Progetto Lauree Scientifiche

DINAMICA DI POPOLAZIONI Liceo Statale “A. Meucci”

Aprilia (LT)

Anno Scolastico 2007/2008

Indice

• Modello a due età• Modello a tre età• Domande• Parallelismo• Esempi a due fasce• Esempi a tre fasce• Gli elefanti di mare di Año Nuevo

Popolazione ripartita in due età

Consideriamo una popolazione ripartita in due soli classi di età:

{n1(t), n2(t)}

giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2.

La popolazione totale al tempo t è

n(t)=n1(t)+n2(t)

p1 è la probabilità che un individuo della prima classe di età sopravviva e

raggiunga la seconda.

Il vettore profilo costituito dalle percentuali del numero di individui per

fascia è

(g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t))

Modello a due età

L’evoluzione della popolazione può essere modellizzata:

Usando la scrittura matriciale

=

dove è detta matrice di Leslie del modello a due fasce di età.

n1(t) p1 1) n2(t

n2(t) f2 n1(t) f1 1) n1(t

)1(2

)1(1

tn

tn

01

21

p

ff

)(2

)(1

tn

tn

01

21

p

ff

Popolazione ripartita in tre fasce di età

Se la popolazione è ripartita in tre classi di età:

{n1(t), n2(t), n3(t)}

bambini, giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2 e f3.

La popolazione totale al tempo t sarà

n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)

p1 è la probabilità di passare dalla prima alla seconda fascia,

p2 è la probabilità di passare dalla seconda alla terza fascia.

Il vettore profilo, costituito dalle percentuali del numero di individui per

fascia, è

(b(t), g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t), n3(t)/n(t))

Modello a tre età

L'evoluzione di una popolazione a tre fasce d'età è:

Usando la scrittura matriciale

=

dove è detta matrice di Leslie del modello a tre fasce di età.

n1 t1= f1n1t f2n2t f3n3t n2 t1= p1 n1 t n3 t1= p2n2 t {

[ f1p10

f20p2

f300 ] [n1t n2t

n3t ]

[ f1p10

f20p2

f300 ]

[n1 t1n2 t1n3 t1]

Domande

Se è il vettore colonna della popolazione

e A = la matrice di Leslie ,

si può scrivere

• I vettori e sono paralleli tra loro?

• Cambiano direzione in relazione al tempo t e alle condizioni iniziali?

• Come si evolve la popolazione totale?

• Come si evolve il vettore profilo?

N t =[n1 t n2 t n3 t ]

[ f1p10

f20p2

f300 ]

N t1 = A N t

N t1 N t

Il parallelismo Essendo

// ↔

e quindi

ovvero

Un sistema lineare omogeneo ha soluzione non banale se

det (A – λI) = 0

detta equazione caratteristica della matrice A

Ogni soluzione λ di questa equazione si chiama autovalore della matrice A

I vettori tali che

si dicono autovettori relativi all'autovalore λ.

Gli unici numeri λ per i quali // sono gli autovalori della

matrice di Leslie A

N t1 = A N t

N t1 N t N t1 = λ N t

A N t = N t

A− I N t =0

v A v= v

N t1 N t

Esempi a due fasce di etàEsempio 1

A = → con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)

La popolazione totale oscilla

Il vettore profilo oscilla

det (A – λI) = λ² – 1 = 0 ↔ λ = ± 1

L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1 è = (2y, y)

Se modifichiamo con (n1(0), n2(0)) = (20, 10)

La popolazione diventa stabile

Il profilo converge a (67, 33)

[0 20,5 0] { n1 t1=0 n1 t 2 n2 t

n2 t1=0,5 n1 t

v

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 20 10 30 67% 33%1 20 10 30 67% 33%2 20 10 30 67% 33%3 20 10 30 67% 33%4 20 10 30 67% 33%5 20 10 30 67% 33%

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 80 3,5 83,5 96% 4%2 7 40 47 15% 85%3 80 3,5 83,5 96% 4%4 7 40 47 15% 85%5 80 3,5 83,5 96% 4%

Esempio 2

A = → con (n1(0), n2(0)) = (7, 40)

La popolazione cresce

Il profilo oscilla

det (A – λI) = λ² – 2 = 0 ↔ λ = ± 2

L'autovettore relativo all'autovalore λ = 2 è = (4y, y)

Se modifichiamo il vettore delle condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (40, 10)

La popolazione continua a crescere

Il profilo converge a (80,20)

[0 80,5 0] { n1 t1=0 n1 t 8 n2 t

n2 t1=0,5 n1 t

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 320 3,5 323,5 99% 1%2 28 160 188 15% 85%3 1280 14 1294 99% 1%4 112 640 752 15% 85%5 5120 56 5176 99% 1%6 448 2560 3008 15% 85%

v

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 40 10 50 80% 20%1 80 20 100 80% 20%2 160 40 200 80% 20%3 320 80 400 80% 20%4 640 160 800 80% 20%5 1280 320 1600 80% 20%6 2560 640 3200 80% 20%

