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DINAMICA delle
STRUTTURE
Università degli Studi di Cagliari
Laurea Magistrale in Ingegneria Civile – percorso Strutture
Docente: Maria Cristina Porcu
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DINAMICA (dal greco dunamis :forza, potenza)
BRANCA DELLA MECCANICA CHE STUDIA I SISTEMI IN MOTO
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Interessa certamente l ’Ingegneria Meccanica
DINAMICA
Interessa le strutture dell’ingegneria civile?
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PIAZZA DEI MIRACOLI (PISA) NOTRE DAME (PARIGI)
NURAGHE LOSA (NUORO)
SAN PIETRO (ROMA) PONTE DI PIETRA (VERONA)
ROCCA SCALIGERA DI SIRMIONE (LOMBARDIA)
DINAMICA Interessa anche le strutture dell’ingegneria civile!
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
TAKOMA NARROW BRIDGE (Washington)
Inaugurato a luglio del 1940, crollò quattro mesi dopo
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Nuovo ponte sospeso doppio
TAKOMA NARROW BRIDGE inaugurato nel 2007
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
VOLGOGRAD BRIDGE (Russia)
Inaugurato nell’Ottobre 2009,
chiuso al traffico nel Maggio 2010
a causa delle forti oscillazioni.
Semi-active mass dampers
per smorzare le oscillazioni.
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
Tall Buildings
121-story Shanghai Tower
Tuned mass damper with a
magnetic system Park Tower (198m), Chicago
Tuned Mass Damping
Taipei 101 (509 m) – Taiwan
Tuned mass damper:
Sistema costituito da una sfera in acciaio
di 5.5m vincolata con ammortizzatori e
molle, che controbilancia le oscillazioni
dell’edificio, che possono raggiungere
1.5m)
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One Rincon Hill in San Francisco
Liquid tuned mass damper
Torre Eiffel 1889 (304m), Parigi
Oscillazioni di 15 cm in sommità Muscat ATC, Oman
Tuned mass damping
520 Park Avenue: New York,
Tuned Mass Damping
EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
MILLENNIUM BRIDGE - LONDON
ARUP – Foster & patners
Chiuso a causa delle forti oscillazioni innescate dalla folla
durante la sua inaugurazione nel 2000, il Millennium Bridge fu
dotato di smorzatori e poi riaperto al pubblico.
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
Passerella Pedonale ad Assago Mediolanum Forum
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Chiusa al pubblico nel Febbraio del 2011 a causa delle forti
oscillazioni innescate dalla folla al termine di un concerto al
Mediolanum Forum, fu riaperta dopo l’irrigidimento delle pile.
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
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Passerella Pedonale ad Assago Mediolanum Forum
Assago-Forum walkway FEM Model
Lateral vibration first mode
M.C. Porcu, F. Pittau, Excessive Pedestrian-Induced Swaying in Code-Compliant Walkways,
Structural Engineering International 2015 - DOI: 10.2749/101686615X14355644771298
Lateral vibration second mode
EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
Tribune e gradinate Passerelle pedonali
Solai di sale da ballo
Trampolini
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
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Eintracht Frankfurt Stadion
19 maggio 2016: il moto dei tifosi fa oscillare vistosamente lo stadio
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
BASILICA S. FRANCESCO DI ASSISI
Terremoto 26 Settembre 1997 – magnitudo 5.8
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
L’Aquila – terremoto 6 Aprile 2009 – magnitudo 6.3
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SEISMIC POUNDING
Dessalvi M, Porcu M.C., Saba M., Numerical analysis of the medieval Civic Tower of L’Aquila to prevent seismic
pounding effects, Convegno ANIDIS 2017
Civic Tower and Palazzo Margherita – L’Aquila
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
L’Aquila – Casa dello studente
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
Amatrice –terremoto del 24 agosto 2016 – magnitudo 6
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Hotel Roma - Amatrice
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL TRAFFICO
Ponte ferroviario
a) Interazione dinamica con la struttura deformabile sottostante (ponti-viadotti)
rilevante in caso di veicoli pesanti, elevate velocità percorrenza e strutture snelle
b) Trasmissioni vibrazioni attraverso il terreno (traffico stradale pesante – metropolitana)
Ponte autostradale
Ponte sullo Stretto di Messina
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI A TRAFFICO
Ponte Goshiki-Zakura-Ohashi sul fiume Arakawa in Giappone
Curiosità: in un ponte stradale sito in Giappone sono stati inseriti dei micro-generatori
che sfruttano le vibrazioni dovute al passaggio dei veicoli sul ponte,
per produrre energia elettrica (in grado di fornire l’energia necessaria per
l’illuminazione del ponte)
Moto dei pedoni
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL MOTO DELLE CAMPANE
Torre Matilde di San Miniato (Pisa)
Non era nata come torre campanaria
e presenta numerose lesioni dovute
al moto delle campane.
