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Corso di Elettrotecnica(Allievi aerospaziali)
Reti Elettriche Parte II
Revisione aggiornata al 3 aprile 2013
(www.elettrotecnica.unina.it)
Circuiti in regime lentamente variabile
Bipoli elementari lineari
Bipoli resistenza e induttanza
Riv Riv
dt
diLv
dt
diLv
In regime stazionarioequivale ad un cortocircuito ideale
Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente
dt
dvCi
dt
dvCi
)(tev )(tji
Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare:
γ=f(i)=Li L è il coefficiente di
autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 →
L= γ/i>0
)(ifdSnBS
i>0
0nB
Esempi di realizzazione del bipolo induttanza
Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t):
in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li.
LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:
dtde /
0/ dtdv
dt
diLv
Esempi di realizzazione del bipolo induttanza
dt
diLv
S
Esempio di realizzazione del bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:
v-vC=Ri≈0
q=cvC
v=vC
dt
dvC
dt
dqi C
dt
dvCi
v(t)
C
Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale
t
S
tBSSBdSnB cos)cos(
tBSdt
de
sin
γ
Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale
Richiami sulle funzioni periodiche
Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha:
Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.
)()( kTtftf
%
Richiami sulle funzioni periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo:
f=1/T [Hertz]
La pulsazione è la quantità:
ω=2πf=2π/T [Rad/sec]
Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:
indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f:
Tt
t
dttfT
F0
0
)(1 2 (valore quadratico medio)
Tt
t
m
o
dttfT
F0
)(1
Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace
Regime periodico Regime stazionario
p=vi=Ri2 P=VI=RI2
Energia assorbita nell’intervallo T
T
P dttRiW0
2 )( T
S TRIdtRIW0
22
I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS
Tt
t
dttiT
I0
0
)(1 2
Circuiti in regime lentamente variabile
Analisi dei circuiti in regime sinusoidale
Grandezze sinusoidali
/
/
AM ampiezza
α fase
Valore efficace:
2)(sin
1 0
0
22 MTt
t
M
AdttA
TA
Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s
)sin(2)( tAta
)sin()( tAta M
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z=x+jy
dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1.
x è la parte reale di z
y la parte immaginaria
z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari.
Rappresentazione geometrica nel piano complesso
z è l’affissa complessa di P
%
Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy:
z*=x-jy
Modulo di z:
Argomento di z (anomalia del vettore OP)
ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come
z=[ρ, θ]
Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso
)( 22 yxOPz
)/()arg( xyarctgz
%
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy:
z=ρ(cosθ+jsin θ)
Per la formula di Eulero
ejθ=cosθ+jsinθ
si ha la formulazione esponenziale complessa di z:
z=[ρ, θ]= ρ ejθ
cosx
siny
Operazioni sui numeri complessi
21 zzz
SOMMA
111 jyxz
222 jyxz
jyxyyjxxzzz )()( 212121
21 xxx
21 yyy
Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
111 jyxz
222 jyxz
)()( 1221212121 yxyxjyyxxzzz
Rappresentazione polare
11111 ],[ jez 2
2222 ],[ jez
],[)( )(2121
21 jj eezzz 21 21
21zzz
Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
111 jyxz 222 jyxz
22
22
2121
yx
yyxxx
22
22
2112
yx
yxyxy
Rappresentazione polare
jyxyx
yxyxjyyxx
jyxjyx
jyxjyx
jyx
jyx
z
zz
22
22
21122121
2222
2211
22
11
2
1 )()(
))((
))((
11111 ],[ jez 2
2222 ],[ jez
],[)/(/ )(2121
21 jj eezzz 21 / 21
I vettori rotanti
La grandezza sinusoid.
è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza:
Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le . Si ha:
)sin(2)( tAta
)()( tjAeta
)](Im[2)( tata
)(ta
)(ta
2
)(ta
I fasori Fissata ω,
è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da:
Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso.
)sin(2)( tAta
jAeA
A
A
α
0)]([ ttaA AA
)sin(2)( tAta
]Im[2]Im[2 )( tjtj eAAe
Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma
Date)sin(2)( tAta
)sin(2)( tBtb
A
B
C
]Im[2]Im[2)()()( tjtj eBeAtbtatc
]Im[2])Im[(2 tjtj eCeBA
O
jAeAjBeB
dove:jCeBAC
)sin(2)( tCtc
BACtbtatc
Btb
Ata
)()()(
)(
)(
Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1)
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).
