Le precipitazioni estreme - GEV

Riccardo Rigon

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R. Rigon

Obbiettivi:

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•Generalizzare i concetti esposti in precedenza sulle precipitazioni estreme

Introduzione

R. Rigon

A little more formal

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un

Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la

distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità

non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

I) Distribuzione di Gumbel

G(z) = e�e�z�b

a �⇥ < z <⇥a > 0

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un

Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la

distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

II) Distribuzione di Frechèt

G(z) =

�0 z � b

e�( z�ba )��

z > b

� > 0a > 0

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

Media

Moda

Mediana

Varianza

P [X < x] = e�x��

A little more formal

II) Distribuzione di Frechèt from Wikipedia

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE) pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)

R:

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un

Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la

distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

� > 0a > 0

G(z) =

�e�[�( z�b

a )]��

z < b1 z � b

A little more formal

III) Distribuzione di Weibull

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull (P. Rosin and E. Rammler, 1933)

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

Quando k = 1, la distribuzione di Weibull

si riduce alla distribuzione esponenziale.

Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull

diventa molto simile alla distribuzione

normale.

Media

Moda

Mediana

Varianza

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull (P. Rosin and E. Rammler, 1933)

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rweibull(n, shape, scale = 1)

R:

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una

distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥

Per la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel

Per la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt

Per la distribuzione diviene una Weibull

� = 0� > 0� < 0

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una

distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

gk = �(1� k�)

Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una

distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE) pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)

R

A little more formal

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Distribuzioni dei valori estremi

R. Rigon

Grazie per l’attenzione!

G.U

lric

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