Geometria piana

Veronica Gavagna

E

Albachiara Trapanese

http://online.scuola.zanichelli.it/bergamini-files/Biennio/Schede-lavoro/bergamini_scheda_lavoro_triangoli.pdf

Disegna un triangolo. Quante e quali informazioni relative ai suoi elementi (angoli e lati) devi mandare in un SMS a un amico perché possa disegnare un triangolo congruente al tuo?

Le misure di due soli elementi sono sufficienti per disegnare un triangolo congruente a quello dato? Proviamo con

a) Due lati

b) Un lato e un angolo

c) Due angoli

Due soli elementi non bastano. Provate a trovare un controesempio per ognuno dei tre casi.

E tre elementi bastano?

d) Due lati e l’angolo compreso

e) Due lati e uno degli angoli

non compreso

f) Un lato e due angoli adiacenti

g) Un lato e due angoli, uno adiacente e uno no

k

Attenzione! Potrebbe sembrare che ci si possa ricondurre banalmente al caso precedente, ma non è proprio così

e) Tre lati

f) Tre angoli

In conclusione, sono nei casi d) f) e) possiamo costruire un triangolo congruente a quello dato. Questi equivalgono ai tre criteri di congruenza

1. Se due triangoli hanno due lati uguali e l’angolo tra di esse compreso, allora i triangoli sono congruenti

2. Se due triangoli hanno un lato uguale e gli angoli ad esso adiacenti, allora sono congruenti

3. Se due triangoli hanno i tre lati uguali allora sono congruenti

Vediamo la versione degli Elementi di O.Byrne (1847) «in which coloured diagrams and symbols are used instead of letters for the greater ease of learners»

consultabile

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

Scaricabile e consultabile

http://archive.org/details/firstsixbooksofe00byrn

Il primo criterio

di congruenza

è la

proposizione 4

del libro I degli

Elementi di

Euclide.

Come possiamo definire un

poligono?

Secondo voi, quali tra le

regioni piane visualizzate

in figura sono poligoni e

quali no?

In realtà, potremmo dare una definizione

che li possa comprendere tutti, ma

potrebbe rivelarsi «inopportuno dare

definizioni troppo generali di poligono (o di

qualsiasi altro ente matematico) se si

prevede di farne uso solo in casi molto

particolari» (Villani 2006, p.244)

Potrebbe andare bene definire il poligono

come una regione limitata del piano il cui

bordo è formato da una spezzata chiusa

non intrecciata.

Un poligono si dice regolare se ha tutti gli

angoli e i lati uguali.

E dunque un poligono è non regolare

(irregolare) quando ha

a) Tutti i lati e gli angoli tra loro disuguali

b) Tutti gli angoli uguali ma i lati disuguali

c) Almeno una coppia di lati disuguali e

almeno una coppia di angoli disuguali

d) Almeno una coppia di lati disuguali

oppure almeno una coppia di angoli

disuguali

La risposta giusta è la d)

Se un poligono ha tutti i lati uguali, ha

necessariamente anche tutti gli angoli

uguali?

No, si veda ad esempio il rombo

E se ha tutti gli angoli uguali, ha

necessariamente anche tutti i lati uguali?

No, si veda ad esempio il rettangolo

Quanto misurano gli angoli dei poligoni regolari?

Cominciamo a considerare un poligono qualsiasi

Se consideriamo un poligono di n lati e un punto P interno al poligono, possiamo congiungere P con i vertici del poligono e ottenere tanti triangoli quanti sono i lati n. Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto (𝜋), se moltiplichiamo 𝜋 per n otteniamo la somma degli angoli interni di un poligono più un angolo giro in P (2 𝜋),

Quindi

La somma angoli interni di un poligono è

𝑛𝜋 − 2𝜋 = 𝜋 𝑛 − 2

Se il poligono è regolare, i suoi n angoli sono uguali e allora, detta 𝛼𝑛 l’ampiezza di uno di questi, si avrà

𝛼𝑛 =𝜋(𝑛 − 2)

𝑛

Se misuriamo in gradi

𝛼𝑛 =180°(𝑛 − 2)

𝑛

Quanto misurano gli angoli di un triangolo

equilatero (𝛼3)?

E di un quadrato (𝛼4)?

E di un pentagono (𝛼5)?

E di un esagono (𝛼6)?

Studio degli angoli:leTassellature http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&sc=270,576

Quali

poligoni

regolari

possiamo

usare per ricoprire

un pavimento

senza buchi?

Tassellatura con

poligoni regolari

Se vogliamo tassellare il piano con un solo

poligono regolare, per evitare che si formino

buchi, è necessario che la misura di uno dei

suoi angoli (tutti uguali!!) sia un divisore di

360°.