)45sin(12)(1 tti )cos(82)(2 tti
)27cos(5,42)(3 tti
)45sin()62(2)45sin(12)(1 ttti 6662 45
1 jeI j
)90sin(82)cos(82)(2 ttti 88 902 jeI J
)63sin(5,42)27cos(5,42)(3 ttti
425,4 633 jeI j )()()()( 321 titititi
37321 1068 jejIIII
)37sin(102)( tti
jFeFtFtf )sin(2)(
Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
)sin(2)( tAta
)sin(2)( tBtb
0
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ
)sin(2)( tBtb
Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
)sin(2)( tAta
)sin(2)( tBtb
0
b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo φ
0
)sin(2)( tBtb
Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali
)sin(2)( tAta
)sin(2)( tBtba(t) e b(t) sono in fase
0
)sin(2 tB
Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante
Date:
ed una costante reale k>0,
)sin(2)( tAta jAeA
)sin(2)()( tkAtkatc
AkkAeCtc j )(
A
C
α
AkCtkatc
Ata
)()(
)(
Prodotto di un fasore per un numero complesso
jAeA )sin(2)( tAta
jDeD dove DD
ji CeCAeDAD )(
jCeC )sin(2)( tCtc
ADC
)(
)(
tcAD
taA
Prodotto di un fasore per l’unità immaginaria j
jAeA )sin(2)( tAta
jje j )2/sin()2/cos(2/
)2/(2/ jjj AeAeeAjC
j fattore di rotazione di /2
)2
sin(2)( tAtc
)(
)(
tcAj
taA
Derivata temporale di una grandezza sinusoidale
Data
)sin(2)( tAta jAeA AC
α
AjCdt
datc
Ata
)(
)(
)cos(2)( tAdt
datc
)2
sin(2 tA
)2/()( jeACtc
Aj
Prodotto di grandezze sinusoidali
)sin(2)( tAta
)sin(2)( tBtb
)sin(2)sin(2)()()( tBtAtbtatc
)cos()cos(2
1sinsin yxyxyx
tABtc 2cos()cos()(
Bipolo resistenza inregime sinusoidale
Dominio del tempo
Riv
)sin(2)( tVtv
Dominio dei fasori
jVeV )( jIeI
IRV jeR
V
R
VI
R
VI 0
RI
Vz
impedenza )sin(2)( tIti
)sin(2 tI
Bipolo induttanza inregime sinusoidale
dt
diLv
Dominio dei fasori
jVeV
ILjV
)( jIeI)
2(
je
L
V
Lj
VI21
j
ej
X
V
L
VI
2
Dominio del tempo
)sin(2)( tVtv LjI
Vz
impedenza
LX Reattanza
)sin(2)( tIti
)2
sin(2 tI
Ljdt
dL
Bipolo capacità inregime sinusoidale
dt
dvCi
Dominio dei fasorijVeV
VCjI 21j
ej
)( jIeI)
2(
/1
je
C
VI
X
V
C
VI
/1 2
Dominio del tempo
)sin(2)( tVtv
Cj
I
Vz
1
Impedenza
CX
1
Reattanza
)sin(2)( tIti
)2
sin(2 tI
Cjdt
dC
Bipolo R-Lin regime sinusoidale
)sin(2)( tVtv
0 LR vvvLKT RivR Dominio del tempo
dt
diLvL
idt
dLR
dt
diLRiv
Dominio dei fasori
jVeVtv )( LjRdt
dLR
)()( jIeIti
ILjRV )(
)sin(2)( tIti
jzez 22 )( LRzz
R
Larctgz
)arg(
%
)( jez
V
z
VI
jXRLjRI
Vz
z
VI
Bipolo R-Lin regime sinusoidale
)(zP
Dominio del tempo
i(t) costituisce un integrale particolaredell’equazione differenziale
dt
diLRiv
φ=arctg(ωL/R)
z
)/(sin)(
2)(22
RLarctgtLR
Vti
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
dt
diLRiv
è )()( tiketi pt dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0
TL
R 1 (T=L/R costante di tempo)
Ttke /
%
0lim /
Ttt ke (trascurabile per t>5T)
)/(sin)(
2)(22
/ RLarctgtLR
Vketi Tt
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω,
per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms;
dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.
