriale

)0,0(),(ˆ2ˆ2),(

2222≠

++

+= y x

y x

y

y x

x y x jiF

(definito in un aperto connesso) è irrotazionale in quanto

2222

22

y x

x

y y x

y

x +∂

∂=

+∂

∂

pertanto potrebbe essere conservativo.

Per stabilire se il campo vettoriale dato è conservativo poniamo

22222);2)

y x y

yii

y x x

xi

+=

∂Φ∂

+=

∂Φ∂ .

Integrando la i ) rispetto a x otteniamo

).()ln(),( 22 yc y x y x ++=Φ

Si osservi che la costante di integrazione è una costante rispetto a x ovvero è una funzione della solavariabile y, che abbiamo indicato con c(y). Se deriviamo ambo i membri dell’equazione precedente

rispetto a y otteniamo

( ) yc y x

y

y′+

+=

∂

Φ∂22

2

Confrontando l’equazione precedente con la ii ) troviamo che ( ) 0=′ yc da cui ( ) k yc = (costante).

Quindi, a meno di una costante additiva, la funzione

)ln(),( 22 y x y x +=Φ

è una funzione potenziale del campo vettoriale F.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


34


)0,0(),(ˆˆ),(2222

≠+

++

−= y x y x

x

y x

y y x jiF

il cui dominio è un aperto connesso, è irrotazionale in quanto

2222 y x

y

y y x

x

x +∂

∂−=

+∂

∂.

Se esiste una funzione potenziale Φ che genera il campo, deve necessariamente essere

2222 );) y x

x

yii y x

y

xi+=∂

Φ∂

+−=∂

Φ∂.

Integrando i ) rispetto a x otteniamo

( ) 0),( ≠+

−=Φ y yc

y

x y x arctan

da cui, derivando ambo i membri rispetto a y , otteniamo

)(22

yc y x

x

y′+

+=

∂

Φ∂

Confrontando l’espressione precedente con la ii ) troviamo 0)( =′ yc da cui k yc =)( Quindi,a meno

di una costante additiva,la funzione

0),( ≠

=Φ y

y

x y x arctan

non è una funzione potenziale di F in quanto il suo dominio non coincide con quello del campo.

Il campo vettoriale considerato è conservativo nel semipiano 0> y e nel semipiano .0< y

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


35

3. Sia

( ) ( )k jiF ˆ1cosˆsinˆsin3,, 332+++= z y x z x z y x z y x

Essendo

0=×∇= FFrot

e dato che il dominio di F è tutto lo spazio tridimensionale che è semplicemente connesso, ne

consegue che F è conservativo.

Se Φ è una funzione potenziale per F, deve necessariamente essere

.1cos);sin);sin3) 332+=

∂

Φ∂=

∂

Φ∂=

∂

∂ z y x

ziii z x

yii z y x

x

F i i

Integrando, per esempio, la i ) rispetto a x si ottiene

a ) ( ) z yc z y x z y x ,sin),,( 3+=Φ

dove ( ) z yc , è una costante rispetto a x. Derivando la a ) rispetto ad y si ha

y

c z x

y ∂

∂+=

∂

Φ∂sin3

e per confronto con la ii ) si deduce che ),( x yc non dipende da y.

Se poniamo )(),( zg z yc =

b ) )(sin),,( 3 zg z y x z y x +=Φ

Infine, derivando la b ) rispetto a z e per confronto con la iii ) , si ottiene 1)( =′ zg e quindi (a meno

di una costante additiva) è

.sin),,( 3 z z y x z y x +=Φ

4. Sia ea 0>

k jiF ˆ)ln(ˆ))cos(2(ˆ))cos(2(),,( 222 a ya y x y xa y x xy z y x z z+++++++=

Poiché il dominio F è semplicemente connesso e F è irrotazionale ne consegue che F è

conservativo. Per determinare una funzione potenzialeΦ procediamo come nell’esempio

precedente.Abbiamo

a ya

x

iii y x y xa

x

ii y x xy

x

i z z ln);)cos(2);)cos(2) 222=

∂

Φ∂+++=

∂

Φ∂++=

∂

Φ∂

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


36

Integrando la iii ) rispetto a z otteniamo

a ) ),(),,( y xc ya z y x z+=Φ

Derivando la a ) rispetto a y e per confronto con la ii ) si ha

)cos(2 22 y x y xa y

ca z z

+++=∂

∂+

da cui

).()sin(),( 22 xg y x yx y xc +++=

Sostituendo ),( y xc nella a ) otteniamo

b ) ( ) ).(sin),,( 22 xg y x yx ya z y x z++++=Φ

Infine, derivando la b ) rispetto ad x e per confronto con la i ) otteniamo g(x)-k (costante) e quindi,

a meno di una costante additiva,

.sin),,( 22 y x yx ya z y x z+++=Φ


01ˆ1

2ˆ1

2),( 22

2222≠−+

−++

−+= y x

y x

y

y x

x y x jiF

è conservativo in quanto

),(),( y x y x Φ∇=F dove ( ) 011ln, 2222≠++++=Φ y x y x y x

più precisamente è

1

1

)1ln(

)1ln(),(

22

22

2

22

1

22

<+

>+

++−−

+−+=Φ

y x

y x

c y x

c y x y x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


37

6. Stabilire se il campo vettoriale

k jiF ˆsinˆ2sinˆcos21),,( 2 y y z

x z y x ++

+=

è conservativo. In caso affermativo determinare una funzione potenziale.

Svolgimento. Essendo il dominio di F semplicemente connesso (in quanto F è definito in 3ℜ ) ed

essendo 0=×∇= FFrot , segue che F è conservativo (cioè esiste una funzione Φ che soddisfa

l’equazione Φ∇=F ). Per determinare una funzione potenziale ),,( z y xΦ=Φ procedendo come

negli esempi precedenti si ha

i ) ),(sinsin 22 y xc y z y y

+=Φ⇒=∂

Φ∂

ii ) )(),(cossin22sin xc y xc y

c y y z y z =⇒

∂

∂+=

Da i ) e ii ) segue che )(sin 2 xc y z +=Φ

iii ) ∫+

=⇒′=+

dx x

xc xc x cos2

1)()(

cos2

1

Per risolvere l’integrale precedente si osservi che

.2

sin2

cos2

sin2

cos22

2cos2cos2 2222 x x x x x x −+

+=+=+

ovvero

+=+=+

2tan3

2cos

2sin

2cos3cos2 2222 x x x x

x

Allora, sostituendo t x

=2

tan , si ottiene

c xt t

dt t

dx x x

dx x

+

===

=+

=

+

=+

∫∫ ∫

2tan

3

1arctan

3

2

33arctan

3

2

3

12

2tan3

2cos

1

cos2

12

22

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


38

Quindi, a meno di una costante additiva, è

( ) y z x

z y x 2sin2

tan3

1arctan

3

2,, +

=Φ

Teorema. Sia Φ un campo scalare di classe ( ) ( )Ω1C dove è un aperto connesso dello spazio

tridimensionale. Per ogni coppia di punti A e B connessi da una curva γ contenuta in , regolare a

tratti é specificata dall’equazione vettoriale ( ) bt at ≤≤= rr , si ha

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∫ Φ−Φ=Φ−Φ=⋅Φ∇

γ

A Babd rrr

Dimostrazione. Siano A e B due punti qualsiasi in e congiungiamoli tramite una curva γ

contenuta in , regolare a tratti e di equazione ( ) bt at ≤≤= rr . Supponiamo inizialmente che

γ sia regolare in [a, b]. Allora l’integrale curvilineo del Φ∇ da A a B lungo γ è dato da

( )[ ] ( )∫ ∫ ′⋅Φ∇=⋅Φ∇

γ

b

a

dt t t d rrr .

Se poniamo ( ) ( )[ ]t t g rΦ= , per la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha

( ) ( )[ ] ( ) bt at r t t g ≤≤′⋅Φ∇=′ r

Essendo Φ∇ continuo su eγ regolare, segue che ( )t g′ è continua in ( )ba, . Perciò

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫ Φ−Φ=Φ−Φ=−=′=⋅Φ∇

b

a

b

a

A Babagbgdt t gd rrr

Ciò dimostra il teorema ma nel caso in cui γ è regolare.

Se γ è regolare a tratti, dividiamo l’intervallo [ ]ba, in un numero finito n, di sotto - intervalli:

[ ] bt at nk t t I nk k k ====−

;,...,2,1, 01

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


39

in ognuno dei quali k γ ( la restrizione di γ a k I ) sia regolare. Se applichiamo il risultato appena

dimostrato ad ogni k γ , otteniamo

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A Bagbgt gt g

t gt gt gt gt gt g

t gt gd d

n

nn

n

k

n

k

k k

k

Φ+Φ=−=−=

=−++−+−=

=−=⋅Φ∇=⋅Φ∇

−

= =

−∫ ∑ ∫ ∑

0

11201

1 1

1

...

γ γ

rr

Da quanto precede si evincono le condizioni necessarie e sufficienti affinché un campo vettoriale

sia un gradiente.

Sia F un campo vettoriale ( continuo ) su un aperto connesso contenuto in 3ℜ . Le seguenti

affermazioni sono equivalenti:

i) F è il gradiente di qualche funzione potenziale Φ definita in ( Φ∇=F in ).

ii) L’integrale curvilineo di F è indipendente dalla traiettoria in .

iii) L’integrale curvilineo di F lungo ogni curva chiusa regolare a tratti è uguale a zero

∫ =⋅C

d 0rF per qualunque curva chiusa C liscia e continua a pezzi contenuta in D.

Pertanto se l’integrale curvilineo di F lungo una sola curva chiusa è diverso da zero, certamente F

non è un gradiente.

Se il campo vettoriale F è conservativo in un aperto connesso D, se C è una curva regolare a tratti

contenuta in D i cui estremi sono un punto A (a,b,c) fissato in D e un punto arbitrario P (x,y,z),

allora il valore dell'integrale di linea

∫⋅

C

d rF non dipende dalla curva DC ⊂ ma dal punto P e si

dimostra che la funzione

( ) ∫ ⋅=Φ

C

d z y x rF,,

è un potenziale per F ovvero che F=Φ∇

Pertanto, quando è possibile, si può costruire una funzione potenziale Φ integrando lungo la

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


40

spezzata costituita dai segmenti i cui estremi sono

( ) ( ) ( ) ( ) z y xPc y x Acb x Acba A ,,;,,;,,;,, ′′

dove:

i) Il segmento AA' è parallelo all'asse x e può essere specificato dall’equazione

( ) [ ] xaucbuu ,ˆˆˆ ∈++= k jir

ii) Il segmento A'A'' è parallelo all'asse y e può essere specificato dall’equazione

( ) [ ] ybvcv xv ,ˆˆˆ ∈++= k jir

iii) Il segmento A''P è parallelo all'asse z e può essere specificato dall'equazione

( ) [ ] zcww y xw ,ˆˆˆ ∈++= k jir

In altre parole è

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

++=

=++=Φ

x

a

y

b

z

c

x

a

y

b

z

c

dt t y xF dt ct xF dt cbt F

dww y xF dvcv xF ducbuF z y x

,,,,,,

,,,,,,,,

321

321

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


41

Invarianza di un integrale di linea rispetto la deformazione della traiettoria

Siano P e Q due funzioni di classe ( )2C in un aperto connesso del piano x - y. Supponiamo che

ovunque in sia

x

Q

y

P

∂

∂=

∂

∂

Siano C 1 e C

2 curve semplici, chiuse e regolari a tratti, contenute in , che soddisfano le seguenti

condizioni:

i ) C 2 sta nell’interno di C

1 ;

ii ) i punti che sono interni a C 1 ed esterni a C

2 stanno in .

Allora si ha

∫ ∫ +=+

1 2C C

dyQdxPdyQdxP

dove le due curve sono percorse entrambe nello stesso verso.

1

C

2C

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


43

Esempi vari

Esempio. Verificare che il campo vettoriale F dato è conservativo e determinare la corrispondente

funzione potenziale.

( )k jiF ˆ

11

1lncosˆsin

1ˆcos),,( 2

1

1

+−

++

+−= +

+

z z x y x y

z x y x z y x z

z

z

Essendo

0ˆˆˆ 123123 =

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=×∇ k ji

y

F

x

F

x

F

z

F

z

F

y

F F

segue F conservativo: 1,0:),,( −≠>∀Φ∇= z x z y xF

osservazioni:

( )

( ) ( )

+−

+−=

+

−+−=

∂

∂ ++

2

1

2

12

1

1

1

lnsin

1

11lnsin

z z

x y x

z

z x x y

z

F z z

( )( )

=

++

+−

++=

∂

∂+

y x z

x

z z

x y x z

x

F z

cos1

11

1

1

lnsin1

1

2

23

x x y z z

x x y z z lncos1

1

1

1lncos =

++

+−

( ) ( ) ( ) z yc z yc y

c

y z

x

y y x y x x

z z

,,sin1,,cos 21

1

1

=⇒∂

∂+

+=Φ

⇒=

∂

Φ∂+

( )( )

( )( ) c zc zc

z z

x y x

z z

x y x z z

=⇒′+

+−

+−=

+−

+−

++

222

1

2

1 )(1

1

1

lncos

1

1

1

lncos

Pertanto

( ) c y z

x z y x

z

++

==Φ

+

cos1

,,1

12.(6.4) Calcolare il lavoro del campo di forza ( ) ( ) ( )k jiF ˆ23ˆ4sin2ˆcos 232++−++= xz x y z x y

quando una particella si muove lungo la curva [ ]1,013;21;arctan ∈−=−== t t zt yt x .

i) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] dt t t t t t

t t t ∫

+−+−−−+−

++−=

1

0

2

2

3232arcsin13324212

1

113arcsincos21I

Essendo

1 ϑ sin=t

( )t t arcsincos1cos2

=+=ϑ

ϑ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


44

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫

−−−=−

=−=

−+=+

=

1

02

31

0

2

1

0 1

1

1134arcsin139

3

1

3

83

3

2

2

141arcsincos21

dt t

t dt t t

dt t t

π

4 4 34 4 21

Segue che

( ) π π π 4156483

82

3

16442

3

2

2

1

3

1+=++++−=++−

−−+= I .

ii ) ( ) z y x z x y z y x 24sin,, 32+−+=ΦΦ∇=F

( ) ( ) π π π

4156491,1,02,1,2

+=−−+=−Φ−

−Φ= L

13.(6.4)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

2

13

2

54

sin2sin54sin2

13cos1sin2

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

0

2

−=−−=

=−++−=

=−+−++−

∫∫ ∫

∫

dt t t t t dt t dt t t

dt t t t t t t t

π π π

π π π

8. Determinare il lavoro fatto dal campo di forza

( ) ( ) ( )k jiF ˆˆˆ y z z x y x −+−++=

quando un corpo si muove da ( )1,0,1 − A a ( )3,2,0 − B lungo una qualsiasi curva liscia o

liscia a tratti i) lungo la retta che passa per A e B

( ) ( ) [ ]1,0∈−+= t A Bt At r

t zt yt x 41,2,1+−=−=−=

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ =−=−=+−+−−−−=

1

0

1

02

199

2

3793761452231 dt t dt t t t L

zy

x

A

1

-1

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


46

Calcolare

∫ ∫+

+−=⋅

C C y x

dy xdx yd

22rF

dove

i ) 222: r y xC =+ percorsa nel verso antiorario una sola volta.

ii ) C è un rettangolo di vertici ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,1,1,1,1,1 −−−− .

iii ) C è il rettangolo di vertici ( ) ( ) ( ) ( )babababa 2,,,,2,,, −− con a e b positivi.

iv ) C è la frontiera del dominio: 041 22≥≤+≤ y y x .

Svolgimento.

i ) Una rappresentazione parametrica di C è: t a yt a x sin,cos == con [ ]π 2,0∈t .

Allora

( )( ) ( )( )∫∫ =

+−−=

+

+−π

π 2

0

2222

coscossinsindt

a

t at at at a

y x

dy xdx y

C

ii ) =+++=+

+−=⋅ ∫∫ ∫ ∫∫∫

4321

22

C C C C C C y x

dy xdx yd rF

∫ ∫∫∫∫− −−−−

=+

=+

−++

−++

++

=

1

1

1

1

22

1

1

2

1

1

2

1

1

22

18

1111π

t dt

t dt

t dt

t dt

t dt

111,:1 ≤≤−−== t yt xC

111,:2 ≤≤−== t xt yC

111,:3 ≤≤−==− t yt xC

111,:4 ≤≤−−==− t xt yC

C 2

C 3

C

4

C 4

-1 1

1

-1

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


47

iii)

at ab yt xC ≤≤−== ,:1

bt ba xt yC 2,:2 ≤≤==

at ab yt xC ≤≤−==− 2,:3

bt ba xt yC 2,:4 ≤≤−==−

02

22

22

arctan2

arctan2arctanarctan2

2arctan2arctan

2arctan2arctan2

4422

4

22 2

0

2

0

22222222222222

=+−=

++

+−=

=+

−+=

=+

++

++

−=

+

−−

+

−−

++

+

−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫− −

π π

b

a

a

b

a

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a

bt

dt b

at

dt a

at

dt b

at

dt a

bt

dt b

at

dt a

bt

dt ba

a

b

b

a

a

b

b

a b

b

a

x

yarctan=α

α tan x y = y xarctan= β

β tan y x =

iii ) 0000

2

1

1

2 0

22=++−⇒

+

+−

∫∫∫ ∫∫−

−−

π π

dt dt dt dt y x

dy xdx ya

a

Confrontare con ( ) 0ˆˆ222

=⇒++

= F jiF rot y x y x

0222 |:

=⋅∫=a y xC

d rF

β α

C 1

C 2

C 3

C 4

b

2b

-a a

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


48

10. ( ) ( )k jiF ˆ2ˆˆ 2 zbx x zaxy ++++=

è conservativo se e solo se 0=×∇= FFrot ovvero se e solo se b = 1 e a = 2.

Infatti

03113 =∂−∂ F F se b = 1

01221 =∂−∂ F F se a = 2.

Pertanto è

( ) ( ) Φ∇=++++= k jiF ˆ2ˆˆ2 2 z x x z xy

se

i ) 2 x y

=∂

Φ∂

ii ) ( ) ( ) x

c xy z xc y x z y x z xy

x ∂

∂+=

Φ∂

Φ∂⇒+=Φ⇒+=

∂

Φ∂2,,,2 2

iii ) z x z

2+=∂

Φ∂

( ) ( ) zc zx z xc x

c xy z xy +=⇒

∂

∂+=+ ,22

pertanto

( ) ( ) zc xz y x z y x 1

2,, ++=Φ

( ) ( )( ) k z zc z

z

zc

z

zc x z x +=⇒=

∂

∂⇒

∂

∂+=+

2

121 22

( ) k z xz y x z y x +++=Φ22,,

( ) ( ) 8190,1,13,0,0 =−=Φ−Φ

11. Calcolare

( ) ( )( )

( )

∫ +++=

3;2

1;1

33 dy x ydx y x I .

Svolgimento. L’integrale dato è indipendente dal contorno di integrazione in quanto

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


49

( ) ( ) 33;33 =+∂

∂=

∂

∂=+

∂

∂=

∂

∂ x y

x x

Q y x

y y

P

e quindi x

Q

y

P

∂

∂=

∂

∂( sull’intero piano XY ).

Come percorso di integrazione scegliamo la linea poligonale nella quale i segmenti sono paralleliagli assi coordinati. Sul primo segmento abbiamo 210,1 ≤≤== xdy y , sul secondo

310,2 ≤≤== ydx x

Conseguentemente,

( ) ( )∫ ∫ =−−++−−+=

++

+=+++=

2

1

2

1

22

2

1206

2

118

2

93

2

1626

23

263 y

y x

xdy ydx x I .

12. Trovare la primitiva U , della forma differenziale [ ] dye xdx x ydU y )1()1ln( −++++=

Svolgimento. Abbiamo 1;1);1ln( =∂

∂≡

∂

∂−+=++=

x

Q

y

Qe xQ x yP y .

Assumendo 0,0 00 == y x e che il contorno K è una linea poligonale OMN ( Fig. 1 ).

Fig. 1

( ) ( ) ( )∫∫ =−+++=

y

y

x

dye xdx x y xU

00

11ln,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) C e y xy x x xe y xy x x x x y y++−++−++=−++++−+= 11ln11ln1ln

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


50

13. ( ) ( )k jiF ˆ1cosˆsinˆsin3,, 332+++= z y x z x z y x z y x

Svolgimento. Essendo

0=×∇=⋅∇ FF in Φ∃⇒ℜ3 tale che Φ⋅∇=F

i )

( ) z yc z y x z y x x ,sinsin3

32+=Φ⇒=

∂

Φ∂

ii ) ( ) ( ) zc z yc y

c z y x z y x =⇒

∂

∂+= ,sinsin 33

Da i ) e ii )( ) zc z y x +=Φ⇒ sin3

iii ) ( ) z zc zc z y x z y x =⇒′+=+ )(sin1cos 33

Quindi

( ) z z y x z y x +=Φ sin,, 3

Oppure se ( )0,0,00P allora

( ) ( ) ( ) ( )dww y xF dvv xF duuF z y x

z y x

∫∫∫ ++=Φ

0

3

0

2

0

1 ,,0,,0,0,,,

poiché i primi due integrali sono uguali a 0 si ha

( ) ( ) ( ) z z y xww y xdww y x z y x z z

+=+=+=Φ ∫ sinsin1cos,, 3

0

3

0

3

14. ( ) [ ] ( )[ ] 0;ˆlnˆcos2ˆ)cos(2,, 222>+++++++= aa ya y x y xa y x xy z y x z z k jiF

Svolgimento.

Da 0=×∇=⋅∇ FF in Φ∃⇒ℜ3 tale che ,Φ⋅∇=F dove

( ) ( ) ( )∫∫∫ =++=Φ

z y x

dww y xF dvv xF duuF z y x0

3

0

2

0

1 ,,0,,0,0,),,(

( )( ) ∫∫∫ =+++++=

z

w

y x

dwaa ydv y xv xduu00

22

0

)ln(cos21cos

( ) ( )2222 sin1sin)sin(sin y x ya y xa y x y x y x y x z z+++=−+−++++=

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


52

Esempi

1. ( )

∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂Φ×∇=

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂Φ×∇=Ψ∇Φ×∇ k jik ji ˆˆˆˆˆˆ

z y x z y x

z y x

z y x

∂

Ψ∂Φ

∂

Ψ∂Φ

∂

Ψ∂Φ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

k ji ˆˆˆ

k ji ˆˆˆ

∂

Ψ∂Φ

∂

∂−

∂

Ψ∂Φ

∂

∂+

∂

Ψ∂Φ

∂

∂−

∂

Ψ∂Φ

∂

∂+

∂

Ψ∂Φ

∂

∂−

∂

Ψ∂Φ

∂

∂

x y y x z x x z y z z y

k

j

i

ˆ

ˆ

ˆ

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

∂∂

Ψ∂Φ−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂

∂

Φ∂+

+

∂∂

Ψ∂Φ−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂

∂

Φ∂+

+

∂∂

Ψ∂Φ−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂

∂

Φ∂

==

==

==

321321

321321

321321

x y x y y x y x

x z z x z x x z

z y y z z y z y

Ψ∇×Φ∇=

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂+

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂+

∂

Ψ∂

∂

Φ∂−

∂

Ψ∂

∂

Φ∂k ji ˆˆˆ

x y y x z x x z y z z y

2. ( ) =

∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂Φ+

∂

Ψ∂Φ⋅∇=Ψ∇Φ⋅∇ k ji ˆˆˆ

z y x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


53

Ψ∇Φ+Ψ∇⋅Φ∇=

∂

Ψ∂Φ

∂

∂+

∂

Ψ∂Φ

∂

∂+

∂

Ψ∂Φ

∂

∂=

2

z z y y x x

3. ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−⋅∇=×⋅∇ k jiGF ˆˆˆ122131132332 GF GF GF GF GF GF

=∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

z

GF G

z

F

z

GF G

z

F

y

GF G

y

F

y

GF G

y

F

x

GF G

x

F

x

GF G

x

F

121

2212

1

313

1131

3

232

3323

2

( ) ( )GFFG ×∇−×∇⋅=

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−=

y

F

x

F G

x

F

z

F G

z

F

y

F G

yG

xGF

xG

zGF

zG

yGF

123

312

231

123

312

231

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


1

SUPERFICI

Definizione.

Sia T la chiusura di un aperto connesso limitato 2 A R⊂ la cui frontiera A∂ è una curva semplice,chiusa, regolare a tratti. Una applicazione vettoriale:

r: ,3 RT → ir ),()( vu xu,v = + j),( vu y + k),( vu z (u,v) T ∈

che ha le seguenti proprietà:

1- r è continua su T2- r è iniettiva in A

è per definizione una superficie parametrica in 3 R e si dice che le equazioni

);,( vu x x = );,( vu y y = ),( vu z z = (u,v) T ∈

costituiscono una rappresentazione parametrica della superficie. Se in ( ) Avu ∈00 , esistono i vettori

k jir

ru

z

u

y

u

x

uu

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

k jirrv z

v y

v x

vv

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂=

si dicono regolari quei punti ( )00 ,vu in cuiu

r ev

r risultino continui e

0k jirr ≠∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=×

),(

),(

),(

),(

),(

),(

vu

y x

vu

x z

vu

z yvu

diversamente i punti si dicono singolari.

Pertanto se )(1 AC ∈r , 0rr ≠× vu in A, la superficie è detta liscia o regolare. Se una superficie S è

liscia allora per ogni punto 0( , )o

u v A∈ le curve ),( 0 vur e ),( 0vur su S sono curve regolari e nel

loro punto di intersezione 0 0 0 0( , , )P x y z = ),( 00 vur S∈ i rispettivi vettori tangenti ( )vuv

,0∂

∂re non

( )0,vuv

r

∂

∂sono paralleli. Il vettore

( ) ( )0000 ,, vuu

vuv

n∂

∂×

∂

∂=

rr

è un vettore normale alla superficie S in 0P , inoltre il piano passante per 0 0 0 0( , , )P x y z = ),( 00 vur

S∈ e ortogonale al vettore n , è per definizione il piano tangente a S in 0P la cui equazione è :

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

( ) ( )( ) 0, 000 =×⋅− vuPPvu

rr dove

( ) )( 00 x xPP −=− i + )( 0 y y − j + )( 0 z x − k

Ovviamente le curve ),( 0 vur e ),( 0vur sono le immagini dei segmenti per 0 0( , )u v e

rispettivamente paralleli all’asse delle v e all’asse delle u.

Quando u varia di quantità du il punto 0P si muove lungo la curve ( )0,vu=r di un tratto duu

r ;

analogamente quando v varia di una quantità dv il punto 0P si muove lungo la curva ( )vu ,0=r di

un tratto dvv

r

Da quanto precede si evince che ),( vur trasforma un rettangolo R di area dvdu contenuto in A in

un parallelogramma curvilineo che possiamo approssimare al parallelogramma individuato daivettori du

ur e dv

vr la cui area è

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

vudS rr ×= dvdu

L’area ( )Sa di tutta la superficie S è la somma di tutti gli elementi d’area dS:

( ) ∫∫∫∫∫∫ =×==T T

vu

S

dv du n dv du dSS a rr

Esempio 1

Le equazioni,cossin uva x = ,sinsin uva y = va z cos= (1)

ovvero l’equazione vettoriale

irr uvavu cossin),( == + uva sinsin j + va cos k

dove i punti (u,v) variano nel rettangolo [ ] [ ]π π ,02,0 ×= R forniscono una rappresentazioneparametrica di una superficie sferica con centro nell’origine e di raggio a, non è difficile verificare

che 2 2 2 2 x y z a+ + = .I parametri u e v denotano rispettivamente le coordinate ϑ e Φ sulla sfera (vedi figura) .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


4

La parametrizzazione considerata è iniettiva nel rettangolo aperto 0 2u π < < , 0 v π < < , ma nonsul rettangolo chiuso. Infatti i lati 0v = e v π = sono trasformati rispettivamente nei punti (0,0,a) e(0,0,-a) detti rispettivamente polo nord e polo sud; inoltre i lati 0=u e 2u π = sono trasformatinegli stessi punti, precisamente nei punti ( )vava cos,0,sin con 0 v π ≤ ≤ .

La restrizione dell’equazione (1) al rettangolo [ ] [ ]2,02,0 π π ×=T è una rappresentazioneparametrica dell’emisfero superiore. L’emisfero inferiore è l’immagine del rettangolo[ ] [ ]π π π ,22,0 × .

Essendo

cos cos x

a v uv

∂=

∂cos sin

ya v u

v

∂=

∂sin

za v

v

∂= −

∂

sin sin x

a v uu

∂= −

∂sin cos

ya v u

u

∂=

∂0=

∂

∂

u

z

( )vuvavu ,sin rrr =×

si evince che l’elemento d’area di una sfera di raggio a è:

θ φ φ d d adudvvadudvdS vu sinsin 22 ==×= rr

QuindidudvvaS A

T

sin)( 2∫∫= = ∫∫ =

π π

π 0

22

0

2 4sin advvdua

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

Esempio 2

CONO CIRCOLARE RETTO

Con riferimento alla figura seguente è:

20,cos,sin,sin',

π α α α α <<==== ahar vOPvOP

Pertanto le equazioni parametriche di un cono circolare retto con angolo al centro α 2 e di apotemaa sono:

α α α cos,sinsin,cossin v zuv yuv x === (1)

La corrispondente equazione vettoriale è:

( ) k jir α α α cossinsincossin, vuvuvvu ++= dove π 20 ≤≤ u e av ≤≤0 ;

Essendo

k jirr α α α α α 2sinsincossincoscossin vuvuvvu −+=×

e quindi

0sin ≠=× α vvurr

sui punti interni di T si evince che la superficie conica considerata è regolare.Elevando al quadrato le equazioni (1) si ottengono le equazioni:

α 2222 sinv y x =+ α 222 cosv z =

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


6

da cui, essendoh

r =α tan , si ottiene:

22

222

zh

r y x =+ dove α arctan=

h

r . (2)

La (2) è l’equazione cartesiana del cono circolare retto di altezza h e raggio base r il cui angolo al

centro è α 2 dove

=

h

r arctanα .

Riassumendo quanto precede 2222 y x zb += è l’equazione di un cono circolare retto con vertice in0 e di angolo al centro α 2 con barctan=α .

