IL LOTTO ECONOMICO

• Il lotto economico nasce dalla teoria legata alla gestione a scorte dei materiali in cui la domanda deriva da stime previsionali (effettuate ad esempio ricavando i dati futuri dall'analisi dello storico) e non dalla esplosione di un piano di produzione come avviene invece per la gestione a fabbisogno (esempio MRP).

Esistono due modelli di lotto economico a seconda che si consideri:

• Il dimensionamento degli ordini d'acquisto di materia prima verso il fornitore, qualora il livello di scorte a magazzino scenda sotto il livello del punto di riordino (per evitare blocchi di produzione).

modello del lotto economico di acquisto (EOQ)

• Il dimensionamento dei lotti di produzione da processare sulle macchine qualora il prodotto sia realizzato internamente.

modello del lotto economico di produzione (EMQ)

ModelloModello Economic Order Quantity (EOQ) Economic Order Quantity (EOQ)

• Sviluppato da F.W. Harris, 1913

• risponde a due quesiti

– quando ordinare

– quanto ordinare

• domanda Indipendente

EOQ IpotesiEOQ Ipotesi

• Domanda nota e costante nel tempo• Prezzo unitario di acquisto costante per ogni

dimensione del lotto ordinato e nel periodo considerato

• Lead time di riordino noto e costante• Costi di stoccaggio unitari costanti• L’ordine emesso è inserito a scorta

interamente non appena è stato ricevuto

• Non si considera la possibilità di avere rotture di stock (equivale a fissare un costo infinito alla rottura di stock)

• Possono essere trasportati lotti di qualunque dimensione senza che questo influenzi i costi di trasporto,

• L’ordine emesso può essere di dimensione qualunque.

EOQ IpotesiEOQ Ipotesi

EOQ Obiettivi

Il lotto economico di acquisto rappresenta il numero di unità di singolo articolo che dovrebbe essere specificato ogni volta che si emette un ordine, al fine di minimizzare i costi totali:

• Costi di acquisto• Costi di emissione di un ordine• Costi di mantenimento a scorta dei beni

EOQEOQ

Costi di mantenimento

QOPT Quantità da ordinare Q

COSTI

Costo d’acquisto

Costi totali

Costi di ordinazione

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

costo totale d’acquisto (Ca)

è pari al prodotto di p (prezzo) per la quantità acquistata D (uguale alla domanda) e non dipende quindi dalla dimensione del lotto:

Ca = pD

Es.:• Costi di ricerca e selezione dei fornitori• Costi amministrativi legati alla preparazione

dell’ordine• Costi amministrativi legati alle procedure di

pagamento del fornitore

costo di ordinazione (Co)

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

costo di ordinazione (Co)

se la grandezza del lotto è pari a Q e se ordino D unità avrò che il numero di ordini è pari a

D/Q

se Co il costo unitario di ordinazione allora il

costo totale di ordinazione sarà:

Q

DcCo o

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

costo di mantenimento (Cm)

Due categorie principali: 1. Costi tangibili di mantenimento– Costi operativi emergenti con la gestione delle scorte in uno spazio fisico determinato. Costi di affitto del magazzino, costi di assicurazione, costi legati alla movimentazione fisica, costi di obsolescenza 2. Costi opportunità legati all’investimento dicapitale nelle giacenze

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

costo di mantenimento (Cm)

Q/2 = quantità media a giacenza

Tempo

Giacenza

Q

Q/2

Voci di costo per EOQVoci di costo per EOQ

costo di mantenimento (Cm)

è pari a:

In cui cS è il costo di un euro messo a scorta per un anno

2

QpcC Sm

costo totale costo totale

Dove:

p è il prezzo di acquisto di un’unità del singolo bene

D è la domanda annua

co è il costo di emissione di un singolo ordine

cS è il costo di un euro messo a scorta per un anno

Q è la quantità ordinata con un singolo ordine

2

Qpc

Q

DcpDC Sotot

12

EOQEOQ

022

pc

Q

Dc

dQ

dC Sotot

)(2

WilsondiFormulapc

DcQ

S

oott

Per trovare il minimo della funzione di costo totale è necessario derivare Ctot rispetto a Q e porre la derivata uguale a zero

È possibile calcolare l’intervallo ottimo di riordino, il costo totale ottimo e il numero ottimo di ordine emessi in un anno:

pDc

cDQT

S

otto

ott

2/

)(2

WilsondiFormulapc

DcQ

S

oott

oott c

pDcQDn

S

ott

2/

22 o

ott

pDccpDCT

S

EsempioUn commerciante deve decidere la quantità da tenere a

scorta di un certo prodotto a fronte delle seguenti condizioni:

• D (domanda annuale) = 10.000 unità• Valore unitario del prodotto = 24 euro• Costo di mantenimento = 30% del valore unitario• Costo unitario di ordinazione= 50 euroGiorni lavorativi = 250 giorni all’annoCalcolare:

• il lotto economico (EOQ)• L’intervallo ottimo di riordino (TBO-Time between

orders)• Costi totali.