Bipolo R-Cin regime sinusoidale
Dominio del tempo
LKT 0 CR vvv RivR dt
dvCi C
CC v
dt
dvRCv
)sin(2)( tVtv )sin(2)( tItiDominio dei fasori
jVeVtv )()()( jIeIti
CvRiv
CVIRV CVCjI
IC
jV C1
IC
jRV
1
jXRC
jRI
Vz
1
jzez 22 )/(1 CRzz
RCarctgz
1
)arg(
%
Bipolo R-Cin regime sinusoidale
C1
zDominio del tempo
)]/1(sin[)/(1
2)(22
RCarctgtCR
Vti
]2/)/1(sin[2)(
RCarctgtCz
VtvC
)( jez
V
z
VI
z
VI
Bipoli R-L e R-C in regime stazionario
v(t)=V (costante) v(t)=V (costante)
LR vvv RivR 0
dt
diLvL
i=V/RRiv
CR vvv
RivR 0dt
dvCi C
0Rv Cvv
Bipoli R,L,C in regime sinusoidale
jBAI
Vz
B=0
R=A
B>0
BL
B<0
BC
1
0
0 0
R=AR=A
LjRz C
jRz1
Rz
Ammettenza di un bipolo
z zV
Iy
1
Ammettenza [Ω-1]
jSRz
jBGSR
Sj
SR
R
jSRy
2222
1
Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario Regime sinusoidale
IRV
z
IzV GVI VyI
Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario Regime sinusoidale
m m
kkk IRE1 1
)()(
m r
kk JI1 1
)()(
LKT
LKC m r
kk JI1 1
)()(
m m
kkk IzE1 1
)()( LKT
LKC
Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario Regime sinusoidale
Millmann
n
i
n
ii
AB
y
yEV
1
1
n
i
n
ii
AB
G
GEV
1
1 Millmann
Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidaleBipolo di Thévenin in
regime stazionarioBipolo di Thévenin in
regime sinusoidale
z
RIEV IzEV
Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in regime stazionario
Bipolo di Norton in regime sinusoidale
)( IJRV
z
)( IJzV
Impedenze in serie
1z 2z nzn
kVV1
IzV kk
n
keq zz1
eqz
IzzIV eq
n
k 1
Impedenze in parallelo
1z
2z
nz
n
kII1
Vyz
VI k
k
k VyyVI eq
n
k 1
IzV eq
n
keq
eq
yy
z
1
11
eqz
n
k
eq
z
z
1
1
1
Bipolo R-L-C e risonanzaImpedenza
L’impedenza del bipolo è:
il bipolo è in risonanza se:
ω0 pulsazione di risonanza.
CLjRz
1
LCCL
10
10
22 1
CLRzz
Bipolo R-L-C e risonanzaCorrente
Se jVeV
)( jIez
VI
22 1
CLR
V
z
VI
Valore efficace della corrente
Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R
Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ:
RC
Larctgz
1
)arg(
φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C
φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R
φ >0 per ω>ω0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L
Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito
Per ω=ω0 si ha:
ω=ω0
R
VI
ILjV L 0 IC
jV C
0
1
VR
LVL
0 VCR
VC0
1
CL VV CRR
LQ
0
0 1
Q fattore di merito
V
V
V
VQ CL
Bipolo R-L-C e risonanza Selettività
La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0:
Pmax=RI2
In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda.
Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.
Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R
%
Un esempio numerico (Esercizio 2)
)30cos(1002)( ttv
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
Calcolare i(t), i’(t), i”(t)
6,8650100)60sin(1002)( 60 jeVttv j ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω.
)//(')( LCLAB jXRXXjRz 10102020
)20(20//' j
j
jjXR L
30201032,17 jAB ejz 5,233,45 30 je
z
VI j
AB
1553,391,041,3'
'' j
L
ejjXR
RII
7553,341,391,0
''' j
L
L ejjXR
jXII
V
Ω
Ω A
A A
A
B
)30sin(52)( tti
)15sin(53,32)(' tti
)75sin(53,32)(" tti
Potenza nei circuiti in regime sinusoidale
Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono:
Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze:
1. p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W]
2. P=VIcosφ potenza attiva [W]
3. Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]
)sin(2)( tVtv )sin(2)( tIti
%
Definizioni
4. Papp=VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) [VA]
5. Potenza complessa (grandezza convenzionale)
La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze.
Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.
*IVP
La potenza apparente
Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti:
Papp=VI
La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento.
La I è correlata alla quantità di rame impiegata.
La potenza istantanea )sin(2)sin(2)()()( tItVtitvtp
)22cos(cos tVIVI
Potenza attiva P
Potenza fluttuante
Tt
t
Tt
tdttVI
TVIdttp
T
0
0
0
0
)22cos(1
cos)(1
0
Tt
tdttp
TVIP
0
0
)(1
cosLa potenza attiva P è pari alvalore medio della potenza Istantanea p(t)
%
La potenza istantanea
P=VIcosφ
Potenza attiva ed energia
1
0 1)cos()(t
tVIdttpW
p fluttuante
t
PtdtVIW0
cos
Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è:
L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica.
Espressioni della potenza attiva
La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della corrente come:
oppure:
V I
IVVIP cos
aVIIVP )cos(
Ia componente attiva della corrente
Potenza attiva e potenza apparente
La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp
dalla relazione:
P=(Papp)cosφ
Correlata alla resa economica
Correlata ai costi diinvestimento
Il cosφ è detto fattore di potenza
Potenza reattivaLa potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionalepriva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce unindicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo diutilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: 22 QPPapp
222)( QPVI
a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre:
V
QPI
22
a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica chealimenta l’utilizzatore U
%
Potenza reattiva
P1=P2
I1<I2
φ1<φ2
Q1<Q2
Potenza complessa
)sin(2)( tVtv )sin(2)( tIti
jVeV )( jIeI
jQPjVIVIeIeVeIVP jjj )sin(cos))((* )(
)/()arg( PQarctgP
22 QPPVIPOA app
PtgQ
Principio di conservazione delle potenze complesse
Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete
Tesi
Somma parziale relativa al nodo Pi
Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete
l
kk
l
k IVP11
0*
)'()"( kkk PUPUV l l
kkkk IPUIPU1 1
0*)'(*)"(
0)*....*....**( '21 i
i ilihiiP IIIIU
Principio di conservazione delle potenze complesse
Dal principio di conservazione delle potenze complesse:
essendo:
si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive:
01
l
kP
kkk jQPP
l
kP1
0 l
kQ1
0
Misura della potenza
L’amperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)).
