Post on 26-Dec-2018
Tensione Compressione Taglio
I più elementari concetti di tensione e deformazione si
esplicano dall’analisi di una trave prismatica, soggetta ad una
forza assiale
Barra di traino
indeformata
deformata m-n, è una sezione trasversale all’asse - carico
La tensione normale possiede un segno: + = trazione
- = compressione
Assumendo l’uniformità della distribuzione del carico P in m-n
2 2 /
P N NPa MPa
A m mm
Dimensionalmente, si
tratta di una pressione TENSIONE
L’uniforme distribuzione della tensione assiale comporta che la risultante dei carichi sia
applicata nel baricentro della sezione – altrimenti si instaura una flessione
L’uniformità – in senso assiale – viene garantita lontano dal punto di applicazione del carico,
in corrispondenza del quale si hanno concentrazioni di tensione dipendenti tipo alloggiamento
Come regola generale, l’approssimazione è abbastanza
valida almeno ad una distanza pari alla dimensione
trasversale della barra
In conseguenza dell’applicazione del carico, la barra si allunga – accorcia di
DEFORMAZIONE adimensionaleL
I valori della deformazione sono in genere molto piccoli ~ 10-4 : 10-3
Il tipico valore considerato nello snervamento è pari a 0.2 %
Perchè la risultante deve passare per il baricentro per avere tensione uniassiale uniforme?
In il carico risultante P intercetta
sezione retta
,x y
La P causa la formazione di due momenti
rispetto al polo origine degli assi
; x yM Py M Px
Gli stessi momenti possono essere ricavati integrando la tensione su tutta l’area A
; x y
A A
M y dA M x dA
Uguagliando i momenti omologhi e portando ora fuori dall’integrale la (costante)
; A A
y dA x dA
y xA A
Che non sono altro che le coordinate del baricentro di una sezione
Esempio
Calcolare la massima tensione per effetto del peso W del contenitore e della
fune in acciaio.
L=40 m / d= 8 mm / M= 150 kg / acc = 7700 kg/m3
Soluzione:
La condizione più gravosa si avrà nel punto alto di incastro della fune ove la
tensione è somma del peso di tutta la fune e della massa utile M
maxW Mg ALg max
M ALg
A
max 2
15007700 40 9.81 29.84 + 3.02 [MPa] 32.86 [MPa]
4
Il peso fune contribuisce notevolmente alla sollecitazione e sarebbe
stato un errore trascurarlo
Qual è la lunghezza di autosostentamento di una fune in acciaio (tensione rottura 800 MPa)?
Domanda:
E di una in alluminio (all = 2700 kg/m3 tensione rottura 500 MPa)?
Lunghezza complessiva cavi = 5300 m
Sezione dei cavi = circa 1m2
Peso complessivo cavi = 166.000 t
Altezza torri = 370 m
Peso impalcato/ metro lineare = 60 t/m
PONTE SULLO STRETTO DI MESSINA ???
Qui sistema a contrappeso per tendere la fune
(non presente qui)
Qui motore traente
Nelle funivie monocavo contrappesate cambia la
tensione dei cavi in funzione dei carichi trasportati?