Torre S. Patrizio - ROMA – 2007
Dopo l’inaugurazione fu chiusa e irrigidita
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL MOTO DELLE CAMPANE
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Tesi di Laurea - Andrea Frau, 2012 Torre di Matilde (campanile della Chiesa di SS. Maria e
Genesio, Duomo della città di San Miniato (Pisa)
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL MOTO DELLE CAMPANE
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Campanile Chiesa di San Patrizio, Roma
Tesi di Laurea - Lucia Podda, 2012
Pre-irrigidimento
Post-
irrigidimento
1° MODO 1° MODO
EFFETTI DINAMICI DOVUTI A URTI O ESPLOSIONI
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI A URTI O ESPLOSIONI
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MACCHINARI E MOTORI
solaio
F(t) F(t)
ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI
u(t) u(t)
solaio
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EFFETTI DINAMICI PER APPLICAZIONE IMPROVVISA DI CARICHI
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO
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EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO
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Tesi di Laurea - Daniele Deplano, 2013
EFFETTI DINAMICI SULLE STRUTTURE
• vento
• folla
• traffico stradale o ferroviario
• terremoto
• macchinari
• moto ondoso
• moto campane
• urti o esplosioni
• applicazione improvvisa di carichi
• …
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PROVE DINAMICHE SULLE STRUTTURE
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SHAKER
VIBRODINA
Prove su strutture in situ
ACCELEROMETRI
PROVE DINAMICHE SULLE STRUTTURE
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Prove in laboratorio
MARTELLO STRUMENTATO
AMPLIFICATORE
ACCELEROMETRO SHAKING TABLE
SOFTWARE ELABORAZIONE DATI SISTEMA di ACQUISIZIONE
SHAKER
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Analisi modale sperimentale
Finalità
Identificazione del modello numerico
Caratterizzazione dei materiali
Monitoraggio del comportamento strutturale
Rilevare danni o malfunzionamenti
Analisi strutturale
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Analisi modale sperimentale
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 20
Tesi di Laurea - Stefano Murtas, 2015
Trave
A Modo 1 Modo 2 Modo 3
ξ [%] 0.127 0.084 0.13
f [Hz] 22 82 243
ω
[rad/s] 138 515 1527
ξω 0,176 0,433 1,724
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Identificazione del danno con metodi dinamici
Tesi di Laurea - Diego Patteri, 2015
Tesi di Laurea - Stefania Melis, 2016
X1 H11 H12 H13 ...H1n F1
X2 H21 H22 H23 ...H2n F2
X3 H31 H32 H33...H 3n F3
: : :
Xn Hn1 Hn2 Hn3...Hnn Fn
Matrice di Risposta in Frequenza (Matrice Inertanza)
I N
P
U
T
S
O
U
T
P
U
T
Parte Immag. [-] Primo
Modo Secondo
Modo Terzo
Modo
Force Force Force Force Force Force Force Force Force Force Force
-0,03
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55 2,7 2,85 3
u [
m]
t [s]
T=0.15s
x=1%
umax= 2.6 cm Resonance
( )mu du ku F t
SCHEMATIZZARE LE STRUTTURE
STUDIO DEL MOTO
INGEGNERIA SISMICA
DUTTILITA’ STRUTTURALE
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
El Centro, California 1940, accelerazioni
max = 0.33 g b) 1° modo di vibrare
T1
c) 2° modo di vibrare T2
d) 3° modo di vibrare
T3
m3 q3(t)
M1
m2
q1(t)
q2(t)
SPETTRI DI RISPOSTA
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
Se [m
/s2]
T [s]
Categoria suolo A (bedrock)
Smorzamento 5%
ZONA 4
ZONA 1
ZONA 2
ZONA 3
h
h
h
h qmt
q mt
q mt
q mt
q mt
q mt
q mt
q mt
Dm
qmt
Dm
qmp
H
Maggiore dissipazione
Minore impegno plastico
F(t)
t
T
f
m
prima fessura cls (first crack)
inizio deformazione
plastica acciaio
h
b
DEBOLE
PERCENTUALE
PERCENTUALE OTTIMALE
rottura calcestruzzo
FORTE
ARMATURA
Mcr
My
rottura cls prima che inizi la deformazione plastica acciaio
( a meno che non ci sia opportuno confinamento)
As
cambio di pendenza a causa della diminuzione della rigidezza dovuta al crack
u(t)
k , x
m
k x
Torre Montjuic Barcellona
(Calatrava)
m1
m2
m3
m4
q1
q2
q3
q4
Sistemi ad 1 grado di libertà
Sistemi a più gradi di libertà
m
u(t)
q2 q4
m m m m m
q1 q3 q5
DETERMINARE I PARAMETRI DINAMICI
T2 T1 T3
MASSA RIGIDEZZA SMORZAMENTO
PERIODO
PROPRIO
Oscillazioni libere
t
m1
m2
m3 q3
q2
q1
Oscillazioni forzate [ ]m q d q k q G
( )u t
Moto impresso alla base (TERREMOTO)
m
K , x
u(t)
m
MODELLI PIANI (più semplici ma meno realistici)
Villa Savoye – Le Corbusier
[d] [k] [m]
CN Tower - Canada
-12,00
-10,00
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 0,20,40,60,8 1 1,21,41,61,8 2 2,22,42,62,8 3 3,23,43,63,8 4
u(t) F(t)/ku(t) [cm]
t [s]
VERIFICHE CON FORZE STATICHE EQUIVALENTI
t
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Dinamica delle Strutture
Richiami di Dinamica dei Sistemi
Dinamica dei Sistemi ad 1 grado di libertà (1GDL)
• Oscillazioni libere (non smorzate e smorzate). Equazioni del moto.
• Oscillazioni forzate (forza armonica, a gradino, impulsiva, periodica, qualsiasi, moto impresso al supporto)
• Verifica delle strutture soggette a forze dinamiche (forza statica equivalente)
• Principio di funzionamento di accelerometri e vibrometri
• Isolamento dalle vibrazioni
Dinamica dei Sistemi a più gradi di libertà (più GDL)
• Matrice cinematica, matrice di inerzia, matrice di rigidezza
• Oscillazioni libere (modi principali di vibrare – frequenze proprie)
• Equazioni del moto
• Coordinate principali - contributo al moto dei modi di vibrare
• Disaccoppiamento equazioni del moto forzato (non smorzato)
• Verifica dei sistemi a più GDL (forze statiche equivalenti)
Cenni sulle vibrazioni di travi continue
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TESTI CONSIGLIATI
• E. Viola “Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture”, vol. 1, Pitagora Ed., 2001
• R. W. Clough, J. Penzien “Dynamics of Structures”, Mc Graw Hill , 1975, ISBN 0-07-011392-0
• A. K. Chopra “Dynamics of Structures" , Prentice Hall, 2001, ISBN 0-13-086973-2
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DIFFERENZA TRA PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO
DIPENDENZA DALLE FORZE DI INERZIA
(forze proporzionali alle masse, che si oppongono al moto)
P P(t)
forze di inerzia
EQUILIBRIO DINAMICO EQUILIBRIO STATICO
R1(t) R2(t) P/2 P/2 R1 R2
(costanti)
funzione solo della
posizione del carico P
(variabili con t)
funzione della posizione di P(t)
ma anche del tempo t
(in certi istanti sono persino nulle!)