Infine si osservi che l’equazione (2) risolta rispetto a z ha due soluzioni:

22 y xr h z += e 22 y x

r h z +−=

In altre parole l’equazione (2) è l’equazione cartesiana di due coni simmetrici rispetto al piano xy , icui vertici coincidono con l’origine del riferimento cartesiano.Infine

( ) r aaadudvvSa

a

π α π α

π

=== ∫ ∫ sinsin)(0

2

0

Esempio 3

Sia ),,( y x f z = T y x ∈),( Se poniamo , x u y v= = allora ( , ) z f u v= .Se f è di classe 1C (A) allora

l’equazione vettoriale

r(u,v)= u i + v j + f(u,v) k , ( , )u v T ∈

rappresenta sempre una superficie parametrica regolare il cui dominio T è la proiezione biunivocadella superficie sul piano xy. Infatti essendo

kir

u

f

u ∂

∂+=

∂

∂ k j

r

v

f

v ∂

∂+=

∂

∂

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


7

risulta

k ji

k ji

rr +∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂∂

∂=×

v

f

u

f

v

f u

f

vu

10

01

Poiché la terza componente del vettore vurr × è 1, il suo modulo non è mai nullo.

Quindi il grafico di una funzione ( , ) z f x y= che risulta di classe (1)C nei punti interni al suo

dominio T è sempre una superficie regolare. In questo caso l’equazione del piano tangente nelpunto ( )00 ,, z y xo dove ( )000 , y x f z = è

( ) ( )( ) ( )( )00000000 ,,, y y y x f x x y x f y x f z y x −+−+= ;

l’area della superficie è:

dydx y

f

x

f dvduSa

T T

vu ∫∫∫∫

∂

∂+

∂

∂+=×=

22

1||)( rr

In particolare se 222 y xa z −−= allora

( ) 2

2222 adydx

y xa

aSa

T

π =−−

= ∫∫ dove 222: a y xT ≤+ .

Se la superficie S giace su un piano parallelo al piano xy (cioè sul piano z = costante) allora:

( ) ( )T adydxSaT

== ∫∫

dove T è la proiezione della superficie S sul piano xy .

Se la superficie S di equazione ( , ) z f x y= è una superficie piana che giace su un piano che formaun angolo γ con il piano xy , allora l’angolo che il vettore n normale alla superficie forma con ilversore k è uguale a γ , pertanto è:

1=⋅ kn e γ cosnkn =⋅

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

da cui

i) ycos

1=n

kn

n

⋅= yii cos

1)

Utilizzando la i) e tenendo presente che γ è costante si ottiene:

( ) ( )T adydxdydxSaT T

γ γ γ cos

1

cos

1

cos

1=== ∫∫∫∫

ovvero

( ) ( ) cosa T a S γ = .

L’equazione precedente è nota come principio del coseno delle aree:

Se una superficie S giacente su un piano è proiettata ortogonalmente su un insieme T che giace suun piano che forma un angolo γ con il piano che contiene la superficie allora ( )a T è γ cos voltel’area di S.

La i) e la ii) sono valide anche nel caso in cui S è una superficie regolare che ha una proiezionebiunivoca T sul piano xy. In questo caso l’angolo γ , che il vettore n normale alla superficie,forma

con il versore k ,varia da punto a punto. Utilizzando ii) risulta

( ) dydxSaT

∫∫ ⋅=

kn

n

Ovviamente

( ) dzdySaT ∫∫ ⋅= in

n

( ) dzdxSaT ∫∫ ⋅= jn

n

sono valide nel caso in cui una superficie regolare S ha una proiezione biunivoca T rispettivamentesul piano yz e sul piano xz.

Da quanto precede, segue che se una equazione del tipo ( , , ) 0F x y z = definisce implicitamente z infunzione di (x,y), ovvero una superficie regolare S che si proietta biunivocamente in una regione T del piano xy, allora :

dydxF

F Sa

T z

∫∫∇

=)(

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

Osservazioni

1. La relazione precedente può essere dedotta anche nel modo seguente. Nelle ipotesi suddetterisulta per il teorema delle funzioni implicite:

x

z

F z

x F

∂= −

∂

z

y

F

F

y

z−=

∂

∂

pertanto

( ) ( ) ( )

( )

dydx

F

F F F dydx

F

F

F

F dydx

y

z

x

zdS

z

y x z

z

y

z

x

2

2222222

11++

=

+

+=

∂

∂+

∂

∂+=

e quindi

( ) dydxF

F Sa

T z

∫∫∇

=

2. Nel caso in cui la superficie S è specificata dall’equazione ( , ) z f x y= per calcolare l’area si puòutilizzare la forma implicita in quanto ( , ) z f x y= può essere scritta come ( , , ) ( , ) 0F x y z z f x y= − =

RIASSUMENDO

- Forma parametrica:

Se ( )vu,rr = allora dvduSa

T

vu∫∫ ×= rr)( ( , )u v T ∈

- Forma cartesiana

Se ),( y x f z = allora ( ) ( ) dydx f f SaT

y x∫∫ ++= 221()( T y x ∈),(

- Forma implicita

Se 0),,( = z y xF allora dydxF

F Sa

T z

∫∫∇

=)( T y x ∈),(

valida nel caso in cui la proiezione della superficie sul piano xy sia biunivoca.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

a

T

Esempio 4

Calcolare l’area della porzione della sfera 2222 a z y x =++ interna al cilindro ay y x =+ 22 .

Svolgimento

Un quarto dell’area richiesta si proietta sul piano xy nel semidisco

( )

≤

−+≥≥=

42

,0,0|,22

2 aa y x y x y xT .

Si deve calcolare:

dydx y

z

x

zSa

T

∫∫

∂

∂+

∂

∂+⋅=

22

14)( dove 222 y xa z −−= .

Allora, usando le coordinate polari, si ha:

( )2244)( 2sin

022

2

0222

−=−

=−−

= ∫∫∫∫ π ρ ρ

ρ θ

θ

π

ad a

d a y xa

dydxaSa

a

T

Altro procedimento: Poniamo

( ) 0,, 2222 =−++= a z y x z y xF

allora tenuto presente che su S è 2222 a z y x =++ e 222 y xa z −−= , abbiamo

∫∫ ∫∫∫∫ −=−−

⋅=++

⋅=∇

⋅=T T T z

adydx y xa

a

z

z y xdydx

F

F Sa )2(2444)( 2

222

222

π

x

z

y

T

a

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

Esempio 5

1. Calcolare l’area della superficie conica 222 y x z += che si trova tra i piani 0= z e32 =+ x z .

Svolgimento

La frontiera del dominio T sul quale si proietta la superficie S della quale si vuole calcolarel’area è data dall’ intersezione della superficie conica con quella del piano:

=+

+=

32

222

x z

y x z

−=

−=+

2

4

)3( 222

x z

x y x

134

)1( 22

=++ y x

Se poniamo 0),,( 222 =−+= z y x z y xF allora k ji z y xF 222 −+=∇ .Quindi

dydx z

z y xdydx

F

F Sa

T T

∫∫∫∫++

=∇

=2

2)(

222

2

da cui tenuto presente che su S è 222 y x z += ovvero 22 y x z += , si ottiene

π π 62)32(22)( === ∫∫T

dydxSa

-3

3/2

S

1

z

x

3

-1

T

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


12

Esempio 6

Calcolare l’area della parte della sfera 2222 a z y x =++ interna al cilindro ellittico 2222 a y x =+ .

Svolgimento

Un ottavo dell’area richiesta si proietta sul piano xy nella parte T dell’ ellisse che sta nel primoquadrante del piano xy.Pertanto

∫∫

∂

∂+

∂

∂+=

T

dydx y

z

x

zSa

22

18)( dove 222 y xa z −−= .

Posto2

)(22

ya yb

−= si ha

22

0

)(

0

22

0

)(

0222222

24

8arcsin8

88)(

aady ya

xa

y xa

dxdya

y xa

dydxaSa

a yb

a yb

T

π π

==−

=

=−−

=−−

=

∫

∫ ∫∫∫

Esempio 7

Calcoliamo l’area della superficie ( )221 y x

a z += che sta sopra la lemniscata θ ρ 2cos4 22

a= .

Svolgimento

Un quarto dell’area richiesta si proietta sul piano xy nella parte T della lemniscata corrispondente a

4

0π

θ ≤≤ e ( )θ θ ρ ba

=≤≤ 2cos

4

0 .

Usando le coordinate polari si ha

( ) ( )

( )

( )[ ] ( )

( )

−=−+=

=+=+=

=++=

∂

∂+

∂

∂+=

∫

∫∫ ∫

∫∫∫∫

43

5

3122cos1

3

430

14

4

44

14

222 / 3

4 /

0

2

0

2 / 3224 /

0

224 /

0 0

222

22

π π θ θ

θ ρ ρ ρ ρ θ

π

θ π π θ

aad

a

d ad ad a

dydxa y xa

dydx y

z

x

zSa

bb

T T

dove si è tenuto presente che θ θ 2cos22cos1 =+ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

Esempio 8

Calcolare l’area della superficie sferica 4222 =++ z y x che sta sopra la cardioide θ ρ cos1−= .

Svolgimento

L’area richiesta è due volte l’area della parte della superficie 224 y x z −−= la cui proiezione sul

piano xy è il dominio T delimitato da θ ρ cos1−= con π θ ≤≤0 .Pertanto:

∫∫∫∫−−

=

∂

∂+

∂

∂+=

T T y x

dydxdydx

y

z

x

zSa

22

22

4412)(

da cui, passando a coordinate polari, si ottiene

+−=

−−=

−= ∫∫∫ ∫

−

θ θ θ

π θ θ

π ρ ρ

ρ θ

π π π θ

d d d d Sa2

cos2

sin182

sin184

4)(0

2

0

4

0

cos1

02

Ponendo

Sostituendo usen =

2

θ si ottiene

( )12ln2122

cos2

sin11

0

2

0

2 ++=+=+ ∫∫ duud θ θ θ

π

Quindi

])12ln(2[8)( +−−= π Sa .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

Elemento d’area di una superficie cilindrica

L’elemento d’area dS di una superficie cilindrica S data in coordinate cilindriche dall’equazione

)(ϑ r r = 10 ϑ ϑ ≤ ≤

è dzdsdS = dove ds è l’elemento di lunghezza d’arco della curva di equazioni parametriche

( )cos x r ϑ ϑ = ( ) sin y r ϑ ϑ = 10 ϑ ϑ ≤ ≤

in altre parole èe quindi θ d r r ds

22&+= dove )(ϑ r r ′=&

Se il cilindro ha la base sul piano z = 0 e il “coperchio” su una superficie liscia di equazione( , ) 0 z f x y= > allora

0 ( ) ( ( ) cos( ), ( ) sin( )) z z f r r ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ≤ ≤ = quindi

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ θ

d r r zdzd r r Sa

z

22)(

0 00

2211

)()( && +=+= ∫ ∫∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

Esempio 9

Determinare l’area di quella parte della superficie cilindrica di equazione 2 2 2 x y ay+ =

i) interna alla sfera di equazione 2 2 2 24 x y z a+ + = ii) esterna al cono di equazione 2 2 2 z x y= +

Svolgimento

i) Ovviamente un quarto dell’area richiesta S si trova nel primo ottante. Pertanto osservato chel’equazione del cilindro in coordinate cilindriche è

2 sina ρ ϑ = 0 ϑ π ≤ ≤ ,

e che il coperchio superiore giace sull’emisfero 2 2 24 z a x y= − − si evince che

2 24 2 | cos | z a a ρ ϑ = − = 0 ϑ π ≤ ≤

e quindi

∫∫ ==+=2

0

22

0

222 16cos16cos24)(π π

ϑ ϑ ϑ ρ ρ ϑ ad ad aSa &

ii) Come in i) osservato che il coperchio superiore giace sulla superficie 2 2 z x y= + segue che

( ) 2 sin z aϑ ρ ϑ = = 0 ϑ π ≤ ≤

da cui

/ 22

0

( ) 4 2 sin 2 16a S a a d a

π

ϑ ϑ = ⋅ =∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


16

Esempio 10

Determinare l’area di quella parte di superficie cilindrica 222a z x =+ interna alla superficie

cilindrica .222 a z y =+

Svolgimento

L’equazione del cilindro 222a z x =+ in coordinate cilindriche è a ρ = . Pertanto è

dyad dS ϑ =

Osservato che il coperchio destro giace sulla superficie di equazione:

2 2 2 2 2sin | cos | ( ) y a z a a a yϑ ϑ ϑ = − = − = =

e che un ottavo dell’area richiesta si trova nel primo ottante, si evince che

/ 2 cos / 22 2

0 0 0

( ) 8 8 cos 8a

a S a d dy a d a

π ϑ π

ϑ ϑ ϑ = = =∫ ∫ ∫ .

Esempio 11

Calcolare l’area del cilindro verticale di equazione2

sin2cos1 2 θ θ ρ =−= interna alla sfera

4222 =++ z y x .

Svolgimento

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

L’area richiesta è quattro volte l’area della superficie cilindrica che sta nel primo e nel terzo ottante

il cui coperchio è la superficie: 224 y x z −−=

Pertanto

( ) θ ρ ρ θ

π

d zSa ∫ +=0

224)( &

dove

( ) ( )2

sin4cos12sincos1 22222 θ θ θ θ ρ ρ =−=+−=+ &

2sin1

2cos2

2sin444)( 242 θ θ θ

ρ θ +=−=−= z .

Quindi

( )1223

32

2sin1

2cos

2sin16)(

0

2 −=+= ∫π

θ θ θ θ

d Sa

Osservazione

Se una rappresentazione parametrica ),( vurr = di una superficie è biunivoca anche sulla frontieradel suo dominio T , allora r trasforma la frontiera di T in una curva semplice chiusa liscia a tratti,detto contorno della superficie parametrica. Se r è biunivoca solo su una parte della frontiera diT , il contorno della superficie può essere ottenuto solo da una parte del contorno di T . Nel casodegli emisferi la circonferenza 222 a y x =+ , che corrisponde al lato 2 / π =v del rettangolo è ilcontorno sia dell’emisfero superiore sia dell’emisfero inferiore. L’ intera superficie sferica è priva

di contorno in quanto biunivoca solo sui punti interni al rettangolo. Una superficie di contorno èdetta superficie chiusa. Come nel caso di una curva, la parametrizzazione di una superficie non èunica.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

L’emisfero superiore può essere parametrizzata nel modo seguente:

u x = , v y = , 222vua z −−= T vu ∈),(

dove T è il disco

222

avu ≤+ .Si osservi che per questa rappresentazione ogni punto sull’equatore è un punto singolare. Se unnumero finito di superfici lisce sono unite, a coppie, lungo una parte o la totalità del loro contorno,la superficie così ottenuta è detta superficie liscia a pezzi.Esempi di superficie lisce a pezzi sono i parallelepipedi. Un parallelepipedo è una superficie chiusa,in quanto non esistono due lati non uniti fra loro che costituiscono un contorno.

Se per esempio, eliminiamo la faccia superiore del parallelepipedoconsiderato, le rimanenti cinque facce formano la superficie di una scatolasenza coperchio. I lati in alto delle quattro facce laterali costituiscono ora il

contorno di questa superficie (liscia a pezzi).

Siano3: ℜ→ Ar ),(),( vuvu r→

3: ℜ→ BR ),(),( t st s R→

due superfici regolari equivalenti e sia

A B →:G di classe )(1 BC t.c. ( )),(),,(),( t sV t sU t s →

[ ] ( )),(),,(),(),( t sV t sU t st s rGrR ==

In altre parole),( t sR è l’equazione parametrica della superficie che si ottiene dall’equazione parametrica

( )vu,rr = mediante il combinamento di parametri

),( t sU u = Bt s ∈),( e )(1 BC U ∈

),( t sV v = Bt s ∈),( e )(1

BC V ∈ .

Allora

( )( )

( )t s

V U vut s ,

,

∂

∂∧=∧ rrRR e

( )

( )t s

V U vut s ,

,

∂

∂∧=∧ rrRR

Inoltre

Se ∫∫ ∃⇒∃)()( B A

dSF dS f rr

e ∫∫ =)()( B A

dS f dSF rr

dove )],(),,(([)],([ t sV t sU r f t s RF = .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

INTEGRALI DI SUPERFICIE DI CAMPI VETTORIALI:

FLUSSO

Superfici Orientate

Una superficie liscia S è orientabile se in ogni P∈ S esiste un campo vettoriale unitario n (P)continuo e normale a S. Una superficie S orientabile deve avere due lati. Il lato al di fuori del qualepunta N è detto lato positivo.Una superficie orientata S induce una orientazione su ogni curva C ∈ ∂S. Il verso positivo di C èquello lungo il quale un osservatore, in piedi sul lato positivo della superficie, percorrendo C vede Salla sua sinistra.

Osservazione

Il concetto di orientabilità si può applicare solo alle superfici lisce. Tuttavia non sempre le superficilisce sono orientabili. Inoltre spesso le superfici non sono lisce ma possono essere l’unione di piùsuperfici lisce orientabili.

FlussoIn fisica, il significato originario di flusso è quello di quantità di un fluido che passa, nell’unità ditempo, attraverso una superficie. Tale definizione è legittimata dal fatto che se una superficie èattraversata da un fluido di densità unitaria, allora sapendo che la densità è la massa per unità divolume, segue che la massa del fluido che, nell’unità di tempo, passa attraverso la superficie ènumericamente uguale al volume del fluido che passa attraverso la superficie nell’unità di tempo.Supponiamo che σ sia una superficie orientata con un versore normale n e che un fluido di

densità unitaria fluisca attraverso σ nella direzione di n .Inoltre supponiamo che il fluido sia stazionario, ovvero: in ogni istante la velocità della particelladel fluido che occupa la posizione (x,y,z) rimane la stessa.La velocità del fluido che supponiamo funzione della posizione e non del tempo sia descritta dalcampo (di velocità):

F(x,y,z) = 1F (x,y,z) i + 2F (x,y,z) + 3F (x,y,z) k

Per determinare la massa Φ del fluido che passa attraverso una superficie orientata σ nelladirezione dell’orientazione n suddividiamo σ in n parti

nσ σ σ ,....,, 21 con aree rispettivamente

nSSS ∆∆∆ ,...,, 21 .

Se le parti sono piccole e se ),,( ***k k k

z y x è un punto qualunque della k-esima partek σ ,è ragionevole

affermare che la velocità è costante e uguale a F ),,( ***k k k z y x in ogni

k σ .

La componente della velocità del fluido attraverso la superficiek σ ovvero:

F ),,( ***k k k

z y x ⋅ n ),,( ***k k k

z y x (1)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

rappresenta la distanza percorsa, nell’unità di tempo, dalla sezione del flusso inizialmente su k σ . In

altre parole la sezione del flusso che inizialmente si trova su k σ , nell’unità di tempo si muoverà

spaziando un cilindro di area base k S∆ e di altezza (1).

Pertanto

k k k k k k k z y x z y x S,,ˆ,, ****** ∆⋅ nF (2)

rappresenta il volume di questo cilindro.Così il volume del fluido passante attraverso σ nell’unità di tempo può essere approssimata comesegue:

( ) ( ) k k k k k k k

n

k

z y x z y x S,,ˆ,, ******

1

∆⋅≈Φ ∑=

nF

Se aumentiamo n in modo tale che le parti della superficie tendono a zero, è plausibile che gli errorinelle approssimazioni tendono a zero e il volume di Φ è:

( ) ( ) k k k k k k k

n

k n

z y x z y x S,,ˆ,, ******

1lim ∆⋅=Φ ∑

=∞→

nF

che può essere espressa tramite l’integrale di superficie:

( ) ( ) S,,ˆ,, d z y x z y x nF ⋅=Φ ∫∫ (3)

La quantità Φ definita da questo integrale rappresenta il flusso di F attraverso σ , ovvero la massadel flusso passante attraverso σ nell’unità di tempo.

Osservazione

Quando si deve calcolare il flusso di un campo vettoriale F attraverso una superficie liscia σ èopportuno tenere presente quanto segue:

i) Per una superficie σ definita dall’equazione ),( y x f z = è

( ) ( ) 1ˆ

22++

−−−±=

y x

y x

f f

f f k jin e ( ) ( ) dydx f f dS y x 122

++=

da cui

) dydx f f dS y x

k jin −−−±=ˆ . (4)

Analogamente, se la superficie è definita da una equazione della forma ),( z xg y = oppure

),( z yh x = risulta( ) dydxggdS

x xk jin −−−±=ˆ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

oppure

) dydzhhdS z y

k jin −−±=ˆ

ii) Per una superficie definita implicitamente da un’equazione della forma ( ) 0,, = z y xF e con unaproiezione biunivoca su una regione T del piano xy, è

F

F

∇

∇±=n e dydx

F

F dS

∇±=

da cui

dydx

F

F dS

z

∇±=n . (5)

Naturalmente valgono formule simili alle precedenti per le superfici che hanno una proiezionebiunivoca T sui piani coordinati yz e xz; non è difficile verificare che allora risultarispettivamente

dzdyF

F dS

x

∇±=n e dzdx

F

F dS

y

∇±=n .

iii) Per una superficie σ definita parametricamente dall’equazione vettoriale ( )vu,rr = è

vu

vu

rr

rrn

×

×±=ˆ e dvduvu rrn ×±=ˆ

da cui

( ) dvdudSvu

rrn ×±=ˆ . (6)

Ovviamente, comunque venga assegnata la superficie, in (4), (5) e (6), il segno deve essere scelto inmodo da assegnare a σ l’orientazione desiderato.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

Esempio 1

Determinare il flusso del campo vettoriale

F = m3r

rr = x i + y + z k

Uscente dalla superficie sfericaσ con centro nell’origine e di raggio a.

Svolgimento

Dobbiamo calcolare

∫∫σ

F ⋅ dSn

dove n è la normale unitaria esterna alla sfera σ ,ovvero

n =r

r.

Se usiamo le coordinate sferiche in ogni punto della sfera è

r = r (θ,Φ) = a sinΦ cosθ i + a sinΦ sinθ j + a cosΦk

dove 0 ≤ Φ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π;

F =3

a

mr (θ,Φ) e n =

a

1r (θ,Φ) .

Infine osservato che

dS = Φ× Φ d d θ θ rr = a² sinΦ Φd d θ

si evince che

∫∫σ

F ⋅ n dS = m ΦΦ∫ ∫ d d

π π

θ

2

0 0

sin = 4πm.

Infatti è

F ⋅ n = m 3r

r

r

r

= 2r

m

= 2a

m

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


23

Esempio 2

Calcolare il flusso totale di F = x i + y j + z k

Uscente dalla superficie cilindrica x² + y² ≤ a² -h ≤ z ≤ h.

Svolgimento

La superficie σ è costituita dai due dischi della base e del coperchio:

1σ : z = -h x² + y² ≤ a², 2σ : z = h x² + y² ≤ a²

e dalla superficie laterale

Lσ : x² + y² = a² -h ≤ z ≤ h.

Il flusso totale di F uscente dalla superficie σ è la somma del flusso di F uscente dalla base 1σ , dal

coperchio 2σ e dalla superficie laterale Lσ del cilindro.È opportuno usare le coordinate cilindriche.

Sulla base è n = -k, pertanto

∫∫1σ

F ⋅ dSn = ∫∫1σ

-z dS

Poiché sulla base è z = -h abbiamo che

∫∫1σ

F ⋅ dSn = h∫1σ

dS = hπa².

Analogamente, essendo sul coperchio n = k e z = h, si ottiene

∫∫2σ

F ⋅ n dS = ∫∫2σ

z dS = h∫∫2σ

dS = hπa².

Sulla superficie laterale del cilindro Lσ la normale esterna non dipende da z, è

n = cosθ i + sinθ .

Inoltre su Lσ èF = a cosθ i + a sinθ j + z k

Pertanto su Lσ è F ⋅ n =a. Infine osservato che l’elemento d’area della superficie laterale delcilindro è

dS= dz ds = a dθ dz

si evince che (*)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


24

∫∫ Lσ

F ⋅ n dS = a² ∫π 2

0

θ d ∫−

h

h

dz = 4πa²h.

Quindi

∫∫σ F ⋅ n dS = 6πa²h.

(*) Osservazione

∫∫ Lσ

F ⋅ n dS = ∫∫ Lσ

a dS = a (Area di Lσ ) = a (2πa2h) = 4πa²h.

Esempio 3

Calcolare il flusso del campo vettoriale

k jiFF z x y xy z y x 232),,( ++==

uscente dal cilindro ellittico S di equazione

12

2

2

2

=+ b

y

a

x

10 ≤≤ z

Svolgimento

Il flusso richiesto è la soma del flusso uscente dalla superficie laterale LS del cilindro, dalla base B

sul piano xy e dal coperchio sul piano 1= z . Calcoliamo il flusso uscente da LS , le cui equazioniparametriche sono

z zb ya x === ,sin,cos θ θ

dove π θ 20 ≤≤ e 10 ≤≤ z . Essendo su LS

k jiF θ θ θ θ 223322 cossincossin a zbab ++= ;

θ θ

θ θ

θ

θ

2222 sincos

sincosˆ

ab

ab

z

z

+

+=

×

×=

ji

rr

rrn

oppure

kT

kTn

×

×=ˆ dove iT cossin ba +−= θ ;

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


25

dzd badzdsdS θ θ θ cossin 222 +==

si ha

π θ θ

π

31

0

2

0

2

S

sinSˆL

abdzd abd ==⋅

∫∫∫∫nF .

Il flusso del coperchio C è

∫∫∫∫∫∫ ==⋅T

2

C

2

C

S dydx xdydx z xd kF

dove si è tenuto conto che su C è 1= z e che la proiezione di C sul piano xy è l’insieme

( )

≤+= 1, 2

2

2

2

b

y

a

x

y xT .

Ponendo vb yua x == , e usando le coordinate polari si ottiene che

∫ ∫∫∫∫∫ ===π

π ρ ρ θ θ

2

0

1

0

3323

D

23

T

2

4cos bad d badvduubadydx z x

dove D è il disco 122 ≤+ vu .

Infine osservato che sulla base è kn −=ˆ e 0= z si evince che il flusso uscente da B è zero. Quindiil flusso totale uscente sa S è

+=⋅∫∫ 4

ˆ2

2 ababdS

S

π nF .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


26

Esempio 4

Calcolare il flusso del campo vettoriale di F = y i + z k uscente dalla frontieraσ del cono

0 ≤ z ≤ 1-22

y x +

Svolgimento

Indichiamo con Lσ la superficie laterale del cono z =1 - 22 y x + e con T il disco x² + y² ≤ 1.

Allora

∫∫σ

F ⋅ n dS = ∫∫ Lσ

F ⋅ n dS + ∫∫T

F ⋅ n dS

dove

n = 22

y x

x

+i +

22 y x

y

+ j + k su

Lσ n = - k su T .

Essendo su Lσ

F = y i +

+−22

1 y x k

abbiamo (tenuto presente che Lσ si proietta su T)

∫∫σ

F ⋅ n dS = dydx y x y x

xy

T

∫∫

+−+

+

22

221 - ∫∫

T

z dydx .

Osservato che, per motivi di simmetria, è

∫∫T

22 y x

xy

+dydx = 0

e che su T è z = 0, utilizzando le coordinate polari, si ottiene

∫∫σ

F ⋅ n dS = ∫∫T +− 221 y x dydx = ∫

π 2

0dθ ∫ −

1

0)1( ρ ρ dρ = 3

π .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


27

Teorema della Divergenza (di Gauss)

Sia D un dominio tridimensionale regolare, la cui frontiera D∂ è una superficie chiusa S orientata

con campo normale unitario n uscente da D.

Se

F(x,y,z) = 1F (x,y,z) i + 2F (x,y,z) j + 3F (x,y,z) k

è un campo vettoriale liscio definito su D, allora

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅∇S D

dSdV nFF ˆ

Dimostrazione

Incominciamo a calcolare il flusso di un campo vettoriale

=F 3F (x,y,z) k

parallelo all’ asse z uscente da una superficie orientabile chiusa S liscia a pezzi che è il contorno di

un dominio D z-semplice .

Poiché D è z-semplice , tale dominio è compreso tra i grafici di due funzioni ),( y x f z = e

),( y xg z = definite su una regione connessa e limitata R del piano xy. Se supponiamo

f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) allora

R y x D z y x ∈⇔∈ ),(),,( e ),(),( y xg z y x f ≤≤

g

f

R

Supposto f e g di classe )(1 RC , la superficie S consiste di una parte inferiore S1, di una parte

superiore S2 definite rispettivamente dalle equazioni ),( y x f z = e ),( y xg z = ed

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


28

eventualmente da una parte S3 del cilindro verticale che passa per la frontiera di R .

