PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE incontro...

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

incontro borsistiPerugia, 27-31 Agosto, 2007

La Modellizzazione Matematica

Nella Dinamica Di Popolazione

Mimmo Iannelli

University of Trento, Italy

BioMaSCoT groupBio logical Modelling and Scientific Computing Trento

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 1/108

Due ”parole chiave”

Modellizzazione Matematica

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Dinamica Di Popolazione

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%la mediazione del modello matematico

tra teoria astratta e realt a fenomenica

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La matematica è una meravigliosa area di studio, unica in quanto ècontemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una delle poche aree di"ingresso" alla conoscenza.

Con ciò intendo dire che una competenza matematica di base è necessaria in ogni altraarea della ricerca scientifica e che, inoltre, spesso la matematica fornisce la base per losviluppo all’interno delle singole discipline scientifiche.

Nel passato abbiamo potuto verificare questo carattere della matematica nell’ambitodella fisica, ma al giorno d’oggi siamo sul punto di ottenere conquiste in altre disciplinecome la biologia, la chimica, la geologia e la scienza dei materiali, grazie alle nuovetecniche di modellizzazione applicate in questi campi.

Ma, mentre questo suo carattere unico rende la matematica indispensabile allo sviluppodella scienza, può anche renderla poco visibile nell’arena politica. ...

George E. Brown Jr.

Deputato al Congresso degli U.S.A.

Discorso tenuto il 10 gennaio 1997

alla Conferenza dell’A.M.S.

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George E. Brown Jr.

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George E. Brown Jr.

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George E. Brown Jr.

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$%REALTÀ FENOMENICA

%oggetti

matematici+ teoria + algoritmi

di calcolo

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%oggetti

di calcolo

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%oggetti

di calcolo

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Un classico della Fisica: la caduta di un sasso

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variabile di stato (posizione):x(t)

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legge fisica:a = −g

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equazione differenziale:x”(t) = −g, x(0) = h

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soluzione analitica:x(t) = − 1

2gt2 + h

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soluzione analitica:x(t) = − 1

2gt2 + h

confronto con i dati sperimentali . . .

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Mi permetto presentare alcuni studi sullacoabitazione di specie in un medesimo ambiente.Per poter trattare la questione matematicamenteconviene partire da ipotesi che, pureallontanandosi dalla realtà, ne diano un’immagineapprossimata . . . Ecco come può impostarsi laquestione: cerchiamo di esprimere con parolecome procede all’ingrosso il fenomeno; quinditraduciamo queste parole in linguaggio

matematico. Questa traduzione conduce ad equazioni differenziali. Seallora ci lasciamo guidare dai metodi dell’analisi siamo condotti moltopiù lontani di quanto potrebbero portarci il linguaggio ed ilragionamento ordinario e possiamo formulare delle leggi precisematematiche. (Vito Volterra 1927)

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Dinamica di Popolazione

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Demografia

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Demografia

Ecologia

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Demografia

Ecologia

Epidemiologia

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Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

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Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

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Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

Biologia Molecolare

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Demografia

Ecologia

Epidemiologia

Immunologia

Crescita Cellulare

Biologia Molecolare

progressionedi scala

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Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati

anno milioni tasso

1790 3,929

1800 5,308 3,5

1810 7,240 3,6

1820 9,638 3,3

1830 12,861 3,3

1840 17,064 3,3

1850 23,192 3,6

1860 31,443 3,6

1870 38,558 2,3

1880 50,189 3,0

1890 62,980 2,5

1900 76,212 2,1

popolazione americana

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Dinamica di popolazione: uno sguardo ai dati

anno milioni tasso

1790 3,929

1800 5,308 3,5

1810 7,240 3,6

1820 9,638 3,3

1830 12,861 3,3

1840 17,064 3,3

1850 23,192 3,6

1860 31,443 3,6

1870 38,558 2,3

1880 50,189 3,0

1890 62,980 2,5

1900 76,212 2,1

popolazione americana

(tasso = variazione percentuale)AA

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

Gause 1935

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Uno sguardo ai dati

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Modelli di base

Malthus, 1798 (crescita esponenziale)

dtN(t) = (β − µ)N(t)