R2(t) R1(t)
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I carichi dinamici sono carichi applicati in maniera veloce oppure sono forze che variano nel tempo. VARIAZIONE IN FUNZIONE DEL TEMPO: Le caratteristiche della sollecitazione, le deformazioni e gli sforzi variano, non solo in funzione della posizione nello spazio (come succede per i carichi statici), ma anche in funzione del tempo.
ust
t
u
t
2ust
t
ust
t
u
Tf
Risposta Statica o Risposta Dinamica? Tutto dipende da come variano le forze e da come vengono applicate
F
L
F
FORZA QUASI STATICA
t
F* F* F*
F
FORZA A GRADINO (applicata improvvisamente)
t t t
F*
F
FORZA SINUSOIDALE
F*
Tf
ust
u
t
costante
moto oscillatorio
RISPOSTA STATICA RISPOSTA DINAMICA RISPOSTA DINAMICA
umax~2ust umax=Dust
umax=ust
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D è il fattore di
amplificazione dinamica
che può essere anche molto
maggiore di 2
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Richiami di Dinamica dei Sistemi
Se le forze esterne sono solo di tipo meccanico (si trascurano fenomeni di altra natura) allora il sistema si dice sistema meccanico.
p
F
x
y
z
Sistema fisico
Si definisce come sistema fisico o sistema materiale una porzione di materia vincolata al mondo esterno e soggetta a delle forze esterne. Le forze esterne possono essere di varia natura: meccaniche, magnetiche, elettriche, termiche, etc.
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2) SCEGLIERE LE COORDINATE CHE NE DESCRIVONO LO STATO (o configurazione).
Si chiama processo o moto del sistema una famiglia di valori delle coordinate (variabili) che descrivono il sistema, nella quale il tempo risulta l’elemento ordinatore, cosicché ad ogni valore di tempo si può far corrispondere un unico valore per le coordinate e quindi un’unica configurazione del sistema.
3) DESCRIVERE IL SISTEMA MECCANICO attraverso un MODELLO MATEMATICO.
u(t)
t
SISTEMA
MECCANICO
MODELLO MATEMATICO DI UN SISTEMA MECCANICO
SCHEMATIZZAZIONE
SCELTA COORDINATE
1) SCHEMATIZZARE OPPORTUNAMENTE IL SISTEMA MECCANICO (corpo rigido, masse
concentrate, sistema continuo, discreto, a uno o più gradi di libertà).
La scelta della schematizzazione dipende a sua volta dagli scopi che ci si prefigge nello studio del
sistema, dalla semplicità della struttura reale, dalla accuratezza dei risultati che si vogliono ottenere…
u(t)
m
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moto
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( )mu cu ku F t
MODELLO MATEMATICO
EQUAZIONI DEL MOTO (dipendenti dalle coordinate che
descrivono il sistema)
F(t)
Diremo che un sistema è discreto se è sufficiente un numero finito (discreto) di coordinate per determinare la posizione di tutti i suoi punti
(e quindi il suo moto).
(xs, ys, zs) s=1,..., m sistemi discreti
Per descrivere il moto di un sistema discreto sono sufficienti equazioni differenziali alle derivate ordinarie (perchè i parametri che descrivono il moto del sistema sono funzione solo del tempo).
Diremo invece che un sistema è continuo se è necessario un numero infinito di coordinate per descriverne il moto. In questo caso le coordinate sono funzioni continue dei punti del sistema.
(xs, ys, zs) s=1,..., sistemi continui
Per descrivere il moto di sistemi continui servono equazioni differenziali alle derivate parziali (perchè le coordinate che descrivono il moto dipendono sia dal tempo che dallo spazio).
Sistemi Discreti e Sistemi Continui
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SISTEMI DISCRETI I sistemi reali sono in genere dei sistemi continui.
Nella stragrande maggioranza dei casi è però possibile descrivere il comportamento di un sistema reale attraverso un sistema discreto.
Nel caso dei problemi dinamici, ciò significa schematizzare i sistemi reali, che hanno massa distribuita, attraverso dei modelli più semplici con masse concentrate in punti opportuni.
Struttura reale
Schematizzazione
Schematizzazione
Gran Canyon Skywalk - Arizona
CN Tower - Canada
Struttura reale
m
Noi ci occuperemo di sistemi discreti a uno o più gradi di libertà
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COORDINATE GEOMETRICHE
COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)
ASTA RIGIDA
INCERNIERATA AD UN ESTREMO
x
θ
y
yA
xA
R
cosA
A
x R
y R sen
q
q
A
L’angolo q è in grado di fornire completamente e in qualunque istante la
posizione dell’asta.
1 Coordinata generalizzata: q=q(t) capace da sola di descrivere la posizione dell’asta
Legame in forma parametrica
(tra coordinate geometriche e
coordinate generalizzate):
2 Coordinate geometriche: xA e yA
q(t)
Per esempio si può descrivere il moto anche con il parametro q=q(t)= xA (t)
MA NON E’ L’UNICO PARAMETRO CHE POTREMMO SCEGLIERE!