Calcoliamo

dSS

nF ˆ∫∫ ⋅

dove n è il campo normale unitario di S uscente da D . Essendo sulla superficie laterale S3 ⋅k n = 0 risulta

dSS

nF ˆ∫∫ ⋅ = ∫∫ ⋅

2S

F n dS + ∫∫ ⋅

1S

F n dS

Poiché su S2 è :

⋅k n dydxdydx y

f

x

f dS =

+

∂

∂−

∂

∂−⋅= k jik

mentre su S1 è :

⋅k n dydxdydx y

f

x

f dS −=

−

∂

∂+

∂

∂⋅= k jik

risulta :

[ ] [ ]∫∫ ∫∫∫∫∫∫=−=⋅=⋅

R RSS dydx y x f y xF dydx y xg y xF dS z y xF dS )),(,,()),(,,(ˆ

),,(ˆ

333

nknF

dzdydx z

F dydx

z

F

D R

y xg

y x f

∫∫∫∫∫ ∫ ∂

∂=

∂

∂= 3

),(

),(

3

E’ evidente ora che se D è x-semplice possiamo usare lo stesso tipo di ragionamento per dimostrare

l’identità

dzdydx x

F dSF

S D

∫∫ ∫∫∫ ∂

∂=⋅ 1

1ˆ

ni

mentre se D è un dominio y-semplice l’identità è

dzdydx y

F dSF

DS

∫∫∫∫∫ ∂

∂=⋅ 2

2ˆ

n j

Pertanto se D è un solido x-y-z semplice, la cui frontiera S è una superficie chiusa, orientabile e

liscia a pezzi e se

k ji ),,(),,(),,(),,( 321 z y xF z y xF z y xF z y x ++=

))))

è un campo vettoriale di classe )(1 DC allora

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


29

dzdydx z

F

y

F

x

F

D

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∫∫∫ 321 = dSF F F

S

nk ji ˆ)( 321 ⋅++∫∫

ovvero

dV div D

F

∫∫∫ = ∫∫ ⋅S

F dSn

Ora supponiamo che D sia l’unione di due domini D1 e D2 x-y-z semplici che non si sovrappongono

e che la frontiera S viene divisa in S1 e S2 dalle superficie S*

che taglia D in D1 e D2 . Ovviamente S*

è parte del contorno sia di D1 che di D2 . Poiché il teorema vale per entrambi i domini D1 e D2

abbiamo:

dSdV D SS

∫∫∫ ∫∫∗∪

⋅=⋅∇

1 1

1nFF

∫∫∫ ∫∫∪

⋅=⋅∇

2*

2

2ˆ

D SS

dSdV nFF

da cui

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ =⋅∇+⋅∇=⋅∇ D D D

dV dV dV

1 2

FFF

= dSdSdSdS

SSS S

∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅*

21*

ˆˆˆˆ211 nFnFnFnF

Poiché le normali esterne 2n e 1n , rispettivamente dei domini D1 e D2 puntano in direzioni opposte

sui due lati di S

*

, i contributi provenienti da S

*

si elidono, pertanto risulta

dSdSdSdV SS D S

∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ⋅=⋅+⋅=⋅∇ nFnFnFF ˆˆˆ21

21

Iterando il procedimento precedentemente si evince la validità del teorema al caso in cui D è

regolare ovvero è l’unione finita di domini x-y-z semplici che non si sovrappongono.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


30

Vale il seguente

Teorema. Siano: )(r B una sfera solida di raggio r e con centro in 0P ; S la frontiera di )(r B ; n la

normale unitaria esterna di S; )(r B il volume di )(r B . Allora

)()(ˆ)(

1lim 0

0Pgrad dS

r BS

r FnF =⋅∫∫→

.

Dimostrazione.

Dobbiamo dimostrare che dato 0>ε esiste ( ) 0>= ε δ δ tale che

( ) ε ϕ <⋅− ∫∫S

dSr B

P nF ˆ)(

10 per ogni δ << r 0 .

Dove ( ) )()( Pgrad P F=ϕ . Poiché ϕ è continua in 0P , in corrispondenza di 0>ε esiste una sfera

);( 0 δ P B tale che

( ) ( )2

0

ε ϕ ϕ <− PP per ogni );( 0 δ P BP∈ .

Se scriviamo

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00 PPPP ϕ ϕ ϕ ϕ −−=

ed integriamo questa equazione su una sfera ),( 0 r P B dove δ << r 0 , abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )[ ] dV PPdV Pr BPr B r B

0

)( )(

0 )( ϕ ϕ ϕ −−⋅∇= ∫∫∫ ∫∫∫F .

Da cui se applichiamo il teorema della divergenza al primo integrale del secondo membro,

otteniamo

( ) ε ε

ϕ <≤⋅− ∫∫ )(2)(

1ˆ

)(

10 r B

r BdS

r BP

S

nF per ogni δ << r 0 .

La formula dimostrata nel teorema precedente cioè

( ) ∫∫ ⋅=⋅∇→

Sr

dSr B

P nFF ˆ)(

1lim

0

in precedenza in alcuni testi di analisi vettoriale è presa come definizione di divergenza e fornisce la

seguente interpretazione fisica della divergenza.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


31

Supponiamo che F rappresenti il vettore densità di flusso di una corrente stazionaria. Allora come

già visto, l’integrale superficiale

∫∫ ⋅S

dSnF ˆ

misura la massa totale di fluido che scorre attraverso S nell’unità di tempo nella direzione di n ;il rapporto

∫∫ ⋅S

dSr B

nF ˆ)(

1

misura la massa per unità di volume che scorre attraverso δ nell’unità di tempo e nella direzione di

n . Poiché il limite per r → 0 del rapporto precedente è la divergenza di F in P, segue che:

la divergenza di F in un punto P può essere interpretata come la rapidità di variazione della massa

per unità di volume e per unità di tempo in P.

Osservazioni importanti

Dal teorema di Gauss segue

1. Il flusso uscente da una superficie S ( orientabile e liscia a pezzi ) , di un campo vettoriale

costante è uguale a 0

2. Qualunque sia la superficie chiusa S ( orientabile e liscia a pezzi ), è

dSS

∫∫ ⋅×∇ nF ˆ)( = dS D

∫∫∫ ×∇⋅∇ F = 0

Ovvero

dSrot S

nF ˆ⋅∫∫

= 0

UNA APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELLA DIVERGENZA

Sia D un dominio regolare la cui frontiera è la superficie S. Se F è un campo vettoriale liscio, φ è

un campo scalare liscio e c è un vettore costante arbitrario, allora applicando il teorema divergenza

a cF x e cφ , si ottengono rispettivamente le seguenti relazioni vettoriali:

i) dSdV S D

nFF ˆ×−=×∇ ∫∫∫∫∫

ii) .ˆ dSdV S D

nφ φ ∫∫∫∫∫ −=∇

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


32

Osservazione

Formalmente la i) si ottiene da

dSdV S D

nFF ˆ⋅−=⋅∇ ∫∫∫∫∫

Sostituendo · con × e ponendo il segno meno al 2° membro;

la ii) sostituendo F con φ .

Il teorema della divergenza applicato a cF x da

( ) ( ) ( )[ ] ( )dV dV dV x DS D

FcFccFcF ×∇⋅=⋅×∇−⋅×∇−=×∇ ∫∫∫∫∫∫∫∫

( ) ( ) ( ) ( )dSdSdSdV x DSSS

nFcnFcnFcncF ˆˆˆˆ ×⋅−=×⋅−=⋅×−=⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫

segue che

( ) ( ) 0ˆ =⋅

×+×∇ ∫∫∫∫∫ cnFF dSdV

S D

da cui, data l’arbitrarietà di c , si evince che

( ) ( )dSdV S D

nFF ˆ×−=×∇ ∫∫∫∫∫ .

Esempio 1

Verificare il teorema di Gauss nel caso in cui D è il dominio la cui frontiera σ è il tetraedro

delimitato dai piani coordinati e dal piano

1=++c

z

b

y

a

xa > 0, b > 0, c > 0;

e

F = ∇Ф dove Ф = Ф(x,y,z) = xy + z².

Svolgimento

Dobbiamo dimostrare che

∫∫σ

F ⋅ dSn = ∫∫∫ D

∇ ⋅F dS

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


33

dove n denota la normale unitaria esterna a σ . Ovviamente σ è costituita da 1σ , 2σ , 3σ , 4σ dove:

1σ è quella parte del piano di equazione

z = c(1-

b

y

a

x− ) (x,y) ∈ T

essendo T il triangolo di vertici (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0);

2σ è il triangolo di vertici (0,0,0), (0,b,0), (0,0,c);

3σ è il triangolo di vertici (0,0,0), (a,0,0), (0,0,c);

4σ è il triangolo di vertici (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0).

Poiché su 1σ è

dydxb

c

a

cdS

++= k jin

F =∇Ф = y i + x + 2c

+−

b

y

a

x1 k

si ha

∫∫∫∫ +=

+

−+

−=⋅

T

bac

dydxc yb

c

a

c x

a

c

b

cdS

2)(6

222

ˆ

1

nFσ

Analogamente

6)(

2

22

cbdzdy ydS −=−=⋅ ∫∫∫∫σ σ

iF

6)(

2

33

cadzdx xdS −=−=⋅ ∫∫∫∫

σ σ

jF

00)(

44

∫∫∫∫ ==−⋅σ σ

dSdSkF

Quindi

( )[ ]36

ˆ 222 abcbaba

cdS =−−+=⋅∫∫

σ

nF .

Infine abbiamo

∫∫∫ D

∇ ⋅F dV = ∫∫∫ D

2 dV = 2(volume del tetraedro) = 23

1

2

abc =

3

abc

Oppure integrando per fili

∫∫∫ D

dV = c∫∫T

dydxb

y

a

x

+−1 = c

−−

662

ababab=

6

abc.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


34

Esempio 2

Verificare il teorema di Gauss nel caso in cui

F = ( y + xz ) i + ( y + yz ) j - ( 2x + z² ) k ,

e

D =(x,y,z) : x² + y² + z² ≤ a² , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Svolgimento

Dobbiamo dimostrare che

∫∫∫ D∇ ⋅F dV = ∫∫σ

F ⋅ n dS

dove σ è la frontiera del dominio D e n denota la normale unitaria esterna alla superficie σ. La

superficie σ consta di quattro parti:

1σ = (x,y,z) : x² + y² + z² = a² , x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 ;

2σ = (x,y) : x² + y² ≤ a² , x ≥ 0, y ≥ 0

3σ = (y,z) : y² + z² ≤ a² , y ≥ 0, z ≥ 0

4

σ = (x,z) : x² + z² ≤ a² , x ≥ 0, z ≥ 0 .

Su 1σ è z =222

y xa −− (x,y) ∈ T = 2σ , pertanto

dydx z

y

z

xdydx

y

z

x

zdS

++=

+

∂

∂−

∂

∂−= k jik jin

e

∫∫1σ

F ⋅ n dS = ∫∫

++

−−

+

T

dydx x -a² ) - y² x² ( y xa

y xy22

222

2

.

Passando a coordinate polari abbiamo

∫∫1σ

F ⋅ n dS = ∫

−+

2

02

2cos1cossin

π θ

θ θ ρ ρ

ρ ρ d

a

a

220

2

−∫ +

+ ∫2

0

π

dθ ( )∫ −−a

d a0

23 22 ρ ρ ρ ∫2

0

cos

π

θ θ d ∫a

d 0

2 ρ ρ =3

12

3a

−

π

Su 2σ è z = 0 e n = -k , pertanto abbiamo

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


35

∫∫2σ

F ⋅ n dS = 2 ∫∫2σ

x dx dy.

Passando a coordinate polari si ha

∫∫2σ

F ⋅ n dS = 2 θ θ π

d ∫2

0

cos ∫a

d 0

2 ρ ρ =3

2 3a

Analogamente tenuto presente che su 3σ è x = 0 e n = - i si ottiene

∫∫3σ

F ⋅ n dS = - ∫∫3σ

y dz dy = -3

3a

Su 4σ è y = 0 e n = - j , pertanto

∫∫4σ

F ⋅ n dS = ∫∫4σ

0 dS = 0.

Quindi

∫∫σ

F ⋅ n dS =33

23

12

33

3

aaa −+

−π =

2π

3

3

a .

Infine

∫∫∫ D

∇ ⋅F dV = ∫∫∫ D

dV =8

1(volume della sfera) =

8

1

3

4π a³ =

2

π

3

3a

Oppure utilizzando le coordinate sferiche si ha :

∫∫∫ D

dV = ∫2

0

π

dθ θ

π

d ∫ Φ

2

0

sin ∫a

d 0

2 ρ ρ =2

π 1

3

3a=

2

π

3

3a.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


36

Esempio 3

Verificare il teorema di Gauss nel caso in cui:

( ) 2222:,, a z y x z y x D ≤++=

i) F = F ( ) k ji z y x z y x 42,, +−=

ii) F = F ( ) ( ) k ji 2223 33,, x z y yz x z y x +++=

Svolgimento

E’ opportuno usare le coordinate sferiche:

φ ρ ϑ φ ρ ϑ φ ρ cos,cossin,cossin === z y x

dove a≤≤≤≤≤≤ ρ π φ π ϑ 0,0,20 .

Sul contorno σ del dominio D, ovvero sulla sfera di raggio a con centro nell’origine, vale:

dove n indica la normale unitaria esterna a σ.

Inoltre l’elemento di volume, in coordinate sferiche, è:

Premesso ciò, bisogna dimostrare che:

∫∫∫ ⋅∇ D

F ∫∫=σ

dV F dSn⋅

i) Risulta

∫∫∫ ⋅∇ D

F ∫∫∫ ⋅== D

dV dV π 3

433

3a

∫∫σ

F ∫∫=⋅σ

dSn F ( )∫∫ =+−=⋅σ

dS z y x

a

dS

a

222 421r

k jirr

r

rn z y x

ad d adSa ++=====

ˆ,sin, 2 φ ϑ φ ρ

ρ ϑ φ φ ρ d d d dV sin2=

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


37

( )∫ ∫ =+−=π π

φ φ φ ϑ φ ϑ φ ϑ 2

0 0

222223 sincos4sinsin2cossin d d a

∫ ∫=

+−=+−−=

π π

π π φ φ φ π φ φ φ π 0 0

332323 43

16

3

4sincos8sin)cos1( aad ad a

ii) Risulta

⋅∇∫∫∫ D

F ( )∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ==++= D

a

ad d d dV z y x

π π

π ρ ρ φ φ ϑ 2

0 0 0

54222

5

12sin33

∫∫σ

F ∫∫=⋅σ

dSn F ( )∫∫ ++=⋅σ

dS z x z y xa

dSa

2224 61r

Osservato che il terzo degli integrali superficiali precedenti è nullo in virtù della simmetria, segue

che

∫∫σ

F ( )∫∫ ∫ ∫ +=+=⋅σ

π π

φ φ φ ϑ ϑ 2

0 0

445224 sinsincos61

ˆ d d adS z y xa

dSn

π φ φ φ φ ϑ ϑ π π

52

2

0

225

5

12sinsinsin6 ad scod a

o

=+ ∫ ∫

Infatti risulta

∫ ∫∫ =

+++=

+=

π π π

π ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ 0

2

0

22

0

4

4

3

2

4cos12cos21

4

1

2

2cos1cos d d d

( )∫ ∫ =+−=π π

φ φ φ φ φ φ φ 0 0

424

15

16sincoscos21sinsin d d

( )∫ ∫ =−=π π

φ φ φ φ φ φ φ φ 0 0

2222

15

4sincoscos1sincossin d d

∫ =

π

π ϑ ϑ

2

0

2sin d

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


38

Esempio 4

Verificare il teorema di Gauss nel caso in cui è

F ( ) ( ) k ji )sin( ye z xz y yz x x−+−++=

( ) :,,

= z y x D 2222 4a z y x ≤++

≤+ 222 a y x

Svolgimento

Dobbiamo verificare che

⋅∇∫∫∫ D

F ∫∫=σ

dV F dSn⋅

La superficie σ ovvero la frontiera di D consiste di una parte cilindrica 1σ e di una parte

sferica2σ . Pertanto

∫∫σ

F =⋅ dSn ∫∫1σ

F 1ˆ dSn⋅ + ∫∫

1σ

F 2ˆ dSn⋅

Dove: 1n è la normale unitaria al cilindro verticale

222 a y x =+ 3a z ≤ ;

x y

y

O

2222 4a z y x =++

222a y x =+

a3a2

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


39

2n è la normale unitaria esterna alla sfera

2222 4a z y x =++ .

Usando le coordinate cilindriche, sulla superficie laterale della parte cilindrica è

F 1n⋅ = F =

+−⋅ ji ϑ ϑ sincos

= a zaa zaa −=

++

+− ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ sincossincossincos

Quindi

∫∫1σ

F 11ˆ dSn⋅ = ∫∫ −=−

1

41

σ

π dSa 33a

Usando le coordinate sferiche, sulla parte sferica è

ϑ φ cossin2a x = ϑ φ sinsin2a y = φ cos2a z =

dove

π ϑ 20 ≤≤ π π

φ π

66≤≤ ,

pertanto

∫∫1σ

F 2ˆ dSn⋅ = ∫∫

22

1

σ a

F =⋅ 2dSr ∫∫ =

π

π

π

π φ φ ϑ 6

5

6

32

2

0

316sin42 ad ad a

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


40

Quindi

∫∫σ

F dSn⋅ 312 3π a=

Infine, tenuto presente che l’elemento di volume in coordinate sferiche è

ρ ϑ φ φ ρ d d d dV sin2=

Abbiamo

⋅∇∫∫∫ D

F =dV π ρ ρ φ φ ϑ

φ

π

π

π 3

2

sin

22

6

2

0

312sin63 ad d d dV

a

a D

== ∫∫∫∫∫∫

Osservazione

L’equazione del cilindro222

a y x =+ in coordinate sferiche è

( ) 22222 sincossin ϑ ϑ ϑ φ ρ =+ ovvero222 sin a=φ ρ

da cuiφ

ρ sin

a=

a

a 2a

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


41

Esempio 5

Un dominio conico D con vertice in (0,0,b) e asse lungo l’asse z ha come base un disco T di raggio

a sul piano xy. Determinare il flusso di:

F ( ) ( ) ( ) k ji 133322 ++−+++= z x y y x y x

che attraversa la frontiera σ della parte conica del dominio D ovvero la superficie σ di equazione:

22 y xa

bb z +−= b > 0

Soluzione

Utilizzando il teorema di Gauss abbiamo:

∫∫σ

F dSn⋅ = ⋅∇∫∫∫ D

F −dV ∫∫T

F dSn⋅

Ora calcoliamo i due integrali alla destra della relazione precedente:

⋅∇∫∫∫ D

F =dV ( )[ ] ( )∫∫∫ ∫∫∫ ++=++ D D

dV y xbadV y x 22222 33

232 π

Essendo:

( ) ( )∫∫∫∫∫

+−+=+

T D

dydx y xabb y xdV y x 222222

Utilizzando le coordinate polari si ottiene:

( )10

14

0

2

2

0

22 bad

ad bdV y x

a

D

π ρ ρ

ρ ρ ϑ

π

=

−=+ ∫∫∫∫∫

Oppure se indichiamo con c(z) il disco:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


42

( )2

2

222 zb

b

a y x −≤+ b z ≤≤0

Si ha:

( ) ( )( )

∫∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫−

==+=+ D

b zb

b

a

b

zc

bad d dzdydx y xdzdV y x

0

4

0

3

2

00)(

2222

10

π ρ ρ ϑ

π

Pertanto:

⋅∇∫∫∫ D

F =dV .

10

3

3

2 42 π π baba +

Ora tenuto presente che su T è z=0, abbiamo:

∫∫T

F =⋅ dSn ∫∫T

F ( ) ( ) 21 adydxdydx zdST T

π −=−=+−=−⋅ ∫∫∫∫k

Quindi:

∫∫σ

F dSn⋅ 242

10

3

3

2aabba π π π ++=

METODO DIRETTO

Su σ abbiamo:

F ( ) ( ) k ji

+−++−+++= 223322 13 y x

a

bb x y y x y x

e

Pertanto:

dydx y

z

x

zdS

+

∂

∂−

∂

∂−= k jin

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


44

Esempio 6

Sia σ quella parte della superficie cilindrica di equazione 122 =+ z y che si trova nel 1 ° ottante

compresa tra i piani x = 0 e x = 1.

Calcolare il flusso del campo vettoriale

F k ji y x xz −−= 23

uscente da σ

Svolgimento

E’ opportuno utilizzare le coordinate cilindriche; allora l’equazione di σ è 1= ρ 10 ≤≤ x .

La superficie σ interseca il piano yz nella curva C di equazioni parametriche

ϑ cos= y , sin= z 2

0π

ϑ ≤≤

pertanto risulta ϑ d dS = . Essendo sulla superficie laterale del cilindro

dxd dS ϑ = , F ,cossin3 2 k ji ϑ ϑ −−= x x n k j ϑ ϑ sincos +=

Segue che su σ è

F dSn⋅ ( ) dxd x ϑ ϑ ϑ ϑ sincoscos −−=

quindi

∫∫σ

F dSn⋅ ( )∫∫ −=+−=1

0

2

0

1sincoscos dx xd ϑ ϑ ϑ ϑ

π

.

Oppure

se indichiamo con D il solido così definito:

( )

≤≤≥≥≤+= 10,0,0,1:,, 22 x z y z y z y x D

per il Teorema di Gauss risulta

∫∫σ

F dSn⋅ = ⋅∇∫∫∫ D

F −dV ∫∫1σ

F ( ) d k− −1σ ∫∫2σ

F ( ) d i− −2σ ∫∫3σ

F ( ) d j− −3σ ∫∫4σ

F ( ) d i 4σ

dove il significato di iσ 4,3,2,1=i è ovvio.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


45

Essendo

∫∫1σ

F ( )k−⋅ ∫∫∫∫ ===1

0

1

0

12

1

1

dy ydxdydx ydSσ

∫∫2σ

F ( )i−⋅ ∫∫ =−=

2

03 2

2

σ

dzdx xzdS su 2σ è 0= z

∫∫3σ

F ( ) j−⋅ ∫∫∫∫ ===1

0

1

0

32

1

3

dx xdzdzdx xdSσ

∫∫4σ

F i⋅ ∫ ∫∫∫ ===2

0

1

0

322

416

3sin33

4

π

σ

π ρ ρ ϑ ϑ d d dzdx zdS

⋅∇∫∫∫ D

F dV ( )

∫∫∫∫∫∫ == xC D

dydz zdxdV z 2

1

0

2 33

dove C(x) denota il disco 0,0,122 ≥≥≤+ y z y z

pertanto

⋅∇∫∫∫ D

F dV ∫ ∫∫ ==2

0

1

0

32

1

016

3sin3

π

π ρ ρ ϑ ϑ d d dx

quindi

∫∫σ

F dSn⋅ 116

3

2

1

2

1

16

3−=−−−= π π

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


46

Esempio 7

Verificare il teorema di Gauss nel caso in cui

( ) ( ) 0,4,, 2222 ≥≤−++= zaa z y x z y x D

( ) ( ) ( ( ) k jiFF x ye z y x z y x x +++++++== 32,, 222 2

.

Svolgimento

La frontiera del dominio D è costituita da quella parte S della superficie sferica che sta sul piano

y x :

( ) 04

2222

≥=−++ zaa z y x

E dal disco T : 0,3 222 =≤+ za y x . Quindi dobbiamo verificare che

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∧

⋅+−⋅=⋅∇ST D

dS N dAdv FkFF

A tale scopo calcoliamo separatamente i tre integrali dell’uguaglianza precedente.

i) Poiché D è simmetrico rispetto ai piani 0= x e 0= y , risulta

( ) 022 =+=⋅∇ ∫∫∫∫∫∫ dzdydx y xdv D D

F

ii) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ −=−=+−=−⋅T T T

adydxdydx xdS2933 π kF

iii) Per calcolare

dSS

∫∫∧

⋅NF

Facciamo il seguente cambiamento di variabili

ua z y y x x +=== ,

e poniamo ( ) ( )u y xua y x ,,,, GF =+ . Allora il valore del flusso dato dall’integrale

precedente è uguale al flusso, del campo vettoriale G , uscente da quella parte della sfera di

equazione

auau y x −≥=++ 2222 4

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


47

Ovvero che sta sul piano au −= (vedi figura).

Per il calcolo di

( ) ∫∫∫∫ ∫∫ =++⋅=⋅∧

SS S

dSa

dSu y xGa

dS2

3

2

1k jiNF

Dove si è tenuto conto delle simmetrie gia menzionate, usiamo le coordinate sferiche. A talescopo, tenuto presente che

62

3cos

π α α =⇒=

Si evince che π π π

φ 3

2

620 =+≤≤ .

Quindi

2

3

2

0

2

2

0

9cossin43 ad ad dSS

π φ φ φ ϑ

π π

==⋅ ∫∫∫∫∧

NF

Il che completa quanto volevamo verificare.

z

y

a

u

a−

a3

α y

x

x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

TEOREMA DI GREEN

Le formule

( ), D C

f dx dy f x y dy

x

∂=

∂∫∫ ∫ [1]

( ), D C

f dx dy f x y dx

y

∂− =

∂∫∫ ∫ [2]

note come formule di Green sono due relazioni semplici ma molto importanti fra gli integrali estesi

ad un dominio piano e gli integrali estesi alla frontiera del medesimo.

Nelle suddette formule f è di classe( ) ( )1

C D ; C è il contorno orientato del dominio D considerato

come una superficie con orientazione data da $ =n k . Pertanto C è orientato positivamente se quando

si percorre C secondo il suo orientamento il dominio D si trova alla sua sinistra.

Per dimostrare la validità delle formule [1] e [2] supponiamo che in un primo momento che il do-

minio D sia y-semplice ovvero che sia delimitato dalle due rette verticali x a= , y b= e dai grafici

C 1 e C 2 delle funzioni rispettivamente di equazioni

( )1 y xϕ = e ( )2 y xϕ = con a x b≤ ≤ e ( ) ( )1 2 x xϕ ϕ ≤ .

Dove 1ϕ e 2ϕ si suppongono continue con le loro derivate prime.

Premesso che nelle suddette ipotesi risulta

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2 2

1 1

' '

2 2 1 1, , , , x x

x x x

d f x y dy f x y dy f x x x f x x xdx

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + − ∫ ∫

Si ottiene

1) ( )( )

( )2

1

,b x

xa x

D

f dx dy dx f x y dy

x

ϕ

ϕ

∂= =

∂∫∫ ∫ ∫

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

1

' '

2 2 1 1, , ,b x

a x

d f x y dy f x x x f x x x dx

dx

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + =

∫ ∫

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1

' '

1 1 2 2, , , ,

b a b b

b a a a f b y dy f a y dy f x x x dx f x x x dx

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 1 2

, , , , ,C C C C C

f x y dy f x y dy f x y dx f x y dx f x y dy= + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Negli integrali curvilinei precedenti C 3 e C 4 denotano i segmenti delle rette x b= e x a= che ap-

partengono alla frontiera C del dominio D

2) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

2

12 1, , , ,

b x b

ya x a

D C

f dx dy dx f x y dy f x x f x x dx f x y dx

y

ϕ

ϕ ϕ ϕ

∂= = − =

∂∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Nel caso in cui il dominio D è x-semplice si hanno forme analoghe, e la dimostrazione (con le op-

portune modifiche) è la stessa.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

Passiamo ora la caso generale:

Sia D un dominio con frontiere C regolare a tratti e che possiede la proprietà seguente: la sua chiu-

sura può essere suddivisa, da rette parallele agli assi coordinati x e y in numero finito di sottodomini

Dk ciascuno dei quali è un dominio y-semplice, x-semplice o entrambi (i domini rettangolari).

( ),

k k k k D D C

f f dx dy dx dy f x y dy x x

∂ ∂= =∂ ∂∑ ∑∫∫ ∫∫ ∫

La frontiera generale per tutti i domini Dk è composta da C e da un numero finito di segmenti, cia-

scuno dei quali appartiene a D ed è comune a due domini vicini. Pertanto ogni segmento è percorso

due volte in direzioni opposte, perciò gli integrali curvilinei corrispondenti a questi percorsi si com-

pensano mutuamente e resta solo l’integrale esteso C . Pertanto

( ) ( ), ,

k k C C

f x y dy f x y dy=∑ ∫ ∫

e la dimostrazione è completa.

Dalle formule di Green segue il Teorema di Green.

Teorema di Green

Siano C , C 1, …, C n n curve semplici, chiuse, lisce a pezzi con le seguenti proprietà:

1) Le curve non hanno punti comuni;

2) Le curve C 1, …, C n stanno all’interno di C ;

3) La curva C i sta nell’esterno della curva C j, i j∀ ≠ dove 1, 2,...,i n= , 1, 2,..., j n= .

Sia R la regione costituita dall’unione di C con quella parte dell’interno di C che non è interna a C 1,

C 2, …, C n. Sia ( ) ( )1 2, ,F x y F x y= +F i j un campo vettoriale liscio in un aperto Ω contenente R,

allora

( ) ( ) ( ) ( )2 11 2 1 2

1

, , , ,

k

n

k R C C

F F dx dy F x y dx F x y dy F x y dx F x y dy

x y =

∂ ∂− = + − +

∂ ∂ ∑∫∫ ∫ ∫

Fig. 1

In particolare se R è una regione limitata semplicemente connessa e C è la sua frontiera allora

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


4

( )

( ) ( )

−⋅×∇

⋅×∇

=⋅

∫∫

∫∫

∫

R

R

C

dAk F

dAk F

r d F

ˆ

ˆ

r

r

r

r

( ) ( )2 11 2

, , R C

F F dx dy F x y dx F x y dy

x y

∂ ∂− = +

∂ ∂ ∫∫ ∫

In questa formula si deve considerare R come una superficie orientata con normale k.

Se R è una regione connessa chiusa e limitata del piano xy il suo contorno C è costituito da più cur-ve chiuse semplici, lisce a pezzi, e che sono orientate positivamente. In particolare se R è un domi-

nio semplicemente connesso, allora C sarà orientata nel verso orario; se R ha dei buchi in tal caso il

contorno dei buchi sarà orientato nel verso orario. (vedi figura)

Comunque se indichiamo con T la tangente unitaria a C e con N ˆ la normale unitaria a C che punta

all’esterno di R, a causa dell’orientamento di C questi settori devono soddisfare l’equazione

vettoriale k T N ˆˆˆ ×= .

Pertanto se C è parametrizzata per mezzo della lunghezza d’arco, allora

jds

dyi

ds

dxT

ds

r d ˆˆˆ +==

r

jds

dxi

ds

dy

ds

dy

ds

dx

k ji

k T N ˆˆ

100

0

ˆˆˆ

ˆˆˆ −=

=×=

e risulta

( ) ( ) N jF iF ds

dxF ds

dyF ds

dyF ds

dxF T F ˆˆˆˆ 121221 ⋅−=

−−+=+=⋅

r

La forma vettoriale della formula precedente, ovvero

Se C è orientata positivamente (1)

Se C è orientata negativamente (2)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

(1) (2)

corrisponde al teorema di Stokes nel piano (vedi paragrafo successivo).

Esempio N°1

Con l’ausilio delle formule di Green, calcolare

( )2 2 2 21 3 1 x y x y

D

I ye y e dx dy+ − + −

= +∫∫

dove D è quella parte del disco 2 2 1 x y+ ≤ che sta nel 1° quadrante.

Svolgimento

Osservato che

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 1 2 1 2 11 12 2

2 2

x y x y x y x y x y ye y e ye y ye y e

dy

+ − + − + − + − + −∂+ = + =

Utilizziamo la formula

( ), D C

f dx dy f x y dx

y

∂= −

∂∫∫ ∫ .

