La linea elasticaMetodo delle forzeMetodo degli spostamenti per strutture soggette a sforzo normale

10Spostamenti di elementi strutturali e metodi di risoluzione di sistemi strutturali

5

Sforzo normaleTorsioneFlessione e TaglioVerifica e progetto di travi

24Meccanica della trave4

Tensioni DeformazioniLegami costitutivi

10Elementi di meccanica del continuo

3

Sollecitazioni internePrincipi di dimensionamentoSistemi piani e 3D

9Statica degli elementi snelli 2

Modellazione del sistemaElementi strutturali – vincoliEquazioni di equilibrio

9Statica dei sistemi meccanici1

Principali argomentiOreGruppo di lezioni

Spostamenti di travi inflesse

ObiettivoLe travi sono deformabili. L’obiettivo è di determinare gli spostamenti di tutti i punti di una trave, in modo da conoscere la sua configurazione deformata.

IpotesiEssendo la trave un elemento snello, è sufficiente conoscere gli spostamenti della linea d’asse della trave. Il moto degli altri punti della sezione trasversale seguono la cinematica stabilita nella teoria della trave; non si tiene conto dell’eventuale ingobbamento, limitandosi ad assegnare un moto rigido alla sezione trasversale.

Per travi non molto tozze (L/D > 6) (D dimensione caratteristica della sezione trasversale) è trascurabile l’effetto del taglio sulla deformazione.

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φ

ux

uy

φy

Conseguenze delle ipotesi

yO

yuyu ϕ+= 0)(uo

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Gli spostamenti di un elemento trave sono definiti dalla deformata dall’asse della trave. Si assume che le sezioni rette rimangano indeformate nel proprio piano, per cui possono traslare e ruotare rigidamente.

Ricordando che ogni punto dell’asse della trave rappresenta una sezione trasversale, il campo di spostamento dei punti di una trave è definito dalla traslazione e dalla rotazione dei punti dell’asse (centri delle sezioni trasversali), cioè dalle funzioni: )(),(),(),(),(),( zzzzwzvzu yxt ϕϕϕ

u

v

wφx

φy

φt

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Nel piano gli spostamenti significativi sono v, w, φx

w, spostamento assiale, dipende da N

)0()(0

wdzEANzw

z

+= ∫

V e φx dipendono dal comportamento flessionale, cioè dalla curvatura flessionale

M

• Relationship between bending moment and curvature for pure bending remains valid for general transverse loadings.

EIxM )(1 =

ρ

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Esaminando il concio di trave dz

χρ

ϕϕρ

==

=1

dzd

ddz

Dalla relazione cinematica della flessione è

ydz

ddz

dwy

x

xz

ϕχεε

+=

+=

0

0

Lo spostamento assiale si ottiene dallo sforzo normale

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x

x

x

x

xxxz

EIM

zv

zv

yEIMy

zy

−=∂∂

⇒

∂∂−=

=∂

∂==

2

2

ϕ

ϕχε

Ipotesi: il piano della sezione retta rimane sempre ortogonale all’asse della trave.

Ciò implica trascurare la deformazione dovuta al taglio che crea scorrimenti angolari fra il piano della sezione trasversale e l’asse della trave.

Pertanto

v(x)

dv/dx

φ

φ

ϕ−=dxdv

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• La curvatura è zero dove il momento flettente è zero, cioè alle estremità ed in E.

EIxM )(1 =

ρ

• La trave ha curvatura verso il basso dove ilmomento è positivo, e viceversa..

• La curvatura massima avviene dove il momentoè massimo.

Punto di flesso

Analisi qualitativa dell’equazione della linea elastica

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x

x

EIM

zv −=

∂∂

2

2

Equazione della linea elastica

zv

x ∂∂−=ϕcon

Equazione differenziale ordinaria lineare di II ordine.

Il problema al contorno è definito da 2 C.C. su v o sulla sua derivata. Sono 2 fra le seguenti condizioni

BB

AA

zLvvLv

zvvv

ϕ

ϕ

−=∂

∂=

−=∂

∂=

)()(

)0()0(

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Equation of the Elastic Curve

( ) 2100

CxCdxxMdxvEIxx

++−= ∫∫

• Constants are determined from boundary conditions

• Three cases for statically determinant beams,

– Simply supported beam0,0 == BA vv

– Overhanging beam0,0 == BA vv

– Cantilever beam0,0 == AAv ϕ

• More complicated loadings require multiple integrals and application of requirement for continuity of displacement and slope.

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Esempio : trave a mensola

z

y

F

EIPLLv

zzLEIPv

Cdzdv

CvCC

CzCzzLEIPv

CzLzEIP

dzdv

zLEIP

dzvd

zLPzM

3)(

62

00)0()0(

00)0(..