Esempio 3

A = → con (n1(0), n2(0)) = (7,40)

La popolazione decresce

Il profilo oscilla

det (A – λI) = λ² – 1/4 = 0 ↔ λ = ± 1/2

L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1/2 è = (y, y)

Se modifichiamo le condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (10, 10)

La popolazione continua a decrescere

Il profilo converge a (50,50)

[0 0,50,5 0 ] {n1 t1=0 n1 t 0,5 n2 t

n2 t1=0,5 n1 t

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 7 40 47 15% 85%1 20 3,5 23,5 85% 15%2 1,75 10 11,75 15% 85%3 5 0,875 5,875 85% 15%4 0,4375 2,5 2,9375 15% 85%5 1,25 0,21875 1,46875 85% 15%

v

Pop. totale Vettore profilo

tempo n1(t) n2(t) n(t) g(t) a(t)0 10 10 20 50% 50%1 5 5 10 50% 50%2 2,5 2,5 5 50% 50%3 1,25 1,25 2,5 50% 50%4 0,625 0,625 1,25 50% 50%5 0,3125 0,3125 0,625 50% 50%

Esempi a tre fasce di etàEsempio 4

A = →

con (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 2, 1) .

la popolazione cresce e il profilo converge a (66, 27, 7).

Sostituendo al vettore iniziale (n1(0), n2(0), n3(0)) = (66,27, 7) otteniamo la

crescenza della popolazione e la convergenza immediata del vettore profilo

10,80

200,5

100[ ] {

n1t1=n1t 2n2 t n3t n2t1=0,8n1t n3t1=0,5n2 t

Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 2 2 1 5 40% 40% 20%1 7 1,6 1 9,6 73% 17% 10%2 11,2 5,6 0,8 17,6 64% 32% 5%3 23,2 9,0 2,8 35,0 66% 26% 8%4 43,9 18,6 4,5 67,0 66% 28% 7%5 85,5 35,1 9,3 129,9 66% 27% 7%6 165,1 68,4 17,6 251,1 66% 27% 7%7 319,5 132,1 34,2 485,7 66% 27% 7%

Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 66 27 7 100 66% 27% 7%1 127 52,8 13,5 193,3 66% 27% 7%2 246,1 101,6 26,4 374,1 66% 27% 7%3 475,7 196,9 50,8 723,4 66% 27% 7%4 920,3 380,6 98,4 1399,3 66% 27% 7%5 1779,8 736,2 190,3 2706,3 66% 27% 7%6 3442,5 1423,9 368,1 5234,5 66% 27% 7%7 6658,3 2754,0 711,9 10124,3 66% 27% 7%

Esempio 4

è detta di Bernardelli

A = e genera il modello →

Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 1, 1), la popolazione oscilla, così come il profilo, con periodo 3.

det (A- λI) = λ³ - 1 = 0 → λ=1 è l'unico autovalore reale (gli altri due sono complessi

coniugati e di modulo 1)

L'autovettore relativo a λ=1 è = (8z, 4z, z) → Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (8, 4, 1)

La popolazione diventa stabile e il profilo converge all'autovettore (62, 31, 8)

00,50

000,25

800[ ] {

n1t1=8n3t n2t1=0,5n1t n3t1=0,25n2 t

Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 2 1 1 4,0 50% 25% 25%1 8 1 0,25 9,3 86% 11% 3%2 2 4 0,25 6,3 32% 64% 4%3 2,0 1,0 1,0 4,0 50% 25% 25%4 8,0 1,0 0,3 9,3 86% 11% 3%5 2,0 4,0 0,3 6,3 32% 64% 4%6 2,0 1,0 1,0 4,0 50% 25% 25%7 8,0 1,0 0,3 9,3 86% 11% 3%

Pop totale Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 8 4 1 13 62% 31% 8%1 8 4 1 13 62% 31% 8%2 8 4 1 13 62% 31% 8%3 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%4 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%5 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%6 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%7 8,0 4,0 1,0 13 62% 31% 8%

v

Conclusioni

• La popolazione cresce quando la matrice di Leslie ha un autovalore dominante di

modulo maggiore di 1

• La popolazione decresce quando la matrice di Leslie ha gli autovalori di modulo

minore di 1

• In entrambi i casi precedenti il vettore profilo converge ad un autovettore.

• Se le condizioni iniziali sono un autovettore, il profilo converge immediatamente.

• La popolazione oscilla,anche con delle periodicità, se gli autovalori sono tutti di

modulo 1.

