Grandezze correlate

Quando le grandezze di ingresso sono correlate tra loro la varianza combinata vale :

)x,x(ux

f

x

f2)x(u

x

f

)x,x(ux

f

x

f)y(u

jij

1N

1i

N

1ij ii

22N

1i i

jij

N

1i

N

1j i

2c

Con xi, yi stime di Xi, Yi e u(xi,yi)=u(yi,xi) è la stima della covarianza associata a xi ed yi.

11

Il grado di correlazione tra xi ed yi è espresso dalla stima del coefficiente di correlazione lineare:

Con r(xi,xj)=r(xj,xi) e -1 r(xi,xj) 1. Se le stime di xi

ed xj sono indipendenti r(xi,xj)= 0 (ossia un cambiamento di una non implica un cambiamento dell’altra.

)x(u)x(u

)x,x(u)x,x(r

ji

jiji

22

La covarianza tra due variabili casuali y e z si può stimare La covarianza tra due variabili casuali y e z si può stimare da n paia di osservazioni simultanee yda n paia di osservazioni simultanee y ii e z e zii come s(y come s(yii,z,zii).).

s y z n y y z zi i ii

ni,

1

1 1dove:dove:

y n yii

n

1

1z n zi

i

n

1

1

s y z n n y y z zii

ni,

1

1 1

Trattando i valori medi:Trattando i valori medi:

33

INCERTEZZA ESTESA

- risponde al principio che un ingegnere fa i conti con 6 cifre significative su tutto e poi applica un coefficiente di sicurezza compreso tra 6 e 10.

- l’incertezza estesa (expanded) è indicata con U ed è ottenuta moltiplicando l’incertezza combinata standard uc(y) per un fattore di copertura k.

U=kuc(y)

IL RISULTATO DI UNA MISURA E’ DUNQUE ESPRESSO COME

Y=y ± U

44

Y=y±U

ossia la miglior stima del valore attribuibile al misurando Y è y, e l’intervallo y-U y+U è quello in cui ci si attende di trovare la buona parte dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti ad Y.

“U definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che comprende una gran parte p della distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato stesso e dalla sua incertezza tipo combinata e p è la probabilità di copertura o grado di confidenza dell’intervallo.

N.B.: si parla di grado di confidenza e non di livello di confidenza che presuppone solo incertezze di tipo A. 55

Fattore di copertura k

viene scelto in base al grado di confidenza richiesto all’intervallo y-U y+U. in generale k è compreso tra 2 e 3.

E’ da evitarsi il tentativo di comprendere una correzione sistematica in un allargamento dell’incertezza.

E’ desiderabile che il fattore di copertura consenta un grado di confidenza almeno del 95%, pur essendo assai difficile garantire a priori questo valore.

66

Riassumendo, lo sperimentatore deve fornire le seguenti informazioni:

- stima migliore del valore della quantità sotto misura

- intervallo all’interno del quale si stima sia compreso il predetto valore

- grado di confidenza, in termini statistici, che si dà alla seconda informazione

77

Esempio: stima dell’incertezza

Blocchetto da 50 mm nominali: la sua lunghezza è determinata per confronto con un campione della stessa lunghezza nominale.

88

sss 1l1ld

l = misurando (lunghezza del blocchetto a 20°C)ls = lunghezza del campione a 20°Cs = coeff. dilatazione termica del blocchetto in prova e dello standards = differenze di temperatura rispetto ai 20°C.

Il misurando è dato da:

99

...ldl1

d1ll ssss

sss

Allora si ha:

s s

sssss ldl,,,,d,lfl

sono stimati nulli, ma non le loro incertezze, s sono incorrelati.