Esistono altre possibilità.
dipendenti l’una dall’altra perché xA2 + yA
2 =R2
O
Oppure con q=q(t)= yA (t)
Per esempio: q=q(t)= θ(t)
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COORDINATE GEOMETRICHE
COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)
2 Coordinate geometriche (DIPENDENTI TRA LORO): xA , yA , xB , yB
1 Coordinate generalizzate (LIBERE):
4
2
Oppure q1=q1(t)= xA (t)
q2=q2(t)= yB (t)
θ1
θ2
x
A
y
yA
xA
B yB
xB
q1=q1(t)= θ1(t)
q2=q2(t)= θ2(t)
Oppure q1=q1(t)= yA (t)
q2=q2(t)= xB (t)
DUE ASTE RIGIDE INCERNIERATE TRA LORO E AD UN PUNTO A TERRA
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Se le masse possiedono vincoli tra di loro e con il mondo esterno n < 3 m
COORDINATE GENERALIZZATE (O LAGRANGIANE)
m1
z
x
y
m2 m3
ms
mm
Solo se le masse fossero senza vincoli (esterni e tra di loro) le coordinate geometriche
sarebbero tutte indipendenti e si avrebbe n = 3m
m1 (x1,y1,z1) ; m2 (x2,y2,z2) ; … ; mm (xm ,ym ,zm)
Dato un sistema meccanico costituito da m masse puntiformi vincolate tra loro e con l’esterno
sono sufficienti n parametri per conoscerne la posizione in ogni istante.
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Le coordinate generalizzate (LAGRANGIANE)
sono l’insieme di parametri in grado di
descrivere univocamente la posizione del
sistema in qualunque istante.
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- m = numero delle masse
- 3m coordinate geometriche xs, ys, zs (s=1,2,…, m)
- n coordinate libere qr (con r=1,2,…,n) che chiamiamo coordinate generalizzate
perché possiamo scegliere qualsiasi parametro che descriva il moto del sistema
(spostamenti o angoli).
GRADI DI LIBERTA’
I gradi di libertà di un sistema sono per definizione il numero di variazioni virtuali delle
coordinate del sistema che possono essere assegnate indipendentemente le une dalle
altre.
m1
z
x
y
m2 m3
ms
mm
n gradi di libertà → n coordinate libere (generalizzate o lagrangiane)
s=1,..., m
m masse
3m coordinate geometriche
n gradi di libertà = n coordinate libere (generalizzate)
n ≤ 3m
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Una variazione virtuale dqr di una coordinata qr, deve soddisfare le seguenti condizioni:
dqr è infinitesima
dqr è compatibile con i vincoli
dqr avviene a tempo congelato
dqr è ideale (non dipende dalle forze applicate)
Si chiama spostamento virtuale del sistema un dato insieme di variazioni virtuali delle sue coordinate
In altre parole, i gradi di libertà (gdl) sono il numero di movimenti indipendenti che possono essere compiuti
dalle masse del sistema.
Per i sistemi di nostro interesse, il numero di gradi di libertà coincide con il numero di coordinate
libere del sistema. Ci sono sistemi (esempio l’automobile) per i quali questo non è vero.
SISTEMI AD 1 GDL
(nell’ipotesi di piccoli spostamenti)
q y(t)
m
q q(t)
q q(t)
m
q q(t)
m
q y(t)
m
y
x
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m
k , x
q x(t)
TELAIO SHEAR TYPE
q y(t)
SISTEMI A PIU’ GDL
q1 y1(t)
m q2 y2(t)
q3(t) q4(t) q5(t) y5 y7 y9
y2 y4 y6 y8 y10
m2 m1 m4 m3 m5
y3 y1
q2(t) q1(t)
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50
m1
m2
m3
m4
q1
q2
q3
q4
TELAIO SHEAR TYPE
q1 y1(t)
m1 q2 y2(t)
m2 q4 y4(t)
q3 y3(t)
2 GDL
4 GDL
4 GDL
5 GDL
Il MOTO di un sistema meccanico a n GDL può essere descritto
attraverso n coordinate generalizzate qr(t), con r=1,..,n, che sono in
grado di fornire la posizione delle m masse del sistema in qualunque
istante.
Per conoscere il moto di un sistema occorre
scrivere le EQUAZIONI DEL MOTO
nelle coordinate generalizzate qr(t).
Per scrivere le equazioni del moto nelle coordinate generalizzate
servono i legami parametrici tra coordinate generalizzate e
coordinate geometriche (noti una volta data la geometria del sistema)
Noti i legami parametrici possiamo esprimere tutte le grandezze in
coordinate generalizzate e poi scrivere le equazioni del moto.
MOTO DEL SISTEMA NELLE COORDINATE GENERALIZZATE
Legami parametrici
1 2
1 2
1 2
( , , ..., , )
( , , ..., , )
( , , ..., , )
s s n
s s n
s s n
x x q q q t
y y q q q t
z z q q q t
s = 1,.., m
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51
Massa MASSA GENERALIZZATA
Rigidezza RIGIDEZZA GENERALIZZATA
Smorzamento SMORZAMENTO GENERALIZZATO
Forze esterne FORZE GENERALIZZATE
Moto
1 1
2 2
...
( )
( )
( )n n
q q t
q q t
q q t
Equazioni del moto
11 1 12 2 13 3 1 11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 31 1 32 2 33 3 3 3
... ...
... ...
... ...
..
n n n n
n n n n
n n n n
m q m q m q m q k q k q k q k q G
m q m q m q m q k q k q k q k q G
m q m q m q m q k q k q k q k q G
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
.
... ...n n n nn n n n n nn n nm q m q m q m q k q k q k q k q G
Energia Potenziale
Forze conservative Le forze per le quali il lavoro eseguito non dipende dal percorso si chiamano conservative
Il lavoro in questo caso si può esprimere come differenza tra i valori che assume una funzione delle sole
coordinate dei punti iniziale e finale della traiettoria (A e B).