L’equazione differenziale piu semplice (y′(x) = αy(x))

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Modelli di base

dtN(t) = (β − µ)N(t)

L’equazione differenziale piu semplice

Soluzione: N(t) = N(0)e(β−µ)t

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Modelli di base

dati@@@I

N(t) = N(0)e(β−µ)t

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Modelli di base

Modello per una popolazione

- omogenea

- isolata

- in un habitat invariante

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Modelli di base

la popolazione e omogenea (gli individui che lacompongono si possono considerare identici);

la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);

l’habitat e invariante (le risorse a disposizione dellapopolazione e le condizioni di vita cui e sottopostanon sono influenzate da fattori esterni, n e dallapropria stessa presenza).

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Modelli di base

lo stato della popolazione e descritto ad ogniistante t dal numero di individui presenti N(t);

la popolazione e isolata (non e soggetta adimmigrazione ed emigrazione);

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Modelli di base

uniche cause di variazione sono fertilit a e mortalit a;

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Modelli di base

fertilit a e mortalit a sono costanti.

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Modelli di base

formulazione del modello

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Modelli di base

dtN(t)

HHHYvariazione istantanea al tempo t

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Modelli di base

dtN(t) = βN(t)

6input: nuovi nati

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Modelli di base

dtN(t) = βN(t)

6input: nuovi nati�

��

fertilit a: numero di nuovi nati per individuo nell’unit a di tempo

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Modelli di base

dtN(t) = βN(t) − µN(t)

6output: morti

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Modelli di base

dtN(t) = βN(t) − µN(t)

6output: morti��1

mortalit a: frazione di individui che muore nell’unit a di tempo

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Modelli di base

dtN(t) = βN(t) − µN(t) = (β − µ)N(t)

N(0) = N0

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t = N0e

potenziale malthusiano

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Modelli di base

N(t) = N0e(β−µ)t = N0e

potenziale malthusiano

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Modelli di base

Il modello di Malthus non funziona sempre

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Modelli di base

Popolazione

- omogenea- isolata- in un habitat invariante

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Modelli di base

Popolazione

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Modelli di base

Verhulst, 1838 (crescita logistica)

dtN(t) = ε

1 −N(t)

potenziale malthusiano ”intrinseco”(a bassa densit a di popolazione)

��

capacit a portante�

��

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Modelli di base

dtN(t) = ε

1 −N(t)

soluzione: N(t) =KN0

N0 + (K − N0)e−εt

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Modelli di base

dtN(t) = ε

1 −N(t)

soluzionestazionaria

��

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Modelli di base

comportamento non logistico

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Modelli di base

Popolazione

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Modelli di base

Popolazione

- omogenea- isolata si manifesta una ”struttura”- in un habitat invariante

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I prototipi dell’ecologia

Equazioni di Volterra-Lotka

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Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)

Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse

ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe

la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe

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Meccanismi Fondamentali di Interazione (due specie)

Competizionedue specie sono in concorrenza per le stesse risorse

ciascuna specie produce un effetto logistico su entrambe

la crescita di una specie peggiora le condizioni di vita di en trambe

Preda-predatoreuna specie (predatore) si ciba dell’altra (preda)

la crescita della preda favorisce il predatore

la crescita del predatore sfavorisce la preda

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Competizione

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

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Competizione

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 73/108

Competizione

dtN1(t) = [ε1 − γ1(h1N1(t) + h2N2(t))]N1(t),

dtN2(t) = [ε2 − γ2(h1N1(t) + h2N2(t))]N2(t),

se fosse N2(t) ≡ 0 allora

dtN1(t) = [ε1 − γ1h1N1(t)]N1(t) = ε1

1 −N1(t)

��

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Competizione (caso h1K1 < h2K2)

equilibri(soluzioni stazionarie)di esclusione

��

XXXXXXXXXXXXXXXXXXy

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I dati di Gause

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Il Principio di Esclusione

Due specie distinte non possono occupare a lungascadenza la stessa nicchia ecologica, ma necessariamenteuna delle due specie si estingue mentre l’altra tende asaturare la nicchia.