Stima del misurando: ls+d ove ls è la lunghezza a 20°C (certificato)

Stima di d è d, media aritmetica di 5 letture indipendenti.Stima di d è d, media aritmetica di 5 letture indipendenti.=0 e =0 e =0.=0.Propagazione dell’incertezza:Propagazione dell’incertezza:

u l c u l c u d c uc s s d ss2 2 2 2 2 2 2 ...

c u c u c u 2 2 2 2 2 2

Con:Con: c f ls s s / 1 1

c f dd / 1c f ls s s / 0

c f ls / 0

u l u l u dc s2 2 2

l u l us s s2 2 2 2 2 2

Da determinareDa determinare

1010

Incertezza del campione u(lIncertezza del campione u(lss))

Il certificato di taratura fornisce l’incertezza estesa Il certificato di taratura fornisce l’incertezza estesa U=0.0755 U=0.0755 m ottenuta con un fattore di copertura k=3m ottenuta con un fattore di copertura k=3

u l m nms 0075 3 25. /

Incertezza nella misura della differenza dIncertezza nella misura della differenza dL’esperienza ha fissato che, per 25 confronti tra due L’esperienza ha fissato che, per 25 confronti tra due blocchetti, l’incertezza su d è 13 nm.blocchetti, l’incertezza su d è 13 nm.Nella misura in esame sono state effettuate 5 osservazioni.Nella misura in esame sono state effettuate 5 osservazioni.L’incertezza associata alla stima della media è:L’incertezza associata alla stima della media è:

u d s d nm nm 13 5 58/ .

Sempre dal certificato di taratura è possibile dedurre una Sempre dal certificato di taratura è possibile dedurre una correzione da effetto sistematico, pari a 0.02 mm “a livello correzione da effetto sistematico, pari a 0.02 mm “a livello di 3 di 3 ””

u d m nm2 002 3 67 . / .1111

Si supponga nota anche una correzione da effetto random:Si supponga nota anche una correzione da effetto random:

u d m1 3 39 .

Contributo globale:Contributo globale:

u d u d u d u d nm2 2 2 1 2 2 293

u d m97.

Incertezza del coefficiente di espansione termica u(Incertezza del coefficiente di espansione termica u(ss))

ss=11.5x10=11.5x10-6 -6 °C°C-1 -1 con incertezza fornita da una con incertezza fornita da una

distribuzione rettangolare con limiti ±2x10 distribuzione rettangolare con limiti ±2x10 -6 -6 °C°C-1 -1 . . L’incertezza standard è:L’incertezza standard è:

u x C x Cs 2 10 3 12 106 1 6 1/ .Poichè:Poichè: questo termine ha effetto questo termine ha effetto solo considerando i termini di secondo ordinesolo considerando i termini di secondo ordine

c f ls s s / 0

1212

Incertezza nella conoscenza della temperatura u(Incertezza nella conoscenza della temperatura u())La temperatura dell’ambiente di prova è 19.9 ± 0.5 °C, La temperatura dell’ambiente di prova è 19.9 ± 0.5 °C, misurata prima delle prove. Lo scarto di 0.5 °C misurata prima delle prove. Lo scarto di 0.5 °C rappresenta l’ampiezza delle variazioni cicliche legate alla rappresenta l’ampiezza delle variazioni cicliche legate alla presenza di un dispositivo termostatico, non l’incertezza presenza di un dispositivo termostatico, non l’incertezza del valor medio.del valor medio.Il valore dello scarto della temperatura mediaIl valore dello scarto della temperatura media

199 20 01. .C C C

è affetto da una sua incertezza è affetto da una sua incertezza u C 02.

mentre la variazione ciclica nel tempo segue una legge mentre la variazione ciclica nel tempo segue una legge armonica con incertezza standard:armonica con incertezza standard:

u C C 05 2 035. / .Lo scarto sul valor medio si può assumere pari a Lo scarto sul valor medio si può assumere pari a , con , con incertezza standardincertezza standard

u u u C2 2 2 20165 . u C 041.1313

Poichè:Poichè: anche questo termine non anche questo termine non conta in una approssimazione del primo ordine.conta in una approssimazione del primo ordine.

Incertezza nella differenza dei coefficienti di dilatazione Incertezza nella differenza dei coefficienti di dilatazione termica u(termica u())La stima di tale valore è ± 1x10La stima di tale valore è ± 1x10-6 -6 °C°C-1-1.L’incertezza .L’incertezza standard è:standard è:

c f ls / 0

u x C x C 1 10 3 058 106 1 6 1/ .

