Il fascino dell’attrattore

A cura di: Argentini, Cirocchi, Di Girolamo, Fagiani, Lunardini,

Palenga, Romani,Tissi.

LICEO SCIENTIFICO “R. DONATELLI”

Con la collaborazione della

prof.ssa Mara Massarucci

Che cos’è un frattale?

"Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti".

Benoit Mandelbrot (les objects fractales,1989)

cioè ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizzerà ancora un insieme ricco di particolari e complesso come il precedente. Da tale proprietà scaturiscono due caratteristiche:

Che cos’è un frattale?

Autosimilitudine:

le curve frattali pur essendo continue non ammettono una unica tangente in un punto

presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza è sempre infinita.

Teorema di CaccioppoliSia T una trasformazione insieme-insieme, generata da una trasformazione geometrica .

Se è una contrazione, allora esiste una unica figura ATTRATTORE tale che

F

F = T( F )Inoltre, fissata comunque una figura start F0, la successione delle figure iterate

F0 start

F n+1=T(Fn) n=0,1,2…

costituisce una “approssimazione” della figura , che migliora ad ogni passo. F

Verifica del teorema

Ad ogni passo successivo le figure ottenute dovrebbero, secondo il teorema di Caccioppoli, apparire sempre più simili, fino a poterle considerare uguali. La figura finale costituisce l’ATTRATTORE, comune in tutti e quattro i casi.

A partire da quattro differenti moduli geometrici (start) e applicando n volte le stesse iterazioni, costruiremo quattro frattali.

Verifica del teorema PASSO 1

Procedure trasforma

x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);

y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);

...

putpixel (puntox(X1),puntoy(Y1),2);

...

Applicando tre semplici trasformazioni ad un punto (start) possiamo dar vita al primo frattale, in questo caso una felce.

Avvio

programma

Modifichiamo il programma semplicemente cambiando lo start in un cerchio.

Avvio

programma

Verifica del teorema PASSO 2

Procedure trasforma

x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);

y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);

...

circle(puntox(X1),puntoy(Y1),r);

...

Cambiamo ulteriormente lo start in un triangolo.

Avvio

programma

Verifica del teorema PASSO 3

Procedure trasforma

x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);

y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);

...

triangle (puntox(X1),puntoy(Y1),r);

...

Questa volta poniamo come start un quadrato.

Avvio

programma

Verifica del teorema PASSO 4

Procedure trasforma

x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);

y1:=round(0.048*x +0.799*y -0.01*l);

...

square (puntox(X1),puntoy(Y1),r);

...

Avvio

programma

Per riepilogare abbiamo voluto realizzare questo programma che, in una stessa schermata, mostra come da quattro start, attraverso le stesse trasformazioni, si arriva allo stesso ATTRATTORE!

Verifica del teorema CONCLUSIONI

Procedure trasforma

x1:=round(0.799*x -0.048*y+0.08*l);

...

putpixel (puntox3(X1),puntoy3(Y1),2);

circle (puntox2(X1),puntoy2(Y1),r1);

...