62

2

)(

)()(

3

32

1

2

21

32

1

2

2

2

=

−=

=⇒==

=⇒=

++

−=

+

−=

−=

−−=

ϕ

L v(L)

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Sample Problem 9.1

ft 4ft15kips50

psi1029in7236814 64

===

×==×

aLP

EIW

For portion AB of the overhanging beam, (a) derive the equation for the elastic curve, (b) determine the maximum deflection, (c) evaluate ymax.

SOLUTION:

• Develop an expression for M(x) and derive differential equation for elastic curve.

• Integrate differential equation twice and apply boundary conditions to obtain elastic curve.

• Locate point of zero slope or point of maximum deflection.

• Evaluate corresponding maximum deflection.

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Sample Problem 9.1

SOLUTION:

• Develop an expression for M(x) and derive differential equation for elastic curve.

- Reactions:

↑

+=↓=LaPR

LPaR BA 1

- From the free-body diagram for section AD,

( )LxxLaPM <<−= 0

xLaP

dxydEI −=2

2

- The differential equation for the elastic curve,

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Sample Problem 9.1

PaLCLCLLaPyLx

Cyx

61

610:0,at

0:0,0at

113

2

=+−===

===

• Integrate differential equation twice and apply boundary conditions to obtain elastic curve.

213

12

61

21

CxCxLaPyEI

CxLaP

dxdyEI

++−=

+−=

xLaP

dxydEI −=2

2

−=32

6 Lx

Lx

EIPaLy

PaLxxLaPyEI

Lx

EIPaL

dxdyPaLx

LaP

dxdyEI

61

61

3166

121

3

22

+−=

−=+−=

Substituting,

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Sample Problem 9.1

• Locate point of zero slope or point of maximum deflection.

−=32

6 Lx

Lx

EIPaLy

LLxL

xEI

PaLdxdy

mm 577.0

331

60

2==

−==

• Evaluate corresponding maximum deflection.

( )[ ]32

max 577.0577.06

−=EI

PaLy

EIPaLy6

0642.02

max =

( )( )( )( )( )46

2max

in723psi10296in180in48kips500642.0

×=y

in238.0max =y

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Caso di momento discontinuo

La soluzione dell’equazione differenziale della linea elastica è una funzione continua fino alla derivata seconda se il dato (la curvatura) è una funzione continua. Ciò avviene se il momento è una funzione continua e con derivata prima continua.

Pertanto se su una trave il momento è discontinuo (cioè se esistono punti notevoli), l’equazione della linea elastica va applicata separatamente a ciascuna parte della trave. Quindi, se sono n la parti di trave a curvatura regolare, si hanno n equazioni differenziali e n funzioni spostamento, con 2n costanti di integrazione.

Le condizioni al contorno vanno imposte sui 2n punti estremi di ciascuno degli n intervalli di integrazione, cioè, oltre la condizioni ai limiti, vanno imposte le condizioni di continuità nei punti di discontinuità ž. Queste sono del tipo:

)()(

)()(

1

1

zdzvdz

dzvd

zvzv

ii

ii

+

+

=

=

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y

z

wL/4 3wL/4

wL2/4

1 2

2

21 2244

−−== LzwzLwMzLwM

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y

z2

21 2222

−−== LzwzLwMzLwM

)()(

0)2()()(0)0(

861223434

42322222

21

2211

432

23

43

221

3

1

3

22

322

1

21

LdzdvL

dzdv

LvLvLvv

CzCzLzLzEIwz

EIwLvCzCz

EIwLv

CzLzLzEIwz

EIwL

dzdvCz

EIwL

dzdv

=

===

++

+−+−=++−=

+

+−+−=+−=

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EIwLC

EIwLC

EIwLC

L

L

EIwL

CCC

L

LL

CLCEI

wLEI

wL

CEI

wLEI

wLCEI

wL

CLCEI

wLEI

wLLCEI

wL

C

962963967

42

481200111

0243

2444

482424

0

4

4

3

3

3

1

3

4

3

1

43

44

3

33

1

3

43

44

1

42

=

=

=

=

−−−

=+++−

++−=+−

+++−=+−

=

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Direct Determination of the Elastic Curve From the Load Distribution

• For a beam subjected to a distributed load,

( ) ( )xwdxdV

dxMdxV

dxdM −=== 2

2

• Equation for beam displacement becomes

( )xwdx

ydEIdx

Md −== 4

4

2

2

( ) ( )

432

2213

161 CxCxCxC

dxxwdxdxdxxyEI

++++

−= ∫∫∫∫

• Integrating four times yields

• Constants are determined from boundary conditions.

