Funzioni ricorsivecassano.faculty.polimi.it/Lez11_Ricorsione_FunzioniOr... · 2018. 11. 30. ·...

Informatica B, AA 18/19, Luca Cassano

Funzioni ricorsive

Informatica B AA 18/19

Luca Cassano

luca.cassano@polimi.it

3 Dicembre 2018

Richiami sulle funzioni

Un esempio

function f = fattoriale(n)

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

Un esempio

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

Parametro formale in ingresso

Parametro formale in uscita

Definizione di 𝒏!Il fattoriale di un intero 𝑛 > 0 è definito come segue:

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯∗ 2 ∗ 1

Un esempio di chiamata

fattoriale(2)

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

fattoriale(2)

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

Parametro attuale in ingresso

Parametro attuale in uscita

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

Workspace principale Workspace locale

• Da qui si invoca la funzione

• Contiene le variabili k, f2

• Non ha visibilità di f,ii,n

• Creato al momento

dell’invocazione di fattoriale

• Contiene le variabili n, f,ii

• Non ha visibilità su k ed f2

• Non ha legami con il workspace

principale se non per i parametri

attuali che vengono copiati

• Distrutto terminata l’esecuzione

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

• Contiene le variabili n, f, ii

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

attuali che vengono copiati (sia in

ingresso che in uscita)

k = 2;

f2 = fattoriale(k);

f = 1;

for ii = 2 : n

f = f * ii;

attuali che vengono copiati (sia in

ingresso che in uscita)

• Distrutto terminata l’esecuzione

Esempi

f2 = fattoriale(2)

f3 = fattoriale(3)

f4 = fattoriale(4)

f5 = fattoriale(5)

f6 = fattoriale(6)

x = f(2)

function xx = f(yy)

……

z = g(yy);

xx = 2 * z;

function zz = g(kk)

zz = kk / 3;

x = f(2)

function xx = f(yy)

……

z = g(yy);

xx = 2 * z;

function zz = g(kk)

zz = kk / 3;

x = f(2)

function xx = f(yy)

……

z = g(yy);

xx = 2 * z;

function zz = g(kk)

zz = kk / 3;

x = f(2)

function xx = f(yy)

……

z = g(yy);

xx = 2 * z;

function zz = g(kk)

zz = kk / 3;

x = f(2)

function xx = f(yy)

……

z = g(yy);

xx = 2 * z;

function zz = g(kk)

zz = kk / 3;

Un esempio

Si dimostra immediatamente dalla definizione di fattoriale

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯∗ 2 ∗ 1

Vale la seguente relazione

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 !

𝑛 − 1 !

Un esempio

Si dimostra immediatamente dalla definizione di fattoriale

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯∗ 2 ∗ 1

Vale la seguente relazione

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 !

È possibile usare questa proprietà per definire

un’implementazione di fattoriale totalmente diversa?

𝑛 − 1 !

Ricorsione

Funzioni che chiamano se stesse

Ricorsione

Che cos’è la ricorsione?

Ricorsione

• Un sottoprogramma P richiama se stesso

(ricorsione diretta)P

Ricorsione

(ricorsione diretta)

• Un sottoprogramma P richiama un

sottoprogramma Q che comporta un’altra

chiamata a P (ricorsione indiretta)

Ricorsione

È una tecnica di programmazione molto potente

Ricorsione

Permette di risolvere in maniera elegante problemi

complessi

Ricorsione

Permette di risolvere in maniera elegante problemi

complessi

Le funzioni che richiamano se stesse (direttamente o

indirettamente) sono dette funzioni ricorsive

Esempio: il fattoriale Ricorsivo

function [f] = factRic(n)

if (n == 0)

f = 1;

f = n * factRic(n - 1);

if (n == 0)

f = 1;

Questa ci ricorda

0! = 1

if (n == 0)

f = 1;

Questa ci ricorda

𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 !

if (n == 0)

f = 1;

Una funzione che chiama se stessa

Una Funzione che Chiama se Stessa?