Risoluzione

678,3722430,0

100005022

pc

DcQ

S

oott

2,9250*037,010000/679,372/ anniDQT ottott

2426832/7,372*24*3,07,372

100005010000*24

2

Qpc

Q

DcpDC Sotot

Modello EOQ con sconti quantità

• Tra le ipotesi più restrittive fatte per la derivazione dell’EOQ c’è quella dell’indipendenza del prezzo unitario dalla quantità ordinata.

• In realtà infatti in molte situazioni reali ciò non accade, e si è in presenza spesso di sconti sulle quantità ordinate (sconti sul prezzo di acquisto oltre un certo quantitativo).

• Ciò può facilmente accadere quando si devono considerare eventuali costi di trasporto.

Modello EOQ con sconti quantità

Modello EOQ con sconti quantità

• ∀ Q: CTk(Q) < CTk-1(Q) <… < CT1(Q)• Se EOQi è ammissibile, allora il costo minimo perbi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q = EOQi.• Se EOQi < bi-1, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q <

bi si ottiene per Q = bi-1; se EOQi > bi, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q =bi

• Se EOQi è ammissibile, allora CT(Q) non può essere minimizzato in corrispondenza di una quantità Q con prezzo unitario superiore a pi.

Modello EOQ con sconti quantità

Esempio

• Il costo di emissione ordine è pari $49 per ciascun ordine.

• La domanda annua (D) è 5000 units, • Il costo unitario di mantenimento è in

percentuale (cs=0.20) del prezzo del prodotto (p).

• Question: Quale è la quantità da ordinare che mi minimizza I costi

• Answer:• Step 1: Compute Q* for every discount range.

Esempio

orderunitspc

DcQ

S

oott /700

5)20,0(

)5000)(49(221

orderunitspc

DcQ

S

oott /714

8,4)20,0(

)5000)(49(222

orderunitspc

DcQ

S

oott /718

75,4)20,0(

)5000)(49(223

Esempio

• Step 2: modificare i valorei di Q* che sono al di fuori dei range ammissibili

• Per Q1 il range ammissibile è 0-999. Q1* = 700 è all’interno del range e non deve essere modificato.

Esempio

- Per Q2, il range ammissibile è 1000-1999. Q2* = 714 non è nel range (Q2* non è ammissibile), quindi modifichiamo il valore con il più basso valore ammissibile, che è Q2* = 1000.

- Per Q3, il range è 2000-. Q3* = 718 non è nel range, quindi modifichiamo il valore con il più basso valore ammissibile, che è Q3* = 2000.

Esempio

• Step 3: Confrontiamo il costo totale per ciascuna delle quantità ordinate(Q*)

Esempio

• Step 4: Un ordine di 1000 units minimizzerà il costo totale.

Modello EOQ con backorders

• introdotto il caso di rottura di stock• È il caso in cui i clienti sono disposti ad

accettare dilazioni nella consegna dei beni rispetto alla data richiesta, ma ogni ritardo nella consegna ha un costo.

• È opportuno modificare il modello per tener conto dei maggiori costi che occorrono per evadere un ordine posticipato

La domanda non può essere completamente soddisfatta dalla merce disponibile in magazzino

• Ammanco (stock out) di merce richiesta ma non disponibile

• Backorders: la domanda sarà immediatamente soddisfatta all’arrivo di nuova merce in magazzino

• Si tiene traccia di tutte le richieste di merce giunte al magazzino e non soddisfatte

• Costo (unitario) di ammanco (cso)

Modello EOQ con backorders

Viene emesso un ordine di Q unità quando il livello di scorta disponibile raggiunge il lvello di riordino

Nel momento in cui la quantità ordinata arriva viene ripristinata la quantità max presente in magazzino pari a M;

Q-M (quantita da evadere in ritardo) viene inviata con maggiori costi ai clienti.

t1 t2

Modello EOQ con backorders

Costo di stoccaggio

• Cm = cs *p*M/2*t1= cs *p*M2/2D

Essendo t1 = M/D

Costo di stockout

• perdite dovute all’incapacità di soddisfare la domanda.

• È proporzionale al tempo tempo di ritardo.

Cso = cso*p*(Q-M)*t2/2 = cso*p*(Q-M)2/2D

Essendo t2=(Q-M)/D• cso=è il costo di stockout per una unità per un

anno

Ctot

• Il costo totale di un singolo periodo di durata T risulta essere:

D

MQpc

D

MccpQtotC So

S

o

p

2

2)(

2

2

Ctot

• Essendoci in un anno un numero di peridi T pari a D/Q ne deriva un costo annuo totale pari a:

Q

MQc

Q

Mc

Q

DcpDtotC uSO

S

o

p

2

2)(

2

2

dove cuSO è il costo di stock out per un unità per un anno

Qott e Mott

Si determinano i valori ottimi di Q e M derivando l’espressione del costo totale una volta rispetto a Q e una volta rispetto a M per poi uguagliare a zero le espressioni cosi ricavate, ottenendo:

uSO

uSOS

S c

cpc

pc

DcQ oott

2

uSOS

uSO

S cpc

c

pc

DcM o

ott

2

osservazioni

• Facendo tendere il costo di rottura di stock unitario a infinito, condizione che è verificata per il modello base, si ottiene l’espressione del lotto economico di acquisto del modello base.