Allora

( )1 1

,2 2

D C

f I dx dy f x y dx

y

∂= = −

∂∫∫ ∫ ( )

2 22 1,

x y f x y y e + −

=

dove C è costituita dagli archi

1 : , 0C x t y= = 0 1t ≤ ≤

2: cos , sinC x t y t = = 0

2t

π ≤ ≤

3: 0,C x y t = = 0 1t ≤ ≤

Poiché su C 1 è ( ),0 0 f t = e che su C 3 è 0dx = , si ha:

( ) ( ) ( )2

2 22 2

0 0

2, , sin sin 1 cos sin3

C C

f x y dx f x y dx t t dt t t dt π π

= = − = − − = −∫ ∫ ∫ ∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


6

quindi 1 3 I = . Per verificare l’esattezza del risultato ottenuto calcoliamo l’integrale doppio. Risulta

( ) ( )2

2 21 1 12 1 2

0 0 0

1 1 1 1 11 1

2 2 2 3 3

x x y

I dx y e dy x dx y

−+ −∂

= = − = − = ∂

∫ ∫ ∫

Un’applicazione del teorema di Green

L’integrale doppio che dà l’area a(R) di una regione piana R si può esprimere nella forma:

dxdy y

P

x

Qdxdy Ra

R R

)()(∂

∂−

∂

∂== ∫∫ ∫∫

dove P=P(x,y) e Q=Q(x,y) sono tali che

1=∂∂−

∂∂

yP

xQ

Per esempio se nella formula che specifica il teorema di Green prendiamo F=x j abbiamo:

∫∫ ∫=

R C

xdydxdy

pertanto se Q=x e P=0 si ottiene

∫=

C

xdy Ra )(

Se prendiamo F=-y j abbiamo:

∫∫ ∫−=

R C

ydxdxdy

pertanto se Q=0 e P=-y si ottiene

∫−=

C

ydx Ra )(

Infine, da quanto precede, si evince anche la formula

∫ +−=

C

xdy ydx Ra2

1)( .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


7

Esempio N°2

Applicare il teorema di Green per calcolare l’integrale

2

C

I y dx x dy= +∫

dove C è la curva di equazioni parametriche

32 cos x t = , 32sin y t = 0 2t π ≤ ≤

Svolgimento

Per il teorema di Green è

( )21 2

C D D

I y dx x dy y dx dy dx dy= + = − =∫ ∫∫ ∫∫

in quanto, per simmetria è

0 D

y dx dy =∫∫ .

Risulta

32 2 sin 23

0 0 04 4 2 sin

t

D

dx dy dx dy t dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫

da cui, tenuto presente che3

2 cos x t = e 0 2t π ≤ ≤ , si ha

( )2

4 2

0

24 sin 1 sin D

dx dy t t dt π

= −

∫∫ ∫.

Utilizzando la formula di ricorrenza (che si deduce integrando per parti)

12cos sin 1

sin sink

k k t t k t dt t dt

k k

−

−−= − +∫ ∫

si ottiene che

24

0

3sin

16t dt

π

π =∫ ,2

6

0

5sin

32t dt

π

π =∫

quindi

2 3 5 324

16 32 4C

I y dx x dy π π

= + = − =

∫ .

Oppure

( )2

2 2 24 2 2 2 2 2

0 0 0

sin 2sin cos sin sin cos sin

4

t t t dt t t t dt t dt

π π π

= = =∫ ∫ ∫

( )2 2

2

0 0

1 1 1 cos 41 cos 2 sin 2

8 8 2 32

t t t dt dt

π π π −= − = =∫ ∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

TEOREMA DI STOKES

Il teorema di Stokes costituisce una generalizzazione del teorema di Green relativa a superfici dello

spazio tridimensionale non necessariamente piane.

Sia S una superficie orientata dello spazio tridimensionale, liscia a pezzi, avente campo normale

unitario $n il cui contorno C consiste di una o più curve chiuse, continue a pezzi con orientazione

ereditata da S. Se F è un campo vettoriale liscio, definito su un insieme aperto contenente S, allora:

$ dS C

dS∇ × ⋅ = ⋅∫∫ ∫F n F r

Stabiliremo la validità della formula per una superficie liscia S che abbia una proiezione normale

biunivoca sul piano xy e che il campo della sua normale unitaria punti verso l’alto. Pertanto su S, z è

una funzione di classe1

C , definita per (x,y) appartenente a una regione R del piano xy : z = f

(x,y).

I contorni C di S e C *

di R sono entrambi orientati in senso antiorario, guardando dall’alto lungo

l’asse z.In questo caso è:

$f f

dS dx dy

x y

∂ ∂= −

∂ ∂

n i - j + k

Pertanto:

$ 3 32 1 2 1

S R

F F F F F F z zdS dA

y z x z x y x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇ × ⋅ = − − + − − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫F n

Poiché z è una funzione di x e y,su C abbiamo

.dyy

zdx

x

zdz

∂

∂+

∂

∂=

Quindi: ( ) ( ) ( )1 2 3d , , , , , ,C C

z zF x y z dx F x y z dy F x y z dx dy

x y∗

∂ ∂⋅ = + + + =

∂ ∂ ∫ ∫F r

1 3 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )C

z zF x y z F x y z dx F x y z F x y z dy

x y∗

∂ ∂ + + +

∂ ∂ ∫ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

Applicando ora il teorema di Green nel piano xy e ricordando che z è funzione di x e y otteniamo:

2 3 1 3d ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )S R

z zF x y z F x y z F x y z F x y z dA

x y y x

∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = + − + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫∫F r

∫∫=

∂∂

∂−

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

R

dA x y

zF

x

z

y

z

z

F

x

z

y

F

y

z

z

F

y

F

y x

zF

y

z

x

z

z

F

y

z

x

F

x

z

z

F

x

F 2

3

3311

2

3

3322

3 32 1 2 1

R

F F F F F F z zdA

y z x z x y x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − − + − − + − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫

$

S

dS= ∇ × ⋅∫∫ F n

La dimostrazione è così completata.

OSSERVAZIONE Se 0∇ × =F in un dominio D dotato della proprietà che ogni curva chiusa sem-

plice e liscia a pezzi contenuta in D, allora il teorema di Stokes assicura che d 0S

⋅ =∫ F r per qualun-

que curva C di questo tipo, per cui F deve essere conservativo. Un dominio semplicemente connes-

so D ha effettivamente la proprietà appena specificata: una curva chiusa C di un dominio semplice-

mente connesso D è la frontiera di una superficie di D.

Come per il teorema della divergenza, l’importanza maggiore del teorema di Stokes risiede

nell’essere uno strumento teorico. Tuttavia esso permette di semplificare il calcolo di integrali di

circuitazione come illustrato dai seguenti esempi.

ESEMPIO N° 1

Calcolare dC

⋅∫ F r dove 3 3 3 y x z+ −F = - i j k , e C è la curva d’intersezione del cilindro 2 2 1 x y+ =

e del piano 2 2 3 x y z+ + = , orientata in modo da avere una proiezione con orientamento antiorario

sul piano xy .

Svolgimento

C è il contorno orientato di un disco ellittico D che si trova nel piano 2x + 2y + z = 3 e che ha il di-

sco circolare R: x2

+ y2

≤ 1 come proiezione sul piano xy. Su S abbiamo

$ ( )2 2dS dx dy= +n i + j k ,

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

inoltre

( )2 23 x y∇ × +F = k

Quindi per il teorema di Stokes

$

1

2 2 2

0

3d 3( ) 2 3

2C S R

dS x y dx dy d π

π ρ ρ ρ ⋅ = ∇ × ⋅ = + = =∫ ∫∫ ∫∫ ∫F r F n

ESEMPIO N° 2

Calcolare dC

⋅∫ F r , dove:

( ) 2 x x ye x e z= + + +F i j k

C: 1 cos x t = + 1 sin y t = + 1 sin cos z t t = − − t [ ]0,2π ∈

Svolgimento

i) Per il teorema di Stokes è

$dC S

F ds⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫∫F r n

Dove S è la parte del piano di equazione 3 z x y= − − interna al cilindro di equazione: 1 cos x t = + ,

1 sin y t = + [ ]0,t r π ∈ .

Pertanto essendo

$

( )dS dx dy= + +n i j k e ∇ × =F k

Si evince che

$dC S T

F ds dx dy π ⋅ = ∇ × ⋅ = =∫ ∫∫ ∫∫F r n

Dove T è la proiezione di S sul piano xy ovvero ( ) ( ) ( ) 2 2

, : 1 1 1 x y x y− + − ≤

ii) Osservato che ( )2

1

x x ye e z x x= + + + = +F i j k j F j e che 1F è conservativo, segue che

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

( )2

1

0

d d 1 cos cosC C C

x dy t t dt

π

π ⋅ = ⋅ + = + =∫ ∫ ∫ ∫F r F r

iii) 2

d ( ) x x

C C

ye dx x e dy z dz⋅ = + + +∫ ∫F r

( ) ( )2

cos cos

0

1 sin sin 1 cos cost t e t e t t ee t

π

− + + + + +∫ [ ] 2

1 (sin cos ) (sin cos )t t t t dt − − − =

2 22

cos cos 2 cos

00 0

sin cos|t t t ee e e t dt e e t dt

π π π

π π − + + =∫ ∫

In quanto

2

cos

0

cost e t

π

∫ sindt t = ∫+

π π

2

0

2cos2

0

cos sin| t eet t

2

cos

0

sint

dt e t

π

= ∫ dt

( ) ( )2

2

0

1 sin cos sin cos 0t t t t dt

π

− + − = ∫ .

ESEMPIO N° 3

Disegnare la curva ( ): sin sin 2C t t t = +r i j 0 2t π ≤ ≤ e calcolare

dC

⋅∫ F r dove 2 3 x y ye x e= +F i j

Svolgimento

Da sin x t = e sin2 y t = 2sin cost t = segue sin , / 2 cos x t y x t = = . Da cui 2 2 2 / 4 1 x y x+ =

Ovvero 22 1 y x x= − − 22 1 y x x= −

I cui grafici sono rispettivamente:

C

-1 1 -1 1

1 R 2 R⇒

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


12

Dunque C è la frontiera di una regione R unione di due regioni 1 R e 2 R . Osservato che

( )0 0,0 ,t = → 1

,1 ,4 2

t π

= →

( )1,02

t π

= → 3 1

, 14 2

t π

= → −

,

( )0,0 ,t π = →

5 1,1 ,

4 2t π

= → −

( )

31, 0 ,

2t π = → −

( )2 0,0t π = →

Si evince che la frontiera di 1 R è percorsa a partire da (0,0) nel verso positivo (antiorario), le fron-

tiere di 2 R è percorsa nel verso negativo (orario).

Allora su 1 R è $ =n k , su 2 R è $ = −n k

Poiché 1 R e 2 R sono simmetriche rispetto all’asse y e

( )223 y x

rot x e e= ∇ × = −F F k

è pari in x, abbiamo

$ $

1 2 R R

dS dS∇ × ⋅ = − ∇ × ⋅∫∫ ∫∫F n F n

Quindi

1 2

d 0C R R R

dS⋅ = ∇ × ⋅ = + =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫F r F n

ESEMPIO N° 4

Se C è il contorno orientato positivamente di una regione piana R avente area A e centroide ( ), x y ,

interpretare geometricamente l’integrale di linea

dC

⋅∫ F r dove: a) 2 x=F j ; b) xy=F j ; c) 2 3 y xy= +F i j .

Svolgimento

Per il teorema di Stokes (essendo R una regione piana) ho

2 1dC R

F F dA

x y

∂ ∂⋅ = −

∂ ∂ ∫ ∫∫F r

Allora

a) d 2 2

C R

x dA Ax⋅ = =∫ ∫∫F r

b) dC R

x dA Ax⋅ = − = −∫ ∫∫F r

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

c) ( )d 3 2C R

y y dA Ay⋅ = − =∫ ∫∫F r

ESEMPIO N° 5

Calcolare

( )C

xy dx yz dy zx dz+ +∫

lungo il contorno del triangolo con vertici (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), orientato in senso orario guardan-

dolo dal punto(1,1,1).

Svolgimento

C giace sul piano 1 z x y= − − ed è il contorno di quella parte S del piano la cui proiezione sul piano

xy è il dominio limitato T che ha come frontiera il triangolo con vertici (1,0), (0,1) e (0,0). Ovvia-

mente

dC C

xy dx yz dy zx dz+ + = ⋅∫ ∫ F r

dove xy yz zx= + +F i j k .

Per il teorema di Stokes è

$d

C S

dS⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫∫F r F n

Essendo

y z x∇ × = − −F i j k , $ ( )1

3= − + +n i j k e 3dS dx dy= e tenuto presente che su S è

1 x y z+ + = , si ha

$ ( )1 1

23S S T

dS x y z dS dx dy∇ × ⋅ = + + = =∫∫ ∫∫ ∫∫F n

Quindi1

2C

xy dx yz dy zx dz+ + =∫

ESEMPIO N° 6

Calcolare

2

( )C y dx x dy z dz− +

∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

Lungo la curva C d’intersezione delle superfici cilindriche 2 z y= e 2 2 4 x y+ = ; la curva è orientata

in senso antiorario vista dall’alto lungo l’asse z.

Svolgimento

La curva C è il contorno di quella parte S della superficie cilindrica 2 z y= la cui proiezione T sul

piano xy è il disco 2 2 4 x y+ ≤ . Ovviamente

2d

C C

y dx x dy z dz− + = ⋅∫ ∫ F r

dove 2 y x z= − +F i j k

Per il teorema di Stokes è

$dC S

dS⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫∫F r F n

essendo

2∇ × = −F k , $ ( )1

25

y= − +n j k e 5dS dx dy=

risulta

$ ( )2

d 2 2 45C S S T

dS dS dx dy π −

⋅ = ∇ × ⋅ = = − = −∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫F r F n :

quindi

2

8C

y dx x dy z dz π − + = −∫ .

ESEMPIO N° 7

Calcolare

$

S

dS∇ × ⋅∫∫ F n

Dove S è la semisfera 2 2 2 2 x y z a+ + = con normale esterna crescente e

( )2 23 2 y xz x y= − + −F i j k

Svolgimento

Il contorno C di S ovvero la circonferenza 2 2 2 x y a+ = e anche il contorno del disco

2 2 2

:T x y a+ ≤ e 0 z = . Allora

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

$ dT C T

dS dA∇ × ⋅ = ⋅ = ∇ × ⋅∫∫ ∫ ∫∫F n F r F k

essendo ( ) 3 3 z∇ × ⋅ = − −F k e 0 z = su T segue che

23

T T

dA dx dy aπ ∇ × ⋅ = = −∫∫ ∫∫F k .

ESEMPIO 8

Calcolare

$

S

dS∇ × ⋅∫∫ F n

Dove S è la superficie ( )22 2 2 1 6, x y z+ + − = 0 z ≥ , $n è la normale esterna (rispetto all’origine) su

S, e

( )2 2 23 3

cosz x y z

xz y z x e xyz e+ +

= − + +F i j k

Svolgimento

Il contorno C di S ovvero 2 2 4 x y+ = è anche il contorno del disco 2 2: 4T x y+ ≤ e 0 z = .

Allora

$ dS C S

dS F dA∇ × ⋅ = ⋅ = ∇× ⋅∫∫ ∫ ∫∫F n r F k

Essendo

2 23 3 cos z x e y z∇ × ⋅ = +F k e 0 z = su T segue che

( )2 23

S T

dA x y dx dy∇ × ⋅ = +∫∫ ∫∫F k

Da cui, usando le coordinate polari, si ha

$2 2 3

0 0

3 24S

dS d d π

σ ρ ρ π ∇ × ⋅ = =∫∫ ∫ ∫F n

ESEMPIO N° 9

Sia C la curva

( )2 2

1 4 16

2 3

x y

x y z

− + =

+ + =

orientata in senso antiorario quando guardata dall’alto dall’asse z. Sia

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


16

( ) ( ) ( )2 2 2sin 2 2 z y x xy z xz yz= + + + + + +F i j k .

calcolare

dC

⋅∫ F r

Svolgimento

C è la frontiera, orientata nel verso antiorario, del disco ellittico S che sta sul piano 2 3 x y z+ + = ,

ovvero sul piano 2 3 z x y= − − + . S ha normale unitaria

$ ( )1

26

= + +n i j k

Essendo

( )2 1 z z∇ × = − +F i j

Si ha

$( )5 2

d6C S S

zdS dS

−⋅ = ∇ × ⋅ =∫ ∫∫ ∫∫F r F n F

Osservato che S ha una proiezione biunivoca su T :( )

2 21

116 4

x y−

+ ≤ la cui area è 4 2 8π π ⋅ ⋅ =

segue che

( ) ( )1

d 5 3 2 2 6 13 10 56C T T

x y dx dy x y dx dy⋅ = − − − = − − ∫ ∫∫ ∫∫F r

Osservato che le coordinate del centroide di T sono 1 x = e 0 y = , si evince che

0T

y dx dy =∫∫ 1T

x dx dy =∫∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

quindi

( ) ( ) ( )d 13 10 13 area di T 10 area di TC T

x dx dy x⋅ = − = −∫ ∫∫F r

ESEMPIO N° 10

Mediante il teorema di Stokes dimostrare che

23C

y dx z dy x dz aπ + + =∫

Dove C è l’ intersezione, orientata convenientemente, delle superfici:

2 2 2 2 x y z a+ + = e 0. x y z+ + =

Svolgimento

Il cerchio C, intersezione della sfera 2 2 2 2 x y z a+ + = con il piano 0 x y z+ + = , è la frontiera del

disco D che sta sul piano 0 x y z+ + = .

Osservando che

( ) d dC C C

y dx z dy x dz y z x+ + = + + ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫i j k r F r

(ovviamente è y z x= + +F i j k ) per il teorema di Stokes risulta:

$ ( ) $dC D D

dS dS⋅ = ∇ × ⋅ = − + + ⋅

∫ ∫∫ ∫∫F r F n i j k n

Essendo su D (che sta sul piano di equazione z x y= − − )

$ ( )1

3= ± + +n i j k

segue che

2d 3 3

C D

dS aπ ⋅ = =∫ ∫∫F r

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

Si è tenuto conto del fatto che l’integrale al secondo membro è l’area del disco D. Ignorando ciò si

può procedere come segue. Poiché

( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

0

x y z a x y z a

z x y x y z

+ + = + + = ⇒

= − ++ + =

Segue che il disco D si proietta sul piano xy nel dominio T la cui frontiera è la conica di equazione

2 2 22 2 2 x y xy a+ + = (3)

Ricordando (vedi rotazione di assi coordinati) che un’ equazione del tipo

2 2 0 0 Ax Bxy Cy Dx Ey F B+ + + + + = ≠ (4)

in un sistema di coordinate u,v ottenuto rotando (intorno all’origine) gli assi x,y di un angolo θ tale

che

A - Bcotg 2 =

Bθ

assume la forma

2 2 0au cv du ev f + + + + =

ottenuta sostituendo le equazioni della rotazione degli assi:

cos sin

sin cos

x u v

y u v

θ θ

θ θ

= −

= +

nell’equazione (2) ne consegue che le equazioni (vedi Osservazione*)

1( )

2

1( )

2

x u v

y u v

= −

= +

trasformano l’ equazione (1) nell’equazione

( )

2 2

2 21

3

u vaa

+ =

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

ovvero in una ellisse di area .3

aaπ

Quindi

∫∫ ∫∫ ===

T T

aa

dxdydS2

2

3

3

33 π π

(*) Osservazione. Nel caso dell’ equazione

2 2 22 2 2 x xy y a+ + =

è cotg 2 =2

π θ quindi =

4

π θ .

y

y

x x

u

u

v

v

P

θ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


1

TRASFORMATA DI LAPLACE

1. Introduzione.

In questo capitolo studieremo un operatore integrale noto come la trasformata di Laplace.

Prima di descrivere tale operatore integrale premettiamo alcune definizioni.

Una funzione F si dice continua a tratti in [a,b] se è definita e continua in [a,b], ad

eccezione, al più, di un numero finito di punti

x x . . . x0 1 n= < < < =a b

in cui esistono finiti i limiti

elim ( ) ( )

x x

i

i

F x F x

→

++

= lim ( ) ( )

x x

i

i

F x F x

→

−−

=

Ovviamente in x = a ed in x = b hanno senso soltanto F(a+) e F(b-) rispettivamente.

In questo senso una funzione continua a tratti in [a,b] è continua in ciascuno degli intervalli

. Per di più, indipendentemente dal fatto che F sia definita o meno nei punti

ed la si può ivi ridefinire in modo da renderla continua in

(x xi i, +1) xi

xi +1 [ ]x xi i, +1 .

Una funzione F si dice regolare a tratti se è continua a tratti ed ha derivata F’ continua a

tratti, in [ ; in altre parole se esiste una suddivisione finita di [a , b] :]a b,

a x . . . x1 n= < < < =x b0

in corrispondenza della quale F risulti di classe C in1 ( )x xi i, +1 , inoltre esistono finiti i

limiti , , ,( )F xi+ ( )F xi +

−1 ( )F xi' + ( )F xi' +

−1 .

Se F è continua in [ ed ha derivata F’ continua a tratti in]a b, [ ]a b, , diremo che F è

continua e regolare a tratti.

Premesso ciò, ricordiamo che se F è una funzione continua a tratti in [a,b] con

discontinuità in

x x . . . x0 1 n= < < < =a b

allora F è integrabile su [a , b] e

∫ b

a=dt(t)F' lim

h 0→ + ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++ ∫ ∫ ∫

−

+

−

+

−

+

h b

hx

hx

hx

hx

ha n

1

0

0

dtF(t) ...dtF(t) dtF(t)

inoltre valgono i seguenti teoremi:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

TEOREMA 1.1.

Sia F una funzione continua su [a , b] e derivabile in (a , b). Se è continua in (a, b) e

integrabile su [a , b] allora:

F'

.∫ b

aF(a)-F(b)=(t)dtF'

Dimostrazione. Sia

∫ =x

a(t)dtF'(x) f [ ]∀ ∈x a,b .

Essendo continua su [a , b], derivabile in (a , b) con f f ' = F' , segue che la funzione

continua su [a , b] è costante su (a , b) e quindi, per continuità, su [a, b]. f − F

In particolare è

F (b) - f (b) = F (a) - (a) f

da cui, essendo (a) = 0, si evince l’asserto: f

.∫ b

a(t)dtF'=(a)=F(a)-F(b) f

TEOREMA 1.2.

Sia F una funzione continua e regolare a tratti su [a , b], allora

∫ b

a F(a)-F(b)=(t)dtF'

Dimostrazione. Supponiamo che F non sia derivabile nei punti

a = x o < x 1 < ... < x n = b

allora per definizione è

∫ ∑ ∫ b

a

1-n

1=i

x

x

i

1-i

(t)dtF' =(t)dtF'

da cui, tenuto presente che per il teorema precedente è

∫ −

i

1i

x

x1-ii )xF(-)xF(=dt(t)F'

si evince che

[ ] F(a).-F(b))xF()xF(=dt(t)F' b

a

1-n

1=i

1-ii =−∫ ∑

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

TEOREMA 1.3.

Se F e G sono due funzioni continue e regolari a tratti in [a , b] allora vale la formula di

integrazione per parti

dtG(t)(t)F' -(t)G'F(t)=dt(t)G'F(t)

b

a

b

a

b

a∫ ∫

Dimostrazione.

Ovviamente la funzione FG è continua e regolare a tratti in [a , b], pertanto ad eccezione di

un numero finito di punti è

( )F(t) G(t) F(t) G'(t) + F'(t) G(t)'=

da cui, tenuto presente, il teorema precedente e che la funzione e sono

integrabili, si evince l’asserto.

FG' F'G

In questo contesto saremo interessati a funzioni continue a tratti su ogni intervallo finito[0 , b] per ogni b > 0, per brevità diremo che tali funzioni sono continue a tratti su [0 , +∞).

Saremo interessati anche a funzioni continue e regolari a tratti cioè con derivata continua a

tratti su [0 , +∞).

TEOREMA 1.4.

Sia F(t) una funzione continua a tratti su [0,+∞]. Se l’integrale improprio

∫ ∞+ −

0)(0 dt t F e

t s

converge, allora la funzione

v(t) = duuF et

t s )(0

0∫ −

è limitata su [0,+ ).∞

Dimostrazione.

Per ipotesi esiste finito il limite di v(t) per t +→ ∞ . Sia

.limt →+∞

∫ ∞+ − ==

0

0 )()()( 0 s f duuF et vus

L’asserto segue osservando che:

i) esiste t0 >0 tale che

v(t) 1 f(s )0≤ + >0;∀ ≥t t 0

ii) essendo v(t) continua su [0, t0 ] esiste k > 0 tale che

v(t) k ≤ ∀ ∈t t [ , ]0 0 .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


4

2. Funzioni di ordine esponenziale

DEFINIZIONE 2.1.

Una funzione F è di ordine esponenziale su [0 , +∞) se esistono due costanti C > 0 ed

α > 0 tali che

F(t) C tt≤ ∀eα 0≥

In particolare le funzioni limitate sono di ordine esponenziale in quanto

F(t) C t≤ ∀ ≥ 0 implica F(t) C t .t≤ ∀ ≥e 0

Sono di ordine esponenziale anche le funzioni per le quali risulta

F(t) C t≤ eα per qualche α e C > 0< 0

Infatti tali funzioni sono limitate su [0 , ∞):

.0t CCF(t) t ≥∀≤≤ α e

Osservazioni.

Sia F una funzione continua a tratti su [0 , +∞) :

1. Se per qualche C > 0 e α > 0 risulta:

t CF(t) α e≤ 0tt 0 >>∀

allora F è di ordine esponenziale su [0 , ∞). Infatti dalla relazione precedente e da

[ ] F(t) sup F(t) , t 0 , t M M e0t≤ ∈ = ≤

segue che

F(t) k t 0a t≤ ∀e ≥

dove k = max (C , M) ed a = max ( , 1)α .

2. Se per qualche α > 0 è

limF(t)

t +t→ ∞

=eα

0

allora F è di ordine esponenziale.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

Segue dalla 1 ; infatti esiste tale che:t0

F(t) t > t > 0t0≤ ∀eα .

Pertanto le funzioni , sono funzioni continue di ordine esponenziale su

[0,+∞).

t t cos,sin,t1, n

3. Se

limF(t)

t +

t→ ∞= ∞ ∀ ∈ℜ

eα α

allora F non è di ordine esponenziale.

Da cui le funzioni e non sono di ordine esponenziale.et t t lnt2

e t =

4. Se F è di ordine esponenziale su [0 , +∞), allora

∫ t

0duF(u) =G(t)

è di ordine esponenziale su [0 , +∞). Infatti per qualche C > 0 e α > 0 è

( ) . C

1C

=duCduF(u) G(t) ttt

0

ut

0

α α α

α α eee <−≤≤ ∫ ∫

5. Sia F una funzione continua e regolare a tratti in [0 , +∞) la cui derivata è di ordineF'esponenziale:

t C(t)F' α e≤

per qualche C > 0 e α > 0. Allora F è di ordine esponenziale.

Infatti da

-C F'(t) Ct te e

α α ≤ ≤segue che

- C du F(t) - F(0) C du

u

0

tu

0

t

e e

α α

∫ ∫ ≤ ≤da cui

t C

F(0)-F(t) α

α e≤

e, quindi,

F(t) k t > 0t≤ ∀eα

dove k = F(0)C

+α

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


6

6. Se F è di ordine esponenziale su [0 , +∞) allora:

limt

-s t F(t) = 0→+∞

e

definitivamente rispetto ad s.

3. Definizione di trasformata di Laplace.

Definizione 3.1.

Sia f una funzione definita su [0,+∞) e consideriamo l’ integrale improprio dipendente dal

parametro s ∈ ℜ

( ) ( )dttf lim =dttf b

0

ts

bdef

+

0

ts ∫ ∫ −

∞→

∞ −ee

quando f è sufficientemente regolare, l’ integrale precedente converge per determinati

valori di s, in tal caso definisce una funzione detta Trasformata di Laplace di f ,

che si indica anche con L .

)s(F

f(t)

Non è difficile verificare che:

L 1 0>s s

1 dt

+

0

ts- == ∫ ∞

e

L t 0>s s

1 dtt 2

+

0

ts-

== ∫ ∞

e

L tn 0>s 1,2,...=n s

n! dtt

1+n

+

0

nts- == ∫ ∞

e

L sen ωt s

dttsin22

+

0

ts-

ω ω

+== ∫

∞e

L cos ωt s

sdttcos

22

+

0

ts-

ω ω

+== ∫

∞e

L eat a>s a-s

1dt

+

0

tats- == ∫ ∞

ee

Teorema 3.1

Sia f(t) una funzione continua a tratti. Se l’integrale improprio

∫ ∞+ −

0)( dt t f e st

converge per s = s0 , allora converge anche per s > s0.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


7

Dimostrazione.

Da

∫ ∫

−−−− =b b

t st ssst dt t f eedt t f e0 0

)()()( 00

integrando per parti si ottiene

∫ ∫ −−−−− −+=

b bt ssbssst

dt t vessebvdt t f e0 0

)(

0

)()()()()( 00

dove v(t) è la funzione definita nel teorema 1.4. Essendo

e v t Mes s t s s t− − − −≤( ) ( )( )0 0 0t,v(t)supM >=

si evince che l’integrale improprio

∫ ∞+ −−

0

)()(0 dt t ve

t ss

converge per ogni s > s0. Infine osservato che

0)(lim)( 0 =−−

+∞→

bss

bebv ∀ >s s0

segue che

∫ ∫ ∞+ −−−

+∞→−=

bt ssst

bdt t vessdt t f e

0 0

)(

0 )()()(lim 0

0ss >∀

cioè l’asserto.

Possiamo dire che se una funzione f(t) continua a tratti è L-trasformabile (cioè esiste

L f(t) ) la corrispondente trasformata di Laplace risulta definita in un intervallo del tipo

dove h, eventualmente uguale a(h,+∞) − ∞ , è completamente determinato dalla funzione

f(t).

Tale numero h è detto ascissa di convergenza se:

( )dt t f e st ∫ +∞ −

0

⎩⎨⎧

>∀

<∀

hsconverge

hsdiverge

Il seguente teorema fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata di

Laplace.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

TEOREMA 3.2.

Se F è una funzione continua a tratti di ordine esponenziale, esiste un a ∈ ℜ tale che:

∫ ∞+

0

ts- dtf(t)e

converge per ogni s > a in altre parole esiste L [ f(t)]=F(s); inoltre risulta

F(s) = 0 .lims +→ ∞

Dimostrazione.