Quindi avremo:

60° - Triangolo equilatero

90° - Quadrato

120°- Esagono regolare

Tassellature con più di un

poligono regolare

Esagono regolare + triangolo equilatero

Quadrato +

triangolo equilatero

Esagono + triangolo equilatero + quadrato

Tabelle riassuntive

Tassellature con figure quasiasi

E’ possibile tassellare il piano con figure qualsiasi?

Non sempre: vedremo come tassellare il piano con triangoli e quadrilateri dopo aver parlato di simmetria.

Questo argomento presenta molti legami con l’architettura e l’arte in genere: basta vedere le immagini in http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&sc=270,576

Per un’attività didattica realizzata in I media (ma attuabile anche nella classe V della primaria) si veda il primo articolo di

http://www.mathenjeans.it/dossier/XlaTangente_21.pdf

Esempi di tassellature L’Alhambra La Certosa di

Calci

L’alveare

Escher

Le regole del gioco sono

queste:

Dovete usare tutti i 7

pezzi per formare

un’immagine.

I pezzi si devono toccare

ma non sovrapporre!!

Iniziamo a

costruirlo

A proposito di equiscomposizione.

Il Tangram

Gioco interattivo con il tangram http://www.math.it/tangram/tangram.htm

COSTRUZIONE DEL TANGRAM

Il tangram si costruisce a partire da un foglio quadrato (dimensioni: mezzo DIN A4), da piegare e tagliare lungo la diagonale, formando due triangoli rettangoli isosceli

Il primo dei due rettangoli viene piegato e tagliato lungo la mediana principale formando due triangoli isosceli rettangoli (le figure 1 e 2 del tangram).

Tali figure possono essere analizzate e classificate.

L'altro triangolo viene piegato e tagliato per la parallela all'ipotenusa passante per i punti medi dei cateti: si ottiene un triangolo rettangolo isoscele (figura 3 del tangram) e un trapezio isoscele.

Il trapezio viene piegato e diviso lungo la mediana, a formare due trapezi rettangoli congruenti.

Il primo trapezio viene diviso a fomare un quadrato (figura 4 del tangram) e un piccolo triangolo isoscele rettangolo (figura 6 del tangram).

Il secondo trapezio viene piegato e diviso a formare un parallelogrammo (figura 5 del tangram) e un piccolo triangolo isoscele rettangolo (figura 7 del tangram).

Cosa possiamo dire?

Le figure sono formate dagli stessi «PEZZI»

Definizione: Due poligoni si dicono EQUISCOMPONIBILI se

possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra

loro congruenti

Ma allora cosa hanno in comune?

Hanno la stessa…. ESTENSIONE

Definizione: Due poligoni si dicono EQUIESTESI (o

EQUIVALENTI) se sono equiscomponibili

Se due poligoni sono equiestesi allora sono congruenti? NO!

Sono equiestesi ma non congruenti

Se due poligoni sono congruenti allora sono equiestesi? SI!

CONGRUENTI EQUIESTESI

EQUIESTESI CONGRUENTI

Le due figure qui riprodotte sono equiscomponibili ?

Contiamo i quadretti …..

Le due figure non sono per niente equiscomponibili (come sembrava). In

realtà, se proviamo a scomporre il quadrato e quindi a ricomporlo per

formare il rettangolo, compare una sottile fessura a forma di

parallelogramma avente l’area esattamente di un quadretto!

In geometria occorre ….. dimostrare

I due triangoli

sembrano

equiscomponibili

ma non equistesi…

Possibile??

Potete vedere la soluzione (in forma di laboratorio per la I media) in Un quadretto in più o in meno http://www.mathenjeans.it/dossier/XlaTangente_21.pdf

Dimostriamo che il parallelogramma ABDC è equiesteso al rettangolo EGDC

Teorema. Ogni parallelogramma è equiesteso ad un rettangolo avente la stessa

base e la stessa altezza.

Come sono il triangolo ABC e il rettangolo AEDB? Sono EQUIESTESI

Dimostriamolo…

Teorema. Ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di ugual base e metà

altezza

Come sono i triangoli in figura?

Teorema. Ogni trapezio è equiesteso ad un triangolo che ha per base la

somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza

Teorema. Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equiesteso ad

un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il

raggio della circonferenza.

Dimostrazione

Teorema. Ogni poligono di n lati è equiesteso ad un poligono di n-1

lati.

𝑛 = 6

𝑛 = 5

Sono equiestesi? Dimostriamolo..

Un poligono con 6 lati Un poligono con 5 lati È equiesteso

Un poligono con 4 lati Un poligono con 3 lati

Ma ogni triangolo è equiesteso ad un…..

Un poligono con 5 lati Un poligono con 4 lati

Teorema. Ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo.