In ogni istante possono essere in corso diverse

attivazioni (istanze) dello stesso sottoprogramma

• Ovviamente sono tutte sospese tranne una, l'ultima

invocata, all'interno della quale si sta svolgendo il

flusso di esecuzione.

Ogni attivazione esegue lo stesso codice ma opera su

workspace distinti (in Matlab, ogni funzione attivata ha

un workspace distinto)

Ogni attivazione esegue lo stesso codice ma opera su

workspace distinti (in Matlab, ogni funzione attivata ha

un workspace distinto)

• Si hanno quindi copie distinte dei parametri attuali e

delle variabili locali nelle varie invocazioni

Una funzione che chiama se stessa?

… se ogni volta la funzione richiama se stessa… perché la catena di invocazioni non continua all'infinito?

Una funzione che chiama se stessa?

… se ogni volta la funzione richiama se stessa… perché la catena di invocazioni non continua all'infinito?

La funzione ricorsiva deve prevedere una situazione in cui non richiama se stessa, i.e., il caso base

Programmazione Ricorsiva

Per risolvere un problema attraverso la programmazione

ricorsiva sono necessari alcuni elementi

• Caso base: caso elementare del problema che può

essere risolto immediatamente. Il caso base non deve

eseguire alcuna chiamata ricorsiva.

• Passo ricorsivo: chiamata ricorsiva per risolvere uno o

più problemi più semplici

• Costruzione della soluzione: costruzione della

soluzione sulla base del risultato delle chiamate

ricorsive

• Costruzione della soluzione: costruzione della

soluzione sulla base del risultato delle chiamate

ricorsive

Affinché l’esecuzione della funzione

termini è fondamentale che la soluzione

ricorsiva converga verso il caso base

Esempio: il fattoriale

Definizione:

f(n) = n! = n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1

Definire caso base, e passo ricorsivo

Definizione:

f(n) = n! = n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1

Passo ricorsivo:

f(n) = n*f(n-1)

Caso base:

f(0)=1

Definizione:

f(n) = n! = n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1

Passo ricorsivo:

f(n) = n*f(n-1)

Caso base:

f(0)=1function [f]=factRic(n)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

Funzionamento ricorsione

function [f]=factRic(n)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRicfactRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

n:1 f: ...factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

n:1 f: ...factRic

n:0 f: ...factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

n:1 f: ...factRic

n:0 f: 1factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

n:1 f: ...factRic

n:0 f: 1factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: ...factRic

n:1 f: 1factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: ...factRic

n:2 f: 2factRic

factRic(3)

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

n:3 f: 6factRicfactRic(3)

Ricorsione in Coda

Ricorsione in cui la funzione:

• prevede una sola chiamata ricorsiva

• esegue la chiamata ricorsiva come ultima istruzione

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

Problemi nell’Uso della Ricorsione

Terminazione della catena ricorsiva

• È presente il caso base?

• Viene raggiunto sempre dalla catena di chiamate

ricorsive?

Errori nell’Uso della Ricorsione

Catena infinita di chiamate incondizionate

• Deve esistere una condizione tale per cui non viene

eseguita la chiamata ricorsiva (caso base)

f=n*factRic(n-1);

• Deve esistere una condizione tale per cui non viene

eseguita la chiamata ricorsiva (caso base)

Es la chiamata a factRic(7) chiama factRic(7),

che chiama factRic(6),

che chiama factRic(3),….

che chiama factRic(-1000),….

f=n*factRic(n-1);

• è necessario che questa condizione venga

raggiunta: anche programmi formalmente corretti

potrebbero non funzionare per alcuni valori degli

ingressi

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

• è necessario che questa condizione venga

raggiunta: anche programmi formalmente corretti

potrebbero non funzionare per alcuni valori degli

ingressi

• Ad es, factRic(-1) da luogo ad una sequenza di

chiamate infinite

if (n==0)

f=n*factRic(n-1);

Catena infinita di chiamate identiche:

• La chiamata ricorsiva non può avere i parametri

formali uguali a quelli attuali

if (n==0)

f=n*factRic(n);

Catena infinita di chiamate identiche:

• La chiamata ricorsiva non può avere i parametri

formali uguali a quelli attuali

Es la chiamata a factRic(7) chiama factRic(7),

che chiama factRic(7),….

if (n==0)

f=n*factRic(n);

Di Default…

Matlab si blocca le chiamate ricorsive dopo un po’

>> factRic(600)

Out of memory. The likely cause is an infinite

recursion within the program.