V(t)
i(t)
VIPapp
22)( PVIQ
VI
Pcos
Potenze nel bipolo resistenza
IRV 0
2cos RIVIVIP
0sin VIQ
PVIPapp 2RIPP
α=0)()()()( 2 tRititvtp
Potenze nel bipolo induttanza
ILjV 2
0cos VIP
22sin XILIVIVIQ
LX
IjXV
2
2
1LiW
22max )2(
2
1LIILW maxWQ
QVIPapp 2jXIjQP
%
α=0
Potenze nel bipolo induttanza
)sin(2)( tVtv
)2/sin(2)( tIti
)2/22cos( tVI
)22sin( tVI
α=0
)()()( titvtp
Potenze nel bipolo capacità
IC
jV1
CX
1
α=0
2
0cos VIP
2221sin CVXII
CVIVIQ
IjXV
2
2
1CvW 22
max )2(2
1CVVCW maxWQ
QVIPapp 2CVjjQP
%
Potenze nel bipolo capacità
)sin(2)( tVtv
)2/sin(2)( tIti
)2/22cos( tVI
)22sin( tVI
α=0
)()()( titvtp
Potenze nel bipolo R-L
IzV jXRLjRz
LX
α=0φ>0
22 coscos RIzIVIP 22 sinsin XIzIVIQ
VIPapp 222 IzjXIRIP
%
Potenze nel bipolo R-L
)sin(2)( tVtv
)sin(2)( tIti
)()()( titvtp
)22cos(cos tVIVI
α=0
Passività dei bipoli in regime lentamente variabile
bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dell’utilizzatore, risulta per ogni t:
Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita.
Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione.
0
t
vidtW
Potenze nel bipolo R-C
α=0IzV jXRC
jRz 1
CX
1
22 coscos RIzIVIP 22 sinsin XIzIVIQ
VIPapp 222 IzjXIRIP
Una formulazione del principio di conservazione delle potenze
0 i
Ci
Li
Ri
Ji
E iiiiiPPPPP
2RiiR IRP
i 2
LiiLi ILjP 2CiiCi VCjP
i
Riii
Ji
E IRPPii
2 i
Ciii
Liii
Ji
E VCILQQii
22
potenze complesse erogateP
Rifasamento
appP
Pcos
Quanto minore è il cosφ di un impianto peggiore è la sua resa economica per l’entedistributore dell’energia elettrica e a parità diP maggiore è la corrente assorbita.
Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφmedio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ).
0
0
0
0
t
t
t
tm
Pdt
Qdttg
0
0
t
tQ QdtW dove τ è l’intervallo difatturazione
%
Rifasamento
U utilizzatore ohmico-induttivo
C capacità dirifasamento φ*: φ desiderato
DIMEDIMENSIONAMENTO DI C
*tgPQBDADQ UUC
*)( tgtgP UU 2CVQC
22 fV
QC C
Caratterizzazione dei bipoli passivi
Oltre che con l’equazione caratteristica:
i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante:
In particolare possono essere forniti i dati nominali.
IzV
........
......
......
Q
P
V
........cos
......
......
Q
V
........sin
......
......
P
V
........sin
......
......
Q
V
........cos
......
......
P
V
........cos
......
......
P
V
(ritardo) (anticipo)
%
Caratterizzazione dei bipoli passivi
Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:
VIQPPapp 22
V
PI app
I
Vz )/( PQarctg
jzez
Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze
Esempi numerici
)sin(2202)( ttv R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore UVn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare indicazione amperometro A(valore efficace della corrente i)
+Esercizio 3
Applicazione conservazione potenze
P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’. 22)(' 22 LRz Ω. I’=10 A, P’=1 kW, Q’=1,96 kVAr. P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr
%
Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr,
29,422 VIQPP tottotapp kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9°
%
I=Papp/V=19,48 A (Indicaz. amperometro)
Applicazione dei fasori
220220 0 jeV V;
63109,854,4' jej
LjR
VI
A
10cos
" un
n
V
PI
A 6810"" 9,36 jeeII jj u
A
9,4948,199,1454,12"' jejIII A 48,19 II A
Es.4
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore UVn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Rl Ll
Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valleai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn
Rl=0,5 ΩωLl=1 Ω
B
B’
Applicazione conservazione potenzeDall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’
%
PB=RlI2 + PA=2,95 kW QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr
7,422 VIQPP BBappB kVA
V=PappB/I=241,2 V
ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %)
Applicazione dei fasori
Dall’esercizio 3 nella sezione A-A’:
V 9,1454,12 jI A
Nella sezione B-B’:
220AV
51,241)( jILjRVV llA 2,241VVV V
Eserc. 5)sin(2202)( ttv
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.f=50 Hz
Dati di targa utilizzatore UVn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1)
Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 .