Il (cosiddetto) Primo Teorema di Euclide

Teorema. In ogni triangolo

rettangolo il quadrato costruito su

un cateto è equiesteso al rettangolo

che ha per lati l’ipotenusa e la

proiezione del cateto stesso

sull’ipotenusa.

Dimostriamolo…

Traduzione dalla Geometria all’Algebra

Teorema. In ogni triangolo

rettangolo il quadrato costruito su

un cateto è equiesteso al rettangolo

che ha per lati l’ipotenusa e la

proiezione del cateto stesso

sull’ipotenusa.

𝑨𝑪𝟐 = 𝑨𝑯 ∙ 𝑨𝑩

Il teorema di Pitagora

Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L’uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.

Il teorema di Pitagora

è di Pitagora ?

Pitagora (Samo 575 a.C.–

Metaponto 495 a.C)

Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina

Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete

Il teorema di Pitagora

è di Pitagora ?

• Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora

• Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro

Come quando Pitagora scoprì la famosa figura

Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi

Altra testimonianza importante è il seguente passo di Proclo:

Proclo Diadoco (V sec) In primum Euclidis Elementorum libri commentarii

Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l’autore degli Elementi (Euclide, NdR) non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…

E dunque…

Il teorema di Pitagora

è di Pitagora ?

• Proclo è scettico sull’attribuzione a Pitagora del teorema

• Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide

Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale potesse essere. E’ improbabile che il teorema di Pitagora sia ascrivibile a Pitagora…

Possiamo congetturare

un’attribuzione?

Prima di tutto dobbiamo distinguere fra

teorema e regola Il teorema è accompagnato da una dimostrazione (e

questa è una caratteristica peculiare della matematica greca), mentre la regola non lo è necessariamente.

Sotto questo aspetto, la «regola di Pitagora» era certamente nota fin da tempi molto antichi: certamente veniva usata nella civiltà babilonese. Abbiamo infatti alcune testimonianze:

Civiltà babilonese

Abbiamo almeno quattro tavolette riconducibili alla «regola di Pitagora» 1. Tavoletta Yale 7289 (1900 a.C.-1600 a. C.)

2. Tavoletta Plimpton 322 3. Tavoletta di Susa 4. Tavoletta Tell Dhibayi

La dimostrazione del teorema

Nel sito http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

si possono trovare 92 dimostrazioni del Teorema di Pitagora

non sono «da studiare»…. ;)

Per chi non fosse ancora soddisfatto, veda Elisha Scott Loomis,

The Pythagorean proposition (ristampa, 1968)

397 dimostrazioni

La dimostrazione del teorema

Il caso del triangolo rettangolo isoscele

si “vede” immediatamente

Il Menone di Platone

• Socrate. Coloro che se intendono chiamano questa linea diagonale sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l’area doppia.

• Ragazzo – Certamente, o Socrate

Il Teorema di Pitagora

Teorema. In ogni triangolo

rettangolo il quadrato costruito

sull’ipotenusa è equiesteso alla

somma dei quadrati costruiti sui

cateti.

ATTENZIONE!!

Per somma di quadrati

intendiamo la figura

formata dall’unione dei

due quadrati non

sovrapposti

Dimostriamolo con il primo Teorema di Euclide…

Byrne’s edition

Dimostrazione di Henry Perigal

Dimostrazioni con figure equiscomponibili

Altra dimostrazione

Dimostrazione del Teorema Di Pitagora

𝑄 𝑄

𝑄1

𝑄2

𝑄3

𝑇

𝑇

𝑇

𝑇 𝑇

𝑇

𝑇 𝑇

𝑇

𝑄1

𝑄3

𝑄2

Ma siamo proprio sicuri che 𝑄1 sia sempre un quadrato? O dipende dagli angoli di 𝑇? Non dovremmo DIMOSTRARLO per esserne davvero certi?

Formulazione algebrica del Teorema di Pitagora

In ogni triangolo rettangolo, indicata con c la lunghezza dell’ipotenusa, e

con a e b le lunghezze dei cateti si ha:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Il Teorema di Pitagora nell’arte

Piet Mondrain,

Composizione con rosso blu e

giallo,1930

Theo Van Doesburg,

Controcomposizione V, 1924

=

Pare che il Teorema (o la regola?)

di Pitagora fosse già noto anche in

Cina (1500-1000 a.C.) sotto il

nome di Teorema Kou Ku

Questo diagramma chiamato

HSUAN-THU rappresenta

quattro triangoli rettangoli

aventi i lati di lunghezza 3,4 e 5 e

un quadrato grande di lato 7.

Problemi tratti da Pier Maria Calandri, Aritmetica (1491)

Abbiamo visto e dimostrato che in un

triangolo rettangolo, il quadrato costruito

sull’ipotenusa è equiesteso ai quadrati

costruiti sui cateti.

E se costruissimo figure diverse dai

quadrati? Il teorema continuerebbe a

valere?