CARATTERIZZAZIONE MECCANICA
Esiste notevole numero di prove meccaniche atte alla caratterizzazione del
comportamento strutturale dei materiali
Esempi: durezza - metalli / danneggiamento ad urto – compositi / Prove di
resilienza
Per ogni tipologia di materiale esistono prove più o meno atte a metterne in risalto
prestazioni e caratteristiche specifiche
Lo scopo è definire i limiti di utilizzabilità di ciascun materiale
Le prove devono essere affidabili e ripetibili
Scopo delle normative e rendere i risultati indipendenti dai
“laboratori”
Esistono inoltre prove sui materiali atte a determinarne le caratteristiche e prove
tecnologiche dedicate allo studio del comportamento dei manufatti nelle reali
condizioni di utilizzo
Prove di trazione o di compressione,
prove di durezza, prove di fatica, …
Prove di piegatura, resistenza alla
punzonatura, prove di carico, …
PROVA DI TRAZIONE (STATICA)
Parametri essenziali da controllare Velocità di deformazione
Temperatura
La prova di trazione può essere eseguita in controllo di carico, o in
controllo di deformazione
Sezione rigidamente costante provino
Raccordo delle teste di afferraggio sufficientemente graduale
Centraggio accurato del provino
Fattori determinanti
Misure tipiche Avanzamento traversa
Forza istantanea
Misure di deformazione
(Misure geometriche e
morfologiche a fine prova) Misure ottiche
Le misure di deformazione possono essere fatte in due modi, in funzione del loro valore
Piccole deformazioni (fino al 3 %)
Estensimetri a resistenza (Strain gauge)
Grandi deformazioni (ben oltre il 3 %)
Estensometri meccanici
Precisi nel campo delle piccole deformazioni
e ad esempio nella misura delle proprietà
elastiche, poi si “scollano”
Inadatti alle piccole deformazioni, molto
utili nei regimi di plasticità dei materiali
Acciai duri (fragili)
Acciai dolci (duttili)
Rame o alluminio ricotto
P
Dl
Il primo diagramma che si ottiene è costituito dalla curva carico - spostamento
Fine recupero elastico completo
Tensione di snervamento
Tensione al momento rottura
Tensione massima misurata
EP
E
S
U
R
Scostamento dalla proporzionalità
Tensione di rottura
Il precedente si trasforma facilmente in curve tensione - deformazione
ingegneristiche (perché basate sui valori iniziali S0 e L0
0
ingS
P
0
ingL
LD
Evoluzione delle linee di scorrimento
in un materiale duttile Rottura a forma caratteristica
di cappa-cono materiale duttile
Acciaio duttile Acciaio fragile
Materiali duttili e fragili si caratterizzano da curve trazione – compressione a differente
sviluppo
Fase di snervamento
Fase di strizione
Visualizzazione delle linee di Lüder su un provino lucidato
Frattura duttile
Frattura duttile
Frattura fragile
al limite
L
L0
t0 L
Lln
L
dLOccorre riferirsi alle grandezze vere
(true) per grandi deformazioni
ii
1iit
L
LL
Ogni incremento di allungamento è rapportato alla lunghezza già raggiunta e non a quella iniziale
La formula precedente consente il passaggio tra tensioni
ingegneristiche (misurate) e vere (ricavate)
Come si vede dalla tabella, esse differiscono poco tra loro,
almeno finché non si sia in presenza di deformazioni rilevanti
Per quanto riguarda le tensioni vere, occorre aggiornare la sezione resistente (che si
contrae durante l’allungamento).
La contrazione laterale è infatti trascurabile all’inizio, ma poi diventa rilevante in plasticità
ln 1t ing 0 0
1ing
L L
L L
D
Ricordando che
vera ing 0.00995 0.04879 0.09532 0.18232 0.26236
0.01 0.05 0.10 0.20 0.30
In plasticità è opportuno ipotizzare che il materiale fluisca senza apprezzabili variazioni
di volume, per cui si calcola la tensione vera imponendo la costanza del volume
0 0S L SL 0 0
1t ing ing
P PL
S S L
A questo punto si può costruire il diagramma tensioni – deformazioni vere
vera
ingegneristica
Tratto di
difficile
misurazione
Le curve Tens-Def vere sono quelle da utilizzare
nel calcolo numerico delle strutture (FEM)
Gli acciai sono caratterizzati da curve che possono essere molto diverse fra loro
Differenze insorgono per effetto di:
Composizione chimica (elementi lega)
Trattamenti termici
Trattamenti meccanici
Cristallizzazioni
Invecchiamento (processi di diffusione)
Dimensione dei grani
Processi tecnologici di fabbricazione
Comportamenti non isotropi
Temperatura di prova
…
ε in %
σ (Mpa)
Alcune caratteristiche generali possono essere dedotte da analisi a fine prova (rottura)
Allungamento percentuale: 0
0
% 100finaleL L
LL
Per effetto della localizzazione dovuta al necking, nella sua definizione occorre
sempre indicare la base di misura L0 utilizzata. Valori normali intorno 20 - 30 %
Riduzione di area percentuale: 0
0
% 100finA A
AA
Riduzioni anche del 50 % sono usuali negli acciai
MATERIALI DUTTILI
Presentano rottura associata ad alti
valori di deformazione
Assorbono una buona quantità di
energia prima di fratturarsi
Presentano una rilevante deformazione
plastica
L’aspetto della frattura è fibroso