28,32 AC QCVQ kVAr
216)/( 2 VQC C μF
PB=PA=VIB IB=12,54 A ω =2πf=100π rad/sec
Esercizio 6
Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφnella sezione B-B’ sia pari a 0,9.
PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr,cosφA=0,643φA=49,9°cosφ*=0,9φ*=25,8°
94,1* tgPQBDADQ AAC kVAr 128)/( 2 VQC C μF
PB=PA=VIBcosφ* IB=13,94 A
Reti con generatori a frequenza diversa
Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare sipuò applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori.
Un esempio numerico (esercizio 7)
)30sin(1002)(1 tte
)302cos(1002)(2 tte
e3=200 V (costante)
R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω Calcolare i1(t), i2(t), i3(t).
ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3)
%
V
V
Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω)
20jzL 20jzC
2020//)( jzzRz CLBD
40 BDLAD zzRz
Ω Ω
Ω
Ω
506,86100)( 3011 jeEte j 301
1 5,2' j
AD
ez
EI
15
12 53,391,041,3'' j
CL
L ejzzR
zRII
120
13 5,2'' j
CL
C ezzR
zII
V A
A A
)30sin(5,22)('1 tti )15sin(53,32)('2 tti
)120sin(5,22)('3 tti
A A
A
%
Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω)
40jzL 10jzC
10102/)( jzRzz LCe
6,8650100)( 6022 jeEte j
1522 07,7" j
e
ez
EI
152
1 53,32
"" je
II 1652
3 53,32
"" je
II
)152sin(53,32)('' 1 tti )152sin(07,72)('' 2 tti
)1652sin(53,32)('' 3 tti
Ω Ω
Ω
V
A A A
A A
A
%
Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie)
52
3'''3
'''1
R
eii A 0'''
2 i
Correnti risultanti
5)152sin(53,32)30sin(5,22)(1 ttti
)152sin(07,72)15sin(53,32)(2 ttti
5)1652sin(53,32)120sin(5,22)(3 ttti
A
A
A
Circuiti in regime sinusoidale
Reti trifasi
Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali
)sin(2)(1 tAta
)3/2sin(2)(2 tAta
)3/4sin(2)(3 tAta
costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali.
jAeA 1
)3/2(2
jAeA
)3/4(3
jAeA
0321 AAA
0)()()( 321 tatata
Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali
)sin(2)(1 tAta
)3/2sin(2)(2 tAta
)3/4sin(2)(3 tAta
costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali. jAeA 1
)3/2(2
jAeA
)3/4(3
jAeA
0321 AAA
0)()()( 321 tatata
Generazione di una f.e.m. sinusoidale
ωt
α
S
tBSSBdSnB cos)cos(
tBSdt
de
sin
ω
Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali
ω
)sin(1 tBSe
)3/2sin(2 tBSe
)3/4sin(3 tBSe
Genesi di una rete trifase
Genesi di una rete trifase
jEeE 1
)3/2(2
jEE)3/4(
3 jEE
jzez
)()(11
jj Ieez
E
z
EI
z
EI
)3/2()3/2(22
jj Ieez
E
z
EI
)3/4()3/4(33
jj Ieez
E
z
EI
Genesi di una rete trifase
0' OOV03210 IIII OVE 11 OVE 22 OVE 33
1'11' EVE O 2'22' EVE O
3'33' EVE O
033
3
1
3
1'
kk
OO
E
y
yEV
Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni
z: impedenza di fase
e1, e2, e3 tensioni stellate dialimentazione
e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sulcarico o di fase
i1, i2, i3 correnti di linea o di fase
v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate
Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella
α=0
v12, v23, v31, costituisconouna terna simmet. diretta
VVVV 312312
30112 3 jeEVEEMV 330cos232 123 3EjV
Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.
Stelle equilibrate- Circuitomonofase equivalente
0' 11' EEV OO
11' IzE 11' 0 IzEV OO
Circuito monofase equivalente
z
EI
1
1
3/212
jeII 3/413
jeII
%
03'3
'3
1
3
1'
kk
OO
E
y
yEV
111'1 '''' IzEIzVE OO
03"3
"3
1
3
1"
kk
OO
E
y
yEV
111"1 """" IzEIzVE OO
111 "' III
9 lati,3 nodi
Circuito monofaseequivalente
'/' 11 zEI "/" 11 zEI
3/2)1(1
kjk eII 3/2)1(
1'' kjk eII
3/2)1(1"" kj
k eII 3,2k
%
Un esempio (Esercizio 8)
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
)60sin(1002)(1 tte
)60sin(1002)(2 tte
)sin(1002)(3 tte
Circuito monofase equivalente;circuito già precedentementeanalizzato
%
301 5 jeI 75
1 53,3' jeI 151 53,3'' jeI
Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo.
Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo
301
30112
123
13 jj
eIz
eE
z
VJ
z
EI
1
13
JI 3
i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono2 terne simmetriche
Caricoequilibrato
Confronto tra sistemi equilibrati con carico a stella e a triangolo
Carico a stella
ilinea=ifase
vlinea ≠vfase(e)
Carico a triangolo
ilinea≠ifase(j)
vlinea =vfase
EV 3 JI 3
Potenza nei sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati
Per il principio di conservazione delle potenze le potenze attiva e reattiva assorbite dal carico trifase sono pari alla somma di quelle erogate dai 3 generatori:
sin3sin3 VIEIQ
φ è lo sfasamento tra e1 e i1
332211 IEIEIEP
cos3cos3 VIEI
VIEIQPPapp 3322
Esercizio 9
)sin(2202)(1 tte
)120sin(2202)(2 tte
)120sin(2202)(3 tte
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω.
Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT:Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo).Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due carichi ed il cosφ risultante. %
Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo UT con una stella equivalente:
Dati del bipolo U (utilizzatore monofase):
Vu=220 V, Pu=1,76 kW,cosφu=0,8 (ritardo)
%
Circuito monofase equivalente
Questa rete è già stata analizzata nell’esercizio 3
9,491 48,19 jeI 63
1 10' jeI
9,361 10" jeI
Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da
9,1930112 25,11
3
1 jj eeIJ 9,139120
1223 25,11 jj eeJJ
1,1001201231 25,11 jj eeJJ
A A
A
A A
A
Le Pe Q sono pari a quelle già calcolate nell’esercizio 3 moltiplicate per 3:P=8,26 kW, Q=9,84 kVAr, cosφ=0,643.
Esercizio 10
I dati sono quelli dell’esercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare l’utilizzatore capacitivo UC in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.
%
P e Q a valle di UC sono già stati calcolati nell’esercizio 9.
P=8,28 kW, Q= 9,84 kVAr,cosφ=0,643φ=49,9°cosφ*=0,9φ*=25,8°
82,5* tgPQBDADQC kVAr
Se UC è costituito da una stella di condensatori di capacità Cy:
12822010033 22 yyyC CCECQ
Se UC è costituito da un triangolo di condensatori di capacità CΔ:
8,4238010033 22 CCVCQC
μF
μF
Esercizio 11
e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω; R’=5 Ω; ωL’=5 Ω. UT (carico ohmico-induttivo) assorbela potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione:
)30sin(3802)(12 ttv Calcolare v2’3’(t) e v1a(t).
%
Circuito monofase equivalente
2203
301211 j
O eV
EV V
I dati di U e la correntei1 sono già calcolati nell’esercizio 9
211'1 357)''( jeILjREE
92'1'3'2 6193 jeEjV
5,421201122121 423'' jj
a eeILjVILjVV
)92sin(6192)('3'2 ttv )5,42sin(4232)(1 ttv a
V
V
V
V V
Esercizio 12
e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω. Calcolare il loro valore efficace E affinché al carico trifase UT sia applicata la tensione nominale (concatenata) Vn
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT:Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo).
%
P, Q, Papp e I nella sezione A sono date da: PA=PN+3RˑJ2 QA=PNtgφu+3ωLˑJ2 ANAAappA IVQPP 322
N
appAA
V
PI
3 75,5
)( 22
LR
VJ N
A
PA=8,26 kW, QA=9,84 kVAr, PappA= 12,85 kVA, IA=19,49 A .
PB=PA+3R’ˑIA2 QB=QA+3ωL’ ˑIA
2ABBappB EIQPP 322
PB=13,95 kW QB=15,53 kVAr PappB=20,88 kVA
3573
A
appB
I
PE V
Rete trifase a tre fili: stella squilibrata
3
1
3
1'
k
kk
OO
y
yEV
Tensione di spostamentodel centro stella
'' OOkk VEE kkk yEI '
Le terne delle tensioni stellate e’k e delle correnti ik non sono simmetriche.
Sistema trifase a quattro fili:stella squilibrata
1, 2, 3 conduttori di faseN conduttore di neutro
0' OOV
kOOkk EVEE ''
kkk yEI
3
1
kN II
Sistema trifase: triangolo squilibrato
12
1212
z
VJ
23
2323
z
VJ
31
3131
z
VJ
31121 JJI 12232 JJI
23313 JJI
Esercizio 13
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione.