Figura tratta da A.Cerasoli, Mr Quadrato, Sperling e Kupfer

Il teorema di Pitagora «generalizzato»

Se sui cateti di un triangolo rettangolo

costruiamo due figure simili (che si possono ottenere l’una dall’altra con ingrandimenti o

rimpicciolimenti) e similmente poste allora la

figura simile e similmente posta che si

costruisce sull’ipotenusa è equiestesa alle due

precedenti

Su questo teorema si basano alcuni puzzle pitagorici interattivi (dalla mostra Pitagora e il suo teorema, http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/primapagina.php) che si trovano alla pagina

http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/giochi/p1%20-%202/giochi.php

Il (cosiddetto) Secondo teorema

di Euclide

Teorema. In ogni triangolo rettangolo

il quadrato costruito sull’altezza

relativa all’ipotenusa è equiesteso al

rettangolo che ha come lati le proiezioni

dei due cateti sull’ipotenusa.

𝑄1

𝑄2

𝑄3

𝑄2

𝑄3

𝑅

𝑄2 = 𝑄1+ 𝑄3 𝑄2 = 𝑄3+ 𝑅

𝑄1 = 𝑄2 − 𝑄3 𝑅 = 𝑄2 − 𝑄3

𝑄1 è equiesteso ad 𝑅

Formulazione algebrica del Secondo Teorema di Euclide

Teorema. In ogni triangolo rettangolo

il quadrato costruito sull’altezza

relativa all’ipotenusa è equiesteso al

rettangolo che ha come lati le proiezioni

dei due cateti sull’ipotenusa.

𝑪𝑯𝟐 = 𝑨𝑯 ∙ 𝑯𝑩

Il primo Teorema di Euclide permette di costruire, dato un rettangolo, un

quadrato ad esso equiesteso.

Dal Rettangolo al quadrato

𝑨𝑳𝟐 = 𝑨𝑫 ∙ 𝑨𝑩

Ogni rettangolo è

equiesteso ad un

quadrato

Ogni poligono è

equiesteso ad un

quadrato

Ogni poligono è

equiesteso ad un

rettangolo

Ogni rettangolo

è equiesteso ad

un quadrato

Definizione. L’ AREA di un poligono coincide con l’area del quadrato ad

esso equiesteso

• L’AREA è un numero reale positivo.

• Tutti i poligoni equiestesi hanno la stessa area.

Ritroviamo le vecchie formule…

• dell’area di un triangolo

• - dell’area di un parallelogramma

• - dell’area di un trapezio

• - dell’area di un poligono regolare di n lati.

Esercizi

Si consideri un triangolo A i cui lati

misurano 3 cm, 2 cm e 10 cm e un triangolo B

i cui lati misurano 4 cm, 5 cm e 3 cm.

• Quale dei due triangoli non è costruibile e

per quale motivo?

• Siano A, B, C i vertici del triangolo

costruibile, che ora chiameremo ABC. Si

può affermare con sicurezza che ABC è un

triangolo rettangolo? Perché?

Esercizi In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato LMNO. I segmenti DO, CN, BM e AL sono uguali fra loro e ciascuno di essi misura 2 cm. Quanto misura l’area del quadrato LMNO?

• Il segmento OM divide il quadrato ABCD in due parti uguali? Perché?

• Che tipo di quadrilatero è AMOD? Quanto misura la sua area?

Esercizi

Qual è l’ampiezza di un angolo interno di un

poligono regolare di dodici lati (dodecagono)?

E’ possibile tassellare un piano usando dolo

piastrelle a forma di dodecagono regolare? In

caso negativo, si costruisca una tassellatura

usando dodecagoni regolari e un altro (o

altri) poligoni regolari.

Esercizi In figura è rappresentato il rettangolo ABCD con le sue diagonali. Qual è il rapporto tra il triangolo grigio e l’intero rettangolo?

Siano 1 cm e 3 cm le lunghezze dei lati del rettangolo: qual è la lunghezza della diagonale? Che tipo di numero è quello che rappresenta la lunghezza della diagonale? Può essere espresso in forma frazionaria? In che modo?

Materiale per l’insegnamento

1. Un sito molto interessante è Matematita http://www.matematita.it/index.php?NL=en

In particolare, viene proposto un laboratorio sulle forme geometriche per la scuola primaria http://specchi.mat.unimi.it/matematica/forme1.html

2. UMI - Matematica 2001. Nucleo: Lo spazio e le figure. Schede con attività per la scuola primaria http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/seconda/spazio/elementari.pdf

Riferimenti bibliografici

Vinicio Villani, Cominciamo dal punto, Bologna , Pitagora 2006

R. Zan, Dispense geometria 14 maggio 2008

http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIVORNO/MATEMATICA/Dispense_geometria_14maggio08.pdf