• Il profilo oscilla se gli autovalori sono di segno opposto, ma converge se si parte con

un autovettore.

• Nel caso di profilo oscillante e popolazione oscillante, se il dato iniziale è un

autovettore, allora la popolazione si stabilizza e il profilo converge all'autovettore.

GLI ELEFANTI DI MARE

MIROUNGA ANGUSTIROSTRISElefanti di mare

Età x Sopravvissuti all'età x Figlie generate da ogni madre di età xx l(x) v(x)

0 1000 01 490 02 396 03 324 04 283 05 264 0,0166 202 0,0387 139 0,1348 104 0,6429 69 2,413

10 41 2,34511 14 2,88612 11 5,91413 8 4,51314 2 0

Gli elefanti di mare in tre fasce d'età

Siamo partiti per ogni fascia dalla popolazione relativa agli anni 0, 5, 10.

f1 = 0 f2 = 0,99921 f3 = 5,79773

p1 = 264/1000 = 0,264

p2 = 41/264 = 0,1553

(n1(0), n2(0), n3(0))= (1000, 264, 41)

La popolazione decresce e il profilo converge a (70, 25, 5)

Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(70, 25, 5) la convergenza del profilo è immediata

Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x

x l(x) v(x)

0 1000 0

1 490 02 396 0

3 324 0

4 283 0

5 264 0,016

6 202 0,038

7 139 0,134

8 104 0,642

9 69 2,413

10 41 2,345

11 14 2,88612 11 5,914

13 8 4,513

14 2 0

Pop totale Vettore Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 1000 264 41 1305 77% 20% 3%1 501,5 264 41,0 806,5 62% 33% 5%2 501,5 132,4 41,0 674,9 74% 20% 6%3 370,0 132,4 20,6 522,9 71% 25% 4%4 251,5 97,7 20,6 369,7 68% 26% 6%5 216,8 66,4 15,2 298,4 73% 22% 5%6 154,3 57,2 10,3 221,8 70% 26% 5%7 117,0 40,7 8,9 166,6 70% 24% 5%8 92,2 30,9 6,3 129,4 71% 24% 5%9 67,5 24,4 4,8 96,7 70% 25% 5%

10 52,1 17,8 3,8 73,7 71% 24% 5%11 39,7 13,8 2,8 56,3 71% 24% 5%12 29,8 10,5 2,1 42,4 70% 25% 5%

Gli elefanti di mare in tre fasce d'età

Abbiamo sviluppato il modello a tre fasce d'età anche partendo dalla popolazione relativa agli anni 2, 7, 12.

f1 = 0 f2 = 1,89778 f3 = 21,06972

p1 = 139/396 = 0,35101

p2 = 11/139 = 0,07913

(n1(0), n2(0), n3(0))= (396, 139, 11)

La popolazione cresce e il profilo converge a (74, 24, 2)

Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(74, 24, 2) la convergenza del profilo è immediata

Età x Sopravvissuti Figlie generate all'età x

x l(x) v(x)

0 1000 0

1 490 02 396 0

3 324 0

4 283 0

5 264 0,016

6 202 0,038

7 139 0,134

8 104 0,642

9 69 2,413

10 41 2,345

11 14 2,88612 11 5,914

13 8 4,513

14 2 0

Pop totale Vettore Profilotempo n1(t) n2(t) n3(t) n(t) b(t) g(t) a(t)

0 396 139 11 546 73% 25% 2%1 495,6 139,0 11,0 645,6 77% 22% 2%2 495,5 173,9 11,0 680,5 73% 26% 2%3 561,9 173,9 13,8 749,6 75% 23% 2%4 620,1 197,2 13,8 831,1 75% 24% 2%5 664,3 217,7 15,6 897,5 74% 24% 2%6 741,9 233,2 17,2 992,3 75% 23% 2%7 805,4 260,4 18,5 1084,3 74% 24% 2%8 883,0 282,7 20,6 1186,3 74% 24% 2%9 970,7 309,9 22,4 1303,0 74% 24% 2%

10 1059,5 340,7 24,5 1424,7 74% 24% 2%11 1163,3 371,9 27,0 1562,2 74% 24% 2%12 1273,8 408,3 29,4 1711,6 74% 24% 2%

Considerazioni sul modello a tre fasce

Abbiamo implementato anche i modelli a tre fasce scegliendo come anni di riferimento per

ciascuna fascia rispettivamente

Anni 1, 6, 11

Anni 3, 8, 13

Anni 4, 9, 14

In tutti e tre i casi la popolazione cresce negli anni e il profilo converge ad un autovettore.

Probabilmente la scelta degli anni iniziali 0, 5 e 10 come rappresentativi di ogni fascia

rendeva instabile la popolazione.