Per ipotesi esistono due costanti C > 0 e α > 0 , tali che

t Cf(t) α e≤

pertanto è

( )t-s-t-s Cf(t)

α ee ≤ .

Da cui, tenuto presente che

( ) α α

α >s

s

1dt

0

t-s- ∀−

=∫ ∞+

e

si evince l’asserto.

Si osservi che l’insieme delle funzioni che ammettono la trasformata di Laplace è più

grande dell’insieme delle funzioni continue a tratti di ordine esponenziale su [0 , +∞).

Infatti la funzionet

1 ammette trasformata di Laplace anche se non è di ordine

esponenziale:

L ( ) . 0>s

s=xsd

s

2dt

t

1 +

0

xs-+

0

ts-2 π

∫ ∫ ∞∞

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ee

t

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

4. Proprietà della trasformata di Laplace.

I seguenti teoremi mostrano che per il calcolo della trasformata di Laplace di una datafunzione esistono metodi più facili di quello suggerito dalla definizione.

Teorema 4.1.

Se esiste la trasformata di Laplace delle funzioni f e g allora per ogni a e b ∈ ℜ esiste latrasformata di Laplace della funzione a f +b g e risulta:

L = aL [ + bL [ ] bg+af ]f [ ]g .

In altre parole, l’operatore L è lineare.

Esempi.

1. L [ ] = L [ ] =cos (t + a) cos(t) cos(a) - sin(t) sin(a) ( )1

1 + ss cos(a) - sin(a)2

2. L [ = L ]sin t3 3

4sin(t) -

1

4sin(3t)

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=3

4 1 9

1

s-

1

4

9

s2 2+ +

3. L [ = L ]cos3

t3

4t) +

1

43t)cos( cos(

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=3

4 1 9

1

s+

1

4

s

s2 2+ +.

4. L [sinh at]= L 22

11

2

1

2 as

a

asas

ee at at

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − −

5. . L [cosh at]= L 22

11

2

1

2 as

a

asas

eeat at

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + −

Si osservi che è

sin (3t) = 3sin t - 4sin3 t . cos (3t) = -3cos t + 4cos3 t .

Teorema 4.2.

Se esiste la trasformata di Laplace di f: L [ ] )s(f F = allora, per ogni a∈ℜ, risulta

L [ ] ( )a-sF(t)ta f e = .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

Dimostrazione.

L )t(f eat = .)()()(0

)(

0asF dt t f edt t f ee

t asat st −== ∫ ∫ +∞ −−+∞ −

Il risultato espresso dalla (3-1) è noto come “il primo teorema del ritardo”, e può esserescritto in termini di trasformata inversa come

L -1

[ ] )t(f e)as(F as=−

Dove ovviamente è f(t)= L -1

[ ].)s(F

Esempi :

1. Dato che L

[1] =s

1, si ha

L

[ eat ] =as −

1; L [ e

-at ] =as +

1

2. Dato che L

[ tn ] =1

!+n

s

n, si ha

L

[ eat tn] =1)(

!+− nas

n; L

[e-at tn] =1)(

!++ nas

n

3. Dato che L [ sin ωt] =22 ω +s

e L [ cos ωt ] =22 ω +s

s, si ha

L [ eat sin ωt] =

22)( ω +− as; L [ e

-at sin ωt] =22)( ω

ω

++ as

L [ eat cos ωt] =22)( ω +−

−as

as; L [ e-at cos ωt] =

22)( ω +++

as

as

Prima di formulare il prossimo teorema premettiamo la definizione di funzione gradino

unitario u(t-a) definita dalla seguente relazione :

⎩⎨⎧

=a)-u(t

0 t ≤ a

1 t > a

dove, per il nostro scopo, supporremo a > 0. Questa funzione ci permette di scrivere la

funzione

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

⎩⎨⎧

=g(t)0 t ≤ a

f(t-a) t >a

nel modo seguente:

g(t) = u(t-a) f(t-a).

In altre parole la funzione g(t) definita precedentemente descrive la funzione ottenuta

traslando f(t) di a unità sulla destra e che vale zero in [0 , a].

Il prossimo teorema noto come “secondo teorema del ritardo” fornisce una formula per

la trasformata di Laplace di tali funzioni.

Teorema 4.3.

Sia f(t) una funzione continua a tratti di ordine esponenziale su [0 , +∞). Allora:

L L [ ] sa-a)-f(ta)-u(t e= [ ]f(t)

Dimostrazione.

L

( ) ( )[ ]at f at u −− ∫ +∞ − −−=

0)()( dt at f at ue st ∫

+∞ − −=a

st dt at f e )(

L asst asat s

edt t f eedt t f e−+∞ −−+∞ +− === ∫ ∫ 00

)( )()( [ ] )(sF e f as−=

In particolare è

L [ ] s1a)-u(t sa-e= .

Il fattore nelle precedenti formule, per ragioni fisiche, è detto fattore di ritardo.e- a s

Esempi :

Determinare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni.

1. Funzione di Heaviside traslata di a:

L [ ] sa-

s

1a)-u(t e=

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


12

2. Impulso rettangolare g(t) in figura:

Essendo g(t) = k [ ] segue che b)-u(t-a)-u(t

L [ ] ( )bsasee

s

k t g

−− −=)(

3. Funzione f(t) in figura:

Essendo

[ ] [ ] [ ] [ ]

∑∞

=

−+−=

=+−−−+−−=

=+−−−−−−−+−−−−−−=

0

)()12()1(

...)3(7)2(5)1(3)(

...)4()3(4)3()2(3)2()1(2)1()()(

n

nnt un

t ut ut ut u

t ut ut ut ut ut ut ut ut f

risulta

L [ ]ns

n

n

s

ent f

−∞

=

+−= ∑ )12()1()(0

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

4. )()( at uet f t −=

Da )()( at ueet f at a −= − segue che

L [ ]11

)()1(

−=

−=−

−−−

s

e

s

eeat ue

saasat

5. )()( at ut t f −=

Da segue che)()()()( at uaat uat t f −+−−=

L [ ] saase

s

ae

sat ut

−− +=−2

1)(

Esempi :

Nota L [ determinare=)(sF ])(t f =)(t f L -1 [ ])(sF

1. ;)(2

3

s

esF

s−

= )3()3()( −−= t t ut f

2. ;)(22

ws

esF

ds

+=

−

)(sin1

)()( d t ww

d t ut f −−=

3. ;2

2

3

3

)2()3(65)(

2 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−+

=++

=++

= −−−

sse

ss

se

ss

essF dsds

ds

)(2)(3 23()()( d t d t eed t ut f

−−−− −−=

4. ;4)2(84

)(22 +−

=+−

=−−

s

e

ss

esF

dsds

)()( d t ut f −=

)(2sin2

1)()( )(2

d t ed t ut f d t −−= −

Teorema 4.4

Sia f continua su e supponiamo che f ’ sia una funzione continua a tratti e di ordine

esponenziale su [ . Allora

( ∞,0 ))∞,0

L

[f ‘] = s

L [f] - f(0

+) (3-7)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

Dove f(0+) = lim per t che tende a 0+ di f(t).

Più generalmente, se , ,…… sono continue per t>0, e se f f ′ ( )1−n f

( )n f è continua a tratti

di ordine esponenziale su [ , allora)∞,0

L [ ]=s f ′′ 2 L

[ ] - (0+) - f sf f ′ (0+) (3-8)

…………………………….

L

[ ]= L ( )n

f n

s

[ ] - (0+) - ………- f 1−n

s f ( )1−n

f ( 0+) (3-9)

Dimostrazione.

Per stabilire la (3-7) integriamo per parti

L

[ ] ( ) .)()(')('000 ∫ ∫ +∞ −+∞−+∞ − +== dt t f est f edt t f et f st st st

Per completare la dimostrazione dobbiamo dimostrare che

( ) )0(0

++∞− −= f t f est .

A tale scopo osserviamo che essendo f di ordine esponenziale

0)( →−t f e st quando +∞→t

ogni volta che s è sufficientemente grande. Pertanto

( ) )0()]([lim00

+−

→

+∞− −=−= f t f et f e st

t

st

dove si è tenuto conto del fatto che f in t=0 deve avere un salto qualora non fosse ivi

continua.

Teorema 4.5.

Sia f una funzione continua a tratti, di ordine esponenziale su [0 , +∞). Allora

i) L s

1du(u)

t

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∫ f L [ ] )s(

s

1F f = .

ii) L 2

t

0

u

0 s

1dudv(v) =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∫ ∫ f L [ ] )s(

s

12

F f = .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

Esempio :

Essendo

L [ ]( )

e

s

2 t sin (3t) =

− +

3

2 92

segue che

L e2 ut

2sin (3u) dus

3

(s - 2)

0

1

9∫ ⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=+

L e2 vut

2 2sin (3v) dvs

3

(s - 2).

00

1

9∫ ∫ ⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=+

Dimostrazione.

Poniamo

∫ =t

0(u)du(t) f h

ovviamente è h(0)=0. Integrando per parti otteniamo

L ( ) ∫ ∫ ∫ ∞+ −∞+−∞+ − +−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0000)(11)()( dt t f e

st he

sdt t heduu f st st st t

st he

s

st

t

1)(

1lim +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −

+∞→ L [ ] (t) f

Poiché h(t) è di ordine esponenziale, il limite precedente tende a zero ammesso che s sia

sufficientemente grande, quindi la i).

Analogamente si dimostra che

L s

1(u)du

t

a=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∫ f L [ ] .(t)dt

s

1(t)

a

0∫ − f f

Per il calcolo delle trasformate inverse la i) ci fornisce

L -1

∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ t

duu f sF s 0

)()(1

dove f (u)= L -1

[ ])s(F

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


16

Per calcolare

L -1

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡)(

12

sF s

è opportuno procedere come segue:

Prima si calcola

L -1

[F(s)] = f (t) ;

Successivamente si calcola:

L -1

∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ t

duu f sF s 0

)()(1

= g(t) ;

infine si calcola

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)(

12

sF s

= L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ )(

11sF

ss= .∫

t

duug0

)(

Ovviamente, per calcolare

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)(

1sF

sn

basta iterare il procedimento precedente.

Esempio:

Calcolare

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2

112

ss

essendo

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2

1

s=

t e

2−

segue che

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2

11

ss= =due

t u∫ −

0

2 ( )t e

212

1 −−

quindi

L -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ 2

112

ss= L

-1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ + 2

111

sss= ( )u

t

e2

01

2

1 −−∫ du = ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ −+ − 12

1

2

1 2t et .

Teorema : 4.6

Sia f una funzione continua a tratti di ordine esponenziale su [0 ,+∞). Allora

i) L [ ] )s(s

f(t)t F d

d −= ; ii) L [ ] )s(

s)1(f(t)t

n

nnn

F d

d −= .

Dimostrazione.

Essendo f di ordine esponenziale su [0 ,+∞), per qualche C > 0 esiste

h = . 0t Cf(t):inf t ≥∀≤ℜ∈ β β e

Sia k ∈ (h , α), allora essendo α-k ≤ s-k per ogni s > k .

si evince che

e F(t) M M t 0s t (s k) t ( k) t− − − − −≤ ≤ ∀e e α ≥

da cui

∫ ∫ ∞+ −−∞+ − ≤

0

tk)(

b

ts dtetMdtf(t)et α .

Essendo

t e dt e1

( - k)

b

( - k)( k) t

b

-( -k) b2

− −+ ∞

∫ = +⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟α α

α α

segue che

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

[ ] =dtf(t)t=dtf(t)s u0

ts-

0

ts ∫ ∫ ∞+∞+ −− ee

∂

∂ L [ ]f(t)t

da cui, per il teorema di derivazione sotto il segno, si evince che

[ ]dtf(t)s

=dtf(t)ds

d

0

ts

0

ts- ∫ ∫ ∞+ −∞+

ee∂

∂

e, quindi, la i). Per induzione su n si evince la ii).

Per il calcolo delle trasformate inverse ci fornisce L -1 [ ] )()(' t f t sF =−

dove L =)(t f -1 [ ] )(sF

Esempi :

Calcoliamo la trasformata inversa di Laplace =)(t f L -1 [ ])(s f delle seguenti:

i)( )

;)(222

ws

ssF

+ii) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =2

2arctan)(

ssF

i) Osservato che

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−=22

1

2

1)(

wsds

d sF L [ ] )(t gt

dove

L =)(t g-1 wt

wwssin

2

11

2

122

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

si evince

L =)(t f -1 [ ] 0sin

2)( wt

w

t sF =

ii) Risulta

( ) ( )( )=

++−

+−=

++−+=

−+=

+=−

22

1

22

1

2222

4

42

4

4

4)('

22222224ssssssss

s

ss

s

s

ssF

( ) ( ) 11

1

11

12 ++

−+−

=ss

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

Da cui, tenuto presente che L =− )(' sF [ ])(t f t , si evince quanto segue

( ) t eet et et f t t t t t sinsinsin)( −− −=−=

quindi

L -1 [ ] t t t

t f sF sinhsin2

)()( ==

Teorema 4.7.

Sia f di ordine esponenziale e periodica con periodo T, allora

L [ ]sT sT

T st

ee

dt t f e f −−

−

−=

−= ∫

1

1

1

)(0

L ( )[ ])()()( T t ut ut f −−

in quanto

L [ ] ∫ −−−

=T

sT

sT dt t f e

et f

0

)(1

1)(

dove

[ ]∫ ∫ +∞

−− −−=00

)()()()( dt T t ut ut f edt t f esT

T

sT

ovvero

=∫ −T

sT dt t f e0

)( L [ ][ ])()()( T t ut ut f −−

RESTRIZIONE DI f(t) su [0,T] Dimostrazione.

L [ ] .......dt)t(f edt)t(f edt)t(f edt)t(f ef T3

T2

stT2

T

stT

0

st

0

st +++== ∫ ∫ ∫ ∫ −−−∞+ −

Tenuto presente che

∫ ∫ −

+=a b

0

b

adt)at(gdt)t(g

segue che

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

.....................................

dt)t(f eedt)T2t(f edt)t(f e

dt)t(f eedt)Tt(f edt)t(f e

T

0

stsT2T

0

)T2t(sT3

T2

st

T

0

stsTT

0

)Tt(sT2

T

st

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ −−+−−

−−+−−

=+=

=+=

quindi

L [ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫ +∞

−−

−−− −−−

=+++=0

0

2 )()()(1

1)(....1 dt T t ut ut f e

edt t f eee f sT

sT

T st sT sT

ovvero l’asserto.

Funzioni periodiche : 0)()( ≥=+ t t f T t f

Esempi :

1. Onda quadra

(T = 2)

Sia f(t) la funzione in figura, sia

[ ] )2()1()1()()()()()(0 −+−−−−=−−= t ut ut ut uT t ut ut f t f

allora

L [ ] ( )22

0 11

21

)( sss

ess

e

s

e

st f

−−−

−=+−=

quindi

L [ ] ( )2

1

1

111

1

1

1)(

2

2

sth

se

e

se

set f

s

ss

s=

+−

=−−

= −

−−

−

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

2. Onda a dente di sega

(T = 1)


[ ] )1()1()1()()1()()(0 −−−−−=−−= t ut ut t ut t ut ut t f

da cui

L [ ] ( )s

ee

se

se

sst f

ssss

−−−− −−=−−= 1

1111)(

2220

quindi

L [ ] ( ))1(

11

1

1

1)(

22 s

sss

s es

e

ss

ee

set f −

−−−

− −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

3. Onda triangolare

(T = 2)


[ ] [ ] =−−−−−−−= )2()1()2()1()()(0 t ut ut t ut ut t f

)2()2()1()1()1()1()1()1()( −−+−+−−−−−−−−= t ut t ut ut t ut ut t ut

allora

L [ ] ( )2

2

2

2

2

2

220

12121)(

s

e

s

ee

s

ee

sst f

sssss

−−−−− −

=+−

=+−=

quindi

L [ ] ( )2

11111

11)(

222

2

2sth

see

sse

et f

s

ss

s=

+−=−

−= −

−−−

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

5. Convoluzione.

Siano f e g due funzioni continue a tratti su [0 ,+∞) e nulle su (-∞, o).

La convoluzione di f e g si indica con f ∗g ed è definita dalla seguente relazione:

.∫ ∗t

0dug(u)u)-f(t=(t)g)(f

E’ facile verificare che la convoluzione è commutativa e distributiva:

i) ; ii) f g=gf ∗∗ Hf gf =H)+g(f ∗+∗∗

dove anche H è una funzione continua a tratti su [0 ,+∞).

Inoltre è associativa:

iii) .H)(gf =Hg)(f ∗∗∗∗

infatti è

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ =∗∗∗u-t

0

t

0

t

0dvduvgv-u-tf uH duuHu-tgf =H(t)g)(f

e

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

∫ =∗∗∗

v

0

t

0

t

0

dudvuHu-vg v-tf =

dvvHgv-tf =H)(t)g(f

da cui, scambiando l’ordine di integrazione si ottiene

( )

( ) .H(t)g)(f =dudvg(v)u)-v-f(t uH=

=dudvv)-f(tu-vgH(u)=H)(t)g(f

t

0

ut

0

t

u

t

0

∫ ∫

∫ ∫ −

∗∗

∗∗

Le proprietà i), ii) ed iii) giustificano la terminologia secondo la quale f ∗g è detto prodottodi convoluzione. Vale il seguente

Teorema di convoluzione :

Siano f e g due funzioni continue a tratti di ordine esponenziale su [0 ,+∞). Allora

L L [ ] L [ ]g∗f =f [ ]g

ovvero

L [ ] g(s).f(s)=dug(u)u)f(tt

0∫ −

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


23

Dimostrazione.

Per definizione è

L [ ]

∫ ∫ ∫∫

∞+=∗

0

t

0 A

ts-ts- dudtg(u)u)-f(t=dudtg(u)u)-f(tgf ee

dove A = (t , u): 0 t , 0 u t≤ < ∞ ≤ ≤ .

Poiché l’insieme precedente può essere descritto come segue

A = (t , u): u t , 0 u t≤ < ∞ ≤ < .

Scambiando l’ordine di integrazione si ottiene

L [ ] ==∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞ ∞ ∞

dtf(t)dug(u)=dtu)-f(tdug(u)gf 0 0

+

0

+

0

u)+(ts-ts-

ee

=f(s)g(s)=dtf(t)dug(u)0

+

0

ts-us-∫ ∫ ∞+ ∞

= ee

L [ ] ==∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞ ∞ ∞

0 0

+

0

+

0

u)+(ts-ts- dtf(t)dug(u)=dtu)-f(tdug(u)gf ee

=f(s)g(s)=dtf(t)dug(u) 0

+

0

ts-us-∫ ∫ ∞+ ∞

= ee L [f]L [g]

Da cui

L [ ] g(t)f(t)f(s)g(s)1 ∗=−

Si osservi che

1*1 = 1*1*1 = (1*1)*1 =;110

t du

t

=⋅∫ ∫ =t

t duu

0

2

;2

1*1*1*1 = (1*1*1)*1 = ;!32

3

0

2t

du

ut

=∫

Iterando il procedimento (per induzione)

1*1* … *1 =!n

t n

n+1 volte.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


24

Esempi

1. Calcolare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni

i) f ( ))

s = 1(s2 + 4 2 ii) f ( )

)s = s

(s2 +1 2 iii) f ( ))

s = s(s

2

2 +1 2

I) Essendo

L sin2t2

1

4s

12

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−

dal teorema di convoluzione si evince che

=F(t) L =⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

22

1

)4(s

1L =

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+⋅

+

−

)4(s

1

)4(s

1

22

1L ∗

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

)4(s

1

2

1L

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

)4(s

1

2

1

cioè

F(t) =1

4sin 2(t - u)sin 2u du

0

t

∫

da cui

F(t) =1

8[cos 2(t - 2u) - cos 2t]du =

sin 2t - 2tcos 2t

160

t

∫

ii) Essendo

L tcos1s

s2

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

− e L sint1s

12

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−

dal teorema della convoluzione si evince che

=F(t) L =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

22

1

)1(s

sL =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+⋅

+−

)1(s

1

)1(s

s22

1L ∗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

)1(s

s2

1L ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

)1(s

12

1

cioè

∫ t

0

duusinu)-cos(t=F(t)

da cui

t t

t

sin2

1=t)]du-sin(2u+sint[

2

1=F(t)

0

∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


25

iii) Da

s

(s s (s

2

2 2 2+=

+−

+1

1

1

1

12 2) )

e dalla linearità di L segue che1

=F(t) L =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

22

21

)1(s

sL −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−

1s

12

1L -sint

)1(s

122

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

L ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

22

1

)1(s

1

da cui, essendo per il teorema di convoluzione

∫ ∫ ∫ ∫ +∞+∞

=0000

bb

L =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

+−

22

1

)1(s1 L =⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

+⋅

+−

)1(s1

)1(s1

22

1L ∗⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

+−

)1(s1

2

1L ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

+−

)1(s1

2

1

si evince che

∫ t

02

tcost+tsin=duusinu)-sin(t-tsin=F(t)

Funzione delta di Dirac

Consideriamo la funzione (impulso unitario di durata h)

=)(t hδ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<<

><

ht h

t et

01

000

il cui grafico è

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


26

Essa rappresenta una quantità che agisce nell’intervallo (0,h) dove il suo valore è costante

1/h; il suo effetto totale è uguale a

11

)(0

==

∫ ∫

+∞

∞−

h

h dt

h

dt t δ

Ora supponiamo che ; è chiaro che la famiglia di funzioni0→h )(t h

δ diverge, ma noi

introduciamo una funzione convenzionale )(t δ come il limite di questa famiglia:

)(lim)(0

t t h

hδ δ

→=

La funzione )(t δ è detta funzione impulso di ordine zero o funzione impulsiva di Dirac

o più semplicemente delta di Dirac. Risulta

=)(t δ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∞+

≠

0

00

t

t

e malgrado tutto si suppone verificare che la relazione

1)(lim)(0

== ∫ ∫ +∞

∞−

+∞

∞−→

dt t dt t h

hδ δ

La funzione )(t δ rappresenta un processo limite ben definito che si incontra spesso in

fisica: una quantità infinitamente grande che agisce in un intervallo infinitamente piccolo,

il cui effetto totale è uguale all’unità. Conviene considerare la trasformata di Laplace della

funzione )(t δ come il limite per della trasformata della funzione0→h

[ ])()(1

)( ht ut uh

t h −−=δ

ovvero

L [ ]0

lim)(→

=h

t δ L [ ])(t hδ

segue che

L [ ] 1)( =t δ

La relazione precedente può essere dedotta anche nel modo seguente. Poniamo

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


27

== ∫ t

hhdt t t u

0

)()( δ

[ ]

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

∈

ht

ht t h

1

,01

)(t uh

Si vede che, quando , , pertanto0→h )()( t ut uh →

)()(0

t udt t

t

=∫ δ

Allora )(')( t ut =δ e

L [ ] =)(t δ L [ ] st u =)(' L [ ] 11

)0()( =⋅=−s

sut u

Qui è

0)0(lim)0(0

==→ h

huu

Sia una funzione continua su [)(t f )+∞,0 , allora per il teorema della media abbiamo

)0()()(0

f dt t t f =∫ +∞

δ

(se la funzione è discontinua per )(t f 0=t , allora )0()0( += f f ).

Da quanto precede si evince (ancora una volta) che

L [ ] 1)()(0

== ∫ +∞

− dt t et st δ δ

Per la proprietà del ritardo è

L [ ] aseat −=− )(δ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


28

Analogamente a quanto precede risulta

)()()(0

a f dt at t f =−

∫

+∞

δ

dove )( at −δ è la traslata di )(t δ , a > 0 e è continua su f [ )∞,0 . Ovviamente

=− )( at δ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∞+

≠

at

at 0

In modo analogo si definiscono le funzioni impulso di ordine superiore. Consideriamo la

funzione

[ ])2()(2)(1

)(2

)1(ht uht ut u

ht h −+−−=δ

il cui grafico è

=)()1(

t hδ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<−

<<

altrove

ht hh

ht h

0

21

0

1

2

2

allora il suo “limite” per è per definizione la funzione impulso di ordine uno:0→h

)()(lim 1)1(

0t t h

hδ δ =→

Così come la funzione )(t δ , la trasformata di Laplace della funzione )(1 t δ è, per

definizione, il limite per della trasformata di Laplace della funzione :0→h )()1(

t hδ

L [ ]0

1 lim)(→

=h

t δ L [ ] ( )220

)1(1

1lim)( hs

hh e

hst

−

→−=δ

da cui

L [ ] st =)(1δ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


29

Sia una funzione che abbia derivata di ordine n+1 generalmente continua e di ordine

esponenziale che soddisfa alle condizioni iniziali k = 0,1…n+1. Allora

f

)0()0()( =k f

L [ ] nn st f =)()(L [ ])(t f

Poiché la trasformata di Laplace della funzione )(t δ è 1 : L [ ] 1)( =t δ , per quanto

precede, “è lecito” supporre

nn ss = L [ ] =)(t δ L [ ] =)()(t nδ L [ ])(t

nδ

in altre parole è lecito definire sn come la trasformata di Laplace della funzione impulso di

ordine n, ovvero della derivata di ordine n+1 della funzione di Heaviside.)(t u

Applicazioni:

1. Dimostriamo che:

( 1 )t senduut J u J t

∫ =−0

00 )()(

A tale scopo, se poniamo:

t senduut J u J t ht

∫ =−=0

00 )()()(

dalla definizione di convoluzione si evince che

)()()( 00 t J t J t h ∗=

Allora per il teorema della convoluzione, è

L [h(t)] = L [Jo(t)] · L [Jo(t)]

Da cui essendo

L ( )[ ]1

1

20

+=

st J

Segue che

L ( )[ ]1

12 +

=s

t h

Antitrasformando l’equazione precedente si ottiene la (1).

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


30

2. Funzione Beta

La funzione beta è definita come segue:

m > 0, n > 0( ) ( ) duuunm

nm

11

0

1

1,

−−

∫ −= β

Se poniamo

( ) ( ) duut ut hn

m11

0

1−

−∫ −=

Dalla definizione di convoluzione si evince che

( ) 11 −− ∗= nmt t t h

Prendendo la trasformata di Laplace di entrambi i membri per il teorema di convoluzione si

ha:

L =L ( )[ t h ] 1−mt · L

1−nt

Ovvero

L =( )[ ]t h( ) ( )

nms

n

s

m Γ⋅

Γ

Da cui, antitrasformando, si ottiene:

=( )[ ]t h( ) ( )( )

1−+⋅+Γ

ΓΓ nmt

nm

nm

In particolare è:

=( )[ ]1h( ) ( )( )nm

nm

+ΓΓΓ

quindi

( ) ( )( ) ( )( )nm

nmnmduuu

mn

+Γ

ΓΓ==− −

−

∫ ,1 111

0 β

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


31

1. Equazioni integrali di Volterra

Si dice equazione integrale un’equazione che contiene la funzione incognita sotto il segno

di integrale. Se la funzione incognita y(t) entra nell’equazione in modo lineare, l’equazione

integrale è detta lineare.

Un equazione integrale del tipo

( ) ( ) ( ) ( )dx x y xt k t f t yt

a∫ += ,

è detta equazione integrale lineare di Volterra di seconda specie.

Se la funzione incognita y(t)figura solo sotto il segno di integrale, ovvero un’equazione del

tipo:

( ) ( ) (t f dx x y xt k t

a=∫ , )

]

è detta equazione integrale lineare di Volterra di prima specie .Nelle equazioni precedenti

le funzioni K(t,x) e f(t) sono assegnate; la funzione K(t,x) si chiama nucleo dell’equazione .

Le equazioni del tipo

( 1 )( ) ( ) ( ) ( )dx x y xt k t f t yt

a∫ −+=

dove il nucleo K(t-x) dipende dalla differenza degli argomenti, appartengono ad un

importante classe di equazioni di Volterra che vengono chiamate equazioni integrali di tipo

convoluzionale e possono essere scritte nella forma:

( ) ( ) ( ) ( )t yt k t f t y ∗+=

Prendendo le trasformate di Laplace di entrambi i membri, ammesso che f(t) e K(t)siano

trasformabili si ha:

L = L ( )[ t y ( )[ ]t f + L L ( )[ t k ] ( )[ ]t y

Ovvero

( ) ( ) ( ) ( )sY sK sF sY +=

da cui

( )( )

( )sK

sF sY

−=

1

Quindi antitrasformando l’equazione precedente si ottiene la soluzione dell’equazione

integrale ( 1 ).

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


32

Esempi:

Per risolvere l’equazione integrale

( ) ( ) ( )∫ −+=

t

duut J t yt t y 0 1

scriviamo l’equazione integrale nella forma

( ) ( ) ( )t J t yt t y 1∗+=

Allora prendendo la trasformata di Laplace e usando il teorema di Convoluzione, abbiamo

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+=

11

1

22s

ssY

ssY

dove si è tenuto conto che

L ( )[ ]1

11

1

22

2

1

+−=

+

−+=

s

s

s

sst J

Risolvendo l’equazione precedente otteniamo:

( )1

11

1

23

22

3+

+=+=

ss

ss

ssY

ovvero

( )1

11

1

11

232 ++

+=

sssssY

Antitrasformando l’equazione precedente risulta

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +⋅−+=−

+=t t t t t t

duu J u

duu J ut duu J t

duu J duu J ut

duu J t y0 0

0

2

000

2

000

0 0

2

022!2

da cui, essendo ( ) ( )[ u J udu

d u J u 10 ⋅=⋅ ], segue che

( ) ( )[ ] ( )t J t duu J udud duu J u

t t

10

10

0 ⋅=⋅=⋅ ∫ ∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


33

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⋅−⋅=⋅⋅=⋅t t t

duu J ut J t duu J udu

d uduu J u

011

2

01

00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −⋅+=′⋅+⋅=t t

duu J t J t t J t duu J ut J t 0

0012

0012

quindi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ +−+=t

t J t

t J t

duu J t t y0

01

2

0

2

221

2

1

Per risolvere l’equazione integrale

( ) ( ) sent et duut u yut t −⋅=−⋅∫

−

0cos

scriviamo l’equazione integrale nella forma:

( )( ) sent et t t yt t −⋅=∗⋅ −cos

Allora prendendo la trasformata di Laplace e usando il teorema di Convoluzione, abbiamo

( )

( ) ( ) 1

1

1

1

1

1

12222

+

−

+

=

+

=

+

′−ssss

ssY

da cui

( )( ) ( ) ( ) ssss

s

sss

ssY

1

1

11

1

1

1

1222

2

−+

++

=−+

+=′−

ovvero

( )( ) ( ) sssss

sY 11

111

11

122 −

++

+−

+=′−

antitrasformando l’equazione precedente abbiamo

( ) t t

ut t et dueuet et yt −−−− ⋅−=−⋅+⋅−=⋅ ∫ 21

0

da cui

( ) t et y

−−= 2

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


34

RISOLUZIONE DI E.D. TRAMITE LA TRASFORMATA DI LAPLACE

Vedremo ora come si determina la soluzione di un’equazione differenziale lineare a

coefficienti costanti con l’ausilio della trasformata di Laplace.