Error in fatRic at line XXX

dove XXX indica la riga in cui compare la chiamata ricorsiva

Condizioni Necessarie

.. Per evitare ricorsione infinita:

Occorre che le chiamate ricorsive siano soggette a una condizione che prima o poi assicura che la catena termini

Occorre anche che l'argomento sia progressivamente modificato dal passo ricorsivo, in modo da tendere prima o poi al caso base• Nella pratica l’argomento si avvicina al valore nel caso

Esempio

Scrivere una funzione ricorsiva che calcola la somma di tutti

gli interi compresi tra due argomenti passati come parametri

Esempio

function somma = sommaNumeriCompresi(a ,b)

Esempio

if a == b

Esempio

if a == b

somma = a;

disp(['caso base somma vale ' , num2str(somma)]);

Esempio

if a == b

somma = a;

disp(['prima chiamata a = ' ,num2str(a)]);

somma = a + sommaNumeriCompresi(a+1 , b);

disp(['dopo chiamata a = ' ,num2str(a)]);

Esempio

b:6 somma: ...sommaNumeriCompresi(3 ,6) a:3

Esempio

b:6 somma: ...a:4sommaNumeriCompresi(4 ,6)

Esempio

b:6 somma: ...a:4

b:6 somma: ...a:5

sommaNumeriCompresi(4 ,6)

Esempio

b:6 somma: ...a:4

b:6 somma: ...a:5

b:6 somma: ...a:6

Esempio

b:6 somma: ...a:3

b:6 somma: ...a:4

b:6 somma: ...a:5

b:6 somma: 6a:6

Esempio

b:6 somma: ...a:3

b:6 somma: ...a:4

b:6 somma: ...a:5

b:6 somma: 6a:6

Esempio

b:6 somma: ...a:3

b:6 somma: ...a:4

b:6 somma: 11a:5

Esempio

b:6 somma: ...a:3

b:6 somma: 15a:4

Esempio

b:6 somma: 18a:3sommaNumeriCompresi(3 ,6)

Esempio

Qual è il problema nella soluzione proposta?

Esempio

Cosa succede se a > b?

Esempio

Cosa succede se a > b?

Chiamate ricorsive infinite

Esempio

if b< a

somma = 0;

if a == b

somma = a;

Esempio

if b< a

somma = 0;

if a == b

somma = a;

Errore! Non è un caso

base perchè dopo

questo if viene

comunque eseguita la

chiamata ricorsiva

Esempio

if b< a

somma = 0;

return;

if a == b

somma = a;

In questo modo l’esecuzione

termina e abbiamo un caso

base corretto.

Esempio

a = min([a, b]);

b = max([a, b]);

if a == b

somma = a;

Le ninfee

Uno stagno contiene n ninfee

• Ogni ninfea in 1 giorno si riproduce di un fattore f (se

f == 2 ogni ninfea ogni giorno genera un’altra ninfea,

se f == 3 ogni ninfea ogni giorno genera due ninfee…)

Scrivere una funzione ricorsiva per calcolare in quanti

giorni la popolazione iniziale di n ninfee ha raggiunto una

cardinalità di N individui dato un fattore f fissato

Soluzione

function gg = stagno(n, f, N)

Soluzione

% caso base: se ho già N ninfee nello stagno

% non devo aspettare alcun giorno

Soluzione

if (n >= N)

gg = 0;

Soluzione

if (n >= N)

gg = 0;

% non abbiamo ancora N ninfee -> chiamata ricorsiva:

% il numero di giorni necessari per coprire lo stagno è

% uguale a: un giorno +

% il numero di giorni che saranno necessari domani

% (quando le ninfee saranno diventate n*f).