Modello a 14 fasce per gli elefanti marini

Abbiamo implementato anche il modello a 14 fasce:

Siamo partiti dal vettore (1000, 490, 396, 324, 283, 264, 202, 139, 104, 69, 41, 14, 11, 8).

Relativamente ad ogni anno abbiamo preso come

fattore di fertilità e come probabilità di

sopravvivenza i dati indicati in tabella:

Il modello ci ha dato una popolazione

decrescente e un profilo che dopo parecchie

iterazioni converge al vettore

(25, 13, 11, 10, 9, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0);

Inserendolo come vettore di partenza abbiamo ottenuto una convergenza immediata del

profilo.

f1=0f2=0f3=0 P3=324/396=0,82f4=0 P4=283/324=0,87f5=0 P5=264/283=0,93f6=0,016 P6= 202/264=0,77f7=0,038 P7=139/202=0,69

f8=0,134 P8=104/139=0,78f9=0,642 P9=69/104=0,66f10=2,413 P10=41/69=0,59f11=2,345 P11=14/41=0,34f12=2,886 P12=11/14=0,79f13=5,914 P13=8/11=0,73f14=4,513 P14=2/8 =0,25

P1=490/1000=0,49P2=396/490=0,81

Modello a quattordici fasce

Pop totale Profilo

n(t) Tempo a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

3278 0 31% 15% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 3% 1% 0% 0% 0% 0%

2631,7 1 12% 19% 15% 12% 11% 10% 8% 5% 4% 3% 1% 0% 0% 0%

2407,8 2 17% 6% 16% 13% 12% 11% 8% 6% 4% 3% 2% 0% 0% 0%

2211,3 3 20% 9% 6% 15% 13% 12% 9% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%

2061,9 4 22% 10% 8% 5% 14% 13% 10% 7% 5% 3% 2% 1% 1% 0%

1955,3 5 25% 11% 9% 7% 5% 14% 10% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%

1847,9 6 27% 13% 10% 8% 6% 5% 11% 8% 6% 4% 2% 1% 1% 0%

1765,2 7 28% 14% 11% 8% 7% 6% 4% 8% 6% 4% 2% 1% 1% 0%

1711,2 8 29% 14% 12% 9% 7% 7% 5% 3% 6% 4% 2% 1% 1% 0%

1661,7 9 29% 15% 12% 10% 8% 7% 5% 3% 2% 4% 2% 1% 1% 0%

1592,3 10 28% 15% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 3% 1% 3% 1% 1% 1%

1451,4 11 23% 15% 13% 11% 10% 9% 7% 4% 3% 2% 1% 1% 1% 1%

1333,7 12 21% 12% 13% 12% 10% 10% 8% 5% 4% 2% 1% 0% 1% 1%

1237,6 13 22% 11% 11% 11% 11% 11% 8% 6% 4% 3% 1% 0% 0% 1%

1128,5 14 21% 12% 10% 10% 11% 11% 9% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%

1041,2 15 22% 11% 10% 9% 9% 11% 9% 7% 5% 3% 2% 1% 0% 0%

979,0 16 24% 11% 10% 9% 8% 9% 9% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%

928,1 17 26% 13% 10% 8% 8% 8% 7% 7% 5% 4% 2% 1% 1% 0%

888,3 18 27% 13% 11% 8% 8% 8% 6% 5% 5% 4% 2% 1% 1% 0%

852,1 19 28% 14% 11% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 4% 2% 1% 1% 0%

811,6 20 27% 14% 12% 10% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%

762,1 21 25% 14% 12% 10% 9% 8% 6% 4% 4% 3% 2% 1% 1% 1%

711,6 22 24% 13% 12% 11% 10% 9% 7% 4% 3% 3% 2% 1% 1% 1%

662,7 23 23% 13% 12% 11% 10% 10% 7% 5% 4% 2% 2% 1% 1% 1%

611,3 24 22% 12% 11% 10% 10% 10% 8% 6% 4% 3% 2% 1% 1% 0%

564,1 25 22% 12% 11% 10% 10% 10% 8% 6% 4% 3% 2% 1% 1% 0%

525,8 26 23% 12% 10% 10% 9% 10% 8% 6% 5% 3% 2% 1% 0% 0%

493,4 27 25% 12% 10% 9% 9% 9% 8% 6% 5% 3% 2% 1% 1% 0%

466,0 28 26% 13% 10% 9% 8% 9% 7% 6% 5% 4% 2% 1% 1% 0%

442,7 29 26% 13% 11% 9% 8% 8% 7% 5% 5% 3% 2% 1% 1% 0%

420,5 30 27% 14% 11% 9% 8% 8% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%

397,6 31 26% 14% 12% 10% 9% 8% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 0%

374,2 32 25% 14% 12% 10% 9% 9% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 1% 1%