E’ naturale domandarsi: già si conoscono metodi per risolvere tali equazioni, perché allora

trovare un altro metodo?

La risposta è che quando si procede con i metodi standard si cerca prima la soluzione

generale, successivamente si devono fare ulteriori calcoli per determinare i valori che le

costanti arbitrarie devono assumere affinché la soluzione soddisfi le condizioni iniziali

assegnate.

Il metodo della trasformata di Laplace semplifica notevolmente tali difficoltà in quanto dà

direttamente la trasformata di Laplace della soluzione del problema di Cauchy. Utilizzando

poi una tavola di corrispondenza tra F(t) e L [F(t)] si ottiene la soluzione richiesta.

Esempi

1. Determinare la soluzione del problema di Cauchy

y' '-y'-6y = 3t t - 12 + y(0)=-1 y'(0) = 6

Applicando la trasformata di Laplace all’equazione precedente si ottiene un’equazione

algebrica la cui incognita è L [y]:

6)-s-(s2L [ ]

s

1

s

1

s

6+s-7y

23−+m

da cuiL ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++s

1

s

1

s

6

6-s-s

1

6-s-s

s-7=[y]

2322

dove il secondo membro è la trasformata di Laplace del problema di Cauchy assegnato.

Pertanto tale soluzione è:

=y L ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++−

s

1

s

1

s

6

6-s-s

1

6-s-s

s-72322

1

Infine dalla linearità di L e da1−

L =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

6-s-s

s-72

1L

t t ee

231

5

9

5

4

2+s

1

5

9

3-s

1

5

4 −− −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

L =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

6-s-s

12

1L ( )t t

ee231

5

1

2+s

1

3-s

1

5

1 −− −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

L ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −+=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⋅

−

−−

∫ 65

2351du

51

6-s-s1

s1

23

0

232

1

t t t

uu eeee

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


35

L ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−− ∫ 36

5+t

6

5

495

1

6

5

235

1

6-s-s

1

s

1 23

0

23

22

1t t

t uu ee

duee

L ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

− ∫ 216

35-t

36

5+t

12

5

8275

1

36

5+u

6

5

495

1

6-s-s

1

s

1 223

0

23

23

1t t t uu ee

duee

si evince che

( )y =1

5t24 9

1

23 2

e et t − −

2.

y''+4y'+4y = t2e

t 2 ,y(0) = 0 y'(0) = 0

L L s=(t)]F'[ F(0)-[F(t)]

s L L L 4s+(0)y'-(t)][y' 4+4y(0)-[y(t)]( )3

2+s

2=[y(t)]

2s L L L

4s+(0)y'-sy(0)-[y(t)]

00

4+4y(0)-[y(t)]

0321 ( )3

2+s

2=[y(t)]

4)+4s+(s2L

( )32+s

2=[y(t)]

L ( ) ( )55

2+s

!4

!4

2

2+s

2=[y(t)] =

y(t) =1

12

t4e

t 2

3.

y' '+4y = sin2t ,y(0) = 10 y'(0) = 0

s L L 4+(t)][y'4s

2=[y(t)]

2 +

2s L 4s

2=4[y(t)]+10s-[y(t)]

2 +

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


1

UNIVERSITA’ POLITECNICA DELLE MARCHE

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Serie di Fourier

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


2

Introduzione

Alcune notazioni e terminologie

Sia E un insieme lineare, se a ciascuno degli elementi E x ∈ si fa corrispondere il numero x

soddisfacente alle tre proprietà seguenti:

1. 0≥ x ; 0= x se e solo se θ = x dove θ è l’elemento nullo dell’insieme lineare E.

2. x xα α ⋅ = ⋅ per E x ∈ e per ogni numero α (reale o complesso a seconda che E sia

reale o complesso).

3. y x y x +≤+ qualunque siano , E x y ∈ ; si dice che E è uno spazio normato e il numero x si chiama norma dell’elemento x .

La (3) si chiama disuguaglianza triangolare ed implica la (4).

4. y x y x −≥− in particolare y x y x −≥− .

In uno spazio normato E si può definire la nozione di limite:

lim lim 0n nn n

x x se e solo se x x→∞ →∞

= − =

Dalla disuguaglianza (4): x x x xnn −≤− si evince che

lim 0 limn nn n

x x x x→∞ →∞

− = ⇒ =

Inoltre: se la successione di elementi E xn ∈ converge ad un elemento E x ∈ , essa soddisfa la

condizione di Cauchy secondo la quale

Nmn, se x chetale)N(N 0, n ><−=∃>∀ ε ε ε m x

L’inverso, in generale, non è vero; esistono spazi lineari normati in cui si possono trovaresuccessioni di elementi che soddisfano la condizione di Cauchy, ma non convergono a nessunelemento di E.Uno spazio lineare normato E, per definizione, si dice completo se ogni successione di elementi

E xn ∈ e soddisfacente la condizione di Cauchy converge ad un elemento E x ∈ .

Uno spazio lineare completo si dice anche spazio di Banach.L’insieme dei numeri reali è uno spazio di Banach con x x = .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


3

1. Indicheremo con C ( , )a b lo spazio lineare normato delle funzioni continue sull’intervallochiuso [ , ]a b con norma

)(max),(

x f f b xabaC ≤≤

= (1)

C* è lo spazio lineare normato delle funzioni continue sull’asse reale, periodiche di periodo π 2ed aventi norma

C* 0 2 2max ( ) max ( )

x a x a f f x f x

π π ≤ ≤ ≤ ≤ +

= = (2)

dove a è un numero reale qualsiasi.Ovviamente la restrizione di C* f ∈ sull’intervallo [0,2 ]π appartiene a C (0,2 )π ; il viceversanon vale in quanto C* f ∈ implica )2()0( π f f = .Una funzione C (0, 2 ) f π ∈ soddisfacente la condizione )2()0( π f f = , dopo un

prolungamento periodico di periodo π 2 , si trasforma in una funzione di C* .

2. Sia Ω un intervallo aperto, eventualmente non limitato.Indichiamo con L ' L '( )= Ω l’insieme delle funzioni reali o complesse assolutamente integrabili(in senso improprio) in Ω .Se si suppone che le funzioni siano integrabili nel senso di Lebesgue, tale insieme si indica conL( )Ω .Le proprietà che otterremo per le funzioni L ' f ∈ sono valide, con piccole modifiche, anche perle funzioni L f ∈ .

Il simbolo L '(L) f ∈ significa che L ' f ∈ o L f ∈ .La norma di L '(L) f ∈ è definita come segue

( ) L

f f x dxΩ

= ∫ (3)

Se f è una funzione complessa: )()()( x jv xu x f += , allora

2 2( ) ( ) ( ) L

f f x dx u x v x dxΩ Ω

= = +∫ ∫

L’elemento nullo è una qualsiasi funzione )( xθ θ = per la quale

( ) 0 x dxθ Ω

=∫

Pertanto in L '(L) due funzioni f e g che non sono identicamente uguali in Ω vengonoconsiderate equivalenti se differiscono di )( xθ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


5

La successione di funzione 2 2L ' (L )n

f ∈ converge a f , in Ω , nel senso della media quadraticase l’integrale a secondo membro tende a zero.

Osservazioni

1. Se 2 2L' (L ) f ∈ e Ω è limitato risulta 2L ' ( ) L '( )Ω ⊂ Ω .Infatti si dimostra che

12

1 22( ) ( ) f x dx f x dxΩ Ω

≤ Ω

∫ ∫

dove Ω denota la lunghezza dell’intervallo di integrazione.

Per esempio se ]1,0[=Ω allora

1L'( )

xα

∈ Ω se 1<α ; 2

1L ' ( )

xα

∈ Ω se 122

1<⇒< α α

Se 12

1<≤ α allora α 21 ≤ e quindi 2

1L ' ( )

xα

∉ Ω mentre1

L '( ) x

α ∈ Ω .

Se2

1>α allora 2

1L ' (1, )

xα

∈ +∞ mentre1

L '(1, ) x

α ∈ +∞ solo se 1>α :

23 4

1L ' (1, )

x∈ +∞ ; 3 4

1L '(1, )

x∉ +∞

2. Si dimostra che 2L ' ( )Ω non è completo ( 2L ( )Ω è completo).

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


6

Serie di Fourier

Questo capitolo è dedicato allo studio dello sviluppo in serie di Fourier, l'esposizione della teoriasarà concisa ma sufficiente per le applicazioni a molti problemi della fisica matematica.

La ragione per cui la teoria di Fourier relativa allo sviluppo in serie di funzioni trigonometriche èmolto importante nella pratica è che certi tipi di funzioni discontinue che non possono esseresviluppate in serie di potenze possono essere sviluppate in serie di Fourier.Inoltre tale serie è divenuta uno strumento indispensabile per l’analisi di una vasta classe diproblemi (fisici ed ingegneristici) relativi a fenomeni vibratori e periodici.

Serie di Fourier (L’ ESSENZIALE)

Assegnato un segnale x(t) di periodo T, il segnale definito nel seguente modo

)(t x 22

T t

T <<−

)(0 =t x

02

T )( ,

2>−< t x

T t

è detto “segnale base”. Si osservi che

( ) t22

)()( T/2)(-T/2,0 χ =

−−

+−=

T t u

T t ut xt x

Un segnale periodico x(t), di periodo T si può esprimere come somma di traslate del“segnale base” :

.)()( 0

∑

+∞

∞−

−=nT t xt x

Se T è il periodo di )(t x , sono periodici di )(t x anche i multipli interi di T : 2T, 3T, … , nT, … .Il più piccolo numero positivo T per cui )()( T t xt x −= è detto periodo fondamentale o lunghezzad’onda.

Se T indica il periodo fondamentale, f =T

1è detta frequenza fondamentale

( misurata in periodi ( cicli ) = Hz ) f T

22

π π

ω == è la frequenza angolare

( pulsazioni al sec.) secrad .

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7

La serie di FOURIER per )(t x E’ DEFINITA DALLA RELAZIONE

∑∞

=

++≈

1

0 sincos 2

)(k

k k l

t k b

l

t k a

at x

π π

dove

.sin)(1

;cos)(1

;)(1

0

dt

l

t k t x

l

b

dt l

t k t x

la

dt t xl

a

l

l

k

l

l

k

l

l

π

π

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

Se nelle espressioni precedenti si pone 2T l = , risulta

T

2

T

2

π ω ω

π π === t k t k

l

t k

Pertanto

( )

∑

∞

=

++≈1

0 sin cos 2

)(k

k k t k bt k aa

t x ω ω

tdt k t xT

btdt k t xT

a

T

T

k

T

T

k ω ω ∫∫−−

==

2

2

2

2

sin)(2

;cos)(2

oppure

tdt k t xT

btdt k t xT

a

T

k

T

k ω ω ∫∫ ==00

sin)(2

;cos)(2

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8

La forma complessa della serie di Fourier è data da

2T

2 ,

2c ,

2c ,)( k

00 f

jbaaect x k k t jk

k π π

ω ω ==

−==≈ ∑

+∞

∞−

ovviamente

( ) dt et xT

dt t k jt k t xT

T

t jk

T

T

∫∫−

−

−

=

−=

2T

2

2

2

k )(1

sincos)(2

2

1c ω ω ω

Se π 2=T è 1= , quindi

)(2

1

2c ,2c ,)( k

0

0 dt et x

jbaa

ect x

jkt k k jkt

k

−

+

−

+∞

∞− ∫∑=

−==≈

π

π π

RIASSUMENDOUn generico segnale periodico )(t x , reale e complesso, è uguale alla somma di infiniti segnali

esponenziali complessi )(t xk con

...,2,1,0 )( ±±== k ect x t jk

k k ω

Detti COMPONENTI ARMONICHE o ARMONICHE ELEMENTARI DEL SEGNALEPERIODICO )(t x le cui frequenze sono multipli interi della frequenza fondamentale :1 T

kf T

k f k ==1

Si osservi che le funzioni

sincos t k jt k e t jk ω ω ω +=

Sono periodiche di periodo f k

T k k k

11

1

21

2===

ω

π

ω

π

Se esprimiamo i coefficienti delle componenti armoniche (armoniche elementari) in coordinatepolari, si ottiene

π ϕ ϕ

ϕ

±=−=+=

=−

k

k k

k

k k k k k

j

k k

a

b

a

bbac

ecc k

arctan tan2

1

22

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


9

Se 0=k a si hak

k k

b

b−=ϕ sin da cui

0se 2

0se 2

>−=

<=

k k

k k

b

b

π ϕ

π ϕ

Quindi

)( )( k t k j

k ect xϕ ω −

+∞

∞−

∑≈

da cui

)(cos)cos(2)(Re2)()( 22k k k k k t k bat k ct xt xt x ϕ ω ϕ ω −+=−==+

Analoghe considerazioni sono valide per le armoniche elementari

t k bt k at x k k ω ω sincos)( +=

Infatti si ha

)cos(sincos)(2222

22k k

k k

k

k k

k k k k t k At k

ba

bt k

ba

abat x ϕ ω ω ω −=

++

++=

dove

22k22k22 sin ,cos ,

k k

k

k k

k k k k

bab

baaba A

+=

+=+= ϕ ϕ

da cui

π ϕ ϕ ±==

k

k k

k

k k

a

b

a

barctan quindie tan

Se si pone

22k22k cos ,sink k

k

k k

k

ba

b

ba

a

+=

+= ϕ ϕ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


10

si ottiene

).(sin)( k t k t x ϕ ω +=

Infine si osservi che la posizione precedente relativa a ksinϕ e kcosϕ sono suggerite dal fatto che

.1

2

22

2

22=

++

+ k k

k

k k

k

ba

b

ba

a

Le armoniche elementari con l’indicazione esplicita della frequenza si ottengonosostituendo con f π 2 .È utile rappresentare un segnale complesso

( )[ ]ϕ π += ft j At x 2exp)(

come un vettore che ruota intorno all’origine nel piano complesso, con velocità angolare costante:

sec

rad 2

.

ω π ϑ == f

ϕ è detta fase iniziale, rappresenta l’angolo che il vettore forma con l’asse reale al tempo t = 0.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


11

Le espressioni

dt)(T

1P edt)()(

T

0

2T

0

2

∫∫ == t xt xt x

Sono rispettivamente dette energia e potenza del segnale )(t x calcolate sul periodo T.Nel caso di un’armonica elementare espressa in forma complessa si ha

2

k

0

2

k

0

2

k

2

k

2cccc)( T dt dt eet x

T T

t jk t jk ==== ∫∫

ω ω

da cui2

kcP =

Nel casa di un’armonica elementare

t k bt k at x k k ω ω sincos)( +=

si ha

( )T badt t k bt k at x k k

T

k k

22

0

22

2

1sincos)( +=+= ∫ ω ω

e ( )22

2

1k k baP += .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


12

Cominceremo il nostro studio con i concetti di base relativi alle definizioni di alcune proprietà dellefunzioni a valori reali.

1. Funzioni continue a tratti

Definiamo il limite sinistro di una funzione ad una sola variabile ( ) f x in 0 x come il limite finito di

)( x f se esiste, per x che tende a 0 x da sinistra, ed è denotato da )( 0−

x f :

0 00( ) lim ( )

h f x f x h

−

→= − con 0>h (1.1)

Analogamente, il limite destro è definito come

0 00( ) lim ( )h f x f x h

+

→= + con 0>h (1.2)

(Questo è mostrato in Fig. 1).Notiamo che se ( ) f x è continua in 0 x , allora

0 0 0( ) ( ) ( ) f x f x f x− += =

Così, per esempio, la funzione (in Fig. 2)

2

0 1

( ) 11 2

2

x x

f x x x

≤ <

= − < ≤

ha il limite sinistro (1 ) 1 f −

= e ha il limite destro1

(1 )2

f +

= .

L’ampiezza del salto (discontinuità di prima specie) che accade in 1 x = è:

( ) ( )1

1 12

f f − +

− =

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


13

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Una funzione di una sola variabile ( ) f x è detta continua a tratti (piecewise continuous ) in unintervallo [ , ]a b se esiste un numero finito di punti 1 2 ...

na x x x b= < < < = tale che la ( ) f x sia

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


14

continua nel intervallo 1 j j x x x

+< < e i limiti unilaterali ( ) j f x

+ e 1( ) j f x−

+esistono per ogni

1, 2,3, , 1 j n= −K .Una funzione continua a tratti è mostrata nella Fig. 3.Le funzioni come 1 x e sin (1 ) x non sono continue a tratti nell'intervallo chiuso [0,1] perché il

limite unilaterale (0 ) f +

non esiste in ambo i casi.Se f è continua a tratti in un intervallo [ , ]a b , allora è necessariamente limitata ed integrabile su[ , ]a b .È facile verificare che il prodotto di due funzioni continue a tratti è una funzione continua a trattisull’intervallo comune.Definiamo la derivata sinistra della funzione ( ) f x in 0 x come:

0 00 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x f x h f x

h

−

−

→

− −= (1.3)

e la derivata destra della funzione ( ) f x in 0 x come

0 00

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f x f x

h

+

+

→

+ −= (1.4)

dove h è un incremento positivo .È chiaro che se f ha la derivata '( ) f x in 0 x , allora la derivata sinistra e destra esistono e hanno il

valore 0'( ) f x . L'opposto non è vero.

Per esempio, la funzione

0( )

cos 0

x x f x

x x

≤=

≥

possiede la derivata sinistra e destra in 0 x = , i cui valori sono rispettivamente 1 e 0, anche se '(0) f non esiste.Se f è continua a tratti in un intervallo [ , ]a b e se in più, la derivata prima ' f è continua in ognuno

degli intervalli 1 j j x x x+

< < , ed i limiti '( ) j f x+ e '( ) j f x

− esistono, allora f è detta liscia a tratti

(piecewise smooth); se, in più, la derivata seconda '' f è continua in ognuno degli intervalli

1 j j x x x

+< < , ed i limiti ''( ) j f x

+ e ''( ) j f x− esistono, allora f è detta molto liscia a tratti.

2. Funzioni pari e dispari

Una funzione ( ) f x è detta pari (even) se, per ogni x ,

( ) ( ) f x f x− = (2.1)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


15

È detta dispari (odd) se, per ogni x ,

( ) ( ) f x f x− = − (2.2)

In altre parole, una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all’asse y, una funzione dispari ha

il grafico simmetrico rispetto all'origine (Fig. 4).

Fig. 4

Funzione pari Funzione dispari

Per esempio, 2 x e cos x sono funzioni pari mentre x e sin x sono funzioni dispari.

Comunque, qualunque funzione può essere scritta come la somma di una funzione pari e dispari:

[ ] [ ] 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

e f x f x f x f x f x f x f x= + − + − − = +(2.3)

Dove e f e 0 f denotano rispettivamente funzioni pari e dispari.

Per esempio, la funzione xe non è ne pari e ne dispari dal momento che ( ) x f x e−

− = , ma può essere

scritta come

cosh sinh2 2

x x x x x e e e e

e x x− −

+ −= + = +

Un’applicazione dove la proprietà di simmetria delle funzioni pari e dispari è importante è quellarelativa al calcolo degli integrali.Se ( ) f x è una funzione integrabile su [ , ]a a− allora:

0

( ) 2 ( )a a

a

f x dx f x dx−

=∫ ∫ quando ( ) f x è pari (2.4)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


16

( ) 0a

a

f x dx−

=∫ quando ( ) f x è dispari (2.5)

Graficamente, come mostrato in fig. 5 l’integrale rappresenta l’area sotto la curva e così per lafunzione pari l’intera area è 2 volte l’area sotto la curva che va da 0 ad a , mentre nel caso difunzione dispari l’area negativa sotto la curva da a− a 0 si annulla con l’area sotto la curva da 0 ada cosicché l’intera area è 0.

Fig. 5

3. Funzioni periodiche

Una funzione continua a tratti ( ) f x in ogni intervallo [ , ]a b è detta periodica, se esiste un numeropositivo p tale che

( ) ( ) f x p f x+ = (3.1)

per ogni x . p è chiamato periodo di f , ed il più piccolo valore di p è chiamato periodo fondamentale.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


17

Fig. 6

Se f è periodica con periodo p , allora

( ) ( )

( 2 ) ( ) ( )

( 3 ) ( 2 ) ( 2 )

( ) ( ( 1) ) ( ( 1) ) ( )

f x p f x

f x p f x p p f x p

f x p f x p p f x p

f x np f x n p p f x n p f x

+ =

+ = + + = +

+ = + + = +

+ = + − + = + − =

M

per qualunque numero intero n .Quindi, per ogni intero n

( ) ( ) f x np f x+ = (3.2)

Si può facilmente dimostrare che se 1 2, , , k f f f K hanno il periodo p e k c sono delle costanti, allora

1 1 2 2 ... k k f c f c f c f = + + + (3.3)

ha periodo p .Noti esempi di funzioni periodiche sono le funzioni seno e coseno.Come caso particolare: una funzione costante è una funzione periodica con periodo arbitrario p .

Così, dalla relazione (3.3), la serie

0 1 2 1 2cos cos 2 ... sin sin 2 ...a a x a x b x b x+ + + + + +

se converge, evidentemente ha periodo 2π .Questa serie, che frequentemente si incontrano nei problemi di fisica matematica, saranno studiatesuccessivamente.

Quanto segue figurerà spesso senza ulteriori spiegazioni.

i) Sia ( ) f x una funzione periodica di periodo p .Se, per tale funzione, esiste l’integrale (proprio o improprio)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


18

0

( ) p

f x dx∫

allora per ogni numero reale a

0

( ) ( )a p p

a

f x dx f x dx

+

=∫ ∫

Ovviamente si ha

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a p p a p p a p

a a p a p

p pa

a

f x dx f x dx f x dx f x dx f x p dx

f x dx f x dx f x dx

+ + +

= + = + − =

= + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

ii) 0 0

( ) ( ) p p

f t x dt f t dt − =∫ ∫

dove x è un qualsiasi numero reale.Usando la i) abbiamo:

0 0

( ) ( ) ( ) p x p p

x

f t x dt f t dt f t dt

− +

−

− = =∫ ∫ ∫

4. Ortogonalità

Una successione di funzioni ( )n xφ è detta ortogonale rispetto alla funzione peso

( )q x sull'intervallo [ , ]a b se

( ) ( ) ( ) 0b

m n

a

x x q x dx m nφ φ = ≠∫ (4.1)

Se poi m n= , abbiamo

12

2|| ( ) ||b

n n

a

x q dxφ φ

= ∫ (4.2)

La quale è stata chiamata norma del sistema ortogonale nφ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


19

Un sistema ortonormale 1 2, , ,n

φ φ φ K dove n può essere finito o infinito, che soddisfi la relazione

0( ) ( ) ( )

1

b

m n

a

se m n x x q x dx

se m nφ φ

≠=

=∫ = Sm,n (4.3)

è detto ortonormale in [ , ]a b .(Dove il simbolo Sm,n , è detto Delta di Kroneker).È evidente che un sistema ortonormale può essere ottenuto da un sistema ortogonale dividendo ognifunzione per la sua norma in [ , ]a b .

Esempio 4.2.La successione di funzioni

1,cos ,sin , ,cos ,sin , x x nx nxK K

forma un sistema ortogonale nell’intervallo [ , ]π π − poiché

0sin sin

se m nmx nx dx

se m n

π

π π

−

≠=

=∫

sin cos 0 ,mx nx dx m n

π

π −

= ∀∫ (4.4)

0cos cos

se m nmx nx dx

se m n

π

π π −

≠=

=∫

per m ed n interi positivi.Per normalizzare questo sistema, dobbiamo dividere gli elementi del sistema ortogonale originaleper la sua norma.Quindi

1 cos sin cos sin, , , , , ,

2

x x nx nx

π π π π π K K

forma un sistema ortonormale.Una delle più importanti proprietà di un sistema ortogonale è che ognuno è linearmenteindipendente.Ovviamente la stessa proprietà è valida anche per sistemi ortonormali.

5. Serie di Fourier

Noi già abbiamo visto che le funzioni

1, cos ,sin , cos 2 ,sin 2 , x x x xK

sono mutuamente ortogonali nell'intervallo[ , ]π π − e che sono linearmente indipendenti.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


20

Formiamo una serie che formalmente rappresenti la ( ) f x .Quindi scriviamo

)sincos(2

)(1

0 kxbkxaa

x f k

k

k ++= ∑∞

=

(5.1)

dove il simbolo indica che i coefficienti 0 , k a a e k b dipendono in qualche maniera da f .La serie può essere convergente oppure no.Sia ( ) f x una funzione definita ed integrabile secondo Riemann sull'intervallo[ , ]π π − .Consideriamo la somma parziale n-esima

0

1

( ) ( cos sin )2n k k

k

as x a kx b kx

∞

=

= + +∑ (5.2)

e proponiamoci di determinare i coefficienti 0 , k a a e k b in modo che ( )ns x rappresenti la miglioreapprossimazione della ( ) f x su [ , ]π π − nel senso della media quadratica.A tale scopo cerchiamo di minimizzare l’integrale

20( , , ) [ ( ) ( )]k k n I a a b f x s x dx

π

π −

= −∫ (5.3)

Una condizione necessaria affinché 0 , k a a e k b minimizzino il funzionale I è che le derivateparziali prime di I rispetto a questi coefficienti si annullino.Così, sostituendo l’equazione (5.2) in (5.3) e derivando rispetto ai coefficienti

0,

k

a a ek

b otteniamo:

0

10

( cos sin )2

n

j j

j

a I a jx b jx dx

a

π

π =−

∂= − − +

∂ ∑∫ (5.4)

0

1

2 ( ) ( cos sin ) cos2

n

j j

jk

a I f x a jx b jx kx dx

a

π

π =−

∂= − − − +

∂ ∑∫ (5.5)

0

1

2 ( ) ( cos sin ) sin2

n

j j

jk

a I f x a jx b jx kx dx

b

π

π =−

∂= − − − +

∂ ∑∫ (5.6)

Usando la relazione di ortogonalità della funzione trigonometriche (4.4) e notando che

cos sin 0mx dx mx dx

π π

π π − −

= =∫ ∫ (5.7)

dove m e n sono numeri interi positivi, le equazioni (5.4), (5.5) e (5.6) diventano

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


21

00

( ) I

a f x dxa

π

π

π −

∂= −

∂∫ (5.8)

2 2 ( ) cosk

k

I a f x kx dx

a

π

π

π −

∂= −

∂∫ (5.9)

2 2 ( )sink

k

I b f x kx dx

b

π

π

π −

∂= −

∂∫ (5.10)

Poiché questi si devono annullare per avere un valore di estremo, si evince che deve essere

0

1( )a f x dx

π

π π

−

= ∫ (5.11)

1( ) cosk a f x kx dx

π

π π

−

= ∫ (5.12)

1( ) sink b f x kx dx

π

π π

−

= ∫ (5.13)

Si osservi che 0a è un caso particolare di k a .Dalle equazioni (5.8), (5.9) e (5.10) segue che

2

20

I

aπ

∂=

∂(5.14)

2 2

2 2 2k k

I I

a bπ

∂ ∂= =

∂ ∂ (5.15)

Da cui le derivate miste del secondo ordine e tutte le derivate di ordine superiore si annullano.Consideriamo la matrice Hessiana associata al funzionale 0( , , )k k I a a b :

0 0

( ) 0 2 0

0 0 2

H I

π

π

π

=

(5.16)

Essendo gli autovalori della matrice ( ) H I positivi 1 2 3( , 2 )λ π λ λ π = = = si evince che la matrice

( ) H I è definita positiva, quindi il funzionale 0( , , )k k

I a a b assume un valore minimo quando i

coefficienti 0 ,k

a a ek

b vengono dati rispettivamente dalle equazioni 5.11-5.13.

Questi sono chiamati coefficienti di Fourier di ( ) f x e la serie in (5.1) è detta serie di Fourier di( ) f x .

Si osservi che la possibilità di rappresentare una data funzione ( ) f x in serie di Fourier non implicache la serie converga a ( ) f x .Le funzioni

01 1 2 2, cos sin , cos 2 sin 2 ,

2

aa x b x a x b x+ + K

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


22

Che figurano al secondo membro della formula (5.1) e verificano le condizioni (5.11)-(5.13) sidicono termini della serie di Fourier per la funzioni f (armoniche di f ).L’insieme dei coefficienti di Fourier di una funzione f si chiama spettro.

Osservazione 1

I coefficienti di Fourier (5.11), (5.12) e (5.13) possono essere ottenuti in un modo diverso.Supponiamo che la funzione ( ) f x di periodo 2π sia sviluppabile in serie di Fourier

0

1

( ) ( cos sin )2 k k

k

a f x a kx b kx

∞

=

= + +∑ (5.17)

Se supponiamo che la serie sia integrabile termine a termine (per fissare le idee supponiamo che laconvergenza della serie sia uniforme), allora

00

1

( ) ( cos sin )2

n

k k

k

a f x dx a kx b kx dx a

π π

π π

π =− −

= + + =

∑∫ ∫

da cui

0 ( )a f x dx

π

π −

= ∫ (5.18)

Se moltiplichiamo ambo i termini dell’equazione (5.17) con cos nx e integriamo da aπ π − ,otteniamo

0

1

( )cos ( cos sin ) cos2

n

k k k

k

a f x nx dx a kx b kx nx dx a

π π

π π

π =− −

= + + =

∑∫ ∫

ovvero

1 ( ) cosk a f x kx dxπ

π π

−

= ∫ (5.19)

In un modo simile troviamo che

1( ) sink b f x kx dx

π

π π

−

= ∫ (5.20)

I coefficienti 0 , k a a e k b che sono stati trovati sono precisamente gli stessi ottenuti prima.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


23

Osservazione 2

Numerosi processi vibratori in fisica e in discipline tecniche sono descritti mediante funzioniperiodiche, di periodo (fondamentale) T ; allora t è il tempo, ( ) y f t = è l’ordinata di un punto

oscillante.Se f è un polinomio trigonometrico, si dice che: il processo vibratorio ( ) y f t = si scinde inprocessi elementari, ossia in oscillazioni armoniche:

0 0

1 1

( ) ( cos sin ) cos( )2 2

n n

k k k k

k k

a a f t a k t b k t A k t ω ω ω ϕ

= =

= + + = + −∑ ∑

dove 2 2k k k A a b= + e le k ϕ sono definite dalle equazioni

sin , cos 0 2k k k k k b aϕ ϕ ϕ π = = ≤ ≤

Il parametro2

T

π ω = viene detto pulsazione e si misura in radianti al secondo; la frequenza

1

2 f

T

ω

π = = si misura in periodi (cicli) al secondo o Hertz (Hz).