Soluzione

if (n >= N)

gg = 0;

% non abbiamo ancora N ninfee -> chiamata ricorsiva:

% il numero di giorni necessari per coprire lo stagno è

% uguale a: un giorno +

% il numero di giorni che saranno necessari domani

% (quando le ninfee saranno diventate n*f).

gg = 1 + stagno(n * f, f, N);

Esempio

Scrivere una funzione ricorsiva per calcolare la lunghezza di

una stringa

Esempio

una stringa

function s = calcolaLunghezza(str)

Esempio

una stringa

Esempio

una stringa

if(isempty(str))

s = 0;

Esempio

una stringa

if(isempty(str))

s = 0;

s = 1 + calcolaLunghezza(str(2 : end));

Esempio

s: ...calcolaLunghezza(‘ciao’) str: ciao

Esempio

s: ...str: iaocalcolaLunghezza(‘iao’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

calcolaLunghezza(‘iao’)

calcolaLunghezza(‘ao’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

s: ...str: o

calcolaLunghezza(‘o’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

s: ...str: o

s: ...str:calcolaLunghezza(‘’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

s: ...str: o

s: 0str:calcolaLunghezza(‘’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

s: ...str: o

s: 0str:calcolaLunghezza(‘’)

Esempio

s: ...str: iao

s: ...str: ao

s: 1str: o

Esempio

s: ...str: iao

s: 2str: ao

Esempio

s: 3str: iaocalcolaLunghezza(‘iao’)

Esempio

s: 4calcolaLunghezza(‘ciao’) str: ciao

Esempio

Scrivere una funzione per stampare una stringa al contrario

Esempio:

function stampaAlContrario(frase)

% caso base

Esempio:

% caso base

if isempty(frase)

Esempio:

% caso base

if isempty(frase)

% return

Esempio:

% caso base

if isempty(frase)

% return

disp(frase(end)); % stampa al contrario

Esempio:

% caso base

if isempty(frase)

% return

disp(frase(end)); % stampa al contrario

% chiamata ricorsiva

stampaAlContrario(frase(1:end-1))

Esempio

disp(‘o’)stampaAlContrario(‘ciao’) str: ciao

Esempio

disp(‘a’)str: ciastampaAlContrario(‘cia’)

Esempio

disp(‘a’)str: cia

disp(‘i’)str: ci

stampaAlContrario(‘cia’)

stampaAlContrario(‘ci’)

Esempio

disp(‘c’)str: c

stampaAlContrario(‘c’)

Esempio

disp(‘’)str:stampaAlContrario(‘’)

disp(‘c’)str: c

Esempio:

Modificare la funzione precedente per stampare la stringa

nello stesso ordine in cui è stata inserita

Esempio:

Modificare la funzione precedente per stampare la stringa

nello stesso ordine in cui è stata inserita

% caso base

if isempty(frase)

% return

% chiamata ricorsiva

stampaAlContrario(frase(1:end-1))

disp(frase(end)); % stampa dritto

In questo caso la

ricorsione non è

in coda

Esempio

stampaAlContrario(‘ciao’) str: ciao

Esempio

str: ciastampaAlContrario(‘cia’)

Esempio

str: cia

str: ci

Esempio

str: cia

str: ci

str: c

Esempio

str:stampaAlContrario(‘’)

str: cia

str: ci

str: c

Esempio

str:stampaAlContrario(‘’)

str: cia

str: ci

str: c

Esempio

str: cia

str: ci

disp(‘c’)str: c

Esempio

str: cia

str: ci

stampaAlContrario(‘ci’) disp(‘i’)

Esempio

disp(‘a’)str: ciastampaAlContrario(‘cia’)

Esempio

Esempio:

Cosa stampa??

function stampa(frase)

% caso base

if isempty(frase)

% return

stampa(frase(2:end))

disp(frase(1));

Esempio:

Cosa stampa??

function stampa(frase)

% caso base

if isempty(frase)

% return

stampa(frase(2:end))

disp(frase(1));

>> stampa(‘ciao’);

Cosa Stampa?