Incertezza nella differenza di temperatura u(Incertezza nella differenza di temperatura u())La differnza di temperatura ha uguale probabilità di La differnza di temperatura ha uguale probabilità di appartenere a tutti i punti dell’ intervallo -0.05 °C appartenere a tutti i punti dell’ intervallo -0.05 °C +0.05°C+0.05°CL’incertezza standard è:L’incertezza standard è:

u C C 005 3 0029. / .1414

1515

INCERTEZZA STANDARD COMBINATAINCERTEZZA STANDARD COMBINATADalla già vista:Dalla già vista:

u l u l u d l u l uc s s s s2 2 2 2 2 2 2 2 2 u l nm nm m C x Cc2 2 2 2 2 6 1 225 97 005 01 058 10 . . . .

005 115 10 00292 6 1 2 2. . .m x C C

25 97 29 1662 2 2 2nm nm nm nm. . .

u l nmc 32

La componente dominante è l’incertezza del campione La componente dominante è l’incertezza del campione u(lu(lss)=25nm)=25nm

1616

RISULTATO FINALERISULTATO FINALEIl cerificato di taratura del campione afferma che:Il cerificato di taratura del campione afferma che:llss=50.000623 mm a 20°C.=50.000623 mm a 20°C.

La media aritmetica d di 5 osservazioni ripetute della La media aritmetica d di 5 osservazioni ripetute della differenza in lunghezza è 215nm. Allora poichè l=ldifferenza in lunghezza è 215nm. Allora poichè l=lss+d, la +d, la

lunghezza del blocchetto in prova è:lunghezza del blocchetto in prova è:l=50.000838 mm a 20°Cl=50.000838 mm a 20°CDunque:Dunque:

l= 50.000838 mm ± 32 nm.l= 50.000838 mm ± 32 nm.Volendo si può proseguire il discorso fissando anche Volendo si può proseguire il discorso fissando anche l’incertezza espansa o considerando i termini di secondo l’incertezza espansa o considerando i termini di secondo ordine.ordine.

1717

Esempio: stima dell’incertezza per grandezze correlate

Misura della resistenza R e della reattanza X al fine determinare l’impedenza Z di un elemento di un circuito elettrico in alternata; si misurano V, I e e si valutano R, X e Z dalle seguenti relazioni:

RVI

cos( ) XVI

sen( ) Z R X ZVI

2 2 2 1 ( )

Si hanno 3 grandezze, i misurandi R, X, Z, legate dalla relazione (1): solo 2 sono grandezze indipendenti

1818

Si eseguono, nelle medesime condizioni, 5 misure contemporanee di V, I e :

Misure V [V] I [mA] [rad]

1 5.007 19.663 1.04560

2 4.994 19.639 1.04380

3 5.005 19.640 1.04680

4 4.990 19.685 1.04280

5 4.999 19.678 1.04330

V 4.9990 V I 19.6610mA 1.04446 deg

s(V)0.0072 V s(I)0.0212mA s()0.0017 deg

s(V)0.0032 V s(I)0.0095mA s()0.00075 deg

1919

Poiché le medie di V, I e sono ottenute da misure contemporanee, esse sono correlate e di ciò va tenuto conto nella valutazione dell’incertezza standard di Z, R, X

s(V I s(V s(I, ) , ) , ) 1) Calcolo delle covarianze:

s(V In n

V V I Ikk

n

k, )( )

( )( )

1

11

-1.08E - 05 [VmA]

s(In n

I Ikk

n

k, )( )

( )( )

1

11

- 4.6E - 06 [mA rad]

s(Vn n

V Vkk

n

k, )( )

( )( )

1

11

2.07E - 06 [mA rad]

2020

2) Calcolo dei coefficienti di correlazione: r V I r V r I( , ) ( , ) ( , )

r V Is(V I

s(V r I( , )

