Torniamo al terzo problema.

• Vi è mai capitato di andare in libreria alla ricerca di un libro, cercare tra gli scaffali e non trovarlo...

• Allora chiedete al libraio, specificando titolo, autore, casa editrice.

• Controlla su un terminale e dice: “Mi spiace, non lo trovo nell’elenco. Dev’essere uscito dal catalogo...”.

La soluzione?

Andare in libreria con il codice ISBN!

Che cos’è il codice ISBN?

International Standard Book Number

Il codice ISBN

• è un codice internazionale;• individua univocamente un libro in tutto il mondo;• è un numero di 10 cifre che viene applicato ad

ogni volume edito ufficialmente in tutto il pianeta;• è uguale su ogni copia dello stesso libro;• viene assegnato poco prima della pubblicazione,

per poter essere stampato su una delle prime pagine del libro (e spesso sulla copertina).

L’ISBN rende ufficiale una pubblicazione, assicurando che il libro sia inserito nel circuito dell’editoria di tutto il mondo.

Quindi ogni libraio, consultando il catalogo distribuito dall’Agenzia ISBN, può trovare tutti i dati del libro che voi cercate (e magari ordinarlo per voi...).

Come è fatto questo codice?

Osserviamo che ci sono 4 numeri (cioè gruppi di cifre) separati da trattini.

Ad esempio:

ISBN 88 - 17 - 11582 - 7

Ma ogni numero ha un significato...

Vediamo esattamente...

10 cifre divise in 4 gruppi:

AA - BBB - CCCC - K

nazione(da 1 a 5 cifre)

editore(da 2 a 6 cifre)

titolo(a completare)

???(1 cifra)

Ad esempio:sul frontespizio di un mio libro leggo

ISBN 88 - 17 - 11582 - 7

che significa:

Italia EditoreRizzoli

“Inglesi”di

Beppe Severgnini

???

Quale significato ha l’ultima cifra?

• Facciamo attenzione a quanto detto all’inizio: il codice ISBN identifica inequivocabilmente un libro.

• E se qualcuno facesse un errore? Richiedendo un libro da un negozio ad una casa editrice... O in uno scambio tra una biblioteca e un’altra... O digitando il codice per ordinare un libro via Internet...

Questo è il punto!L’ultima cifra serve a controllare che non ci siano errori!!!

L’idea è semplice, ma intelligente.

Come al solito, dietro c’è un po’ di

MATEMATICA...

Le prime 9 cifre sono l’identikit del libroe quindi fissate.

E la decima? Se denotiamo le 10 cifre con

€

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 +10x10 ≡ 0€

x1,x2,x3, x4 ,x5, x6,x7,x8, x9,x10

x10 è scelta in modo che

modulo 11.

Controlliamo nell’esempio di prima:ISBN 88 - 17 - 11582 - 7

8+ 2(8) + 3 (1) + 4 (7) + 5 (1) + 6 (1) + 7 (5) + 8 (8) + 9 (2) =

... = 183

(manca l’ultimo addendo... era finito lo spazio!)

183 + 10(7) = 253.

Ma in Z11 = {[0], [1], [2], ..., [10]} si ha che:

[253] = [23 ·11] = [0].OK!

Giusto per fare esercizio...

Vediamo quanto vale la classe dei primi nove addendi della somma precedente:

€

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 =183

e in Z11:

[183]=[16 · 11 + 7] = [7].

Ma x10 = 7 !!!

Idea!Non sarà forse vero in generale?Se così fosse, sarebbe un modo semplice per determinare la cifra di controllo x10!Infatti basterebbe calcolare il più piccolo rappresentante della “somma dei 9 addendi”, in Z11...

Proviamo a dimostrarlo.

La nostra idea è la seguente: per semplicità indichiamo con S la somma dei primi nove addendi, cioè

€

S = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9

se S + 10 x10 0 (mod 11) allora S x10 (mod 11)

E se fosse ancora più generale? E vero anche il viceversa?

Azzardiamo una “congettura”!

Siano [s], [x] Z11. Allora vale il seguente fatto:

[s+10x] = [0] [s]=[x].

Proviamo a dimostrarlo.

[s+10x] = [0] s+10x = 11k , per qualche k Z.

Sommando ad ambo i membri (-11x) si ottiene una uguaglianza equivalente, cioè:

s + 10x = 11 k s + 10x - 11x = 11k -11x s - x = 11(k - x).

Ma ciò equivale a essere [s]=[x], come volevamo.

E ora un facile esercizio.

• Un nostro amico ci chiede di ordinare via Internet il libro “Applied abstract Algebra” di K.H. Kim - F.W. Roush.

• In tutta fretta, scrive su un pezzo di carta:ISBN 0 - 85312 - 56? - 5

• Ma la nona cifra è illeggibile: può essere un 8 o un 3...

CHE FARE?

Beh, non resta che controllare...Calcoliamo la somma escluso il nono addendo:

0+ 2(8) + 3 (5) + 4 (3) + 5 (1) + 6 (2) + 7 (5) + 8 (6) + 9 (no) + 10 (5) = 16+15+12+5+12+35+48+50 = 193

• Se il nono addendo fosse 8, allora S = 193 + 9(8) = 265.

• Se il nono addendo fosse 3, allora S = 193 + 9(3) = 220.

Allora calcoliamo:

[265]11 = [24 ·11]11 + [1]11 = [1]11 in Z11, mentre

[220]11 = [20 ·11]11 = [0]11 in Z11.

Dunque la cifra illeggibile era 3!!!

Conclusione:l’aritmetica delle classi di resto

serve anche ai librai, bibliotecari, lettori

e magari a chi acquista libri in Internet...

Forse non la conoscono...

MA LA USANO!

Fine