function stampa(str)

if(isempty(str))

% return

disp(str(end));

stampaAlContrario(str(1 : end -1));

disp(str(end));

Cosa Stampa?

function stampaAlContrario(str)

if(isempty(str))

% return

disp(str(end));

>> stampaAlContrario('ciao')

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(end));

stampaAlContrario(str(2 : end));

disp(str(end));

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(end));

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(1));

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(1));

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(1));

Cosa Stampa?

if(isempty(str))

% return

disp(str(1));

I numeri di Fibonacci

• Modello alla base di molte dinamiche evolutive delle

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

Definizione ricorsiva della successione di Fibonacci

• Modello a base di molte dinamiche evolutive delle

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

1 passo ricorsivo

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

1 passo ricorsivo

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

1 passo ricorsivo

F(2) F(1)

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

1 passo ricorsivo

F(2) F(1)

F(1) F(0)

popolazioni

F = {f0, ..., fn}

• f0 = 1

• f1 = 1

• Per n > 1, fn = fn–1 + fn–2

casi base (sono 2!)

1 passo ricorsivo

F(2) F(1)

F(1) F(0)

Esempio: Fibonacci

È una sequenza di numeri interi in cui ogni numero si ottiene

sommando i due precedenti nella sequenza. I primi due

numeri della sequenza sono per definizione pari ad 1.

• f1 = 1 (caso base)

• fn = fn-1 + fn-2 (passo ricorsivo)

Esempio: Fibonacci

È una sequenza di numeri interi in cui ogni numero si ottiene

sommando i due precedenti nella sequenza. I primi due

numeri della sequenza sono per definizione pari ad 1.

• fn = fn-1 + fn-2 (passo ricorsivo)

function [fib]=FiboRic(n)

if n==1 | n==2

fib=1;

fib(n)=FiboRic(n-2)+FiboRic(n-1);

Problemi nell’uso della ricorsione

Uso della memoria

• La programmazione ricorsiva comporta spesso un uso

inefficiente della memoria per la gestione degli spazi di

lavoro delle chiamate generate

• In alcuni casi (che non abbiamo il tempo di vedere) viene

comunque preferita ad altri approcci per la sua eleganza e

semplicità

• In altri casi, si può ricorrere ad implementazioni iterative

Problemi nell’uso della ricorsione

Uso della memoria

• La programmazione ricorsiva comporta spesso un uso

inefficiente della memoria per la gestione degli spazi di

lavoro delle chiamate generate

• In alcuni casi (che non abbiamo il tempo di vedere) viene

comunque preferita ad altri approcci per la sua eleganza e

semplicità

• In altri casi, si può ricorrere ad implementazioni iterative

function [fl]=Fiblist(n)

fl(1)=1;

fl(2)=1;

for k=3:n

fl(k)=fl(k-2)+fl(k-1);

Funzione iterativa che calcola i

primi n numeri di fibonacci

Ricorsione Eccessiva

Soluzione elegante ma dispendiosa: numero molto alto di

chiamate ricorsive fib(6)

fib(4) fib(5)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(4)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

chiamate ricorsive

fib(1) viene chiamata 3 volte

fib(6)

fib(4) fib(5)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(4)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

chiamate ricorsive

fib(2) viene chiamata 5 volte

fib(6)

fib(4) fib(5)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(4)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

chiamate ricorsive

Provate a far calcolare fib(10), fib(15), fib(20), fib(25),

fib(30) ....

Qante volte viene calcolato fab(3)?

Meglio usare una soluzione non ricorsiva...

fib(6)

fib(4) fib(5)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(3)

fib(1) fib(2)

fib(4)

fib(2) fib(3)

fib(1) fib(2)

Esempio

Scrivere una funzione ricorsiva palindroma che controlla se

una stringa è palindroma

Esempio

Scrivere una funzione ricorsiva palindroma che controlla se

una stringa è palindroma

function [res]=controllaPalindromo(stringa)

% stringhe di un carattere (o vuote sono palindrome)

if length(stringa)<2

res=true;

% controllo se gli estremi sono uguali

if stringa(1)==stringa(end)

% in tal caso richiama controllaPalindromo su stringa(2, end-1)

res=controllaPalindromo(stringa(2:end-1));

res=false;

Funzioni ricorsivecassano.faculty.polimi.it/Lez11_Ricorsione_FunzioniOr... · 2018. 11. 30. ·...