L’armonica

cos( )k k A k t ω ϕ −

ha ampiezzak

A , fase inizialek

ϕ e frequenza k volte la frequenza fondamentale 1T

.

6. Convergenza in media della serie di Fourier. Completezza.

Sia ( ) f x una funzione continua a tratti e periodica con periodo 2π .E’ ovvio che

[ ]2

( ) ( ) 0n f x s x dx

π

π −

− ≥∫ (6.1)

dove

0

1( ) ( cos sin )2

n

n k k

k

as x a kx b kx=

= + +∑

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


24

Sviluppando il quadrato si ottiene

[ ] [ ] [ ]∫ ∫ ∫∫− − −

+−=−

π

π

π

π

π

π

π

π

dx xsdx xs x f dx x f dx x x f nn

22

-

2n )()()(2)()(s)(

Ma, dalle definizioni dei coefficienti di Fourier (5.11), (5.12) e (5.13) e le relazioni di ortogonalità(4.4) relative alle successione trigonometrica dell’esempio (4.2) si evince

( ) ( )∑∫ ∑∫=− =−

++=

++=

n

k

k k

n

k

k k n baa

dxkxbkxaa

x f dx xs x f 1

2220

1

0

2sincos

2)()()( π

π π

π

π

π

(6.2)

e

2 22 2 20 0

1 1

( ) ( cos sin ) ( )2 2

n n

n k k k k k k

a as x dx a kx b kx dx a b

π π

π π

π π

= =− −

= + + = + +

∑ ∑∫ ∫ (6.3)

di conseguenza

[ ]2

2 2 2 20

1

( ) ( ) ( ) ( ) 02

n

n k k

k

a f x s x dx f x dx a b

π π

π π

π π

=− −

− = − + + ≥

∑∫ ∫ (6.4)

Allora segue che

22 2 20

1

1( ) ( )

2

n

k k

k

aa b f x dx

π

π π = −

+ + ≤∑ ∫ (6.5)

per tutti i valori di n.

Poiché il membro a destra dell’equazione (6.5) è indipendente da n, otteniamo

22 2 20

1

1( ) ( )

2k k

k

aa b f x dx

π

π π

∞

= −

+ + ≤∑ ∫ (6.6)

nota come disuguaglianza di Parseval.La serie (a termini positivi)

22 20

1

( )2 k k

k

aa b

∞

=

+ +∑ (6.7)

essendo crescente e limitata superiormente, è convergente.La condizione necessaria per la convergenza della serie (6.7) è che

lim 0 e lim 0k k k k

a b→∞ →∞

= = (6.8)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


25

Si dimostra che la serie di Fourier converga in media quadratica a ( ) f x , cioè

( )∫ ∑− =

∞→=

++−

π

π

0sincos2

)(lim2

1

0 dxkxbkxaa

x f n

k

k k n

(6.9)

Poichè la serie di Fourier converge in media quadratica a ( ) f x , dalla (6.4) segue che

( ) ∫∑−=

=++

π

π π

dx x f baa n

k

k k )(1

22

1

2220 (6.10)

L’uguaglianza precedente è nota come identità di Parseval.

Inoltre, se la relazione (6.9) è vera, in quanto l’insieme delle funzioni trigonometriche

1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,... x x x x è detto completo in ),('

2 π π − L . (vedi appendice)

7. Serie di coseno e seno

Sia ( ) f x una funzione pari definita nell'intervallo [ ],π π − .

Siccome cos kx è una funzione pari, e sin kx è una funzione dispari, la funzione ( ) cos f x kx è unafunzione pari e la funzione ( ) sin f x kx è una funzione dispari.Così, tenuto conto delle equazioni (2.4) e (2.5) troviamo che i coefficienti di Fourier della ( ) f x sono:

0

1 2( )cos ( )cos 0,1,2,....

1( ) sin 0 0,1,2,....

k

k

a f x kx dx f x kx dx k

b f x kx dx k

π π

π

π

π

π π

π

−

−

= = =

= = =

∫ ∫

∫(7.1)

Allora la serie di Fourier di una funzione pari può essere scritta come

kxaa

x f k

k cos2

)(1

0 ∑∞

=

+= (7.2)

dove i coefficienti k a sono dati dalla formula (7.1).

In maniera simile, se ( ) f x è una funzione dispari, la funzione ( )cos f x kxè una funzione dispari ela funzione ( )sin f x kx è una funzione pari, pertanto, i coefficienti di Fourier di ( ) f x , in questocaso sono:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


26

-

1( ) cos 0 0,1, 2,

1 2( )sin ( )sin 0,1, 2,

k

k

a f x kx dx k

b f x kx dx f x kx dx k

π

π

π π

π π

π

π π

−

−

= = =

= = =

∫

∫ ∫

K

K

(7.3)

Perciò, la serie di Fourier di una funzione dispari può essere scritta come

1

( ) sinn

k

k

f x b kx=

= ∑ (7.4)

dove i coefficienti k b sono dati dalla formula (7.3).

8. Esempi

Esempio 8.1.

Trovare lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione periodica mostrata in figura 7.

2( ) f x x x xπ π = + − ≤ ≤

Fig. 7

In questo caso è

22

0

1 1 2( ) ( )

3a f x dx x x dx

π π

π π

π

π π − −

= = + =∫ ∫

22

1 1 4( )cos ( ) cos ( 1)k

k a f x kx dx x x kx dxk

π π

π π π π

− −

= = + = −∫ ∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


27

21 1 2( )sin ( ) sin ( 1)k

k b f x kx dx x x kx dxk

π π

π π π π

− −

= = + = − −∫ ∫

Quindi lo sviluppo in serie di Fourier per f è

2 2

21

4 2( ) ( 1) cos ( 1) sin 4cos 2sin cos 2 sin 2

3 3k k

k

f x kx kx x x x xk k

π π ∞

=

= + − − − = − + + − −∑ K

Le prime due somme parziali sono

2

1

2

2

4cos 2sin3

4cos 2sin cos 2 sin 23

s x x

s x x x x

π

π

= − +

= − + + −

Queste sono rappresentate in figura 8.

Fig. 8

Si vede che i primi termini forniscono già una buona approssimazione di f nell’intervallo xπ π − ≤ ≤ .

L’approssimazione migliora con il numero dei termini presi per una x fissata in xπ π − ≤ ≤ , manon per x π = ± .I comportamenti delle approssimazioni nei punti di discontinuità saranno discussi successivamente.

Esempio 8.2.

Consideriamo la funzione periodica mostrata in figura 9.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


28

0( )

0

se x f x

x se x

π π

π

− − < <=

< <

Fig. 9

In questo caso abbiamo

0

0

0

1 1( )

2a f x dx dx x dx

π π

π π

π π

π π − −

= = − + = −

∫ ∫ ∫

0

2 20

1 1 1 1( )cos cos cos (cos 1) ( 1) 1

k

k a f x kx dx kx dx x kx dx k k k

π π

π π π π π π π π

− −

= = − + = − = − − ∫ ∫ ∫

0

0

1 1 1 1( )sin sin sin (1 2cos ) 1 2( 1)k

k b f x kx dx kx dx x kx dx k k k

π π

π π

π π π π

− −

= = − + = − = − −

∫ ∫ ∫

Quindi la serie di Fourier è

2

1

1 1( ) ( 1) 1 cos 1 2( 1) sin

4k k

k

f x kx kxk k

π

π

∞

=

= − + − − + − − ∑

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


29

Esempio 8.3.

Consideriamo la funzione ( ) f x x= nell’intervallo xπ π − ≤ ≤ , in figura 10.

Fig. 10

In questo caso è

0

1 1( ) 0a f x dx xdx

π π

π π π π

− −

= = =∫ ∫

1 1( )cos cos 0 1, 2,3,k a f x kx dx x kx dx con k

π π

π π π π − −

= = = =

∫ ∫K

11 1 2( )sin sin ( 1) 1,2,3,k

k b f x kx dx x kx dx con k k

π π

π π π π

+

− −

= = = − =∫ ∫ K

Allora

1

1

sin( ) 2 ( 1)k

k

kx f x

k

∞+

=

= −∑

Esempio 8.4.

Calcoliamo la serie di Fourier della funzione, detta onda quadra, mostrata in figura 11.

1 0

( ) 1 0

se x

f x se x

π

π

− − < <

= + < <

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


30

Fig. 11

In questo caso f è una funzione dispari così che 0 per 0,1,2,3,k

a k = = K e

0 0

2 2 2( ) sin sin 1 ( 1) 1,2,3,k

k b f x kx dx kx dx con k k

π π

π π π = = = − − = ∫ ∫ K

Così [ ]2 2 10 e 4 (2 1)k k b b k π −

= = − .

Quindi la serie di Fourier della funzione ( ) f x è

1

4 sin(2 1)( )

(2 1)k

k x f x

k π

∞

=

−=

−∑

Esempio 8.5

Sviluppiamo sin x in serie di Fourier. Visto che sin x è una funzione pari come mostrato in figura

12, 0 per 1,2,k

b k = = K e

Fig. 12

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


31

[ ]

0 0

20

2 2( ) cos sin cos

2 1 ( 1)1sin(1 ) sin(1 ) per 0,2,3,

(1 )

k

k

a f x kx dx x kx dx

k x k x dx k k

π π

π

π π

π π

= = =

+ − = + + − = =

−

∫ ∫

∫ K

Per 1k = , 1

0

2sin cos 0a x x dx

π

π = =∫ .

Allora la serie di Fourier di ( ) f x è

21

2 4 cos 2( )

(1 4 )k

kx f x

k π π

∞

=

= +−

∑

In un paragrafo precedente abbiamo definito la funzione ( ) f x nell’intervallo ( , )π π − ed assunto( ) f x periodica con periodo 2π nell’intero intervallo ( , )−∞ ∞ .

In pratica, frequentemente incontriamo problemi in cui una funzione è definita solamentenell’intervallo ( , )π π − .In questo caso estendiamo la funzione periodicamente con periodo 2π, come in figura 13.

Fig. 13

In questo modo possiamo rappresentare la funzione ( ) f x con lo sviluppo in serie di Fourier,sebbene siamo interessati solamente all’intervallo ( , )π π − .

Se una funzione f è definita solo nell’intervallo (0, )π , possiamo estenderla in due modi.Il primo è l’estensione pari di f , denotata e definita da (vedi figura 14)

( ) se 0( )

( ) se 0e

f x xF x

f x x

π

π

< <=

− − < <

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


32

Fig. 14

mentre il secondo è l’espansione dispari di f , denotata e definita da (vedi figura 15)

( ) se 0

( ) ( ) se 0o

f x x

F x f x x

π

π

< <

= − − − < <

Fig. 15

Visto che )( xF e e )(0 xF sono rispettivamente funzioni pari e dispari con periodo 2π , gli sviluppi

in serie di Fourier di )( xF e e )(0 xF sono

0

1

( ) ( cos )2e k

k

aF x a kx

∞

=

= + ∑ dove0

2( ) cosk a f x kx dx

π

π = ∫

e

01

( ) ( sin )k

k

F x b kx

∞

=

= ∑ dove0

2 ( ) sink b f x kx dx

π

π = ∫

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


33

9. Serie di Fourier complessa

È conveniente qualche volta rappresentare lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione ( ) f x in

forma complessa.Questo sviluppo può essere dedotto facilmente sostituendo nella serie di Fourier

0

1


k

a f x a kx b kx

∞

=

= + +∑

le formule

2cos e

2sin

jx jx jx jxee

x j

ee x

−−+

=−

=

Si ottiene

( )∑

∑

∑

∞

=

−

−

∞

=

−

∞

=

−−

++=

=

++

−+=

=

−+

++=

10

1

0

1

0

222

222)(

k

jkx

k

jkx

k

k

jkxk k jkxk k

k

jkx jkx

k

jkx jkx

k

ececc

e jba

e jbaa

j

eeb

eea

a x f

dove

[ ]

[ ]

00

1( )

2 2

1 1( )(cos sin ) ( )

2 2 2

1 1( )(cos sin ) ( )

2 2 2

jkxk k k

jkxk k k

ac f x dx

a jbc f x kx j kx dx f x e dx

a jbc f x kx j kx dx f x e dx

π

π

π π

π π

π π

π π

π

π π

π π

−

−

− −

−

− −

= =

−= = − =

+= = + =

∫

∫ ∫

∫ ∫

Quindi lo sviluppo in serie di Fourier in forma complessa è

( ) jkx

k

k

f x c e xπ π ∞

=−∞

= − < <∑ (9.1)

dove

1( )

2 jkx

k c f x e dx

π

π π

−

−

= ∫ (9.2)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


34

È importante notare che se f è una funzione reale, allora ek k

a b sono anch’essi reali e i numeri

ek k

c c−

benché siano in generale complessi sono reciprocamente coniugati:

k k c c−

=

Viceversa, la coniugazione complessa a due a due di ek k c c−

implica, semplicemente, che i

coefficienti di Fourier ek k

a b della funzione f siano reali, e se ciò ha luogo per tutti i 0,1,k = K

la funzione f diventa anch’essa reale.Evidentemente, l’n-esima somma della serie di Fourier di f

0

1

( ) ( cos sin )2n k k

k

as x a kx b kx

∞

=

= + +∑

può essere scritta nella forma

( )n

jkx

n k

k n

s x c e=−

= ∑

Se, per un dato valore x esiste il limite

limn

jkx

k n

k n

c e→∞

=−

∑

si dice che la serie converge nel senso del valore principale.Se, per un dato valore di x , esiste il limite

,lim

n jkx

k n m

k m

c e→∞

=−

∑

si dice che la serie converge (in questo caso em n crescono indefinitamente l’unoindipendentemente dall’altro).

Le funzioni complesse

10, 1, 2,

2 jkx

e k π

= ± ± K (9.3)

formano un sistema ortonormale in [0,2 ]π in quanto

hk se 0

hk se 1

2121

2

0

≠

===

∫− δ

π π

π

dxee jhx jkx

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


35

Poiché le funzioni cos e sin ( 0,1,2, )kx kx k = K formano un sistema completo in C* e quindi in

2L *, della stessa proprietà gode anche il sistema ( 0, 1, 2, ) jkxe k = ± ± K in quanto

2

kcos e

2

ksin jkx jkx jkx jkx

ee x

j

ee x

−−+

=−

=

I numerik c definiti dalla (9.2) sono i coefficienti di Fourier relativi alle funzioni jkx

e .

In virtù della completezza del sistema (9.3) in 2L *, per ogni funzione 2L * f ∈ si verifica

l’uguaglianza di Parseval:

22 2

0

1( )

2 k

k

f x dx c

π

π

∞

=−∞

= ∑∫

Esempio 9.1.Determiniamo lo sviluppo in serie di Fourier per ( ) f x in forma complessa con

( ) x f x e xπ π = − < <

Abbiamo

2

1 1 (1 )( 1)( ) sinh

2 2 (1 )

k jkx x jkx

k

jk c f x e dx e e dx

k

π π

π π

π π π π

− −

− −

+ −= = =

+∫ ∫

Pertanto la serie di Fourier richiesta è

2

(1 )( 1)( ) sinh

(1 )

k jkx

k

jk f x e

k π

π

∞

=−∞

+ −=

+∑

Esempio 9.2Determinare lo sviluppo in serie di Fourier per l’onda quadra in forma complessa.

I coefficienti della serie di Fourier in forma complessa (vedi esempio 8.4) sono:

( )( )

π k j jbaa

k

k k

11

2

1c 0c k00

−−−=−===

Pertanto lo sviluppo in serie di Fourier in forma esponenziale, per l’onda quadra è:

( ) 0k

11)( ≠

−−=

∑

+∞

∞−

jkx

k

ek

j x f

π

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


36

10. Cambio di intervallo

Precedentemente ci siamo interessati alle funzioni definite nell’intervallo [ , ]π π − .In alcune applicazioni comunque questo intervallo è restrittivo, e l’intervallo d’interesse potrebbe

essere arbitrario, diciamo [ , ]a b .Se introduciamo una nuova variabile t con la trasformazione

( ) ( )

2 2

b a b a x t

π

+ −= + (10.1)

allora l’intervallo a x b≤ ≤ diviene t π π − ≤ ≤ e la funzione

( ) ( )( )

2 2

b a b a f t F t

π

+ − + ≡

ovviamente ha periodo 2π .Sviluppando questa funzione in serie di Fourier, otteniamo

0

1


k

aF t a kt b kt

∞

=

= + +∑ (10.2)

dove

1

( )cos 0,2,3,

1( )sin 1,2,3,

k

k

a F t kt dt k

b F t kt dt k

π

π

π

π

π

π

−

−

= =

= =

∫

∫

K

K

Cambiando t in x , troviamo lo sviluppo per ( ) f x in [ , ]a b

0

1

(2 ) (2 )( ) cos sin

2 ( ) ( )k k

k

a k x b a k x b a f x a b

b a b a

π π ∞

=

− − − −= + +

− − ∑ (10.3)

dove

2 (2 )( ) cos

( )

b

k

a

k x b aa f x dx

b a b a

π − −=

− − ∫ (10.4)

2 (2 )( ) sin

( )

b

k

a

k x b ab f x dx

b a b a

π − −=

− − ∫ (10.5)

per ogni k .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


37

Qualche volta è conveniente prendere l’intervallo nel quale la funzione f è definita come [ , ]l l− .Segue dal risultato appena ottenuto che ponendo ea l b l= − = , lo sviluppo per f in [ , ]l l− ,prende la forma

0

1( ) cos sin2 k k

k

a k x k x

f x a bl l

π π ∞

=

= + + ∑ (10.6)

dove

1( ) cos

l

k

l

k xa f x dx

l l

π

−

=

∫ (10.7)

1( ) sin

l

k

l

k xb f x dx

l l

π

−

=

∫ (10.8)

per ogni k Se f è una funzione pari di periodo 2l , dall’equazione 10.6 possiamo facilmente determinare che

0

1

( ) cos2 k

k

a k x f x a

l

π ∞

=

= + ∑ (10.9)

dove

02 ( ) cos

l

k k xa f x dxl l

π = ∫ (10.10)

per ogni k .Se f è una funzione dispari di periodo 2l , dall’equazione 10.6 lo sviluppo per f è

1

( ) sink

k

k x f x b

l

π ∞

=

= ∑ (10.11)

dove

0

2( ) sin

l

k

k xb f x dx

l l

π =

∫ (10.12)

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


38

Esempio 10.1.Consideriamo la funzione periodica dispari f

( ) 2 2 f x x x= − < <

come mostrato in figura 16.

Fig. 16

Qui 2l = .Visto che f è dispari, 0

k a = , e

2

0 0

2 2 4( )sin sin ( 1) 1,2,3,2 2

l

k k

k x k xb f x dx x dx per k

l l k

π π

π

= = = − − = ∫ ∫ K

Quindi, la serie di Fourier di f è

1

1

4( ) ( 1) sin

2k

k

k x f x

k

π

π

∞+

=

= −

∑

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


39

Esempio 10.2.È data la funzione

11 0

2

( ) 10 12

se x

f xse x

< <

= < <

In questo caso il periodo è 2 2 o 1l l= = .Sviluppiamo f come mostrato in figura 17.

Fig. 17

Visto che lo sviluppo è pari, abbiamo 0k b = e

1

0

0 0

2 2( ) ( ) 1

1

l

a f x dx f x dxl

= = =∫ ∫

[ ]1

0 0

2 2 2( )cos ( )cos sin

1 2

l

k

k x k a f x dx f x k x dx

l l k

π π π

π

= = =

∫ ∫

Quindi

1

1

1 2( ) ( 1) cos(2 1)

2 (2 1)k

k

f x k xk π

π ∞

−

=

= + − −

− ∑

La funzione data (così come quella dell’esempio 8.4) è detta onda quadra.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


41

Sommando l'identità trigonometrica

1 1

2sin cos sin sin2 2 2ka k k a

α

α

= + − +

da 1 ak k n= = , otteniamo

1

1 3 1 12sin cos sin sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2 2

1sin

2

n

k

ka n n

n

α α α α α α

α

=

+ = + − + + + − −

= +

∑ K

(11.2)

Poi usando la (11.2) nella (11.1) otteniamo

1 sin( 1/ 2)( )( ) ( )

2sin2

n

n t xs x f t dt

t x

π

π π

−

+ − =

−

∫ (11.3)

Introducendo una nuova variabile s t x= − abbiamo

1 sin( 1/ 2)( ) ( )

2sin2

x

n

x

n ss x f s x ds

s

π

π π

−

− −

+ = +

∫ (11.4)

Ora, se ( ) f x è continua a tratti e periodica con periodo 2π , allora anche ( )ns x è periodica con

periodo 2π .Così

1 sin( 1/ 2)( ) ( )

2sin2

n

n ss x f s x ds

s

π

π π

−

+ = +

∫ (11.5)

La (11.5) è nota come formula di Dirichlet per ns .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


42

Il nucleo

sin( 1/ 2)

2sin2

n s

s

+

(11.6)

è detto nucleo di Dirichlet, che è periodico con periodo 2π ed inoltre

1

1 sin( 1/ 2) 1 1cos 1

22sin2

n

k

n sds kx ds

s

π π

π π π π =− −

+ = + =

∑∫ ∫ (11.7)

LEMMA 11.1 (Riemann-Lebesgue Lemma).

Se ( )g x è continua a tratti sull'intervallo[ , ]a b , allora

lim ( )sin 0b

a

g x x dxλ

λ →∞

=∫ (11.8)

TEOREMA 11.1 (Teorema di Convergenza Puntuale).

Se ( ) f x è liscia a tratti e periodica con periodo 2π in [ , ]π π − , per qualsiasi x

0

1

1( cos sin ) ( ) ( )

2 2k k

k

aa kx b kx f x f x

∞+ −

=

+ + = + ∑ (11.9)

dove

1 ( ) cos

1( )sin

k

k

a f x kx dx

b f x kx dx

π

π

π

π

π

π

−

−

=

=

∫

∫

per k = 0, 1, 2, …

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


43

APPENDICE

Sia H un insieme lineare complesso

,H , e , H ∈∀∈∀∈+ ψ ϕ β α βψ αϕ C

Per prodotto scalare su H si intende un’applicazione che ad ogni coppia di elementi ψ ϕ e

appartenenti ad H fa corrispondere il numero complesso ψ ϕ , , che soddisfa le seguenti proprietà:

1) ;,, ψ ϕ ψ ϕ =

2) ;,,, 22112211 ψ ϕ α ψ ϕ α ψ ϕ α ϕ α +=+

3) ϑ ϕ ψ ϕ ψ ϕ sesoloese 0, , 0, ==≥

Con ϑ elemento nullo di H.

Dalla 1) e 2) si evince che

ψ ϕ β βψ ϕ ψ ϕ α ψ αϕ ,, ii) ,, i) ==

Non è difficile dimostrare che l’applicazione su H così definita

ϕ ϕ ϕ , →

è una norma ( la norma definita dal prodotto scalare ). Si dimostra che

ovvero

ψ ϕ ψ ϕ , ≤

21

21

,,, ψ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ≤

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


44

Esempio 1.Indichiamo con C[a,b] l’insieme lineare delle funzioni continue

].,[ )()()( 21 bat t jxt xt x ∈+=

Non è difficile verificare che l’applicazione definita nel seguente modo

dt t yt xt yt x

b

a

)()()(),( ∫=

è un prodotto scalare su C[a,b]; inoltre

.)()()(),( )

)()()()()(),( )

21

0

221

0

2

22

≤

===

∫∫

∫∫

bb

b

a

b

a

dt t ydt t xt yt xii

t xdt t xdt t xt xt xt xi

Un insieme (finito o infinito) di elementi di H:

H .....,,....,, 21 ∈k k ϕ ϕ ϕ ϕ

è detto ortogonale se per hk ≠ risulta

0, =hk ϕ ϕ

Se gli elementi di un insieme ortogonale hanno norma unitaria:

....2,1,k 1, === k k k ϕ ϕ ϕ

si dice che l’insieme è ortonormale.

Si ha la seguente definizione:

Definizione 1. Un insieme (finito o infinito)

....,, 21 ϕ ϕ

di elementi di H si dice ortonormale se

≠

===

kh 0

kh 1,

hk hk δ ϕ ϕ

hk δ è detto Delta di Kronecker.

Non è difficile verificare che: Ogni insieme ortonormale (in particolare ortonormale) è linearmenteindipendente.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


45

Ovviamente se un insieme

....,, 21 ϕ ϕ

di elementi di H è ortogonale ( ),hkcon0, ≠=hk ϕ ϕ l’insieme

....., ,2

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

è ortonormale.

Esempio 2.

Gli insiemi

...2,1,k kt,sinkt,cos 1, =

e

= ...2,1,k ktsin

,ktcos

,2

1

π π π

sono rispettivamente, ortogonale ed ortonormale in [ ].,π π −C

Esempio 3.

L’insieme ...2,1,0,k ±±==jkt

k eψ è ortogonale in [ ].,π π −C Infatti risulta

dt t hk k dt edt ee t hk j jkt jkt hk )(cos2,0

)( −=== ∫∫∫ −

−

−

−

π π

π

π

π

ψ ψ

da cui

=

≠=

hk 2

hk 0,

π ψ ψ hk

ovviamente l’insieme ...2,1,0,kcon2

1±±==

jkt

k eπ

ϕ è ortonormale.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


47

In particolare, se f =ϕ si ha

f f f f k

k

k ,,,1

=∑∞

=

ϕ ϕ

ovvero

∑∞

=

=1

22,

k

k f f ϕ

Esempio 4. L’applicazione che ad ogni coppia di elementi ( )Ω'2L di eψ ϕ fa corrispondere il

numero complesso

dx x x∫Ω

= )()(, ψ ϕ ψ ϕ

dove l’integrale è inteso nel senso di Riemann, integrale improprio assolutamente convergente, è unprodotto scalare su ( )Ω

'2L .

Definizione. Se

[ ] 0)()(,2

1

221

'

2

→

−=−−=−

∫Ωdx x f x f f f f f f f nnn

Ln

si dice che n f converge ad f in media quadratica in ( )Ω'2 L .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


48

Se H∈ f è un elemento qualsiasi, la serie

∑∞

=

≈1

,k

k k f f ϕ ϕ

è, per definizione, la serie di Fourier di f rispetto al sistema ortonormale ; ....,, 21 ϕ ϕ in numeri

k k f a ϕ ,=

sono detti coefficienti di Fourier.

Se il sistema è ortogonale allora la serie di Fourier di f e i corrispondenti coefficienti di Fourier siscrivono rispettivamente nel modo seguente

k

k

k k k

k k

f a f f ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

,1

,1

21

2 =≈ ∑∞

=

Assegnato un elemento H∈ f , poniamoci il seguente problema:

fra tutti i numeri possibili N α α α ...,,, 21 , determinare quelli per i quali il funzionale

( ) ∑=

−= N

k

k k N f 1

21 ...,,,F ϕ α α α α

sia minimo.

Dimostriamo che i numeri N α α α ...,,, 21 , per i quali la norma

∑=

− N

k

k k f

1

ϕ α

sia minima, sono i coefficienti di Fourier di f . In altre parole si ha

∑∑==

−≤−

N

k

k k

N

k

k k f f f 11

, ϕ α ϕ ϕ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


49

per ogni N-pla di numeri ( ) N α α α ...,,, 21 . Infatti si ha

=+−−=−−=− ∑ ∑∑∑∑∑∑N N

iiii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii f f f f f f f 1 11111

2

1

,,,,, ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α

[ ]∑ −+−=

N

iiiiii f f f 1

2,, α α ϕ α ϕ α

si osservi che essendo kh 0, ==hk ϕ ϕ è

.........,.... 1122112211 N N N N N N α α α α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α ++=++++++

Pertanto

[ ]=+−−+−=− ∑∑N

iiiiiiiiii

N

ii f f f f f f f f 1

22

1

,,,,,, ϕ ϕ ϕ ϕ α α ϕ α ϕ α ϕ α

( ) ( )[ ] =−−+−−= ∑∑N

i

N

iiiiii f f f f f 1

2

1

2,,,, ϕ ϕ α ϕ α ϕ α

( )( ) =−−−−= ∑∑N

iii

N

ii f f f f 1

2

1

2,,, ϕ α ϕ ϕ α

∑∑∑ −≥−−+=

N

i

N

i

N

ii f f f f f 1

22

1

2

1

22,,, ϕ ϕ ϕ α

RIASSUMENDO, risulta

∑∑ −≥− N

i

N

ii f f f 1

222

1

,ϕ ϕ α

inoltre è

21

1

22

1

,min0

−=−≤ ∑∑

N

i

N

ii f f f i

ϕ ϕ α α

se e solo se ii f ϕ α ,= cioè se e solo se le N)....,,1( =iiα sono i coefficienti di Fourier di f .

Da quanto precede, si evince che

2

1

2, f f

N

i ≤∑ ϕ

da cui:

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


50

la serie composta dai quadrati dei moduli dei coefficienti di Fourier dell’elemento H∈ f èconvergente e verifica la seguente disuguaglianza

( ) ( )∑∞

=

=≤1

22,,

k

k f f f f ϕ

nota come disuguaglianza di Parseval per ∈ .

Definizione. Un sistema ....,, 21 α α di elementi di H si dice completo in H se per H∈ f e 0>∀ ε si

possono trovare N numeri N α α α ...,,, 21 tali che

ε ϕ α <− ∑ N

k k f 1

Enunciamo un importante teorema:Teorema. Affinchè un sistema ortonormale di elementi ....,, 21 α α sia completo in H è necessario esufficiente che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni:

)i La serie di Fourier di un elemento qualsiasi H∈ f converge a f nella metrica di H;

)ii Per ogni elemento H∈ f si verifica l’uguaglianza di Parseval

.,,1

22

∑∞

=

==k

k f f f f ϕ

Si osservi che la )i implica la )ii , vedi conseguenze del lemma.