, )) ( )

- 0.36

r Vs(V

s(V s(( , )

, )) )

0.86

s(Is(I

s(I s(, )

, )) )

- 0.65

2121

3) Calcolo dell’incertezza standard combinata:

ufx

u xfx

fy

u x u y r x ycii

N

ii jj i

N

i

N

i i i i2

1

22

11

12

,

Nel nostro caso, volendo calcolare l’icertezza combinata di Z, risulterà:

Z f V IVI

( , )

u ZfV

u VfI

u IfV

fV

u V u I r V Ic2

22

22 2

,

2222

u ZI

u VV

Iu I

IV

Iu V u I r V Ic

22

22

22

21

21

,

Svolgendo, risulterà:

Da cui:

Z f V IVI

VmA

( , )..

.4 999

19 661254 260

u Zc 0 236.

2323

Definita l’incertezza e le linee fondamentali della Guida si torna alla UNI 4546 per la definizione di compatibilità delle misure:

condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnate in diverse occasioni come misura dello stesso parametro nello stesso stato hanno almeno un elemento in comune.

Il termine compatibilità ha sostituito quello di uguaglianza

Un esempio serve a chiarire il concetto:

2424

Perché diverse misure siano compatibili

è necessario e sufficiente che esista un elemento comune a tutte le fasce di valore:

un insieme di misure che soddisfa a questa condizione si dice mutuamente compatibile.La compatibilità non è una proprietà transitiva come l’ugualianza.

2525

Misure della lunghezza di un’asta:

l1=322.5 ± 0.1 mm 20 ± 1°C

l2=322.7 ± 0.1 mm 20 ± 1°C

l3=322.58 ± 0.02 mm 20 ± 1°C

l4=323.03 ± 0.05 mm 100 ± 1°C

Riportando l4 alle condizioni di riferimento, ossia 20°C, si ha l4’=322.62 ± 0.1 mm (coeff. dilataz. lineare pari a 20 ± 1MK-1).

Le quattro misure riportate sono compatibili.

l5=322.58 ± 0.01 mm 20 ± 1 °C non è compatibile con l2.

2626

2727

Come già detto la misura è espressa da:

NUMERO

INCERTEZZA

UNITA’ DI MISURA

Ci si occupa ora dell’unità di misura

Le unità di misura fanno parte di un sistema di misura, elemento costituente di qualsiasi forma di vita organizzata, sin dalla più remota antichità.

2828

Unita' di Misura

termine di riferimento, adottato per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie.

Sistema di Unità di Misura

insieme organico di definizioni di unità di misure pertinenti a grandezze di specie diverse tra di loro collegate.

2929

In Italia, per legge, dal 1978 è stato adottato il Sistema Internazionale (SI).

• Il sistema ha origine nel 1875, quando 16 nazioni, tra cui l’Italia, firmano a Parigi la “Convenzione del Metro”.

• Nel 1960 a Parigi la XI conferenza generale dei pesi e delle misure delibera l’adozione del Sistema Internazionale

• Nel 1996 alla convenzione del SI aderiscono 50 paesi

• La validità della sua struttura è ancora periodicamente verificata dal BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) con sede a Sevres 3030

Caratteristiche di un sistema di misura:

universale: accettato da tutti

stabile: i campioni devono essere legati a fenomeni della fisica inalterabili

accurato: quanto la specifica applicazione richiede

pratico

coerente: deve essere possibile esprimere qualunque grandezza in funzione di quelle di base, senza ricorrere a costanti o coefficienti.

uniforme: si deve poter ricavare il valore di un intervallo da due letture lungo un scala.