Energia potenziale La funzione delle coordinate che permette di calcolare il lavoro di una forza conservativa è detta energia
potenziale Ep (energia che dipende dalla posizione).
Se il sistema di forze applicato al sistema ammette una funzione scalare solo della posizione (e non
esplicitamente del tempo) , Ep = Ep(q1 , q2 … qn ) il cui differenziale a tempo congelato è uguale ed
opposto al lavoro virtuale compiuto dalle forze applicate al sistema, cioè tale che
d Ep= - dW
allora si dice che le forze ammettono potenziale e si chiamano FORZE MONOGENE (generate da una
sola funzione).
WA-B= - [EP(B)-EP (A) ] = - DEP
E cioè si può dire che il lavoro compiuto dalle forze viene fatto a spese di un’energia EP
dipendente dalla posizione: l’energia potenziale.
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NOTA BENE Non esiste una forma generale per l’energia potenziale ma la sua espressione dipende dalla
forza conservativa.
52
A B
• Forze elastiche che seguono la legge di Hooke
• Forze gravitazionali
Nei sistemi che studieremo, avremo le forze di richiamo elastico che sono conservative.
Sul sistema in figura agisce solo la forza di richiamo elastico FE esercitata dal pilastro sulla
massa, proporzionale allo spostamento attraverso la rigidezza k
Energia potenziale del sistema (nella coordinata u)
F k u
Le forze che ammettono potenziale si dicono conservative Esistono casi pratici di notevole interesse in cui le forze sono conservative. Per esempio:
• Forze elettriche
Sistema ad 1 gdl
m
x=u(t)
FE= -ku
k → rigidezza
flessionale
pilastro
Lavoro virtuale
dW = FE du = -ku du
Si, esiste ed è questa:
21
2PE k u
q(t)=u(t)
Nota bene: questa è l’energia potenziale del sistema se si sceglie come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u.
Se cambiassimo coordinata cambierebbe anche l’espressione di Ep!
L’energia potenziale ha le dimensioni di un lavoro ed è data dal prodotto, dimezzato, di rigidezza (generalizzata)
per spostamento (generalizzato) al quadrato. Per sistemi a più gradi di libertà il prodotto è matriciale.
Esempio 1. Sistema ad 1 GDL (a pendolo rovescio). Il sistema in figura ha 1 GDL. Nelle ipotesi di asta rigida assialmente e
piccoli spostamenti, la massa non può spostarsi verticalmente e quindi è sufficiente 1 parametro per descrivere la posizione
della massa in qualunque istante. Scegliamo come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale x che chiamiamo u(t).
componente
scalare lungo x
della forza FE=-kui (i = versore asse x)
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53
Esiste una funzione il cui differenziale a tempo congelato è uguale (ma di segno
opposto) al lavoro virtuale?
Esempio 2. Energia potenziale di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile)
q(t) q(t)
m
1 grado di libertà (1 gdl)
ENERGIA POTENZIALE nella coordinata q 21
2PE mgL q
per piccole oscillazioni
rigidezza generalizzata (dimensioni forza x lunghezza)
P=mg
q
FE=-mgsenq
Forza di richiamo
elastico
L
La forza applicata al sistema è solo la forza peso P, che si può scomporre lungo due direzioni: una ortogonale
all’asta e una lungo l’asta. La componente ortogonale rappresenta la forza di richiamo per la massa, mentre
la componente longitudinale non è attiva (l’asta è inestensibile quindi questa componente non può compiere
lavoro). Conviene riferirsi alle coordinate geometriche: una lungo l’asta e una ortogonale all’asta.
Lavoro virtuale della componente di forza attiva W mg sen sd q d
W mg Ld q dq
Si! E’ la seguente 21 E
2p mgLq
s
s L senq
s Ld dq
q
Nota bene: Se scegliessimo come coordinata generalizzata lo spostamento s avremmo
e quindi l’energia potenziale sarebbe
s
W mg s mg sL
d q d d
rigidezza generalizzata (in questo caso è proprio una rigidezza) (dimensioni forza / lunghezza)
21
2P
mgE s
L
spostamento generalizzato (è proprio uno spostamento) (dimensioni di lunghezza)
spostamento generalizzato (adimensionale)
Scegliamo come coordinata generalizzata
Lavoro virtuale nella coordinata q
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relazione parametrica
energia potenziale
nella coordinata s
La rigidezza generalizzata è quella quantità che nell’espressione dell’energia
potenziale moltiplica lo spostamento generalizzato al quadrato (escluso ½)
54
s L q
differenziale a tempo congelato
Esiste una funzione il cui differenziale a tempo congelato è uguale (ma di segno
opposto) al lavoro virtuale?
Energia Cinetica di un sistema di masse
Il quadrato del vettore velocità è una quantità scalare perché è dato da:
In un sistema di riferimento ortogonale cartesiano, fisso con il mondo esterno, la velocità della generica
massa ha componenti (scalari) . Il suo modulo è quindi dato da
Energia cinetica in coordinate geometriche
L’energia cinetica di un sistema di m masse è data per definizione da:
2) • s2( v s s sv v v
2 22
s s s sv = x + y + z
1
1
2
2ss
s
E mc
m
v
x y
z
m1
m2
m3
mm
(x1,y1,z1 )
(x2,y2,z2 )
(xm,ym,zm )
ms (xs,ys,zs )
quantità scalare !