MATERIALI FRAGILI
Presentano rottura per bassi valori di
deformazione
Assorbono una scarsa quantità di
energia prima di fratturarsi
La deformazione plastica è così ridotta
che si possono quasi ricongiungere i pezzi
rotti riprendendo forma originale
MATERIALI DUTTILI
Il meccanismo di rottura è dominato
dallo scorrimento
La rottura produce una grande quantità
di calore
MATERIALI FRAGILI
L’aspetto della rottura presenta una
serie di faccette quasi lucide
Il meccanismo di rottura è dominato dal
clivaggio (distacco)
La rottura avviene in modo improvviso
Uno dei parametri chimici che più influenzano il
comportamento strutturale degli acciai è il tenore
di carbonio, aumentandolo l’acciaio diventa più
duro. (si alza la tensione di snervamento e
diminuisce il rapporto snervamento / rottura)
La velocità di deformazione rende gli acciai più
resistenti ma anche più fragili – Qualche cosa di
simile si ha anche per effetto dell’abbassamento
della temperatura
Deformare a freddo un acciaio dolce equivale a renderlo più
resistente in regime elastico – ma diminuisce sensibilmente
la sua riserva plastica
Lo si fa negli acciai per molle / nello stampaggio delle
lamiere / nei fili che costituiscono i trefoli delle funi
Nei materiali allo stato ricotto si fa un trattamento termico ad alta temperatura e di durata
tale da eliminare le tensioni residue eventualmente presenti e l’incrudimento raggiunto
Comportamento elastico e plastico
All’interno della zona di elasticità (il cui limite è il punto E),
alla rimozione del carico si ha un ritorno al punto iniziale O
In altri termini, in elasticità il comportamento è reversibile
Superato il limite di elasticità (E) lo
scarico mantiene la medesima
pendenza iniziale ma si distinguono
una deformazione elastica che si
recupera ed una permanente o residua
In molti materiali il tratto di elasticità è pressoché lineare
Se un materiale caricato plasticamente viene scaricato e poi
caricato di nuovo, esso ha subito profonde alterazioni e
segue il percorso CBF
Il materiale modificato (percorso CBF) è caratterizzato da un
limite di elasticità (B) più alto dell’iniziale (E)
Tipi di comportamento plastico considerati
Le due zone, elastica e plastica, separatamente o assieme
possono essere caratterizzate (o idealizzate) in modi differenti
E
Materiale elastico - perfettamente plastico sn sn
sn
Materiale elastico – con
incrudimento lineare
E
sn
sn plas snE E
sn
Materiale approssimato da una unica legge costitutiva
0 0 0
m
tot
0
0
1m
totE
e m sono costanti caratteristiche dei materiali
(Ramsber-Osgood)
Per gli acciai m = 5 ÷ 10 / = 0.4 ÷ 1.0
Deformabilità a caldo (creep)
Nei casi precedenti, il tempo non giocava alcun effetto – le risposte erano immediate
In alcuni materiali, spesso al di sopra almeno ¼ della temperatura di fusione, si assiste ad
un allungamento aggiuntivo funzione del tempo di applicazione del carico
Il creep può produrre un ulteriore allungamento,
lineare o non con il tempo stesso
Importante negli acciai utilizzati ad alte
temperature (esempio fasci tubieri, palette di
turbina, ..) ma anche in molte materie plastiche
Analogamente, nelle strutture inizialmente tensionate
e bloccate si assiste ad un progressivo rilassamento
Molti materiali di importanza strutturale presentano un primo tratto ad elasticità lineare
Questo è importante nella progettazione perché garantisce l’assenza di deformazioni permanenti
E Legame lineare
Acciai
Ghise
Leghe rame
Leghe alluminio
E (MPa)
206.000
(80.000 ÷ 170.000)
120.000
70.000
n
0.3
0.25
0.35
0.33
G (MPa)
80.700
(83.000 ÷ 68.000)
44.500
26.300
Valori tipici per alcuni metalli strutturali
E = modulo di Elasticità o di Young [MPa]
Lega di rame
Acciaio da costruzione
Lega d’alluminio
Gomma
1 psi= 0.00689 MPa
Legge di Hooke unidimensionale
1 ksi= 6.89 MPa
Coefficiente di Poisson
Quando una barra prismatica è tensionata assialmente,
si evidenzia anche una contrazione laterale
Se il materiale è elastico, omogeneo, isotropo, la
contrazione è proporzionale al carico applicato
laterale
assiale
n
Coefficiente adimensionale
Calcoli teorici basati sulla struttura atomica indicano valori prossimi a -1/3 come in effetti si ha
c b ac b aVV 0000 cba eeec b aV 000
Quando i metalli entrano in regime di
plasticità il coefficiente si avvicina a -0.5
In plasticità il materiale fluisce
come incompressibile
a
b
c
0
c
0
b
0
ac
cln ;
b
bln ;
a
alnDeformazioni vere:
Posto che b c a n1 2 0 n 0.5n
= 1
Cambiamento di volume (elasticità)
0 V a b c
Siamo nel caso di piccole deformazioni e
quindi si utilizza la ε ingegneristica
1 1 1deformV a b c n n
0 1 2deformV V n
0
1 2 1 2V
eV E
D n nCambiamento unitario di volume o dilatazione
Questa ultima definizione mostra come il massimo valore plausibile del coefficiente di
Poisson sia 0.5, oltre il quale si avrebbe una poco fisica riduzione del volume per effetto di
una trazione applicata!
