Analisi globali per edifici in muratura

(Pushover) (a cura di Michele Vinci)

Tutte le immagini riportate sono tratte dal testo:

“Metodi di calcolo e tecniche di consolidamento per edifici in muratura” – Michele Vinci – Flaccovio Ed.

Analisi globale per edifici in muratura

Tipologie di analisi consentite

- Statica lineare (molto restrittiva per edifici in muratura);- Dinamica lineare (molto restrittiva per edifici in muratura);- Statica non lineare (Pushover);- Dinamica non lineare (molto complessa per la pratica

quotidiana);

Analisi globale per edifici in muratura

Per gli edifici in muratura, la normativa consente, a differenza di altre tipologie di strutture (per esempio c.a. ed acciaio), di utilizzare l’analisi statica non lineare anche per strutture la cui massa partecipante del primo modo di vibrare è inferiore al 75% (la normativa, attraverso il punto 7.8.1.5.4 del D.M. 14/01/2008 fissa il limite inferiore della massa partecipante del primo modo al 60%, mentre, la circolare 617/2009 non mette alcun limite).

Il metodo consiste nell’incrementare i carichi orizzontali (secondo prestabilite forme di carico) fino al collasso della struttura.

Nel seguito ci occuperemo di pushover uni-modale non adattivo in quanto è il metodo richiesto dalla normativa italiana per il calcolo di edifici esistenti in muratura(Metodo N2).

Analisi pushover

Analisi globale per edifici in muratura

Fasi di calcolo

Il metodo si articola nelle seguenti fasi:

1. Definizione della curva di capacità della struttura a più gradi di libertà;2. Definizione del sistema equivalente ad un solo grado di libertà;3. Calcolo della capacità di spostamento (umax);4. Calcolo della domanda di spostamento (dmax);5. Confronto tra “capacità di spostamento” e “domanda di spostamento”.

La verifica si ritiene soddisfatta quando risulta verificata la seguente (la “capacità di spostamento” deve essere maggiore o uguale alla “domanda di spostamento”):

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Schematizzazione della parete (telaio equivalente)

Secondo la schematizzazione a telaio equivalente, ogni parete è costituita da tre macro elementi:

1) maschi murari;2) fasce di piano;3) conci rigidi.

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Schematizzazione della parete (maschi murari)

Il legame costitutivo del maschio èelastico – perfettamente plasticodefinito dai seguenti parametri:

k = tg()

)V,min(VV tfu

(rigidezza)

(resistenza)

0 (spostamento elastico)

u (spostamento plastico)

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Schematizzazione della parete (maschi murari – rigidezza)

La rigidezza “k” dell’elemento si ottiene tenendo conto della deformazione a flessione ed a taglio (Timoshenko).

Nel caso in cui l’elemento è libero di traslare solo in testa (un solo grado di libertà), la rigidezza è data dalla seguente relazione:

GA

h1.2

12EI

h

1k

3

Nel caso in cui è anche libero di ruotare (comportamento a mensola), la rigidezza è data dalla seguente:

GA

h1.2

12EI

h4

1k

3

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

)V,min(VV tfu

Vf è la resistenza dell’elemento per meccanismo di rottura a flessione

Vt è la resistenza dell’elemento per meccanismo di rottura a taglio

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

Meccanismo di rottura per flessione

2

a-lNeNM bbu

tf0.85

N a atf0.85N

d

bdb

tl N tl

Nb

b

00

d

2

uf0.85

-12

t lM 00Punto 7.8.2.2.1 del D.M. 14/01/2008

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

Meccanismo di rottura per flessione

d0

2

0

uf

f0.85-1

h2

t l

h

MV

00

h0 è la distanza tra la sezione di verifica e la sezione a momento nullo.

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

Meccanismo di rottura per flessione

La resistenza a flessione dipende dallo sforzo normale applicato sull’elemento stesso. L’andamento della resistenza a flessione in funzione dello sforzo normale è parabolico;Per sforzo normale nullo, la resistenza dell’elemento è nulla;La massima resistenza si ottiene per la tensione 0 = 0.85fd/2.

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

Meccanismo di rottura per taglio (approccio allo scorrimento)

ff vk0vk 0Resistenza caratteristica

ff

m

vkvd

Resistenza di calcolo

tlfV 1vdt

Resistenza per meccanismo di rottura a taglio

t è lo spessore della muratura ed l1 è la lunghezza del maschio in compressione

(Si utilizza per gli edifici di nuova costruzione)

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Schematizzazione della parete (maschi murari – resistenza)

Meccanismo di rottura per taglio (approccio Turnesek e Cacovic)

Resistenza per meccanismo di rottura a taglio

t è lo spessore della muratura ed l è la lunghezza del maschio, ftd la resistenza a trazione della muratura.