L’energia cinetica è una quantità scalare sempre positiva. Ha le dimensioni di energia e si misura in Joule
(1 J = 1N x 1m)
NOTA BENE:
vs=vs(t)
NOTA BENE:
Ec=Ec(t) 2 2 2
1
1 ( )
2
m
C s s s s
s
E m x y z
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55
s s sx , y , z
Energia cinetica di una sola massa
L’energia cinetica di un sistema con una sola massa m è data da:
dove v è il modulo della velocità dell’unica massa m . Si può scrivere anche:
21
2CE m v
2 2 21 ( )
2CE m x y z
nel piano
nello spazio
2 21 ( )
2CE m x y
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56
Sistema ad 1 gdl
m
k → rigidezza
flessionale
pilastro
Esempio 1. Sistema ad 1 GDL (a pendolo rovescio).
x=u(t) q(t)=u(t)
( 2 21
2 CE m x y
Nota bene: questa è l’energia cinetica del sistema se si sceglie come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u.
Se cambiassimo coordinata cambierebbe anche l’espressione di EC!
L’energia cinetica ha le dimensioni di un lavoro (si misura in Joule) ed è data dal prodotto, dimezzato, di massa
(generalizzata) per spostamento (generalizzato) al quadrato. Per sistemi a più gradi di libertà il prodotto è matriciale.
Energia cinetica nelle coordinate geometriche
21
2CE m u
Energia cinetica nella coordinata generalizzata u
massa (generalizzata)
0
x u
yRelazioni parametriche
Derivate rispetto a t
0
x u
y
massa generalizzata
La massa generalizzata è quella quantità che moltiplica la velocità generalizzata al quadrato nell’espressione
dell’energia cinetica (escluso ½). In questo caso la massa generalizzata ha dimensioni di massa per
lunghezza al quadrato (momento di inerzia polare della massa rispetto a O). Questo perché la velocità
(generalizzata) è data da un angolo diviso un tempo (velocità angolare).
Esempio 2 Energia cinetica di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile)
Il sistema ha 1 grado di libertà e quindi basta 1 coordinata per descriverne il moto. Scegliamo
come coordinata generalizzata l’angolo q
2 2 21 1 ( )
2 2CE m v m x y Energia cinetica in coordinate geometriche
cosx L
y Lsen
q
q
Legami parametrici
cos
x Lsen
y L
q q
q q
Derivate rispetto al tempo
( ( 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1cos
2 2 2CE m x y m L sen m Lq q q q Sostituendo si ha
Energia cinetica nella coordinata generalizzata q(t) 2 21
2CE m L q
y
O x
q(t)=q(t)
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2 m m L
m
q L
s l
x
57
UNITA’ DI MISURA DELLA MASSA
Il chilogrammo è la massa di un
particolare cilindro di altezza e
diametro pari a 0,039 m fatto con
una lega di platino-iridio e
depositato presso l'Ufficio
Internazionale dei pesi e delle
misure a Sèvres, in Francia.
La massa è una grandezza fisica fondamentale nel S.I.
Unità di misura della massa nel S.I. è il chilogrammo Kg
(detto anche chilogrammo-massa per distinguerlo dal chilogrammo-peso)
2[ ] [ ]1[ ] 1
[ ]
N sKg
m
NOTA BENE: Se il peso P è espresso in Kgpeso e l’accelerazione g è espressa in m/s2, la massa si ottiene in
Kgpeso s2/m che non sono Kgmassa ! E’ un’altra unità di misura (un po’ spuria) della massa.
Si noti anche che poiché 1N ~ 1Kgpeso x10 e l’accelerazione di gravità g~10m/s2 si ha che NUMERICAMENTE il
valore del peso in Kgpeso coincide con il valore della massa in Kgmassa
(Solo numericamente, perché le unità di misura sono diverse!)
ESEMPIO: un uomo che pesa 80 Kgpeso ha una massa di 80 Kgmassa
Dalla legge di Newton si vede che la massa si può ricavare come rapporto
tra forza e accelerazione. In particolare, la massa di un corpo che ha un
dato peso P si ottiene come rapporto tra peso e accelerazione di gravità.
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Pm
g
Pesomassa
acc gravità
58
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
Se le forze applicate al sistema sono conservative e se il sistema ha solo vincoli fissi, allora si può
dimostrare che il moto del sistema avviene in modo che la somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale rimanga sempre costante, in qualunque istante:
Ec+EP = cost = E
In questo caso il sistema è detto meccanicamente conservativo.
TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:
In un sistema conservativo, la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale rimane sempre
costante durante il moto ed è pari all’energia totale E
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59
QUESTO TEOREMA CONSENTE DI SCRIVERE L’EQUAZIONE DEL MOTO DI SISTEMI AD 1 GDL NON SMORZATI (CONSERVATIVI). Basta imporre che: e cioè che:
0dE
dt
0 C PdE dE
dt dt
u(t)=0EC + EP = cost = E
Per
u(t)=0
Per
EC-max = EP-max = cost = E
Per piccole oscillazioni
Quando lo spostamento è massimo la
velocità si annulla e poi cambia segno
Quando lo spostamento è nullo, la velocità
è massima e poi inizia a diminuire
maxu(t)=u
maxu(t)=u C C C-MAXE = E (u)= E
C C E = E (u)= 0
P P max P-MAXE = E (u )= E
P PE = E (u)= 0
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2 21 1 +
2 2mu ku E
60
Conservazione della Energia Meccanica per la mensola incastrata alla base con massa
concentrata all’estremo libero (sistema ad 1 GDL detto anche PENDOLO ROVESCIO)
EQUAZIONE DEL MOTO LIBERO NON SMORZATO DELLA MENSOLA
(ipotesi piccoli spostamenti – linearità)
2 21 1 + 0
2 2
dmu ku
dt + 0 mu u ku u + 0 mu ku
Sistema ad 1 gdl
m q(t)=u(t)
21
2CE m u
21
2PE k u
x=u(t)
Questa equazione si ritrova anche seguendo altre strade ed è l’equazione del moto di un qualunque sistema ad 1 GDL
lineare e non smorzato descritto dalla coordinata generalizzata coincidente con l’unico spostamento consentito u(t)
θ(t)=0
qmax
m
EC + EP = cost = E
Per
θ(t)=0
Per
EC-max = EP-max = cost = E
Per piccole oscillazioni
Quando lo spostamento è massimo la
velocità si annulla e poi cambia segno
Quando lo spostamento è nullo, la velocità
è massima e poi inizia a diminuire
maxθ(t)=θ
maxθ(t)=θ
q =0
C C C-MAXE = E (θ)= E
C C E = E (θ)= 0
P P max P-MAXE = E (θ )= E
P PE = E (θ)= 0
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2 2 21 1 +
2 2q q mL mgL E
2 21
2CE mL q
21
2PE mgLq
61
Conservazione della Energia Meccanica nel PENDOLO (senza attriti)
(http://www.walter-fendt.de/html5/phit/pendulum_it.htm)
EQUAZIONE DEL MOTO LIBERO NON SMORZATO DEL PENDOLO SEMPLICE
(ipotesi piccoli spostamenti – linearità)
2 2 21 1 + 0
2 2q q
dmL mgL
dt
2 + 0 q q q q mL mgL + 0 q q L g
Periodo proprio del pendolo T=2π𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒛𝒂𝒕𝒂
𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒛𝒂𝒕𝒂 = 2π
𝒎𝑳𝟐
𝒎𝒈𝑳 = 2π
𝑳
𝒈
PRINCIPIO DI D’ALAMBERT “Un qualunque insieme di forze applicato
ad un sistema meccanico in moto è in equilibrio (in ogni istante) ed è in grado di
soddisfare le condizioni che sarebbero soddisfatte nel caso statico se si considerano
applicate al sistema anche le forze d’inerzia.”
Jean Baptiste D’Alambert Parigi 1717 - 1783
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62
s s s s sm m x y z Is sF a i j k
La forza d’inerzia agente su un punto materiale di massa ms è il
prodotto tra la massa ms e l’accelerazione del punto considerato
cambiata di segno:
sono i versori degli assi coordinati x, y e z.
Attraverso le relazioni parametriche che legano le coordinate
geometriche e le coordinate generalizzate, possiamo scrivere
anche le forze di inerzia in coordinate generalizzate.
ATTRAVERSO IL PRINCIPIO DI D’ALAMBERT SI POSSONO
SCRIVERE LE EQUAZIONI DEL MOTO DI UN SISTEMA MECCANICO
Per scrivere le equazioni del moto in genere si utilizzano le componenti scalari delle forze
lungo le direzioni del moto.
i j k
2a Legge (o Principio) di Newton
Sir Isaac Newton
Inghilterra 1642 - 1727
relazione vettoriale
In ogni istante, la risultante di tutte le forze attive agenti
su una massa in moto è pari al prodotto della massa per
la sua accelerazione.
NOTA BENE: c’è una equivalenza tra Principio di D’Alambert e 2a legge di Newton
(ma Newton è morto quando D’Alambert era ancora un bambino! )
Quindi D’Alambert poteva conoscere la legge di Newton, ma Newton non sapeva nulla del Principio di
D’Alambert )
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63
ATTRAVERSO LA LEGGE DI NEWTON SI POSSONO
SCRIVERE LE EQUAZIONI DEL MOTO DI UN SISTEMA MECCANICO
Però si può usare agevolmente solo per sistemi semplici.
𝑭 = 𝑚 𝒂
Si definisce funzione lagrangiana L l’eccesso di energia cinetica rispetto all’energia
potenziale:
def
r r c r r p r rL(q ,q ,t)= E (q ,q ,t) - E (q ,q ,t)
Si tratta di una funzione che dipende dal sistema e dalle forze applicate ad esso.
Siccome Ec e Ep sono delle funzioni caratteristiche del sistema, allora anche la funzione
lagrangiana L è una caratteristica del sistema.
Nei nostri sistemi in genere l’energia cinetica dipende solo dalle derivate delle coordinate
generalizzate qr mentre l’energia potenziale dipende solo dalle qr (dalla posizione)
FUNZIONE LAGRANGIANA
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64
Joseph-Louis Lagrange
(Giuseppe Luigi Lagrangia)
Torino, 25 -01-1736
Parigi, 10 -01-1813
Equazioni Lagrangiane del moto
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65
( ) 1,2,...,p
r
r r
d L LG r n
dt q q
( ) ( ) 1,2,...,m pC Cr r
r r
E EdG G r n
dt q q
(1)
(2)
Forze generalizzate relative alle forze monogene agenti sul sistema ( )m
rG
( )p
rG
Funzione lagrangiana ( )def
c pL = L(t)= E (t) - E t
c cE = E (t) Energia cinetica
Forze generalizzate relative alle forze poligene agenti sul sistema
n equazioni differenziali del secondo ordine
p pE = E (t) Energia potenziale
Equivalenza delle espressioni (1) e (2) delle Equazioni Lagrangiane
Sostituendo si ottiene:
( ) 1,2,...,
pC C P P
r r r r
E Ed d E EG r n
dt q q dt q q
Poiché si dimostra che le forze generalizzate relative alle forze monogene (che ammettono potenziale)
sono date da:
( )m P Pr
r r
d E EG
dt q q
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66
( ) 1,2,...,p
r
r r
d L LG r n
dt q q
(1)
( )def
c pL = L(t)= E (t)- E t
( ) ( ) 1,2,...,m pC Cr r
r r
E EdG G r n
dt q q
(2)
Partiremo da queste equazioni (nella forma (1) oppure (2) per scrivere le equazioni del moto
di sistemi a uno e a più gradi di libertà
si ha che:
Lavoro Virtuale delle forze in coordinate geometriche
Dato un sistema meccanico costituito da un certo numero m di masse, intese come punti massa, vincolate
tra loro e con l’esterno. La posizione della massa s-esima rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano
nello spazio è individuata da tre coordinate geometriche xs, ys, zs. Supponiamo che sulle masse agiscano
delle forze, in generale funzione del posto e del tempo. Le forze sono dei vettori che hanno tre componenti
scalari nelle direzioni dei tre assi coordinati ( Xs , Ys , Zs ). Supponiamo ora di fornire uno spostamento
virtuale al sistema, cioè assegniamo a ciascun punto materiale di massa ms uno spostamento virtuale dss
nella direzione della forza.