R’=5 Ω; ωL’=5 ΩR’=5 Ω; ωL’=5 Ω
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
9,491 48,19 jeI 9,169
2 48,19 jeI 1,703 48,19 jeIA A A
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da:
1311' III 22' II 1333' III )''(
1313
LjR
VI
3030113 3803 jj eeEV
7513 7,53 jeI A
4,681 8,71' jeI 9,169
2 48,19' jeI 9,1953 6,70' jeIA A A
%
)4,68sin(8,712)('1 tti
)9,169sin(48,192)('2 tti
)9,95sin(6,702)('3 tti
Esercizio 14
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione.
R’=5 Ω; ωL’=5 ΩR’=5 Ω; ωL’=5 Ω
%
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
9,491 48,19 jeI 9,169
2 48,19 jeI 1,703 48,19 jeIA A A
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da: kkk III "'
'"
12
1 R
VI
'"
32
3 Lj
VI
312 """ III
3030112 3803 jj eeEV
3803 90132 jeEV j
V
301 76" jeI 76"3 I 165
2 8,146" jeIA A A
%
4,161 7,81' jeI 6,165
2 166' jeI 5,12
3 6,84' jeIA A A
)4,16sin(7,812)('1 tti
)6,165sin(1662)('2 tti
)5,12sin(6,842)('3 tti
A
A
A
Esercizio 15
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione.
R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
%
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
9,491 48,19 jeI 9,169
2 48,19 jeI 1,703 48,19 jeI
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da: kkk III "'
1,1043,92
'1
'1
'1
'''321
3
1
3
1' j
RLjR
RE
LjE
RE
y
yEV
k
kk
OO
V
4,18'1
1 8,65'
)(" jOO
eR
VEI
6,176'2
2 59'
)(" jOO
eLj
VEI
5,101'3
3 6,17'
)(" jOO
eR
VEI
A A
A
%
5,251 1,83' jeI 9,179
2 1,78' jeI 853 7,35' jeIA A A
)5,25sin(1,832)('1 tti
)9,179sin(1,782)('2 tti
)85sin(7,352)('3 tti
A
A
A
Un esempio di rete di distribuzione in BT
Misura della potenza in una rete trifasesimmetrica ed equilibrata
WVIEIP 3cos3cos3
VA
W3cos sin3VAQ
%
Inserzione Aron
)30cos(' 112 VIIVW
sin2
1cos
2
3VIVI
)30cos(" 332 VIIVW
sin2
1cos
2
3VIVI
PVIWW cos3"'
3/sin'" QVIWW
Misura della potenza in una rete trifase a 3 filinon equilibrata
121112 )(' IEEIVW
323332 )(" IEEIVW
323121 )()("' IEEIEEWW
)( 3123311 IIEIEIE
231 III PIEIEIEWW 332211"'
Reti in regime lentamentevariabile
Funzionamento transitorio
Bipolo R-L in regime transitorio
0 LR vvv
RivR dt
diLvL
idt
dLR
dt
diLRiv
LKT
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
dt
diLRiv
è )()( tiketi pt dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0
TL
R 1 (T=L/R costante di tempo)
Ttke /
%
)/(sin)(
2)(22
/ RLarctgtLR
Vketi Tt
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .
)sin(2)( tVtv
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=i(0-)=I0 si ha:
Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0
%
2
2
1LiWL dt
diLi
dt
dWp LL
)/(sin)(
2)0(2200 RLarctg
LR
VIiIk p
Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
)sin(2)( tVtv
α<0
Risposta del bipolo R-Lad un gradino di tensione
dt
diLRiv
L’integrale generale dell’equazione è:
R
Vketiketi Tt
pTt // )()(
Imponendo i(0+)=i(0-)=0:
R
Vk Tte
R
Vti /1)(
T=L/R
Bipolo R-C in regimetransitorio (v(t) sinusoidale)
)sin(2)( tVtv
CvRiv CC v
dt
dvRCv
L’integrale generale dell’equazione differenziale è:
)()( tvketv cpt
c dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0
TRC
11 (T=RC costante di tempo)
%
]2/)/1(sin[2)( /
RCarctgtCz
Vketv Tt
C
dt
dvCi C
Bipolo R-C in regimetransitorio (v(t) sinusoidale)
La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=vC (0-)=V0 si ha:
Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.
La i è data da:
TtC eT
kCRCarctgt
z
V
dt
dvCti /)]/1(sin[2)(
%
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .
2
2
1CC CvW
dt
dvCv
dt
dWp C
CC
C
]2/)/1(sin[2)0( 00
RCarctgCz
VVvVk Cp
Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale)
%
α>0
Risposta del bipolo R-Cad un gradino di tensione
CvRiv
CC v
dt
dvRCv
L’integrale generale dell’equazione è:
Vketvketv Ttcp
Ttc // )()(
Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.