Identificazione del comportamento alla strizione
L’ultimo tratto della curva di trazione, ove nel diagramma ingegneristico si assisteva ad una
riduzione del carico, è caratterizzato dalla accentuata localizzazione della deformazione laterale
La condizione per cui la clip (estensometro) sia proprio
nell’area di strizione è assai improbabile
f e f
Quel che si può fare è identificare il punto ultimo a rottura a
provino rotto e estrapolare con tali valori l’ultimo tratto
S0 = Sezione iniziale / Sf = Sezione finale
Misurata a fine prova
cb e e c bc b 00
a0
b0
c0
aab 2 2
0
ee e S
S n
0.5n
S
Sln 0
aff
ultf
S
F
Caratteristiche
meccaniche degli acciai
da costruzione più usati
(1)
Caratteristiche
meccaniche degli acciai
da costruzione più usati
(2)
1 GN/m2 = 1000 MPa
1 MN/m2 = 1 MPa
Tensione e deformazione di taglio
Le sollecitazioni di taglio agiscono in senso tangenziale rispetto alla superficie
Si consideri la connessione tra un tirante ed
una piastra mediante un bullone
Le forze di contatto generano una pressione media che sui lati 1 e 2 della vite calcolabili come:
1 32 tirante vite
P
s d 2
piastra vite
P
s d In pratica si utilizzano le
proiezioni delle sezioni resistenti
Dall’equilibrio della porzione di vite mnqp si evidenzia una condizione di doppio taglio nella vite:
2 2
2
4 4vite vite
V P
d d
Taglio medio
2P
Condizione di taglio singolo nel bullone
2 2 4 4vite vite
V P
d d
Taglio medio
P
Nei due esempi di taglio singolo o doppio, si tratta di applicazione diretta di taglio
Sollecitazioni su bulloni, rivetti, spine, incollaggi, chiavette, linguette
Si può riscontrare sollecitazione di taglio anche mediante applicazione indiretta in elementi
soggetti a tensione o compressione, torsione e flessione
Supponiamo che agisca una sulla faccia superiore
Equilibrio in x ne fa risultare una inferiore uguale
Equilibrio in Mz ne aggiunge lateralmente 2 uguali
Facce opposte presentano uguali ma direzioni opposte
Facce adiacenti presentano uguali con versi concorrenti o divergenti
Al taglio si accompagna una variazione di forma
evidenziabile da due angoli = /2
CONVENZIONE SUI VERSI
x
y
xx
y
y
xy
xy
yx
yx
Nella figura sono orientati
secondo le direzioni positive
Versi + secondo gli assi nelle facce a normale positiva
Versi + opposti ai precedenti nelle facce a normale negativa
Legge di Hooke nel taglio
Il materiale può essere testato a taglio direttamente o mediante ad es. prova di torsione
Se ne ricava un diagramma tensione –
deformazione di taglio del tutto analogo a
quello normale
La parte elastica lineare (Legge Hooke) è descritta dal modulo di elasticità trasversale G
G G è dimensionalmente una pressione [MPa]
Nei mat. Omogenei e isotropi le 3 grandezze che definiscono il comportamento
elastico sono legate da una relazione (2 sole sono indipendenti) 2 1
EG
n
EP
E
S
U
R
Scostamento dalla proporzionalità
Fine recupero elastico completo
Tensione di snervamento
Tensione al momento rottura
Tensione massima misurata
Questi valori sono spesso il
50 o 60 % delle rispettive
tensioni normali
Esempio
Una piastra di appoggio di macchina operatrice
esercita una spinta assiale V attraverso un inserto di
gomma. Calcolare la tensione media nella gomma e
lo spostamento orizzontale
Si è lavorato con i valori medi, ma se a >> h ciò è accettabile
Soluzione:
Si può assumere che la tensione si distribuisca
uniformemente nel tassello:
V
ab
La deformazione a taglio che ne deriva:
V
ab G
Lo spostamento orizzontale si
calcola dal triangolo della deformata
tan tan
Vd h h
ab G
hVd
ab G
Tensioni e carichi ammissibili
Le strutture sono progettate per opporsi ai carichi applicati. Ognuna può essere pensata
come caratterizzata da un carico massimo oltre il quale si ha rottura (Strength)
Il coefficiente di sicurezza, altro non è che il rapporto tra il massimo carico supportabile / il
carico richiesto nell’applicazione
n può variare moltissimo 1 - 10 Massimo carico supportabile
Carico effettivamente applicaton
Svariati possono essere i fattori che ne influenzano il valore
Variazioni nelle caratteristiche dei materiali
Effetto scala nelle caratteristiche di resistenza
Tipologia dei carichi applicati
Effetto dei processi di fabbricazione
Variazioni dovute a trattamenti termici
Condizioni d’uso e di manutenzione
Esposizione ad ambienti aggressivi/temp. non previste
Specifiche richieste per il componente (monouso, …)
Vincoli di legge
Salvaguardia della vita umana
Assunzioni semplificative introdotte nel modello
Modalità operative per il calcolo delle sollecitazioni
Considerazioni statistiche ???
Se si dispone di metodi per la determinazione degli stati di tensione nelle strutture, i carichi
ammissibili possono essere espressi in termini di tensioni ammissibili
Limite dettato dalla rottura
materiali a scarsa duttilità o fragili
rottamm
n
rott
ammn
I coefficienti di sicurezza a rottura
sono in genere poco più alti di
quelli basati sullo snervamento
Limite dettato dalla deformabilità
(snervamento) materiali duttili
snervamm
n
snerv
ammn
In sollecitazioni statiche, in
mancanza di direttive, si può
assumere n= 1.6
Nell’analisi strutturale, una verifica di resistenza corrisponde ad un problema diretto, ossia
la determinazione delle massime sollecitazioni che vengono rapportate a quelle ammissibili
L’attività di progettazione invece costituisce un problema di tipo inverso, in genere più
oneroso in quanto si compone di un certo numero di verifiche successive, fino a convergenza
Si tratta di determinare le dimensioni che garantiscono il rispetto dei limiti imposti
dalle tensioni ammissibili
Ancora più complesso è il caso dell’ottimizzazione di una struttura, ove dimensioni, forme, materiali,
sistemi di fabbricazione possono tutti variare per la determinazione della soluzione migliore
Esercizio
Una struttura composta da due elementi, AB e BC,
supporta un cartello pesante. Dimensionare la sezione
dell’elemento AB; dimensionare il diametro perno in C.
I materiali adottati consentono una tensione ed un taglio
ammissibili pari, rispettivamente, a: 125 e 45 MPa.
Soluzione:
Eliminando i vincoli, si può imporre l’equilibrio
ai momenti in C per determinare RAH
0CM
2.0 2.7 0.8 2.7 2.6 0AHR m kN m kN m
4.59 AHR kN2.0
3.06 3.0
AV AHR R kN
2 24.59 + 3.06 5.516 AB AF R kN
L’equilibrio orizzontale dell’elemento CB:
4.59 CH AHR R kN
L’ultima reazione incognita richiede eq. Momenti in B:
0BM 3.0 2.7 2.2 2.7 0.4 0CVR m kN m kN m 2.34 CVR kN
2 24.59 + 2.34 5.152 CR kN
La sezione perno in C
(doppio taglio)
2
2
2 5152 2 57.2
45 /
CpinC
amm
R NA mm
N mm
48.54
pinC
pinC
Ad mm
L’area elemento AB richiesta risulta: 2
2
5152 44.1
125 /
ABAB
amm
F NA mm
N mm
Nel calcolo si è trascurato il peso proprio struttura, altrimenti l’elemento AB sarebbe stato
soggetto anche a flessione