Il lavoro virtuale compiuto dalle forze agenti sulle masse si può esprimere come sommatoria dei
prodotti scalari delle forze per gli spostamenti virtuali nella direzione delle forze.
x
y
z
m1
m2
(x1,y1,z1 )
(x2,y2,z2 )
(xm,ym,zm )
ms (xs,ys,zs)
Nota bene: in grassetto si indicano i vettori!
1 1• )
m md
s s s s s s s s
s sW (X δx Y δy Z δzF δs
vettore forza sulla s-esima massa ( , , )X Y Zs s s sF
vettore spostamento virtuale della s-esima massa ( , , )x y zd d ds s s ssd
Fm F1
F2
... ... ...W X X X Y Y Y Z Z Zm m m m m md 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2δx δx δx δy δy δy δz δz δz
Lavoro virtuale espresso in termini di coordinate geometriche
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67
(3m termini)
mm
DEFINIZIONE: La forza generalizzata G è quel vettore (a n dimensioni) che moltiplicato scalarmente per il
vettore incremento virtuale delle coordinate generalizzate dq fornisce il lavoro virtuale compiuto dalle forze
applicate alle masse (in genere quelle esterne, ma il concetto si applica anche per forze di richiamo, dissipative
e persino per forze statiche) Fs per gli spostamenti virtuali dss delle masse.
Le componenti Gi vengono spesso chiamate anch’esse “forze generalizzate”.
Le forze generalizzate (scalari) relative a delle forze esterne e a date coordinate generalizzate sono
quei coefficienti Gr (con r=1,2,..,n) per i quali bisogna moltiplicare gli incrementi virtuali delle
coordinate generalizzate dqr per ottenere il lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne per degli
spostamenti virtuali dati.
1 1• )
m md
s s s s s s s s
s sW (X δx Y δy Z δzF δs
FORZE GENERALIZZATE
1 1 2 2 ... n nW G q G q G qd d d d
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68
dq=(dq1, dq2, …, dqn)
vettore forza generalizzata
(n dimensioni)
vettore spostamenti virtuali
generalizzati (n dimensioni)
G=(G1, G2, …, Gn)
Come le otteniamo?
Attraverso la definizione: uguagliando il lavoro virtuale in coordinate
geometriche con il lavoro virtuale nelle coordinate generalizzate
Perché ci servono?
Per poter scrivere le equazioni del moto nelle coordinate scelte
(n termini)
= G dq
n = numero di GDL
Fs=(Xs, Ys, Zs)
vettore forza sulla
s-esima massa
spostamento virtuale
della s-esima massa
( , , )x y zd d ds s s ssd
METODO DIRETTO per il Calcolo delle Forze Generalizzate
1 1 2 21 1
( ) ...m
d d d d d d d d
ndef
s s s s s s r r n ns r
W X x Y y Z z G q G q G q G q
Lavoro virtuale delle forze esterne =
Lavoro virtuale in coordinate generalizzate
Sostituendo si ricavano le forze generalizzate
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
...
...
...
d d d d
d d d d m
d d d d
s s ss n
n
s s ss n
n
i s ss n
n
x x xx q q q
q q q
y y yy q q q s = 1,2,...,
q q q
z z zz q q q
q q q
1 21 1 2
1 1 1
1 21 2
1 1 1
1 21 2
1 1 1
...
...
...
m
m
m
m
m
m
xx xG X X X
q q q
yy yY Y Y
q q q
zz zZ Z Z
q q q
Componenti delle forze ESTERNE (note)
Incrementi virtuali delle coordinate geometriche
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69
Per sistemi piani con 1 GDL è molto semplice!
1 2
1 2
1 2
( , ,..., , )
( , ,..., , )
( , ,..., , )
m
s s n
s s n
s s n
x x q q q t
y y q q q t s = 1,2,...,
z z q q q t
Legami parametrici
differenziali a tempo congelato dei legami parametrici
Componenti delle forze GENERALIZZATE (incognite)
Incrementi virtuali delle coordinate generalizzate
Per sistemi piani con PIU’ GDL si lavora con matrici (più semplice)
1. Perché il loro studio consente di introdurre in maniera semplice ed immediata (vicina all’intuizione fisica) i concetti fondamentali della dinamica strutturale (validi anche per sistemi a più gradi di libertà e per sistemi continui);
2. perché lo studio di sistemi più complessi come i sistemi a più gradi di libertà e anche i sistemi continui (ad infiniti gradi di libertà), si può spesso ricondurre a quello di una serie di opportuni sistemi ad un GDL. Questo, come vedremo, è possibile grazie a quella parte della dinamica che prende il nome di analisi modale (o analisi dei modi principali di vibrazione);
3. perché il modello meccanico costituito da un oscillatore ad un grado di libertà consente spesso di descrivere in maniera sufficientemente accurata il comportamento di strutture più complesse e quindi risulta di grande utilità pratica per le applicazioni. In particolare, ci si può ricondurre allo schema dell’oscillatore semplice tutte le volte che si ha un sistema strutturale con una massa predominante, le cui oscillazioni possono essere descritte attraverso un solo parametro.
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70
SISTEMI AD 1 GDL
Perché studiamo i sistemi ad 1 gdl?