3131

Dimensione di una grandezza ( VIM):equazione dimensionale

espressione che rappresenta una grandezza di un sistema di unità come prodotto di potenze delle grandezze di base del sistema

Grandezza derivata Grandezze fondamentali

[G] = [L]a [T] b [M]c

a,b,c dimensioni della grandezza derivata

3232

Esempio 1:

si consideri la II Legge delle Dinamica utilizzata per definire la forza:

F=kmaF=kmase la forza, la massa e l'accelerazione

sono grandezze di un sistema di unità omogeneo, il fattore k risulta adimensionale, altrimenti ha la seguente espressione

[k] = [F]1 [A]-1 [M]-1

3333

Esempio 2: si consideri la II Legge delle Dinamica:

F=kmaF=kma Se il sistema di unità è coerente

allora k=1, e si ha che la forza unitaria

è quella che imprime alla massa unitaria un'accelerazione unitaria.

Il Sistema Tecnico diventa coerente introducendo la gravità standard, ma perde la riproducibilità.

3434

SI (norma CNR-UNI 10003)

• sono definite sette grandezze fondamentali e due supplementari

Grandezza Nome Simbololunghezza metro mmassa kilogrammo kgtempo secondo scorrente elettrica ampere Atemperatura termodinamica kelvin Kquantità di sostanza mole molintensità luminosa candela cd

angolo piano radiante radangolo solido steradiante sr

Le ultime due sono in realtà adimensionali

3535

Nome campionemetro tratto compiuto dalla luce in 1/299.792.458 di secondo

kilogrammo massa campione a Sevressecondo intervallo di t con 9.192.631.770 periodi della radiazione dell'atomo di cesio133ampere intensità di corrente che produce una certa forza tra du conduttori a 1mkelvin 1/273.16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'H2Omole quantità di sostanza con tante unità quanti gli atomi in 0.012 kg di C12

candela intensità luminosa in una data direzione da sorgente monocromatica (540e12 Hz)con intensità di 1/683 W/sr

radiante ang al centro che intercetta arco lungo come il raggiosteradiante ang solido al centro che intercetta su sfera una calotta di area uguale ad un

quadrato di lato il raggio

N. B. solo la massa è legata ad un prototipo materiale

3636

Lunghezza, [L], ha per unità il metro (m), è la distanza percorsa nel vuoto dalla luce nell’intervallo di tempo (1/299 792 458) s.

Grandezze fondamentali Lunghezza [L]

3737

Tempo, [T], ha per unità il secondo (s), pari a 9 192 631 770 periodi della radiazione emessa nella transizione tra due particolari livelli energetici dell'atomo di cesio-133.

Grandezze fondamentali

Tempo [T]

3838

Massa, [M], ha come unità il chilogrammo (kg), uguale alla massa del campione in platino-iridio conservato a Sévres e che nelle intenzioni originarie doveva equivalere alla massa di 1 dm3 di acqua pura a 4 °C.

Grandezze fondamentali Massa [M]

3939

Intensità di corrente elettrica, [I], ha per unità l'ampere (A), corrente costante che percorrendo a regime stazionario due conduttori paralleli rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare con diametro trascurabile, posti a distanza di 1 m, nel vuoto produce tra i due conduttori una forza di 2.10-7 N/m.

Grandezze fondamentali Intensità di corrente [I]

4040

Temperatura (intervallo), [], ha unità pari al Kelvin (K), determinato fissando a 273,16 K 273,16 K la temperatura del punto triplo dell'acqua sulla scala termo-dinamica delle temperature assolute. Tale scala è realizzata con la Scala Internazionale Pratica delle Temperature (SIPT).

Grandezza fondamentale Temperatura []

4141

Intensità luminosa, [I], ha unità chiamata candela (cd) uguale all'intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 1012 Hz e la cui intensità energetica in tale direzione è di (1/683) W/sr.

Grandezza fondamentale Intensità luminosa [I]

4242

Unità di quantità di sostanza: la mole [mol] , quantità di sostanza di un sistema che contiene tante unità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg di carbonio 12 (12C).

Grandezza fondamentale:Quantità di sostanza [mol]

4343

Accanto alle sette grandezze fondamentali il SI definisce due grandezze supplementari:

l'angolo piano misurato in radianti [rad] l'angolo solido in steradianti [sr].In tal modo la misura degli angoli si riduce

a quella di lunghezze o di aree e si evita il ricorso ad altre unità non coerenti quali ad esempio i gradi sessagesimali.