• È possibile calcolare il valore max di tempo che un cliente deve attendere come rapporto tra (Q-M) e D, in questo modo è possibile valutare se tale ritardo è accettabile.

uSO

uSOS

S c

cpc

pc

DcQ oott

2

uSOS

uSO

S cpc

c

pc

DcM o

ott

2

Lotto economico di produzione

EPQ (o EMQ)• Si considera che gli ordini possono essere ricevuti

gradualmente in un determinato periodo di tempo.

l’approvigionamento per l’ordine non arriva immediatamente.

Ciò avviene quando:1. gli ordini vengono consegnati come flussi

continui in un determinato periodo di tempo.2. le unità in scorta sono prodotte dall’azienda.

• Nel modello EPQ si considera che occorre un certo tempo per produrre le quantità richieste.

Quindi • rp è il tasso di produzione ed

• rc è il tasso di consumo,

(espressi in quantità per unità di tempo).• tp è la lunghezza del periodo di produzione in

giorni

EPQ - Ipotesi di base

• rp > rc : in caso contrario la produzione non

sarebbe sufficiente a soddisfare la domanda;

• La produzione continua per tutto il periodo tp,

dopodiché le scorte decrescono in base al tasso di domanda;

• Quando le scorte raggiungono il livello 0 si riprende la produzione.

PRODUCTION ORDER QUANTITYPRODUCTION ORDER QUANTITYLivello delle scorte nel tempo

rp > rc

rp = 0

rc ≠ 0

Inventory

Time

r p -

r c

tp tc

Q/ rp Q/ rc

Q1

Q è la quantità di prodotto da realizzarerp è il tasso di produzionerc è il tasso di consumotp è il tempo in cui sarà prodotta la quantità Q di prodotto da realizzare

Costo di produzione e di set up

• Costi fissi di produzione= p*D

• Costi di set up (ordinazione) = csu * D/Q

(costo unitario di set up per il numero di set up nell’intervallo di tempo)

Valore massimo della scorta Q1

• Durante il periodo di produzione si ha anche consumo, quindi le scorte aumentano in ragione della differenza dei tassi di produzione e di consumo per cui si ottiene un valore massimo della scorta pari a:

• Q1 = (rp – rc)*tp= (rp – rc)*Q/ rp

Costo di mantenimento

Scorta media

2

Q

r

rrpcCm

p

cp

s

Costo totale

Dove:p è il costo da imputare alla produzione di un

singolo prodottocsu è il costo unitario di set up

Q è la quantità di prodotto da produrreD è la domanda annua

2

Q

r

rrpc

Q

DcDpCtot

p

cp

ssu

Qott

• Per determinare la dimensione ottima del lotto da produrre si dovrà derivare la funzione Ctot rispetto a Q e porre la derivata uguale a zero.

dCtot (Q) = 0

)(

2

cpS

p

rrpc

DrcQ suott

osservazione

• Al tendere di rp a infinito, limite teorico che equivale alla condizione di produzione immediata di ogni quantità ordinata (prodotta), si ricade nel EOQ.

• La durata ottima del lancio di produzione risulta essere: Qott/rp

)(

2

cpS

p

rrpc

DrcQ suott

EPQ con backorders

• Anche nel caso di lotto economico di produzione il modello può essere modificato per tenere conto della possibilità di andare in rottura di stock.

uSO

uSOS

cpS

p

c

cpc

rrpc

DrcQ suott

)(

2

“Make or Buy”

• Dal confronto tra lotto economico di acquisto e lotto economico di produzione è possibile ottenere informazioni in merito alla convenienza tra produrre internamente o decidere di far eseguire a terzi la produzione di uno o più beni.

EsercizioIl responsabile di un impianto di imbottigliamento deve

decidere la dimensione dei lotti da lanciare in produzione per ciascun tipo di bevanda.

Dati:• La domanda è di 80000 bottiglie al mese • In ogni mese sono disponibili 160 ore di produzione.• La linea di imbottigliamento ha un ritmo di 3000

bottiglie/ora• Il costo di ogni set-up è pari a 100 €• Il costo di mantenimento unitario (per ogni bottiglia è

pari a 0,1 €/mese.

Risoluzione

D=80000 bottiglie/meserc= 80000 /160= 500 bott/ora

13856)5003000(1,0

3000*80000*100*2

)(

2

cpS

p

rrpc

DrcQ suott