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• L’equazione valida per flessione retta nel piano yz è

( )

( )zqdz

vdEI

zqdz

vdEIdzd

y

y

=

=

4

4

2

2

2

2

( ) ( ) 432

23

1 CzCzCzCdxxqdxdxdxzv +++= ∫∫∫∫

• La soluzione è

sezione costante

Si ha

∂∂

∂∂−

∂∂−=

∂∂−=

2

2

3

3

2

2

)(

)(

zvEI

zzvEIzT

zvEIzM

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Equazione della linea elastica di 4° ordine. Servono 4 condizioni al contorno.

In ciascun estremo della trave si devono imporre due CC, del tipo

C.C. cinematiche C.C. meccaniche

LL

LL

MLzvEIopL

zv

FLzvEIopvLv

MzvEIop

zv

FzvEIopvv

=∂∂−−=

∂∂

=∂∂−=

=∂∂−=

∂∂

=∂∂=

)(.)(

)(.)(

)0(.)0(

)0(.)0(

2

2

3

3

02

2

0

03

3

0

ϕ

ϕ

Notare i segni delle condizioni meccaniche

yz

M<0

T<0

M>0

T>0

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Statically Indeterminate Beams• Consider beam with fixed support at A and roller

support at B.• From free-body diagram, note that there are four

unknown reaction components.• Conditions for static equilibrium yield

000 =∑=∑=∑ Ayx MFF

The beam is statically indeterminate.

( ) 2100

CxCdxxMdxyEIxx

++= ∫∫

• Also have the beam deflection equation,

which introduces two unknowns but provides three additional equations from the boundary conditions:

0,At 00,0At ===== yLxyx θ

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z2

y1

P

zPz1

y2

328

2272652

314

2131211

42

4

41

4

0

0

zCzCzCCvzCzCzCCv

zvEI

zvEI

+++=

+++=

=∂∂

=∂∂

00

0)0('0)0(

)(''')0('''

)('')('')(')(')()(

00

0)0('0)0(

6

5

2

2

12

21

21

21

2

1

1

1

==

==

−=+−

−−=−=−−=

==

==

CC

vv

EIPzvv

zLvzvzLvzvzLvzv

CC

vv

P

PP

PP

PPL-zP

PTT −=− 12

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c3�P L zp 2zp

2EIL2,

c7�Pzp2 L zp

2EIL2,

c4� P L zp 2 L 2zp

6EIL3,

c8�P 3L 2zp zp2

6 EIL3

Pz1 L zp 2 L z1 2zp 2z1zp

2EIL3φ(z1) =

φ(z1) è massima dove ⇒=∂

∂ 0)( 1

Pzzϕ

zp�L2

3 L z1

e si ottiene P 2L 3z1 3z1

54EI L z1 2φ(z1) =

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Sample Problem 9.3

For the uniform beam, determine the reaction at A, derive the equation for the elastic curve, and determine the slope at A. (Note that the beam is statically indeterminate to the first degree)

SOLUTION:

• Develop the differential equation for the elastic curve (will be functionally dependent on the reaction at A).

• Integrate twice and apply boundary conditions to solve for reaction at Aand to obtain the elastic curve.

• Evaluate the slope at A.

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Sample Problem 9.3

• Consider moment acting at section D,

LxwxRM

MxLxwxR

M

A

A

D

6

032

1

0

30

20

−=

=−

−

=∑

LxwxRM

dxydEI A 6

30

2

2−==

• The differential equation for the elastic curve,

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Sample Problem 9.3

LxwxRM

dxydEI A 6

30

2

2−==

• Integrate twice

215

03

14

02

12061

2421

CxCL

xwxRyEI

CLxwxREI

dxdyEI

A

A

++−=

+−== θ

• Apply boundary conditions:

01206

1:0,at

0242

1:0,at

0:0,0at

214

03

13

02

2

=++−==

=+−==

===

CLCLwLRyLx

CLwLRLx

Cyx

A

Aθ

• Solve for reaction at A

0301

31 4

03 =− LwLRA ↑= LwRA 010

1

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Sample Problem 9.3

xLwL

xwxLwyEI

−−

= 30

503

0 1201

120101

61

( )xLxLxEIL

wy 43250 2120

−+−=

• Substitute for C1, C2, and RA in the elastic curve equation,

( )42240 65120

LxLxEIL

wdxdy −+−==θ

EILw

A 120

30=θ

• Differentiate once to find the slope,

at x = 0,

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Risoluzione di Strutture iperstatiche mediante il metodo delle forze

Il numero delle reazioni determinare supera il numero delle equazioni di equilibrio indipendenti (grado di iperstaticità = n).

Si scelgono n reazioni (iperstatiche) e si sopprimono i relativi vincoli, in modo che la struttura rimasta non abbia acquisito alcun cinematismo in più rispetto alal struttura di partenza. Sarà allora staticamente determinata

Si applicano alla struttura staticamente determinata le reazioni incognite come forze esterne.

Si impongono n equazioni di congruenza enipunti dove erano applicati i vincoli soppressi.

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