(Si utilizza per gli edifici esistenti)

tdf

f 1

b

tlV td

s0

b è un coefficiente che tiene conto della snellezza del maschio

b = h/l (1.0 ≤ b ≤ 1.5)

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Schematizzazione della parete (maschi murari – 0 e u)

k

Vu0 (rapporto tra resistenza e rigidezza)

h0.008u

h0.004u

(per rottura a flessione del maschio – edifici nuovi)

(per rottura a taglio del maschio)

Spostamento elastico

Spostamento ultimo

h0.006u (per rottura a flessione del maschio – edifici esistenti)

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Schematizzazione della parete (fasce di piano)

Il contributo di una fascia di piano nella resistenza sismica di una parete è notevole e può essere preso in considerazione solo se all’interno della fascia stessa è presente un elemento in grado di resistere a trazione (cordolo, tirante, architrave bene ammorsata, ecc.).

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Schematizzazione della parete (fasce di piano)

vd0 t fthV

thf0.85

H1

2

hHM

hd

ppu

(Rottura per taglio)

(Rottura per flessione)

Hp è il minimo tra la resistenza a trazione dell’elemento teso e 0.4 ∙ fhd ∙ h ∙ t

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Schematizzazione della parete (fasce di piano)

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Schematizzazione della parete (Conci rigidi)

I conci rigidi sono elementi in muratura non in grado di subire deformazioni che hanno la funzione di collegare i maschi murari e le fasce di piano.

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Curva di capacità

La curva di capacità è di fondamentale importanza per l’analisi pushover di una struttura. In ascissa viene rappresentato lo spostamento orizzontale (dc) di un generico punto della struttura, detto punto di controllo (generalmente si assume il baricentro delle masse dell’ultimo impalcato), mentre in ordinata viene rappresentata la forza orizzontale alla base (Vb)

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Curva di capacità

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Curva di capacità

Il metodo consiste nell’incrementare i carichi orizzontali fino al collasso della struttura. Nell’incrementare i carichi, gli elementi (maschi e fasce) subiscono delle trasformazioni che comportano la variazione dello schema statico della struttura

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Curva di capacità

Cambia lo schema statico della struttura

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Curva di capacità

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Curva di capacità

La curva deve essere calcolata per sisma agente nelle due direzioni principali (x ed y), per sisma positivo e negativo, ed utilizzando due distribuzioni di carico, una proporzionale alle masse e l’altra proporzionale alle altezze.

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Curva di capacità

Generalmente la curva che si ottiene con profilo di carico proporzionale alle altezze è paragonabile a quella ottenuta con profilo di carico proporzionale alla prima forma modale

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Curva di capacità

Considerando le due direzioni, i due profili di carico e i due incrementi (positivo e negativo), si ottengono almeno 8 curva di capacità.

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Trasformazione del sistema MDOF in quello SDOF equivalente

cd

d*

bV

F*

n

1i

2ii

n

1i

ii

Τ

Τ

Τm

m

*m

M

M

M

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Sistema bilineare equivalente

La struttura reale viene approssimata ad una struttura ad un solo grado di libertà definita dalla rigidezza equivalente (k*), dalla massa equivalente (m*) e dal periodo equivalente (T*).

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Sistema bilineare equivalente

*d

F0.7tg*k

A

max )(

n

1iii

Τ mm* M

Il tratto orizzontale si ottiene dall’equilibrio delle aree. L’area che sta sopra della curva di capacità deve essere uguale a quella che sta sotto: Area1 + Area3 = Area2.

*k

*m2T*

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Capacità di spostamento e spostamento richiesto

La capacità di spostamento si ottiene dalla curva di capacità della struttura. Secondo la normativa, se la curva di capacità è sempre crescente, si assume come umax il massimo spostamento della curva.

Se la curva presenta dei rami decrescenti (come in “b” di figura), si assume come umax lo spostamento che riduce al massimo del 20% la forza massima (Fmax) della curva di capacità.

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Capacità di spostamento e spostamento richiesto

*TS*d*d Demaxe,max CTT* se

)()(

T*S*T

T1*q1

*q

T*Sd De

CDe*max

se CTT*

*maxmax dd

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Capacità di spostamento e spostamento richiesto

Secondo la normativa, il fattore di struttura q* non può assumere valori maggiori di 3. Nel caso in cui ciò accade, l’esito della verifica è da ritenersi negativo.

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Verifica analisi pushover

La verifica dell’analisi pushover si ottiene confrontando la capcità di spostamento (umax) con lo spostamento richiesto (dmax). La verifica sismica si considera soddisfatta quando si verifica la seguente condizione:

umax ≥ dmax

Come intuibile dalla precedente relazione, per migliorare l’esito della verifica, deve aumentare la capacità di spostamento (umax) e deve diminuire la domanda di spostamento (dmax).

Per far diminuire la domanda di spostamento (dmax), deve aumentare la forza massima (F*max) e la rigidezza del sistema (k*).

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Verifica analisi pushover

La maggiore resistenza è un fattore positivo per la verifica, mentre la minore rigidezza è un fattore negativo. Affinché migliorino le condizioni di resistenza della struttura, il contributo positivo della maggiore forza massima deve essere maggiore del contributo negativo della minore rigidezza.

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Verifica analisi pushover

La capacità di spostamento (umax) è generalmente legata a dei limiti di normativa, per cui, difficile da far aumentare in modo significativo.

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Verifica analisi pushover

La capacità di spostamento (umax) può anche diminuire per una errata scelta di consolidamento.