Grandezze supplementari Angolo piano [] Angolo solido []

4444

• sono definite le unità derivate, ottenibili dalle fondamentali per mezzo di una espressione monomia

unitàSI m kg s A K cd mol rad sr 1 2 3 4 5 6 7 8 9

• sono definiti i multipli ed i sottomultipli fondamentali

• sono riportate le regole di scrittura

• viene pure definito il decibel dB, fondamentale in molti tipi di misure

4545

4646

4747

4848

4949

il dB viene introdotto per esprimere il rapporto tra due potenze P1 e P2.

Si dice che il dislivello di potenza è:

dBPP

10 102

1log

Invertendo P1 con P2 cambia il segno.

Solitamente P1 è un valore di riferimento fissato da norme (ad es. 1mW).

5050

Se le due potenze sono il risultato di due tensioni V1 e V2 applicate a due resistori R1 ed R2 si può scrivere:

dB

VR

VR

VV

RR

10 10 1010

22

2

12

1

102

1

2

102

1log log log

20 10102

110

2

1log log

VV

RR

Se R1=R2:

dBVV

20 102

1log

ossia la più nota espressione valida per le ampiezze di segnali e non per le potenze

5151

Esempi :

-L’attenuazione di inserzione di un filtro (rapporto tra tensione di uscita e tensione di entrata) è di -2,5 dB ; la tensione di ingresso vale 50 mV.

Quanto vale la tensione in uscita ?

-il guadagno di tensione di un amplificatore è di + 46 dB ; la tensione di entrata V1 vale 5 mV ;

Quanto vale la tensione di uscita V2 ?

mV28778,1)1050(V10VV 3

2)205,2(

1

2

V1V)105V(Log2046 23

2

5252

Alcuni valori notevoli sono elencati in tabella:

Adottando, all’interno di una disciplina o settore, determinati valori numerici per il termine di riferimento, il decibel diventa una unità di misura assoluta.

5353

Nelle trasmissioni si usa la grandezza dBm, dove m indica che si è assunto un livello di riferimento di 1 mW ; a questo livello di potenza corrisponde, nei sistemi in coassiale a 50 , un valore di tensione di riferimento di 0,2236 V.

Anche nei sistemi televisivi si usa il dBm ma i sistemi in coassiale hanno un’impedenza di 75 in questo caso ad 1 dBm corrisponde una tensione di riferimento di 0,2739 V.

Negli studi radiofonici il livello di potenza è 1 mW ma l’impedenza è di 600 .

5454

“Antagonista” del SI è stato per lungo tempo il sistema tecnico che come unità fondamentali ha lunghezza, tempo e forza.

Il guaio è che il campione di forza è il peso della massa campione, ossia l’unità di massa del SI (1kg massa) è anche l’unità di forza del sistema tecnico (1kg peso): coincide fisicamente l’oggetto che fissa l’unità dei due sistemi, ma con unità di misura differenti.

Nel 1956 la ISO R 51 ha definito il kg forza come la forza che imprime alla massa di 1 kg una accelerazione di 9.80665 m/s2; tale accelerazione è l’accelerazione di gravità standard.

5555

Esercizi sui sistemi di unità di misura 2

30 30 10 1

360030 3 6 1081 3

11 1

ms km h kmh kmh

.

Nota una velocità in ms-1 esprimerla in kmh-1.

5656

Esercizi sui sistemi di unità di misura 3

Determinare l’unità di massa del sistema tecnico.

2 2 2

u m =1 kgf/1 m/s =1 kg 9.8066 m/s /1 m/s

um =9.8066 kg

Quindi il sistema tecnico è non coerente.

5757

Esercizi sui sistemi di unità di misura 4

Si verifichi che la relazione che esprime il periodoP di un pendolo:

P=2 (l/g) 1/2

ha la dimensione di un tempo .

[P]={[L ][T 2 ]/[L ]}1/2={[T 2 ]}1/2=[T ]

5858