Documents

Transcript of Funzioni ricorsivecassano.faculty.polimi.it/Lez11_Ricorsione_FunzioniOr... · 2018. 11. 30. ·...

Codifica Elettrodotto 380 kV “Cassano Chiari ...pgt.comune.treviglio.bg.it/documentazione/Ambientale/Q_PROGETTUALE/... · Elettrodotto 380 kV “Cassano-Chiari” Studio di Impatto

vite per la legalita - 10 giugno -albese con cassano

RICORSIONE: DEFINIZIONI RICORSIVE Definizione ricorsiva: Definizione ricorsiva: definizione di una classe di oggetti in termini di una sottoclasse degli.

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 2 risolvere... · Ecco una piccola e semplice guida che illustra come risolvere, a grandi linee gli esercizi proposti agli esami

Banca di Credito Cooperativo di Cassano delle Murge e ... · Banca di Credito Cooperativo di Cassano delle Murge e Tolve Politiche di remunerazione e incentivazione 2019 Approvato

copertina terzo salone internazionale G CASSANO D’ADDA I O ...arte3saloneinterna... · E’ con grande piacere e orgoglio che Cassano d’Adda, per la terza volta consecutiva, torna

36C-9-20160506040442...CASSANO SICURA E SOLIDALE CASSANO APERTA E TRASPARENTE Su queste quattro linee abbiamo lavorato negli ultimi cinque anni ponendoci degli obiettivi ... Studiare

La Musica degli Angeli - cassano-magnago.it

Istituto Comprensivo Dante Alighieri – Cassano … › ... › 07 › CASSANO-M… · Web viewMi sono diretto verso il parco della Magana, che si trova subito dopo le due casette

A Cassano delle Murge incontro Alcol e donna: la sindrome feto … · 2016. 9. 16. · Redazione 09 settembre 2016 02:52 A Cassano delle Murge incontro "Alcol sindrome feto-alcolica

La ricorsione Simulazione. Il Main /* Programma che usa una funzione ricorsiva*/ #include #define MAX_N 8 main() int valore, dato; printf(Introduci n:

Ricorsionebloisi/didattica/comunicazioniElettronica1011/... · della somma di due interi ... funzione termini è la chiamata ricorsiva si parla di tail recursion . Ricorsione Parte

Istituzione del Comune di Cassano Spinola mediante fusione ......1. Gli organi del Comune di Cassano Spinola, entro sei mesi dalla loro elezione, approvano lo statuto comunale ed il

DIOCESI DI CASSANO JONIO - sacricuoricdf.it · DIOCESI DI CASSANO JONIO MONS. DOMENICO GRAZIANI VESCOVO PIANO PASTORALE 2005-2008 T i ho chiamato per nome (Is43,1) Dato in Cattedrale,

Calendario 2012 - Cassano d'Adda · Calendario 2012 Raccolta differenziata città di Cassano d’Adda Città di Cassano d’Adda Provincia di Milano Assessorato all’ambiente Zona

Fondamenti di Informatica - Politecnico di Milano...Daniele Loiacono Problemi nell’uso della ricorsione qUso della memoria La programmazione ricorsiva comporta spesso un uso inefficiente

Carlo Miranda”€¦ · grado - risolvere espressioni con le frazioni algebriche, con la relativa C.E.- risolvere equazioni e disequazioni lineari numeriche frazionarie - risolvere

2015 02 20 Evento Cassano d'Adda

Piano di Governo del Territorio - Cassano Magnago

Cassano delle Murge 9 ottobre 2016 - Federmoto · Cassano delle Murge 9 ottobre 2016 Sabato 8 ottobre - Biblioteca Comunale via Miani Ore 17:00-19 :00 operazioni preliminari Domenica