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Preda-Predatore

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t)

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t)

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Preda-Predatore

eq. preda -

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Preda-Predatore

eq. preda

eq. predatore

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Preda-Predatore

eq. preda

eq. predatore

preda senza predatore - d

dtH(t) = ε1H(t)

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Preda-Predatore

eq. preda

eq. predatore

predatore senza preda - d

dtP (t) = −ε2P (t)

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Preda-Predatore

eq. preda

eq. predatore

incontri efficaci nell’unit a di tempo - aH(t)P (t)

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Preda-Predatore

eq. preda

eq. predatore

vantaggio nell’unit a di tempo - γaH(t)P (t)

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soluzioni periodiche

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soluzioni periodiche

equilibrio�

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perturbazione delle medie

dtH(t) = ε1H(t) − aH(t)P (t) − λH(t)

dtP (t) = −ε2P (t) + γaH(t)P (t) − λP (t)

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la pesca, la caccia, l’uso di insetticidi

producono un aumento della preda

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l’ultimo lavoro di Volterra

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La descrizione delle Epidemie

eW. O. Kermack A. G. McKendrick

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Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 92/108

S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

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S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

λ(t) =cχ

NI(t) = λ0I(t)

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S′(t) = −λ(t)S(t)

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t)

R′(t) = γI(t)

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

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S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

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S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ] I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

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S′(t) = −λ(t)S(t) S(0) = S0;

I ′(t) = λ(t)S(t) − γI(t) I(0) = I0;

R′(t) = γI(t) R(0) = R0.

I ′(t) = [λ0S(t) − γ]I(t)

S′(t) = −λ(t)S(t)< 0

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R0 =cχ

γ= numero riproduttivo di base

Paradigma di base

R0S0 ≤ 1 → estinzione dell’infezione

R0S0 > 1 → outbreak = invasione

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Lo studio di una pandemia

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Concludendo

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Concludendo

Abbiamo visto come lasciandoci ” guidare dai metodi dell’analisi siamo

condotti molto piu lontani di quanto potrebbero portarci i l linguaggio ed il

ragionamento ordinario ”

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Concludendo

I semplici modelli esaminati fanno vedere come i meccanismi che regolano

gli ecosistemi possano essere esaminati ”qualitativamente”

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 104/108

Concludendo

L’analisi ”qualitativa” (appunto) mette a disposizione i concetti di stabilit a

degli equilibri e gli strumenti per lo studio del comportamento asintotico

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Concludendo

Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e

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Concludendo

Un problema di popolazione coinvolge vari strumenti e teori e

Equazioni differenziali ordinarie (ODE)

Equazioni alle derivate parziali (PDE)

Equazioni Integro-Differenziali

Equazioni discrete (alle differenze)

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Concludendo

e ancora:

Equazioni stocastiche

Analisi funzionale

Equazioni nel campo complesso

Analisi numerica

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Concludendo

e ancora:

Equazioni stocastiche

Analisi funzionale

Equazioni nel campo complesso

Analisi numerica

. . . La matematica e una meravigliosa area di studio, unica in quanto e

contemporaneamente sia una disciplina in se stessa sia una d elle poche aree di

”ingresso” alla conoscenza.. . .

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". . . e la sua carne, cucinata come pesce erapesce buonissimo, cucinata come coniglio eraconiglio saporito, come lepre o altra cacciagioneera lepre e altra cacciagione . . . "

Italo Calvino, Fiabe Italiane

Sperso per il mondo (fiaba siciliana)

Perugia, 27-31 Agosto, 2007 – p. 110/108

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