Completiamo questa parte introducendo una definizione ed enunciando un importante teoremarelativo ad essa.

Definizione. Un sistema ortonormale è chiuso se, per H ∈

ψ , si verifica che

H).dinullo(elemento ...)1,2,(k 0, ϑ ψ ϕ ψ =⇒==k

Esempio. Un sistema ortonormale completo è chiuso. Infatti sia H∈ f , se il sistema ....,, 21 α α ècompleto in H allora, per il teorema precedente è

∑∞

=

=1

22,

k

k f f ϕ

da cui se risulta ϑ ϕ ==== f f f k

ovvero 0 segue ...2,1,kper0,2

.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


51

Teorema. Se H è uno spazio lineare completo con prodotto scalare, ossia è uno spazio di Hilbert,allora dalla chiusura del sistema ortonormale ....,, 21 α α ne segue la completezza.In altre parole:In uno spazio di Hilbert un sistema ortonormale è chiuso se e solo se è completo.

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


52

Proprietà della trasformata di Fourier

1.Linearità della trasformata di Fourier. Se ( ) ( )ω ω GeF sono le trasformate di Fourier delle

funzioni ( ) ( )t get f rispettivamente, per qualsiasi costante β α e , la funzione )()( ω β ω α GF + è la

trasformata di Fourier della funzione )()( t gt f β α + . Quindi la trasformata di Fourier è un

operatore lineare. Indicando questo operatore con ℑ , si scrive

)()( ω F t f → ℑ oppure [ ] )(ω F f =ℑ .

2. Se ( )ω F è la trasformata di Fourier di una data funzione ( )t f assolutamente integrabile su tutto

l’asse numerico, allora

i) ( )ω F è continua in (-∞, +∞);

ii) ( )ω F tende a zero per +∞→ω :

( ) 0lim =∞→

ω ω

F ;

iii) ( )ω F è limitata:

( ) +∞<<∞−≤ ω ω , M F .

Dimostrazione

i) La funzione t je

ω − ( )t f è, ovviamente, continua in ω , perciò tenuto presente (vedi osservazione

1) che

( ) ( )ω ω F dt t f e

u

t j=∫

+∞

∞−

− [ ]ba,∈ω

su ogni intervallo chiuso [ ]ba, , si evince che ( )ω F è continua su ogni intervallo chiuso dell’asse

reale e quindi è continua per ogni ω .

ii) Essendo per ipotesi

( ) ∞+<∫+∞

∞−

dt t f

segue che fissato arbitrariamente ε > 0, possiamo fissare A > 0 tale che

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


53

( ) ( )3ε

<+ ∫∫+∞−

∞−

dt t f dt t f A

A

quindi (per la disuguaglianza triangolare) è

( ) ( )3ε ω ω

+≤ ∫∫+

−

−

+∞

∞−

−dt t f edt t f e

A

A

t jt j.

Per completare la dimostrazione, dimostriamo che risulta

( ) ω ε ω arispettomentedefinitivadt t f e

A

A

t j

32

<∫+

−

−

In virtù dell’integrabilità di [ ] A Ain f ,−

, possiamo fissare una suddivisione [ ] A AdiT ,−

, per

esempio

( ) 1110 <−=<<<=−=−k k n t t At t t AT K

in corrispondenza della quale la funzione

( )( ) ( )

==

=∈==

−

nk t t

nk t t t t f M t f

k

k k k

T ,...,1,00

,...,2,1,;sup 1

soddisfa la disuguaglianza

( )[ ]3

)(0ε

<−≤ ∫−

dt t f t f

A

A

T

D’altra parte essendo

ω

ω ω 2)(

11 1

∑∫∑∫=

−

=−

−≤=

−

n

k

k

t

t

t jn

k

k T

A

A

t j M dt e M dt t f e

k

k

si evince che

[ ] ε ω

ε ω ω

3

22

3)()()()(

1

<+≤+−= ∑∫∫=−

−

−

−n

k

k T T

A

A

t j

A

A

t j M dt t f t f t f edt t f e

se

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


54

ω > ∑=

n

k

k M 1

6ε

.

il che comporta la dimostrazione della ii).

iii) segue facilmente da

( ) M dt t f F =≤ ∫+∞

∞−

)(ω -∞ < ω < +∞

3. Sia ( )t f una funzione definita e derivabile m volte su (-∞,+∞): ( ).,)(+∞∞−∈

m D f

Se si suppone che ( )t f e ( )( ) mk t f k ,...,2,1= siano assolutamente integrabili su (-∞,+∞) e che ( )t f

e ( )( ) 1,...,2,1 −= mk t f k tendono a zero per +∞→t , allora

( )[ ] ( ) [ ] mk f j f k k ,,2,1 K=ℑ=ℑ ω

Dimostrazione. Per semplicità supponiamo 1=k . Integrando per parti si ottiene

( ) dt t f e jt f edt t f e t jt jt j )()(' ∫∫−

−

−

−

−

−+=

η

η

ω

η

η

ω

η

η

ω ω

da cui passando al limite per ∞→η e tenuto presente che

,

si evince che

[ ] [ ] f j f ℑ=ℑ )(' ω .

Da cui

[ ] ( )[ ] [ ] f j f j f k k k ℑ==ℑ=ℑ

− )(...........)( 1)( ω ω

Osservazione 3. In virtù della ii) della proprietà 2, la trasformata di Fourier di ( )k f tende a zero per

+∞→ω , pertanto dalla proprietà precedente, segue che

( ) 0lim)(lim == −+∞→+∞→

k k F F

ω ω ω ω

ω ω

0)(lim)(lim =−=+∞→

−

+∞→η η η ω

η

η ω

η f e f e j j

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


55

ovvero

+∞→=−

ω ω ω )()(k

oF .

Quindi se

mk dt t f k ,,2,1,0)()(

K=+∞<∫+∞

∞−

e

allora, per qualche costante c > 0, si ha

k cF

−+≤ )1()( ω ω - ∞ < ω < +∞.

Infatti da ( ) 0→k

F ω ω quando +∞→ω , segue che

( ) ( ) ,,,1,001

k hcone per F F k

h

hk K=+∞→→=

− ω ω ω ω

ω ω

da cui

( )( ) +∞→→+ ω ω ω per F k 01 .

Pertanto, in corrispondenza di 1=ε esiste 0>a tale che

( ) ( ) a per F k

><+ ω ω ω 11 .

Poiché per a≤ω la funzione ( )( ) k F ω ω +1 è limitata, per qualche 0> M risulta

( ) ( ) a per M F k

≤<+ ω ω ω 1 .

Se ( ) M c ,1min= si ha

( ) ( ) +∞<<∞−<+ ω ω ω cF k 1

ovvero

1,,2,1,00)(lim )(−==

+∞→mk t f

k

t K

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


56

( )( )

+∞<<∞−+

< ω ω

ω k

cF

1

4. Supponiamo che per qualche intero positivo m la funzione )()1( t f t m

+ sia assolutamente

integrabile su (-∞, +∞):

∞+<+∫+∞

∞−

dt t f t m )()1( (1)

Allora la trasformata di Fourier di ( )t f ovvero

∫+∞

∞−

−= dt t f eF

t j )()( ω ω

è derivabile m volte e risulta

dt t f edt t f ed

d F

t j

k

k t j

k

k k

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−

∂

∂== ))(()()()( ω ω

ω ω ω (2)

ovvero

[ ])()()()()()(t f t jdt t f t e jF

k k k t jk k ℑ−=−= ∫

+∞

∞−

− ω ω (3)

con k = 1,2,…,m

Ovviamente la condizione (1) è verificata se le funzioni f, t f,…, t k

f sono assolutamente

integrabili. E’ vero anche il viceversa.

In particolare:

Se [ ] ( )ℜ∈ℑ∈∀+∞−∞∈∞C f allora N k Lt f t k ),()( 1

Dimostrazione. Dalla disuguaglianza

( ) )()( t f t t f ek t j

k

k

≤∂

∂ − ω

ω

(vera per ogni k) e dalla (1) segue, per il criterio di Weierstrass, che l’integrale a destra

nella (2) converge uniformemente rispetto ad [ ]ba,∈ω (per ogni intervallo chiuso [ ]ba, ).In virtù del teorema di derivazione sotto il segno, si evince la veridicità della (2) ovvero della (3).

Si osservi che dalla (3) segue che

( ) ( ) ( )[ ] mk t f jt f t k k k ,,2,1 K=ℑ=ℑ

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


57

Nell’osservazione 3 è stato evidenziato che l’uguaglianza

[ ] ( ) [ ] f j f k k

ℑ=ℑ ω )(

implica

[ ] [ ] +∞→→ℑ=ℑ

−ω

ω 0)(k

k f

f .

Pertanto, più l’ordine di derivabilità di f su L1 è grande, più la decrescenza della

corrispondente trasformata di Fourier è rapida. Dalla proprietà 4 si evince che la proposizione

duale è ugualmente vera: più la decrescenza di f all’infinito è rapida, più la corrispondente

trasformata di Fourier è liscia.

Da quanto precede si evince che quando si passa da una funzione f alla corrispondente trasformata

di Fourier ( )ω F , le proprietà di derivabilità e di decrescenza all’infinito della funzione f si

scambiano.

5. Se ''', f e f f sono assolutamente integrabili in (-∞, +∞):

( )( ) 2,1,0=∞+<∫+∞

∞−

k dt t f k

e se ', f f tendono a zero per ∞→t :

1,00)(lim )(==

+∞→k t f

k

t

allora, per ogni funzione g assolutamente integrabile in (-∞, +∞) si ha

∫∫+∞

∞−

∗

+∞

∞−

∗= ω ω ω

π d GF dt t gt f )()(

2

1)()( (4)

dove ( ) [ ] ( ) [ ] ( )ω ω ω ∗∗ℑ=ℑ= Get ggG f F )(,, denotano rispettivamente il complesso coniugato

di ( ) ( )ω Get g .

L’uguaglianza (4) è nota come equazione di Plancherel. In particolare se ( ) ( )t f t g = si ha

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


58

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

= ω ω π

d F dt t f 22

)(21

)( (5)

la (5) è nota come identità di Parseval.

Dimostrazione. Per ogni ( )+∞∞−∈ ,t abbiamo

ω ω π

ω d F et f

t j )(21

)( ∫+∞

∞−

=

Moltiplicando ambo i membri dell’uguaglianza precedente per )(t g ∗ e integrando rispetto a t tra

λ λ +− e si ottiene

( )

)6()()(21

)(21

)()(21

)()(

ω ω π

ω ω π

ω ω π

λ

λ

ω

λ

λ

ω

λ

λ

λ

λ

ω

d dt t geF

d dt t geF

dt d F et gdt t gt f

t j

t j

t j

∫ ∫

∫∫

∫ ∫ ∫

∞+

∞−

∗

−

−

−

∗

∞+

∞−

− −

+∞

∞−

∗∗

=

=

=

=

=

dove [ ] ∗ denota il complesso coniugato dell’espressione in parentesi; il cambio dell’ordine

d’integrazione è lecito in quanto l’integrale

ω ω ω d F e

t j )(∫+∞

∞−

converge per il criterio di Weierstrass, uniformemente e assolutamente rispetto a ( )+∞∞−∈ ,t .

Infatti in virtù delle ipotesi fatte su ''', f e f f (vedi osservazione 3) risulta

( ) 21)(

−

+≤ ω ω cF -∞ < ω <+∞

( ) ( )2

12

1

1

022 =

+=

+∫∫

+∞+∞

∞− ω

ω ω

ω

d d .

In virtù della disuguaglianza

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


59

( ) dt t gdt t geF j

∫∫∞+

∞−

−

∗

−

−+≤

)(1)()(

2ω ω

λ

λ

ω

l’integrale alla destra della (6) converge, per il criterio di Weierstrass, uniformemente rispetto a

( )+∞∞−∈ ,λ , pertanto

∫∫ ∫∫ ∫+∞

∞−

∗

∗+∞

∞−

+∞

∞−

−

∗+∞

∞− −

−

∞→=

=

ω ω ω ω ω ω ω ω

λ

λ

ω

λ d F Gd F dt t ged F dt t ge t jt j )()()()()()(lim

Infine passando al limite per +∞→λ nella (6), si ottiene la (4).

6. Traslazione nel tempo: Se ( ) ( )[ ]t f F ℑ=ω allora

( )[ ] ( )[ ]t f et t f t j

o ℑ=−ℑ− 0ω .

Esempio. Sia T un numero reale assegnato, allora

i) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ω ω

ω ω

2sin

222

2

T et I et I T t ut u

T T j

T

jT T

−−=ℑ=−ℑ=−−ℑ

ii) Sia

( )

+−

−=

220π π

π π t I t I t x

allora

( ) ( )[ ] 02

sin2

2sin222

0 ≠

−=ℑ

−=

−

ω π

ω ω

π ω ω π

π ω

π ω

jt I ee X j j

da cui

( )

( ) ( ) 0lim0

02

sin4

00

0

20

==

≠−=

→ω

ω ω π

ω ω

ω X X

j X

iii) Sia( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111 2220 −+−−=−= t I t I t t I t t x

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


60

allora

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) .2lim0

0sin2sin2cos2

sin2

00

0

2

2220

==

≠

+

−=

+ℑ=ℑ+ℑ=

→

−

−−−−

ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω

ω

ω

ω ω ω ω

X X

je

et I d

d jet I et I t e X

j

j j j j

iv) Sia

( )

++

+

+−

−+

−

−=

+−

−=

42

1

44

242

1

44

2

4

2

4

2

22

2222

0

π π π

π

π π π

π

π

π

π

π

π π

π π π π

t I t I t

t I t I t t I t t I t t x

allora

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .2

lim0

01

2cos14

2sin

2

4sin24cos4sin24sin4

2

2

00

0

2

2

44

2

440

π ω

ω πω

π ω

π ω ω

π

ω π ω

π ω π ω ω ω

π ω π

ω π ω

ω

π

π ω

π ω

π

π ω

π ω

==

≠

−−=

+

=

ℑ

++

ℑ

−=

→

−

−

X X

d d

t I ee

t I d

d jee X

j j j j

7. Traslazione in frequenza: Se ( ) ( )[ ]t f F ℑ=ω allora

)()( 00 ω ω ω

−=ℑ F t f et j .

Esempi

i) [ ] ( )12

sin1

2)( −

−=ℑ ω

ω

T t I e T

t j

ii) [ ] ( )1

2

sin

1

2)( +

+

=ℑ− ω

ω

T t I e T

t j

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


61

iii) [ ] ( )

+

+−−

−=

−ℑ=ℑ

−

)1(2

sin1

11

2sin

111

)(2

sin)( ω ω

ω ω

T T

jt I

j

eet t I T

t jt j

T .

In particolare per π 2=T :

( )[ ]( )

+

+−

−

−=ℑ

1

)1(sin

1

1sin1sin2

ω

ω π

ω

ω π π

jt t I .

Se la trasformata di Fourier è pensata come la risposta in frequenza del segnale ( )t x , le proprietà di

traslazione ci dicono che:

una traslazione nei tempi comporta una moltiplicazione per un’esponenziale complesso nelle

frequenze:

( )[ ] ( ) f X et t xt f j 02

0π −

=−ℑ .

Dualmente una traslazione in frequenza comporta una moltiplicazione per un esponenziale

complesso nei tempi:

( )[ ] ( ) t f jet x f f X 02

01 π

=−ℑ− .

8. Scalatura: L’operazione di scalatura consiste nel moltiplicare la variabile t per un numero reale

a. Il segnale ( )at x risulta dilatato per a < 1, contratto per a > 1.

Se risulta a < 0 il segnale oltre a essere dilatato è anche ribaltato nel tempo.

Inoltre la contrazione dell’asse dei tempi corrisponde a una dilatazione dell’asse delle frequenze e

viceversa, in quanto

( )[ ]

=ℑ

a

f X

aat x

1

In particolare è

( )[ ] ( ) f X t x −=−ℑ .

Infatti nel caso in cui è a < 0 si ha

( )[ ] ( ) ( ) ( )

====ℑ ∫∫∫

+∞

∞−

−∞−

∞+

−+∞

∞−

−

a

f X

ad xe

aa

d xedt at xeat x a

f ja

f jt f j 11 22

2 τ τ τ

τ τ π τ π

π

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


62

Nel caso in cui a > 0 si ha

( )[ ] ( )

=

==ℑ ∫

+∞

∞−

−

a

f X

aa

f X

aa

d xeat x a

f j 112 τ

τ τ π

Esempio

Utilizzeremo la proprietà di scalatura per determinare la trasformata di Fourier del segnale

( ) 02

exp 2

2

>

−= σ

σ

t t x

noto come segnale gaussiano. A tale scopo riscriviamo il segnale nel modo seguente

( ) ( )2

22

2

21

2exp

2

πσ πσ π π

==

−=

−acone

t t x

at


[ ] 22 f t ee

π π −−=ℑ

applicando la proprietà di scalatura si ottiene( )[ ]

2

2 1

−

−=ℑ

a

f

at e

ae

π π

quindi

2222

2

22 2 f

t

eeσ π σ π σ −

−

=

ℑ .

9. Dualità. Dal fatto che le definizioni di trasformata e antitrasformata di Fourier differiscono per

un segno all’esponente sotto il segno d’integrale, si evince che

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) f xt X f X t x −=ℑ⇒=ℑ

oppure

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω π ω −=ℑ⇒=ℑ f t F F t f 2 .

Infatti scambiando t con ω in

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


63

( ) ( ) ω ω π

ω d F et f

t j

∫+∞

∞−

=21

si ottiene

( ) ( ) dt t F e f t j

∫

+∞

∞−

=ω

π ω

2

1

da cui

( ) ( ) ( )[ ]t F dt t F e f t j

ℑ==− ∫+∞

∞−

−

π π ω ω

21

21

ovvero l’asserto.

Esempio.

i) Essendo

( )ω

ω sin21

2 =

ℑ t I

segue che

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121

2sin

22 −−+==−=

ℑ ω ω π ω π ω π uu I I

t

t .

ii) Calcolare la trasformata di Fourier del segnale

( )t

t t x

π

π sin= .

Ricordando che

( )( ) ( )[ ]t I f X

f

T f T ℑ==

π

π sin

e quindi

( )( )[ ]t I

f

f 1

sinℑ=

π

π

dalla proprietà di dualità si evince che

( ) ( )

−−

+==−=

ℑ

21

21sin

11 f u f u f I f I t

t

π

π .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


64

In altre parole la trasformata di Fourier del segnale ( )t

t t x

π

π sin= è l’impulso rettangolare unitario

nell’intervallo di frequenza che va da21

21

=−= f a f .

10. convoluzione

Applichiamo il teorema di convoluzione alle funzioni

( ) ( ) ( ) ( ) t jt jet gt eet f t

ω ω ϕ ϕ −−== 21 .

In virtù del fatto che la convoluzione di queste funzioni vale

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t gt f eduut gu f edueut geu f t t t jt jut ju j ** 21ω ω ω ω ϕ ϕ −

+∞

∞−

−−−

+∞

∞−

− =−=−= ∫∫

l’uguaglianza

( ) ( ) ( ) ( ) dt t dt t dt t t ∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

=∗ 2121 ϕ ϕ ϕ ϕ

fornisce

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫+∞

∞−

−

+∞

∞−

−

+∞

∞−

−= dt t gedt t f edt t gt f e

t jt jt j ω ω ω *

ovvero( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]t gt f t gt f ℑℑ=∗ℑ .

In altre parole: la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni ( ) ( )t get f (dove

( ) ( )t get f soddisfano le ipotesi del teorema di convoluzione) è uguale al prodotto delle rispettive

trasformate di Fourier.

11. Prodotto. Se ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t gGet f F ℑ=ℑ= ω ω allora

( ) ( )[ ] ( ) ( )ω ω π

GF t gt f ∗=ℑ2

1

ovvero

( ) ( )[ ] ( ) ( ) duuGuF t gt f −=ℑ ∫+∞

∞−

ω π 21

Infatti, per il teorema di convoluzione e per la proprietà di dualità, risulta

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )ω π ω π g f t Gt F t Gt F 22* =−ℑ−ℑ=−−ℑ .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


65

Da cui, applicando la proprietà di dualità, si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )ω ω π π GF t gt f ∗=ℑ 24 2

da cui l’asserto.

Osservazione

Quando un segnale ( )t x viene moltiplicato per un altro segnale ( )t y si dice che uno dei due segnali

modula l’ampiezza dell’altro. Inoltre se

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]t y f Y et x f X ℑ=ℑ=

allora, procedendo come sopra, abbiamo

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) η η η d Y f X f Y f X t yt x ∫+∞

∞−

−==ℑ *

a parole: La trasformata del prodotto di due segnali è data dalla convoluzione delle loro trasformate

(intese come risposte in frequenza).

Questa proprietà viene spesso indicata come proprietà di modulazione della trasformata di

Fourier.

Se poniamo ( ) ( ) ( )t yt xt z = , ponendo 0= f in

( ) ( ) ( ) ( ) η η η π d Y f X f Z edt t ze f Z

t f j

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−==

2)(

si ottiene

( ) ( ) ( ) ( ) η η η d Y X dt t yt x ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

−=


( )[ ] ( ) f Y t y −=ℑ **

si ottiene

( ) ( ) ( ) ( ) η η η d Y X dt t yt x ** ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

=

in particolare se ( ) ( )t yt x = si ha

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


66

( ) ( ) df f X dt t x ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

=22

La relazione precedente, ovvero l’ identità di Parseval ci dice che:

L’energia del segnale ( )t x può essere calcolata integrando, indifferentemente, l’energia per unità

di tempo o l’energia per unità di frequenza.

Per questo motivo ( )2

f X viene detto densità spettrale di energia del segnale ( )t x .

12. Se la successione n f di funzioni assolutamente integrabili in ( )+∞∞− , converge alla funzione

f assolutamente integrabile in ( )+∞∞− , , nel senso che

( ) ( ) ∞→→−∫+∞

∞−

ndt t f t f n 0

allora la successione delle loro trasformate di Fourier

( ) ( )[ ]t f F nn ℑ=ω

converge uniformemente su tutta la retta reale alla trasformata di Fourier ( ) ( )t f diF ω cioè

( ) ( ) +∞<<∞− → ω ω ω F F un .

Dimostrazione. Segue immediatamente dall’evidente disuguaglianza

( ) ( ) ( ) ( ) dt t f t f F F nn ∫

+∞

∞−

−≤− ω ω .

Altri esempi

4. Sia 0>k e

( )

<−

=

>

=

−

0

00

0

t e

t

t e

t f t k

t k

allora

( )[ ] 02

22 → +

−=ℑ−∞→ω ω

ω

k jt f

Infatti, essendo ( )t f dispari ( ) ( )t f t f è =−− , si ha

( )[ ] ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

−−

+−=−==ℑ

022

2sin2ω

ω ω ω

k jdt t e jdt t f et f

t k t j .

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


67

Inoltre risulta

( ) ∫ ∫∞+

∞−

∞+

−

−

<−

=

>

=+

=

+−=

02222

0

00

0sin22

21

t e

t

t e

d k

t d

k jet f

t k

t k

t j ω ω

ω ω

π ω

ω

ω

π

ω

In virtù dell’identità di Parseval si ottiene

( ) 4

1

0222

2 π ω

ω

ω

k d

k ∫

+∞

=+

.

Infatti è

( )

k

dt edt t f t k 1

2

0

22==∫ ∫

+∞

∞−

+∞

−

quindi

( )( ) k

d k

d F 14

21

022

22

=+

= ∫∫+∞+∞

∞−

ω ω

ω

π ω ω

π .

Si osservi che

( ) ( ) k k j j jk F s jd k

1

4

1

4Re2

22222

2

===+∫

+∞

∞−π π ω ω

ω

π

Dove

( )( )

( )( ) k jk d

d k j

k d

d jk F s

k jk j 41

limlimRe 222

2

22

2

=+

=

−

+=

→→ ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω .

5. Sia ( ) 0>=−

k et f t k .

Allora

[ ] 22

2ω +

=ℑ−

k

k e

t k .

Infatti

[ ] 220

2cos2

ω ω ω

+===ℑ ∫∫

+∞

−

+∞

∞−

−−−

k

k dt t edt eee

t k t k t jt k .

Inoltre risulta

∫∫+∞+∞

∞−

−

+=

+=

02222 cos

2221

ω ω ω π

ω ω π

ω d t

k

k d

k

k ee

t jt k

8/8/2019 ------- ANALISI 2 --------


68

da cui

( ) 0,2

cos

0

22 >+∞∞−∈=+

−

+∞

∫ k et ek

d k

t t k π ω

ω

ω .

Segue che

( )∫+∞

>=+0

322 04

k k k

d π

ω

ω .

Si osservi che

( )( ) 3222 2

Re2k

k jF s jk

d π π

ω

ω ==

+∫

+∞

∞−

( )( ) 32 8

21limRe

k jk jd

d k js

k j+=

+=

→ ω ω ω

6. Sia

( )

>

<−

=

10

11 2

t

t t

t f

allora

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =

+−=−===ℑ ∫∫∫

+∞

∞−

−

1

0

21

0

2 sin2sin

12cos12 dt t t t

t dt t t dt t f eF t f t j ω

ω ω

ω ω ω ω

( )ω ω ω ω ω

ω

ω ω

ω

ω cossin

4sin1cos43

1

0

1

0

−=

+−=

t t t .

Inoltre da

( ) ( ) ( )∫∫+∞+∞

∞−

−==

03 cossin

cos421

ω ω ω ω ω

ω

π ω ω

π

ω d

t d F et f

t j

segue che

π π

ω ω

ω

ω ω

16

3

4

3

42cos

cossin

03 ==

−∫

+∞

d

Infine l’identità di Parseval fornisce la relazione seguente

( ) ( )∫∫+∞ −

=−

06

21

0

2 sincos2812 ω ω

ω ω ω π

d dt t

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69

da cui

( )15

sincos

06

2π

ω ω

ω ω ω =

−∫

+∞

d .

TRASFORMATA DI FOURIER DI SEGNALI DISCRETI

Quando all’ingresso di un sistema discreto si applica la sequenza di esponenziali complessi

( ) T n f j

n enT x xπ 2

==

la risposta (l’uscita) n y del sistema è data dalla somma di convoluzione tra il segnale

d’ingresso n x e la risposta all’impulso nh :

( )∑+∞

−∞=

−=∗=

k

k nT f j

k unn ehh x yπ 2

da cui

( ) ∑+∞

−∞=

−==

k

k T f j

k

T n f j

n ehenT y yπ π 22

a parole: La risposta del sistema è data dal prodotto del segnale d’ingresso per il numero

complesso

( ) ∑+∞

−∞=

−=

k

k T f j

k eh f H π 2

Da cui: L’uscita è un esponenziale complesso con la stessa frequenza f dell’ingresso ma con fase

iniziale ϕ ed ampiezza A differente; è

( )ϕ π ϕ +== nT f j j

nne Ae A x y

2

Al variare di f tra ∞+∞− e , la funzione complessa

( ) ∑+∞

−∞=

−=

n

nT f j

n eh f H π 2

che caratterizza il sistema nel dominio delle frequenze prende il nome di trasformata di Fourier

della sequenzan

h .

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In generale

( ) ∑+∞

−∞=

−=

n

nT f j

n e x f X π 2

prende il nome di trasformata di Fourier della sequenza ( )nT x xn = .

La trasformata di Fourier di un segnale discreto è una funzione continua e periodica di periodo T 1

in f . Inoltre ha la stessa forma dello sviluppo in serie di Fourier del segnale continuo ( ) f X

periodico e di periodo T 1 in f . Pertanto i campioni n x della sequenza non sono altro che i

coefficienti di Fourier definiti dalla relazione

( )∫−

=

T

T

nT f j

n df e f X T x

21

21

2π

La relazione precedente è detta trasformata inversa di Fourier oppure antitrasformata di Fourier

di una sequenza, essa esprime la sequenza in funzione della sua trasformata.

Proprietà

1. Valore nell’origine.

i) La trasformata in 0= f è uguale alla somma dei campioni della sequenza:

( ) ∑+∞

−∞=

=n

n x X 0

ii) Il valore del campione in 0=n , cioè 0 x è dato dal prodotto di T per l’integrale della trasformata

calcolata su un periodo :

( )∫−

=

T

T

df f X T x

21

21

0

2. Traslazione.

i) [ ] ( ) f X e xnT f j

nn0

0

2π −

−=ℑ

ii) ( ) ( )0

2 0

f f X n xe

nT f j

−=ℑ

π

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i) Una traslazione nei tempi comporta una moltiplicazione per un esponenziale complesso nelle

frequenze.

ii) Una traslazione nelle frequenze comporta una moltiplicazione per un esponenziale complesso

nei tempi.

3. Modulazione.

La trasformata del prodotto di due sequenze nnn y x z = è data dalla convoluzione, calcolata su un

solo periodo, delle trasformate ( ) ( ) f Y e f X :

( ) ( ) ( )

∫−

−=

T

T

d f Y X T f Z

21

21

ϕ ϕ ϕ

Infatti, si ha

[ ] ( )( ) ( )

∫∑∑ ∑ ∫

−

+∞

−∞=

−−∞+

−∞=

∞+

−∞= −

−−=

===ℑ

T

T

n

nT f j

n

n n

T

T

nT f j

n

nT jnT f j

nnnn

d e y X T e yd e X T e y x y x

21

21

221

21

222 ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ π

π ϕ π π

( ) ( )∫−

−=

T

T

d f Y X T

21

21

ϕ ϕ ϕ

L’espressione

( ) ( ) ( )∫−

−=

T

T

d f Y X T f Z

21

21

ϕ ϕ ϕ

è detta convoluzione circolare o periodica e sarà indicata con il simbolo ⊗ :

( ) ( ) ( ) f Y f X f Z ⊗= .

4. Densità spettrale di energia.Se ( ) [ ]n x f X ℑ= allora l’energia della sequenza n x si può calcolare sia sommando i quadrati dei

moduli dei campioni della sequenza sia moltiplicando per T l’integrale del quadrato del modulo

------- ANALISI 2 --------

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