TtC eVtv /1)( TtC e
R
V
dt
dvCti /)(
T=RC
dt
dvCi C
T=RC
Bipolo R-L-C in regime transitorio
CCLR vdt
diLRivvvv
dt
dvCi C
vvdt
dvRC
dt
vdLC C
CC 2
2
L’integrale generale è )()()( tvtvtv cpctc dove vct è l’integrale
generale dell’eq. omogenea associata (componente transitoria) e vcp è un integrale particolare dell’eq. differenziale completa.
Integrale particolare dell’eq. completa
Se v=V (costante) per t>0, vcp(t)=V. La corrente corrispondente è ip=0.
%)sin(2)( tVtvSe v(t) è sinusoidale i fasori di v, i e vC sono dati da:
jVeV )(
)/1(
je
z
V
CLjR
V
z
VI
dove
22 1
CLRzz
RC
Larctgz
1
)arg(
)2/(1
j
C eCz
VI
CjV
L’integrale particolare vcp(t) in tale caso è dato da:
)2/sin(2)(
tCz
Vtvcp
e la corrispondente corrente:
)sin(2)( tz
Vtip
%
Equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata
012 RCLC 020
2 L
R dove
LC
10 è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C
doveR
LT
2 Le radici di tale eq. sono:
essendo
QR
LT 22 0
0 dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C.
Se Q<1/2 le radici λ1 e λ2 sono reali e distinte e date da:
%
2220
2021,2 411
111
111Q
TT
TTT
1
21
1411
1
TQ
T
2
22
1411
1
TQ
T
02 2
02
T
Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: T
121
Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da:
'1
1,2 jT dove 14
1' 2 Q
T
%
Se le radici λ dell’eq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesseconiugate, Q<1/2 oppure Q>1/2) due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono :
e il suo integrale generale è
te 1
te 2
te 2
ttCt ekekv 22
21
due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono :
Tte
/ Ttte
/
Integrale generale dell’equazione omogenea associata
Se Q<1/2 l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
%
e la corrispondente corrente:
21 /
2
2/
1
1)( TtTtCtt e
T
Cke
T
Ck
dt
dvCti
Q<1/2
2121 /2
/121
TtTtttCt ekekekekv
Se Q>1/2:
e la corrispondente corrente:
%
)'cos''sin1
( //1 tete
TCk
dt
dvCi TtTtCt
t
)'sin''cos1
( //2 tete
TCk TtTt
Q>1/2
tjTttjTtttCt eekeekekekv '/
2'/
121 '''' 21
tektek TtTt 'cos'sin /2
/1
Se Q=1/2:
e la corrispondente corrente:
TtTtCt ektekv
/2
/1
TtTtTtCtt e
T
Ckte
T
CkCek
dt
dvCti
/2/1/1)(
%
Q=1/2
Soluzioni dell’eq. differenziale completae condizioni iniziali
Per risolvere l’eq. differenziale completa occorre calcolare le costantid’integrazione k1 e k2 imponendo le condizioni iniziali per t=0+alla vC
ed alla sua derivata.La tensione sulla capacità vC e la corrente nell’induttanza i=C dvC/dtsono variabili di stato, per cui vC(0+)=vC (0-) e i(0+)=i (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- e I0=[i(t)]t=0- il calcolo di k1 e k2 si effettua imponendo nell’integrale generale dell’equazione completa vC(0+)=V0 e i(0+)=I0.
Se Q<1/2
)(21 /2
/1 tvekekv Cp
TtTtC
)(21 /
2
2/
1
1 tieT
Cke
T
Ck
dt
dvCi p
TtTtC
%
)0(021 cpvVkk
)0(02
2
1
1piI
T
Ck
T
Ck
Risposta al gradino di ampiezza V(V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0)
21
11 TT
VTk
21
22 TT
VTk
Se Q=1/2
)(/
2/
1 tvektekv CpTtTt
C
)(/2/1/
1 tieT
Ckte
T
CkCek
dt
dvCi p
TtTtTtC
%
Q<1/2
)0(02 CpvVk )0(02
1 piIT
CkCk
Risposta al gradino di ampiezza V [V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0]
T
Vk 1 Vk 2
Se Q>1/2
)('cos'sin /2
/1 tvtektekv Cp
TtTtC
)'cos''sin1
( //1 tete
TCk
dt
dvCi TtTtC
)()'sin''cos1
( //2 titete
TCk p
TtTt
)0(02 CpvVk
)0(' 02
1 piIT
CkCk
%
Risposta al gradino di ampiezza V[V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0]
T
Vk
'1 Vk 2
Q>1/2
Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V0=0, I0=0)
)0(2 Cpvk )0(' )0(1 p
Cp iT
CvCk
)0(
)0(
'
11 p
Cp iT
Cv
Ck
dove
)2/sin(2)0(
Cz
Vvcp )sin(2)0(
z
Vip
%